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LA CIRCUNFERENCIA PROBLEMAS PROPUESTAS PROPUESTAS III
e) (x + 2)2 + y2 = 3 . allar allar la máxima máxima y m
1. Determine Determine la ecuació ecuación n de la circunfer circunferencia encia mostrad mostrada, a, si los hexágonos son regulares y tienen lado 4u.
a) 2 y 4
!) 2 y 2
c) $ y 1 d) $2 y $
e) $4 y 2
3. Determina Determinarr la circunferen circunferencia, cia, con centro centro en el -unto -unto '(,), '(,), ue es tangente a la mediatri ', siendo el origen de coordenadas. a) (x " ) 2 + (y " ) 2 = $2 !) (x " ) 2 + (y " ) 2 = 42 c) (x " ) 2 + (y " ) 2 = *2 d) (x " $) 2 + (y " 4) 2 = *2 e) (x " 4) 2 + (y " $) 2 = *2
a) (x+2) 2 + y2 = 4 c) (x"$)2 + y2 = #4 e) (x+4) 2 + 2y2 = 4
!) (x"2)2 + y2 = #4 d) (x+2)2 + $y2 = #4
1. 7ncontrar el -unto -unto de intersección de la recta con la circunferencia.
2. %ean las circunferencias& circunferencias& '1 & x2 + y2 12x y + 2* = '2& x2 + y2 + 2x + y 1 = angentes angentes en un -unto, encontrar l as com-onentes de dicho -unto a) (1,2)
!) (2,1)
c) ($,1)
d) (1,$)
e) (1,)
$) * $# d) * a)
$. Determ Determina inarr la ecuación ecuación canónic canónica a de una circun circunfer ferenc encia, ia, si la longitud de la tangente traada desde el -unto ("1,) es * a) x2+y2 = 4 !) x2+y2= c) x2 + y2 = 1 2 2 2 2 d) x + y = $2 e) x + y = 4 11.
$2 ,
,
÷ * $2 ÷ *
$2 * $2 e) * !)
$) ,
,
÷ * $# ÷ *
c)
$4 *
$2 ,
÷
*
7ncontrar el área del triángulo /0'
4. Dete Determ rmin inar ar la ecua ecuaci ción ón canó canóni nica ca de una una circ circun unfe fere renc ncia ia tangente al segmento /0, si /=(,1*) y 0=(4,12) a) x2+y2 = 1 d) x2 + y2 = 14
!) x2+y2= 1 e) x2 + y2 = 22*
c) x2 + y2 = 144
*. allas allas la longitud longitud del del radio radio de la circunfer circunferenc encia ia ue -asa -or (,) y ("$,3) y tiene su centro en el ee 5y6. a)
!) $
c) 4
d) *
e) #
a) 8*
!) 18*
c) $28*
d) 48*
e) 128*
. alla allarr la ecua ecuaci ción ón de una una circu circunf nfer eren encia cia sa!ien sa!iendo do ue ue es hallar la ecuación de la circunferencia si >1& $y x tangente a los de coordenadas, el centro esta en el -rimer 12. 7n la figura hallar + a = y > 2& y + $x + ! = cuadrante y la distancia entre los -untos de tangencia es ) 2 a) (x " $)2 + (y " $) 2 = 3 !) (x " 4)2 + (y " ) 2 = 1 c) (x " $) 2 + (y " 2) 2 = 4 d) (x " )2 + (y " ) 2 = $ e) (x " )2 + (y " $) 2 = 1 #. 7n el gráfico gráfico determi determinar nar la ecuación ecuación de la circunfer circunferencia encia '1, '1, si 0' = Β82 cm. %iendo 90/'= $:, además / y ; son centros de circunferencias. a) (x")2 + (y + 3) 2 = 1 c) (x"3)2 + (y 1) 2 = 3 e) (x"1)2 + (y 3) 2 = 2
!) (x+3)2 + (y + 1) 2 = 3 d) (x+3)2 + (y +3) 2 = 2
1$. allar la ecuación de la circunferencia si el área del triángulo euilátero /0 es 4 $ además ? es -unto de tangencia.
a) (x " $)2 + y2 = 3 c) (x " 2)2 + y2 = 4
!) (x + $)2 + y2 = d) (x + 2)2 + y2 = 3
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a) x2 + y2 + 2x $y $4 = !) 2x2 + 2y2 " 4x + *y 31 = c) x2 + y2 " #3x $2y + 3* = d) 4x2 + 4y2 + 2x 2y 1# = e) C./. 2. allar la ecuación de la circunferencia ue -asa -or los -untos /(,$)A 0(#,2) y '("1,"4) a) (x"2 $ )2 + (y 2) 2 = 4 c) (x" $ )2 + (y $) 2 = 4
!) (x+$ $ )2 + (y + 2) 2 = d) (x"2)2 + (y $) 2 = 4
e) (x+2 $ )2 + (y + 2) 2 = * 14. Determine el @alor de 5a6, si el -unto (*,"4) -ertenece a la circunferencia& '&x2 + y2 + ax + y + $$ = a)
!) "
c) 1
d) "1
e) *
a) x2 + y2 *x + 2y 1* = c) x2 + y2 x + 2y 1* = e) C./.
!) x2 + y2 #x + 2y 1* = d) x2 + y2 2x + #y $ =
21. 7n el esuema, hallar el radio de la circunferencia mostrada&
= $* A>/ = 23 =/ = 4 =>
y
1*. 7n la figura se tiene dos circunferencias tangentes en /. ' es centro del circulo mayorA 0D 3 , 7B = ; =*. 'alcular /' . =
R
L y
F E
B
O
a) 4
x
a) ,14
1.
c) $
!)
c)
d) 1
e) C./.
22. allar la máxima y m
G
!) 24
x
A
D C
a) 2*
A
!) ,1
c) #,12
d) ,13
e) C./.
2$. allar la circunferencia cuyos diámetros es la cuerda comn a las circunferencias& '1& x2 + y2 1x 1y + 4* = la ecuación de la circunferencia '2 & x2 + y2 + x 4y " 2# = d) 2
7n el esuema, hallar mostrada, si /0 12 y 'D =
=
e) 4
2
y
a) (x " y) 2 + (y " 1) 2 = * c) (x " 1)2 + (y " 4) 2 = 2 e) C./.
D
!) (x " 1)2 + (y " 4) 2 = 2* d) (x + 4)2 + y2 = 2*
B
A C
24. 'alcular& ctgθ x
y
O 1
a) x2 + y2 = 1 d) x2 + y2 = 1
!) x2 + y2 = * e) C./.
x
c) x2 + y2 = 1
A
O
B
a) 2 + 1 !) 2 + 2 c) 2 1#. allar la ecuación de la circunferencia ue -asa -or los -untos (1,"4) y (*,2) ue tiene su centro en la recta d) 2 − 1 e) C./. x 2y + 3 = a) x2 + y2 + x + y $ = !) x2 + y2 + x " y 4# = 2*. /0 diámetro m∠?E0=#*:A E0=a. 'alcular ?E 2 2 c) x + y " x " y 2# = d) x2 + y2 + x + y *# = e) C./. 1. 7ncontrar la ecuación del circulo inscrito determinado -or las rectas& >1 & 2x $y + 21 = >2 & $x 2y = >$ & 2x + $y + 3 = a) x2 + y2 + $x 2y = c) x2 + y2 + 2x 4y = 1 e) C./.
en el triangulo
!) x2 + y2 + 2x y = 3 d) x2 + y2 + 2x 4y =
13. allar la ecuación de la circunferencia ue -asa -or los -untos. /(4,*) A 0($,"2) y '(1, "4)
y
Q
P
A
B
o
x
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a) a d)
a
( 2
$+2
!)
)
e)
$ −1
a 2
19 2− $
a
( 4
*
1*. >a ecuación de una -ará!ola es& (x"1)2 = 2(y+2). allar los -untos de intersección de la cur@a con el ee de las a!scisas.
c) a 2 − $
a) ($,)A ("1,) d) ("1,)A (,)
− 1)
x2 + y2 x y + 1 =
'2 &
x2 + y2 + x + y + 3 =
a) x"y=
allar el área de la región som!reada.
a)
c) $y+4=
d) y"4=
e) y+4=
!) $
*
c) 2
1+
*
d) *
*
e) 4
1+
1. allar las coordenadas del @Grtice y foco de la -ará!ola cuya ecuación es& y2"y"12x"$3=
C 1 x
a) I("4,$)A B("1,$) c) I("4,$)A B(2,2) e) I("2,2)A B("4,2)
C 2
!) 4 $u2 e) C./.
!) $x+4=
1#. >a ecuación de una -ará!ola es x2+3y=, los -untos /($,a) y 0 (!,"4) -ertenecen a la -ará!ola. allar la longitud del segmento /0 (0∈ HHH')
y
a) 2 $u2 d) 12u2
c) (,$)A (,"1)
1. allar la ecuación de la directri de la -ará!ola cuya ecuación es& $x2"1y=
2. Dadas las circunferencias& '1 &
!) ($,1)A ("1,1) e) (1,1)A (2,2)
!) I(2,"2)A B(1,"$) d) I("1,$)A B("1,*)
13. allar el foco de la -ará!ola cuya ecuación es&
c) $u2
3x2+24x+#2y+1= a) ("18$,2) d) ("4,"2)
PARÁBOLA
!) ("48$,"2) e) ("28$,"1)
c) (1,"2)
2. allar el lado recto de una -ará!ola cuya ecuación es& 4y2+24x+#2y+1=
PROBLEMAS PROPUESTOS
a) 1
1. Fna cuerda de la -ará!ola y2"4x= es un segmento de la recta >& x"2y+$=. allar su longitud. a) 4
!) *
*
*
c) 4
d)
$
e) C./.
*
11. allar la longitud de la cuerda focal de la -ará!ola x2+y= ue es -aralela a la recta& > & $x+4y"#= a) 2*82
!) 2*
c) 12
d)1*
e) 1
12. allar los -untos de intersección de la -ará!ola y2 = 2x con la recta& >& x"y"4=. a) (,4)A (2,"2) d) (1,2)A ($,4)
!) (4,2)A (1,2) e) (2,4)A (1,2)
c) (,4)A (,1)
1$. allar la ecuación de una -ará!ola cuyo @Grtice es (,*) y su foco es (,3). 2
a) (x"*) = 1(y"4) d) (x")2 = y"*
2
d) y2 = 2x
e) y2 = 2(x"$)
d) 24
e) C./.
a) (18$,) d) ("*,)
!) ("48$,) e) ("18$,2)
c) (4,)
22. >a directri de una -ará!ola es la recta es y"1= y su foco está en (4,"$). allar la ecuación de la -ará!ola. a) (x"4)2 = 2y c) (x+*)2 = 2y
!) (x"4)2 = "(y+1) d) (x"$)2 = "y
e) x2 = "y
2$. >a directri de una -ará!ola es& >& x+* = y su @Grtice ses el -unto I(,$).allar la ecuación de la -ará!ola. a) y2 = 2x d) y2 = 1x
!) (y"$)2 = 2x e) y2 = "1x
c) y2 = 2(x"*)
24. Determine los elementos de la siguiente -ará!ola&
2
14. >a longitud del lado recto de una -ará!ola cuyo ee es -aralelo al ee de ordenadas es 2u. >as coordenadas del foco son (" $,"2) y su @Grtice está arri!a del foco. allar la ecuación de la -ará!ola. !) (x+$)2 = 2(y"$)
c) 1
21. allar la coordenada del @Grtice de la -ará!ola cuya ecuación es& 3x2+24x+#2y+1=
!) (x") = 1(y"*) c) (x"2) = y"4 e) (x"$)2 = y"*
a) (x+$)2 = 1(y"$)
!) 12
c) x2 = 2y
? & x2 2x y + $$ = Dar la suma6 h + J + -6 a) $
!) 4
c) *
d)
2*. >os elementos de una -ará!ola son& h= "$A J= "4A -=182A Directri >& x+#82= 7ncontrar su ecuación. a) y2 2x +y + 2 = c) y2 2x +y + 1 =
!) y2 2x +y + 4 = d) y2 2x +y + * =
e) #
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e) C./. 2. allar la ecuación de la -ará!ola cuyo ee es -aralelo al ee x y ue -asa -or l os -untos& (,)A (,"4)A ($,1). 2
2
a) (y+1) = x d) (y+1) 2 = x+$
a) (y+1)2 = x d) (y+1)2 = x+$
2
!) (y+1) = x+1 e) (y+1)2 = x+4
$.allar la ecuación de la -ará!ola cuyo ee es -aralelo al ee 5L6 y ue -asa -or los -untos& (,)A (,4) y ($,1).
c) (y+1) = "x
2#. allar la ecuación de la -ará!ola de ee -aralelo al ee x y ue -ase -or los -untos& /("2,1)A 0(1,2) y '("1,$).
!) (y+1)2 = x+1 e) (y+1)2 = "x"1
$#. allar el área del triángulo /0' y la -endiente de la cuerda /0, sa!iendo ue (2,3) es -unto medio de /0
0
*y2 + 2x 21y + 4 = a) 4y2 + 2x 21y + 2 = c) 4y2 + 2x 21y + $ =
!) *y2 + 2x 21y + 2 = e) *y2 + 2x 21y + * =
2. allar el -unto de intersección de las -ará!olas& 2
!) (,) e) (3,3)
↵ y
' /
2
y = x A x = y a) (*,*) d) (,)
c) (y+1)2 = "x
' /
c) (#,#) a) 1*u2A m=4 d) $u2A m=4
!) $u2A m="4 e) 1*u2A m=1
= x2" 4
c) 1*u2A m=2
23. allar la ecuación de la circunferencia cuyo centro coincide con el foco de la -ará!ola y 2 = 2x, y su radio es igual a la longitud $. 7l ca!le de un -uente colgante ha uedado sus-endido en del lado recto de la -ará!ola. forma de una -ará!ola, el -uente tiene una longitud de 4m y los so-ortes ue sus-enden los extremos de los ca!les a) x2 + y2 = 1 !) (x"*)2 + y2 = 4c) x2 + y2 = 4 tiene *m de alto, si el -unto mas !ao del ca!le está a 1m d) x2 + (y"*)2 = 1 e) x2 + y2 = 1* -or encima de la calada. Determinar la longitud de un so-orte @ertical ue sostiene la calada en un -unto ue dista $. allar la longitud de la cuerda ue determina la recta >& y 2x 1m del -unto mas !ao. + = so!re la -ará!ola y 2 1x = a) 1*m !) 2m c) 2*m d) $m e) 4m a) * * !) * c) # * d) * e) 3 * $3. Fn triángulo rectángulo isósceles está inscrito en la -ará!ola& ?& y2 = 4-x, con el ángulo recto en el @Grtice de la cur@a. $1. >a distancia de un -unto ? al foco de una -ará!ola cuya allar la longitud de la hi-otenusa. ecuación es & ?& x2"1y"4= es *. allar la distancia de ? al @Grtice. a)
1*
!)
c)
1#
13
d)
a) e)
21
2$
$2. %e llama lado recto de una -ará!ola al segmento determinado -or la -ará!ola en la recta ue -asa -or el foco y es -er-endicular al ee de la -ará!ola. allar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el lado recto de la -ará!ola de ecuación y = 4 x 2 a) 1x2 + 1y2 +12y + 2 = !) 1x2 + 1y2 "12y + 221 = c) 1x2 + y2 "1y + 221 = d) 1x2 + *y2 "2y + 1 = e) 1x2 + 1*y2 "2y + $ = $$. allar la ecuación de la -ará!ola ue tiene el @Grtice en I(" $,*) y cuyos extremos del lado recto son >("*,3) y K("*,1) a) (y"*) 2 = "(x+$) c) (y"$)2 = "(x+*) e) (y"2) 2 = "(x"$)
!) (y+*)2 = "(x"$) d) (y"2)2 = "(x+$)
$4. 7ncuentra la ecuación de la -ará!ola ue tiene cómo @Grtice el centro de la eli-se 7& $x2 + 2y2 +x + 2y $1=, ue a!re hacia a!ao y -asa -or el -unto ? ("2,). a) 4x2 1x y +24 = c) 2x2 +1x +y +24 = e) 4x2 1x y +2 =
!) 4x2 +1x y "24 = d) 4x2 +1x+y +24 =
$*. 7l área del triángulo ue forman los -untos de intersección de la -ará!ola ?& y2 2x = con la recta >& x"y"4=, mas el @ Grtice de tal -ará!ola es& a) 1u2
!) u2
c) 12u2
d) u2
e) 24u2
!) 14-
c) 1-
d) 1-
e) -
4. Fna -iedra arroada hacia arri!a formando un ángulo agudo c on la horiontal, descri!e el arco de una -ará!ola y cae a una distancia de 1m. allar el -arámetro - de Gsta -ará!ola, si la altura máxima alcanada es 12m. a) $84
!) 48$
c) 4
d) $
e) C./.
