SOLUCIONARIO Circu ir cunf nfe erenc rencii a y Cír c u l o I y II 1 V 1 1 0 3 0 A E G T M N A C L O S
Estimado alumno: Aquí encontrarás las claves de corrección, las habilidades y los procedimientos de resolución asociados a cada pregunta, no obstante, para reforzar tu aprendizaje es fundamental que asistas a la corrección mediada por tu profesor, ya que sólo en esta instancia podrás resolver cualquier duda subyacente. CLAVES DE CORRECCIÓN Guía Circunferencia y Círculo I y II PREGUNTA
ALTERNATIVA
Nivel
1
D
Aplicación
2
A
Aplicación
3
B
Aplicación
4
C
Aplicación
5
C
Aplicación
6
B
Aplicación
7
C
Aplicación
8
B
Análisis
9
A
Análisis
10
D
Análisis
11
E
Análisis
12
A
Aplicación
13
C
Aplicación
14
B
Aplicación
15
D
Aplicación
16
A
Aplicación
17
D
Evaluación
18
E
Evaluación
1.
La alternativa correcta es D .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Aplicación El ángulo AOB = 60º, por lo tanto, calculemos el perímetro del arco BA 2 3 300º 360º Perímetro Arco BA 5 cm Perímetro Arco BA
3 A
2. La
O
60º
B
alternativa correcta es A .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Aplicación C
6 A
5
8 O
5
B
Aplicando tríos pitagóricos al triángulo inscrito en una semi-circunferencia (triángulo rectángulo) tenemos que la hipotenusa mide 10 cm, luego el radio mide 5 cm Ahora, calculemos el área de la mitad del círculo. 25 12,5 Área semi círculo 2 Calculemos el área del triángulo rectángulo en C. Área triángulo
6 8 48 24 2 2
Por último, restemos al área del semi-círculo, el área del triángulo. Área achurada = 12,5 24 cm2
3. La
alternativa correcta es B .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Aplicación Como los dos ángulos subtienden el mismo arco, entonces los dos ángulos son congruentes, luego cada uno mide 15º. Entonces, el arco AB = 30º. Como el ángulo AOB es del centro mide lo mismo que el arco que subtiende ( AB). Luego, el doble del ángulo es 60º.
4. La
D
C
15º
15º O
A
B
30º
alternativa correcta es C .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Aplicación Como el ROS = 60º, entonces arco RS = 60º, ya que O es centro de la circunferencia. Anotando los datos en la figura, se tiene que: S
60º
40º
30º P
R
O
La suma de dos ángulos interiores de un triángulo es igual al ángulo exterior no adyacente a alguno de ellos. Luego,
=
70º
5. La
alternativa correcta es C .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Aplicación El triángulo BOC isósceles en O, ya que OB y OC son radios, luego ACB = 42º y arco AB = 84º. Entonces, el AOB del centro mide 84º. O
42º
A
42º 84º
B
6. La
alternativa correcta es B .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Aplicación Como el triángulo PQT es isósceles en Q, el
QPT =
40º.
Aplicando ángulos alternos internos, el PSR = 40º, luego el arco que subtiende mide 80º, por lo tanto el POR del centro mide 80º
P
Q
40º 80º
O
x
40º R
S
40º T
C
7. La
alternativa correcta es C .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Aplicación Como el arco BC = 60º, y AB es diámetro, el arco CA = 120º. Luego, el arco AC = 360º - 120º = 240º. C
60º B
120º 30º A
8. La
alternativa correcta es B .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Análisis AB es diámetro de la circunferencia, entonces: 3 x + 60º = 180º 3 x = 120º x = 40º
Como CDA : DAB = 2 : 1, entonces: CDA = 60º
C B x + 20º
30º A
D
2 x + 40º
9. La
alternativa correcta es A .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Análisis R
S O
P
Q
I) Verdadera, ya que los ángulos subtienden el mismo arco. II) Falsa, ya que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. III) Falsa, ya que el ángulo mide la mitad del arco 10. La
PQ.
alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Análisis I) Verdadera, ya que el arco CA mide 120º puesto que corresponde al arco que es subtendido por el ángulo inscrito CBA = 60º. Luego, el arco AC = 360º - 120º = 240º II) Verdadera, ya que el arco CE mide 200º, puesto que es subtendido por el ángulo inscrito que mide 100º. Como el arco CA mide 120º, entonces, el arco AE = 80º. III) Verdadera, ya que el arco CE mide 200º, puesto que es subtendido por el ángulo inscrito que mide 100º.
11. La
alternativa correcta es E .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Análisis I) Verdadera. Prolongando
CD para formar la cuerda CE y aplicando el
ED DC AD DB Como ED = DC , se tiene: 2
DC AD DB
teorema de las cuerdas:
2
DC 6 18 DC 6
3 Aplicando teorema de Pitágoras en el triángulo ADC , se obtiene que AC = 12. II) Verdadera. Aplicando el teorema de las cuerdas se comprueba que
CD =
6 3
III) Verdadera. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo DBC , se obtiene que BC 12 3
E
A
D
O
12 6 3
B
12 3
C
12. La
alternativa correcta es A .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Aplicación Aplicando proporción de las cuerdas, tenemos: C CE • 4 = 20 • 5 4CE = 100 CE = 25
Por lo tanto,
B
5 E
20
CD = 25 + 4 = 29
A
4 D
13. La
alternativa correcta es C .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Aplicación Como OE radio de la circunferencia, podemos aplicar el teorema de las cuerdas: EF FG CF FD 5 • 15 = x • x 75 = x2
E x
C
5 3 = x
F
A
Luego, la cuerda CD = 10 3 cm
5
x
D
5 B
O
10 G
14. La
alternativa correcta es B .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Aplicación Aplicando el teorema de las secantes, y reemplazando los valores. B
AC • AB = AD • AE 2 • AB = 4 • 20 2 AB = 80 AB = 40 cm
C A D
E
15. La
alternativa correcta es D .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Aplicación Aplicando el teorema de las secantes y reemplazando: CA • CB = CD • CE ( x + 6) • 6 = 12 • 7 6 x + 36 = 84 6 x = 48 x = 8
Luego, el diámetro mide 8 cm.
D
5
E
O A x
B
7 6
C
16. La
alternativa correcta es A .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Aplicación Aplicando el teorema de la tangente y la secante. QR QS QP
2
64 • 16 = QP 2 64 16 QP 8 • 4 = QP 32 = QP
P
x Q S
16
48 R
17. La
alternativa correcta es D .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Evaluación D
E
A
C
B
(1) ACB = 70º. Con esta información, sí es posible determinar la medida del ángulo , ya que los ángulos subtienden el mismo arco. (2) Arco BA = 220º. Con esta información, sí es posible determinar la medida del ángulo , ya que podemos calcular el arco AB. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.
18. La
alternativa correcta es E .
Sub-unidad temática Circunferencia y círculo Habilidad Evaluación C
B E D A
(1) AC = 14 cm y DE = 12 cm. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo CE , ya que es insuficiente. (2)
DB = 16 cm. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo CE , ya que es insuficiente.
Con ambas informaciones, no es posible determinar la medida del trazo CE, ya que obtenemos dos valores posibles, pues queda una ecuación de segundo grado. Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.
EJERCICIOS OPTATIVOS: 1. a) C b) D 2.
A
