U N A S A M 0 0 9 I Solucionario del E2 xamen
S I G M A H E T de amisión UNASAM 2009 - I ACADEMIA
Razonamiento Matemático PREGUNTA Nº 01
“los ángulos y son ángulos conjugados internos sí y solo sí l1 // l 2 , ver figura, entonces: 108º ”
Si decimos: 1. Luis llora de emoción en su fiesta promocional. 2. X canta.
3. Y espera el tren. 4. Los ángulos conjugados internos son suplementarios.
A) 1 y 3 D) 1, 4 y 5
l2
Por lo tanto, la expresión es verdadera, y consecuentemente sí es una proposición.
a i m e d a c A
H T A M G I S
5. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Son proposiciones:
l1
B) 2 y 3
C) 4 y 5 E) Sólo 2
Solución
5. “Los ángulos opuestos por el vértice son iguales”. Según la propiedad geométrica que dice: “Si dos ángulos y son ángulos opuestos por el vértice, entonces se cumple que: , ver figura”
Analizando cada una de las expresiones:
1. “Luis llora de emoción en su fiesta promocional”: Si se da el caso de que Luis llora de emoción en su fiesta promocional, entonces la expresión sería verdadera, pero si no es el caso, entonces la expresión sería falsa. Por lo tanto, la expresión, bien puede ser verdadera o falsa, de ahí que sí es una proposición. 2. “X canta”. Expresiones de este tipo, donde hay variables, no se pueden considerar ni como verdaderas ni como falsas, ya que la variable podría representar a cualquier persona, por lo tanto la expresión no es una proposición. 3. “Y espera el tren”. Esta expresión tampoco es una proposición, ya que contiene una variable en su enunciado al igual que la expresión anterior. 4. “Los ángulos conjugados internos son suplementarios”. En geometría hay una propiedad que dice lo siguiente:
La expresión es verdadera, en consecuencia, sí es una proposición.
Por lo tanto, de las cinco expresiones dadas, solo son proposiciones: 1, 4 y 5
PREGUNTA Nº 02
Los esquemas moleculares en los cuales la matriz de la verdad tiene todos sus valores verdaderos corresponden a la clase: A) Contingente C) Contradictorio E) Verdadero
B) Consistente D) Tautológico
Solución En una proposición compuesta donde su matriz contiene solo valores falsos corresponde a la clase contradictoria, si la matriz contiene una combinación de valores falsos y verdaderos corresponde a la clase contingente, y si la matriz de una proposición compuesta contiene solo valores verdaderos, entonces corresponde a la clase tautológico.
1
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PREGUNTA Nº 03 De las siguientes expresiones, ¿Cuál ejemplifica una proposición? A) Dios mío. B) ¡Hola! C) ¿Quién descubrió América? D) La filosofía es una forma de pensamiento propia del hombre E) Mi anhelo es ingresar a la UNP.
Solución
A) A B D) B
B) A B
C) A E) B
Solución Para simplificar el esquema dado, haremos uso de las leyes del álgebra proposicional.
A B B A A B A B B A A B A B B A A B A B B A A B A B B A A B A B B A A B A B B A A B A B A B A B A B A B B
a i m e d a c A
Antes de averiguar en cuál de las alternativas está representada una proposición, debemos tener en cuenta las siguientes definiciones:
H T A M G I S
Proposición.- Es toda oración o enunciado que puede ser calificado o bien como verdadero (V) o bien como falso (F), pero no las dos a la vez, sin ambigüedad.
Expresiones no proposicionales.- Son aquellas expresiones del lenguaje común que no pueden ser calificadas como verdaderas o falsas. Estas expresiones pueden ser: Interrogativas.- son aquellas que expresan preguntas.
Exclamativas o admirativas.- Son aquellas que expresan sorpresa, admiración, júbilo o emoción. Imperativas o exhortativas.- Son aquellas que originan o impiden una acción (mandato o prohibición) provocando cambios en el comportamiento de las personas.
Desiderativas.- son aquellas que expresan deseos o anhelos. Gracias a las definiciones dadas, la alternativa D, es la única que cumple con las condiciones para ser una proposición, ya que la expresión o bien puede ser verdadera o falsa, el resto son expresiones no proposicionales.
PREGUNTA Nº 04 Simplificar el esquema siguiente:
A B B A A B
A B A F A B A A A B AB
PREGUNTA Nº 05
¿Cuántos cuadrados perfectos que terminan en cero existen en la siguiente sucesión? 2 11 ; 2 12 ; 2 13 ; ... ; 2 801
A) 5 D) 6
B) 4
C) 3 E) 7
Solución A la sucesión: 2 11 ; 2 12 ; 2 13 ; ; 2 801
Podemos escribirlo de la siguiente manera: 22 ; 24 ; 26 ; ; 1602
2
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Acá podemos notar claramente que la sucesión, es una sucesión de números pares que se inicia en el número 22 y termina en el número 1602. En el ejercicio nos piden calcular cuántos cuadrados perfectos que terminan en cero están contenidos en toda la sucesión. Los números cuadrados prefectos tienen la forma k 2 , por lo tanto se tiene:
k :
k
:
x3
la siguiente
ecuación (condición
a i m e d a c A
6 ; 7 ; ... ; 40
6;
8 ; 10 ; ... ; 40
PREGUNTA Nº 07 Hallar el valor de S, si: S
64 ; 100 ; ... ; 1600
A)
10 96
D)
10 99
Yesenia cumplió años en enero del presente año (2009) y comenta: “Cuando cumpla años en el año 2012, mi edad de hoy será las tres cuartas partes de la edad de entonces”. ¿Cuántos años cumplirá en el año 2015? C) 10 años E) 15 años
Solución En el ejercicio nos piden hallar la edad de Yesenia en el año 2015, pero esto será posible solo cuando se conozca la edad actual de Yesenia, y como aún no lo conocemos, le llamaremos “x” a la edad actual en el 2009. Y según los datos del problema, planteamos el siguiente cuadro.
B)
10 98
C)
10 94
E)
10 100
A la suma:
S
PREGUNTA Nº 06
1 1 1 1 ... 18 54 108 990
Solución
100 ; 400 ; 900 ; 1600
B) 9 años
del
Como “x” representa la edad actual (en el 2009), entonces en el 2015 tendrá 15 años.
Por lo tanto, los cuadrados perfectos que terminen en cero, serán:
A) 12 años D) 13 años
x
Futuro (2015)
H T A M G I S
5;
36 ;
Futuro (2012)
3 x 3 4
x9
Si cada valor de “k” reemplazamos en k 2 se tendrá todos los números cuadrados perfectos contenidos en la sucesión. Así: 2
x
22 k 1602
Pero como la sucesión está compuesta sólo por números pares, entonces “k” tomará los siguientes valores: k :
Planteamos problema)
4x 3x 9
Luego:
Presente (2009) Yesenia
22 k 2 1602 4,69... k 40,02...
6
3
1 1 1 1 18 54 108 990
La multiplicamos por nueve ambos miembros, y se tiene: 1 1 1 1 2 6 12 110 1 1 1 1 9S 1 2 2 3 3 4 10 11
9S
1 1 1 1 1 1 1 9S 1 2 2 3 3 4 10 11 1 9S 1 11 10 9S 11 S
10 99
3
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PREGUNTA Nº 08
Además:
El servicio de inteligencia de cierto país, desea enviar mensajes a sus agentes secretos. Solo quiere utilizar las siguientes letras: V, A, M, P, I, R, O. ¿Cuántas palabras claves de cinco letras pueden formarse, si ninguna letra puede repetirse? A) 2 520 D) 1 100
B) 1 550
C) 1 850 E) 1 200
n2
a 3 3a 2 2a1 a 3 3 3 2 2
a3 5 n3
a 4 3a 3 2a 2 a4 3 5 2 3
En el ejercicio nos piden formar palabras claves que contengan sólo 5 letras de las siete que nos dan, pero éstas a su vez deben estar compuestas por letras no repetidas, o sea que estamos ante un ordenamiento lineal sin repetición. Y para ser más exactos estamos ante una permutación lineal sin repetición de “n” elementos tomados de “k” en “k”.
a4 9 n4
a 5 3a 4 2a 3
a i m e d a c A
H T A M G I S a5 3 9 2 5
a 5 17
n5
El número de permutaciones lineales sin repetición de “n” elementos tomados de “k” en “k” se calcula de la siguiente manera: n! P n,k Pkn (n k)!
;
0kn
Para dar respuesta a nuestro ejercicio, debemos hallar el número de permutaciones lineales sin repetición de 7 elementos tomados de 5 en 5. 7! 7! 7 6 5 4 3 2 1 2520 21 7 5 ! 2!
Se pueden formar 2520 palabras de 5 letras.
a 6 3a 5 2a 4
a 6 3 17 2 9
a 6 33
a 4 a 6 9 33 42
PREGUNTA Nº 10
Le preguntan a un individuo por su edad y él contesta: “Si sumamos mi edad, más tres veces mi edad, más cinco veces mi edad, más siete veces mi edad y así sucesivamente, se obtiene 4200”. Halle la edad de dicho individuo. A) 10 años D) 34 años
B) 45 años
PREGUNTA Nº 09
A) 33 D) 42
a4 a6 B) 40
Sea “x” la edad del individuo, entonces: x 3x 5x 7x 4200
C) 36 E) 49
Solución Según la regla de definición, tenemos: a n1 3a n 2a n1
C) 36 años E) 42 años
Solución
Si a1 2 , a 2 3 y la relación general a n1 3a n 2a n1 Hallar el valor de
a2 3
Si hacemos que:
Solución
P57
a1 2 ,
Factorizando “x” x 1 3 5 7 4200 Suma de números impares consecutivos
Sea “n” la cantidad de términos de dicha suma, entonces
4
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x n 2 42 100 x n 2 42 10 2
PREGUNTA Nº 12
x n 2 4200
Si a ? b 1 a 2 b 2 , calcular:
E 99999 ? 100000 A) 0 D) 199998
x 42
B) 200000
n 10
Solución
El individuo tiene 42 años.
Simplificando la definición se tiene: a ? b 1 a 2 b 2
PREGUNTA Nº 11
A) S/. 120 D) S/. 130
a ? b b2 a 2 1
a i m e d a c A
Elena repartió sus ahorros entre 15 mendigos. ¿Cuál es la mínima cantidad de dinero que pudo haber aumentado a lo que repartió para que cada mendigo hubiese recibido exactamente S/. 10 más de lo que recibió?
H T A M G I S
B) S/. 140
a ? b b a b a 1
Ahora hallamos:
E 99999 ? 100000
C) S/. 160 E) S/. 150
E 100000 99999 100000 99999 1
E 199999 1 1
Solución
Hay que tener en cuenta que el reparto de una cantidad de dinero entre un grupo de personas bien puede ser exacto o generar algún sobrante, pero como en nuestro ejercicio queremos que el reparto de dinero sea el menor posible, entonces no debe generar ningún sobrante.
E 199998
PREGUNTA Nº 13
Se define la operación matemática representado por , de la siguiente manera:
x 15 p
x 15p
Siendo a 0 , b 0
1
Afirmamos:
Ahora, sea “m” la cantidad de dinero que se aumenta 15 p 10
x m 15 p 10
2
I.
La operación no posee elemento neutro.
II.
a 0 ,
a aa
III. 3 3 0
Reemplazando (1) en (2)
¿Cuáles son ciertas?
15 p 10 x m
A) I, II y III D) Sólo II
15p 150 15p m
m 150 tendría que haber aumentado S/.150
a b 4 a b a 2 b 2 a b b4
Sea “x” la cantidad inicial del dinero
xm
C) – 199998 E) – 1
B) Sólo I
C) I y II E) Sólo III
Solución Antes de verificar las afirmaciones dadas, simplificaremos un poco la definición:
5
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a b 4 a b a 2 b 2 a b b4
II.
a b 4 a 4 b4 b4
a b 4 a 2 b 2 a 2 b 2 b4
a b
4
a aa aa
Vemos que cumple la igualdad, entonces la proposición (II) es verdadera.
a4
a ba
III. Hay que verificar que: 3 3 0 , entonces:
Ahora: I.
3
Verifiquemos si el operador posee o no elemento neutro. Veamos:
aa
30
H T A M G I S
a ee aa a ea
3 0
a i m e d a c A
Sea “e” el elemento neutro, entonces debe verificarse lo siguiente:
i)
Hay que verificar que: a 0 , a a a , entonces:
Vemos que no cumple con la igualdad, entonces la proposición (III) es falso
Las proposiciones I y II son verdaderas.
PREGUNTA Nº 14 En la siguiente tabla:
Nótese que el elemento neutro se ha simplificado, esto quiere decir que el operador no posee elemento neutro. ii)
e aa ea
En este caso el elemento neutro no se ha simplificado, pero nos damos con la sorpresa de que no es único, su valor dependerá de “a”, pues si: a 1 a2 a3
e 1 e2 e3
Y así sucesivamente. Y como por unicidad solamente puede haber un único elemento neutro, entonces el operador no tiene elemento neutro único. Así, de (i) y (ii) concluimos que el operador no posee elemento neutro Por lo tanto la afirmación (I) es verdadero.
a b c d e
a c d e a b
b d e a b c
c e a b c d
d a b c d e
e b c d e a
Si afirmamos:
I. es cerrada II. no es conmutativa III. es asociativa Entonces son ciertas: A) Sólo I D) I, II y III
B) Sólo II
C) Sólo III E) I y III
Solución Verificando las afirmaciones: I.
La operación cumplirá con la propiedad de clausura o cerradura, si y sólo si se cumple que: a, b A a b A
6
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O sea, los elementos del conjunto de llegada (cuerpo), pertenecen al conjunto de partida A. por lo tanto la proposición (I) es verdadera. II.
La operación cumplirá con la propiedad conmutativa si y sólo si se cumple que: a, b A a b b a
PREGUNTA Nº 15 Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía; si dentro de 6 años, él va a tener el cuádruplo de la edad que tú tengas, ¿dentro de cuántos años tendré 30 años? A) 18 D) 14
B) 11
C) 12 E) 10
O sea, el orden de los elementos en la operación binaria, no altera el resultado.
Solución
Pero también es de vital importancia saber que hay una forma práctica para determinar si una tabla de doble entrada cumple con la propiedad conmutativa o no. Y ésta es la siguiente:
Para una mejor identificación de las variaciones del tiempo respecto a las edades de las tres personas, haremos uso del siguiente cuadro:
a i m e d a c A
Se traza una diagonal, llamémosle diagonal principal (D.P.), ésta diagonal parte desde el vértice del operador, y si los términos equidistantes de ésta diagonal son iguales (es decir si ambos lados de la diagonal y en forma simétrica son elementos iguales) entonces la operación correspondiente es conmutativa.
6
H T A M G I S
Nótese que en la tabla los elementos equidistantes a la diagonal principal son iguales, por lo tanto el operador cumple con la propiedad conmutativa. En consecuencia la proposición (II) es falsa.
III. La operación cumplirá con la propiedad asociativa si y sólo si se cumple que: a, b,c A a b c b a c
O sea, si se asocian de dos en dos elementos diferentes, el resultado no varía.
Presente
Futuro
yo
2x
2x 6
tú el
x
x6
6x
6x 6
Según condiciones del problema, planteamos la siguiente ecuación: 6x 6 4 x 6
6x 6 4x 24 2x 18 x9
Entonces en el presente tengo: 2x 2 9 18 años. Dentro de 12 años tendré 30 años.
En nuestro ejercicio planteamos:
a b c a b c
Y verificamos según la tabla si se cumple la igualdad. a b c a b c
a a
d c
c
c
PREGUNTA Nº 16 Si f x 1 f x 3x 2 y f 0 1 , hallar f 3 A) – 1 D) – 4
B) – 2
C) 4 E) 1
Solución Según las definiciones dadas se tiene:
Nótese que cumple la igualdad, por lo tanto el operador cumple con la propiedad asociativa.
si x 0
sí x 1
sí x 2
f 1 f 0 2
f 2 f 1 1
f 3 f 2 4
En consecuencia la proposición (III) es verdadera.
f 1 1 2
f 2 1 1
f 3 0 4
f 1 1
f 2 0
f 3 4
Las afirmaciones (I) y (III) son ciertas
7
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f 3 4
A) 60 D) 30
B) 16
PREGUNTA Nº 17
Solución
a b ad bc . Halle el mayor número que c d satisface la ecuación:
Si:
x 1 1 2 x 1 2 x 3 x 2 4 3 A)– 1 D) 3
B) 6
Nos piden calcular: 5
mk
0 1 C) 4 E) 2
x 1 1 x 2 3 x 4 1 2 1 0 3 2 x
3
3
k m 2 3 5m mk mk 2 k 2
x 1 2 x
Reemplazando en 5
5
5m 5m3 m 5 3 4 5 60
m3
PREGUNTA Nº 19
3 conejos cuestan como 8 gallinas, 16 gallinas valen lo mismo que 15 cuyes. Si se sabe que 5 cuyes cuestan 20 soles. ¿Cuánto cuestan 10 conejos? A) 100 soles D) 40 soles
B) 60 soles E) 50 soles
C) 70 soles
Solución
x 6 4x 2 x 2 2
Sean:
5x 8 x 2 2 2
x 5x 6 0
x 3 x 2 0
Y notamos claramente que en la sumatoria interior la variable es “k”, permaneciendo “m” constante, de modo que si operamos la sumatoria interna, tendremos:
a i m e d a c A
Entonces hacemos uso de ésta definición y tenemos que: x 1 0 1 2 x 1 2 x 3 x 2 4 3 1
x3
H T A M G I S
a b ad bc c d
x 6 4x 2
3
m3 k 2
Solución
Como:
C) 15 E) 48
x2
Co = Ga = Cu =
Conejos Gallinas Cuyes
Hay que tener en cuenta que ambos valores satisfacen la ecuación, por lo tanto “x” tiene dos valores, pero como nos piden el mayor número, entonces:
Entonces distribuyendo los datos de la siguiente manera:
x3
3Co = 8Ga ………………… (1) 15Cu = 16Ga ………………… (2) 5Cu = S/. 20 ………………… (3)
PREGUNTA Nº 18 Calcular:
5
3
m k
m3 k 2
Multiplicando la ecuación (1) por dos, se tiene: 6Co = 16Ga
………………… (4)
8
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Igualamos las ecuaciones (2) y (4).
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación:
15Cu = 6Co
K x
………………… (5)
A la ecuación (5) la dividimos por 3 5Cu = 2Co
………………… (6)
2K x x 2
2
2
2
A la ecuación (7) la multiplicamos por 5
K x 1 x 2 1 0 2
K x 1 x 2 1 K x 1 x2 1
a i m e d a c A
H T A M G I S
Por lo tanto 10 conejos cuestan S/. 100
PREGUNTA Nº 20
K x 1 x2 1
Descartamos la ecuación con el signo menos ( – )
Si K x 2K x x 2 , x , K x 2 . Calcular:
K x 1 x2 1
Entonces calculamos:
2008 K A) 0 D) 3
2
A esta ecuación de segundo grado la resolveremos mediante el método de completación de cuadrados, así:
………………… (7)
100 = 10Co
x 2K x x K 2 x 2K x x 2 0 K
Reemplazando la ecuación (3) en (6) 20 = 2Co
2
2007 2 1
B) 1
C) 2 E) 4
Solución
Debemos tener en cuenta que el radicando de una raíz de índice par, tiene que ser necesariamente positivo para pertenecer al campo de los números reales ( ), entonces: Restringiendo la raíz cuadrada para este campo se tiene: 2K x x 0
2008 K
2007 2 1
2008 1
2 2007 2 1 1
2008 1 2007 2 1 1
2008 1 2007 2 2008 1 2007
2008 2008
2
2K x x
K x
0
2
x2 2
PREGUNTA Nº 21 ¿Cuántos triángulos se cuentan como máximo?
Como podemos ver la función K x será real para cualquier valor de “x”, entonces K x estará bien definido x . De: K x 2K x x 2
9
U N A S A M 2 0 0 9 I S I G M A T H E
A) 10 D) 13
B) 11
Solución
C) 12 E) 14
Solución En este ejercicio nos piden averiguar el número máximo de triángulos que hay en la figura, para hacerlo tendremos que imaginar la figura principal como un rompecabezas de 5 piezas (ver figura), y a cada una de ellas asignarle una letra o un número, así:
1 2
Este ejercicio bien podríamos haberlo resuelto como el ejercicio anterior, pero a simple vista se ve que sería una labor bastante extensa, la cual nos llevaría a cometer muchos errores, es por ello que usaremos un método que es muy importante en matemáticas y es el “método inductivo”. Este método consiste en analizar los casos particulares que hay en la figura dada (figuras análogas), tratando de encontrar una ley de formación coherente para luego poder generalizar (encontrar la fórmula). Así: FIGURA
LEY DE FORMACIÓN
# DE HEXÁGONOS
a i m e d a c A 1
H T A M G I S
3
5
4
1 hexágono
1
un espacio
1 2
Hay que tener en cuenta que cada una de las partes o piezas, forman una figura simple. Ahora buscamos triángulos combinando los números de las piezas; pero haciéndolo en estricto orden:
5 4 2 0 1
1;2;3;4;5 (2,3);(2,4);(3,5);(4,5) (1,2,3);(1,2,4) No hay (1,2,3,4,5)
12
1 2
dos espacios
6 hexágonos
1 2 3
tres espacios
1 2 3
Nº de figuras
Triángulos con una pieza : Triángulos con dos piezas : Triángulos con tres piezas : Triángulos con cuatro piezas : Triángulos con cinco piezas :
3 hexágonos
1 2 3 n
n hexágonos
Por lo tanto, en la figura mostrada hay 12 triángulos como máximo.
PREGUNTA Nº 22
1 2 3 n
n espacios
Por lo tanto:
Hallar el número de hexágonos. # de hexágonos
n n 1 2
En nuestro ejercicio vemos que la figura principal tiene seis espacios, por lo tanto: # de exagonos
A) 23 D) 33
B) 40
C) 42 E) 21
n n 1 6 6 1 21 2 2
PREGUNTA Nº 23 En el siguiente cuadrado ABCD cuyo lado mide 4cm, determine el área de la región sombreada
10
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A) 2 cm 2 D) 3 cm
B
C
A
D B) 5 cm 2
C) 4 cm 2
2
E) 6 cm
2
A) 2 2 u 2
C) 2 u 2
B) 2u 2
E) 3 2 u 2
D) 3u 2
Solución
Solución
a i m e d a c A
B
H T A M G I S
Trazamos las dos diagonales del cuadrado ABCD, con el propósito de encontrar áreas de igual magnitud y luego trasladarlas para que así se formen figuras conocidas. Así:
2
r
R N
M
2
A
r
2
2
P
C
Al trazar las líneas punteadas MN , NP y AN , conseguimos formar un cuadrado de lado 2u.y dos cuadrantes MBN y PNC, ambos de igual tamaño con radio 2u.
De lo anterior hallaremos el área sombreada (S) de la siguiente manera:
4 cm
Como podemos ver se ha formado una semicircunferencia de diámetro 4 cm.
SA
ABC
A AMNP A
SA
ABC
A AMNP 2A
Ahora hallamos el área sombreada:
AS
A 2
r 2 2
22 4 AS 2 2
S
r 2 R 2 2 2 2 4 4
S
22 42 4 2 4 4
MBN
A
MBN
PNC
S 4 4 2
A S 2 cm 2
S 4 4 2
PREGUNTA Nº 24
S 2 4
Hallar el área de la región sombreada, si el cuadrante tiene radio 4u
S 2 2 u2
11
U N A S A M 2 0 0 9 I S I G M A T H E
PREGUNTA Nº 25
B
C
El área del cuadrado es 40m 2 ; calcular la suma de las aéreas de las regiones sombreadas.
10
Q 10
S A
2 10
D
Q S A AQD
S
A) 12 m 2
B) 8 m 2
D) 5 m 2
1 2 10 2
10
2
a i m e d a c A C) 10 m 2
S 10
H T A M G I S E) 20 m 2
S 10
Solución
Si trazamos la diagonal BD al cuadrado ABCD, conseguimos regiones de igual tamaño, y con esto trasladamos una de las áreas sombreadas para conseguir una figura conocida y fácil de calcular. Así: B
B
C
Q
C
Q
S
A
D
A
D
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Como podemos observar el área de la región sombreada (S) es el área del triángulo AQD, y para hallarlo necesitamos la base y la altura, y esto será posible solo haciendo uso del dato que nos dan. Sea “L” el lado del cuadrado, entonces: A ABCD 40 m 2 L2 40 m 2
L 40 m 2 L 2 10 m
Ahora:
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