RAZONAMIENTO MATEMATICO

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

CAPACIDADES: CAPACIDADES : - Resuel Resuelve ve prob proble lema mass de relaci relacione oness - Inte Interpr rpreta eta juegos juegos de inge ingenio nio y diagra diagrama mass - Analiza Analiza pro proble blema mass de certez certezas, as, dete determ rmina inando ndo el el máximo y mínimo. - Elabo Elabora ra const construc rucci cion ones es numér numérica icass Cuando Abordamos un problema de esta naturaleza, nos encontramos con algunos sencillos, pero otros no son fáciles de resolver a simple vista y eso es lo que los vuelve interesantes. En este último caso es posible llegar a la respuesta de cada uno de ellos, de una manera lógica, deducida a partir de los datos mencionados en dichos ejercicios. Para afrontar con éxito estos ejercicios o problemas se sugiere: * Lee Leerr y observa observarr cuidado cuidadosam samente ente,, según según sea sea eell caso, caso, la situación descrita y lo más importante comprender sobre que trata el ejercicio o problema y luego interpretar la o las preguntas que se formulan. * Identi Identifica ficarr los dato datoss que se enc encuen uentra tran n en el enunenunciado y que son necesarios para resolverlos. A partir de la identificación se deduce y se razona. No es necesario pretender adivinar ni obtener conclusiones apresuradas. Asimismo, es recomendable resolver los ejercicios realizando siempre enfoques creativos, nuevos, que desafíen el pensamiento convencional, que conduzcan a soluciones novedosas y mejores, en cada problema. Se suele poner a prueba la habilidad de un estudiante cuando se les pide establecer o encontrar un orden en una serie de términos conocidos para él, uno de ellos es establecer la correcta relación entre términos usados para referirnos a las diversas situaciones temporales, o también a las diferentes relaciones de parentesco que tienen o tenemo tenemoss en un grupo de personas, esto suele ser un problema complicado si no hemos aprendido a formalizar nuestro pensamiento (a razonar) es decir, proceder en una determinada situación sin un método adecuado. I. JUEG JUEGO OS D DE E IING NGE ENIO NIO 1.1 RELACION RELACION DE TIEMPO TIEMPO Son relaciones que se dan referentes a los días de la semana, para enfocar de manera adecuada estos problemas se recomienda considerar la siguiente tabla: HACE

ANTES DE AYER

AYE AYER

HOY

MAÑANA

PASADO SADO MAÑANA

DENTRO

RESTA

-2

-1

CERO

+1

+2

SUMA

Ejemplo: Si el ayer del pasado mañana de hace tres días del día posterior del lunes es el pasado mañana del día anterior. ¿Qué día fue anteayer? Resolución: - 1 + 2 - 3 + 1 del Lunes = + 1 – 1 - 1 del Lunes = 0 Lunes = 1 Por tanto, anteayer fue viernes 1.2. RELACIONES FAMILIARES En estos problemas, por lo general se aprecian enunciados de difícil comprensión por lo enredado de su

Razonamie Razonamiento nto Lógico

texto, por este motivo se requiere de una atención adecuada para realizar el proceso lógico – deductivo que nos conduzca a la solución. Se sugiere para la solución de estos problemas, la construcción del árbol genealógico, considerando los niveles o grados, en función de los datos del enunciado, partiendo de la información final y en forma regresiva llegar hasta la información inicial. Ejemplo 1: La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi: RESOLUCIÓN: Relacionando del final hacia lo inicial: Hermano de mi padre : mi tío El hijo de mi tio : mi primo Hermana de mi primo : mi prima Hijo de mi prima : mi sobrino Hermana de mi sobrino: mi sobrina Ejemplo 2. ¿Cuántas bisabuelas tuvo mi abuela? RESOLUCIÓN: Ten en cuenta que cualquier persona (mi amigo, mi profesor o mi abuela) debió tener 2 padres, 4 abuelos y 8 bisabuelos. Pero como nos preguntan por «las bisabuelas», éstas debieron ser 4 1.3. INGENIOSIDADES Son situaciones planteadas de diversa índole como juegos matemát matemáticos icos , pasati empos, paradojas , estrategias, etc. que tienen relación con el tema tema a desarrollar. Las ingeniosidades tienen un carácter fundamental de pasatiempo y diversión, pero es ese mismo elemento que utilizado de la mejor manera es un mecanismo eficaz para despertar la creatividad de los alumnos. Ejemplo 1: Tres equipos de futbol FIQ, FIMM y FIEE juegan un torneo entre ellos. Después de tres partidos, en los cuales cada uno jugó contra los otros dos, tienen anotados los siguientes goles a favor y goles en contra: FIQ

G.F. 6

G.C 3

FIMM

3

6

FIEE

4

4

¿Cuántos goles se convirtieron en el partido entre FIQ y FIMM RESOLUCIÓN: RESOLUCIÓN : De la tabla podemos observar que entre FIQ y FIMM han convertido 6 + 3 = 9 goles, de los cuales, FIEE ha recibido 4 goles. Por lo tanto los 9 – 4 = 5 goles restantes, tienen que haberse convertido en el partido FIQ vs FIMM Ejemplo 2: Se tiene cinco bolsas con igual cantidad de monedas de oro donde en una de las bolsas las monedas pesan un gramo más que las otras bolsas. Teniendo una balanza ¿se podrá ubicar con exactitud la bolsa que pesa más con una sola pesada? (no se permite tanteos con las bolsas) RESOLUCIÓN: Suponiendo que cada moneda pesa 10 g y Se extrae

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 1 moneda de la primera bolsa 2 monedas de la segunda bolsa 3 monedas de la tercera bolsa 4 monedas de la cuarta bolsa 5 monedas de la quinta bolsa El peso total sería 10g + 20g + 30g + 40g + 50g = 150g Pero en la realidad en una de las bolsas las monedas pesan 11g, esto significa que si la bolsa más pesada estaría en: * La primera bolsa el peso total realmente sería 151 g. * La segunda bolsa el peso total realmente sería152 g. * La tercera bolsa el peso total realmente sería 153 g. * La cuarta bolsa el peso total realmente sería 154 g. * La quinta bolsa el peso total realmente sería 155 g. Como observamos, si se puede detectar la bolsa que pesa más ya que el peso final indica en qué bolsa está sólo verificando las cifras de las unidades de cada resultado. II. DIAGRAMAS: 2.1.DIAGRAMA DE REDES Son aquellos gráficos que representan caminos que unen dos punto. Estos caminos pueden ser en un solo sentido ó de doble sentido. EN UN SENTIDO A

B

Representa que se puede ir desde «A» hacia «B», pero no se puede regresar de «B» hacia «A». EN DOBLE SENTIDO A

B

Representa que se puede ir desde «A» hacia «B» y también de puede ir de de «B» hacia «A». La combinación de más de dos puntos con sus respectivas conexiones en uno u otro sentido es lo que determina una RED. Ejemplo: * La red vial de la ciudad de Huancayo, permite viajar directamente de la siguiente manera: * Del Centro cívico al Estadio Huancayo y al Centro de convenciones * Del Estadio Huancayo a la Zona Comercial * Del Centro de convenciones al Centro cívico y al Terminal terrestre * Del Terminal terrestre al Centro cívico y a la Zona Comercial * De la Zona Comercial al Estadio Huancayo, al Centro de Convenciones y a la Ciudad Universitaria * De la Ciudad Universitaria a la Zona Comercial. De acuerdo a lo anterior responde: 1. Si una persona se encuentra en el Centro de convención y quiere ir a la Ciudad Universitaria, ¿cuántas rutas puede usar, sin pasar dos veces por un mismo lugar? 2. Si una persona está en el Museo y quiere ir al Aeropuerto, la ruta que debe seguir es: a) Estadio – Centro cívico – Centro de convención – Terminal b) Estadio – Centro de convención – Terminal c) Estadio – Zona Comercial – Terminal d) Estadio – Zona Comercial – Centro de convención – Terminal. e) Estadio – Zona Comercial – Ciudad Universitaria – Terminal.

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RESOLUCIÓN: 1. Se construye una red siguiendo las instrucciones: Estadio Zona Comercial Centro de Convención

Centro Cívico

Ciudad Universitaria

Terminal

Respuestas: 1. Las rutas posibles son: * Centro de convención – Terminal – Zona Comercial – Ciudad Universitaria * Centro de convención – Terminal – Centro cívico – Estadio – Zona Comercial – Ciudad Universitaria * Centro de convención– Centro cívico – Estadio – Zona Comercial – Ciudad universitaria … 3 maneras 2. Analizando cada alternativa. a) No puede ser Estadio  Centro cívico b) No puede ser Estadio  Centro de convención c) No puede ser Zona Comercial  Terminal d) Si puede realizar el recorrido Estadio  Zona Comercial  Centro de convenciónà Terminal e) No puede ser Ciudad universitariaà Terminal 2.2. DIAGRAMA DE FLUJOS Son esquemas gráficos que representan instrucciones (usando las operaciones aritméticas o situaciones lógicas) cuyos resultados deben cumplir o no cierta condición para poder seguir otra instrucción. Ejemplo 1: >2

E

Si

S

No +1

El diagrama anterior indica que en «E» (entrada) se coloca un número siguiendo la flecha se llega al «rombo» donde hay una condición, si el número de E es mayor de 2, sigue la flecha hasta «S» (salida), pero si no es mayor que 2 sigue la otra flecha donde después de sumarle 1, se llega a la primera flecha y se repite el proceso. Por ejemplo, si E = 2, se llega a la condición >2

y no cumple, entonces la otra fecha

indica que hay que sumar 1, luego: 2+1= 3. Ahora el 3 sí cumple la condición y por lo tanto por «S» sale 3. Ejemplo 2 : Según el diagrama, por «E» ingresa -8, entonces al final del proceso, por «S» resultara:

Razonamiento Lógico

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Si +10

Si >10

>1

E

No

No

+2

S

RESOLUCIÓN: Por E ingresa -8, luego: .8+10=2 ¿2>1? Sí, entonces se sigue a la siguiente condición de acuerdo a la flecha. Luego: ¿2>10? NO, entonces corresponde: 2+2=4 ¿4>10? NO, entonces corresponde: 4+2=6 ¿6>10? NO, entonces corresponde: 6+2=8 ¿8>10? NO, entonces corresponde: 8+2=10 ¿10>10? NO, entonces corresponde: 10+2=12 ¿12>10? SÍ, entonces corresponde: 12-11=1 ¿1>1? NO, entonces por «S» resulta: 1

III. CERTEZAS El objetivo de estos problemas es la de escoger entre varias posibilidades la más óptima, es decir, la que con el mínimo esfuerzo estemos completamente seguros que va a ocurrir la condición planteada. Para obtener el resultado planteado asumiremos que tenemos tan mala suerte que lo que pedimos no ocurre sino, hasta el final, es decir, analizaremos el problema llevando al «caso más extremo». Ejemplo: En una urna hay 20 fichas numeradas del 1 al 20. El menor número de fichas que habrá que extraer para tener la certeza de haber conseguido una ficha que contenga un número compuesto es: RESOLUCIÓN: * Poniéndonos en el peor de los casos extraeremos primero las fichas que no contengan números compuestos 1; 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19 ( en total 9 fichas) * La siguiente ficha que se extraiga contendrá necesariamente un número compuesto.

Se observa que en cada pesada se considera lo máximo que puede haber en una de los platillos, porque si no se estaría obviando una de las bolas y quizá esta sea la más pesada y generaría error. Por tanto. 1ra. Pesada: Los platillos pesan igual por tanto estaría la bola más pesada en el suelo, pero si el 1er. Platillo pesa más que el 2do platillo se extraería 6 por lo cual tomamos el máximo. 2da. Pesada: Como los platillos y el s uelo su repartición es equitativa cada dos bolas, en cualquier caso que ya sea que los dos platillos pesan igual o uno de los platillos pesa más que el otro siempre quedan 2 bolas. 3ra. Pesada: Al tener solo dos bolas se puede afirmar en la balanza cual de ellos es la más pesada, ubicando uno en cada platillo. Respuesta: 3 pesadas V. CONSTRUCCIONES NUMÉRICAS Son figuras en las que se tienen que distribuir números para cumplir con ciertas condiciones planteadas. La utilidad didáctica está en su carácter icónico y numérico, permitiendo desarrollar diversos ejercicios para contar, ordenar los valores numéricos, escribir cifras y construir. Al resolver ejercicios sobre construcciones numéricas, los estudiantes analizan diversas posibilidades: cambio de filas, cambio de columnas, rotación de números, desdoblamiento de figuras, etc; con el cual desarrollan su creatividad, incrementan su autoestima, plantean hipótesis y comprueban resultados. Se plantean preguntas de cuadrados mágicos, sudokus, triángulos numéricos, estrellas numéricas, etc. Ejemplo: En el siguiente triángulo numérico, la suma de los números por cada lado es la misma. Si los números a utilizar son del 1 al 9. ¿Cuál es la máxima suma que se puede obtener por lado? (Cada digito se utiliza una sola vez)

Por lo tanto el número de fichas a extraer será: 9 + 1 = 10

IV. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Son situaciones de la vida diaria en las cuales no basta un análisis superficial, sino tener que relacionar el análisis lógico con el análisis matemático, de tal manera que el contenido matemático pueda ser abordado y resuelto. Problemas de máximos y mínimos son a veces fantasiosos, sin embargo encierran un gran contenido matemático que deben ser resueltos y para tal fin debemos estar preparados.

RESOLUCIÓN: Asignando variables en cada circunferencia y planteando

Ejemplo: Se tiene una balanza de dos platillos y 17 bolas de billar aparentemente iguales, pero una de ellas es más pesada, ¿cuál es el mínimo número de pasadas que debe realizarse para hallar la bola más pesada? RESOLUCIÓN: Ubicación de las bolas por cada pesada

Platillo 1

Platillo 2

Suelo Sea K la suma máxima de cada lado.

1era. Pesada

6

6

5

2da. Pesada

2

2

2

3era. Pesada

1

1

-

Razonamiento Lógico

3K = x + y + z +45 Tomando los máximos valores para x + y + z, sería 9+8+7=24 3K = 24 + 45 K = 23

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CAPACIDADES - Analiza y selecciona datos para determinar conclusiones. - Organiza la información dada para determinar conclusiones. - Diferencia los diferentes tipos de ordenamiento. - Discrimina posibilidades de sucesos asumiendo suposiciones En este capítulo encontraremos diversas situaciones en las que se requiere de la habilidad de pensar de manera clara y deductiva, considerando las condiciones o restricciones que se proponen. Como característica principal de las situaciones a resolver, se puede observar que las mismas tienen datos desordenados, los cuales se deben organizar y, de ese modo obtener conclusiones que nos lleven a la solución de las situaciones propuestas. I. MANEJO DE DATOS 1.1. ORDENAMIENTO CRECIENTE O DECRECIENTE. En este caso se trata de ordenar la información considerando los diferentes casos de comparación (mayor, menor) Ejemplo: Tres amigos: Raúl, Félix y Ricardo deciden ponerse a trabajar para afrontar sus gastos. Raúl gana menos que Félix y éste menos que Ricardo. Raúl gasta más que Félix y éste más que Ricardo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera? I. Si Ricardo gasta todo su dinero, Raúl queda endeudado II. Si Ricardo ahorra, Raúl ahorra III.Si Raúl y Félix ahorran, Félix tendrá más dinero que Raúl RESOLUCIÓN: *Ganan  Ricardo Félix  Raúl

*Pierden  Raúl Félix  Ricardo

Anali cem os las alt ern ativ as I. Si Ricardo gasta todo su dinero, Raúl debe gastar aún más, pero como Raúl gana menos, entonces quedaría endeudado (V) II. Si Ricardo ahorra gastaría menos de lo que gana, pero no se podría determinar si con Raúl sucede lo mismo (‘?) III.Si Raúl y Félix ahorran, depende del monto del ahorro de cada uno, para determinar quien tendrá más dinero (?) Rpta: sólo I es verdadera 1.2. ORDENAMIENTO POR POSICION DE DATOS En este caso se ordena la información de acuerdo a una posición establecida, generalmente las situaciones a analizar se refieren a: carreras, edificios, actividades a realizar durante ciertos días.

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Ejemplo 1. Cinco amigos trabajan en un edificio de cinco pisos. Alan trabaja en el primer piso. Marcel trabaja más abajo que Jason. Luís trabaja en el piso inmediatamente superior al de Marcel, pero debajo de Jason. El otro amigo se llama Handel ¿En qué piso trabaja Luís? RESOLUCIÓN: Primero: Identificamos que se nos pide ordenar a personas en un edificio, Haciendo un esquema: Del primer y tercer dato, se concluye que hay tres posibles ordenamientos

5° 4° 3° 2° 1°

Jason Jason Luís Marcel Alan

Luís Marcel Alan

Jason Luís Marcel Alan

Con el segundo dato, podemos eliminar la última posibilidad, pues Jason trabaja más arriba que Marcel, entonces tenemos dos posibles ordenamientos: 5° 4° 3° 2° 1°

Handel Jason Luís Marcel Alan

Jason Handel Luís Marcel Alan

Tercero: verificamos que las soluciones estén en concordancia con las condiciones dadas en la pregunta. En conclusión, nos podemos dar cuenta de que hay dos posibles casos de ordenamiento, pero que en ambos el lugar que le corresponde a Luís es el tercer piso Ejemplo 2. En una carrera participan siete personas: Fernando, Ricardo, Hugo, José, Miguel, Carlos y Bruno. Se sabe que: I. Hugo llegó después que Ricardo pero antes que José II. Fernando llegó en un puesto equidistante de Ricardo y de Miguel que llegó último III.Bruno llegó un puesto antes que –miguel pero un puesto después que Carlos y tres puestos detrás de José. ¿Quién llegó en cuarto lugar? RESOLUCIÓN: Del dato II, Miguel llegó último (7mo lugar) Del dato III, deducimos que Bruno llegó en 6to lugar, Carlos en 5to lugar y José en 3er lugar. Además del dato 2, Fernando llegó equidistante (igual distancia) a Miguel y Ricardo, entonces Ruicardo llegó en 1er lugar. Del Dato I, Hugo superó a José; pero fue superado por Ricardo. Finalmente el orden que queda es así: 7 6 5 4 3 2 1 M B C F J H R Por tanto, Fernando llegó en cuarto lugar.

Razonamiento Analítico

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 1.3. ORDENAMIENTO LATERAL. En los casos de ordenamientos laterales se hace mención a la derecha e izquierda, se recomienda que frente a dichas situaciones, se considere nuestra persona como referencia. Ejemplo 1: Sobre una mesa hay 3 naipes en hilera. Se sabe que: - A la izquierda del Rey hay un as - A la derecha de la jota hay un diamante - A la izquierda del diamante hay un trébol - A la derecha del corazón hay una jota. ¿Cuál es el naipe del medio?

sentado al lado de Leticia ni de Juana, María no está al lado de Cecilia ni de Juana, Leticia ni está al lado de Cecilia ni de María. Irene está junto y a la derecha de Leticia. ¿Quién está sentada junto y a la izquierda de María? RESOLUCIÓN: Empezaremos por el dato que dice: «Irene está junto y a la derecha de Leticia» y luego completamos con los demás datos Lucía

Cecilia

María

RESOLUCIÓN: Ten en cuenta que sólo son 3 naipes: Rey (K), as(A) y jota(J); y uno de estos es de , otro de y el otro de Es recomendable empezar a ubicar primero aquellos datos que se encuentren relacionados, como el 2° y el 4° que informan sobre la jota:

Irene Juana Leticia

Entonces, junto y a la izquierda de María está Irene J derecha

y

derecha J

Con dichos datos podemos concluir que la J se ubicará en el medio, y por descarte su figura será el trébol: Por tanto:

A♥

J♣

K♦

La carta del medio es Jota de trébol Ejemplo 2: Seis amigos (A, B, C, D, E y F) se sientan en una fila de asientos contiguos en una iglesia. Se sabe que: - A se sienta junto y a la izquierda de B - C está a la derecha de A y entre F y D - D está junto y a la izquierda de E - F está a la izquierda de B ¿Quién ocupa el cuarto asiento de izquierda a derecha?

Ejemplo 2: Tres parejas se sientan alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que: - A la derecha de la novia de Antonio se sienta Gabriel - Maritza, que está sentada a la derecha de Dora, está al frente de su propio novio - Antonio está a la izquierda de Mario - Esperanza está al frente de la novia de Gabriel ¿Quién es el novio de Dora? RESOLUCIÓN: Empecemos con el último dato, ya que nos brinda una sola posibilidad

Esperanza.

RESOLUCIÓN: IZQUIERDA Del 1er dato Del 4to dato F Del 2do dato F Del 3er dato F

DERECHA A A A A

B B B C D B C D E

1° 2° 3° 4° 5° 6° F A B C D E Por tanto el cuarto contando de izquierda a derecha es C Finalmente:

1.4. ORDENAMIENTO CIRCULAR Existen situaciones en los que algunos personajes se ordenan formando una figura cerrada, por ejemplo personas sentadas alrededor de una mesa o alrededor de una fogata. Se recomienda que al momento de realizar el ordenamiento se considere la posición del personaje del prob lema Ejemplo 1: En una mesa circular hay seis asientos simétricamente colocados, en los cuales se sientan 6 amigas a jugar monopolio. Si lucía no está


?

El lugar señalado con ? debe ser ocupado por una dama, pero por el 2° dato, Maritza está al frente de su propio novio; luego, «?» no puede ser Maritza Evidentemente «?» tampoco puede ser Esperanza. Entonces la única posibilidad es que la novia de Gabriel sea Dora. Por tanto el novio de Dora es Gabriel. 1.5. CUADRO DE AFIRMACIONES. Estos problemas se caracterizan por una relación entre varios personajes y sus respectivas características tales como aficiones, gustos, actividades que realizan, lugar de residencia, lugar de estudio, etc. Se construye una tabla de doble entrada en la cual la información se va ordenando hasta cumplir con todas las condiciones que se requiere para cada personaje. No debemos olvidar que cada personaje solo cumple con una de las características descritas en el problema.

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Ejemplo 1. Salvador, Antonio, Julio y Pedro tienen diferentes ocupaciones. Sabemos que: - Antonio es hermano del electricista. - El comerciante se reúne con Salvador a jugar naipes. - Pedro y el electricista son clientes del sastre. - Julio se dedica a vender abarrotes desde muy joven. Entonces Antonio es: RESOLUCIÓN: Se tiene como datos, un listado de nombres de personas y otra de ocupaciones; las cuales debemos de relacionarlos con los datos y establecer la correspondencia entre ellos. Para realizarlo en forma adecuada es recomendable utilizar una tabla de doble entrada. Utilizando las informaciones y ubicando la relación de correspondencia mediante un « sí» o no correspondencia mediante un « no» en las intersecciones de fila /columna. Con los tres primeros datos, se tiene que : Electr. Comerc. Sastre Salvador no Antonio no Julio Pedro no no

Con la cuarta proposición : Julio se dedica a vender abarrotes desde muy joven; este dato es afirmativo, en la intersección indicamos con un « sí» y el resto de la fila y columna rellenamos con palabras « no » Luego se tiene: Electr. Comerc. Sastre Salvador no Antonio no no Julio no si no Pedro no no no

Se observa que , en la columna del electricista, hay un casillero en blanco, y éste es afirmativo (sí) porque alguien de los cuatro personajes tiene que ser electricista (en esta caso Salvador) ; y el resto de la fila rellenamos con «no» . La tabla queda de esta manera: Electr. Comerc. Sastre Salvador si no no Antonio no no x Julio no si no Pedro no no no

Ejemplo 1. Cuatro estudiantes son interrogadas por su profesor, pues una de ellas hurtó el examen. - Katia : «Liliana fue» - Liliana : «Maribel fue - Maribel : «Liliana miente al decir que fui yo» - Zulema : «Yo no fui» Si el profesor sabe que solo una de ellas dice la verdad, ¿quién es la culpable? RESOLUCIÓN: * Recuerda que, de dos proposiciones contradictorias, una tiene que ser verdadera y la otra falsa. * Observa que Liliana y Maribel se contradicen; entonces solo una de ellas puede estar diciendo la verdad. * Puesto que de las cuatro estudiantes, solo una dice verdad, ella tiene que ser o Liliana o Maribel, por lo tanto las otras dos estudiantes deben estar mintiendo * Entonces, si Zulema dice que ella no fue, y sabemos que está mintiendo, podemos concluir que: Zulema es la culpable Ejemplo 2. El señor Carpintero, el señor Mayordomo, el señor Ingeniero y el señor Lechero están empleados como carpintero, mayordomo, ingeniero y lechero, aunque sus nombres no se corresponden con sus profesiones. Ellos afirman lo siguiente: - Sr. Carpintero : «Yo soy el lechero» - Sr. Ingeniero : « Yo soy el carpintero» - Sr. Mayordomo :»Yo no soy el lechero» - Sr. Lechero : Yo no soy el mayordomo» Si tres de las cuatro afirmaciones son falsas, quién es el ingeniero? RESOLUCIÓN: Si el Sr. Carpintero dijera la verdad, el Sr. Mayordomo tendría que mentir, lo cual llevaría a una contradicción, pues no puede haber dos lecheros. Por tanto, el Sr. Carpintero miente, y cualquiera de los otros tres dice la verdad. Se presentan entonces tres opciones, para cada una de las cuales resulta que el ingeniero es el sr Carpintero. Veamos una de dichas opciones: Sr. Carpintero ……. (F) entonces ingeniero Sr. Ingeniero …….. (V) entonces carpintero Sr. Mayordomo …., (F) entonces lechero Sr. Lechero ………. (F) entonces mayordomo Ejemplo 3. Cuatro atletas compiten en una carrera y al final cada uno hizo las siguientes afirmaciones: Liliana : «No quede primera ni última» Maribel : «Yo no quede última» Paulina : «Yo fui primera» Sara : «Yo fui la última» Si se sabe que sólo una de ellas mintió, ¿quién ganó la carrera?

De la misma manera la columna de sastre, quedaría con un casillero en blanco (X), que correspondería a Antonio. Por lo tanto: Antonio es sastre.

RESOLUCIÓN: Si Liliana mintiera, ella debería quedar primera, pero las otras 3 atletas deberían decir la verdad, así que Paulina sería primera y Sara última, lo cual contradeciría nuestra suposición

II. PRINCIPIO DE SUPOSICION En estas preguntas se hace una comparación de dos proposiciones, una es dada en la pregunta y la otra la suponemos nosotros que evaluamos la pregunta. Se obtiene una conclusión con un valor de verdad cuando ambas coinciden y se obtiene una conclusión con un valor de falsedad cuando ambos no coinciden. Se sugiere buscar informaciones que se contradicen para iniciar el análisis.

También llevaría a una contradicción suponer que Maribel miente o que Sara miente

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Si paulina miente, ella no fue primera; como las otras 3 deben decir la verdad, Liliana tampoco es primera, y Sara llega última. Por tanto, la única que pudo ganar la carrera es Maribel.



CAPACIDADES: * Identifica y representa simbólicamente las proposiciones lógicas. * *

*

Resuelve ejercicios aplicando leyes lógicas. Representa gráficamente los circuitos lógicos y construye las compuertas lógicas de una proposición lógica. Diferencia una implicación de una condicional y una equivalencia de una bicondicional

Conjuntivas (  ) : De la forma: «y»; «pero», «también»; «sin embargo», «además»; «tal como»; «aunque»; «no obstante» ; «a la vez», etc. Condicional (  ).-De la forma : "Cuando", "si", "cada vez que","ya que", "debido a que", "porque", "siempre que"; etc. En resumen tenemos:: Símbolo conector lógico

Operación lógica

Esquema

significado

~

Negación

~p

No p

razonamiento.



Conjunción

p  q

pyq

I. PROPOSICIONES



Disyunción

p  q

poq

1.1.Enunciado Frase u oración que se utiliza en el lenguaje común.

?

Disyunción exclusiva

p? q

opoq



Condicional

p  q

Si p entonces q



bicondicion al

p q

p sí sólo sí q

LOGICA PROPOSICIONAL Estudio los métodos que aplican definiciones y leyes con el propósito de determinar la validez o invalidez del

1.2, Proposición lógica Es todo enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero o falso, pero nunca ambos a la vez. Se representan simbólicamente por las letras p,q,r,s,t,...etc. 1.3. Función pro posicional Enunciado en el que interviene una o más variables que admiten la posibilidad de convertirse en una proposición lógica, cuando cada variable asume un determinado valor. 1.4. Clases de propo sici ones: Existen dos tipos: * *

Proposición simple o atómica: Aquella que tiene un sujeto y un predicado. Proposición compuesta o molecular: Combinación de dos o más proposiciones simples, enlazadas por medio de conectivos lógicos.

III. TABLA DE VERDAD Son interpretaciones semánticas de las posibilidades de verdad (V) o falsedad (F). El valor de verdad de una proposición compuesta se determina por medio de valores de verdad de sus componentes. La cantidad de conjugaciones diferentes que se generan en una tabla de verdad está dada por: No de Arreglos : 2n

n : Cantidad de variables (p, q, r, s,...) negación: p ~p V F F V

operaciones bi narias p V V F F

q p  q p  q p  q p  q p q V V V V V F F F V F F V V F V V F V F F F V V F

II. CONECTIVOS LÓGICOS: (Operadores proposicionales) Símbolos que enlazan proposiciones simples, sin formar parte de ellas, sean las proposiciones «p» y «q»,

tautología.- Cuando los valores de su operador principal son todos verdaderos.

por ejemplo:

contradicción.- Cuando en el resultado del opera-

Lógica Proposicional e Informática

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO dor principal todos los valores son falsos. consistencia.- Cuando en su resultado hay por lo

* ABSORCION:

p  (p  q)  p

menos una verdad y una falsedad.

p  (p  q)  p p  (~p  q)  p  q p  (~p  q)  p  q

IV. EQUIVALENCIAS LÓGICAS La equivalencia Una proposición A equivale a otra proposición B, si y

* CONDICIONAL:

sólo si unidas A y B por el bicondicional da como resultado una relación lógicamente verdadera. Por ejemplo sean las fórmulas A y B A= p  q B =q ~ p Para determinar si «A equivale a B», vamos a proceder

*

relacionando las dos fórmulas de acuerdo a la siguiente forma bicondicional: AB

p  q  ~ p  q

BICONDICIONAL:

p  q  (p  q)  (q  p)

VI. CIRCUITOS LOGICOS Es la representación gráfica de una o mas proposiciones, utilizando los esquemas denominados circuitos eléctricos. Así: p

Luego, sustituyendo A y B por sus respectivas fórmulas, y aplicando las tablas de verdad, se tiene:

q

:p  q

p : pq q

p V V F F

q p  q V V V V F V F F

q  ~p V V F F F F

V F V V V F F V F F

V V

V V

Son equivalentes Si una proposición A equivale a una proposición B, entonces A implica a B, y a la vez, B implica a A

VII. LOGICA INFORMATICA Denominados también como lógica binaria o lógica de conmutadores o compuertas lógicas, trata con variables que toman dos valores discretos y con operaciones que asumen significado lógico; para este propósito debemos tener en cuenta que: V=1 y F= 0 principales compuertas :

V. LEYES LOGICAS O EQUIVALENCIAS TAUTOLÓGICAS Las siguientes expresiones son lógicamente equivalentes. Por lo mismo pueden sustituirse unas por otras en todos los lugares en los que aparezcan Estas equivalencias constituyen reglas de inferen-

Compuerta NOT: p

~p

pq

cia adicionales que usaremos en las derivaciones.

Compuerta AND: p q

* INVOLUCION (Doble negació n): ~(~p)  p

Compuerta OR:

p q

pq

*

*

IDEMPOTENCIA:

COMPLEMENTO:

* IDENTIDAD

p p p P p p p v ~p  V P  ~p  F

Compuerta NAND: p q Compuerta NOR:

p q

~(pq)

~(pq)

p  V =V p F = p p V = p p F =F

* DE MORGAN:

~(p  q)  ~ p  ~q ~(p  q)  ~p  ~q

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Lógica Proposicional e Informática


CAPACIDADES * Representa simbólicamente los cuantificadores universal y existencial. * Formula negaciones de cuantificadores * Elabora gráficos de proposiciones categóricas * Deduce conclusiones validas a partir de premisas I.

CUANTIFICADORES De acuerdo al tipo de extensión se habla de UNIVERSAL si se refiere a una colección o conjunto de individuos, todos que participan o no de una propiedad; y de EXISTENCIAL si se refiere a un conjunto específico o subconjunto o al menos un individuo que participa o no de una propiedad.  = universal

( se lee: para todo........)

 = existencial

( se lee: existe algún.....)

1.1. FUNCION PROPOSICIONAL Es aquel enunciado que contiene una variable y que tiene la propiedad de convertirse en verdadero o falso para cierto valor de la variable. Las funciones proposicionales se pueden representar por p (x) , q(x) , r (x) , etc., donde «x» sería la variable. Ejemplos: p(x) : x – 2 > 18 q(x) : x2 + 4 = 16 r (x) : «x» es un número primo Si en la primera función proposicional a «x» le damos diferentes valores tendremos: Para x = 10 p(10) : 10 – 2 > 18 8 > 18 (falso) Para x = 23 p(23) : 23 – 2 > 18 21>18 (verdad) Como puede verse, dependiendo del valor de la variable podemos obtener resultados diferentes 1.2. CUANTIFICADORES UNIVERSAL Y EXISTENCIAL. 1.2.1. Cuantific ador Universal. Si a una función proposicional, le anteponemos la expresión «para todo x», estaremos indicando el sentido universal de dicha función propoisicional, obteniéndose ahora una proposición lógica. Notación: x : p(x) óx / p(x) ó(x) p (x)  Se lee: "para todo x, tal que, se verifique p (x)" Ejemplo: Si tenemos una función proposicional: P(x): x + 5 > 2 [no es proposición] y ahora le agregamos el cuantificador universal "  "  x : p(x) [proposición] x:x+5 >2 Tendremos una proposición lógica, cuyo valor es falso, porque no todos los valores de «x»

Cuantificadores y Lógica Inferencial

cumplirán la proposición, por ejemplo para x = 4, no se cumple. Entonces es falso que para todo "x", se cumpla: x + 5 > 2 1.2.2. Cuantificador existencial Si a una función proposicional, le anteponemos la expresión «existe un x tal que», estaremos indicando el sentido existencial (que exista) de dicha función. Notación x : p(x) óx / p(x)ó(x)(p(x) )

Se lee: «existe un x tal que, se verifique p (x)» « al menos un x, verifica p (x)» « existe por lo menos un x, tal que, se verifique p(x)» Ejemplo: P(x): x – 3 > 10 [función proposicional]  x : p(x)  x : x – 3 > 10 [proposición lógica] Para verificar que es una proposición lógica, podemos darnos cuenta que si x = 15, se cumple la desigualdad, ya hemos encontrado por lo menos un «x», que verifique p (x), por lo tanto es una proposición lógica cuyo valor es verdadero. 1.3. NEGACION DE PROPOSICIONES QUE TIENEN CUANTIFICADORES. * Sea la proposición  x : p(x) su negación será: ~[  x : p(x)] =  x : ~p(x) * Siendo la proposición  x : p(x) su negación será: ~[  x : p(x)] =  x : ~p(x) Ejemplo 1: Negar las siguientes proposiciones: 1)

x : x = 7 ~[  x : x = 7] =  x: x  7

2)

 x : «x» es un número par ~[  x : x es un número par] =  x: «x» no es un número par

3)

 x: x 2 > 1 ~[  x: x 2 > 1] =  x : x 2  1

17

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Ejemplo 2: Dado el conjunto: A = { 3, 4, 5, 6} Determine el valor de verdad de cada proposición: I.  x  A: x + 3 > 4 II.  x  A/ x – 5 > 1 III.  x  A/ x2 – 15 > 0 Resolución: I. Si todo elemento de A se reemplaza en x + 3 siempre resulta mayor de 4 II. En A no existe un elemento que al reemplazarlo en x – 5 sea mayor de 1 III. Cuando x = 3 reemplazamos en x2 – 15 y resulta que no es mayor de cero  El valor de verdad es VFF

CONJUNTO VACIO: CONJUNTO NO VACIO:

X

FALTA INFORMACION: Según esto tenemos: 2.3.1 A: UNIVERSAL AFIRMATIVA A  todos los S son P s

p

p s

2.3.2. E: UNIVERSAL NEGATIVA E  Ningún S es P s p s

II. INFERENCIA LOGICA 2.1. INFERENCIA.Son las deducciones a que se pueden llegar a partir de un conjunto de premisas. Para obtener estas inferencias (conclusiones) recurrimos a los diagramas de Venn-Euler 2.2. TIPOS DE INFERENCIAS 2.2.1. INDUCTIVA A partir de casos o hechos particulares se llega a una conclusión de carácter general. Ejemplo: P1: David es de Concepción y le gusta el Huayno P2: Sonia es de Concepción y le gusta el Huayno P3: Mi cuñada es de Concepción y le gusta el Huayno Entonces: C: Es muy probable que a todos los de Concepción gustan del Huayno. 2.2.2 DEDUCTIVA Cuando a partir de las premisas (generalmente de amplio contexto) se obtiene una conclusión que se deriva necesariamente de ellas. Ejemplo: P1: todos los mamíferos son animales P2: todos los felinos son mamíferos Entonces: C: todos los felinos son animales 2.3.FORMULAS CUANTIFICACIONALES Para el uso de los denominados DIAGRAMAS DE VENN, se tendrá en cuenta el convencionalismo siguiente:

18

2.3.3. I: PARTICULAR AFIRMATIVA Iº Algún S es P s p x

2.3.4. O: PARTICULAR NEGATIVA Oº Algún S no es P s p x

2.4. NEGACIONES: Negamos a la categoría y adecuamos las premisas La negación de: «Todos los S son P» es «Algún S no es P» «Algún S es P» es «Ningún S es P»

NOTA IMPORTANTE: ~( ~P)  P

Cuando el cuantificador es universal y la negación afecta al verbo copulativo (ser; estar), entonces la negación funciona como si negara al cuantificador. NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS Término Todos... Algunos... no Ninguno... Algunos

Negación L ógica Algunos... no Todos... Algunos Ninguno

Importante: Se recomienda utilizar el diagrama de VENN para las premisas dadas, considerando en lo posible la intersección.

Cuantificadores y Lógica Inferencial


CAPACIDADES: * Analiza, identifica y formula a través de situaciones particulares casos generales (razonamiento inductivo). * Interpreta, contrasta y valida las soluciones de un problema aplicando una ley general a algo en particular (razonamiento deductivo). * Desarrolla su capacidad para encontrar soluciones rápidas y minimizando su carácter operativo.

1. RAZONAMIENTO INDUCTIVO - Consiste en analizar casos particulares para que a partir de los resultados que se obtengan de ellos, nos permita establecer una conclus ión general, que luego será aplicado al problema propuesto. - Se recomienda analizar los tres casos particulares más pequeños posibles, y en caso fuese necesario un cuarto o hasta un quinto caso particular para obtener nuestra conclusión general.

Ejemplo 1: Calcule la suma de cifras del resultado, luego de efectuar

II. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO - Es el razonamiento que va de lo general a lo particular, es decir, se parte de una afirmación general (cuya demostración ya ha sido efectuada),la cual se aplica a casos particulares.

Resolución: La potencia depende del número de cifras seis, entonces por inducción: Ejemplo 1: Efectuar:

Ejemplo 2. ¿Cuántos puntos de contacto se cuentan en la figura de circunferencias?

Razonamiento Inductivo - Deductivo

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Ejemplo 2: Calcula U + N + C + P, si:

III. CIFRAS TERMINALES

IV. CONTEO DE LETRAS CASOS CONOCIDOS: 1. CASO I:

Total de formas de leer: 2 n - 1 Donde: n = N° letras de la palabra. 2. CASO II:

Total de formas de leer: 3 n - 1 Donde: n = N° letras de la palabra. 3. CASO III:

Total de formas de leer: 2 n - 1 Donde: n = N° letras de la palabra

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Razonamiento Inductivo - Deductivo

RAZONAMIENTO MATEMATICO

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