MI C ROECONOMI A I SOLUCI O NARI O CLASES 2 – 8 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Segundo Semestre de 2011 Profesores: Sergio Monsalve Julián Vil amil Fabio David Nieto (Profesor Titular)
(Profesor Asistente)
(Profesor Asistente)
1. Los Multiplicadores de Lagrange ((unauna breve exposición) UnaMultifpolrmaicadoresútil dede resol v er un probl e ma de opt i m i z aci ó n rest r i n gi d o es ut i l i z ando l o s Lagrange. Est e mét o do permi t e expresar, a t r avés de una f u nci ó n auxioptimliairzacil aómada , el probl e ma de opt i m i z aci ó n rest r i n gi d o en un probl e ma de n no rest r i n gi d o. Supóngase el probl e ma pri m al del consumi d or (el cual es un problema de optimización restringido): max, (,) .. + = Planteando el lagrangiano de este problema, se tiene que: (,, ) = (,, ) +(− + ) donde es l a nueva vari a bl e del probl e ma y se l e conoce como el Mul t i p l i c ador de Lagrange. Est a nueva vari a bl e mul t i p l i c a a l a rest r i c ci ó n del probl e ma ori g i n al y, además, transforma a éste en un problema de optimización no restringido. ∗, ∗) es la elección óptima que satisface la restricción Eldelmétproblodoemade Lagrange di c e que si ( y maxi m i z a l a f u nci ó n obj e t i v o (, ), ent o nces se deben sat i s f a cer l a s siguientes 3 condiciones de pri∗mer∗ orden (CPO): (, ) = (∗, ∗) − =0 (1) (∗, ∗) = (∗, ∗) − =0 (2) lagrangiano
(∗, ∗) =− − =0 (3) Elotranta cosaeriorquees unla restsistreimaccióden presupuest tres ecuacioalnesdelyprobl tres ienmacógnipritmas.alNótdeleconsumi se que ladCPOor. Di(3),vidinoendoes las ecuaciones (1) y (2), y aplicando al∗ go∗ de álgebra, se l lega a la siguiente expresión: ⁄ ( , ) = ∗ ∗ ( , )⁄ (4) Elmieténtrmirasnoquede ella tiézrmiquienrdao dedela(4)derecha se conocees lacomo l a (TMS), rel a ci ó n de preci o s de l o s bi e nes e . Est a ∗ ∗ condi c i ó n caract e ri z a l a si t u aci ó n de equi l i b ri o , es deci r , cuando l a el e cci ó n ( , ) es óptima y resuelve el problema primal del consumidor. 2. Demandas Marshal l i a nas, Funci ó n de Ut i l i d ad I n di r ect a , Funci ó n de Mí n i m o Gast o y Demandas Hicksianas. Calrepresent cular taodasdo porlo antla siegriuiorentparae funcielóncasode utdeilidunad: consumidor cuyas preferencias están a)b) ((,,,, )) == √ + c)d) ((,,,, )) == 3√ +; 2, ,> > 0 e)f) ((,,,, )) =+ = min {,{, }; , >0 Ejercicio (a) El problema primal del consumidor viene representado de la siguiente manera: max, √ + + . . + = Utilizando la condición de equilibrio de la ecuación (4), se tiene que: 12√ = y despejando, utilizando un poco dede álgebra, se encuentra: ∗ = 14 ( ℎ ) Ahora, reemplazando ∗ en la restricción presupuestal, se tiene la siguiente expresión: 14 + = Tasa Marginal de Sustitución x y
Utilizando un poco de álgebra para despejar , se encuentra: ∗ = − 4 ( ℎ ) ∗, ∗), y reemplazando esta cesta óptima de consumo en la Conoci d a l a el e cci ó n ópt i m a ( función de utilidad, se tiene que: (∗, ∗) = (, , ) = 4 + (ó ) Por conveniencia, considérese el siguiente cambio notacional: (, , ) = ,=,=ℎ,=ℎ Estconsumi e cambidoro denotmanera acional siresul t a rá út i l para pl a nt e ar y resol v er el probl e ma dual del m pl i f i c ada. Por l o t a nt o , de aquí en adel a nt e , para resol v er l o s ejercicios restantes, simplemente se hará referencia a este reemplazo como (CN). El problema dual del consumidor viene representado de la siguiente manera: mi,n ℎ + ℎ .. ((∗, ∗) = Teniendo en cuenta (CN) y aplicando esto en la restricción de este probl problema, se obtiene: = 4 + y despejando , usando algo de álgebra, se obtiene: (, , ) = ℎ + ℎ = − 4 (ó í ) ) 1 para encontrar las demandas hicksianas, se Ahora, ut i l i z ando el Lemma de Shephard tiene lo siguiente: ((, , ) = ℎ = 14 ( ) ((, , ) = ℎ = − 2 ( ) Ejercicio (b) El problema primal del consumidor viene representado de la siguiente manera: max, .. + = Utilizando la condición de equilibrio de la ecuación (4), se tiene que: (Si ℎ,y, ℎ)⁄son =laℎssol. uciones del problema dual del consumidor, entonces ( , , )⁄ = ℎ y 1
= de donde se puede despejar , por lo tanto : = () Reemplazando (A) en la restricción presupuestal, se obtiene lo siguiente: + = lo cual, aplicando álgebra sencil a, queda reducido a: ∗ = 2 ( ℎ ) ∗ en la ecuación (A) y simplificando con un poco de álgebra, se Ahora, reempl a zando encuentra: ∗ = 2 ( ℎ ) ∗, ∗), y reemplazando esta cesta óptima de consumo en la Conoci d a l a el e cci ó n ópt i m a ( función de utilidad, se tiene que: ∗ ∗ ( , ) = (, , ) = 4 (ó ) Teniendo en cuenta (CN), el problema dual de este consumidor viene dado por: mi,n ℎ + ℎ .. ((∗, ∗) = donde la restricción del problema se puede reescribir como: = 4 Utilizando algo de álgebra para despejar , se obtiene: (, , ) = ℎ + ℎ = 2 (ó í ) Ahora, aplicando el Lema de Shephard, se tiene que: ((, , ) = ℎ = ( ) ((, , ) = ℎ = 2 ( )
Ejercicio (c) El problema primal del consumidor viene representado de la siguiente manera: max, .. + = ; ,> , > 0 Utilizando la condición de equilibrio de la ecuación (4), se tiene que: = de donde se puede despejar , usando un poco de álgebra. Por lo tanto: = () Reemplazando la ecuación (B) en la restricció n presupuestal, se obtiene lo siguiente: + = lo cual, tras un sencillo despeje algebraico, queda reducido a: ( ℎ ) ∗ = (+) Ahora, reemplazando ∗ en la ecuación (B), y simplificando un poco, se obtiene: ( ℎ ) ∗ = (+) ∗, ∗), y reemplazando esta cesta óptima de consumo en la Conoci d a l a el e cci ó n ópt i m a ( función de utilidad, se tiene que: ∗, ∗) = (, , ) ( = (+) (+) (ó ) Teniendo en cuenta (CN), el problema dual de este consumidor viene dado por: mi,n ℎ + ℎ .. ((∗, ∗) = donde la restricción del problema se puede reescribir como: = (+) (+) Utilizando algo de álgebra para despejar , se encuentra:
( ℎ + ℎ , ,)= =(+) (ó í ) Ahora, aplicando el Lema de Shephard, se tiene que: (,, ) =ℎ = ( ) (,,) =ℎ = ( ) Ejercicio (d) El problema primal del consumidor viene representado de la siguiente manera: max, 3√ +2 .. += Utilizando la condición de equilibrio de la ecuación (4), se tiene que: 32 √ = de donde se puede despejar , usando un poco de álgebra. Por lo tanto: = 49 () Reemplazando la ecuación (C) en la restricción presupuestal, se obtiene lo siguiente: 4 + 9 = lo cual, tras algo de álgebra para despejar , queda reducido a: ) ( ℎ ) ∗ = (99+4 Ahora, reemplazando ∗ en la ecuación (C), y simplificando un poco, se obtiene: ) ( ℎ ) ∗ = (94+4 ∗, ∗), y reemplazando esta cesta óptima de consumo en la Conoci d a l a el e cci ó n ópt i m a ( función de utilidad, se tiene que: (∗,∗)=(, ,)= (9+4 ) (ó )
Teniendo en cuenta (CN), el problema dual de este consumidor viene dado por: mi,n ℎ +ℎ .. (∗,∗)= donde la restricción del problema se puede reescribir como: ) = (9+4 Utilizando algo de álgebra para despejar , se l ega a la siguiente expresión: )= (, , ℎ +ℎ = 9 +4 (ó í ) Aplicando el Lema de Shephard, se tiene que: (,, ) =ℎ = 93 +4 ( ) (, ,) =ℎ =92 +4 ( ) Ejercicio (e) El problema primal del consumidor viene representado de la siguiente manera: max, min {,} .. += Enprefesterencie probl e ma, el consumi d or demanda bi e nes compl e ment a ri o s. Dado que l a s a s de est e consumi d or est á n represent a das a t r avés de una f u nci ó n mí n i m o, y éstecuacia esónuna(4)funonciesónposiqueblnoe aplseicpuede di f e renci a r, ent o nces l a condi c i ó n de equi l i b ri o de l a arla en este caso. Recuerde que l a sol u ci ó n de est e probl e ma est á caract e ri z ada cuando =; l a el e cci ó n óptla miimsama.de dosPorbileonestantcompl e ment a ri o s se dá cuando l a cant i d ad demanda de cada bi e n es o , si l a condi c i ó n es =, es posi b l e reempl a zar est o en l a resttienericque:ción presupuestal y expresarla en términos de un sólo bien. Dado lo anterior, se += y despejando se encuentra: ∗ = + ( ℎ ) Pero como =, entonces se tiene también que: ∗ = + ( ℎ )
∗, ∗), y reemplazando esta cesta óptima de consumo en la Conoci d a l a el e cci ó n ópt i m a ( función de utilidad, se tiene que: (∗,∗)=min + , += + =(, ,) (ó ) Teniendo en cuenta (CN), el problema dual de este consumidor viene dado por: mi,n ℎ +ℎ .. (∗,∗)= donde la restricción del problema se puede reescribir como: = + Haciendo un sencil o despeje de , se encuentra: (, ,)=ℎ +ℎ =( +) (ó í ) ) Apldifeirenci candoablele enLema yde, Shephard, t e ni e ndo en cuent a que ( , , es una f u nci ó n se tiene que: (,,) =ℎ = ( ) (, ,) =ℎ = ( ) Esporqueposib=). le obteSinerestelo esmiasísmo, entresuloncestado,mitneni{ℎendo, ℎ} en=ℎcuent a l a condi c i ó n ℎ =ℎ (est o { } = y mi n ℎ , ℎ =ℎ = , l o cual es el mismo resultado que se encontró anteriormente. Ejercicio (f) (Caso general de la función de utilidad lineal) El problema primal del consumidor viene representado de la siguiente manera: max, + .. += ; ,>0 Estperfaefctuncios.óLan desolutuciilóidnaddemodel a l a s pref e renci a s de un consumi d or sobre bi e nes sust i t u t o s est e probl e ma, depende de l o s preci o s rel a t i v os (pendi e nt e de l a restricción presupuestal) y de los valores de α y β (pendiente de las curvas de nivel).
Caso 1 < : Enpendiesteentcaso, l a pendi e nt e de l a rect a presupuest a ri a es más i n cl i n ada (mayor) que l a e de l a curva de ni v el . Est o i m pl i c a que el consumo de resul t e más caro que el consumo de , dado que <. Como los bienes son sustitutos perfectos, entonces el
iesqui ndivinda.uo agota todo su presupuesto en el consumo del bien . Esta es una solución de Caso 2 > : Enconsumi este casodor queocurreel consumo todo lo contde r,aripuest o al Caso 1; el consumo de resul t a más caro para el o que > . Como l o s bi e nes son sust i t u t o s perfal igualectoques, entlaodelncesCasoel i1,ndiesvitdauombiagotén unaa todosolusucipresupuest o en el consumo del bi e n . Est a , ón de esquina. Caso 3 = : Ennivelest. Nóte caso,ese lquea pendidadaentlaefdeormala rectlineala presupuest a ri a es i g ual a l a pendi e nt e de l a curva de de l a f u nci ó n de ut i l i d ad, y suponi e ndo ci e rt o ni v el derectutaipresupuest lidad igual aal.,Enpuede exi s t i r una curva de ni v el que se cruce en su t o t a l i d ad con l a ∗ ∗ est e caso exi s t e n i n f i n i t a s sol u ci o nes ( , ), dado que = . ∗ ∗ Laestecombi n aci ó n l i n eal del t i p o [ , ( 1−) ], con 0≤≤1, caracteri z a l a sol u ci ó n de probl e ma, ya que cual q ui e r cest a de consumo (, ) que se encuent r e sobre l a rect a presupuestal, incluídas las esquinas, pueden ser una solución. En síntesis, las soluciones de este problema primal del consumidor vienen dadas por: 0 < ∗ = > ( ℎ ) = < ∗ = 0 > ( ℎ ) (1−) = donde se tiene que 0≤≤1. ∗, ∗), y reemplazando esta cesta óptima de consumo en la Conoci d a l a el e cci ó n ópt i m a ( función de utilidad, se tiene que: < (∗, ∗)=(, ,)= > +(1−) = (ó ) Teniendo en cuenta (CN), el problema dual de este consumidor viene dado por:
mi,n ℎ +ℎ .. ℎ +ℎ = Asolpartucióirndedellaprobl restreicmaciódualn, y tdelenieconsumi ndo en cuent a l o s 3 casos vi s t o s con ant e ri o ri d ad, l a dor viene dada por: 0 < ℎ = > ( ) = < ℎ = 0 > ( ) (1−) = donde se tiene que 0≤≤1. Conoci e ndo l a cest a ópt i m a de mí n i m o gast o (ℎ , ℎ ) y reempl a zando est o en l a f u nci ó n objetivo del problema(ℎ +ℎ), se tiene que: < (, , )=ℎ +ℎ = > { +(1−)} = (ó í ) 3. La Identidad de Roy LateniIedndoentidenadcuentde Roya la sensi muestbrilaidcuálad delesconsumo la cantiddelad biqueen sefrentdebee a variconsumi r de ci e rt o bi e n, a ci o nes en el preci o y en el ingreso. Esta se define como: ⁄ , ,) (, ,)=− ( (, ,)⁄ Caso de la función Cobb Cobb--Dougl Douglas La Función de Utilidad Indirecta es: (, ,)= (+) (+) Calculando las derivadas:
(, , ) = − (+) (+) (, ,) = − (+) (+) (, , ) =(+) (+) (+) Corroborando la Identidad de Roy para ∗ : − (+) (+) ⁄ ( , ,) − (, ,)⁄ =− (+) (+) (+) =∗ ( ℎ ) = (+) = (+) 1 Corroborando la Identidad de Roy para ∗ : − (+) (+) ⁄ ( , ,) − (, ,)⁄ =− (+) (+) (+) =∗ ( ℎ ) = (+) = (+) 1 Caso de la función Leontief: La Función de Utilidad Indirecta es: (,, )= + Calculando las derivadas: (, ,) =− ( + ) (, ,) =− ( + ) (, ,) = +1 Corroborando la Identidad de Roy para ∗ :
− ) ⁄ , , ( ) + − ( =− (,,)⁄ +1 = (( ++)) = ( +) =∗ ( ℎ ) Corroborando la Identidad de Roy para ∗ : − ) ⁄ ( , , ( − (,,)⁄ =− +1+) = (( ++)) = ( +) =∗ ( ℎ ) 4. Deducción de la Función de Utilidad a partir de la Función de Mínimo Gasto Si√ ( es,la, Funci )=2 es la Función de Mínimo Gasto, deducir que (,)= ón de Utilidad. i. Calcular las derivadas parciales de la Función de Gasto: (, ,) =()() = =ℎ (,,) =()() = =ℎ i . Tener en cuenta la condición (CN): =ℎ , =ℎ Por lo tanto: = , = i i. Aplicar la forma funcional de (,)(multiplicar ): = = = Calculando la raíz cuadrada en ambos lados:
= √ Por lo tanto, se tiene que es una función de (, ): (,)= √ 5. Encuent r e l a s correspondi e nt e s demandas marshal l i a nas en n el si g ui e nt e probl e ma de e consumo: consumo: (−2) máxs.a. (−1) 3+4=18 ¿Porqué este problema involucra “niveles mínimos de subsistencia”? En primer lugar notemos que: 3+4=18 ↔3(−1)+4(−2)=7 Definamos =−1 y =−1. Entonces el problema del consumidor es: máxs.a. 3+4=7 Se sabe que las demandas marshallianas de una función (,)= son: y ∗ = (+) ∗ = (+) donde es el presupuesto y es el precio de la mercancía . De este modo, 2(7) = 1415 y ∗ = 4(2+3) 3(7) = 2120 ∗ = 3(2+3) Reemplazando en el definición de y , tenemos que: ∗ =(∗ −1)= 1415 y ∗ =(∗ −2)= 2120 Resolviendo para ∗ y ∗ se tiene, ∗ = 2915 >1 ∗ = 6120 >2 6. Unbienconsumi d or t i e ne un presupuest o de $50 para l a compra de dos bi e nes ( ( y ). . El cuest a 10% por uni d ad y el bi e n cuest a $2 por uni d ad. Si n embargo, el Gobi e rno harestdeciriccidóónonsubsi d i a r l a compra de l a s pri m eras dos uni d ades de cada bi e n. a) Di b uj e l a presupuest a ri a , b) Suponga que el consumi d or t i e ne una f u nci ó n de ut i l i d ad (, )=mi mi n {, } y e ncuent r e ( gráf i c ament e ) l a s demandas marshal l i a nas y c) Imagine una situación real que se adapte a este problema.
a) La restricción presupue taria del consumidor en ausencia de subsidio es: 10250, Porlas otunirodlaadesdo, siqueel Gobiel coensumidor rno subsidia las 2 primeras unidades consumidas, entonces de consume, él sólo paga 2 unida es, por tanto su restricción presupuestaría es:
10 2) 2 2) 50 ↔ 10 2 74 Por tanto, la restricción on subsidio no es más que un desplazamiento hacia afuera de la restricción original, como se observa en la gráfica: GRÁFICO 1
b) Recordemos que en el caso de un consumidor con una función de tilidad Leontieff ,) min, , la condición de maximización de la utilidad es . Por tanto, en este caso, la s lución al problema de maximización de la utilidad es el punto donde y 10 2 74. Véase la gráfica: GRÁFICO 2
c) Piense, por ejemplo, e el caso de un consumidor que le gusta bañarse con agua caliente. Para este consumidor, el servicio de agua y el servicio de as electricidad)
sonconsumo compldeement a ri o s. Además, el Gobi e rno subsi d i a l a s pri m eras uni d ades t a nt o del agua, como del consumo de gas (electricidad). 7. Encont r ar l a s demanda marshal l i a nas de un consumi d or con una f u nci ó n de ut i l i d ad ()=l l (+), , si el preci por uni es y . . ¿Cuál es n o d ad del bi e n el presupuest o es la utilidad máxima? El problema del consumidor es: (1+) máxs.a. ln= Observe que l a f u nci ó n de ut i l i d ad es creci e nt e en el ni v el de consumo del bi e n , es deciester,problla uteilmaidaddebemos es mayorencont mientrraraselmásnivaleltomáses elalconsumo del bi e n. Para resol v er t o de consumo que sat i s f a ce l a restpuedericcipermi ón presupuest a ri a . ¿Cuál es el ni v el máxi m o de consumo que ést e consumi d or t i r se?, l a respuest a es, “l o que l e permi t e su rest r i c ci ó n de presupuest o ”, es decir, = Porconsumitantdoor, laes:utilidad se maximiza cuando =/. La utilidad máxima de este (,)=ln1+ 8. ¿Cuál es el signo de la elasticidadad--ingreso de un bien normal?, y ¿el de un bien inferior? Recordemos que un es aquel cuya demanda es creci e nt e en el ni v el de iporcent ngreso.ualAdemás, l a el a st i c i d adi n greso de l a demanda corresponde al cambi o de l a demanda ant e una vari a ci ó n (di g amos un i n crement o ) de un 1% en elbieninvnormal el de ingreso. Se deduce ent o nces que l a el a st i c i d ad i n greso de l a demanda de un debe ser posi t i v o. Si m i l a rment e , un es aquel cuya demanda seingreso reducedeantla demanda e incrementde ouns enbieeln ininfveelrioder esrentnegata, porivo.tanto el signo de la elasticidad9. Determine si la afirmaci ón es falsaoverdadera: “ =() ” Defaumento iniendodeelpreci ingresoos ∆>0, inicial escomo(+∆)(+∆), tendremosdonde que el∆<0ingreso(pordespués de un l a l e y de l a demanda). Entonces:: bien normal
bien inferior
Si una curva de demanda elástica en el precio , el ingreso ( ) cae cuando el precio sube ,,
es
(+∆)(+∆) =< +∆+∆+∆∆ +∆+∆ (pues ∆∆<0) ∆ < pues ∆+∆<0 ya que ∆ <−1 (curva elástica) 10.Def 10. DefLeontiniireflaycurva de Engel y cal c ul a r est a curva para l a f u nci ó n Cobb CobbD Dougl ougl a s, l a f u nci ó n la función (,)= √ +.. Labien y el ingreso delmuestconsumi ra la reldor;acióesn exidecistre,ntcómo e entrvaríe laacantla cantidadiddemandada de un ad demandada a medida que varía su renta. Consi d eremos l a demanda de l o s bi e nes y de un consumi d or que posee una fbiuencin estónádedadautipor:lidad Cobb-Douglas (,)= . En ese caso, la demanda de cada y = (+) = (+) Entescrionces, para unos preci o s f i j o s y l a demanda de ambos bi e nes puede birse como: = y = (∗) donde = () y = () . A las curvas en(∗)se le denomina curvas de Engel de los bienes y , respectivamente. Consi d eremos l a demanda de l o s bi e nes y de un consumi d or que posee una función de utilidad Leontief . En ese caso, la demanda de ambos bienes está dada por: == + Entonces, para unos precios fijos y la curva de Engel de cada bien está dada por: = 1 y = 1 donde = . Fiposeenalmunaentef,uconsi d eremos l a demanda de l o s bi e nes y de un consumi d or que nci ó n de ut i l i d ad (,)= +. En ese caso, l a demanda de ambos √ bienes está dada por: 1 = 4 y = − 14 curva de Engel
Notasocie aquer unala curva demandade ngelel bieanest anomercancí dependea.delPorpresupuest o , l u ego no se puede ot r o l a do, l a de anda del bi e n varía ante cambios del ingreso sólo a través del término , por tanto para un precio fijo la curva de Engel del bien está dada por: = 11.A 11. A partir de la curva de E gel, dar la definición de y de . Unala curvarepresent a ci ó n de l a curva de Engel es en el espaci o de l o s bi e n s ( y ). Como de Engel mue st r a l a rel a ci ó n exi s t e nt e ent r e l a cant i d ad d emandada de un bisucesien yvelament ingresoe eldelingreconsumi d or, ent o nces t o do l o que debemos hac r es i n crement a r so del consumi d or y l u ego cal c ul a r su dema da marshal l i a na para cada ni v el de i n gr eso. Ensegui d a uni m os l a s el e cci o nes del con sumi d or a t r avés de una curva (véase el gráf i c o 3). A l a curva que resul t a se l e denom i n a . GRÁFICO 3 bien Giffen
bien l jo
curva oferta-
ingreso
Consi d eremos ahora u n i n crement o del preci o del bi e n . Como e observa en el gráflos ibicoenes4, después del i n crement o del preci o del bi e n, su demanda se i n crement ó . A cuya dema da se i n crement a a medi d a que aument a su preci o se l e s denomina . GRÁFICO 4 bienes Giffe
Pordemanda otro lesado,superiun or a 1. se define como un bien cuya elastici ad ingreso de la 12.I y de la función de utilidad Cobb Cobb--Dougl Douglas (,)= 12. Ienntetérpretrminaosr lodes coeflas elicaiestniciesdades. Determinemos la elasticidad de la utilidad ante variaciones en el consumo del bien : = = = = Tenemos ent o nces qu e l a el a st i c i d ad de l a ut i l i d ad con respec o al bi e n es preci s ament e su coef i c i ent e . Se deduce de i n medi a t o que l a el a st i c i ad de l a ut i l i d ad con respecto al bien es =. 13.¿Por 13. ¿Por qué dos curvas de ivel de utilidad no pueden intersectarse? Supongamos que dos c urvas de ni v el de ut i l i d ad se i n t e rsect a n en u punt o , como se muestra en la siguiente figura: GRÁFICO 5 bien de lujo
Como l a curva de ni v el de ut i l i d ad es di f e rent e de l a curva de ni el de ut i l i d ad sonentonces diferent()=() es, entonces.Porot.roComo y est á n sobre l a cu rva de ni v el , l a do, como y est á n sobre l a urva de ni v el , entonces ()=() = . Se concl u ye ent o nces que = , l o cual es una contradicción. 14.¿Puede ser que l a est r i c ci ó n presupuest a ri a sea l a mi s ma i n cl u s o en el caso de 14. ¿Puede r hogares cuyas preferencias son diferentes? Notpresupuest e que loa. restComoricciloónprecide presupuest o depende úni c ament e de l o s preci o s y el o s de mercado se supone son i g ual e s para t o dos l o s hogares, entonces si dos familias poseen el mismo ingreso, entonces enfrentan la
miprefsmaerencirestarsidiccifeórentn presupuest a ri a . Por consi g ui e nt e , es posi b l e que dos hogares con es posean la misma restricción presupuestaria. 15.Supongamos que ust e d desea model a r el grupo upo homogéneo de 15. Supongamos comport a mi e nt o de un gr consumi d ores que sol o consumen dos bi e nes compl e ment a ri o s. ¿Cuál f u nci ó n de l a s estudiadas en el curso le ayudaría a modelar mejor la utilidad de este grupo? Consi d ere l a f u nci ó n de ut i l i d ad (, )=mi n {, }. En ese caso, l a s demandas marshallianas están dadas por: == + Note que = = () <0, es decir, a medida que se incrementa el precio del otcomplro bieement n, laademanda del bi e n en cuest i ó n se reduce. Por t a nt o , ambos bi e nes son rios. ¿Y si los bienes fueran sustitutos? Considere la función de utilidad (,)= √ +, cuyas demanda marshallianas son: 1 = 4 y = − 14 Observe que = >0 y = >0, es decir, a medida que se incrementa el preci o del ot r o bi e n, l a demanda del bi e n en cuest i ó n se i n crement a . Por t a nt o , ambos bienes son sustitutos 16.Un d or posee una f u nci ó n de ut i l i d ad l i n eal (,)=+. . Además, Además, el 16. Unenfrentconsumi presupuest a ri a +=. . Medi Medi a nt e una buena gráf i c a a una rest r i c ci ó n presupuest a ri a responda si g ui a) ¿Cuál e s son l a s demandas? ¿Qué ni v el de ut i l i d ad (bi e nest a r) l o e nt e : máxi m a al c anza?, , b) Si el preci o del bi e n aument a 20%, , ¿cuál será el i n greso anza? 20% adirequicioenalre denecesari o para mant e nerse en el mi s mo ni v vel el de bi e nest a r ant e ri o r? ¿Se un ef e ct o sust i t u ci ó n para regresar a l a s demandas ori g i n al e s ant e s del aument preci c) Si el preci o del bi e n y aument a 20% 20%, , ¿cuál será el i n greso o de o ? adirequicioenalre denecesari o para mant e nerse en el mi s mo ni v el de bi e nest a r ant e ri o r? ¿Se un ef e ct o sust i t u ci ó n para regresar a l a s demandas ori g i n al e s ant e s del aumento de precio?
a)
GRÁFICO 6
Notdifeerenciquea enestlea dema consumidadestáor pondera i g ual ambas mercancí a s, l u ego cual q ui e r expl i c ada por l a di f e renci a en l o s p reci o s de ambos bitoetanes.lidadObserve que 2 3, por tanto este consumidor refiere gastar la de su presu puesto en el bi e n . De este modo, l a uti l i d ad máxi m a es (9,0) 9 0 9 . b)
GRÁFICO 7
2 el preci o i n i c i a l . Si el preci o del bi e n aumenta en un 0%, entonces l e 10. )2. preci o f i n al es 2 4 . En ese caso, l a demanda del bi e n se reduce aproxi m adamente en 1 6%. A l o s nuevos preci o s se requi e re dotar al consumi d or con un presupuesto: 2.2.449)30) 3 21.6 Sea
para que regrese a s nivel inicial de utilidad. Por tanto, el ingreso adicional es 21.6183.6, el cual es equivalente a un incremento del 2 %. Observe que ∆ la diferencia entre la elección inicial y la elección a los nuevos preci s y presupuesto compensado es la mis a, por tanto el efecto sustitución es nulo. c) GRÁFICO 8
Note que después del aumento del precio del bien la elección del c onsumidor sigue siendo la misma, por tanto no es necesario compensar al cons midor con más presupuesto para que regrese a su nivel de bienestar inicial. Así mismo, el efecto sustitución es nulo. 17. Comprobar una de las cuatro / / cuando el con umidor tiene la función de utilidad , ) . Las demandas marshal ianas están dadas por: 2 y 2 El efecto precio es: 1 1) 2 La función de utilidad i directa es: , , 12 // 2) Haciendo y en 2), y despejando se tiene que la funció de gasto es: ,, 2// ecuaciones de Slutsky
Por el lema de Shepard,
ℎ // Luego, el efecto sustitución es: ℎ − 12 //
pero de (2) sabemos que = //, entonces: ℎ =− 14 (3) El efecto ingreso es: = 14 (4) Restando el efecto ingreso (3) del efecto sustitución (4) tenemos que: ℎ − =− 14 − 14 =− 12 Porcomprobando tanto el efasíectlaoecuaci precioónesdeigSlualutsky.al efecto sustitución menos el efecto ingreso, 18.Most que l a curva de demanda de l a f u nci ó n de ut i l i d ad Cobb CobbD Dougl ougl a s puede ser 18. Most r ar linealizada tomando logaritmos a ambos lados de la ecuación. Recordemos que l a demanda marshal l i a na del bi e n para el caso de una f u nci ó n de utilidad Cobb-Douglas (,)= está dada por: = (+) Tomando logaritmo a ambos lados de la ecuación tenemos: log = log (+) −log = log(+) = −log donde =l o g . Si def i n i m os =l o g y =log , tenemos que la demanda () de puede ser equivalentemente escrita en forma lineal como =−.
19.Encont r ar l a i of 19. Encont demanda de n sumos, l a e rt a de product o y el benef i c i o máxi m o, para una empresa cuya t e cnol o gí a es ()= ( +), , parámet = y =, , y con unos r os dados por el mercado. La función de beneficios de la empresa está dada por: ()=10ln(1+)−2 Calun cpocoulandode állagderiebravadaparaparcidespejal dear () con respect o a , i g ual a ndo a cero y apl i c ando , se tiene que: () 10 = (1+) −2=0 ∗ =4 ( ó ) Reemplazando ∗ en ()=ln (1+), se tiene que: ( (∗)=ln(5)=1, 6 1 ) Y, finalmente, reemplazando ∗ y (∗)en la función de beneficios, se obtiene: (∗)=10(1, 6 1)−2(4)=8, 1 (á ) 20.Def 20. Defrendiinimr iquéentoess aunaescalfuanci. ón homogénea de producción y relacionarlo con los SeaSe di(,ce que) una(,)funciesóunan defuproducci ó n que represent a l a t e cnol o gí a de una empresa. nción homogénea de grado si: (,)= (,) ; >1 a) Si 0<<1 , entonces (,) exhibe rendimientos decrecientes a escala: (,)= (,)<(,) b) Si =1, entonces (,)exhibe rendimientos constantes a escala: (,)= (,)=(,) c) Si >1, entonces (,)exhibe rendimientos crecientes a escala: (,)= (,)>(,) r
21.Encont r ar l a s demandas (condi c i o nadas) de i n sumos y l a f u nci ó n de cost o s, para una 21. Encont empresa que opera con bienes complementaririoossdedelalafoformarma =(,)={,} El problema de minimización del costo se plantea de la siguiente forma: min+ . ={3,2} Dado que son bi e nes compl e ment a ri o s, se t i e ne que en el punt o crí t i c o de l a fprobl uncióenma3=2. Por l o t a nt o , t e ni e ndo en cuent a est a condi c i ó n, de l a rest r i c ci ó n del se tiene que: ={3,3} =3 ó ={2,2} =2 Por lo tanto: ()∗ = 3 ( ) ()∗ = 2 ( ) ∗ ∗ en la función objetivo del problema, se obiene + , lo Reempl a zando cual, tras un poco de álgebra sencil a, se convierte en: ()=3 + 2 (ó ) Adeestlaafirempresa no es posi b l e asoci a rl e un máxi m o benef i c i o , puest o que l a t e cnol o gí a ma est á dada por una f u nci ó n de coef i c i e nt e s f i j o s. Est o i m pl i c a que l a f u nci ó n derendiproducci ó n, pri m ero, no es cuasi c óncava est r i c t a y, segundo, no exhi b e m i e nt o s decreci e nt e s a escal a . Por l o t a nt o , no est á def i n i d a una condi c i ó n de máximo beneficio. 22.Si (,)(donde (donde es capi t a l es t r abaj o ) 22. Sideunagradofunci1, ódemost n de producci ó n y es homogénea r ar que est a f u nci ó n puede expresarse en t é rmi n os de l a forma (,)=(),, donde =(⁄),, y sigue siendo homogénea de grado 1. i) (,)=(,); ∀ >0 (Definición de homogeneidad grado 1) i ) (,)= (, ) = , =(,1)=() (Términos per-cápita) i i) (,)=()===() (Trabajo algebraico) iv) (,)=()=()=(,) (Teniendo en cuenta (ii) y (ii )) v) (,)=(, ) (Por (i) y (iv)) per- per -cápita -cápita
Este resul t ado suel e ser muy úti l para l a model a ci ó n de al g unas teorí a s macroeconómi c as de l a rgo pl a zo, como por ej e mpl o , l a teorí a del creci m i e nto; se puede anal i z ar una economí a en térmi n os perc ápi t a agente representati v o), si n vifuoncilarólansdecaracterí s ti c as de l a f u nci ó n de producci ó n de toda l a economí a en conj u nto producción agregada).
23.Most r ar que el benef i c i o de una empresa que opera baj o y = f ( x) es cero cuando 23. Most produce un nivel y*, tal que satisfaga p = c(y*)/y*. Una empresa tiene la siguiente función de beneficios: ()=−(); =() ∗) el nivel de producción para el cual la empresa obtiene beneficios Seanulos,es∗ =( ∗)=0. Teniendo en cuenta la función de beneficios de la empresa, deci r , ( se tiene entonces lo siguiente: (∗)=∗ −(∗)=0 Y tras un sencil o trabajo algebraico, se l ega a:∗ = (∗ ) Estbenefa condi c i ó n det e rmi n a el ni v el de producci ó n para el cual l a empresa obt i e ne i c i o s nul o s; cuando el preci o de mercado del bi e n o servi c i o que produce, es i g ual al costo medio al que incurre por producirlo. Nótese lo siguiente: a) Siempresa > ()obtiene()>0 (Si el preci o de mercado es mayor que el cost o medi o , l a beneficios). b) Siempresa = ()obtiene()=0 (Si el preci o de mercado es i g ual que el cost o medi o , l a beneficios nulos). c) Siempresa < ()obtiene()<0 (Si el preci o de mercado es menor que el cost o medi o , l a pérdidas). 24.Probar que el cost o medi o es mí n i m o en el ni v el de producci ó n que i g ual e ést e cost o 24. Probar medio con el costo marginal, es decir, que c(y)/y = c’(y). Seacero,lasefutnciieneónque:de costo medio CME = c(y)/y. Derivando con respecto a y e igualando a ()−() = =0
Aplicando un poco de álgebra, se l ega a lo siguiente: ) ) Por lo tanto: ) )→ Encurvael mídencosto imo demargila fnualnci. ón de costo medio, la curva de costo medio se corta con la
25.Ut ilizandorar ellasmétdemandas odo de la óptMaxiimmasizacideónindelsumos,Beneflaiciofo eyrtela dedelaproduct Minimiozaciyóeln delbenefCosticoio, 25. Utencont máxi =(,)= m o, de una empresa que opera con una t e cnol o gí a dada por . Compare las soluciones de los dos métodos. La Maximización del Beneficio El problema de maximización del beneficio, para esta empresa, es el siguiente: max, −(+) .. (,)= donde la función de beneficio de la empresa es: (,)= −(+) (1) Calculando las derivadas parciales de (1) se tiene que: = 4 − =0 → 4 = (2) = 4 − =0 → 4 = (3) Ahora, di v i d i e ndo (2) en (3) y apl i c ando al g o de ál g ebra, se obt i e ne l a condi c i ó n de máxi m o benef i c i o (Tasa Margi n al de Sust i t u ci ó n = Rel a ci ó n de preci o s de l o s insumos): 4 ⁄ (,) = = = (4) → = (,)⁄ 4 La condición (4) se puede expresar como:
4)
Reemplazando (4’) en (2), y aplicando álgebra sencil a para despejar , se tiene que: ∗ = ( ó ) 16 y reemplazando ∗ en (4’), se obtiene: ∗ = ( ó ) 16 ∗ e ∗ en (,) y utilizando álgebra para simplificar, se tiene Ahora, reempl a zando que: ∗ =(∗,∗)= 4√ ( ) Fiencuent nalmentra:e, reemplazando ∗,∗ e ∗ en la función de beneficios de la empresa, se ∗ = 8√ (á ) La Minimización del Costo Elsiguiproblenteefmaorma:de minimización del costo, para esta empresa, se representa de la mi,n + . = donde l a f u nci ó n obj e t i v o del probl e ma ( + ) represent a l o s cost o s de l a empresa. Nótese que la restricción del problema se puede reescribir como: = (1) Reempl a zando (1) en l a f u nci ó n obj e t i v o del probl e ma (el cual es un probl e ma de optun probl imizaciemaón derestoptrinimgiidzo),acióéstn noe serestpuederingidreplo) deantleaarsigsóluieontene ftoérma:rminos de (el cual es min + Derivando la función con respecto a e igualando a cero, se tiene que: − + =0
y aplicando un poco de álgebra para despejar , se encuentra: ∗ ) ) ∗ en 1) y haciendo un sencil o procedimiento algebraico, se Ahora, reempl a zando ) obtiene: ∗ ) ) ∗ e )∗, se reemplazan éstos valores en la función Una vez se encuentran ) objetivo del problema, es decir: )∗ )∗ lo cual, utilizando un poco álgebra para simplificar, queda reducido a: ) 2 (ó )
Yanivseel dehanproducci encontróadon iglualas sola ,uciesonesdecialr ()probl∗ eema()de∗.laConminéstimaiszaciseóencuent n del costraola, parafunciunón de costos (). Ahora, el problema a resolver es encontrar el nivel óptimo de . Como ya se conoce cuál es l a f u nci ó n de cost o s de l a empresa, ent o nces l a f u nci ó n de beneficios de la firma puede expresarse de la siguiente forma: =−() (2) Derivando (2) con respecto a e igualando a cero, se obtiene lo siguiente: =−()=0 =() (3) Fílajcualese quedicelaqueecuaciel nióvnel(3)óptnoimeso demásproducci que la condi c i ó n de máxi m o benef i c i o de l a f i r ma, ó n es aquel cuyo cost o margi n al es i g ual al precio de mercado del producto. Teniendo en cuenta la condición (3) y la función de costos (), entonces se tiene que: =4 y despejando se l ega a: ∗ = 4√ ( ó ó) Reemplazando ∗ en (), se tiene que:
∗ ) 8√ í ) Ahora, reemplazando ∗ y ∗) en (2), y simplificando la expresión con un poco de
álgebra, se obtiene:
∗ = 8√
(á ) YdefiHotnalmelenting:e, para hallar las demandas óptimas de los insumos e , se aplica el Lema ∗ =− ∗ → ∗ = ( ó ) 16 ∗ =− ∗ → ∗ = ( ó ) 16 Nótposiebsele que,deducia partr lasirsoldeucilaosnessoludelcioprobl nes delemaproblde leamamaxidemliazacimiónnimdelizacibenefón deliciocost. Estoo, eses porque, en esenci a , l a s sol u ci o nes de ambos probl e mas resuel v en el mi s mo probl e ma de optimización. A esto se le conoce como el principio de la dualidad. 26.A 26. AlapartFunciiróden dela Funci ó n de Gast o de l a f u nci ó n de ut i l i d ad t i p o CobbCobb Dougl D ougl a s, deduci r Costo de la función de producción tipo CobbDouglas. Cobb-Dougl El problema dual del consumidor se representa de la siguiente forma: mi,n ℎ +ℎ .. (, ,)(,, ) = donde se t i e ne que ( , , ) e ( , , ) son l a s demandas marshal l i a nas y, por conveniencia notacional, = y (,, ) = ℎ e (,,)= ℎ. Por lo tanto: mi,n ℎ +ℎ .. ℎℎ = Unaℎ(vez, det, e))rmiy nreempl adas laaszando soluciéstonesas en(quela fsonuncilaósndemandas hi c ksi a nas ℎ ( , , ) y objetivo del problema, se tiene: (, ,)= → ó (En están implícitos y ) Ahora, el problema que caracteriza la minimización del costo viene dado por: mi,n + .. = ytieconne: las soluciones ∗ e ∗, se reemplaza en la función objetivo del problema y se (, , )= → ó (En están implícitos y )
Nótese que si hacemos =, es deci r , si (de al g ún modo) se prod j e ra uti l i d ad, l a s ó n de Cost o s como l a Funci ó n de Gast o , t dosformafuncifuoncines,onaltanto. Estola unci ndrí a n l a mi s ma s porque, esenci a l m ent e , el probl e ma de l a i n i m i z aci ó n del nsumi d or, es el mi s mo probl e ma de l a mi n i m gasto, de l a teorí a del co i z aci ó n del costo, ensiguilaenteteorímanera: a del productor. Gráficamente, esta similitud se puede observar de la PANELA
GRÁFICO 1
PANEL B
27.Most r ar que l a curva de Cost o Medi o [ c (z)/z] , asoci a da a una t e cnol o gí a x, y ) t i p o 27. Most f del ti CobbDougl D ougl a s, es decrec i e nt e si f ( x, y ) t i e ne rendi m i e nt o s creci e nt e s a escal a economí a Cobb de escala). La (,)= tecnologíade, donde esta (α+β) mpresa>est1 (rendi á dadamporientounas crecifuncientóens adeescalproducci ó n del ti p o ). La f u nci ó n de costos asociada a esta tecnología está dada por: ()= Definiendo el Costo Medio, se tiene que: () () = = = Dado que (α+β) > 1, el exponente de la función de Costo Medio es ne ativo, luego: = () = () Derivando con res ecto a , se tiene que: =− () < 0
Porproducci lo tanto, esta f u nci ó n de Costo Medi o es decreci e nte en , cuando l a f u nci ó n de ón exhibe rendimientos crecientes a escala [αβ) > 1].
28.Encont r ar l a f u nci ó n de cost o s, l a f u nci ó n de of e rt a , l a f u nci ó n de benef nef i c i o s y l a s 28. Encont be fentuncireodosnes deciudemanda de i n sumos, para una agenci a de vuel o s que t r ansport a pasaj e ros dades de un mi s mo paí s y cuya t e cnol o gí a est á represent a da a t r avés de .., donde son los números de vuelos de bajo costo e el número de(,)= vuelos de alto costo. Detecnollo ovigístaodelenticlpaose,(,)= se sabe quela(Cobbs demandas condi c i o nadas de i n sumos para una Douglas) vienen dadas por: ∗ ∗ () = () = Por lo tanto, dados los parámetros A = 7, α = 0.24 y β = 0.54, se tiene que: . . 0. 2 4 ∗ () =7 0.54 (ó ) . . 0. 5 4 ∗ () =7 0.24 (ó ) ∗ e ()∗ en + (función objetivo del problema de Reempl a zando () minimización de costos), y aplicando un poco de álgebra para simplificar, se obtiene: ()=0.21... (ó ) Ahora, teniendo en cuenta ()∗, ()∗ y (), se encuentra: ()=−0.21... (ó ) De la condición de máximo beneficio, se tiene que: =0.27... y despejando , se obtiene: ∗ = 67..7.. ( ó ) Reemplazando ∗ en (), se encuentra: . 52. 8 ∗ ( )= .. (í ) Reemplazando ∗ y (∗) en la función de beneficios, se tiene que: . 14. 9 ∗ ( )= .. (á )
Y, finalmente, aplicando el Lema de Hotelling, se obtiene: . ∗ 14. 4 ∗ − .. ( ó )
∗ . 33. 6 ∗ − = = .. ( ó ) 29.Def todasdelasofposiertabl= es elastici(αdades> 0),detielanecurvaelastidecidofadertprecia deounconstproduct o r. Most r ar 29. Defqueinlaircurva a nt e α, donde A es una constante mayor a cero. Dibujar algunas de estas curvas para distintos valores de α. Devariiagciualonesformaporcenta loualquees enocurrelos precicon olsa (Elcantastidicadesidad demandas de un product o , ant e Preci o de l a Demanda), l a of e rt a tuniambitariéonsexperi m ent a vari a ci o nes porcent u al e s ant e cambi o s del 1% en l o s preci o s del product o . A est a noci ó n se l e conoce como l a El a st i c i d ad Preci o de l a Oferta (EPO). Siofertsona, entlaosnces: cantidades ofrecidas, el precio unitario del producto y () la función de ×100 = ∆%∆% = (( −−))⁄⁄×100 (ó ) ∆ = () = () ∆ (ó ) Los siguientes son los 5 tipos de elasticidades que puede tener la curva de oferta: a)b) SiSi EPOEPO =∈ (0,0 1) La Lacurvacurvade deofeofrtaertesa perfes ineelctáastmentica. e inelástica. c)d) SiSi EPOEPO => 11 LaLa curva de of e rt a t i e ne el a st i c i d ad uni t a ri a . curva de of e rt a es el á st i c a. e) Si EPO →∞ La curva de oferta es perfectamente elástica. Ejemplo (versión continua): Si = es la curva de oferta, entonces la EPO es: = = = Nótese lo siguiente: a)b) SiSi αα <= 11 LaLa curva curva dede ofofeertrtaa tesieneineleláaststicica.idad unitaria. c) Si α > 1 La curva de oferta es elástica. El1 ysi½:guiente gráfico muestra los 3 casos anterior, con valores explícitos de α iguales a 2,
GRÁFICO 9
30.Def este concept o 30. Deffunciinóirnldea nociproducci ón deóElnaCsESticiy,dada partde Sustir deitéstuciaó,n.l eEstgaruadiloasrcasos en el caso de una l í m i t e : f nci ó n Leont i e f y función Cobb Cobb--DDouglouglas. La(valElgaastlaicredundanci idad de Sustai)t lacisócurvas n (ES) deisocuant una fuancis. Enón otderasproducci ó n, mi d e l a curvatura de pal a bras, par un ni v el f i j o de producci ó n (una curva i s ocuant a ), l a ES es una medi d a que capt a l a s vari a ci o nes del ratSustioitudeciólons(RTS), insumoses dedcie rproducci ó n ante un cambio en la Rel ción Técnica de , en la pendiente de la recta tangente de la i ocuanta. La ES se define como: = ∆∆|⁄|) |⁄|) |⁄|) Dado que, en el equi l i b r o, l a RTS es i g ual a l a pendi e nte de l a curva i s costo, es deci r , a la relación de precios de los insumos [], la ES se puede ree cribir como:
∆|∆⁄⁄)| |⁄⁄)| |⁄⁄)| Aparamenudo, por si m pl i c i ad del anál i s i s , es conveni e nte uti l i z ar l a si g i e nte propi e dad calcular la ES: ∂∂ ≡ ∂l∂lnn Por lo tanto: llnn⁄⁄))
Ensustimuchos estudi o s empí r i c os, l a ES suel e ser muy úti l para anal i z ar el grado de t uci ó n entre l o s i n sumos de producci ó n puede pensarse, por ej e mpl o , en el grado deteorísustia deltuciconsumi ón entredorCapitambi tal yéTrabaj o , de una f u nci ó n de producci ó n agregada). En l a n en térmi n os prácti c os), l a ES permi t e captar el grado de sustitución entre los bienes de consumo. La Función de Producción CES Arrow et-al, 1961)
Una función CES (Constant Elasticity of Substitution), con dos insumos de producción, se define como: (,) =( + ) ; ≤ 1 Calculando las derivadas parciales de (,) se tiene lo siguiente: (,) = ( + ) () (,) = ( + ) () De la condición de equilibrio, se tiene que: ( + )() = = = ( + ) () Y reordenando un poco los términos, con algo de álgebra, se obtiene: = Ahora, aplicando la fórmula para encontrar la ES, primero, se aplica el logaritmo natural a la expresión anterior, lo cual arroja: ln (⁄) = 1 −1 ln () − 1 −1 ln (⁄) y segundo, se calcula la derivada de ln (⁄) con respecto a ln (⁄), con lo cual se tiene que: = lnln((⁄⁄)) = − 1 −1 = 1 −1 ( ó)
Observe lo siguiente: a) Si → 0 = 1 (Elasticidad de Sustitución de la función Cobb-Doulgas). Esto quiere decir que, si → 0, la función CES adopta la forma funcional del tipo CobbDouglas.
b) Siquiere →decir ∞ 0 Elasticidad de Sustitución de la funció Leontief). Esto que, si →∞, la función CES adopta la forma f ncional del tipo
Leontief bienes co plementarios).
31. Definir la noción de Exc dente del Productor.
ctor se define como los beneficios que percib e un empresario ElporExcedente del Produ ser tomador de pre cios en el mercado competencia perfecta). E n otras palabras, esmercado la difederencisuaproduct entre elo, yingreso que recibe el productor por to ar el precio de el ingreso que estaría dispuesto a recibir por un precio inferior al de mercado. Deprecilooaprendi d o en el c urso, se sabe que los beneficios de una empr esa tomadora de s, o que es lo mis o, que opera bajo competencia perfecta, está dados por: ) mercado del producto, el ingreso total ruto) y ) los donde es el preci o de costos totales. en∗ competencia perfecta, exige q ue el empresario Laproduzca condiciunas ón decantimáxidadmoesbeneficio, óptimas , tal que: ∗) donde ∗)es el costo marginal de producir ∗. ∗ y, por lo t nto, un máximo De la anterior condició se obtiene un ingreso total beneficio ∗ ∗ ∗), que es precisamente el Excedente del Pro uctor. Gráficamente: GRÁFICO 10
Eldeárea sombreada repr esenta el Excedente del Productor. Nótese qu e, dado el preci o mercado por l a com etenci a perf e cta ), si el empresari o produc e de acuerdo a l a ), pe o a un precio inferior a , entonces éste se apodera de todo un condi c i ó n excedente denotado por ∗. 32. Determi n e el ti p o de ren dimientos a escala y el plazo corto o largo) q e se representan a partir de las siguientes gráficas: GRÁFICO 11 PANEL A PANEL B PANEL C
De acuerdo a los gráficosanteriores, se tiene lo siguiente: a)b) Panel A Rendi m i entos: Decreci e ntes – Pl a zo: Corto Panel B Rendi m i entos: Constantes – Pl a zo: Corto c) Panel C Rendimientos: Crecientes – Plazo: Corto y Largo 33. Encuent r e para qué ni v e l de producci ó n en el cort o pl a zo), son i g ual e el costo medi o y el costo marginal, bajo r ndimientos decrecientes a escala. , on 01. En el corto plazo, los costos asociados a esta Seatecnol,ogí) a son: ) Costo Total) ) Costo Medio) Costo Marginal) ) Recuerde que, con ren i m i e ntos decreci e ntes a escal a , en el punto í n i m o de Costo Medi o , éste es i g ual al osto Margi n al y, en este punto, l a empresa o bti e ne benef i c i o s nulos. Igualando el Costo Medio con el Costo Marginal ), se tiene que:
donde es el nivel de producción. Aplicando un poco de álgebra para conocer el valor de , se obtiene: 1−) ó ) 0 < < 1), en este punto es importante Dado l o s rendi m i e ntos decreci e ntes a escal a saber cuál es el val o r de y por ende el de 1−) para determi n ar el val o r de l a potenci a de en 1). Con esto, es posi b l e saber si l a curva de Costo Margi n al es l i n eal , cóncava o convexa. Nótese que si 1−), sól o exi s te un val o r que sati s f a ce esa i g ual d ad: cuando 1⁄2. Esto sugiere que existen 3 casos: Caso 1 ( = ⁄) Si = 1⁄2 (1 − ) = = 1⁄2. El nivel de producción que iguala el Costo Medio y el Costo Marginal es: = En este caso, la función de es lineal: =2 ; 1 − = 1
Caso 2 ( > ⁄) Si > 1⁄2 (1 − ) < . El nivel de producción que iguala el Costo Medio y el Costo Marginal es: = (1−) En este caso, la función de es cóncava: 1− <1 ; = Caso 3 ( < ⁄) Si < 1⁄2 (1 − ) > . El nivel de producción que iguala el Costo Medio y el Costo Marginal es:
1−) En este caso, la función de es convexa: ; 1− >1
34. Untufinfaasbrisecantevenden puedea Xproduci r tuf i n as a un costo de US$40 cada una. Se esti m a que si l a s pesos cada una, los consumidores comprarán 120 – X de éstas al
mes. ¿Cuál es el preci o ópt i m o que maxi m i z a el benef i c i o ? Pi s t a : Exprese el benef i c i o mensual del fabricante como una función del precio. Seaempresa eseselexactamente nivel de producci ó n de tuf i n as de esta empresa. Si l o que produce l a lo que vende, entonces se tiene que: 120− Se sabe además que () =40 es el costo unitario (costo medio) de producir tufinas. Por lo tanto, el costo total viene dado por: ()=40 Teni e ndo en cuenta l o anteri o r y l a i n formaci ó n del enunci a do, l a funci ó n de benefi c i o s está dada por la siguiente expresión: ()=(120−)−40 De la condición de maximización del beneficio, se tiene que: () =120−2−40=0 ∗ =40 ( ó) Por lo tanto, el máximo beneficio es: (∗)=40(120−40)−40(40) ∗ =1600
35. Cierta empresa tiene la posibilidad de elegir entre 2 métodos de producción: el método 1 tiene un costo fijo de $50.000 (costo fijo bajo) y un costo marginal de $2.000, mientras
que el método 2 tiene un costo fijo de $120.000 (costo fijo alto) y un costo marginal de $1.000. Trace las curvas de costo marginal y costo medio, correspondientes a los dos métodos. Luego, trace las curvas de costo total para los dos métodos y dedetermine termine los niveles de producción para el cual la empresa utilizará el método 1 o el método 2.
Ello contexto del ej e rci c i o hace alusión al corto plazo, puesto que existe costos fijos. Por tanto, en el corto pl zo, los costos totales (CT) de la empresa se definen como la suma entre los costos v riables (CV) y los costos fijos (CF), es decir: =+ (1) Si es el nivel de produ ción de la firma, entonces la ecuación (1) se define como: ) () + ; es el costo ijo constante) Nótese que de lo anterior: ) ) ) ) → Si )es una funció lineal sin intercepto), entonces: ) ) ) y por lo tanto, se tiene la siguiente propiedad: ) ) ) 2)
Método de producción # 1 Costo Fijo = 50.00 y Costo Marginal = ()= 2.000
Aplicando la propiedad 2), se obtiene: ()=2.000=() Entonces, los costos totales de la empresa, bajo este método de produ ción, son: () =2.000+50.000 Y, por su parte, los costos medios serán: () =2.000+ 50.000
Observe que las curvas de costo medio () y costo marginal (′()) no se cortan, salvo en el límite cuando →∞ lo cual es imposible en tér inos prácticos):
50.000 2.000 2. 0 00 lim →
Método de producción 2 Costo Fijo = 120.0 0 y Costo Marginal = () = 1.000 Aplicando la propiedad (2) se tiene que: ()=1.000=() Entonces, los costos tot les, para este método de producción, están da () =1.000+120.000 Los costos medios asociados a este método son: () =1.000+ 120.000
dos por:
Al igual que el caso del étodo 1, nótese que la curva de costo medio curva de costo marginal, salvo en el límite cuando → ∞:
120. 0 00 lim 0 00 1. → =1.000
La razón por la cual ést es porque la función de debe exhibir rendimien
o se corta con la
do 2), sproducci curvas noón sequecortan en ambos casos méto o 1 y méto de esta empresa, genera l a f u nci ó n de costos os constantes a escala.
Igual a ndo l a s curvas d costo total de l o s métodos de producci ó n siguiente: ()=() 2.00050.0001.000
y 2, se tiene lo
120.000
∗ 70
Ende producci este nivelónde1produc ó el mé nivel de producción, es Graficando las curvas d
ión ∗ 70, la empresa es indiferente entre tilizar el método todo de producción 2, puesto que el costo tota l en ambos, a ése l mismo: ∗ ) ∗ ) 190.000. costo total, se tiene lo siguiente: GRÁFICO 12
Observe que en el área sombreada llamada A, los costos totales del étodo 2 superan a los costos totales del método 1. Lo contrario ocurre en el área so breada B, donde los costos totales del método 1 son superiores a los del método 2. Por lo tanto: a) Para cualquier nivel de producción , tal que ∗ , se tiene q e ) ). En este caso, la empresa elige el método de producción de costo ijo bajo, es decir, el método 1. b) Para cualquier nivel de producción , tal que ∗ , se tiene q e ) ). En este caso, la empresa elige el método de producción de costo f ijo alto, es decir, el método 2. 36. Si una empresa tiene dos plantas con funciones de costo ) ) y () =(), enco trar la función de costos de la empresa. Hacer el mismo las plantas tienen funciones de costo ) ) y ejercicio pero cuando () =(), y también cuando ) ) y ) ) .
Elsiguiproblente:ema a resolver, para encontrar la función de costos en cada caso, es el min ))) .. Enproblelemaprima resol er casover esseeltisieneguiente:)) y )). Entonces, el min ) 3() 2() .. = DeFO),la ésta restriqueda cción,expresada se tiene queen térmi =− . Reemplazando esto en la función objetivo nos de de la siguiente manera: ) 3(−) 2 Derivando la FO con respecto a , se tiene que: ) −66 4 0 ∗ 35 Y reemplazando ∗ en la restricción del problema, se obtiene: 35 = ∗ = 25 Finalmente, reemplazando ∗ e ∗ en (), se l ega a: 9 4 ()=3 25 2 25 6 ()= 25 (ó ) . Por lo tanto, el ) ) Enproblel esegundo caso se ti e ne que ) y ) ma a resolver es el siguiente: min ) 3() 2() .. = DeFO),la ésta restriqueda cción,expresada se tiene queen térmi =− . Reemplazando esto en la función objetivo nos de de la siguiente manera: ) 3(−) 2
Derivando la FO con respecto a , se tiene que:
) 32 (−) (−1) =0
y aplicando un poco de álgebra para despejar , se l ega a: ∗ = 413
Ahora, reemplazando ∗ en la restricción del problema, se obtiene: 413 = ∗ = 913 Finalmente, reemplazando ∗ e ∗ en (), se l ega a: 4 9 ()=313 213 ()=1313 (ó )
Enproblelematercera resolcasoverseestielenesiguiqueente:)) y )). Entonces, el min )) ) .. Aquí ocurre al g o i n teresante. Nótese que el costo margi n al , en cada pl a nta, resul t a ser el mismo, independientemente del nivel de producció n en cada una de ellas: ) 1 2() () 1 = = 2()
Esto i m pl i c a que el empresari o no ti e ne ni n gún i n centi v o en recargar un ni v el de producci ó n mayor en una u otra pl a nta. El empresari o , entonces, di s tri b ui r á el ni v el total de producci ó n en dos partes i g ual e s para cada pl a nta, es deci r . Por l o tanto, de la restricción se obtiene: 2 =2 = Y de esta restricción, se tiene que: ∗ = 2 e ∗ = 2 Finalmente, reemplazando ∗ e ∗ en (), se l ega a:
)2 2
()=22 (ó )
, donde 37. Muest r e que para una ,) t e cnol o gí a de cort o pl a zo dada por es un factor fijo, la función de beneficios,⁄lacondi c i ó n de máxi m o benef i c i o y l a of e rt a de la empresa son )− ) − , / ) e / , respect ) respecti amente. curva de of e rta para /, , i v ament e . Di b uj a r l a curva de of e rt a para / y /.. Primero, se plantea el problema de la minimización del costo: min . . Deinsumo: la restricción, se puede despejar y se tiene la demanda condicionada de este ) Reempl a zando ) en l a f u nci ó n obj e ti v o del probl e ma, se obti e ne l a f u nci ó n de costos de la empresa: ) Y con esta función de costos, se tiene que: )− ) )− − ó ) Derivando )con respecto a , se obtiene: ) 0 −
ó á ) Y despejando de la anterior condición de equilibrio, se encuentra: ) ó )
Las curvas de oferta para los diferentes niveles de son las siguientes GRÁFICO 13
38. Most r ar que si l a f u nc i ó n de producci ó n agregada de una econo .., entonces la laststiicidad factorpproduct roductoo de y es igual ctor-producto
:
ía es , ) la participación omía.
del stock de capital y el stock de trabajo sobre el PIB, de este ecoeconn Calculando las elasticid des factor-producto de y , se tiene lo sigui ,) ,) 0.25.... 0.25 , ) ,) 0.75.... 0.75 Aplconstantes icando laaescal ecuacia)ósen tieeneEulque:er esto es posible ya que ,) exhi , ) , ) ,) 0.25..0.75.. (,) 0.25.. 0.75.. (,) 7 5 Observe que 0. 2 5 y 0. , no son otra cosa que l a parti c i p a respecti v amente, sobre el ni v el de producci ó n agregado PI B ). Esto q retorno de , sobre el P B, es del 25%, mientras que el de 39. Eldemercado de ci e rt o bi e demanda biPrecien)oque-DDemanda vací a el merc emanda EPD)
nte:
be rendimientos
ión de y , iere decir que el es del 75 .
n tiene una función y una función función de oferta . Encuentre el precio y la cantidad d e equilibrio del do. ¿Cuál es la Elasticidad PrecioPrecio-Oferta EPO EP ) y la Elasticidad n el punt puntoo de equilibrio?
Igualando la función de oferta y la función de demanda , se tiene que:
10010= 600 10 ∗ 35 ) ∗ es el precio de equilibrio que iguala la oferta y la dem anda, basta con Como reemplazarlo en ó e para encontrar que: ∗ 250 ) En el punto de equilibri ∗ 35 ∗ 250), la EPO y la EPD son las siguientes: ∗ 35 1.4 ∗ ∗ 10250 ∗ 35 1.4 ∗ ∗ 10250 Nótese que en magnitud |∗| ∗. Esto quiere decir que, en el punto de equilibrio, la magnitud de la Elasticidad Precio de la Demanda y d e la Oferta es la misma esto es fácil deducirlo, ya que la pendiente de la curva de ofe ta y de demanda
es, en valor absoluto, ig al a 10). 40. Las, curvas emanda, de ci e rto mercado, son de of e rt rta a y d = y − respectivamente. Calcule el precio y la cantidad de equilibrio, el excedente del
consumidor y el exceden excede tete del productor. productor. Muestre en una gráfica lo encontrado. Igualando la oferta y la emanda, se tiene que: 100− 2 603 ∗ 8 Y reemplazando ∗ en l ecuación de oferta o de demanda, se obtiene: 6038)∗ 100− 2(8)
84 GRÁFICO 14
Nótese que, a parti r del gráf i c o anteri o r, es posi b l e representar cuál es el Excedente deláreaConsumi d or EC) y el Excedente del Productor EP). I n cl u so, es posi b l e cal c ul a r el sombreada de cada excedente. Para el l o , se uti l i z a, si m pl e mente, l a f ó rmul a del rectángulo y del triángulo – rectángulo. Se tiene entonces lo siguiente: =1764 [50−8)×84 2 =576 =8×60 (84−60)×8 2
41. Asuma l a s mi s mas curvas de of e rt a y demanda del ej e rci c i o ant e ri o r, pero ahora, el Gobi e rno grava con i m puesto de $5 por uni d ad vendi d a a l a producci ó n, para captar fdemanda, ondos. Teniy halendole elenprecicuenta el i m puesto, pl a ntee l a s nuevas f u nci o nes de of e rta y o y cantidades del nuevo equilibrio. Muestre en una gráfica cuál
esrecaudaci la incidóencin dela delGobiimernopuesty loa pérdi sobredela deconsumi d or, o r, l a i n ci d enci a sobre el product o r, l a ef i c i e nci a generada por el i m puest o . Cal c ul e el valproduct or deorlya la irecaudaci ncidenciaóndeldeliGobi mpuesterno.o sobre el consumidor, la incidencia sobre el Siimpuestos es el precio subsi o dedofioes)rtaseytieneel queprecio dedemanda, en un equi l i b ri o si n di s torsi o nes . Con el i m puesto a l a of e rta 5), l a 5 nueva si t uaci ó n de equi l i b ri o está dada por . Una f o rma senci l a de plequiantear l a s ecuaci o nes de of e rta y demanda, teni e ndo en cuenta l a nueva si t uaci ó n de librio, es utilizar las funciones inversas de oferta y demanda. Estas son: −20 3 (ó ) =50− 2 (ó ) Dada la nueva situación de equilibrio, se tiene que: 2 −20 35=50− = = ∗ =78 Y reemplazando ∗ en la función inversa de oferta o demanda, se obtiene: 5=−20 783∗ 5= =50− 782 =11
Observe que, tras el i m puesto, el preci o de demanda es , mi e ntras 511 quecomprador el precioporde uniofertadadesdeconsumo, − 56tras. Estoel imsipuesto, gnifica quees $11, lo quemidebe pagar un e ntras que el productor reci b i r á por uni d ad vendi d a $6. Es apenas l ó gi c o que suceda esto; ante l a nueva situación de equilibrio, lo que recibe un productor, por unidad vendida, es $5
pesos menos que l o q e debe pagar un comprador, por unidad de consumo, en el mercado. GRÁFICO 15
En el anterior gráfico se muestra lo siguiente: ECEP Excedente Excedente deldel ProConsumidor uctor AB IInnciciddenci enciaa deldel iimmpupuesto esto sobre el Consumidor sobre el Productor Gobierno AB Recaudaci ó n del C Pérdida de eficiencia generada por el impuesto Calculando A, B y AB, e tiene lo siguiente: AB 8118) 23 78 4 6) 78 156
AB 118) 78 + 8 6) 78= 116) 78=390
manda = + y una función de oferta 42. Dadas una f u nci ó n de de capi −taall y +,, donde donde es ingreso, es el precio e otro bien, es es t trabaj r abaj o , en tonces: a) Encuentre el precio y la cantidad de equiibrio cuando , , recio de la oferta y la ,, y = ,, b) Calcule la elasticidad ppreci equilibrio, c) Calcule la elasticidad ingreso de la demanda en el demanda en el punt o de ades son las de equilibrio, d) Determine si el b ien Y es sustituto punt o cuando l a s cant i d o complementario, e) Si M aumenta en 20%, encuentre eell precio y las cantidades de
equilibrio cuando = ,, =,, = y =, ,yyf)f) Si L disminuye 30%, encuentre el precio y las cantidades de equilibrio cuando = ,, =,, = y =..
a) Entieneel equilibrio de mercado, se debe satisfacer la igualdad = . Entonces, se que: 950−5=−20015 ∗ =57.5 Y reemplazando ∗ en o , se obtiene: =950−5(57.5∗ )= =−20015(57. 5 ) =662.5
b) LaEPO),Elasticidad Precio de la Demanda EPD) y la Elasticidad Precio de la Oferta en el punto de equilibrio, son: ∗ 57.55=−0. 4 3 ∗ = ∗ = 5662. ∗ 57.55=1.30 ∗ = ∗ =15662. c) La Elasticidad Ingreso de la Demanda EID) es: 1005=0.75 ∗ = ∗ = 5∗ = 5662. d) Derivando con respecto a , se tiene que: =−10<0 Esto significa que si el precio del bien Y aumenta disminuye), entonces las cantidades demandadas del bien disminuyen aumentan ) en una cuantía de 10. Esta relación negativa, muestra que el bien Y es un bien complementario. e) Si M aumenta en 20%, las nuevas ecuaciones de oferta y demanda son: =−650+15+5+2 =800−5+5(1+0.2)−10 Haciendo los debidos reemplazos e igualando la oferta con la demanda, se tiene que: −200+15=1050−5 ∗ =62.5 Reemplazando ∗ en o , se obtiene:
) = =1050562.5) =200+1562∗.5737. 5
Gráficamente, comparando con el equilibrio original, se tiene lo si uiente: GRÁFICO 16
f) Si L disminuye en 3 %, las nuevas ecuaciones de oferta y demand son: = −650+15+5+210 8005+510 Haciendo los debid s reemplazos e igualando la oferta con la d manda, se tiene que: 260+15=9505 ∗ 60 5 Reemplazando ∗ o , se obtiene: =260+1560∗ 5) = =950560 5) 647 5 Gráficamente, comparando con el equilibrio original, se tiene lo si uiente:
.3)
e
.
. .
.
GRÁFICO 17
, donde los precios de los insumos son y , y 43. Una empresa produce b j o elimplica preciounade sureducción productoeneslas..cantidades El precio delproducidas insumo MY. ElGobierno ) aumentóqueniereun evitar 21%, loquecualY disminuya, por lo cual, decide darle un subsidio a la empresa del Z% s bre el precio del producto ). ¿Cuál deb ser el porcentaje del subsidio Z) para que Y o cambie?
La producción óptima de la empresa, en el momento inicial, está dad por la siguiente ecuación: =
4
Tras el aumento del precio del insumo M y el correspondiente subsidio del gobierno, la
producción en el siguie te momento denotado por el superíndice 1) stá dada por: 4 donde se tiene que: (1+ %) y (1+ 21%) Como se qui e re conoce cuál es el valor de Z que, ante el aumento de , mantiene el ión, entonces basta con igualar con para despejar Z, es midecismor, igniualvelardeel niproduc producción antes y después del aumento del recio de M y del v el de subsidio. Se tiene enton es lo siguiente:
(1+ %) → ( =) 4 4 (1+ 21%)
De la anterior expresión, aplicando un poco de álgebra, se tiene que: %=(121%) −1=10% Por l o tanto, el subsi d i o del Gobi e rno debe ser del 10% sobre el preci o del producto, para que el ni v el de producci ó n no se vea al t erado tras el aumento del preci o del insumo M. 44. Considere el caso de una empresa con una tecnología dada por ,) √ , donde T
es el tamaño de la planta en metros ccuadrados) uadrados) y L el número de trabajadores. El metro cuadrado de T cuesta y el salario diario es . Suponga que en el corto plazo = es fijo. Encuentre el número de trabajadores que se necesitan para producir Q unidades del bien, muestre que la función de costos es = + y encuentre las curvas de costo medio y costo marginal establezca si son crecientes o decrecientes). Observe que si = es fijo y se tiene que ,) = = √ , entonces despejando se obtiene: )= ú ) Reemplazando ) en + se encuentra: ) = + ó ) Dividiendo ) entre y, por aparte, derivando ) con respecto a , se obtiene el Costo Medio CME) y el Costo Marginal CMG), respectivamente: ) == + ) == 2 Estas dos curvas de costos medio y marginal) están asociadas a una tecnología que exhibe rendimientos decrecientes a escala. La forma de la curva de costo medio tiene la conocida forma de U, cuyo punto mínimo es el nivel de producción que lo iguala al costo marginal y la empresa obtiene beneficios nulos). La curva de costo marginal es creciente, mientras que la curva de costo medio es decreciente hasta el punto en el que CME = CMG recursos productivos ociosos) y, a partir de allí, creciente. El siguiente gráfico resume lo anterior:
GRÁFICO 18
Observe que si el interés del empresario es sólo lucrar, dado un prec io de mercado p , él querría producir una cantidad tal que , teniendo en cuenta la condición de competencia perfecta CMG. Es decir, el querría producir una cantidad que le represente un beneficio positivo, restringido éste por la competencia.
45. Considere el mismo pro lema del ejercicio anterior. Pero ahora, asuma que el tamaño de la planta T) es varia le. Muestre que tipo de rendimientos tiene esta tecnología, encuentre encuentre y dibuje las urvas de costo total, costo medio y costo ma ginal, y explique cuánto querría vender el empresario si, al precio de mercado , pudiese vender la cantidad que quisiera y u único interés fuese lucrarse. Sea ,) = √ la función de producción de largo plazo T es variable). Multiplicando por una magnitud los insumos de producción y , donde 1, se tiene que: ,) √ .√ . ,) Por lo tanto, la tecnolog a de esta empresa exhibe rendimientos crecie Si se tiene un nivel d producción √ , la función de costos problema, donde T es v riable largo plazo), está dada por: p p p
0y
ntes a escala. asociada a este ) = 3 ) 2 (ó ) Dividiendo ) entre y, por aparte, derivando ) con respecto a, se obtiene el Costo Medio CME) y el Costo Marginal CMG), respectivamente:
) ==3) 2
() ( ) 2 2
GRÁFICO 19
Costo Total)
GRÁFICO 20
Costo Medio y Costo Marginal)
En este escenario, prod cir cada vez más le genera al empresario m yores ganancias, puesto que existen costos unitarios medios) y marginales decrecientes; esta es la implicación de los rendimientos crecientes a escala economías de escala). 46. Suponga que, en cierto ercado, la función inversa de demanda y la f nción inversa de
otorga un subsidio de $20 al consumidor. Halle la situación de equilibrio uilibrio antes y después del subsidio y c mpare mediante una gráfica. En el equilibrio antes del subsidio, se tiene que () (). Entonces: oferta vienen dadas por ) = y ) =,, respectivamente. El Gobierno
90 2
30 ) ( )
∗ ∗ ∗ 60 En el equilibrio después del subsidio, se tiene que ) + $
20). Entonces: 90−202 , ∗) 53.4 , (∗) 73.4
∗ 36.6 El siguiente gráfico muestra lo que ocurre después de implementar el subsidio:
GRÁFICO 21
El área sombreada de l gráfica, representa le pérdida de eficiencia en el sentido de Pareto) generada por el subsidio.
47. Construir la frontera de Pareto si ) = , ) = y + = es fijo y positivo). Se sabe que la Frontera de Pareto es la solución al problema:
max()
.. ) =ln= ), + = ) ) =, y de manera similar, se Se tiene, además, que ) = es lo mismo que tiene que ) = es lo mismo que =. Teniendo esto en cuenta, y reemplazando en la ecu ción + = , la Frontera de Pareto es: ) + = → + = Graficando la anterior ecuación, para diferentes valores , se tiene q e la Frontera de Pareto es, entonces, la siguiente:
GRÁFICO 22
48. Construir la frontera de posibilidades de producción FPP) si ) = ) ,
) = ) y + = ,, donde eseslalacantidad cantidadfija fija de mano de obra disponible en la economía. Para encontrar la FPP se debe resolver el problema: max) = .. ) = = ), + =
Definiendo ) = y ) = , se tiene que = ) se puede escribir como = y, de manera análoga, = ) se puede reescribir como = . Reemplazando lo anterior en la ecuación + = , se tiene que la FPP está dada por la ecuación: + = Y graficando la FPP la ecuación anterior), se obtiene lo siguiente: GRÁFICO 23
49. Calcule el nivel de producción óptima que maximice el beneficio de la empresa con 2 función de costos de corto plazo cy) y (1/y) si el3/2precio de venta es p=2. Haga lo
mismo con la función de costos de largo plazo c(y)= y . ()= 1 = () = 1 =()=2− 1
Se debe determinar primero donde se cruzan las curvas de CMe y CMg: 2 = + 2 − 1 = √ 2
1
⟶
⟶
Y el costo marginal en ese punto es:
2 = 2√ 2 − 1 = 4 − 1 = 1,89 =√ 2 √ 2 √ El empresario maximizará el beneficio cuando P=CMg, siempre y cuanto esté por encima del costo medio, es decir en el segmen to de la curva de CMg por encima del
1, . Como se sabe que la curva de oferta es la curva de CMg, para el nivel 8 9 de precios P=2 el empresario maximiza en: precio =
1 2 =2=2− = ⟶ +1 =2 ⟶ 2 +1=2 Esta ecuación sólo tiene una raíz real en: = 13 12 (43+3√ 177) 12 (433√ 177) 2 El empresario maximizará beneficios produciendo esa cantidad. Con función de costos de largo plazo: ) = = ) = =) =
32
En el largo plazo la curva de oferta es igual a la de CMg, es decir: =2= 32 = ⟶ = 169 Y la empresa maximiza produciendo esta cantidad .
50. Probar que al resolver el problema “Maximizar Ux , y) sujeta a Fx, y)= constante” se
obtiene obtiene que: “Tasa marginal de sustitución = Tasa marginal de sustitución técnica” Graficar el problema recurriendo a la frontera de posibilidades de producción. El problema de optimización restringido puede representarse de la siguiente manera: max,) ..,) = Usando el método de Lagrange, se tiene que: ℒ = , ) ,) ) Y derivando parcialmente con respecto a x y y e igualando a cero, se obtiene: ℒ = = 0 = ℒ = = 0 =
⟶ ⟶
Igualando los tenemos:
=
= = ó é ó =
NOTA: El gráfico es el de la diapositiva 348. 51. Encontrar las asignaciones eficientes centralizadas y los precios que permitirían esta asignación de manera economía está regida manera descentralizada, descentralizada, sisi lala economía por F(x , y)= x + 5y y U(x , y)= xy . Las asignaciones óptimas se obtienen igualando la tasa marginal de sustitución (TMS) a la tasa marginal de sustitución técnica (TMST), es decir: = Entonces, se tiene lo siguiente: 1/4
1/4
3 3
