Matematica 3

Matemática 3

año

El libro Matemática de 3er año de de Educación Media es una obra colectiva concebida, diseñada y elaborada por el Departamento Editorial de Editorial Santillana S.A., bajo la dirección pedagógica y editorial de la profesora Carmen Navarro. En la realización de esta obra intervino el siguiente equipo de especialistas:

Edición general adjunta Inés Silva de Legórburu

Coordinación de arte Mireya Silveira M.

Coordinación editorial Ciencias y Matemática José Manuel Rodríguez R.

Diseño de unidad gráfica Mireya Silveira M.

Edición ejecutiva Lisbeth C. Villaparedes de Maza Nathalia García M.

Coordinación de unidad gráfica María Elena Becerra M.

Textos Daniel G. Hernández N. Licenciado en Educación, mención Matemática. Universidad Central de Venezuela •

Doris Eliani Pérez Profesora, mención Matemática. Universidad Pedagógica Experimental Libertador.

Diseño de portada Mireya Silveira M. Ilustración de la portada Walther Sorg

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Lisbeth C. Villaparedes de Maza Profesora, mención Matemática. Universidad Pedagógicaa Experimental Libertador Pedagógic Olga Domí nguez Licenciada en Matemática. Universidad Central de Venezuela Nancy Torres Mendoza Licenciada en Matemática. Universidad Central de Venezuela

Edición de apoyo Doris Eliani Pérez Evelyn Perozo de Carpio Corrección de estilo Juan Luis Valdez, Karina Hernández, Mariví Coello Lectura especializada Henry J. Martínez L. Profesor, mención Matemática. Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Magíster en Ciencias, mención Matemática. Universidad Central de Venezu Venezuela ela

Diseño y diagramación general María Fernanda Guédez María Elena Becerra M. Diana Angilecchia María Alejandra González José Pérez Duin William Gutiérrez Documentación gráfica Amayra Velón Andrés Velazco Ilustraciones Fondo Documental Santillana Infografías Reinaldo Pacheco Walther Sorg Oliver González Fotografías Fondo Documental Santillana Retoque y montaje digital Evelyn Torres

Matemática 3er año © 2012 by Editorial Santillana, S.A. Editado por Editorial Santillana, S.A. Nº de ejemplares: 6 950 Reimpresión: 2014 Av. Rómulo Gallegos, Edif. Zulia, piso 1. Sector Montecristo, Boleíta. Caracas (1070), Venezuela.Telfs.: Venezuela.Telfs.: 280 9400 / 280 9454 www.santillana.com.ve

ISBN: 978-980-15-0624-9 Depósito legal: If6332012372269 Impreso en Ecuador por: Imprenta Mariscal CIA. LTDA Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización previa de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

El libro Matemática de 3er año de de Educación Media es una obra colectiva concebida, diseñada y elaborada por el Departamento Editorial de Editorial Santillana S.A., bajo la dirección pedagógica y editorial de la profesora Carmen Navarro. En la realización de esta obra intervino el siguiente equipo de especialistas:

Edición general adjunta Inés Silva de Legórburu

Coordinación de arte Mireya Silveira M.

Coordinación editorial Ciencias y Matemática José Manuel Rodríguez R.

Diseño de unidad gráfica Mireya Silveira M.

Edición ejecutiva Lisbeth C. Villaparedes de Maza Nathalia García M.

Coordinación de unidad gráfica María Elena Becerra M.

Textos Daniel G. Hernández N. Licenciado en Educación, mención Matemática. Universidad Central de Venezuela •

Doris Eliani Pérez Profesora, mención Matemática. Universidad Pedagógica Experimental Libertador.

Diseño de portada Mireya Silveira M. Ilustración de la portada Walther Sorg

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Lisbeth C. Villaparedes de Maza Profesora, mención Matemática. Universidad Pedagógicaa Experimental Libertador Pedagógic Olga Domí nguez Licenciada en Matemática. Universidad Central de Venezuela Nancy Torres Mendoza Licenciada en Matemática. Universidad Central de Venezuela

Edición de apoyo Doris Eliani Pérez Evelyn Perozo de Carpio Corrección de estilo Juan Luis Valdez, Karina Hernández, Mariví Coello Lectura especializada Henry J. Martínez L. Profesor, mención Matemática. Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Magíster en Ciencias, mención Matemática. Universidad Central de Venezu Venezuela ela

Diseño y diagramación general María Fernanda Guédez María Elena Becerra M. Diana Angilecchia María Alejandra González José Pérez Duin William Gutiérrez Documentación gráfica Amayra Velón Andrés Velazco Ilustraciones Fondo Documental Santillana Infografías Reinaldo Pacheco Walther Sorg Oliver González Fotografías Fondo Documental Santillana Retoque y montaje digital Evelyn Torres

Matemática 3er año © 2012 by Editorial Santillana, S.A. Editado por Editorial Santillana, S.A. Nº de ejemplares: 6 950 Reimpresión: 2014 Av. Rómulo Gallegos, Edif. Zulia, piso 1. Sector Montecristo, Boleíta. Caracas (1070), Venezuela.Telfs.: Venezuela.Telfs.: 280 9400 / 280 9454 www.santillana.com.ve

ISBN: 978-980-15-0624-9 Depósito legal: If6332012372269 Impreso en Ecuador por: Imprenta Mariscal CIA. LTDA Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización previa de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

Estructura del libro Inicio de unidad Infografía. Recurso gráfico que permite despertar el interés con relación a los temas de la unidad. Contiene datos y preguntas que favorecen la interacción, participación y reflexión para introducir los nuevos contenidos.

Logros esperados. Enunciados

Para reflexionar y debatir. Preguntas

breves que describen los principales conocimientos,, valores, habilidades conocimientos y destrezas que se pretende consolidar con el desarrollo de los contenidos de la unidad.

dirigidas a generar conclusiones a partir del análisis de la información y los datos planteados en la infografía.

Idea para la acción. Reseña de la actividad grupal para contribuir al desarrollo de proyectos, trabajos especiales o líneas de investigación, para ser llevada a cabo durante o al final de la unidad.

Desarrollo de los temas Actívate. Preguntas relacionadas relacionadas con situaciones de la

Información complementaria. Datos adicionales

vida cotidiana, orientadas a evocar conocimientos previos vinculados con los temas o generar inquietudes acerca de los nuevos contenidos a desarrollar.

que enriquecen los temas, relacionados con diversas áreas del conocimiento, así como con aspectos de la vida cotidiana, como el trabajo, la tecnología, el ambiente y la diversidad cultural del país.

Contenido. Tema con información actualizada, presentada presentada a través de textos e imágenes, organizadores y recursos gráficos novedosos.

2

Pensamiento crítico. Actividades especiales que estimulan la capacidad de reflexión y la emisión de juicios de valor sobre los contenidos de los temas.

. A . S , A N A L L I T N A S L A I R O T I D E ©

Actividades. Preguntas, ejercicios, casos y situaciones de análisis para validar, afianzar y reforzar los contenidos vistos. Estimulan la capacidad de razonamiento en el plano individual, y la interacción por medio del trabajo en equipo.

Infografías. Temas con una propuesta gráfica diferente y novedosa, que presentan la información a través de imágenes y textos asociados, para aprender de manera dinámica.

Cierre de unidad Actividades de refuerzo. Ejercicios, preguntas y casos de análisis, vinculados con los temas abordados en la unidad. Persiguen el desarrollo de las distintas habilidades del pensamiento pensamiento..

Conexos con… Datos informativos que ponen en evidencia la relación de la Matemática con otras áreas del conocimiento y laborales, resaltando su aplicación e importancia.

Idea para la acción. Desarrollo de la actividad anunciada al inicio de cada unidad, con sugerencias para su planificación, puesta en práctica y evaluación, como estrategia para la generación de conocimientos conocimientos..

Estrategia de resolución de problemas. . A . S , A N A L L I T N A S L A I R O T I D E ©

Estrategias sistemáticas sistemáticas para resolver problemas,, con base en el desarrollo del problemas pensamiento pensamient o lógico-matem lógico-matemático. ático.

3

Índice U1

Números reales ........................... 6

U3

Inecuaciones en R ..................... 82

Tema 1

Números racionales (Q) y operaciones .................... 8

Tema 1

Relación de orden en R............................................. 84

Tema 2

Expresiones decimales y fracción generatriz ........... 10

Tema 2

Tema 3

Números irracionales (I) .......................................... 12

Distancia entre dos puntos en la recta real y punto medio ............................................................ 88

Tema 4

Representación de números irracionales en la recta numérica .................................................. 14

Tema 3

Propiedades de las distancias entre dos puntos....... 92

Tema 4

Intervalos reales ........................................................ 94

Tema 5

Números reales (R) ................................................... 18

Tema 5

Inecuaciones de primer grado con una incógnita...... 96

Tema 6

Aproximaciones en R ................................................ 20

Tema 6

Inecuaciones con valor absoluto ............................... 98

Tema 7

Adición y sustracción en R ....................................... 22

Tema 7

Sistemas de inecuaciones lineales ........................... 102

Tema 8

Propiedades de la adición en R ................................ 24

Tema 8

Resolución de problemas mediante inecuaciones .... 104

Tema 9

Adiciones y sustracciones combinadas..................... 26

Cierre

Actividades de refuerzo ............................................ 106

Tema 10 Multiplicaciones en R y sus propiedades................. 28

Estrategia de resolución de problemas .................... 108

Tema 11 División en R ............................................................. 30

Idea para la acción: Planificación y ejecución de un proyecto de negocio......................................... 109

Tema 12 Multiplicaciones y divisiones combinadas con signos de agrupación .......................................... 32 Tema 13 Potenciación en R con exponente entero ................. 34

U4

Tema 14 Propiedades de la potenciación en R con exponente entero ................................................ 36

Funciones ................................... 110

Tema 1

El plano real ............................................................... 112

Tema 15 Operaciones combinadas en R ................................. 38

Tema 2

Distancia entre dos puntos en el plano..................... 114


Tema 3

Funciones reales ........................................................ 116


Tema 4

Función afín................................................................ 118

Idea para la acción: Diseño de un programa de computación para clasificar números ................... 45

Tema 5

Pendiente y ordenada en el origen............................ 122

Tema 6

Ecuación general de la recta ..................................... 126

Tema 7

Función cuadrática..................................................... 130

Tema 8

Análisis de una función cuadrática ........................... 134

Cierre


Cierre

U2

Radicales .................................... 46

Tema 1

Raíz enésima de un número ...................................... 48

Tema 2

Cálculo de una raíz cuadrada..................................... 52

Tema 3

Potenciación en R con exponente racional .............. 56

Tema 4

Propiedades de la potenciación en R con exponente racional.............................................. 58

Tema 5

Introducción y extracción de factores en un radical.. 62

Tema 6

Amplificación y simplificación de radicales............... 64

Tema 7

Adición y sustracción de radicales ............................ 66

Tema 8

Multiplicación y división de radicales ....................... 68

Tema 9

Operaciones combinadas con radicales .................... 72

Tema 10 Racionalización de un monomio y de un binomio ..... 74

Estrategia de resolución de problemas .................... 138 Idea para la acción: Diseño y construcción de una maqueta de un puente colgante ................................ 139

U5

Ecuaciones en R ........................ 140

Tema 1

Ecuaciones irracionales ............................................. 142

Tema 2

Ecuaciones con valor absoluto .................................. 144

Tema 3

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas ..................................................... 146

Tema 4

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales .............................................. 148

Tema 5

Método gráfico de resolución de sistemas de ecuaciones lineales .............................................. 150

Tema 6

Métodos analíticos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales .............................................. 152

Tema 11 Racionalización con índices mayores que 2 .............. 76

Cierre

Actividades de refuerzo ............................................ 78 Estrategia de resolución de problemas .................... 80 Idea para la acción: Cálculo de la velocidad con que choca un aparato móvil a escala ................. 81

4


Tema 7

Sistemas de ecuaciones literales .............................. 156

U8

Informática ................................. 210

Tema 8

Resolución de problemas mediante ecuaciones lineales ................................................... 158

Tema 1

La computadora ......................................................... 212

Tema 9

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita....................................................... 160

Tema 2

Hardware y software de la computadora..................

Tema 3

Programación ............................................................. 218

Tema 4

Estructuras básicas de control................................... 222

Cierre


Tema 10 Resolución de ecuaciones de segundo grado ...................................................... 162 Tema 11 Discriminante de una ecuación de segundo grado ...................................................... 166

214

Estrategia de resolución de problemas .................... 226 Idea para la acción: Elaboración de un manual para armar y desarmar una computadora ................. 227

Tema 12 Ecuaciones expresadas en forma cuadrática ................................................... 168

Solucionario ........................................................................... 228

Tema 13 Sistemas de dos ecuaciones .................................... 170

Fuentes consultadas ............................................................. 232

Tema 14 Problemas con ecuaciones de segundo grado ...................................................... 172

Cierre


A propósito del lenguaje de género


Según la Real Academia de la Lengua Española y su correspondiente Academia Venezolana de la Lengua, la doble mención de sustantivos en femenino y masculino (por ejemplo: los ciudadanos y las ciudadanas) es un circunloquio innecesario en aquellos casos en los que el empleo del género no marcado sea suficientemente explícito para abarcar a los individuos de uno y otro sexo.

Idea para la acción: Comparación del consumo de energía en dos baterías distintas ......................... 177

U6

Geometría del plano .................... 178

Tema 1

Aplicaciones del teorema de Pitágoras..................... 180

Tema 2

Teorema de Euclides y aplicaciones.......................... 182

Tema 3

Proporcionalidad entre segmentos............................ 184

Tema 4

Teorema de Tales y aplicaciones ............................... 186

Tema 5

Semejanzas de figuras planas ................................... 188

Tema 6

Criterios de semejanzas entre triángulos.................. 190

Cierre

Actividades de refuerzo ............................................ 192 Estrategia de resolución de problemas .................... 194 Idea para la acción: Construcción de una vivienda a escala ........................................... 195


U7

Estadística y probabilidad ............ 196

Tema 1

Tablas de distribución de frecuencias ....................... 198

Tema 2

Medidas de tendencia central ................................... 200

Tema 3

Probabilidad de un evento ......................................... 202

Tema 4

Diagrama de árbol ..................................................... 204

Cierre

Actividades de refuerzo ............................................ 206 Estrategia de resolución de problemas .................... 208 Idea para la acción: Estudio estadístico de las preferencias de equipos deportivos................ 209

Sin embargo, desde hace varios años, en Editorial Santillana hemos realizado un sostenido esfuerzo para incorporar la perspectiva de género y el lenguaje inclusivo, no sexista en nuestros bienes educativos, pues valoramos la importancia de este enfoque en la lucha por la conquista definitiva de la equidad de género. En tal sentido, en nuestros textos procuramos aplicar el lenguaje de género, al tiempo que mantenemos una permanente preocupación por el buen uso, la precisión y la elegancia del idioma, fines en los que estamos seguros de coincidir plenamente con las autoridades académicas.

A propósito de las Tecnologías de la Información y la Comunicación Editorial Santillana incluye en sus materiales referencias y enlaces a sitios web con la intención de propiciar el desarrollo de las competencias digitales de docentes y estudiantes, así como para complementar la experiencia de aprendizaje propuesta. Garantizamos que el contenido de las fuentes en línea sugeridas ha sido debidamente validado durante el proceso de elaboración de nuestros textos. Sin embargo, dado el carácter extremadamente fluido, mutable y dinámico del ámbito de la Internet, es posible que después de la llegada del material a manos de estudiantes y docentes, ocurran en esos sitios web cambios como actualizaciones, adiciones, supresiones o incorporación de publicidad, que alteren el sentido original de la referencia. Esos cambios son responsabilidad exclusiva de las instituciones o particulares que tienen a su cargo los referidos sitios, y quedan completamente fuera del control de la editorial. Por ello, recomendamos que nuestros libros, guías y Libromedias sean previa y debidamente revisados por docentes, padres, madres y representantes, en una labor de acompañamiento en la validación de contenidos de calidad y aptos para el nivel de los y las estudiantes.

5

U4 LOGROS ESPERADOS Identificar los tipos de funciones reales.

•

Representar gráficamente funciones afines y cuadráticas.

•

FUNCIONES ¿En qué se relacionan los deportes con las funciones cuadráticas? En las disciplinas deportivas en las que se usan objetos para ser golpeados o lanzados, como el baloncesto, las bolas criollas o el atletismo, pueden ocurrir movimientos parabólicos de tales objetos, los cuales describen una función cuadrática.

Analizar funciones afines y cuadráticas.

•

Establecer relaciones entre las funciones reales y situaciones de la cotidianidad.

•

35 m/s

20 m/s

51 m/s

31 m/s

IDEA PARA LA ACCIÓN Diseño y construcción de una maqueta de un puente colgante Al culminar esta unidad diseñarán y construirán la maqueta de un puente colgante haciendo uso de funciones cuadráticas.

110

FUNCIONES

73 m/s

Fútbol

Baloncesto

Béisbol

Lanzamiento de jabalina

Golf altura máxima

Al lanzar un objeto en dirección inclinada con relación a los ejes vertical y horizontal, el movimiento ocurrido describe lo que se llama una función parabólica o cuadrática. Gracias a ello, y por medio de algunas fórmulas preestablecidas, se puede medir la velocidad, la altura máxima alcanzada y la distancia recorrida por el objeto.


distancia recorrida

Para reflexionar y debatir ¿Conoces algún deporte en el cual se describa un movimiento similar a la gráfica de una función afín? ¿Crees que la gravedad incide en el movimiento que describen los objetos al ser lanzados durante el juego? ¿Cómo crees que sea el movimiento que describe una pelota al ser lanzada en el espacio? ¿A qué función se asemeja?

Y 10

y=

9 8 7

1 2

x2 + 9

En un juego de golf la pelota es lanzada de forma tal que describe el movimiento representado en la gráfica de la izquierda. La ecuación muestra el movimiento parabólico de la misma.

6 5 4 3 2 1 –9

–8

–7

–6

–5

–4 –3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

X

Distancia recorrida por un objeto lanzado Al lanzar o golpear un objeto, este recorre cierta distancia, que se puede medir desde el punto inicial hasta el punto final a través de la fórmula d x2 x1, donde x1 es el punto de partida y x2 de llegada del objeto. 




x1

x2 Distancia entre dos puntos

FUNCIONES

111

TEMA 1

El plano real ACTÍVATE Si las coordenadas de un punto no son positivas ni negativas, ¿cuáles son las coordenadas de ese punto?

Sistema de coordenadas cartesianas Para graficar cada par ordenado de números reales como un punto en un plano, se consideran dos rectas per pendiculares: una horizontal, denominada eje de las abscisas, que se designa por X ; y otra vertical, denominada Y eje de las ordenadas, que se designa por Y . Ambos ejes se conocen como ejes cartesianos, y conforman II I un sistema de coordenadas cartesianas. En cada eje se representa el conjunto de los números 0 reales. Los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes que se III IV designan por I, II, III y IV. La primera componente x de un par ordenado (x, y) se conoce como abscisa o primera coordenada, y la segunda componente y, como ordenada o segunda coordenada.

X

Posición de un punto en el plano A cada par ordenado de números reales le cor responde solo un punto en el plano real. Y a cada punto del plano real le corresponde solo un par ordenado de números reales. Para determinar la posición de un punto en un plano se asocia a él un par ordenado (x, y) de números reales, que constituyen sus coordenadas respecto de un sistema Y de ejes cartesianos. En la figura de la derecha se muestra que II cuadrante I cuadrante la posición de un punto P(x, y) dependen del signo de sus x � 0 x � 0 coordenadas. Además se observa que: y � 0 y � 0 El origen de coordenadas es el punto (0, 0) y se denota III cuadrante O IV cuadrante con la letra O. x � 0 x � 0 y � 0 y � 0 El par de la forma (0, y) indica que el punto se encuentra sobre el eje de las ordenadas. El par de la forma (x, 0) indica que el punto se encuentra sobre el eje de las abscisas. •

X

•

•

EJEMPLO Y 4 3 E 2 1

B

�5 �4 �3 �2 �1 �1

A

•

•

F

0 1 2 3 4 5

�2 �3

C

112

FUNCIONES

�4

El punto A(3, 4) se ubica en el cuadrante I. El punto B(�5, 2) se encuentra en el cuadrante II. El punto C(�1,� 4) se ubica en el cuadrante III. El punto D(2, �3) se encuentra en el cuadrante IV. El punto E(0, 3) se ubica sobre el eje Y . El punto F(5, 0) se ubica sobre el eje X .

•

D

•

X

•

•


Coordenadas de un punto en el plano Para determinar las coordenadas de un punto P(x, y) ubicado en un sistema de coordenadas cartesianas, se proyecta ortogonalmente el punto P sobre el eje X y se obtiene el punto P’, cuya coordenada conforma la abscisa x del punto P. Luego se proyecta el mismo punto P sobre el eje Y , y se obtiene el punto P’’, cuya coordenada compone la ordenada y del punto P. Finalmente, se escribe el par ordenado correspondiente. EJEMPLO

Z OOM

Y

P”

0

Par ordenado P

P’

X

El punto P se encuentra en el cuadrante IV, de manera que su abscisa es positiva 4 y su ordenada es negativa. 3 Q 2 La proyección de P sobre el eje de las 1 abscisas indica que el valor de la abscisa es R 2, y la proyección de P sobre el eje 1 2 3 4 �4 �3 �2 �1 0 X �1 de las ordenadas indica que el valor de �2 la ordenada es �4. �3 P �4 En consecuencia, las coordenadas del punto P son (2,�4). El punto Q se encuentra sobre el eje de las ordenadas, o sea, es de la forma Q(0, y). Como la coordenada y es 3, entonces el punto es Q(0, 3). El punto R se encuentra sobre el eje de las abscisas, o sea, es de la forma R(x, 0). Como la coordenada x es 4, entonces el punto es R(4, 0). Y

•

Para escribir las coordenadas de cada punto, se debe considerar que las coordenadas de un punto son un par ordenado; esto significa que no pueden escribirse en otro orden, por ejemplo, no es lo mismo escribir (2, 3) que (3, 2). Y (2,3)

3

(3,2)

2 1 0

1

2

3

X

•

•

Actividades

Para realizar en el cuaderno

1 Ubica los

siguientes puntos en el plano real e indica el cuadrante o el eje en el que se encuentra cada uno. 1 a) A(3, 5) e) E(7, 9) i) I � , 0 4 2 5 b) B(�4, 6) f ) F 3, � j) K �3, 5 2 1 2 1 c) C , g) G(0, �6) k) L �10, 4 3 4 d) D(�5, �3) h) H(10, 0) l) M �2, 0 2 Establece las características que deben tener las coordenadas de un punto para pertenecer al cuadrante o al eje dado. a) Eje de las abscisas b) Eje de las ordenadas c) Cuadrante I d) Cuadrante II e) Cuadrante III f ) Cuadrante IV

�

�

� �


�

3 Lee los

�

� � �

�

�

�

4

planteamientos y responde. a) Si A(2x � 5, 8), ¿qué valor debe tener x para que A pertenezca al eje Y ? b) Si el punto P tiene la misma ordenada del punto Q(�8, 10) y la misma abscisa del punto R(2, �2), ¿cuáles son las coordenadas del punto P? Determina cuáles Y son las coordenadas C 4 de cada uno de los 3 B 2 puntos dados en A 1 H el plano real de G I 0 la derecha. 1 2 3 4 �4�3�2�1 �1 �2 �3

F

J

E

X

D

�4

EL PLANO

REAL

113

TEMA 2

Distancia entre dos puntos en el plano ACTÍVATE ¿Qué igualdad se cumple según el teorema de Pitágoras?

Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos en el plano se calcula aplicando el teorema de Pitágoras en función de las coordenadas de esos puntos. Para deducir la fórmula, en la figura de la derecha se ha formado el triángulo ABC rectángulo en C, donde la medida Y de la hipotenusa AB corresponde a la distancia y2 entre los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), que se designa como AB. y1 AB2 � AC2 � BC2 A x2 � x1 2 2 2 AB � (x2 � x1) � (y2 � y1) 0 x1 Por lo tanto: AB � ^x - x h + ^y - y h 2

1

2

2

1

�

12 + ^- 5 h

�

169

2

X

2

+ ^2 - 7 h

2

x2

+ ^2 - 7 h

2

^3 + 9 h

C

Y 7

A

a) Calcular la distancia entre los puntos A(�9, 7) �

y2�y1

2

EJEMPLOS

y B(3, 2). AB � 63 - ^- 9 h@

B

2

2

�

B

2

144

+ 25

0

�9

� 13

3

X

b) Calcular el perímetro del triángulo ABC cuyos vértices tienen las siguientes coordenadas: A(4, 0); B(3, 4) y C(�8, 3). P(∆ABC) � AB � BC � AC =

^3 - 4 h

=

^- 1 h

=

1 + 16 +

2

2

+ ^4 - 0 h + 2

+4 +

17 +

122 +

=

17 +

122 + 3

17 +

2

^ - 11 h

2

121 + 1 +

=

= 4

^- 8 - 3 h

2

+ ^- 1 h + 2

+ ^3 - 4 h +

^- 8 - 4h

2

^- 12 h

2

+3

2

2

2

144 + 9

153

+ ^3 - 0 h

Y

C

4 3

B

�8

0

3 4

17

A

122

X

c) Determinar las coordenadas B, sabiendo que A(�5, 5), AB � 12

y que las coordenadas que conforman las componentes de B son iguales. Sea B � (x, x) AB � 6x  ^ 5h@  ^x  5h  12 6x  ^ 5h@  ^x  5h  12 (x � 5)2 � (x � 5)2 � 144 x2 � 10x � 25 � x2 � 10x � 25 � 144 2x2 � 50 � 144 2x2 � 144 � 50 2x2 � 94 x2 � 47 � x � Finalmente, las coordenadas de B son ( 47, 47 ). 2

2

114

FUNCIONES

2

2

47


Punto medio de un segmento Dado un segmento AB de coordenadas A(x1, y1) y B(x2, y2), el punto medio M de este segmento AB tiene por coordenadas: M� x1 �2 x2 , y1 �2 y2 � EJEMPLOS

a) Dados los puntos C(6, �4) y D(�4, 0), hallar las coordenadas del punto medio

de CD. Las coordenadas del punto medio M de CD son: M 6 � (�4) , �4 � 0 2 2 M 2,�4 2 2 M(1, �2)

�

Y

D

�

�

0

�4 �2

�

X

6

M C

�4

b) Calcular las coordenadas de los puntos medios de los lados del cuadrado ABCD cuyos vértices son A(�2, 1); B(2, �3); C(6, 1) y D(2, 5). Y

Sea M1 el punto medio de AB; M2, el de BC; M3, el de CD y M4, el de AD. Entonces, se tiene que: M1 �2 � 2 , 1 � 3 2 2

�

M2 2 � 6 , �3 � 1 2 2

�

Actividades

� �

M1(0, �1) M2(4, �1)

M3 6 � 2, 1 � 5 2 2

�

�2 � 2

�

M4

2

�

, 1 � 5 2

M3(4, 3)

�

D

5

M4 A �2

M4(0, 3)

M3 C

1

M1

0

�3

2

M2

6

B

Para realizar en el cuaderno

1 Determina la

distancia entre cada par de puntos y halla el punto medio M en cada caso. a) A(2, 6); B(7, 18) d) G(�2, 9); H(6, �6) g) N(�9, �1); Ñ(�3, 2) b) C(0, 3); D(4, 6)

� 12 � � 15 �

c) E , 5 ; F , 4

e) I(7, 8); J( �1, 3)

� 34 25�; L �35, 14�

f) K ,

h) P(15, 4); Q(�3, �2)

�

1 2

� � 12 �

i) E 0, � ; S , 0

lo que se pide, sabiendo que ABC es un tr iángulo cuyos vértices son A(�2, 2); B(3, �3) y C(6, 6). Luego responde. a) El punto medio de cada uno de sus lados designados por D, E y F, respectivamente. b) El perímetro del ∆ABC y el perímetro del ∆DEF. c) ¿Qué relación existe entre los perímetros de los triángulos ABC y DEF?

2 Determina

3 Analiza los . A . S , A N A L L I T N A S L A I R O T I D E ©

planteamientos y responde. a) Las coordenadas de tres de los vértices de un rombo ABCD son A(�2, 3); B(�5, 1) y C(�2, �1).¿Cuáles son las coordenadas del vértice D? b) Si la distancia entre A y B es 5, y las coordenadas de A son (3, 4), ¿cuáles son dos de las posibles coordenadas de B? c) Si B está determinado por (4, 2) y el punto medio del segmento AB es M(�1, 5), ¿cuáles son las coordenadas del extremo A? DISTANCIA

ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO

115

X

TEMA 3

Funciones reales ACTÍVATE ¿Es posible establecer una función entre un conjunto de personas venezolanas y el conjunto de los estados de Venezuela? ¿Qué condición debe cumplirse para que sea función?

Funciones reales Una función de A en B (f : B) es una relación que cumple dos condiciones: RECUERDA Todos los elementos del conjunto de partida (conjunto A) están relacionados Para determinar con algún elemento del conjunto B. si un punto (a , b ) Cada elemento de A tiene relación solo con un elemento del conjunto de pertenece al gráfillegada (conjunto B). co de una función En una función f : A B, el conjunto A se llama dominio (Dom f ) y el B, dada, se calcula codominio (Codom f ). Cada elemento del codominio que está relacionado f (a ) � b . Si f (a ) � b , con un elemento del dominio se denomina imagen. El rango (Rgo f ) entonces el punto (a , b ) pertenece es un subconjunto del codominio formado por todos los elementos que al gráfico de la son imágenes. función, pero si Dada una función f : A B, si el par ordenado (x, y) pertenece f (a )  b , entonces a ƒ entonces f (x) � y. En este caso, se dice que y es imagen de x y que x el punto (a, b) no es preimagen de y. Una función real es aquella función definida de R en R, pertenece al gráfies decir, f : R R; en la cual, para todo número real x existe un real y, co de la función. tal que f (x) � y. Algunas funciones reales son: f (x) � x � 3 , g (x) � x2 � 5 y y � �4x � 1. 2 Los pares ordenados que pertenecen a una función real f se pueden representar en un sistema de coordenadas cartesianas. Para ello, se dan valores reales a la variable x y se determinan los valores de f (x) o sea y; los pares ordenados (x, y) obtenidos se representan gráficamente y se unen los puntos mediante una línea. Las funciones se clasifican según su ecuación y según su gráfica, y pueden ser constantes, identidad, valor absoluto, hiperbólica, afín o cuadrática, entre otras. •

•

EJEMPLOS a) f (x) � 2

Y

Para cualquier valor de x, se obtiene y � 2. Algunos de los pares ordenados son (�2, 2);(�1, 2); (0, 2); (1, 2) y (2, 2). En este caso 2 es una constante real. Si C es una constante real, la función f : R R definida por f (x) � C se denomina función constante.

La función real f (x) � x se denomina función identidad.

116

FUNCIONES

0

Dom f � R

Rgo f �

X

�2�

Y

b) f (x) � x

Para cada valor de x, se obtiene que y es igual al mismo valor de x. Algunos pares ordenados son (�2, �2); (�1, �1); (0, 0); (1, 1) y (2, 2).

f (x) � 2

2 1

2 1 �2�1 �1 �2

Dom f � R

2 01

Rgo f � R

X


Matematica 3

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