Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Taller Final Cálculo Vectorial. Docente: Zulima Ortiz. Alumno: Jonathan onto!a Castellanos "#$%$#"%#"& $. Verdadero o Falso. A' Verdadero, para comprobarlo remplazamos. x =2 S + 3 t + 1
y = 4 S −t
En el plano pla no
9X-Y 9X-Y-
14Z=107 9 ( 2 S + 3 t + 1 )− 4 S + t −14 Z =107
18S!7"9 # 4S" - 14Z =107 14S!8"-98=14Z Z=S!"-7 x + y + z =1 $% Verdadero erdadero &a '(e) , ρ=1 , 2
x = ρsⅇ
nϕcos θ
y = ρsⅇ
nϕsenθ
z = ρcosϕ
,
2
2
.
S =Φ (θ ⋅ ϕ)=( sⅇ nϕcos θ , sⅇ nϕsenθ,cosϕ) ‖ Φ ( ϕ ) X Φ ( θ ) ‖= senϕ
∫ Fⅆδ =∫ x
3
S
s
2 π π
∬ senϕ
ⅆδ =
0
4
3
cos θ d ϕdθ
0
*pl+cando las rm(las de al+s.
2 π π
2 π
∬ senϕ cos θ d ϕdθ =0, yaque ∫ cos θ dθ=0 4
0
3
3
0
0
/% Falso &a '(e)
∫ Fⅆs =∭ ∇ F d = 0 s
(samos en eorema de
≠ 6 π
D
la 2+er3enc+a
∇ F
F
= YZ,-XZ, 5%
=
∂ M ∂ N ∂ P + + ∂ X ∂Y ∂ z
= 0
2% Verdadero &a '(e) F =( a , ! c )
*l ser (n campo cons"an"e ∇ F =
6or lo "an"o o '(e ace c+er"o
∂ M ∂ N ∂ P + + ∂ X ∂ Y ∂ z
∫ Fⅆs=∭ ∇ F =0 para c(al'(+er s
D
s(perc+e. E% Verdadero &a '(e) D = Su"e#$%c%e S
S :;,&,z%
&
;,&,z% <
F =( M , N , P ) cont%nua es sus de#%'adas "a#c%a(es !
∫
∭ ∇ F Se c(mple.
)ue*o Fⅆs = s
D
F% Falso &a '(e, E;+s"e S "al '(e Sea S) z= 9ron"era
x
2
2
x − y
2
y
2
∮ $ⅆS=∫ ∇ + $ⅆs c
s
- ( θ )=( 3cos θ , 3 senθ, 0 )
0
, z
,
∫ ∇ + $ⅆs ≠ 0 s
F =(2 Z − y , x + z , 3 x −2 )
=9.
∮ ( 2 Z − y ) dx +( x+ z ) dy +( 3 x−2) ⅆz c
,
2 π
2 π
0
0
∫ −3 senθ (−3 senθ ) + 3cos θ ( 3cos θ ) dθ =9 ∫ ⅆθ=18 π 2
F =( yz , 0, z )
!. Fl(o del campo 0, x = 0, x =1
S)
2
z + y
2
=1, Z
.
>samos el "eorema de ?a(ss.
∫ ( yz , 0, z ) ⅆs=∭ ∇ Fⅆ' 2
s
D
∇ F =2 z
(e3o "enemos
∭ 2 zⅆs , >samos coordenadas D
c+l@ndr+cas para resoler. 2 : 0
. z . √ 1− / sⅇn θ 2
∬ 0 /zⅆ
2
∬ ( √ 1− /
/dⅆ zθ=
D
0 2
D
2
,0 . θ
. 2 π
2:
2
−
0 . ρ. a
8
,
<
∭ ( 2 XY + X ) dρdϕⅆθ=∭ ρ ( 2 ρ sin ϕ cos θsenθ+ ρsⅇ 2
D
π π
2
D
π
=
<
F =( X Y , − 2, XZ )
∫ Fⅆs=∭ ∇ F ⅆs ∇ F =2 XY + X s
.θ. π
0
2
sⅇn θ ) / ⅆ/dz
5. /alc(le el A(o del campo S dada por)
0. ϕ.
./.1
2
2
nϕcos θ ) dρdϕⅆθ
D
a"(%cando (as$o#1u(as de 2a(%ss, ostene1os que
∭ ρ ( 2 ρ sin ϕ cos θsenθ + ρsⅇ 2
D
2
2
nϕcos θ ) dρdϕⅆθ =0 , yaque
2 π
∫ cos θ=0 0
2
2
X + ( y −3 ) =9 ,
4. 6ara calc(lar de Brea de la s(perc+e 0 . z . 5 ! >saremos 4 =∬‖ /θ x / z‖ ⅆ4 . D
2θ 3 sen ¿
%, C
Pa#a1et#%za1os / ( θ ∇ z )=¿
¿ /θ=¿
‖ /θ x / z‖=¿ C
C
sin θ
2
, z%
θ , 12 sⅇn θ cos θ , 0 sin ¿ ¿ x / z=( 0,0,1)
D {0 .θ . π
,0
. z .5
∬ 6 ⅆz ⅆθ = 50
<
D
π
D. rea de la s(perc+e del cono Z= √ X + y , ! S = Φ ( / ∇ 5 )= ( /cos5 , /sen5 , / ) D {2 . / . 6 , 0 .5 . 2 π ! < 2
2
.z .6
.
ϕ / + Φu= { cos5 , sen5 ,1 } + {− /sen5 , /cos5 , 0 } ‖ϕ / + Φu ‖= / √ 2
∬
/ √ 2 ⅆ5d/
2 π
2
0
= √ 2∫ /ⅆ/ ∫ ⅆ5 = 5! √ 2 π
D
S= Φ ( Z ⋅ 5 )=( Zcos5 , Zsen5 ,Z ) ! π , 0 . Z . ! π < ϕZ +Φ u = -Zcos>,-Zsen>, Z% ‖ϕZ +Φ u ‖ = Z √ 2 F ( Φ )=( Z − Zcos5 )
F =Z − X
C. *% .
6
>
.
F ( Φ )
∬ √ 2 ( z − z 2
2
Z √ 2 = √ 2
cos5 ) ⅆZd5
D
$% G=
x
3
√ 5− 4 Z %
2
2: 0
2
z − z cos5 ¿
1
2 π
0
0
= √ 2∫ zⅆz ∫ ⅆθ = ! √ 2 π 5
S=
¿
Φ ( / ⋅ 5 )=¿
Hcos>, Hsen>, 1-
/
2
%
ϕ / + Φu=( cos5 , sen5 ,− 2 / ) + (− /sen5 , /cos5 , 0 )
‖ϕ / + Φu ‖=‖( 2 / 2 cos5 , 2 /2 sen5 , / ) ‖= / √ 4 /2 + 1
G 2 π 1
Φ ¿= / cos 5 √ −4 / + 1 3
3
2
2 π 1
2 π
∫∫ 6 (Φ )‖ϕ +Φ ‖d/d5 =∫∫ / cos 5 ( 1−16 / ) d/d5 = 0 usando (as $o#1u(as de 2a(%ss ya que∫ cos 5 4
/
0.
4
3
u
0
0
0
2
F =( xy , 0,− z )
7.
3
0
Gac+a a(era a"rees del cono z=
√ X + y en"re z=0 & z=1. 2
2
6arame"r+zamos S =
Φ ( Z ∇ 5 )=( Zcos5 ,Zsen5 , Z )
F ( Φ ( Z ⋅ 5 ) ) =( z cos5sen5 , 0,− z ) D {0 . u. 2 π , 0 . z. 1 2
2
ϕZ +Φ u
= -Zcos>,-Zsen>,Z%
ϕ
¿
u
¿
= − z
3
2
cos 5
sen5 − z
3
F ( Φ ) ¿ 2 π
1
∬ − z cos 5 sen5 − z ⅆZd5 =∫− z dZ ∫ d5 = 3
2
3
3
D
8. Ver+car el eorema.
0
0
∫ ∇ xFⅆδ =∮ Fⅆδ s
c
π 2
*%
2
F =(2 y , 3 x ,− z )
/) ron"era del pr+mer oc"an"e &
x + y+ z =1
∇+ $ =( 0 −0,0− 0,3−2 )= ( 0,0,1 ) z =− x − y −1 N =( 1,1,1)
∇+ $ N ¿
∫
%=1
1
x
1
0
0
0
1 dxdy x dx = = ∫ ∫ ∫ = 2
1 ⅆxdy
s
*ora por +n"e3ral de l@nea a s(perc+e es"B d++d+da en 5 pa"es '(e llamaremos S1, S!, S5. S 1=( 1−t ,t , 0 ) S 2= ( 0,1−t , t ) S 3 =( t , 0,1−t ) /e1"(aza1osen e(ca1"o cada una y 7ace1os (a %nte*#a(
Pa#a S 1 $ ∗ N =( 2 t , 3 −3 t , 0 ) (−1,1,0 ) =−2 t + 3−3 t 1
∫−2 t +3 −3 t dt = 12 0
Pa#a S 2 $ ∗ N =( 2−2 t , 0, t ) ( 0 ,−1,1 ) =−t 2
2
1
∫−t dt = −31 2
0
Pa#a S 3 $ ∗ N =( 0,3 t , ( 1−t ) ) ( 1 , 0 , −1 )=t −2 t + 1 2
2
1
∫ t −2 t +1 dt = 13 2
0
1
S% su1a 1os(ost#es #esu(tadosotene1os (ue*oe( teo#e1a se cu1"(e 2
%$2
2
2
2
2
2
F =( z + y , z + y , X + y )
/)ron"era del c(adrado aco"ado
por x =8 1, y = 8 1 y e( "#%1e# octante ∇ xF =( 2 y −2 z , 2 z −2 y , −2 y ) N =( 0,0,−1 ) 1
1
0
0
∫∫ y dydx=1 ∫ ∇+ $ⅆs=∫ ¿
2 yⅆs=¿ 2
s
s
47o#a con (a ot#a%nte*#a( ! / ( x ∇ y )=( x , y , 0 ) con D { 0 . x . 1, 0 . y . 1 } 1
1
∫∫ X +2 y 2
0
9.
d / =( 1,1,0)
2
dydx =1
0
∫ ∇ xFⅆδ s 2
2
a ¿ F =(2 Z , 3 X , 5 Y )
S=
Z=4 − X − y
2
X=Hcos> Y=Hsen>
Φ ( / ⋅ 5 )=( /cos5 , /sen5 , 4 − / ) 2
D {0 . / . 2, 0 . 5 . 2 π
< ϕ / + Φu = cos>, sen>,-!H% + (− /sen5 ,/cos5 , 0 ) =( 2 / cos5 , 2 / sen5 , / ) 2
2
∇ xF =(5,2,6 /cos5 )
(∇ xF )
ϕ / + Φu ¿
=10
2
2
2
/ cos5 + 4 / sen5 + 6 / cos5 d/d5
2 π 2
∫∫ 10 / cos5 + 4 / 2
0
2
2
sen5 + 6 / cos5 d/d5 = 0
0
Ya que(as %nte*#a(esdecos5 ,sen5 en ese %nte#'a(o anu(an(a %nte*#a( !
b% Io se p(ede eal(ar
∫ ∇ xFⅆδ &a '(e la s(perc+e no s
es aco"ada, por lo '(e no podemos (sar es"e "eorema.
10. a% 6robar el eorema de ?a(ss F =( y − x , y − z , 5 y ) acota "o# x = 8 1, y =8 1, z =8 1
∫ Fⅆs=∭ ∇ F ⅆ' s
D
Garemos pr+mero la par"e de la d+er3enc+a en"onces) ∇ F =
∂ M ∂ N ∂ P + + =−1+ 1+ 0=0 ∂ X ∂ Y ∂ z
∭ ∇ F ⅆs=0 Es"o no +nd+ca '(e el A(o en el c(bo se an(la D
en"re s(s caras & lo probaremos ac+endo el A(o para cada s(perc+e '(e orma a S c(bo. Ya '(e)
∫ Fⅆs =∫ Fⅆs+∫ Fⅆs +∫ Fⅆs+∫ Fⅆs+∫ Fⅆs +∫ Fⅆs s
s1
s2
s3
s4
s5
s6
S+endo S1) Z=1, S4) Z=-1, S!) Y=1, SC) Y=-1, S5) X=1, SD X=1. 6ara S1)
D {−1 . x. 1,−1 . y . 1
NF = ( 0,0,1 ) ( y − x , y − z , 5 y ) 1
<
= D&
1
∫ ∫ 5 y dydx= 0 yaque y en%1"a# y e( %nte#'a(oes s%1et#%co −1 −1
6ara S4)
D {−1 . x. 1,−1 . y . 1
< NF = ( 0,0,−1 ) ( y − x , y − z , 5 y ) 1
= -D&
1
∫ ∫ −5 y dydx=0 ya que y en %1"a# y e(%nte#'a(o es s%1et#%co − 1 −1
6ara S!) NF = ( 0,1,0 ) ( y − x , y − z , 5 y ) =1− Z
D {−1 . x. 1,−1 . z . 1
<
1
1
∫ ∫ 1−Z dZdx= 4 −1 −1
D {−1 . x. 1,−1 . z . 1
6ara SC) < 1
1
∫ ∫ 1+ Z dZdx=4
NF = ( 0,−1,0 ) ( y − x , y − z, 5 y )=1 + z
− 1 −1
D {− 1 . y . 1,−1 . z . 1
6ara S5)
<
NF = (1,0,0 ) ( y− x , y − z , 5 y ) = y −1 1
1
∫ ∫ y −1 dZdx =−4 −1 −1
D {− 1 . z . 1,−1 . y . 1
6ara SD)
<
NF = (−1,0,0 ) ( y − x , y − z , 5 y )=− y −1 1
1
∫ ∫ − y −1 dZdx =−4 − 1 −1
(e3o "enemos al s(mar "odos los res(l"ados)
∫ Fⅆs=0 +0 + 4 + 4 −4 − 4 =0 4s%que secu1"(e e(teo#e1a ! s
b%
F =( X ,−2 xy , 3 xz ) P#%1e# octante acotado "o# X + y + z =4 2
2
S=
Φ ( ϕ ∇5 )
ϕ
= !sen
2
2
cos>, !sen
ϕsen5 , 2 cosϕ ¿
ϕϕ +Φ u
=
!cos>cos
ϕ, 2 sen5cos5 ,−2 senϕ ¿ + (−2 senϕsen5 , 2 senϕcos5 , 0 )
= 4 F
Φ ¿=¿
4
2
sin ϕ 2
2
cos5 , 4sin ϕ sen5 , 4 senϕcos5 ¿ 2
sin ϕ cos 5
,-8
2
sin ϕ
cos5sen5 , 12 senϕ
co5 scoϕ s¿
π / 2 π / 2
∫∫ F 0
Φ ¿( ϕ ϕ +Φu )
d5dϕ
0
π / 2 π / 2
∫ ∫ 16sin ϕ cos 5 −32sin ϕ sen5 cos5 + 48sin ϕ cos ϕ cos5 d5dϕ = 4
0
3
4
2
2
2
0
1C5
48
π 16
% 1%
∭ ∇ F ⅆ'
*ora
π
¿
16
2
3
%
-
π
5!5
16
1
¿( ) 3
π
= 5 ∇ F = (3 x )
D
∭ 3 x ⅆ' donde D { 0 . ρ . 2,0 . 5 . π 2 , 0 . ϕ. π 2 } D
∭ 3 ( ρ sen ϕ) ρ sen ϕcos5 dρdϕⅆθ=3 ∭ ρ sin ϕ cos5 dρdϕⅆθ = 5J4 2
3
D
2
D
π 4
K=5
π
11- Gallar la ec(ac+n del plano "an3en"e a la esera de rad+o !. a% >na s(perc+e parame "r+zada en coordenadas esLr+cas. S = Φ ( ϕ ∇5 ) = !sen ϕ cos>, !sen ϕsen5 , 2 cosϕ ¿ en el p(n"o
√ 2 , √ 2 ¿ 2
2
ϕϕ +Φ u
=
ϕ, 2 sen5cos5 ,−2 senϕ ¿ + (−2 senϕsen5 , 2 senϕcos5 , 0 )
= 4
2
sin ϕ
2
cos5 , 4sin ϕ sen5 , 4 senϕcos5 ¿
ϕϕ +Φ u=( √ 2 , √ 2 , 2 )
!cos>cos
Ecp"= ;-
x 0 , y − y 0 , z − z 0 ¿( √ 2 , √ 2 , 2 ) 2 √ 2
= 2 √ 2 cosϕ= 2 √ 2 + 2
cos> 2 √ 2 sen
ϕ
sen
=0 ϕsen5
4 2
∇ F = (2 x , 2 y , 2 z ) e'a(uadoen "
Ecp"= ;=0
2
F = X + y + z
b% S(perc+e de n+el de
2 √ 2 ¿
= !,!,
x 0 , y − y0 , z − z 0 ¿(2,2,2 √ 2 )
2
= ;-
=I 1 , y −1 , z −√ 2 ¿( 2,2, 2 √ 2 )
!;!& 2 √ 2 Z =8 c% a 3raca de ?;,&% = √ 4 − X − y 2
(
∇9 =
2
)
−1 1 − , , 1 :;4)54ND< :N " 2 2 2 2 4 4 √ − X − y √ − X − y ∇9 =(
Ecp"= ;-
−1
√ 2
,−
1
√ 2
, 1)
1 , y −1 , z −√ 2 ¿(
x
+
−1
√ 2
,−
1
√ 2
, 1)= 0
y
Z= √ 2 √ 2 1!-
(
F =
y x , − 2 2 2 2 X + y X + y
) 2
a%
∂ N ∂x
=
( X + y ) 2
( X + y ) 2
∂ M ∂y
(¿¿ 2 ) −(( X 2+ y 2)+ x ( 2 x ))/¿
=
2
¿ ¿ 2 2 ( ( X + y ) − y (2 y ))/¿
"a#a *a#ant%za# que sen %*ua(es so(o asta con %*ua(a# (os nu1e#ado#es as% que:
− X 2− y 2 + 2 X 2= X 2+ y2 −2 y 2 2
X − y
2
=
2
X − y
2
No se "uede *a#ant%za# que e( ca1"o sea conse#'at%'o ya queeste no es de c(ase = 1.
b% S+ H"% = cos", sen"%
0 .t . π
dH"% = -sen",cos"% d"
allar
∫ $d / c
FJH"%K= s+n",-cos"%
π
∫ ( s%nt , −cost ) (− sent,cost ) dt =−π 0
c¿
/ ( t )=(cost , −sent ) 0 .t.π7a((a#
∫ $d / c
d/ ( t )=(−sent ,−cost ) dt F [ / ( t )]=(−s%nt ,− cost ) π
∫ (−s%nt ,− cost ) (−sent ,− cost ) dt = π 0
d ¿ / ( t )=(cost , sent ) 0 . t . 2 π 7a((a#
∫ $d / c
d/ ( t )=(−sent ,cost ) dt F [ / ( t )]=(s%nt , −cost ) 2 π
∫ ( s%nt ,− cost ) ( sent , −cost ) dt =−2 π 0
e% a +n"e3ral de l@nea para cada s(perc+e es d+eren"e c(ando camb+a la s(perc+e & c(ando camb+a el +n"eralo. 15%- F =−∇>? "eorema de 3a(ss.
2
F =−( 2 X ,3 y , 2 Z )
>sando el
∇ F =−2− 6 y −2∭ −4 −6 y ⅆ' D
=o1o y esuna $unc%on%1"a# se cance(a (ue*onos queda e( 'o(u1ende (a es$e#a 1u(t%"(%cado "o#− 4
∭ − 4 −6 y ⅆ' =−16 π 3 D
14 ¿ =o1o (a su"e#$%c%e esta ec7a de cu#'as sua'esco1o c%#cu(os
y (a F es d%$e#enc%a(e cu1"(e (as cond%c%ones "a#a e(teo#e1a de¿ !
Sabemos '(e el rea del c@rc(lo ma&or es Y E rea de los pe'(eMos serB 4 π / =4 π 2
π/
2
= !D
π
1D% Sol+do
2
2
' { x 0, 0 . z . y , X + y . 4 }
*% rea de S1) 2
2
S : { X + y . 4,0 . z . y } Φ ( z ⋅ 5 )
= !cos>,
D {0 . z .
! sen5 ,z ¿
!
π , 0 .5 . 2
<
‖ϕ z + Φu ‖= ‖( 0,0,1 ) + (−2 sen5 , 2 cos5 , 0 )=( 2 cos5 ,−2 sen5 , 0 ) ‖ = ! π / 2 2
2
∫ ∫ dzd5 =a(cu(e e( @#eade( c%(%ndo co1"(es% co#ta# "o# z= y "a#a(ue*o d%'%d%#(o ent#e dos ! 4s% que : 0
0
π / 2 2
2
π / 2
0
0
∫ ∫ dzd5 =∫ dz ∫ d5 = π 0
0
D ¿ =a(cu(a# e( $(uAo a"(%cando e(teo#e1a de (a d%'e#*enc%a
∫ Fⅆs=∭ ∇ F ⅆ' )a su"e#$%c%e esta $o#1ada "o# ot#as 3 #e*%ones "o# (oque B s
D
∫ Fⅆs=∫ Fⅆs +∫ Fⅆs+∫ Fⅆs s
s1
s2
s3
S 1: z = y Φ =( 0, y , y } )a no#1a( a esta su"e#$%c%e 7ac%a a$ue#a se#a N =( 0,−1,1)
)ue*o a( 7ace# F ( Φ ) N =0 4s%que $(uAo es :
∫ Fⅆs=0 s1
π 2 2 S 2: X + y =4 / ( u ) =(2 cos5 , 2 sen5 , 0 ) 0 .5 . 2
F ( / ) N =( 2 cos5 , 2 sen5 , 0 ) ( 0,0,− 1 )=0 "o# (o que e( $(uAo deesta su"e#$%c%e se#a :
∫ Fⅆs=0 s2
{
}
π S 3: / ( Z , 5 ) ={ 2 cos5 , 2 sen5 , Z ) D 0 . z . 2 sen5 , 0 .5 . /Z + /u
= 0, 0, 1%
2
+ (−2 sen5 , 2 cos5 , 0 )= (−2 cos5 , −2 Sen5 , 0 )
neces%ta#e1os e( cont#a#%oas% que−( / Z + / u )=( 2 cos5 , 2 Sen5 , 0 ) F ( / )= (2 cos5 , 2 sen5 , Z ) π
∫ Fⅆs =∫ − F ( / ) ( / s
π /2
2 2 sen5
∫∫
+ / u ) ⅆs =
Z
s
0
4 dzd5 =
0
∫ 8 sen5 d5 =8 0
∭ ∇ F ⅆ'
46
D
F =( X , Y , Z ) ∇ F =3 donde D {0 . Z .Y , "e#o a( usa# (at#ans$o#1ac%ona co#denadas es$e#%castene1os 0 .Z. /sen5
π . }
0 . / . 2, 0 . 5
2
2
/ d/ 2 π
2 π
0
0
∫ sen5 d5 ∫ ¿= 8 2
¿
/ sen5 d#d5 =3 ¿ 2
∫¿ 0
π 2
∭ ∇ F ⅆ'=∭ 3 ⅆ' =3∫ ¿ D
D
0
*s@ '(e se c(mple el "eorema. 1C%
2
s 1: z = X + 2 y
2
s!) z=4-
2
X
a% /alc(lar el ol(men del sol+do N. 2
2
2
X + 2 y . z. 4 − X , so#e e( "(ano xy tene1os 2
2
X + y =2 , entonces x= /cos5 , y= /sen5 ,Z = Z , 6 = /
2
2
2
2
2
2
D { / cos5 + 2 / sen5 . z . 4 − / cos5
,
0 . / . √ 2 , 0 . 5 . 2 π }
2 π √ 2
∭ ⅆ' =∭ / ⅆ'=∫ ∫ / ( 4 − / cos5 − / cos5 −2 / 2
;
D
0
2
2
2
2
sen5 ) 2
0
2 π √ 2
2 π √ 2
∫∫ / ( 4 − / cos5 − / cos5 −2 / sen5 ) =∫∫ / ( 4 −2 / ) 2
0
2
2
2
2
2
2
0
0
2 π √ 2
0
2 π √ 2
∫∫ / ( 4 −2 / )=∫ ∫ 4 /−2 / = 4 π 2
0
0
3
0
0
¿ =a(cu(a# e( $(uAo de( ca1"o F =( x , y , z)
∇ F =3 (ue*o
∭ ∇ F ⅆ'=∭ 3 ⅆ' ! D
D
2 π √ 2
3
∫∫ / ( 4 − / cos5 − / cos5 −2 / sen5 ) 2
0
2
2
2
2
2
0
2 π √ 2
3
2 π √ 2
∫∫ / ( 4 − / cos5 − / cos5 −2 / sen5 ) =3 ∫∫ / ( 4 −2 / ) 2
0
0
2
2
2
2
2
2
0
0
2 π √ 2
2 π √ 2
∫∫ / ( 4 −2 / )=3 ∫ ∫ 4 / −2 / =12 π 2
5
0
3
0
0
0
∮
c ¿ ca(cu(a#(a %nte*#a(de (%nea Fⅆδ c
) ⅆ4 =0 ya que∬ (0 −0 ) ⅆ4 =0 ∮ Fⅆδ =∬ ( ∂∂ N x − ∂∂M Y c
D
D
∇+ F =( 2 y , − x , 1 ) / ( / , u )=( /cosu , /senu , / 2 )
17%
{
D 0 . /.cosu ,−
π
/ / + / u=¿
/
2
-!
2
π 1 1 2 .u . , =( x − ) + y 2 4
2
2
cos(,-!
/
2
}
sen(, H%
/ (¿ ¿ / + /u )=−4 / senucosu+ 2 /3 senu cosu + / (∇+ F ) ¿ 3
π 2
cosu
∫ ∫ −4 / senucosu +2 / senucosu + / d/du 3
−π
3
0
2
π 2
∫ −
π
−4 / 4 4
senucosu + 2
/
4
4
2 cosu
senucosu + / |0 du
2
π 2
2
∫ −senucosu + 2 senu cosu + 2 cosu du = π 4 5
−π 2
1
5
1
*pl+cando las rm(las de al+ss &a '(e ablamos de (na s(perc+e cerrada.
=a(cu(e e(t#aaAo #ea(%zado "o# e( ca1"o!
18%
F =( XY ,Y , −YZ ) So#e / ( t )=( t ,t ,t ) 0 .t . 1 2
a%
F ( / )=( t , t ,−t ) d/ ( t )=( 1,2 t , 1 ) 3
2
3
1
∫ ( t ,t ,−t ) (1,2 t , 1 ) dt =¿
F ( / ) d/ ( t ) dt =
3
2
3
0 1
∫¿ 0
1
1
∫ t + 2 t −t dt =∫ 2 t = 12 3
3
3
3
0
0
¿ F = ( Z , X , Y ) / ( t )=( sent , cost ,t ) 0 .t . 2 π F ( / )= (t ,s%nt , cost ) d/ ( t ) =( cost ,− sent, 1 ) 2 π
∫
F ( / ) d/ ( t ) dt = ( t , s%nt , cost ) ( cost ,− sent , 1 ) dt =¿ 0 2 π
∫¿ 0
2 π
[
]
+ sent | ∫ tcost − s ⅇn t +cost dt =tsent +cost − t 2 − sentcost 2 2
0
2 0
=−π
c%
∫ xyⅆx +( x + y ) ⅆy =
entonces sae1os qu%enes F =( xy , x + y ) )a $%*u#a que se $o#1a es un t#%an*u(o , de(cua( "ode1os saca# una ecuac%on y =− x + 1 y de $o#1a "a#a1et#%zada / ( t )=( t , −t + 1 )
F ( / )=( t + t , 1 ) d/ ( t )=( 1,−1,0 ) 0 . t . 1 2
1
1
∫ F ( / ) d/ ( t ) dt =∫ −t dt =−31 2
0
0
