UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TÁCHIRA VICERRECTORADO ACADÉMICO UNIDAD DE ADMISIÓN CURSO PROPEDÉUTICO
MATEMÁTICA
i 1 2
1,22…
1,2175…
– 8
2
4 – 100
0,75 1
π
1
e
3
7 – 5i
Autor: Prof. Luis A. Delgado R. Revisada por: Lcda. Gladys Z. Colmenares G. Transcrita por : T.S.U. Nancy Yaneth Sayago. San Cristóbal, Abril de 2011
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TÁCHIRA PARAMILLO SAN CRISTÓBAL – TÁCHIRA
Dr. JOSÉ VICENTE SÁNCHEZ FRANK RECTOR Ing. CARLOS CHACÓN LABRADOR VICERRECTOR ACADÉMICO Dra. DORIS AVENDAÑO VICERRECTORA ADMINISTRATIVA Dr. ÓSCAR A. MEDINA SECRETARIO Lcdo. JOSÉ A. CONTRERAS DECANO DE DOCENCIA Dr. JOSÉ L. RODRÍGUEZ DECANO DE INVESTIGACIÓN Dr. EDGAR PERNIA DECANO DE POSTGRADO MSc. BENITO MARCANO DECANO DE EXTENSIÓN Ing. LUIS VERGARA P. DECANO DE ESTUDIOS Lcdo. CELIS LUNA JEFE DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA Lcda. NORMA OSORIO M. JEFE DE LA UNIDAD DE ADMISIÓN Lcdo. FREDY O. DELGADO R. COORDINADOR CURSO PROPEDÉUTICO
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TÁCHIRA PARAMILLO SAN CRISTÓBAL – TÁCHIRA
Dr. JOSÉ VICENTE SÁNCHEZ FRANK RECTOR Ing. CARLOS CHACÓN LABRADOR VICERRECTOR ACADÉMICO Dra. DORIS AVENDAÑO VICERRECTORA ADMINISTRATIVA Dr. ÓSCAR A. MEDINA SECRETARIO Lcdo. JOSÉ A. CONTRERAS DECANO DE DOCENCIA Dr. JOSÉ L. RODRÍGUEZ DECANO DE INVESTIGACIÓN Dr. EDGAR PERNIA DECANO DE POSTGRADO MSc. BENITO MARCANO DECANO DE EXTENSIÓN Ing. LUIS VERGARA P. DECANO DE ESTUDIOS Lcdo. CELIS LUNA JEFE DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA Lcda. NORMA OSORIO M. JEFE DE LA UNIDAD DE ADMISIÓN Lcdo. FREDY O. DELGADO R. COORDINADOR CURSO PROPEDÉUTICO
Curso Propedéutico UNET
CONJUNTOS NUMÉRICOS – OPERACIONES 1. Inserte
o
en el espacio vacío para que la expresión sea correcta:
a) 12_____
f) 0 _____
b) –3_____
g)
c) _____
h) –6 ____
d)
i)
2 ____
e) 1,4142___
4
____
7
o)
l) – 8 _____ –
p)
e
______ 1 ____
m) _____
q) 0 ______
_____
n) – 15_____
r)
5 ____
ñ) – 3 ____
s) 0 ______ *
3 5
j)
k) – 300____ +
5 4
____
2. Exprese un enunciado correcto entre los dos conjuntos utilizando el símbolo de subconjunto “ ”:
a) y b) y c) y
e) y f) y g) y
d) – y
h) 0 y
3. Inserte los símbolos
a) ____ _____ +
b)
c) ____
e)
ó
i) y j) y k) y y l)
o) y
para que el enunciado sea correcto:
____
f) ____ *
i) –10 ____ j)
* 0 k) g) ___
d) + ____ – h)
m) y n) y + ñ) y
5 ___
4. Determine cuál de los conjuntos
l)
,
m) ____
1
3 ___
n) 0;
2 ___
ñ) 0 _____
2 ,0, 2
__
, , , , ,
3
; 1,72 ___
o) 4 , ____ es igual a la operación indicada
entre los conjuntos dados: a)
e)
i)
b)
f)
j)
n)
g) h)
k) l)
ñ) o)
c) d)
m)
3
Curso Propedéutico UNET
5 1 5. Dado el conjunto A = 14; ; 7 ; 0; 38; 2; 580; ; ; 16,36; 0,333 . Determine: 3 10
a) A A
b) A A
c) A A
d) A A
e) A A
6. Ordene los elementos de los conjuntos A y B en el mismo orden de sus correspondientes
puntos a la izquierda o la derecha de la recta de números reales:
A = 2, 3, 21, 5, 7,
11 , , 8, 3
B=
2 3
,
3,
2 , 3,
7 4
,
3 , 4,
5 , 10 , 0,
5 , , 1; 2,5 4 3 3
21 3 π , , ; 1,26; 3,2 4 2 2
7. ¿A qué conjuntos numéricos corresponde la solución de cada una de las siguientes
ecuaciones? a) x + b = a con a < b para todo a, b
b) 5x + 1 = 6
d) x + b = a con a > b para todo a, b
e) x2 + 3 = 0
8. Complete la siguiente tabla utilizando
o
5 – 3 3 4 6 2i 3 5
0 7
8i
– 1000 e
e
1,245… 3 ,2
1010 21,424242…
10 – 1 4
c) x2 – 4 = 0
Curso Propedéutico UNET
9. Complete la siguiente tabla utilizando
o
8 ,10 0 1 1 , , 2 3 6i , 4 5i
4 , 3, 9
1 , 5
36 , 49
3 6 3 , , 4 7 8
45; 2,222...; 1,2135...
2 , , e 0, 2 , , e
MÁXIMO COMÚN DIVISOR, MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, FRACCIONES, POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN. 1. Calcular el MCD y mcm de los siguientes números:
a) 15, 30, 45, 60
b) 25, 50, 75, 100
c) 720, 504, 180
d) 50, 80, 120, 300
e) 3, 5, 15, 21, 42
f) 120, 192, 1764
g) 14, 28, 30, 120
h) 50, 64, 48, 200
i) 540, 310, 650,
j) 10, 60, 80, 600
k) 12021, 147, 189
l) 140, 420, 630
2. Efectuar las siguientes operaciones:
a)
1
b)
4
c)
3
3
6
20
1 12
1 14
1 30 15
1
2 5
3 40
d)
1 9 5 8 5
g)
2 2 1 1 2 9 3 3 9
h)
5
1 1 3 4 3 2 8 4 9
i)
1
2
e)
1
f)
2
2
9
15 3
1 1 4 2 5 15 3 30
9 2 4 3 2 2 4 3 9 18 9
10
18 2
4 1 2 5 9 6 3 5 5
Curso Propedéutico UNET
POTENCIACIÓN S E D A D E I P O R P
1)
n-veces a a.a.a a
2)
n
m
n
5)
a
9)
a .a a
n
n
a
m
a a 6) n b b
n.m
n m
3)
a 1 con a 0 0
con
n
7)
1 a
a n
n
a
4)
a a 1
8)
a
n
m
1 a
n
an m
an
n
10) a.b.c a n .bn .c n con n
n,m
1. Efectuar las siguientes operaciones: 2 6 a) 3 5
1
8 d) 5
2 1 5 b) 3 9 6
4
5 . 8
3
g)
3
1 2 2 4 e) . 4 3
3
6
1 2 1 4 1 4 . . . 4 9 4 8 3 2 2 1 1 1 1 . . . 4 9 9 7
1 7
3
5
3
2 5 c) 1 5 4
4
2
3 2 3 1 f) 2 7
4
2 3 1 1 . . 3 2 h) 5 2 3 4 0 1 1 1 1 . . . 2 4 3 2
1 2
3
5
2
1 5 1 1 . . . 4 4 2 8 i) 2 4 2 2 1 1 1 1 2 . . . 2 5 4 5
2. Efectuar las siguientes potencias:
a) 2
2 2. 35. 4 2. 3 b) 4 2 3 2 . 3 . 4
3 4
ab 5 c 2 a e) . 4 c b
3
1 3 .4. 6 f) 4 5 .6. 1 10 6
3
3
6
2
2 2 d) 3
3
g)
3
1 3 . 3 i) 3 2 3 1 1 2 . . 2 3
2 4 3 2 . c) 3 22 1 2 . 3
3 6 j) 5 5
2
2 . 3 3 . 2 2 3
3 2
2 3
3 4
h)
a
3 x 0
3
Curso Propedéutico UNET
RADICACIÓN S E D A D E I P O R P
1)
n
4)
m n
a a m
m
n
a m. n a
ab a . b
2)
n
5)
m. n
n
3) n
n
a b
n
a
n
b
Siendo m, n + y n > 1
a mq n a q
1. Obtenga la raíz, el producto o el cociente en los siguientes ejercicios:
a)
81
b) 0,001 3
c)
4
e) 243
i)
f)
j) 5 . 25
5
16 625
16 . 36
g) 4 . 2
k)
h)
l)
3
d) 3 64
4
3
108 . 4 12
m)
24 . 6 3
o)
4
90 . 9000
324 4
3
n)
3
4
4
4
3
3
24
3
72
3
9
45 5
2. Simplifique el radical:
a) 48 x 2
d) 3 81 y 3
g) 5 96 x 24 y10
b) 3 54 x 6 c) 3 8c 8
e) 16 x6 f) 3 27 x12
h) 3 135a 9b8 i) 4 16 x16 y 4 Z 9
3. Efectuar la operaciones indicadas:
a) c)
8 a 6 b
f) 5 h) j)
3 4
a
5
a
8
9 x
b)
5 3 5 6 5 2 5
3 2
16
d)
b
a b 3 a b 5 a b a b
i)
23 a 3 a 53 a 3 a 33 a
1 2 3
36
400 x 81
900 x
729
54 3 250 3 16 3 1038
3
g)
25 x
2 5
a a b 2 b
3
1 4
23
1 4
3
a 2 b
4
33 2 5
5
24 3 320 3 375 3 5
3
4. Efectuar las operaciones indicadas:
a) e)
3
3
3 .3 4 .3 5
3. 5.4 2
b) f)
3
5
2 2 3 3 c) 3 . 3 4
3 4 6
x y 5 3
1 x
2
2
5 3 2 3 g) 6 x y . xy 2
d)
4 3
a b c
h)
a b c
x
6
4
8
2 ab
7
Curso Propedéutico UNET
i)
5
1
ab . ab . 3
3
m)
2
.4
4 3
.3
j)
ab
n) 5
3 2
xy z
2
3
5. Racionalizar las fracciones: 5 ab
a) f)
b)
2 5 2
a b
k)
3
2
a b
g)
ab
m 2 n m 2 n
l)
4 3
5
o)
m)
6 3 3
3
625
3
2
4 a a b . 4 b b a
4 2 3 2
h)
a b
l)
2
c)
a b 2
6
k) 3 xy3 z 5 4 6 x 2 y 4 z 3
mn3 3 n 2
2 3 5
3
d)
e)
5 x
i) 4
xyz
2
2
3
xy xy
3
3
j)
2 5
x y z
6 3
53 2
EXPRESIONES ALGEBRAICAS – POLINOMIOS OPERACIONES CON POLINOMIOS 1. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas son o no polinomios, e indique por qué?
a)
6 x 2 8 x 15
f)
b)
4 x 2 y 3
g)
c) 200
h)
d)
5 x y
e) 16 x
3 x 2 8 y 2
1 x
ax bx mx p
i) j)
l)
3 x 3
k) 8 xy 7 x
2
4 x
3 x 2 x 4 2
3
y 10
x 2 6x 5 1
1
m) 6 x 3 5x 2 4 n) 10 y 3 5 y 2 3 y 1 4 o)
5 x 2 y 2 2
4 x 3 3
2y 5
3 4
2. Dados los polinomios, indique si es un monomio, binomio, trinomio; determine el grado del
polinomio y ordénelo en forma decreciente:
8
a)
6 x 2 3x 5
b)
3 xy 3 2 x 2 y 2
c) x6 4 x 2 3 x 8x5
d)
3 y 4 x
e)
3 x 2 5 z 2 xyz
f)
2 x 4 7 x 2 4 x 3
g)
3 x 6 10 x 2 4 x 3
h)
6 x 2 12 8 x 4
i)
2 x 5 6 x 3 4 x 5
Curso Propedéutico UNET
j) 28
k) 6 x 4 5 x 3 7 x 2
m)
n) 7 xyz
4 x
l) o)
3
3 x 2 y 2 xy 2 x 3 y 3
2 x 5
3 x 2 4
7
10 3
x
4
3. Hallar el valor numérico de los polinomios para cada valor de x indicado: 1 3
a) P x 6 x 3 10 x 2 5 x 8
x 2 ;
x
b) Q x x 4 2 x 2 x 5
x 1 ;
x 0
1 ; 2
x
c)
R x
3 x 3
4
10 x 2
3
3x 2
1 2
d) T x 5 x 8 4 x 2 3x 3 e) A x
x
5
2
x
3
3
x
2
4
x
x 3 ; 1 2
f) B x 3 x 3 8 x 2 6 x 4 g) C x
3 x 4
h) M x
x
8x 2 5
3
3
x
9 2
2
x
5
x
1 4
x
1
x
2
x
3
x
2 3
2
1 3
x 3 3
;
x
;
x 2
;
x
4 ; 3
2
2 3
x 1
4. En los siguientes ejercicios:
a)
2 x 3 4 x 2 8 x 3 ;
5 x 3 6 x 2 7 x 10
b) 6 3 x 8 x 2 5x 3 ; x 4 6 x 3 4 x 2 4 x 8 c)
8 y 4 6 y 2 3 y 4 ; 3 y 4 5 y 3 2 y 2 16
d)
3 x 5 5 x 4 x 2 4 x 2 ; 4 x 5 3 x 3 x 2 3x 8
e) x 3 2 x 2 5x 7 ;
4 x 3 5 x 2 3 x 7
1) sume los dos polinomios 2) reste el segundo polinomio del primero 3) multiplique por 3 el segundo polinomio y réstele 2 veces el primer polinomio. 5. Dados los polinomios 3 2 3 2 P x 7 x 2 x 11x 5 Q x 4 x 4 x 7 x 1
a) P x Q x R x
b)
4Q x 5
2 P x 3
y R x 3 x 3 2 x 2 5 x 3 . Determinar:
3 Rx 2
c) R x Q x P x 9
Curso Propedéutico UNET
d) P x 2Q x 3 R x 3
g) 2 P x
2
Q x
e) 3 P x Q x 4 R x
Rx
P x
h)
3
6. Dados los polinomios P x, y
2
3 x 3 y 4
Determinar: a) P x, y Q x, y
Q x
3
3 xy 2
b)
5
2 R x
f)
R x
3
i)
4
2 x 2 y 3
2 x 2 y 3 5
c)
4 P x , y 5Q x , y
3Q x 2
P x
3
P x Q x R x
Q x, y
3
xy
2 P x, y 3
2
4 x 3 y 3
Q x, y
4
7. a) ¿Cuál polinomio hay que restar de 6 x 3 4 x 2 5 x 8 para que de como resultado dos
veces el polinomio 6 3 x 8 x 2 5x 3 ? b) ¿Cuál polinomio hay que sumar a tres veces el polinomio
5 y 3 2 y 2 10 3 y 4 5 y
para que de como resultado
5 y 3 y 2 4 8 y 4 2 y 3 ?
8. Efectuar el producto en los siguientes ejercicios:
g) x 2n1 3 x 2n1 4 x 2n 5 x x n1
a) 5 x 2 3x 4 b)
5 y 3 .3 6 y 2 y 2
c)
x y
3
2
2
2 x
2
h) 4m 3nm 4 3m 2 n 2 7n 4
5 xy y 2
2 b 2 2 d) 6ab . 4a 3 2 ab 4
f)
5a 2 xy 3 . 3 x 3 5ax 2 y 7 a 2 xy 2 4 xy 3
j)
4a mb 3 a m . b n 3a m1 . b n2 a m2 . b n4
. 7 x 5 x 1
k)
3 x 2 n x n 1 4 x n 5 x n 1
l)
e) x
2
3
i)
5a 3 x 4 y 3 14 x 6 y ax 4 y 2 3 x 2 y 4 axy . 7 3 5 10 5
a 3 x 1 a 2 x 2 a 2 x 3a 2 x 1 5a 2 x1
9. En los siguientes ejercicios, multiplicar el primer polinomio por el segundo polinomio:
a)
6 x 2 7 x 4 8 x 3 5 4 x ; 4 x 2 5 x 8
b)
3 x 2 xy 4 y 2 ; 3 x 5 y
c)
8 x 3 9 6 x 12 x 2 ; 2 x 3
d)
2 x 2 4 x 3 6 x 3 ; x 2 6 x 5
e)
2 x 4 x 3 3 7 x ; 4 x 2
f) x 2 5 x 4 ;
g) x 4 5 x 3 10 x 2 15x 3 ; i) 10
m
a 1
2m
a2
m
a 3
m
a 4
5 x 2 3x 4
;
m
a 3
m
a 1
m
a 2
2 x 3 3x 1
h)
4 x 3 5 y 3 2 xy 2 6 x 2 y ; 3 x 2 y
j)
a
3
4
5a 2 b 3
b 3
5ab 2 3
;
a
2
2b 3
Curso Propedéutico UNET
k)
a 2 x
2
a 2 x 3a 2 x1 5a 2 x1 ; 3a 3 x1 5a 3 x 6a 3 x1
l) 15m5 9m3 n 2 5m4 n 3m2 n3 3mn4 n5 ; 3m 2n 2 n 3
4a 2n2 a 2n1 2a 2 n ; a n 2a n1
m)
a
n)
a m2 3a m1 5a m 20a m1 25a m3 ; 3a 2 5a
10. En los siguientes ejercicios, efectuar la división del primer polinomio entre el segundo
polinomio: a)
3 x20 y12 z16 ; x9 y3 z6
l) y 3 6 y 5 ;
b)
32. x 4 . y 5 ; 34. x 8 . y 12
m)
c)
8 x 2 28 x 4 16x 3 ; 4 x 2
n) x 3 7 x 6 ;
d)
48 y3 30 y2 18 y; 6 y
o) 11 x 3 3 x 5 46 x 2 32 ; 8 3 x 2 6 x
e)
3 y 2 13 y 4 ; y 4
p) x m2 5 x m 6 x m1 x m1 ; x m2
y 3 y 2 2
4 x 2 2 xy 3 y 2 ; 2 x 3 y x 2
f) 12 x 2 5x 2 ; 3 x 2
q) x n2 3 x n3 x n4 x n5 ;
g)
a 3 3a 2 a 3 ; a 2
r)
a x
h)
2 x 4 x 5 ; x 3
s)
a
3
i) 24a j)
2
2
3
b c 32a b c 3
4
2
4
2
;
2
8ab c
3
2 x 3 7 x 8 ; 3 x 4
2
2
2a x 8a x1 3a x2 ; 3a x2 2a x1 a x
3
6
x 2 x
5a 2 b 8
5ab
b 3
2
3
a
4
3b 2
t) k)
28 x 3 y 6 z 4 49 x 2 y 5 z 3 21 xy 3 z 3 ; 7 xy 3 z 2
6
36
6
;
a
;
a
b
5ab 2
3
b
2
11. En las siguientes expresiones, eliminar los signos de agrupación y reducir los términos
semejantes: a)
3a 5b 2c 2a 3b 4c
b) 8 x 6 y 3 x 2 y 4 y c) 10 x 5 y 4 x 12 x 3 y 2 y 6 x 8 y d) 7 x 2 y 3 x 9 x 3 y 4 x 5 y 6 x 3 y 4 x e) 2 x 9 y x 2 y 4 x 8 y 6 x 4 y f) 10a 5c 7b 11a 3b 4c 2c 6a 5b 7b 2a a b c g)
m 6m n 9m 30n 4ñ 2ñ 7n 9m 17n 2ñ m n ñ 11
Curso Propedéutico UNET
h)
3 x 5
3 x 3 x 5 5 x x 7 1 4 8 8 16 8 8 2 24
1
3 7 9 1 5 a b a b c c a b c 2 2 2 2 2 2
i)
PRODUCTOS NOTABLES – COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIÓN
S A L U M R Ó F
1) a b 2 a 2 2ab b 2
7) a b 3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3
2) a b 2 a 2 2ab b 2
8) a b 3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3
3) a b a b a b 2
9)
2
2 2 a b
4) x a x b x a b x ab
10)
5) ax c bx d abx 2 ad bc x cd
11)
2
6) a b c a b c 2ab 2ac 2bc 2
2
2
2
12)
ab
a b
2 2 a b
ab a b 3
3
a 2 ab b 2
ab a b 3
ab
3
a b
a 2 ab b 2
1. Efectuar los siguientes productos y cocientes notables: 3y y 2 3y
3) b a a b a 2 b 2
2)
4) 6a b 2
5) x 8x 12
6) x 2 2 x 4 9x 2 2
8) a 3 7 a 3 6
9)
6 x
12)
x
7) 3ab 5x 2
2
10)
x
10
y 8
2
11)
13) 3 4a 2 x
2
16)
a
X
x
2
4
6x 4 10
14) a 11a 8
a X 1
x y 19) 3 4
12
y
1) x 7 2
2
17)
n
2
1n 2 10
2
20) ab 7 ab 3
2
2
m 2 x 6 x 2 m 2 x
2 x 1
2
15) 4 x 4 3x 2 5
2
18)
y
3
2 y 2 z z 4
2
21) 3 x3 x 6
2
Curso Propedéutico UNET
3 22) ax x
2
3ab 2 25) 3ab 5 3 32 28) x 4 x 4
23)
xy 8
a 1 x 24) x 3 a
xy 5
2
26) xy 6 10 xy
27) 4 x 5 3
2
29)
9 m n 5 m n 2
3
2
30) 2 x 13
3
x
31) 4 x 10x 2
32) 3 x 84 x 3
33)
34) x 8
x 3 x 3 35) 4 15 4 6 x x
3 x y 36) 4 3
38) 10 2 x x 8
39) 2 x 3 y 3
2
2
37)
x
10
10 xy
2
a 2 x 2 40) a x
43)
a
x 2
a
2
41)
x 3 2
5 x y 46) 2 2 y x
49)
x
x
3
55)
x
2
3
3
3
64 y 7 7 5m 2 6
a 2 2b 2 45) 2 a
4 8 x 2 12
48) 5 x 2 2 y 3
44)
2m
47)
7 x
2
50)
a
86a 9
2
x 2 y 2 42) y x
2
3
1 23 51) x x 3
2
56)
4 x
59)
3m n 104m n 8
2
83 x 5
57)
2
2 2
61) m 4m 4 64) 2a 12a 1
65)
67) 3m 93m 9
m
2
60)
2
2 x 5 x 62) 6 4 5 2
m n n m m
68) a b 7 a b 7
3
2 xy 5 2 54) 5 x y
53) 3 y 46 y 10
2
x a1 y 2 a 58) y x
2
3
2
3a x 2
3 y
2
x 3
2
a b 52) 3 a b 5
2
63) 2
3
2 a 100
a 10 x 8 3
3
x 8
8 x 3 1 2 x 1
y 2 n 66) n n x y x
2n
1 x 8 69) 1 x 4 13
Curso Propedéutico UNET
70) a 11 a 73)
x
76)
x y 8 x
79)
xy x
82)
2
5x 5 2
3
a
71) 4 x y y x 4
x 1
3
y 8
x 1
2b
xy x
2b
x 1
a
x 1
x
77)
a
2
72)
5 x 6 x 5 x 6
75)
2
ab b
2
a
2
b ab
80) x 1 x 1x 5
x 5 . x 2 x 2 2
x
3
x
3
x 6 27 y 3
81)
83) a 3a 3a 4 a 4 86)
2 x 3 y
x 3 y 2
216 125 y 3
78)
2
2
85) y 2 y 3 y 2 y 3 87)
74)
2
8 x 3 27 y 3
84)
6 5 y 9 x 4 3 x 2 81a 6 100 b 8 9a 3 10 4
x 3 x 9 4
2
x x 88) 14 14 2 2
2. Factorizar los siguientes polinomios:
1)
14
3 2 2 2 m n m n
2) x 4 y 2 26 x 2 y 168
3)
3 x 3 6 x 2 12 x 4
4) x 4 x 2 90
5)
a 2b ab2
6)
a 2 8a 105
7)
8a 4 16a 3b
8)
m 2 35m 250
9)
8a 3b 4a 2b3c 12a 5b 4 c 3
10) x 2 x 56
11)
4 x 3 y 4 z 4 8 x 3 y 5 z 5 10 x 2 y 3 z 6
12) y 4 16 y 2 192
13)
25 x 3 y 15 x 2 y 2 5 xy 3 10 y 4
14)
2 m 2m 80
15)
9 x 2 y 3 z 18 x 3 y 5 z 2 27 x 4 y 4 z 3
16)
6 x 2 22 x 20
17)
6m3 n 3m 2 n 3m 2 n 2 9m 3n 2
18) 15 x 2 26 x 8
19) 16 x 3 y 2 8 x 2 y 24 x 4 y 2 40 x 2 y 3
20) 12 x 2 14 x 6
21) 6am 4ac 3bm 2bc
22)
6 x 2 8 x 30
23) xy xz y z
24)
5 x 2 23x 24
25)
ac ad bd bc
26)
7 x 2 60 x 32
27)
2cx 2 3bc 2a 2 x 2 3a 2b
28) 11 x 2 49 x 20
29)
ac ad 2bc 2bd
30)
8 x 2 36 x 36
Curso Propedéutico UNET
31) m n am an
32)
4 x 2 15x 9
33)
2 y 2 x 2 y 3 z 3 x 2 z
34)
2 x 2 3x 2
35)
a
36)
2 2 a 2ab b 1
2 n1
a n2 a n1
37) xy vy xz wy wz vz
38) 1 9m 2 6mn n 2
39)
abx acx bcy aby bcx acy
40)
41)
9m 2 16 y 2 z 6
42) x 2 y 2 4 xy 4 4b 2 9c 2 12bc
43)
49 x 6 y 4 81m 2 n 6
44)
45) a b 2 1 47)
2
4
49) m n x y 2
51) 53)
9a 4 b 8 16 4 x 8 25
2
4
57) 59)
2
4
9m 2 12mn 4n 2 1 6 xy 9 x 2 y 2
8 x 6 36 x 5 54 x 4 27 x 3
50)
a
6
27
4
3
a b c
6
2
6
a b c
4
2
9
b c
3
8
8 x 6 12 x 4 y 6 x 2 y 2 y 3
54) 1 18a 2b3 108a 4b 6 216a 6b9
a 2b 4
25 x y
2
48)
52)
36
55)
2
46) x 3 15 x 2 75x 125
a b m n 2
m 8mn 16n x y
a b
6
56)
216 756a 2 882a 4 343a 6
64a 6 x b 6 x
58)
m3 3am2 n 3a 2 mn2 a 3 n3
81 x 4 49 y 4
60) 1 12a 2b 2 6ab 8a 3b3
2
4
4
61) x 2 2 xy 3 y 6
62) 1 12a 48a 2 64a 3
x2 4 xy 4 y2
64)
a9 18a 6b5 108a 3b10 216b15
65) 4 20 y 25 y 2
66)
64 m3
67)
9m 4 n 2 1 6m 2 n
68) 4mn 3 3 y 3
69)
x
71)
a
63)
4
2 x 2 y 9 y 2
70) x 6 125
4b 2 2ab
72)
8m 6 216n 9
73) x 2 y 4 z 2 xy 2 z
74)
27a 3 b 6
75) 1 8 xy 2 16 x 2 y 4
76) a b 3 a b 3
9 2
4
1
4
15
Curso Propedéutico UNET
77)
25a 2 b 4
1 25
78) 1000 x 3 1
2ab 2
79) 4 41 a 1 a 2
80)
81) x 2 9 x 20
82) x 13 x 23
83) x 2 250 15 x
84) m 23 m 33
85) x 2 y 4 xy 2 20
86) x 2 x 2
87) t2 – 5t + 4 89) u2 – 7
88) m4 – 13m2 + 36 90) 18 – 2x2
8 x 6 729
3
3
3. Hallar el MCD y el mcm de:
1) 16 x 2 y 3 ;
8 x 3 y ; 24 xy 4
3) x 2 2 x 6 ; x 2 3x 2 ; 5)
x
2
y 2 ; x 4 y 4
7) 12 x 3 y 2 z ; 9) x 2 2 x ; 11)
4 x 4 y 2 ; 2
48 x 5 y 4 ; 24 x 3 y 3 x 3 2 x 2 ; x 2 4
2 x
2
13) 1 a ; 1 a 2 ; 15)
x 2 4
2)
9a 3b 2 ; 27a 2 b 5 ; 36a 4b 3
4)
5a 2 bc ; 15a 2b 3c ; 30a 3b 5
6)
2a 3 2ab 2 ; 6a 4b 6ab 4
8)
5 xy 15 x ; 2 y 6 xy 5 xy15 x 2
2
2
10) x 3 y 3 ; x y 3
y
2
12)
x
2
1 ; x 2 4 x 5 ; x 4 1 2
14) x 3 25 x ; x 2 2 x 15
1 a3
6a 2 13a 6 ; 3a 2 14a 8 ; 4 12a 9a 2
OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES 1. Dadas las siguientes expresiones racionales, reducirlas a su mínima expresión:
1) 4) 7) 10) 16
12 a 2 3a 6 9 x 5 36 x 2 2 x 4 x 4 2
5c 5d c cd 2
2) 5)
7 x 2 y 5
9a 2 b 2 10 a 4 b 2 x y 2
8) 11)
3)
21 x 5 y 3
6)
2
2 x xy
t 2 3t 28 2 t 4t 21
9) 12)
36 r s 6 t 7 30 r s 7 t 6 20 x 3 y 2 z 4 15 x 6 y 6 z y 2 4 y 4 y 2 4
6 x 2 xy y 2 2 x 2 9 xy 4 y 2
Curso Propedéutico UNET
a 8a 15
6 x 2 11 x 7
2
13) 16)
14)
2 a a 12 3 x 27
x 3
15)
12 x 2 13 x 35 5a
17)
2 x 16
4 x
2 x y
18)
a 2 25
8 x 3 y 3
2. Obtenga los siguientes productos y reducirlos a su mínima expresión:
1) 4) 7) 10) 13) 15)
5 x 3
21 y 2
2)
7 y 4 10 x 2 5 z 42 x 2 y 36 xy 2
63 x y 2
20 x 2 z
6c 9 c 2 3c 10 2
33 uv3 w2
8)
25 wz 3 27 y 2 w2
c 25
56 b c 27 c d 20 r 3 s t 3
11uv 2 w4
27 c 2 100 ac 7ab
11)
12 4c
2
9 x 2 16 y 2
xy 2 x
2
x 3 y
16)
3 x 2 5 xy 12 y 2 3 xy 4 y 2 2 x y
3a 4
3 xy 5 yz
x x 12 3 x 3
2 2 x 3 xy 4 y
x xy 2 y 2
2
5 x 5 x y
12)
12 4t
14)
ba
8b
9 y 2 z 10 z 3 12 x
2
4a 2 3ab b 2 b 2 4ab 16 a 2b 2 b 4
8 x 2
9)
15 c
t 2t 15 t 6t 9 t 9
3
2
2
16 b
6)
15 r 3 s 2 w
2 3 16a b 63b
15 a 2
3)
5)
10 z 2
45 a d 32 a b
x 3 y
2 x 9
x 9 y 2
2
x y 2
2
2 2 x xy 6 y
x xy 12 y 2
2ab a 2
2
3a 4ab 15b 2
b 4a 2
2
6a 2 13ab 5b 2 2a 2 7ab 3b 2 2a 2 4ab
3. Obtenga la división indicada de expresiones racionales y dar los resultados en su mínima
expresión: 1) 4) 7) 9)
81 xz 3
27 x 2 z 2
36 y
2)
12 xy
21 r 2 s 5
55tu 6 x y 2
18 r 3 s 3
2
xy 2 y
5)
25 t 6u 4 x 2 xy y 2
2
11)
3 y 4 y 4 2
ba
a b 2
ab
8 12 y 2
x 9 x 14 2
x 4 x 21 2
3)
25uv 3 w x 3 x 10 2
2
6)
x 2 x 35 2
10)
2
a 2ab b 2
10a 2 29a 10 2
6a 23a 20 x 7 x 8 6
a b
2
15uvw4
8)
2 x 2 4 xy
9 y 3 18 y 2 4 y 8
a
2
24r 3 s 4 t 18rs 3t 2
12)
3
4 x 4 x 8 2
c
4
9a 2 b
2
15 x 3 y 2 z 2abc3 x 4 y 2
2
4 y 2 x
5 x 3 y 3 z 2 6 a 2bc 2
2 x 2 xy 6 y 2 6 x 9 y
10a 2 19a 6 25a 2 10a 15
2 x 2 4 x 8
27a 3 b 3 ac bc
ac bc 3
3
36a 2 2ab b 2
17
Curso Propedéutico UNET
4. Efectué la suma o resta indicada en cada una de los siguientes ejercicios y exprese el
resultado en términos mínimos: 1) 4) 7) 9)
a 1 a3
x 2 y x 2 y
a2 a2
a 1
2a 2 18
a 3
2)
a
2 x y
5)
2 x y
a2
8)
9a 3a 2
2 x 5 x 2 8 x 16
3 2 x
x 2
10)
x 2 4 x
x y
x z
xy
xz
x y
x y
x y
z y
3)
yz
6)
x y
2 x 4
x 5
x 8 x 15 x x 6 2
2a b 2a b
2
8ab
4a 2 b 2
2t 1 3t 3
4t 2 s t 2
2
6 t t 2 5t 4
t 5 t 5
s t t s
x 3 x 3 x 10 2
b 2a b2
5. En cada una de los siguientes ejercicios obtenga una expresión racional simple reducida a
su mínima expresión, equivalente a la dada: 1
1)
x
1 x
5)
1
a
y
b a
1 y
b
1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 x 1 x 1
9)
2)
3 x 3h 2 h
x
a b
y 2
3)
a ab
6)
1
ab
2 x 2h 5 h
10)
x
2
y
2
b ab
1
7)
3 2 1 b . a b b a 1
3 x 2
2
b
1 2 x 1 y
4) 1
t 1
1
1
x h x h
t t 1
8)
1 h 3
1 x
3
h
1 2 x 5
1
11) 1
1 1
1
12) 1 x
1
1 1
1 z
6. Escriba la expresión dada como una expresión racional simple con exponentes positivos
únicamente: y 1 1) 2 2 x y x
1
2)
a b a
1
1
2
b 2
b a a b 2
3)
ba
2
1
2
ab 1
2
4)
2 x 1 3 xy 2 4 x 2 9 x 2 y 4
x 1 y 1 5) 1 1 x y
1
7. En los siguientes ejercicios, efectuar y reducir a su mínima expresión algebraica el
resultado:
18
Curso Propedéutico UNET
1) 4)
z x 4 xyz 4 y z 2
x 3 xy 2 y 2
3
2
5)
x 3 x 3 x
x
x 125
2
3
7)
2)
2
1
8)
2 x 3 10 x 2 x 3 5 x 2 25 x
10)
13)
y y 2
2 y 2 8
2
2 y 4 y
x x 5 x 6 2
a 4a 3
3 x 7 x 12
16)
2a 2
2
3
17)
6)
x2 2
x 16 2
x 2 2
a
2
b
2
x x 30 2
x 4
x y 2
x
b
a b a 2 b a
2
4
18)
x y y 1 1 20) 2 2 y x x x y
29)
5 x 2 1
x 3 y 3 xy 2
1 x 2 y 2
1
x 3 y
ab
x 2 x 9 x 18 3
28)
2
24)
2
4
2 x
4 x y 4
x 2 11 x 30
2 x 6 x 9
4
2 x 2 y 2 xy x 4 y 4
x
2 x 6
2 x 3 1 1 1
21)
2
26)
3
1
x y 23) 9 x 4 y 1 y x 2
h
x
x 3 x 8 x 24
x
27)
y x
2
2ac bc 6ad 3bd
x h 3 5 x h x 3 5 x
1
a b
2
y 4 2 3 2 y y y y y 4 5 4 1 4
x y
ab ab ab
15)
25)
1
x
a b
x 3 x 4 x 3 5 5
2
2 x 1
9 x 1 1 3 x
2
2
3 3 1 2 x 2 x 4 x 2
x 1 x 3
3 6 5 8 22) x 2 x 1 x 2 x 1
x
12)
a a
6ac 2ad 3bc bd
2 x
2
6 x 2
1 1 2 9) x x 1
2
x 3 x
2
19)
x 5 x x 2 x 24
x
a 1
a 1
x 4
14)
2
2
a
11)
2 y 2 y 8
3 x 9 x 27
5 x
2
3)
2
2
7 x
x 27 3
2
5 x 2 9 x 20
5 x 2 x 9
7 x 3
a 2 ab a 2 ab 30) a b 2 2 b ab b ab 2
2
19
Curso Propedéutico UNET
POLINOMIOS TEOREMA DEL RESTO O RESIDUO Teorema del Resto: si se divide un polinomio P(C ) 0 entonces X C es
P( x) entre X C el
residuo es igual a
P(C ) si
un factor.
1. Determinar el resto o residuo sin efectuar la división en los siguientes ejercicios:
a)
x
5
3 x 3 x 2 3 : x 1
R. 0
b)
5 x
3
c)
x
5
3 x 3 x 2 3 : x 1
R. 4
d)
x
3 x 2 x 5 : x 2
R. 3
e)
x
4
5 x 2 6 : x 1
R. 2
f)
2 x
5 x 3 2 x 8 : x 3
R. 25
g)
x
3
3 x 1 : x 2
R. 15
h)
3 x
x 2 5 x 4 : x 2
R. 26
i)
x
R. 2
j)
x
k)
x
R. 51
l)
2 x
2 x 3 : x 1
3
3 x 2 x : x 3
4
x 3 1 m) x 2 : 2 x 1 3 2
o)
2 x
q)
x
s)
x
u)
2 x
w)
6 x
y)
3 x
3
2 x
1 x 3 4 x 2 7 x 4 : x 2
R.
3
p)
64 x
15 x 8 : x1
R. – 6
r)
3 x
5
3
5
R. 0
R. 7
5 x 2 2 x 1 : 2 x 3
3
n)
2
R. 15
6 x 2 4 x 8 : x 3
31 48
512 : x 2
9
4
4
R.
4
10
3
14 x 3 : x 2
3
44
R. -22
4 x 2 6 x 8 : 2 x 4
6
R. -4
1 13 : x 2
R. 14
5 x 41 4 : x 1
R. 2
t) 1988 x 3 1989 x 2 1990 x 1991 : x 1 R. – 2
4 x 4 10 x 3 20 x 10 : x 4 R. – 314
v)
2 x
3
3 x 2 4 x 17 : x 3
R. – 2
x 2 4 x 1 : 3 x 1
R. 0
x)
4 x
3
7 x 2 x 2 : x 2
R. 4
7 x 4 5 x 3 4 x 2 1 : x 3
R. -8
z)
2 x
3
x 2 x 3 : 2 x 3
R. 0
2. Determinar el resto o residuo sin efectuar la división en los siguientes ejercicios:
a) x 4 2 x 3
c) x 4 3 x 2 2 x : x e) x 4 20
R. 3
b) 7 x 5 4 x 3
R.
d) 2 x 5 x 3 2 x
2 : 2x 2
f) 2 x 5 x 3 2 x
2 : 2x 2
3 x 2 5 3 : x 2 3
2 x 3 2 x 2 : x 2
2 3
R. 14 6
2
7 x 2
7x 2
R. 0
R. 0
R. 2
2
Curso Propedéutico UNET
g)
3
5 x
5
4 x 5 x 3 5 :
5 x 3
R. 6
5
h) x 6 6 x 4 11 x 2 6 : x
3
R. 0
3. Use el teorema del factor y responda cada una de las preguntas:
a) ¿Es x 4 un factor de
2 x 3 6 x 2 5 x 12 ?
R. Si
b) ¿Es x 1 un factor de
5 x 4 x 3 4 x 2 6 x 10 ?
R. No
c) ¿Es x 3 un factor de
2 x 3 6 x 2 5 x 15 ?
R. Si
d) ¿Es x 3 un factor de
4 x 3 9 x 2 8 x 3 ?
R. Si
e) ¿Es x 3 un factor de x 5 243 ?
R. Si
f) ¿Es x a un factor de x 6 a 6 ?
R. No
g) ¿Es 2 x 1 un factor de
R. Si
6 x 3 7 x 2 4 x 1 ?
h) ¿Es x 3 un factor de x 50 350 ?
R. Si
i) ¿Es x 3 un factor de x 49 3 49 ?
R. No
1 j) ¿Es x un factor de
6 x 3 x 2 7 x 2 ?
R. No
1 k) ¿Es x un factor de x 3 4 x 2 3x 2 ?
R. No
l) ¿Es x 2 un factor de x12 4090 ?
R. No
m) ¿Es 2 x 3 un factor de
R. No
3
2
2 x 4 5 x 3 3 x 2 8 x 10 ?
DIVISIÓN SINTÉTICA O REGLA DE RUFFINI 1. Determine el cociente y el residuo en las siguientes divisiones aplicando la división sintética
o regla de Ruffini: a)
2 x
3
b)
x
8 x 5 x 3
c)
4 x
4
d)
2 x
4
3
3 x 2 4 x 5 x 2
R. C( x ) 2 x2 x 6;
R x 7
R. C( x ) x2 3x 1;
R x 8
1 5 x 2 1 : x 2
R. C( x ) 4 x3 2 x2 4 x 2;
1 x 3 4 x 2 7 x 4 : x 2
R. C( x ) 2x3 4 x 5;
R x 0
R x
3 2 21
Curso Propedéutico UNET 2 e) 2 x 3 10 x 3 14 x 3
f)
5 x
x 2 4 : 3 x 1
3
R. C( x )
2 3 1 3 2 x g) x 2 x x x : 2
3
h)
x
i)
3 x
3
3
2
x
l)
x
m)
2 x
n)
6 x
3
3
q)
4 x
r)
3 x
s)
2
10
3 x4 4
561
x
100
5 x3 8
x 3
; R x 5 2
8
3 x 2 7 x 5 2 x 1
R. C( x ) x2 x 3;
R x 2
1 x 2 2 x 2 x 3
R. C( x ) 6x2 3x 3;
R x 1
R x
R. C( x ) x 3 2ax2 a2 x 2a3 ;
R x 0
6
7 x 4 11 x 2 17 : x 2 3
R. C( x ) 3x4 16 x2 37;
2 x
3 x 2 x 1 2 x 4
R. C( x ) x
6
3
3
5
u)
x 3 x
v)
2 x
3
2
2
2 x 1 2 x 4 3 2
8 x 2 10 : 2 x 2
497
R. C( x ) 6x 3 19 x2 57 x 165;
R. C( x ) 4 x6 6 x3 9;
9
4
8
; R x
2 x 6 3 x 3 2 x 3 1
9
500
R x 5
4
ax 3 a 2 x 2 a 3 x 2a 4 x a
561
R x 3
2
2
27
; R x
19
R. C( x )
x
100
R x 28
9
2 3 3 t) 4 x : x
22
R. C( x )
x5
63
; R x
x
4 x 3 2 x o) 2 x 2 x : 1 3 3 3 4
27
R. C( x ) x2 3x 24;
R. C( x ) x2 ;
2
x
8
R. C( x ) x3 x2 x 3;
3 x 2 3 x 3
p)
9
x
4 x 3 4 x 2 10 x 8 : 3 x 1
2 x 3 x 1 2 x 3
3
3
8
x2
R. C( x ) 6 x 2
4
3
5
R x 14
1 2 5 x 4 x 3 2 x 2 : x 5 3
15 3 6 4 2 j) x x x x 1 2 x 3 8
k)
R. C( x ) 2x 16;
6
x
9 x 2
R x 128
3
2
; R x 1
R. C( x ) 4 x 2 6 x 9; R. C( x )
R x 7
R x
9
55
8
16
; R x
R. C( x ) x2 3x 3;
R x 16
131 10
3
Curso Propedéutico UNET
3 x 2 x 2 2 w) 2 x x 2 x 2 3 5 3
R. C( x ) 6 x 2 32 x 186;
x 3 1 1 x) x 2 x 3 2 2
y)
x
z)
3 x
3
R. C( x )
ax 2 x 2 ax 6 x 6 x a 5
x
2
2
5x 4
5
31
8
48
; R x
R. C( x ) x2 x 6;
x 4 4 x 2 7 : x 2
R x
1858 5
R x 0
R. C( x ) 3x4 7 x3 14x2 24x 48; R x 103
RAÍCES ENTERAS O FRACCIONARIAS DE UN POLINOMIO. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Y FACTORIZACIÓN. 1. Hallar Las raíces enteras, fraccionarias o imaginarias en las siguientes ecuaciones, o
funciones polinómicas y además factorizarlas: Ecuación
Raíces
Ecuación Factorizada
1 R. 2, 3,
2 x 2 x 3 x
2) x 4 x 3 19 x 2 49 x 30 0
R. 1, 2, 3, 5
x 1 x 2 x 3x 5 0
3) x 4 16 x 3 86 x 2 176x 105 0
R. 1, 3, 5,7
x 1 x 3 x 5x 7 0
4) x 4 14 x 3 71 x 2 154x 120 0
R. 2, 3, 4,5
x 2 x 3 x 4x 5 0
5) x 3 2 x 2 5x 6 0
R. 3,1, 2
x 3 x 1 x 2 0
6) x 3 2 x 2 x 2 0
R. 2, i, i
x 2 x i x i 0
7) x 3 4 x 2 11x 30 0
R. 3, 2,5
x 2 x 5 x 3 0
8)
2 x 3 3 x 2 17 x 30 0
5 R. 3, 2,
2 x 3 x 2 x
9)
6 x 5 19 x 4 x 3 6 x 2 0
2 1 R. 0, 0, 3, ,
6 x 2 x 3 x
2 1 x 0 3 2
x 7 x 4 x
2 x 2 0
1)
2 x 3 3 x 2 11x 6 0
2
2
3 2
10) x 4 3 x 3 30 x 2 6 x 56 0
R. 7, 4,
11)
1 R. 3, , i, i
2 x 4 5 x 3 x 2 5 x 3 0
2
2
1
0
2
5
0
2
1 x 3 x x i x i 0
2
23
Curso Propedéutico UNET
2 R. 3,1,
3 x 3 x 1 x
13) x 3 5 x 2 2 x 24 0
R. 2, 3,4
x 3 x 2 x 4 0
14) x 3 x 2 10 x 8 0
R. 2, 1, 4
x 2 x 1 x 4 0
15)
2 x 4 11 x 3 11 x 2 15x 9 0
1 R. 3, 3, , 1
1 2 2 x 3 x x 1 0 2
16)
3 x 3 2 x 2 7 x 2 0
1 R. 2, 1,
3 x 2 x 1 3 x 1 0
12)
3 x 3 4 x 2 13x 6 0
3
2
3
2
0
3
17) x 5 4 x 4 4 x 3 34 x 2 45x 18 0 R. 1,1, 2, 3,3
x 12 x 2 x 3x 3 0
18) x 3 3 x 2 x 3 0
R. 1,1, 3,
x 1 x 1 x 3 0
19) x 3 7 x 6 0
R. 2,1, 3
x 2 x 1 x 3 0
20) x 4 3 x 3 12 x 2 13x 15 0
R. 5, 3,
1 i 3 1 i 3 , 2 2
x 5 x 3 x
21)
9 x 4 45 x 3 53 x 2 5 x 6 0
1 1 R. 2, 3, ,
3
i 1 i 3 x 1 3 0 2 2
1 1 9 x 2 x 3 x x 0 3 3
3
22) 12 x 3 4 x 2 3x 1 0
1 1 1 R. , ,
12 x
23) 18 x 3 x 4 x 1 0
1 1 1 R. , , 3 3 2
1 1 18 x x 0 3 2
24)
9 x 6 x 17 x 12 x 2 0
1 1 R. , , 2 , 2 3 3
1 9 x x 2 x 2 0 3
25)
6 x4 31 x3 54 x2 36 x 8 0
2 1 R. 2, 2, ,
6 x 2 . x
26) 15 x 3 22 x 2 5x 2 0
1 2 R. 1 , ,
1 2 15 x 1 x x 0 5 3
27)
2 1 1 2 R. , , ,
3
4
2
3
2
90 x 4 27 x 3 49 x 2 12 x 4 0
28) x 2 ax 2a 2 x 0
2 3 2
5
2
2
3
5 2 3
R. 2, a R. 1, a, b
1 1 1 x x 0 2 3 2 2
3 2
3
29) x 3 b a 1 x 2 b a ab x ab 0 24
90 x
2 1 x 0 3 2
2 1 1 x x 3 5 2
2 x 0 3
x 2 x a 0
x 1 x a x b 0
Curso Propedéutico UNET
30) x 3 7ax 2 2a 2 x 40a 3 0
R. 2a, 4a, 5a
x 2a x 4a x 5a 0
31)
R. 2, 3
3ab x 2 x 3 0
32) x 3 ax 2 4 x 4a 0
R. 2, 2, a
x 2 x 2 x a 0
33) x 3 ax 2 x a 0
R. 1,1, a
x 1 x 1 x a 0
34)
R. 2, a
2 x 2 x a 0
R. a
x a x 2 ax a 2 0
3abx 2 3abx 18ab 0
2 x 2 4 2a x 4a 0
35) x 3 2ax 2 2a 2 x a 3 0 36)
2 x 4 5 x 3 9 x 2 x 15 0
R. 1,
3 2
37) x 3 3b a x 2 2b 2 3ab x 2ab 2 0 38)
3
x
3
x2
2
x 1
6
6
0
, 1 2 i, 1 2 i
2 x 1 x
R. a, b, 2b
1 1 5 1 5 , , 2 2 2 13
x 1 2 i x 1 2 i 0
2
x a x b x 2b 0
5 1 1 5 x1 0 2 x x 2 2 2
R.
39) x 4 3 x 3 20 x 2 24 x 8 0 R. 1, 2, 3
3
x 1 x 2 x 3
40) x 5 6 x 4 34 x 3 56 x 2 39 x 10 0 R. 1,1,1,1,10
13 x 3 13 0
x 14 x 10 0
2. Resuelva los siguientes problemas de acuerdo a su enunciado:
a. Si 2 y 3 son raíces o ceros del polinomio otras dos raíces y factorice P( x) . b. Si
1 2
y
2 3
son raíces de la ecuación
P( x) x 4 x 7 x 22 x 24 4
3
2
6 x4 25 x3 8 x2 7 x 2 0
obtenga las
halle las otras dos
raíces y factorice la ecuación. c. Si 3 y 3 son raíces de la ecuación x4 3 x3 5 x2 9 x 6 0 halle las otras dos raíces y factorice la ecuación. d. Cuál es el polinomio P( x ) de cuarto grado con coeficientes reales si tiene como raíces o ceros 1 i, 1 i, 2 i y 2 i e. Obtenga el conjunto solución de la ecuación 3 x4 2 x3 2 x2 8 x 40 0 si 2 i es una raíz. f.
Factorizar el polinomio
P( x ) 3x 3 - 2 x 2 3x - 2
g. El polinomio raíces.
4 3 2 x x 7 x ax b
h. El polinomio raíces.
x4 ax3 7 x2 bx 24
si
x i
tiene como raíces R. a 1
es una raíz.
1 y 2 . b6
Hallar a y b, y las otras x3 1
x4 3
tiene como raíces 1 y 2 . Hallar a, b y las otras x4 4 x3 3 R. a 4 b 22 25
Curso Propedéutico UNET
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Simplificar las siguientes fracciones: x 2 x x 2 3
a)
x 4 x 3 x 4 x 4 4
2
3
2
x 3 x 4 x 12 3
2
6 x 4 x 3 39 x 2 4 x 60
2 x 3 12 x 2 22 x 12
g)
3 x 3 21 x 18 x xa x a a 3
2
2
3
x 3 x a 3 xa a 3
2
k)
x 3ax a x 3a
3
2
2
2
3 x3 x2 12 x 4 2 x3 x2 8 x 4 x a
3
x a
2
3
2
R. R. R.
3
3
2
3
m)
2
x 2ax a x 2a 3
R. R.
x 4 x 5 x 2 3
e)
o)
3
x 3 x 2
c)
i)
2
R. R. R.
1
b)
x 2 x 2
d)
x 2 x 3
f)
6 x 2 x 15 2 x 3
h)
3 x 3 x a
j)
x a x 2 a
l)
x 3a
3 x 1
n)
2 x 1 x ax a 2
2
p)
x a
x 4 x 3 x 4 x 4 4
3
2
x 11 x 18 x 8 4
2
x 2 x 2 x 3 3
2
R.
x 3 x 3 x 2 3
2
x x 5 x 3 3
2
R.
x 3 x 2 3
3
2
2 2
4
x a x a x a
R.
3 2 2 2 4 x a x a x a
x 2bx 2b x b 3
2
x b 3
2
3
R.
3
4 2 x 13 x 36
R.
4 2 x 5 x 4
2 x 3 2a 2 x 2 2a 3 x 2ax 2 x ax a x a 2
R.
2
3
3 x 3 21 x 18 2 x 3 3 x 2 8 x 3
R. R.
x x 2 2
x 3 x 4 2
x 3 x 2 x 3 x 2 x a 2 x a
2
x bx b
2
x bx b
2
2 2
x 9 2
x 1 2
2 x x a x a
3 x 2 1 2 x 2
VERDADERO VALOR DE UNA FRACCIÓN Hallar el verdadero valor de las siguientes fracciones para el valor de x indicado: a) c) e)
26
x 3 x 2 2
x x 6 2
3 x 8
x 11 x 26 2
3 x4 2 x2 3 x 4 2 x3 5 x2 6 x 1
para x 2 para x 2 para x 1
R.
1
R.
4
R.
5
5
11 10
b) d) f)
x 7 x 16 x 12 3
2
x x 8 x 12 3
2
x x 6 2
x 2 x 15 2
x 6 x 12 x 8 3
2
4 2 x 8 x 16
para x 2
R.
para x 3
R.
5 8
para x 2
R.
0
1 5
Curso Propedéutico UNET 2 x 7 x 6
g)
para x 1
2 x 2 x 1
x 2ax a 2
i)
2
para x a
x ax 2
k) m) o)
x 2ax 2a x x 3
2
2
x a 3
3
3 x 3 11 x 2 13 x 5 x x 5 x 3 3
2
x 4 x x 4 3
2
2 x 2 x 3
3
R. R.
j)
0
para x 1
R.
3
h)
para x a R. 3
para x 1
x 3 x 2
l) 1
n)
2
R. 2
p)
2 x 3 6 x 2 6 x 2 x 2ax 2a x a 3
2
2
x a 3
3
x 3ax 3a x a 3
2
2
x ax a x a 3
2
3
2
para x 1
R.
para x a
R.
1
para x a
R.
0
para x 1 R.
5
3
3
2 x 4 3 x 3 3 x 2 7 x 3 3 x 4 11 x 3 15 x 2 9 x 2 4 x 3 4 x 2 3 x 18 x 3 27 x 2 2 x 3
para x
3 2
R.
3
24 77
ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y CON VALOR ABSOLUTO, APLICACIONES, ECUACIONES CUADRÁTICAS, BICUADRADA, BINOMIA, TRINOMIA, APLICACIONES 1. Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado:
1) 4 x 2 10
2) 15 x 10 6 x x 2 x 3
3) 5 x 5 3x 0
4)
5) 4 x 8 2x 12
6) 15 x 6 x 5 2 x 3 7 x 23 x 3 2 x
7) 6 x 7 2 x 5
8) 3 x 5 x x 3 8 x 5 x 9
9) 4 x 3 5x 6
10) x 5 3 x 5 x 6 x 3
3 x 2 x 1 7 x 3 5 x x 24
11) 3x 4 1
12) 23 x 3 45 x 3 x x 3 xx 5
13) 2 x 2 9
1 1 1 14) 3 x x 1 2 x 4 x x 2 2 2
15) 5 x 6 4x 3
16) 3 x 12 5 x 2 2 x 32 5 x 2 x 1 0
17) 5 x 4 2x 4
18) x 13 x 13 6 xx 3
19) x 2 x 1 8 3x 3
20) 3 x 2 2 x 5 3 x 12 x 1 3
2
21)
x
6
5
1 3
x
2
2
22)
3 x 1 x 7 x 12 2
1 2 x 6
7 6 x 24
27
Curso Propedéutico UNET
23)
3 x
25)
3 x
27)
x
5
2x
1
4
2
5
3
33)
2 x
35)
1
a
5 4
6
3x 20
5 4
30)
2
x 3
4
x4
32)
5
1
4
4 x 3 2 x 5
3 x 8
5 x 2 27 x
3
1
5 x 3
2
9 x 1 2
2
x 3 x 2 x 4
x 6
x
6 x 2
1
3 x 7
x 3
3 x 1
x 2 x 1
x 3 x 2
ax 2a b bx b
x 5 5x
34) x x a xa b x 1 1
1
36)
3
x
26) 28)
5x
5 x 6
x
x
12
12
24)
0
5
x
x 2
x 2
1
2 x
2
29) x 31)
3
b
3 x 1 5 x 4 x 2
2
3
8
2x 3
2 x 1 3 x 6 37)
x x x 38) 3 1 7 x
39) x a2 x a2 a a 7 x
40)
3 5
41) 43) 45) 47) 49)
3 5
3 2 x 1
5 x 2 1
5 x 8 3 x 4
1 3 x 3
4 3
0
42)
1
44)
x 1
5 x 2
46)
3 x 4
1 4 x 4
1 12 x 12
5 x 27 x 3 1 0 7 x5 x 1
48) 50)
2
3
1 10
2
ax bx x a b x 2b x 2a 2
2a 3 x x a x m x n x a
3
1 x a
x a x a
26 x a
4 x a
n x m x
x b 2 3 x a x
3ab 3b 2
9 x 3a
2
a ax 2
x a x a
x a a
a2 x ab x 2 a 2
Expresiones usuales para el planteamiento de problemas literales: 1) Suma de dos números
28
5
x y
2) El doble de un número o duplo de un número
2 x
3) Triple de un número
3 x
Curso Propedéutico UNET
4) El doble de un número más el triple de otro
2 x 3 y
5) Dos números consecutivos
x ; x 1
6) Un número par
2 x
7) Dos números pares consecutivos
2 x ; 2 x 2
8) Tres números pares consecutivos
2 x ; 2 x 2 ; 2 x 4
9) El opuesto de un número x 10) El exceso de dos números
x y
11) Un número excede a otro en 6 unidades
x y 6
12) Un número excede a su opuesto en 2 unidades
x x 2
13) Un número impar 14) Dos números impares consecutivos
2 x 1
15) La semi-suma de dos números
x
2 x 1 ; 2 x 3 x y
2
16) El exceso de un número y su cuadrado
x x
17) El doble producto de la suma de dos números
2 x y
18) El producto de dos números menos su diferencia
x . y x y
19) El producto de dos números
x . y
20) La mitad de un número
x / 2
21) El semi-producto de dos números
x . y / 2
22) El doble producto de dos números
2 . x . y
23) El consecutivo de un número entero
x 1
24) El número entero que precede a otro
x 1
25) La diferencia de cuadrados de dos números
x y
26) El cuadrado de la suma de dos números
x y 2
27) Los cinco cuartos de un número
5 x / 4
28) El cuadrado de la diferencia de dos números
x y 2
29) El cubo de la suma de dos números
x y 3
30) El cubo de la diferencia de dos números
x y 3
31) El producto de la suma por la diferencia de dos números
x y . x y
2
2
2
29
Curso Propedéutico UNET
2. Aplicaciones : problemas teóricos que se resuelven mediante ecuaciones de primer grado
1) La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los números. R. 57 y 49. 2) La suma de dos números es 540 y su diferencia 32. Hallar los números. R. 286 y 254 3) Entre dos personas A y B tienen 1154 Bs. y B tiene 506 Bs. menos que A ¿Cuánto tiene cada uno? R. A 830 Bs. y B 324 Bs. 4) Dividir el número 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la menor en 24. R. 65 y 41 5) A tiene 14 años menos que B y ambas edades suman 56 años ¿Qué edad tiene cada uno? R. A 21 años y B 35 años. 6) Repartir 1080 Bs. entre A y B de modo que A reciba 1014 Bs. más que B. R. A 1047 Bs. y B 33 Bs. 7) Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103. R. 51 y 52 8) Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números. R. 67, 68 y 69 9) Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74. R. 17, 18, 19 y 20 10) Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194. R. 96 y 98 11) La edad de Pedro es el triple de la de Juan y ambas suman 40 años. Hallar dichas edades. R. Pedro 30 y Juan 10 años 12) Se ha comprado un caballo y sus arreos por 600 $. Sí el caballo costo 4 veces que los arreos. ¿Cuánto costo el caballo y cuanto los arreos? R. Caballo 480$, arreos 120$ 13) En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso? R. Primer piso 32 hab., Segundo piso 16 hab. 14) Repartir 300 Bs. Entre A, B y C de modo que la parte de B sea el doble de la de A y la de C el triple de la de A. R. A 50, B 100 y C 150.
30
Curso Propedéutico UNET
15) Repartir 133 Bs. Entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B, y la de C el doble de la de B. R. A 19 Bs., B 38 Bs. y C 76 Bs. 16) El exceso de 8 veces un número respecto a 60 equivale al exceso de 60 respecto a 7 veces el número. Hallar el número. R. 8 17) La suma de la tercera parte y la cuarta parte de un número equivale al duplo del número disminuido en 17. Hallar el número. R. 12 18) Hallar el número que disminuido en sus 3/8 partes equivale al duplo disminuido en 11. R. 8 19) Hallar el número que aumentado en sus 5/6 partes equivale al triple disminuido en 14. R. 12 20) ¿Qué número hay que restar de 22 para que la diferencia equivalga a la mitad de 22 aumentada en los 6/5 del número que se resta? R. 5
Valor Absoluto: S E D A D E I P O R P
1) ab a b
a
2) a b ab
4) a b a b a b
3) b 5)
a b
a
b
a b ó a b b a ó b a
3. Resuelva las ecuaciones de primer grado con valor absoluto:
1) 7 x - 2 6
2)
4) 2 . 7 x 1
5) 2 . x 5 1
7)
8)
10)
2 x 8
x 22 5 10
13) x 7 .
x 6
2
4
x 3 3 10 81
2 x 6 x 4
11)
3 x
14)
3 2
2
6) 5 x 9 17
4
2 x 6
4
. x 7 x 11
16) 4 x 7 x 4 3
17) 3 x 6
19) 3 x 25 13
20)
10 x 6 3
3) 5 x 4 10
9) 12) 15)
3 x 2
7 x
21)
5 x 4 2
3 x 1 2
18) 1 x 2
5
4
3
x 1
5 x 1 7
x 3
6 2 5 x 3 31
Curso Propedéutico UNET
6 2 5 x 3
22)
1
23)
2
3 x 0 2
x
4. Ecuaciones de primer grado con radicales. Resolver:
1)
4 x 2 15 2 x 1
2)
x 7 x 1 2 x 2 0
3)
5 3x 1 0
4)
9 x 2 5 3x 1
5)
15 3 7 x 1 12
R. 4
6)
3 x 5 3 x 14 9
R. 10
R. 2
7)
4 x 11 7 2 x 29
R. 15
R. 8
8)
x 4 x 4 2 x 1
R. 5
R. 1
9)
9 x 10 2 x 3
R. 6
R. 4
10)
x 4 x 1
x2
2
R. 5
x 1
5. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado o cuadráticas aplicando la fórmula
de la resolvente:
x
b b 2 4ac 2a
para
ax 2 bx c 0 x
1
1
0
5)
9 x x 8 0
2)
5 x 3x 5 0
6)
5 x 3x 2 0
10)
3)
4 x 2 6 x 1 0
7)
5 x 2 26 x 24 0
11) x 2 6 x 1 0
4)
3 y 2 8 y 4 0
8)
2 x 2 8 x 6 0
12)
2
2
2
9)
2 x 2
1) x 5x 6 0 2
3 x
2
2
4
x
4
8
0
6 x 2 10 11 x
6. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado por factorización:
1) x 2 5x 24 0
5) x x 3 5 x 3
2) x 2 8x 15 0
6) x 2 15x 56
3) x 2 11x 30 0
7)
4)
8)
3 x 2 5 x 2 0
3 5
x x 3 0 2
3 x 2 5 x 1 0
9) 12 x 4 9 x 2 0 10) 105 x 2 x 2 11) x 2 11x 28 0 12)
8 x 2 10 x 3 0
7. Exprese utilizando el método de completar cuadrados las siguientes ecuaciones:
1)
x 2 6 x 7 0
2)
5 x 2 4 x 3 0
3)
8 x 2 16 x 1 0
4)
2 x 6 x 40 0
5)
3 x 2 9 x 2
6)
2 x 6 x 2 12
7) 32
3 x 2 5 x
3 4
0
8) x 2 8x 9 0
9) x 2 5x 1 0
Curso Propedéutico UNET
10) x 2 9 x 16 0
11) x 2 6 x 8 0
12) x 2 x 1 0
8. Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado por el método que más se te facilite:
1) 2 x 32 x 52 23
6)
2 x 2 abx 3a 2b 2 0
2) 7 x 3 5 x 2 1 x 2 5x 2
7)
a 2 x 2 abx 2b 2 0
3) 4) 5)
x
2
5
x
2
x 13 x
5 x 8 x 1
3 10
5
8)
105 x 3 x
9)
2
7 x 4
10)
x 2
x 1 x 1
x 1 x 1
3 x 4
a
2
x
2 x 9 x 3
2
2a
0
3 2 x 2 mx 4nx 2mn 0
9. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:
1)
3 x 2 6 x 0
2) x 2 12 x 3)
2 x 3
x 1 2
x 2
7
6)
5 x 2 4 2x 2
11) x 2 36 0
7)
5 x 2 15x 0
12)
25 x 2 64 0
13)
x
7 x 2 49
14)
3 x 2 12 0
5 x 2 45 x
15) 16 x 2 1 0
8)
4)
4 x 2 12 0
9)
5)
9 x 2 a 2 0
10)
2 x 3 x 3
x 2 x 1
2
4
x0
Resuelva las siguientes ecuaciones irracionales:
10.
1)
x 9 x 3
6)
x 3
2)
x 4 4 x 0
7)
x 4 6 x 6 3 2 x 1 0
3)
x 6 5 x 1 1 0
8)
x 4 3 x 4 4 x 3 0
4)
3 x 7 8 x 1 x 2 0
9) 2 x 4 x 3 3
5)
x 5 3 x 3 2
10)
x 15 2
2 x x 7
8 x 7
11. Resuelva las siguientes ecuaciones binomias, bicuadradas y trinomias:
1) x 3 8
6) x 4 256 0
11) x 4 3x 2 4 0 33
Curso Propedéutico UNET
2) x 4 2 x 2 15 0 2
1
12) x 4 13 x 2 36 0
7) x 4 10 x 2 9 0
1
1
3) 2 x 5x 3 0
8) x 729 0
13)
4) x 81 0
9) x 27 0
14) x 9 x 2 8 0
3
3
6
2 x 5 x 4 2 0 2
3
4
5) x 3 64 0
3
3
1
10) x 6 19 x 3 216 0
15) x x 2 6
12. Problemas teóricos sobre ecuaciones de segundo grado:
1) El producto de dos números es 270 y el número menor es los ¿Cuáles son los números?
5 6
del número mayor.
R. 15 y 18
2) En un triángulo rectángulo cada lado excede al otro en 1 metro. ¿Cuáles son las medidas de cada uno de los lados? R. 3 m, 4 m y 5 m 3) El perímetro de un rectángulo es de 22 metros y el área es de 30 metros cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? R. 5 m y 6 m 4) La suma de dos números es 7,2 y el cociente entre ellos es 8. ¿Cuáles son los números? R. 6,4 y 0,8 5) El área de un rectángulo es de 21,08 m 2. Si el largo se aumenta en 2 m, el ancho se disminuye en 1 m, el área queda disminuida en 1,4 m 2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? R. 6,2 m y 3,4 m 6) La diferencia de dos números es 11; la suma de los dos números multiplicados por el número menor excede en 1 a veinte veces el número mayor. ¿Cuáles son los números? R. 24 y 13 7) La suma de los recíprocos de dos números enteros pares consecutivos es son los números?
9 40
. ¿Cuáles
R. 8 y 10
8) Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los números. R. 45 y 15 9) El cuadrado de un número disminuido en 9 equivale a 8 veces el exceso del número respecto a 2. R. 7
34
Curso Propedéutico UNET
10) La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumenta en 4 m el área será doble. Hallar las dimensiones de la sala. R. 12 m y 8 m 11) La edad de A hace 6 años era la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años. Hallar la edad actual. R. 10 años 12) Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye partiendo de una lámina cuadrada de zinc, cortando un cuadrado de 3 cm. por lado en cada esquina, y doblando hacia arriba los lados. Si la caja debe contener 48 cm3, ¿Qué dimensiones debe tener la lamina de zinc? R. 10 cm.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN: SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN Y REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN
Resolver por el método de sustitución, igualación y reducción, los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas (resuelva por cualquier método): 3 x 2 y 5 5 x 2 y 3
R. 1,1
2 x y 1 3 x 2 y 5
R. 1,1
7 x 9 y 42 12 x 10 y 4
R. 12 ,14
2 x 6 y 3 8 x 3 y 6
1 2 R. ,
x 2 y 7 x y 4
R. 1, 3
b)
4 x 2 y 5 5 x 3 y 2
R.
d)
2 x y 5 2 y 7 4 x
R.
7 x 8 y 9 4 x 3 y 10
R. 1, 2
h)
R. 2, 3
j)
R. 6,10
x y y x 7 6 3 24 l) x x y 5 2 6 12
R.
3 R. 2 ,
6 3 x y 2 n) 4 7 2 x y
15 15 R. ,
a) c)
e)
g)
3 x 4 y 2 2 x 7 0 5 x 1 2 y 1 0
i)
x 2 y x x 7 4 2 k) 3 x y 3 y x y 13 6 8
4 3 x y 4 m) 2 6 3 x y
1 3 , 2 2 Sistema
Incompatib le
2
f)
3 x 9 x y 5 y 2 x 9 y 4 x 3 y 7 5 y 47
2 3
R. 6, 8
3 1 , 4 2
4
2
35
Curso Propedéutico UNET
3 2 x y 14 o) 6 3 7 x y
R.
x y b q) a b a x y a
R. a b, b
3
4
a b x a b y b 3ab 2 a b x a b y ab b
,
1 5
2
s)
R. a b, a
1 3 3 2 x y 4 p) 1 5 4 x 2 y 3
r)
R. 2,3
x y m n
mx ny m n 2
2
x b y b a b a b b t) x a y a a b a a b
R. m, n
R. a b, a b
SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES EN TRES VARIABLES Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en tres variables por los métodos de sustitución, igualación y reducción o eliminación. Puedes utilizar el método que más prefiera: 2 x 4 y 5 z 0 a) x 2 y 2 z 3 x y z 6
x 2 y z 8 c) 2 x y 3 z 15 x 3 y 3 z 11 x 2 y 3 z 4 e) 2 x y 4 z 3 3 x 4 y z 2
5 x 2 y z 7 g) x 2 y 2 z 0 3 y z 17 y 2 z4 x 5 z 4 x6 i) y 2 x 7 z 3 y 5
36
R. 3,1, 2
2 x 2 y 5 z 3 b) x y z 3 x y 2 z 4
R. 1, 3, 1
R. 2,1, 4
x 2 y 3 z 0 d) 2 x 3 y 4 z 0 x y 4 z 0
R. 0, 0, 0
R. 4, 3, 2
x 2 y 3 z 1 f) 2 x y z 6 x 3 y 2 z 13
R. 2, 3, 1
R. 2, 4, 5
2 x 3 y 2 z 3 h) 3 x 2 y z 1 4 x y 3 z 4
R.
R. 10, 8, 4
x y z 3 4 3 21 x y z j) 0 5 6 3 x y z 10 3 6 3
R. 30,12 , 24
2 31 1 , , 3 21 21
Curso Propedéutico UNET
k)
1 x
3 x
6 x
4
2
5
y y y
2
4
6
z
R.
3
z z
l)
6 1
3
,
1 2
, 2
31
3 2 x y 2 2 2 3 m) y z 2 1 4 4 x z 3
4 x
2 x
1
1
3
1
y y
x
y
2
1
1
z z z
4 1
2 3
4
y z 3 x y 2 x y x z n) 0 2 4 y z 2 x 5
R. 3, 2, 4
1 1 R. 1 , ,
R. 6, 4, 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR DETERMINANTES. REGLA DE CRAMER Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por determinantes, aplicando la regla de Cramer: 4 x 5 y 5 10 y 4x 7
3 x 5 y 7 2 x y 4
R. 1, 2
b)
6 x 5 y 9 4 x 3 y 13
R. 1, 3
d)
ax by a 2 b2 e) bx ay 2ab
R. a, b
ax by 0 f) a 2 b2 bx ay ab
2 x y x y 7 g) 8 x y 1 2 x y 2
R. 5, 9
3 x 2 y 2 3 h) 2 2 x 3 y 2
R.
22 11 R. ,
x y 3 2 5 j) x 2 y 1 3
51 96 R. ,
a) c)
2 3 x y 2 i) 4 5 1 x y
7
R.
3 2 , 4 5
x y 6 x 8 y 10 x 5 y 3 x y 9 y 11 x 2 y 2 x
5
R. 5, 7 R.
1 1 , a b
a0 y b0
8 7
,
3 6 7
13 13
37
Curso Propedéutico UNET
5 x 3 y z 11 1 k) 10 x y z 10 R. , 2 , 6 5 15 x 2 y z 7
4 x 3 y z 15 l) x y 2 z 2 2 x 2 y z 4
R. 3,1, 0
x y 3 z 2 m) 2 x 2 y z 5 5 x 2 z 7
R. 1, 2,1
y z x 3 1 z 2 x n) y 1 2 2 x y 2 z 4
R. 3, 2, 4
1 1 R. , ,1
1 1 x y 5 1 1 p) 6 x z 1 1 y z 7
1 1 1 R. , ,
o)
1 x
3 x
1 x
1
1
2
y y y
1
2
1
z z z
5 12
4 2
9
2 3 4
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS Y TRES VARIABLES MÉTODO DE RESOLUCIÓN: GRÁFICO
Resolver por el método gráfico los siguientes sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: 2 x y 4 3 x 4 y 1
R. 3, 2
x y 2 x y 6
R. 4, 2
2 x 3 y 0 x 2 y 0
R. 0, 0
x 2 y 4 5 x 3 y 1
R. 2, 3
b)
x 2 y 5 3 x 6 y 12
R. Sistema Incompatible
d)
x y 1 x y 3
R. 2, 1
f)
a) c)
e)
g)
x 2 y 5
3 x 6 y 15
R. Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones)
SISTEMAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones cuadráticas: 38
Curso Propedéutico UNET
y x 2 a) y 2 x 3
R. 1 ,1 y 3,9
y x 2 4 b) y 2 x 1
y 2 1 x 0 c) x 2 y 1 0
R. 1 , 0 y 3, 2
d)
R. 4 ,3 y 5, 0
R. 2, 2
x 2 y 2 16 f) 2 y x 4
R. 4 , 0
y
2 2 x 1 y 2 10 g) x y 1
R. 0 ,1 y 4, 3
20 y 2 h) x y 9 x 2
R. 2 ,5
y 5 ,4
2 2 y 4 x 4 i) 2 2 9 y 16 x 140
2 , 2 3 y R. 2 , 2 3
x 2 y 2 2 j) x y 4
R.
2 2
x 2 z 2 5 l) 2 x y 1 y z 1
R.
1 , 1, 2 y 1 , 3, 2
x 2 y 2 8 e) y x 4
x y 15 x.y 4 2
R.
i,4 i , i, 4 i 4, 1, 4,1
R.
2
2
k)
2 2 x y 25 m) 2 2 x 4 y 64
x 3 y 5 2 2 x y 25
R. 3 ,5 y 1, 3
12 16 , 5 5
3 i,2 3 i
3 i, 2 3 i
3 ,13 ; 2 3 ,13 ; 2 3 , 13 ; 2 3 , 13
APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1. La suma de dos números es 14, y
1
4
de su diferencia es 13. Hallar los números. R. –19 y 33
2. La suma de dos números es 190, y
1
9
de su diferencia es 2. Hallar los números. R. 104 y 86
3. Un cuarto de la suma de dos números es 45 y un tercio de su diferencia es 4. Hallar los números. R. 96 y 84 4. Dividir 80 en dos partes tales que los
3
8
de la parte mayor equivalgan a los
3
2
de la menor
R. 64 y 16
39
Curso Propedéutico UNET
5. Hallar dos números tales que 5 veces el mayor exceda a menor exceda a
1
5
1
5
del menor en 222 y 5 veces el
del mayor en 66.
R. 45 y 15
6. En un triangulo rectángulo, un ángulo agudo excede al doble del otro en 9 grados. Determinar los dos ángulos. R. 63º y 27º 7. El doble de la edad de A excede en 50 años a la edad de B, y 1 4 de la edad de B es 35 años menos que la edad de A. Hallar ambas edades. R. A = 45 años B = 40 años 8. Dos números están en la relación de 5 a 6. Si el menor se aumenta en 2 y el mayor se disminuye en 6, la relación es de 9 a 8. Hallar los números. R. 25 y 30 9. Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 4, y si 5 veces el menor se divide por el mayor, el cociente es 2 y el residuo 17. Hallar los números. R. 54 y 25 10. La suma de tres números es 160. Un cuarto de la suma del mayor y el mediano equivale al menor disminuido en 20, y si a 1 2 de la diferencia entre el mayor y el menor se suma el número del medio, el resultado es 57. Hallar los números. R. 62, 50 y 48 11. Si a 5 veces el mayor de dos números se agrega 7 veces el menor la suma es 316, y si a 9 veces el menor se resta el cuádruplo del mayor, la diferencia es 83. Hallar los números. R. 31 y 23 12. Si a los dos términos de una fracción se resta 3, el valor de la fracción es términos se aumentan en 5, el valor de la fracción es
3
1
3
, y si los dos
. Hallar la fracción. R. 5
7 15
13. La suma de las cifras de las decenas y la cifra de las unidades de un número es 13, y si al número se le resta 45, las cifras se invierten. Hallar el número. R. 94 14. Con 174.000 Bs. Compré 34 libros de a 3.000 Bs. y de a 7.000 Bs. ¿Cuántos libros compré de cada precio? R. 16 libros de 3.000 Bs. y 18 libros de 7.000 Bs. 15. Hace 10 años la edad de A era el doble que la de B, dentro de 10 años la edad de B será los 3 4 de la de A. Hallar las edades actuales. R. A = 30 años B = 20 años. Para pensar o razonar:
16. En un triángulo, el ángulo mayor excede al menor en 35º y el menor excede en 20º a la diferencia entre el mayor y el mediano. Hallar los ángulos. R. 80º, 55º, 45º 17. Un rectángulo tiene un área de 120 m2. Al incrementar el ancho en 4 m y disminuir el largo en 3 m, aumenta el área en 24 m 2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo original? R. 15 m y 8 m 18. Un número de tres cifras es igual a 19 veces la suma de sus cifras. Si se invierte el orden de las cifras el número resultante es mayor que el número dado en 297. La cifra de las decenas excede a las cifras de las unidades en 3. ¿Cuál es el número?. R. 285 40
Curso Propedéutico UNET
19. Un creyón de 8 cm. de longitud y 1 cm. de diámetro se fabricará con 5 cm 3 de cera de color. El creyón debe tener la forma de un cilindro rematado en una punta cónica pequeña. Calcule la longitud “ x” del cilindro y la altura “ y” del cono. x = 5,55 cm. y = 2,45 cm. x
y
8cm
20. Se desea fabricar una mesa de conferencias que tenga forma rectangular con dos semicírculos en los extremos. La mesa debe tener un perímetro de 20m, y el área de la parte rectangular debe ser el doble de la suma de las áreas de ambos extremos. Calcule la longitud x y el ancho y de la parte rectangular.
R. x = 5 m
y =
10
m
y
x
RELACIÓN DE ORDEN EN , DESIGUALDADES, INTERVALOS, INECUACIONES DE PRIMER GRADO Y CON VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES CUADRÁTICAS, RACIONALES, SISTEMAS DE INECUACIONES. x a a x a
con
a>
0
[ /////////////////////////// ] a x a
x a x a
o
x a
con
a
>0
////////////////////// ]
[ //////////////////////
x a
a x
1. Resuelva las siguientes inecuaciones de primer grado e indicar en la recta de números
reales el conjunto solución y en forma de intervalo: 1) 5 x 5 9 3 x
2)
4) x 6 21 8 x
5)
7)
3 2
x 2 1 2x 4
8)
5 x 2 1 6 x 2 x 8 5
2 x 3 3
6)
0
3)
5x 1 2
9)
3 x 5 x 7
4
x2
4
x
3 x 5
x2
4
41
Curso Propedéutico UNET
10)
2 x 1
4 x 5
4
2
13) 10 3 x
x 1
3
4x 5
11) x 12 7 x 22 14)
3
3 x 8
5
12) x 2 x 1 26 x 4x 5 15) x 22 x 2
4 2 x
16) 7 2 x 1 5
17) 4 2 x 4 12
18) 2
19) 8 4 x 20
20) 16 1 5x 21
21)
23) 10 x 4 8
24)
x
22) 6 2 x 4 3
25) 4
2 3x
2
26) 1
5
3
3
28) x 2 x 2 0
7 2x 5
3
2 x 5 3 3 x 4
1
6
x 2
2
x
2
6
27) 2 3 3x 7
5
3
2x 3
3
29) x 2 x 2 0
2
30) x 2 x 2 x 2 0
2. Resuelva las siguientes inecuaciones de primer grado con valor absoluto, indicando la
solución en la recta real y en forma de intervalo: 1)
2) 3 x 21
3) 2 x 4 16
4) 5 x 10 15
5) 2 x 6 4
6) 2 x 11 9
7) 4 5 x 2
8) 3 x 3 0
9)
x
12)
5
15)
3 x 2
x 9
10) 6 3 x 9
11)
7
13) 5 3 x 4 5
14)
4
2 x 5 4 x 3
17)
16)
1 x
2 x 3
4 x 1 x 2
3
3
3 2
3
2
5 2
3 x
3 2 1 4
6
18) 3 x 6 4
3. Resuelva las siguientes inecuaciones de segundo grado dando la solución gráfica en la
recta real y en forma de intervalo:
42
Curso Propedéutico UNET
1) x 2 4 x 5 0
R. 1.5
2) 9 4 x 2 0
3 3 R. ,
3) x 2 2 x 8 0
R. ,4 2,
4) 0 2 x 8 x 2
R. 2 ,4
5) x 6 2 x 2 0
3 R. 2 , 2
6) 2 x 1x 3 0
R. ,3
7) x 2 4 x 4 0
R.
8) x 2 4 x 4 0
R.
9) x 2 x 3 0
R.
10) x 2 4
R. ,2 2,
11) x 2 16
R. 4.4
12)
R.
13) x 2 x 3 0
R.
14) x 2 x 1 0
16)
17) 16 x 2 1 8 x
18) x 2 x 4 0
19) 9 x 2 6 x 1 0
20)
21)
2 x 2 x 3
22) x2 x 3 5
23)
25 x 2 9 0
24)
1
2
5 x 2 2 x 1 x 2 2 x
15) 2 x 1 x 3 0
2 2
,
1 5 1 5 , 2 2
R.
4 x 2 9 9 x
4 x 2 9 x 9
25 x 2 9 x 0
4. Resuelva las siguientes inecuaciones cuadráticas con valor absoluto. De la solución gráfica
en la recta real y en forma de intervalo: 1)
2 x 3x 7 3
3)
2 x 14 x 44 4
R. 2 ,1 4,5
2)
2 x 2 x 4 4
R. ,2 0 ,2 4,
R. 4 ,6 8,10
4)
2 y 26 10
R. , 6 4 4, 6 ,
5. Resuelva las siguientes inecuaciones racionales y de la solución gráfica en la recta real y
en forma de intervalo: 1) 3)
3 2 x 6
3 x 2
0
2 x
R. 3 ,
2)
R. 4 ,0 2,
4)
x 2
1 x
5 x 3
1 R. ,1
1
4 x2
2
R. 2 ,2 3, 43
Curso Propedéutico UNET
5) 7) 9)
x 1
0
5 R. , 1
1
R.
2 x 5
3 x 1 2
3 x 1 x 2 x 6
11)
x 3
3
1 4
x 2
x
3
2
x 2
4 x 3
8)
R. ,2 1 ,3 5,
10)
R. 2 ,
12)
x 2 x 5 0 13) 2 x 81 x 15)
2
6)
2, 2
14) 2 x
x 2 x 6
x 12 17) 0 x 1 x 3
16) 18)
5 x x 4
R. 4 ,24
6
2
1 x 2 2 x 1 3 x 1
2 x 5 3 x 2
5 x
3
x 2 x 8 2
2 x 4 x 3 2 x 4 x 3
2 x
R. – { –1}
0
x x 2
x 6 x 8 2
6
8 R. 4,3 2 ,
3
0
2 x 7
7 R. ,
4 x 10 x 2
1
6. Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones. De el resultado en forma gráfica y de
intervalo: 1)
x 8 14 2 x 5 3
2)
x 3 0 3) 1 3 2 x x 3 0
4)
x 4 5) 3 x 8
4 x 3 6) 3 4 x
7)
44
x 4 0 x 5 0
2 10
2 x 3
2
2 x 1
1
x 8 2 2 x 19 21 2 7
x 2 4 0 8) 2 x 9
Curso Propedéutico UNET
4 x 9 x 9) 2 2
6 2 x 4 x 5 10) 2 3 3 x 2 x
9
x 8 2 x
x 9 9 11) 2 x 8 x 2x 4 > 0
6 2 x 4 x 3 5 12) 2 3 3 x 2x
x 2 18 27 13) 8 x2 24 2 x 18 19
1 7 x 0 14) 2 0 x 11
MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 1 ) Grado C( x ) Grado D( x ) Grado d( x ) 2 ) Grado R( x ) Grado d ( x ) 1
D x d x . C( x ) R( x )
Determine el cociente y el resto en las siguientes divisiones utilizando el método de los coeficientes indeterminados: a)
x
2 x 2 5 x 4 : x 2 2 x 3
b)
2 x
3
c)
x
5
d)
x
e)
x
f)
12 x
R. C ( x) x 4
R( x) 8
R. C ( x) 2 x 3
R( x) 10
1 : x 3 1
R. C ( x) x 2
R( x) 1 x 2
4
2 x 3 x 1 : x 2 4
R. C ( x) x 2 2 x 4
R( x) 7 x 17
4
3 x 5 x 2 : 4 x 9
3
9 x 2 19 x 5 : x 2 3 x 5
2
4
2
2 x 3 3 x 2 12 x 9 : 4 x 2 2 x 3
4 x 5 34 x 3 x 2 2 x 1 2 1 : x g) 5 15 2 3 6 3
R. C ( x)
x
2
4
3
R( x) 5 x
16
R. C ( x) 3 x 2 x 2 R. C ( x)
4 x 3 5
2x
59 16
R( x) 5 x 3
1 2
R( x) 0
45
Curso Propedéutico UNET
3 x
h)
2 x 4 6 x 2 7 x 1 : x 3 3 x 1
5
R. C ( x) 3 x 2 2 x 9
R( x) 3 x 2 22 x 8
DESCOMPOSICIÓN DE FRACCIONES RACIONALES EN FRACCIONES SIMPLES CASO 1: Los factores de Q( x) son lineales y ninguno se repite: P( x ) Q( x )
A1 a1x b1
A2
a 2 x b2
An a nx b n
Descomponer las siguientes fracciones en fracciones parciales o simples: 1) 3) 5) 7)
7 x 1 x 2 x 6
A x 2
B
R. A 2,
x 3
x 1
R.
x 3 x 2 2 x
3 x 2 3 x 12
R.
6 x 5 x 6 x 3
2
4 x 23
x
2
R.
x 6 x 4
1 2 x
2
x
1 6 x 2
3 3 x 2
1 x 3
2)
B4
2
4)
3 x 1
1
6)
2 x 3
3 2 x 2
1
12 x 2 4 x 5 x 2 4 x 3
7 x 16
x 4 x 2
8)
2 x 4
R.
x x 2 3x 2
CASO 2: Los factores de Q( x) son todos lineales y alguno se repite: P( x ) Q( x )
P( x )
ax b
n
A1
A2
ax b ax b
2
An
ax b
n
Descomponer las siguientes fracciones en fracciones parciales o simples: 1)
2)
46
x 2 6 x 4
x 2
3
2 x 11 x 6
x 2 x 4 x 4 2
R.
R.
1 x 2
2 x 2
10
x 2 1 x 2
2
12
x 2 3 3
x 2 2
R. R. R.
3 x 2
4 x 3
2 x 4
3 x2
3 x 1
5 x2
1 2 x 1 x 2
Curso Propedéutico UNET
3) 4) 5)
2 x 2 6 x 4 x x 2
2 x 4 x 3
R.
x x 1
2
4 2 x x 16 x 12
3
x
x 2
3
2
x
x 1
2
1
x
2
R.
x x 2
2
3
1
R.
2
x
x 22
x 12
3 x
4
8
3
1
x 2
5
x 22
CASO 3: Los factores de Q( x) son de segundo grado irreducibles y no repetidos. Por cada
factor cuadrático irreducible
escríbase una fracción parcial de la forma:
ax 2 bx c P( x)
ax bx c 2
Ax B ax 2 bx c
Descomponer las siguientes fracciones en fracciones parciales o simples: 1)
3 x 2 x 4
R.
3 2 x x x
4
x
x 5
2)
x 2 x 1
3 x 2 2 x 4
R.
x 8 3
1 x 2
2 x 4 x 2 2 x 4
9
3)
5)
2
x x 5 3 2 x x 2 x
x 2 x 4 2
x x 2 x 4
3
2
R.
R.
5 2 x
2 x 2
3 x 7
2 x2 x 2
1
4)
6)
x 2 x 2
x 2 x 3 2
R.
x 1 x 2 2 x 2 x 2 x 6 2
x x 2 x 4
3
7
4 6 25 5 x 1 x 2 x 2
R.
2
x
1 2 x
3 x
2
x 3
2 x 2 x 2
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA F ( x ) a
x
está definida de y = ax Y
*
o
F ( x ) log a x
está definida de
y = logax
y = ax
o
1 1
*
Y
a >1
1
y
X
o
1
X y = logax 47
Curso Propedéutico UNET
y a loga y x
con
y e lne y x
e
= 2,718281 (e es la base logaritmo neperiano)
a
= 10 (10 es la base del logaritmo decimal o vulgar)
x
x
y 10 x log 10
y x
a
> o,
a≠
1
Propiedades:
1) 2) 3) 4) 5)
No existe el logaritmo de cero Los números negativos no tienen logaritmo Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo si a > 1 y positivo si 0 < a < 1 Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo si a > 1 y negativo si 0 < a < 1 La función logarítmica es creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1
6)
log a 1 = 0 a 0 = 1
7)
log a a = 1 a1 = a
8)
loga m.n = loga m + loga n
9)
log a
( log10 10 = 1 y ln e = 1 )
m = log a m - log a n n
= n.log
10)
log a m
11)
loga
12)
e
13)
ln e = x y log 10 = x, en general log a a
ln x
n
n
m =
a
m
loga m n
= x y 10log x = x, en general a x
x
14) Cambio de base si x > 0,
a
loga x
x x x
> 0, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1,
log a x
log b x log b a
y log a x
ln x ln a
1. Escriba en forma logarítmica las expresiones siguientes:
a)
43 64
b) 4 2
e)
35 243
f)
34
j)
y 3
i)
e x 2
m)
23 8
q)
3 27
n)
e
1 16 1
81
c)
t r m
g) 102 x
d)
h) 10Y 3 Z 1
Z
54 625
k)
4 1 0
o) 10 3 0 ,001
l)
256 4 4
p)
5 x 5
4
48
3
r) 10 1000 3
3 x 4 t
s)
8 16 3
3
t)
814 27
Curso Propedéutico UNET
u)
1 v) 16
7 49 2
1
2
1
w)
4
64
2
3
1 16
1
x)
52
d)
log 3 81
h)
log32 2
25
2. Obtener los valores de los siguientes logaritmos:
a)
log 7 49
b)
e)
log10 0,0001
f)
log5 5 log8 2
1
c)
log6
g)
log 1 9
6
3
i)
j)
log 1 64
log16
2
m)
log 4
1 256
1 9
q)
log 3
u)
1 8
log 2
4
1 8
k)
log 2 1024
n)
log 6 36
o)
log 2 4
r)
log81 3
s)
log2 4 32
log 2 8
1 w) log3 3
v)
l) p)
7
log 3
1 243
log 7 1
t)
log 2 256
x)
log10 10
2
3. Hallar el valor de x en las siguientes expresiones logarítmicas:
a)
log5 x 2
b)
log x 50
c)
ln x 0,1
d)
log x 2
e)
log x 8
f)
log 1 x 4
g)
log4 5 x 3
h)
ln x
k)
log 1 x
3
i)
m) q) u) y)
j)
log 4 x 3
log8 x log 4 x
1 3 5 2
log x 0,5
log
3
x6
n)
log 2 x
3 2
log25 x
9
3 2
r)
ln x 0,125
v)
log9 x
z)
log2
3
1 2
o)
log 1 x 4
5
l)
2
1 2
log 1 x 6 2
7 2
p)
log 2 x 0
s)
ln x 3,41
t)
ln x 2,12
w)
log x 0 ,85
x)
ln x 4,5
x2
4. Hallar el valor de la base “ a” en las siguientes expresiones logarítmicas:
a)
log a 8 2
b)
log a 16 4
c)
loga 32
5 7
2
1
3
3
d) loga
49
Curso Propedéutico UNET 1
5
e)
log a 32 4
i)
loga 1000 3
m)
4
loga 256
q)
loga
u)
loga
1
8
125
4 3
3 2
3
8
1
f)
log a 3
j)
log a 0,01 2
4
3
g)
log a 81 2
h)
k)
log a 27 3
l)
o)
loga 512
3
1
2
n)
loga 343
r)
log a 49 2
s)
loga
v)
log a 0,001 3
w)
log a 50 2
4
4
3
loga 0 ,001
p) loga 10
2
1
log a 4
10
t) loga 64
3
x) loga
3 2
3 2
3 2
875 7
3
27
5. Resuelva aplicando las propiedades de los logaritmos, en donde las variables (letras)
representan números positivos y simplifique el resultado:
a)
3
loga a . 3 ab
log a
g)
ln
2 b
5a 3b 2 c
log a
m)
h)
4
d
bc 3
j)
e)
x
ln
3
3
e x
f)
log a
i)
loga
4
k)
3
d
m n
log a 3 b 4
log m m b 2
4
mb
n)
3
m. n m
c) loga
a3 . b c
loga
2
x . b 1 . 3 5 3
d)
b)
log a
3
7b
2
2 3
loga
3
mb c
c
b
3 4
d
81 3 b a 2 4 ab m
4
l)
m b
o)
c
c
2
3 4
n
2
b 2 b .c
logb
2
log a
a3b 2 c 3 ab
6. Resuelva aplicando las propiedades de los logaritmos y despeje log x en cada caso:
a)
3
2
a b x c
3
4
a b x
b)
a
3
xx
4
3a 2 x
c)
3
2 b 3 d) x 3 x a b
50
e)
a 2 x 3 xb4
f)
a b
a b x
a3 x2
c
c
4
3
2
a .x
2 5
Curso Propedéutico UNET 3
g)
x 2 y 1 y 2 i) x y 2
h) x 3 n 5 4 t 3 3 xnt
2 xy x 2 y 3
7. Determinar el valor de x en las siguientes expresiones logarítmicas aplicando antilogaritmos:
a)
log x 3log a 4 log b 5log c 3log k
b)
log x 2 log k 5 3log a 2log b a
c)
5 log x 2 log a log x 3log b 5
d)
log x 3log a co log b
x 3 log2 colog x2
e)
3log 2x 3co log
g)
ln x 3 lne ln 5 ln a
i)
2
log x log b 1
k)
log x
m)
1 4
3
f)
log x 3 log b
h)
log x log b
logc
4
logc
3
log d
2 log d 5
1 1 j) log 2 log b 2 log c log x
log c 3 log d
3
3 log m 2 log n 5 log 2
l)
3
2
log 3 log x log 6 2 log 3
n) 2 4 log x log 6 2 log 5
2 log x 4 4colog 3 3log 5
o)
log x log m n 2 log m n log m 2 n 2
q) s)
1
1 log y log z 2 3
p)
5 log x
ln ln x 2 lnr ln 3 5
r)
ln 2 ln
1 2 log x log x 1 log y 4 log z 3
t)
1 3log x log y 2 log z log x2 2
1 2
ln x
1 2
ln y 3
8. Escriba las siguientes expresiones en forma de un sólo logaritmo y simplifique el resultado:
a)
log3 x log3 5 y 4 log3 z
b)
log4 2 z log4 x colog4 y
c)
1 2 log5 x log5 x 2 4 log5 2 x 3 3
d)
1 5 loga x loga 3x 4 3 loga 5 x 1 2
y 3 1 f) 2 log8 3log8 y log8 x4 y 2 2 x
x e) ln x y 2 ln x y 3ln y 3
g) i)
2
3
1 ln y 3 ln x3 y 6 5 ln y 3
1 x 1 log x 2 3x 2 log 2 log 4 x 2
x 1
1 3 ln xy y
h)
2 ln x 4 ln
j)
2 3
log x 5 4 log x 2 log x 3
51
Curso Propedéutico UNET
k)
1 3 ln x ln x 1 3 ln x 4 2
1
l)
ln x ln x 2 2
9. Utilizando la calculadora determinar el valor de x en las siguientes expresiones aplicando
logaritmos: a) x
2 ,5 . 92 ,6 4 0 ,612 .35 ,8
d) x g)
b)
12 ,3
x
3
e) x 4,8
2
3 , 6 3 e 4 x 100
h) x
c) x
15 3, 12 8, 4
10e3
3 ,23
18 ,2 . 25 ,4 0 ,08 .326
f) x 38, 42 3 829
1 , 37 5
i) x
72
715 .
5
123
1110
10. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales:
a)
5 x 7
c)
3 x
2
e)
3
x
g)
2 3
7 x 14
9
81
R. 1,21
b)
2 x 16
R. 4
R. 3 y 4
d)
4 x1 83 x 2
R.
8
R. 16
f)
R.
1
R. 13,546
1 h) 4
R.
7
R. 3
j)
2 x3
R. 2,71
l)
5 3 x
x
x 5
i) 2 x3 1 k) m)
52
2 x 3x1 x 1
e
1 e
2x
o)
3 x 32 x 0
q)
9 x2
1 27
R. x
1
127
x
49
1 2 x
1 8
1
x
x 3 1 x
3
p)
8 x1 162 x1
1
r)
3 x1 . 3x3
2
12
R. 0
1
R. 0 R.
7
R. 2
2
n)
3
1
73 x1
7
R. –1
2
1 9
R.
7 5
R. –2
s) 4 53 x . x1 25 5
R. 3
t) 2 x 2 x1 2 x 2 14
u)
72 x 3.7 x 28 0
R. 1
v)
2 x 2 x 6
R. 2 ,54 y 2 ,54
w)
e
x)
4 x 2 x 3 48 0
R. 2
x 2 6 x 8
e
R. x 7
y x 1
R. 1
Curso Propedéutico UNET
3 x 36 x 90
y)
R. 2 y 4
z)
3 x
1
R. 0 y 1
4
3 x1
11. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a)
log x 2 log x log12
R.
c)
log4 16 x 3
e)
log x 2 2 log 2 2
g) log x 6 log x 9 0 i)
2
log x log x 2
k)
2 log x 2 0
2
b)
log3 2 x 1 2
R. –5 y –1
d)
log x 2 x 5 0
R. 400
f)
R. 10-3
h)
11
R. 4
R. –2 y 3 R.
log 3x 1 log 6 x 1 log 9 x 1 log x2 3x 6 2
1 3
R. 2 y - 1 1 9
R. 10-2 y 10 j)
log x 1 log x 1
R.
R. 1
l)
log2 x log2 x 7 3
R. 8
R. 3 9
n) 2 log x 2 log 4 2
R. 3
m)
log x 2 log
o)
log x 3 2
R. 97
p)
log3 x log3 2 x 3 3
9 R.
q)
log x 3 log 2 3
R. 125
r)
log3 x 6 log3 x 2 2
R. 3
R. –3 y 2
t)
log4 2 x 3 2 log4 x 2
R.
R. 15
v)
log2 x 7 log2 x 3
R. 1
s)
x log 3
log x2 log 6 x
u)
log5 2 x 3 log5 11 log5 3
w)
ln x
x)
ln 4 x ln 3 ln 2 x
R. –7
y)
ln x 6 ln10 ln x 1 ln 2
R.
1 x 3 2 e
2
1 2
R. 1 y 5
11 4
z) log2 x 1 log 2 3x 5 log 2 5x 3 2 R. 7 12. A pensar o a razonar. ¿Cuál es el valor de x?
a)
xe x ex 0
R. –1
b)
c)
ln x 2 2
R. e1
d)
e)
log x 1,6253
R. 0,0237
f)
R.
9
R. 3
x x x3 4 e4 3 x2 e4 0
e
2 ln x
ln x 1 ,6
3 4
y 0
R. 0,202 53
