E Solucionario del xamen
EXAMEN ORDINARIO de admisión UNASAM 2010 - II ACADEMIA
Razonamiento Matemático PREGUNTA N.º 01 Dadas las premisas:
Respuesta:
Si todos los varones son fieles y algunos honestos son varones, entonces se concluye que: A) Todos los honestos son fieles. B) Todos los fieles son honestos. C) Algunos varones son fieles. D) Algunos honestos son fieles. E) Todos los honestos son varones.
PREGUNTA N.º 02 Se tiene las premisas:
a i m e d a c A
H T A M G I S
- Todos los que son políticos son honestos. - Todos los políticos faltan a la verdad.
Resolución Tema: Lógica de clases
Entonces, podemos concluir que:
A) Todos los honestos faltan a la verdad. B) Todos los que faltan a la verdad son honestos. C) Todos los políticos faltan a la verdad. D) Todos los políticos son deshonestos. E) Todos los deshonestos faltan a la verdad.
* Todos los varones son fieles V
Por lo tanto, de las premisas concluimos que: Algunos honestos son fieles. Alternativa D
F
F
V
Resolución
Tema: Lógica de clases
* Algunos honestos son varones H
* Todos los que son políticos son honestos
V
H
P
V
H
H
x
P
De ambas gráficas podemos indicar lo siguiente: F
V
H x
* Todos los políticos faltan a la verdad FV
P
FV
P Algunos honestos son fieles
1
EXAMEN ORDINARIO
PREGUNTA N.º 04
Entonces: H
Si ABC + BCA + CAB = 777 , determine 7 ( A + B + C ) .
FV P
A) 35 B) 14 D) 28
C) 21 E) 49
Resolución Respuesta: Por lo tanto, todos los que faltan a la verdad son honestos Alternativa B PREGUNTA N.º 03 En una familia Aijina hay 5 hermanos: Manuel, Carmen, Cristian, Raúl y Federico. Se sabe que:
Como dato se tiene:
a i m e d a c A
H T A M G I S
- Federico es menor que Cristian pero mayor que Raúl. - Manuel es menor que Raúl.
- Carmen le lleva 4 años a Raúl, pero es menor en 2 años que Federico.
ABC + BCA + CAB = 777
100 A + 10 B + C + 100 B + 10C + A + 100C + 10 A + B = 777
111 ( A + B + C ) = 777 A+ B+C =7
De donde:
7 ( A + B + C ) = 7 ( 7 ) = 49
Respuesta:
¿Quién es mayor de todos?
Por lo tanto, 7 ( A + B + C ) = 49
B) Manuel D) Carmen
Alternativa E
PREGUNTA N.º 05 ¿Cuántas tatarabuelas tuvo mi abuela?
Resolución
A) 2 B) 4 D) 8
Tema: Ordenamiento lineal Identificando con una inicial a cada hermano: Sea Carmen (Ca), Federico (F), Cristian (Cr), Raúl (R) y Manuel (M) Ahora, según los datos que nos dan, las relaciones son las siguientes: F < Cr , R < F , M < R , R < Ca , Ca < F Luego:
Piden calcular 7 ( A + B + C )
111 A + 111B + 111C = 777
- Carmen no es la menor.
A) Federico C) Cristian E) Raúl
Tema: Habilidad operativa
M < R < Ca < F < Cr
Resolución Tema: Parentescos • Cualquier persona tendrá: 2 padres < > 4 < > 8 < > 16 abuelos
Respuesta: Por lo tanto, el mayor de los hermanos es Cristian. Alternativa C
C) 6 E) 10
bisabuelos
tatarabuelos
• Así que, mis tatarabuelos son en total 16, por lo tanto la mitad (8) serán mis tatarabuelas, luego como esto ocurre para cualquier persona, entonces mi abuela también tendrá 8 tatarabuelas.
2 3
EXAMEN ORDINARIO
Resolución
Respuesta: Por lo tanto, mi abuela tuvo 8 tatarabuelas. Alternativa D PREGUNTA N.º 06 En una oficina se escuchó cierta conversación: “Ten en cuenta que mi madre es la suegra de tu padre”. ¿Qué parentesco une a las dos personas? A) Tío – sobrino C) Primos E) Suegro – yerno
Tema: Inducción Como se puede apreciar en el gráfico, la palabra UNASAM se puede leer de muchas maneras, demasiadas como para contarlas una por una, ya que sería un trabajo muy laborioso y correríamos el riesgo de obviar algunas, y dar alguna respuesta equivocada. Por lo tanto, aplicaremos el método inductivo. • Digamos que la palabra a leer sea “U”
B) Abuelo – nieto D) Hermanos
1 letra ⇒ 1 = 3
U
a i m e d a c A
forma
H T A M G I S
Resolución Tema: Parentescos
• Ahora que la palabra sea “UN”
Suponiendo que las personas que hablan son “A” y “B”, y considerando que “A” le dice a “B”: Mi suegra madre es la de tu padre madre de A
abuela de B
padre de B
Respuesta: Por lo tanto, según las alternativas, el parentesco familiar que une a las dos personas es el de Tío – Sobrino.
Alternativa A
PREGUNTA N.º 07 ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra UNASAM? M A
M A S
M A S A
M A S A N
M A S A N U
A) 81 B) 243 D) 729
M A S A N
M A S A
M A S
M A
UN
2 letras ⇒ 3 = 3
M
2 −1
formas
U N N N
Si la madre de “A” es abuela de “B”, entonces se tiene dos posibilidades: que “A” sea padre de “B” ó que “A” sea tío de “B”
M
1 −1
• Ahora que la palabra sea “UNA”
UNA
3 letras ⇒ 9 = 3
U N N N A A A A
3 −1
formas
A
• Ahora que la palabra sea “UNAS”
UNAS
4 letras ⇒ 27 = 3
U N N N A A A A S S S S S
4 −1
formas
A S S
C) 27 E) 36
En el problema:
3
EXAMEN ORDINARIO
UNASAM
6
Resolución
letras ⇒
Tema: Sucesiones Total de maneras = 3
6 −1
= 35 = 243
Respuesta: Por lo tanto, la palabra UNASAM se puede leer de 243 maneras diferentes. Alternativa B
Calculando el término que sigue en la sucesión, el término 6 ( t6 ) 1
yx
y =
1
3
5
4
PREGUNTA N.º 08
Si
;
x2 − 4 , calcular el valor de 2− x
;
19
14 10
a i m e d a c A
;
49
30 16
6
C) – 1 E) – 2
Resolución
52 22
6
t6 = 1 + 20 + 100 + 60
y
y
x 2 − 4 ( x + 2) ( x − 2) = = 2− x − ( x − 2) = −x−2
Piden calcular
1
3
=
3
0
; x≠2
3
3
1
6
3
Alternativa C
PREGUNTA N.º 10 Se vende 2 USB en 60 soles cada una. En una se ganó el 20% y en la otra se perdió el 20%. ¿Se ganó o se perdió en total y cuánto?
= −2
Alternativa E PREGUNTA N.º 09 Hallar la suma de cifras del término que sigue en la sucesión: 1 ; 5 ; 19 ; 49 ; 101, A) 7 B) 8 D) 12
t6 = 181
3
= −0 − 2 = −2
Respuesta: Por lo tanto,
28
Respuesta: Por lo tanto, la suma de cifras del sexto término es 10
Aplicando la definición: 0
80
t6 = 1C50 + 4C15 + 10C 52 + 6C 53
Simplificando la definición
x
tn = 1Cn0−1 + 4C1n−1 + 10Cn2−1 + 6Cn3−1
t6 = 1 (1) + 4 ( 5 ) + 10 (10 ) + 6 (10 )
y
;
→
Tema: Operaciones Matemáticas
y
101
H T A M G I S
A) 2 B) 3 D) 0
x
;
C) 10 E) 13
A) Se ganó S/. 8 C) Se perdió S/. 6 E) Se perdió S/. 5
B) Se perdió S/. 10 D) Se ganó S/. 9
Resolución Tema: Tanto por ciento Para el primer USB Pv = Pc + Ganancia
4 5
EXAMEN ORDINARIO
PREGUNTA N.º 12 Tres futbolistas patean tiros de penal. La probabilidad de que sólo dos de ellos no conviertan gol, es:
60 = x + 20% x x = 50
Para el segundo USB Pv = Pc − Pérdida 60 = y − 20%y y = 75
A)
3 8
D)
2 3
B)
C)
1 3
E)
7 8
Resolución
Luego: El costo total será: x + y = 50 + 75 = 125
Tema: Probabilidades
La venta total es: 60 + 60 = 120
El espacio muestral tendrá 8 elementos, veamos:
a i m e d a c A
De acá se que deduce que ha existido una pérdida de: 125 − 120 = 5
H T A M G I S
Respuesta: Por lo tanto, se perdió un total de 5 soles Alternativa E
PREGUNTA N.º 11 Si dos estudiantes pueden resolver 2 preguntas en 2 minutos, ¿Cuántos estudiantes se necesitarán para resolver 4 preguntas en 4 minutos? A) 4 B) 8 D) 2
C) 16 E) 6
Tema: Regla de tres
Sea G (cuando convierte el gol) y F (cuando falla), entonces las posibles situaciones que se darán los registramos de la siguiente manera: GGG GGF Ω= GFG GFF
FGG FGF FFG FFF
n(Ω) = 8
Luego:
Consideremos ahora el evento A:
A: Sólo dos de ellos no convierten gol (fallan) A = {GFF , FGF , FFG} , Luego
Resolución
n( A ) = 3
Calculando la probabilidad se tiene:
I.P.
D.P. # estudiantes
# preguntas
# minutos
2 x
2 4
2 4
La magnitud incógnita la comparamos con cada una de las otras: x = 2⋅
5 8
2 4 ⋅ =2 4 2
Respuesta: Por lo tanto, se necesitaran 2 estudiantes Alternativa D
P ( A) =
n ( A) 3 = n(Ω) 8
Respuesta: Por lo tanto, de los tres amigos, la probabilidad de que sólo 2 de ellos fallen el penal es
3 8
Alternativa A
PREGUNTA N.º 13 Al calcular
200 100
∑ ∑ 3 , dar como respuesta la suma de las
x =1 x =1
cifras del resultado.
5
EXAMEN ORDINARIO
A) 8 B) 10 D) 9
C) 6 E) 1
Resolución
Por condición: Hace 5 años la suma de las edades de los tres era 77 años: x − 3 + x − 5 + 4 x − 5 = 77
Tema: Sumatorias
6 x = 90
Piden calcular la suma de cifras del resultado de
x = 15
200 100
Luego:
∑ ∑3
x =1 x =1
(∗)
La edad de José actualmente es 15 años
Operando la sumatoria interna: 100
Respuesta: Por lo tanto, José, actualmente tiene 15 años. Alternativa A
a i m e d a c A
+ 3 + 3 + +3 = 3 (100 ) = 300 ∑ 3 = 3
x =1
100 veces
Reemplazando en (∗) 200
H T A M G I S
∑ 300 = 300 ( 200 ) = 60000
x=1
PREGUNTA N.º 15 En el estadio Rosas Pampa de la ciudad de Huaraz un hincha de la Amenaza Verde subió las gradas de 2 en 2 y bajo de 3 en 3; dando un total de 90 pasos. ¿Cuántos pasos empleo en la subida?
Respuesta: Por lo tanto, la suma de cifras del resultado de
200 100
∑ ∑3
x =1 x =1
es 6
Alternativa C
PREGUNTA N.º 14 Miguel tiene 2 años más que su hermano José y la edad del padre es el cuádruplo de la edad de su hijo José. Si hace 5 años la suma de las edades de los tres era 77 años, ¿Cuántos años tiene actualmente José? A) 15 años B) 12 años D) 17 años
Tema: Edades
A) 12 B) 36 D) 90
C) 21 años E) 14 años
Resolución
Tema: Planteo de ecuaciones
Al plantear los datos del problema obtenemos:
3
3
2
2
x gradas
x gradas
# pasos subida =
Resolución
C) 54 E) 81
x 2
# pasos bajada =
x 3
El número total de pasos, tanto en la subida como en la bajada es 90 (dato), por lo tanto x x + = 90 2 3
Hace 5 años Pasado
Presente
5x = 90 6
Miguel
x−3
x+2
x = 108
José
x−5
x
Padre
4x − 5
4x
# pasos subida =
Reemplazando: x 108 = = 54 2 2
6 7
EXAMEN ORDINARIO
Respuesta: Por lo tanto, el hincha en la subida empleo 54 pasos Alternativa C
PREGUNTA N.º 16 En el acondicionamiento de las aulas en la ciudad universitaria (Shancayán), el número de carpinteros duplica al número de electricistas. Al mes, cada carpintero gana S/. 1 400 y cada electricista S/. 1 200. Si en un mes la suma de los sueldos de todos ellos es S/. 48 000, ¿Cuántos carpinteros hay?
PREGUNTA N.º 17 Un número natural es tal que la sexta parte del número anterior es menor que 6; además la sexta parte del número natural siguiente es más que 6. ¿Cuál será la raíz cuadrada del número natural, disminuido en 1? A) 6 B) 5 D) 12
C) 4 E) 36
Resolución Tema: Planteo de inecuaciones Sea “x” el número natural:
A) 12 B) 6 D) 24
a i m e d a c A C) 36 E) 48
H T A M G I S x −1 x +1 <6< 6 6
Resolución Tema: Planteo de ecuaciones
Según condiciones del problema se tiene
Ordenando adecuadamente los datos:
x −1 <6 6
∧
6<
x < 37
∧
x > 35
35 < x < 37
Carpinteros Electricistas
operando
x +1 6
→
# Total
Sueldo c/u al mes
x = 36
2x
S / . 1 400
Piden la raíz cuadrada del número, disminuido en uno:
x
S / . 1 200
36 − 1 = 6 − 1 = 5
Si en un mes la suma de los sueldos de todos ellos es S/. 48 000.
Respuesta: Por lo tanto, la raíz cuadrada del número, disminuido en uno es 5 Alternativa B
2 x (1400 ) + x (1200 ) = 48000
PREGUNTA N.º 18
Por condición del problema:
Al resolver x 2 − 8 x + 15 ≥ 0 , indicar el menor valor entero positivo que satisface la inecuación.
4000 x = 48000 x = 12
El número de carpinteros es: (ver cuadro)
A) 6 B) 5 D) 4
# Carpinteros = 2 x = 2 (12 ) = 24
C) 3 E) 1
Resolución
Respuesta:
Tema: Inecuaciones
Por lo tanto, hay 24 carpinteros Alternativa D
x 2 − 8 x + 15 ≥ 0
factorizando
7
EXAMEN ORDINARIO
e = vt
( x − 3 )( x − 5 ) ≥ 0 x=3
∧
x=5
+ −1 0
e = ( v + 40 ) t
puntos críti cos
2
1
• Analizando el recorrido del segundo alumno (de la FC al UNASAM)
+
− 3
(2)
5
e = vt 800 − e = vt
C.S. = −∞;3] ∪ 5; +∞
e = 800 − vt
Respuesta: Por lo tanto, el menor valor entero positivo que satisface la inecuación es 1 Alternativa E
(3)
Reemplazando (2) en (3) vt + 40 t = 800 − vt
a i m e d a c A
H T A M G I S 2vt + 40 t − 800 = 0
PREGUNTA N.º 19 Dos estudiantes, parten en bicicleta al mismo tiempo del local central – UNASAM y de la Facultad de Ciencias (FC), distantes 800 m: uno, del local central con dirección a la FC y el otro, de la FC al local central. El primero recorrió 40 m más por minuto que el segundo ciclista y el número de minutos que tardarían en encontrarse está representado por la mitad del número de metros que el segundo ciclista recorrió en un minuto. ¿Cuál es la distancia recorrida por cada ciclista en el momento de encontrarse? A) 600 y 200 C) 300 y 500 E) 450 y 350
t ( v + 20 ) − 400 = 0
de (1)
v (v + 20 ) − 400 = 0 2
v 2 + 20v − 800 = 0
de donde
v = 20 t = 10
Reemplazando estos valores en (2)
e = ( 20 + 40 )(10 ) = ( 60 )(10 ) = 600
B) 400 y 400 D) 700 y 100
Respuesta: Por lo tanto, la distancia recorrida por ambos estudiantes son respectivamente 600 y 200
Resolución Tema: Móviles t
PREGUNTA N.º 20
t
v1 = v + 40
v2 = v
UNASAM
e
800
FC
800 − e
El dominio de la función f ( x ) = 1 + 9 − x 2 es el intervalo [ a ; b ] , hallar a + b . A) 6 B) 0 D) 7
Por condición del problema: v t= 2
Alternativa A
(1)
• Analizando el recorrido del primer alumno (del UNASAM a la FC)
C) 10 E) 9
Resolución Tema: Funciones Piden calcular a + b , donde el dominio de f ( x ) es de
8 9
EXAMEN ORDINARIO
la forma [ a; b ] La función f ( x ) , existirá en los reales ( ) si y sólo si: 1 + 9 − x2 ≥ 0
∧
9 − x2 ≥ 0
9 − x 2 ≥ −1
∧
x2 − 9 ≤ 0
∧
C.S.2 = [ −3;3]
C.S.1 =
A
Df ( x ) = C.S.1 ∩ C.S.2 Df ( x ) = [ −3;3] ≅ [ a; b ] a + b = −3 + 3 = 0
Respuesta: Por lo tanto, a + b = 0
para ello aplicaremos directamente la fórmula (para n = 6 ) B
2
1
3
4 5
6
n ( n + 1) 2
C
El total de triángulos es: →
n ( n + 1) 6 ( 7 ) = = 21 2 2
a i m e d a c A
H T A M G I S
(2) Ahora contamos triángulos en el ∆BCD , para ello
Alternativa B
PREGUNTA N.º 21 ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
aplicaremos directamente la fórmula n=5) B 1 2
n ( n + 1) 2
(para
D
3
4
5
C
El total de triángulos es:
A) 26 B) 33 D) 34
n ( n + 1) 5 ( 6 ) = = 15 2 2
C) 29 E) 36
El total de triángulos será la suma de (1) y (2) (1) + (2) = 21 + 15 = 36
Resolución Tema: Conteo de figuras
Se pide la cantidad total de triángulos que hay en el gráfico
B
D
Respuesta: Por lo tanto, el total de triángulos que hay en la figura es 36 Alternativa E PREGUNTA N.º 22 Hallar el perímetro de la región sombreada.
6
A
C
(1) Comenzamos contando triángulos en el ∆ABC ,
6
9
EXAMEN ORDINARIO
A) 6 + 3π
B) 2 ( 6 + 3π )
C) 2 ( 4 + 3π )
D) 3 ( 4 + π )
A) 19 B) 15 D) 20
E) 4 ( π + 3 )
C) 14 E) 18
Resolución Resolución
Tema: Conteo de figuras
Tema: Perímetro de regiones planas
Identificando los segmentos de la figura:
Se pide el perímetro de la región sombreada. En el gráfico del problema: 6
A 3
3 1
B
1
a i m e d a c A
3
1
1
1
H T A M G I S D
3
3
1
3
6
3
1
Ahora, el número total de segmentos, por el que está compuesta la figura es:
3
C
• La longitud de los lados AB y BC forman parte del perímetro de la región sombreada.
y • Además, la longitud de los arcos (cuadrantes) AD
1 + 1 + 3 ( 3 ) + 5 + 3 = 19
Respuesta: Por lo tanto, el número total de segmentos que hay en la figura es 19 Alternativa A
completan el perímetro de la región sombreada. DC
Luego, el perímetro (2P) de la región sombreada será: 3π 2P = 6 + 6 + 2 2
2P = 12 + 3π
PREGUNTA N.º 24 Determinar el área de la región sombreada: a
2P = 3 ( 4 + π )
a
Respuesta: Por lo tanto, el perímetro de la región sombreada es 3 ( 4 + π)
Alternativa D
PREGUNTA N.º 23 Hallar el número de segmentos en la figura:
A)
a2 3
D)
2a 2 5
B)
2a 2 3
C)
3a 2 4
E)
3a 2 7
Resolución Tema: Área de regiones planas
10 11
EXAMEN ORDINARIO
Para simplificar los cálculos, trazaremos la diagonal
A
B
AD y la línea vertical BE que une los puntos medios del cuadrado, para luego trasladar las áreas adecuadamente.
B a
A
G
C
C
a
F
E
D
A) A B) B D) D
C) C E) E
Resolución E
H T A M G I S Haciendo el trayecto que debe seguir
Luego de trasladar el área queda:
A a 2
G
Tema: Trazo de figuras
a i m e d a c A D
B a
C
Impar
F
E
a
a 2
D
Como podemos ver, el área sombreada está compuesta por tres cuadrados de iguales dimensiones, así que 2 a a 3a Área Sombreada = 3 × = 4 2 2
A (Par) Par
E (Par)
B (Impar) Par
C (Par)
Par
D (Par)
Observación.- si una figura, presenta dos puntos impares, se podrá dibujar (recorrer) de un solo trazo, siempre y cuando se empiece en uno de los puntos impares y se termine en el otro. En nuestro ejercicio, como la persona comienza el recorrido desde un punto impar, entonces necesariamente deberá terminar en un punto impar, es decir en “B” Respuesta: Por lo tanto, la persona, luego de terminar su recorrido egresará por la puerta “B”
Respuesta: 3a 2 Por lo tanto, el área de la región sombreada es 4
Alternativa B
Alternativa C
PREGUNTA N.º 25 Una persona debe recorrer todas las calles de la ciudad mostrada, de una sola intensión pasando solo una vez por cada calle. ¿Por cuál de las cinco salidas egresará al terminar el recorrido?
11
