203057 21 Trabajo Colaborativo 2Version1

CALCULO MULTIVARIADO CÓDIGO: 203057 FASE 2: TRABAJO COLABORATIVO 2

Presentado a: JOSE ADEL BARRERA Tutor

Entregado por: Andrés Fernando Gómez Luis Antonio Velasco Maryan Natalia Salazar Valenzuela Código: 1.061.747.322 Yaneth Andrea Argoty Código: 36861082 Ricardo Javier Benavides Bastidas

Grupo: 203057_21

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD UN AD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 15 de abril del 2018 POPAYÁN

INTRODUCCIÓN

Con el desarrollo de esta actividad de la fase 2 de la unidad 2: Derivación de funciones de varias variables se evidenciará el desarrollo de cuatro ejercicios y un problema de aplicación donde se trabajó las temáticas de derivadas parciales, derivadas direccionales y gradiente, máximos y mínimos, elementos diferenciales en coordenadas cilíndricas y esféricas y por último elementos diferenciales en coordenadas generalizadas y jacobiano.

INTRODUCCIÓN

Con el desarrollo de esta actividad de la fase 2 de la unidad 2: Derivación de funciones de varias variables se evidenciará el desarrollo de cuatro ejercicios y un problema de aplicación donde se trabajó las temáticas de derivadas parciales, derivadas direccionales y gradiente, máximos y mínimos, elementos diferenciales en coordenadas cilíndricas y esféricas y por último elementos diferenciales en coordenadas generalizadas y jacobiano.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD Repartición de ejercicios: 1

2

3

4

5

A

A

A

A

A

Luis Antonio Velasco

B

B

B

B

B

Maryan Natalia Salazar Valenzuela

C

C

C

C

C

Yaneth Andrea Argoty

D

D

D

D

D

Ricardo Javier Benavides Bastidas

C

C

C

C

C

Andrés Fernando Fernando Gómez

    

1. Calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observar que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales. 11 , 22 , 12 = 21

a.

,,    + ; 1,1  42  52  4 5 4    4  5         4  5   4  5 4  5  22  4  5 2 4  5 ( )  10   4  54  5

Primero hacemos las derivadas respecto a x, y respecto a y.

Tratamos la y como constante y usamos la regla del cociente para derivar:

Ahora calculamos calculamos otra vez la derivada derivada respecto respecto a x

  10   4 54 510  4 514 5 10   4 5 4 5−  1 120    10  4 54 512 4 5  4 5    2  10     4 5  4 54 5           3 4  5  4 5 154 5   10 4 54 5          3 4  5  4 5 15  10 4 54 54  5        3 4 5 4  5 5  10 4 54 5      120  4 5  4 54 5   2    4 52  4 5 5    4 5      4 5  4 5   4 5  2 4 5 2 4 5 ( )

Usando la derivada del exponente y la regla de la cadena:

Ahora buscamos la

:

Ahora calculemos

Tratamos la x como constante y usamos la regla del cociente para derivar:

 8   4 54 5   8   4 54 5 8  4 514 58   4 54  5−

Ahora calculamos otra vez la derivada respecto a x

Tratamos la x como constante:

Aplicando la regla de la cadena:

8  4 514 515 4 5  120  4 5    2  8     4 5  4 54 5         3  4  5   4 5 124 5   8 4 54 5          3  4  5   4 5 12 4 5  8 4 54 5            3 4 5   4  5 4  120  4 5  8 4 54 5  4 54 5     ,  − ;2,2

Ahora calculamos la otra derivada parcial:

De este modo podemos corroborar que b.

  −−− 1  −−−   −       0  2    1  2    2              1              0  2    1  2   2                2              2           2   2    2 2   2             2          2           2      2   2     2   ,   , 2;   , 

C.

Derivamos con respecto a

∂∂x ,2 2 ∂∂y ,  2  ∂∂x  ,4 2 ∂∂y  , 2 ∂∂x∂y   2 2  ,22 ∂∂y∂x     2  ,22 ,  , , ;2, 4  ,               ∗   ; ∗    ,  cos   ∗  cos cos∗  ∗        ∗    ∗ Derivamos por segunda vez dx y dy

Ahora derivamos dx y dx con respecto a y y x respectivamente

Se cumple que



D

Segunda derivada

   ,  cos   ∗   ∗ cos  cos∗ D22

D12

Aplicar la regla de cadena

 cos∗      ∗" ∗"   cos∗        ∗    cos  ∗   cos ∗  ∗  cos    ∗   ∗ , ∗    ∗    ∗

Entonces

   ∗  ∗  cos   ∗     ∗" ∗"    1 ∗1 ℎcos cos∗  cos∗   ∗     ∗" ∗"   cos∗    ∗   cos  ∗   cos ∗  ,  cos     ∗       1  ∗1  ∗   ∗

X se comporta constante

Aplicar la regla de cadena

, − cos ;0,0

E.

Evaluando en el punto

,  − cos 0,0 0,0 − cos01 , − sin 0,0 0,0 − si n 00  , − sin :

Ahora se calcula la derivada parcial mixta:


:

Ahora se toma de nuevo la ecuación original y se deriva respecto a :



A partir de esta se puede calcular la derivada de segundo orden derivándola de nuevo respecto a la misma variable independiente o también la deriva da parcial mixta derivándola respecto a :


,  − cos 0,0 0,0− cos01 , − sin 0,0 0,0 − si n 00 − sin :

Ahora se calcula la derivada parcial mixta:


:

Comparando las derivadas parciales mixtas:

2. Diferenciales 2.1 El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es ±0.1 milímetros. Las dimensiones de la caja son x, y, z, en centímetros, como se muestra en la figura. Utilizar dV para estimar el error propagado y el error relativo en el volumen calculado de la caja.

A. x = 40 cm; y= 15 cm y z= 10 cm

±0.1        1510±0. 0 14010±0. 0 14015±0. 0 1 ±0.01 600±0.01 1501150 ±0.01 400 ±0.01±11.5  40∗15∗106000    ±11.60005 ±0.19% 60  ; 25 ; 20 

Sabemos que el volumen de la caja está determinado por la multiplicación de las tres dimensiones es decir En primer lugar notemos que

milímetros es igual 0.01 centimetros.

De este modo:

Luego obtenemos que:

Ahora reemplazando los datos obtenemos:

Como el volumen está determinado por:

Podemos obtener que el error relativo es:

B.

,,     ∆∆ ∆≅≅∆∆∆ ; ∆∆ ∆       ∆    ∆    ∆≅ 2 5∗2060∗2060∗25 0 , 0 1      ∆≅ 3 200 0 , 0 1 32   6025322030000     ∆   0,001067  0,106667% .   20 ;  25    30          ±0.01cm  25300. 0 120300. 0 120250. 0 1 25300. 0 120300. 0 120250. 0 1 7.565±18,5 20253015000  Error propagado Error relativo 

C

El volumen de la caja viene dado por V=xyz entonces,

0.1mm =0.01cm

El error propagado seria:

El error relativo seria: Si



D x = 55 cm; y= 25 cm y z= 16 cm

∗∗ ± 0.10.01        55 25  16 16 ±0.±00.14010 25400 ± 0. 0 14015 ± 0. 0 1  400±±0.0.0011 600±0.01 011400 ±14  ∗∗  55 ∗ 25 ∗16 22000  ± 22000 14   ±0.00063±0.063%

Datos

Error relativo

E. x = 72 cm; y= 35 cm y z= 25 cm

El volumen de esta figura geométrica está dado por:

        

Y el diferencial de este volumen será:

Operando se llega al resultado:

,  ,    ±0.01 cm 35cm25cm0.01cm72cm25cm0.01cm72cm35cm0.01cm 51.95 cm    ∗100%   72cm51.9255cmcm35cm63000 cm   6300 ∗100%0.08%

Usando el hecho que

son los diferenciales que dan el error en cada una de las dimensiones

Se reemplazan los datos:

Evaluando:

Para calcular el error relativo:

Se evalúa el valor del volumen



2.2 En los ejercicios evaluar (2,1) y aproximar Δ .







(2.1,1.05) y calcular Δ , usar el diferencial total d para

, 32

       2 , 1 3 2 2 1 4 2 2.1,1.0Δ53 2 . 1 1 . 0 54. 2 4. 2 40. 2 d32        ,   16  ,  16    →  2;  2   22 ; 2;1 0,1 ; 0,05 ;  2,1  16 2  1 16511   2    2 2 0 , 1 1 0 , 0 5  0, 5 ≈ ∆ 2,1 ; 1,0 5 , 16 2,1  1,05 10.4875 A.

B.



C.

Solución

El diferencial total



para esta función es;

     ,    ;                  2.12    1,051∆ 0,1  ∆ 0,5    0,1 0,1 0,5   0,1 0,1 0,1 0,5 Derivamos la función con respecto a x y a y

Remplazamos

Ahora evaluamos



E.

d

,  4 4 Δ

Para calcular

Reemplazando:

 ,70,1≈ 0,∆5 2,21.1,21.05 1,05  ,,   2,12cos 1 2,1 20.99 2,11.99 2.1,1.05 2.1,1.052.1 cos1.05 2.1,1.05 2.1 0.49757 2.1,1.05 1.04490  2.12 0. 1 ∆ 1.0510. 5 ∆   0.1  0.5 ∆0.08776

se debe usar:

∆ ∆,  ∆,

 ∆ 2 . 1 , 1 . 0 5 2 , 1 Δ42.1 4Δ2. 1.0505 42 41

A partir del diferencial:

Se aproxima a

Donde

Δ,Δ

Δ

por medio de

     Δ  Δ  Δ

∆0.1, ∆0.05  8  8 Δ820.Δz2 1810.05

son las variaciones que tiene:

Realizando las derivadas

Y reemplazando en la ecuación para aproximar la variación donde

2,  1

:

3. Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos.

A.

,  1 3

Notemos que por la forma de la ecuación podemos deducir que es un paraboloide, por lo tanto la gráfica tendrá un mínimo en algún punto: Para encontrar los extremos comenzamos buscando los puntos críticos de f:

 ,22 1 3 26 Y

Notemos que estas se encuentran bien definidas para todo x,y; los únicos puntos críticos están donde se anulan ambas derivadas parciales. Para localizar estos puntos igualamos a 0 y resolvemos el sistema:

Luego

1 3 y

220  260

De este modo el punto crítico será (1,3)

 3 ≥0     ,  1  1 , 3  , 5   3   2 ,  5  3   2  2 0 →   2 02→2 330 ; 2→3 3,2 →      0 →5  3   2 3 ,  2    √ 5   3,  2    3,2,      → 3,2    ,  1      1     1 Por lo tanto el punto

es un mínimo relativo.

B.

La traza es una circunferencia Es posible que

Para



ello se utilizaran los criterios existentes y

sea un máximo

si aplican para todo

,  ≠

C.

Solución

Comenzamos buscando los puntos críticos de f.

se hallan definidas para todo x e y, los únicos puntos críticos son aquellos en que se anulan ambas derivadas parciales primeras. Para localizar estos puntos, anulamos fx y fy, y resolvemos el sistema de ecuaciones

,    1 ,    1  0    1 0  0    1 0

A menos que

 



   1 0    0,0

sean = 0 las ecuaciones

están definida para todo punto en el plano

no se podrán anular las ecuaciones excepto para

Así, si (x,y) ≠ (0,0), entonces f(x,y) 1, por tanto por la definición de extremo relativo f(0,0) = 1 es un valor máximo relativo.

APLICACION DE LOS EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

,   101264   101264  1264 10    1264 10   1236642536  1025    6 3   5 

E.

A partir de la función

Agrupamos términos para completar cuadrados:

Es un cono circular que se abre bajo el eje Comprobando esto por GeoGebra

Ahora se verifica esto hallando los puntos críticos de la ecuación:

  101264 ,  ,  , 210 

Para esto se hallan las derivadas respecto a

y luego se igualan a 0

, 212 0210 5 0212 6 5,6 , ,  ,  [ , ] ,, 2 2 , 0 5,65,62420 , >0  5,62  <0

Igualando ambas a 0 se obtiene

Se tiene entonces un punto critico

Se usa ahora el criterio de la segunda derivada para saber qué tipo de punto crítico es: Calculamos

Reemplazando:

Como se tiene en el punto crítico:

Al ser

se tiene que en punto critico es un mínimo local como se puede comprobar en la figura

4. Hallar tres números positivos x, y, z que satisfagan las condiciones dadas. a. El producto es 27 y la suma es mínima. Procedemos a plantear las ecuaciones:

De allí que:

Luego,



se tiene que es un mínimo o un máximo local, para determinarlo se debe evaluar

27  27 ,   27

 1 27  1 27

Ahora para resolver igualamos a 0 cada derivada parcial ya que los puntos x=0 y y=0 no se pueden dar ya que el producto total daría 0 y no 27:

1 27 0  1 27 27 27 27 1   1 

Así:

Así

 27  27  27  2727   : 27 27 27  3  273 3 ,   27 33 3273 3339

Despejando x en esta ecuación tenemos:

Reemplazando en la ecuación anterior:

Luego:

Reemplazando tenemos:

Reemplazando el punto crítico (3,3) tenemos que:

Luego tenemos que en este punto crítico tenemos un mínimo relativo, por lo tanto, los tres números son 3,3 y 3

   1  32 ; 2     1,32 ;  2     ,    3232    ,     2   0 ; 642 3 0 32 3 22 0 ;   6423 0 0322 ; 322 6423 ; 0 ;  0 ; 6423 {6423 → 32 2 → 322 → 16 → > 643 16 2 →6448162 →8 b. La suma es 32 y

=

2

es máxima.

Debo maximizar

Posibles puntos críticos (0,0)

(8,16)

Miremos si (8,16) es un máximo usando el criterio dela 2da derivada

 2   642 6 6443  |8,16  8,16   8,16  2 16 ∗ 6 4∗82∗8 6∗8∗16  64 16 4816 3 16 19660865536 131072 >0  8,16 <0 → 8,16 , 32 32816 32 248 es un máximo relativo de

Entonces

Los números son 8 ,16 y 8



c. La suma es 30 y la suma de los cuadrados es mínima.

Solución

   ,,,,30 ,, 300     0 2 2 2 300 22  22  300 3300 330 10 ,, 10 10 10 300    

Hallamos el sistema de ecuaciones

Remplazamos

Igualamos 1 y 2

Igualamos 2 y 3

Ahora remplazamos 5 y 6 en la ecuación 4

Dado que y es =10, x y z también son 10.

D El producto es 1 y la suma de los cuadrados es mínima. 

∗∗1

Producto es 1

Derivo con respecto a x

 1 ,  1

Derivo con respecto a y

  1         1    1  0       1  1  1  1  −  1  −−  1 10 1 ,   1 1 ,  1   1         1   0       1

Entonces

Ahora soluciono las ecuaciones

 1  1  1  1  −  1  −−  1 01 1 ,  1 1   1 1  1 0 1   1 1  1 10  11   1

Ahora

1 1 1  1 1 1 ,  , 11 1∗11 ,3

Para el ejercicio los punto críticos son (1,1,3)

E. La suma de tres números positivos es 30. El primero más el doble del segundo, más el triple del tercero suman 60. Elegir los números de modo que el producto de los tres sea el mayor posible.

Planteamiento: Sean X,Y y Z los tres números, entonces claramente lo que tenemos que maximizar es el producto xyz. Como son tres variables, se tratará de expresarlo en términos de una única variable, que puede ser X.

xyz30 x2y3z60 xyz30→30→         : x2y3z60→x2y33060 2xy6090→2xy30→transpongo: 2xy30 2xy30→y302x

Para ello tenemos un par de condiciones adicionales:

De

Resuelvo operaciones indicadas y reduzco:

Despejo y:

Sustituyo en Z:

zx302x30→xz xyz302→2 30 →f x2x 30x

Función a maximizar:

Teniendo ya función en una variable, se pueden calcular máximos y mínimos:

′x6x 60x→6xx 100→Despejo x:  0   10 ′ 10 <0 x 1260→ ′ 10→se tiene un máximo Z10 y Y30 2 ∙ 1 0 302010→ ∴

Se calcula segunda derivada:

Entonces

5. Después de que fue desarrollado un nuevo turbopropulsor para un motor de automóvil, se obtuvieron los datos experimentales siguientes de velocidad y en millas por hora a intervalos x de tiempo en segundos. Hallar un modelo cuadrático de regresión de mínimos cuadrados para los datos y estimar la velocidad para 30 segundos y 3 minutos. A. Tiempo, x

0

2

4

6

10

Velocidad, y

0

15

30

50

70

⁄

 / ℎ / ∗ 

Primero debemos pasar los datos que están en



0 2 4 6 10 22

0

a

0

0

6.7056

13.4112

4

13.4112

53.6456

16

22.3528

134.1168

36

31.2928

312.928

100

73.7624

514.1025

156

  ̅   ̅  ,    73.75624 14.75248 ̅  225 4.4 3.2017945945946 14.752483.20179459459464.4 0.66458378378378 0.664583783783783.2017945945946 300.664583783783783. 2 01794594594630 ⁄ 3096. 7 1842 1800.664583783783783. 2 017945945946180 180576.98761 ⁄

La fórmula que debemos encontrar es Donde

y

Para encontrar estos valores encontramos:

De este modo Luego

Por lo tanto, la ecuación será:

Ahora la estimación para 30s y 3 minutos se obtiene al evaluar la función:

b.

punto 5 calculo multivariado actividad 2 x

y

t(s)

x*y

y(m/s)

x^2

t*y

t^2

0

0

0

0

3

4,469444

13,40833

9

6

11,17361

67,04167

36

9

17,87778

160,9

81

12

29,05139

348,6167

144

30

62,57222

    

Factor de conversión factor conversión

t(s)

Media x Media y

589,9667

270

0,446944

Yest(m/s) 30

69,72333

180

427,2789

6 12,5144 4

β2

2,38370 4

β1

-1,78778

compruebo con Excel

Yest= -1.78778+2.383704*t

diagrama dispersion y vs t 35 30 25

y = 2.3837x - 1.7878 R² = 0.9734

20 15 10 5 0 0

2

4

6

8

10

12

14

-5

C.



Convertimos las millas/h a metros/s

     ⁄ ∗  X

0 4



Y

Y

0

40

5 6

50

7

70

2

220

2

60

0 0 17.881 715.264 6 22.352 1.11.760 26.822 1.609.34 4 4 31.292 2.190.49 8 6 782.32 4.626.86 0 4

Tenemos que la ecuación = Hayamos b

X*Y

0 16

25 36 49 126

∑ ∑   ∑−∑∑     ∑ −∑    ∗.    5∗..5∗  8850.6  .5 8850.6 5

Y con el valor de b calculamos a

donde

y

38786.2 38786.28850.6 38786.28850.6 30302267. 38786.28850. 6 30 31/ 18038786. 2 8850. 6 0∗180 180 1.510/

Entonces

o

Ahora realizamos la estimación para 30s y 3 minutos evaluando la función

30min=180sg

Punto D

Tiempo, x

0

2

5

8

11

Velocidad, y

0

18

35

55

75

t(s)

Millas/hora

Metro/segundo

T*y

0

0

0

0

0

2

18

8.04672

16.09344

4

5

35

15.6464

78.232

25

8

55

24.5872

196.6976

64

11

75

33.528

368.808

121

659.83104

214



26 183 81.80832 La fórmula que debemos encontrar es



Donde

 ̅   y

̅  ,    81.850832 16.361664 ̅  265 5.2 3. 1 4647384  ̅   16.3616643.14647384 5.2 3.2∗10− 3.2∗10− 17.30560612 303.2∗10− 17.3056061230 30519.168 ⁄ 1803.1803115. 2∗10− 17.00930560612 1 80 ⁄

Para encontrar estos valores encontramos:

De este modo y

Luego

Por lo tanto, la ecuación será:

Ahora la estimación para 30s y 3 minutos se obtiene al evaluar la función:

E.

Tiempo, x

0

5

10

15

20

Velocidad, y

0

90

75

52

30

Dado que la velocidad y el tiempo estan dados en diferentes unidades se deben pasar a la misma escala de tiempo, por medio de la equivalencia:

36001 ℎ 

Se tiene entonces la tabla donde el tiempo esta en segundos y la velocidad en millas por segundo

Tiempo, x

0

Velocidad, y

0

5

10

15

20

3.24x10 2.7x10 1.872x10 7.2x10

Se desarrolla la tabla con los cálculos necesarios para hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados usando n=5



   3.2.274x10x10 1.2.672x100x10  2.81x10 1.7.872x10 28.5x103x10 1.44x10x10 . ,, ,. . ., }    ∑   ∑  ∗∑     =   =   ∑=  ∑= =    1   =  =   0

0

25

10

100

15

225

20

400

∑

La recta de regresión de mínimos cuadrados para.

Y

0

5

∑ 50

donde:

0

Aplicando los valores a la formula tenemos:

  50∗8. 5 8 . 5 7x10 5 3x10  575050   1125 144  15  8.53x10 14450  1.692x10

La recta de regresión de mínimos cuadrados es:

∑ 8.57

∑ 750



Está dada por

,

144  /  1.692x10 / Observando la grafica:

0,5

5,20

Se tiene que el primer dato (0,0) arruina la línea de tendencia ya que se tiene un proceso de aceleración del intervalo y un proceso de desaceleración del intervalo Es por esto que para obtener mejores resultados se ha decidido partir el problema en dos, la aceleración y la desaceleración Para el primero solo se tienen dos puntos, asi que calcular la ecuación no se debe hacer con minimos cuadrados sino con la formula de la penditente:

Donde:



Tiempo, x

0

Velocidad, y

0

3.24x10

     3.24x1050 0 6.48x10  0 0 6.48x10 /

Como es el punto de conrte con el eje cuando

por los datos definidos se tiene

Es decir que la ecuación de la aceleración para este intervalo será:

Con la grafica:

5

Velocidad vs Tiempo

y = 64800x R² = 1

350000

) o d 300000 n u g e 250000 s r o p 200000 s a l l i 150000 m ( d 100000 a d i c 50000 o l e V 0

0

1

2

3

4

5

6

Tiempo(segundos)

5,20 3.24x10 2.7x10 1.872x10 7.2x10

Ahora para el segundo intervalo de desaceleración Tiempo, x Velocidad,y

5

10

se tiene:

15

20

Se desarrolla la tabla con los cálculos necesarios para hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados usando n=4 con la mismas formulas iniciales, pero cambiando los datos a:

 3.24x10  2.1.872x10 7x10  7.8.25x103x10    50∗8. 4 8 . 5 7x10 5 3x10  575050  1.7x10  14  8.53x10 1.7x1050  4.23x10 5

10 15 20

∑ 50

∑

Aplicando los valores a la formula tenemos:

La recta de regresión de mínimos cuadrados es:

   1.2.672x100x10 2.1.841x104x10 x10

25

100 225 400

∑ 8.57

∑ 750

1.7x10 / 4.23x10 /

Observando la grafica:

Ahora se puede estimar la velocidad para 30 segundos y 3 minutos, como ambos tiempos estan incluidos en el modelo de desaceleración, se usara este para estimar los valores de velocidad:

 :

1.7x108.  /7x10304. /23x10 / 24. 1 6    / ℎ    : 1.7x10 /180 4.23x10 / 2.6x10 / Pasando este valor a millar por hora por medio de la misma transformación inicial

Pasando este valor a millar por hora por medio de la misma transformación inicial

732.5  /ℎ

CONCLUSIONES

.

203057 21 Trabajo Colaborativo 2Version1

Recommend Documents