Libro MAT 04c Circunferencia Y Circulo

4.5 4.5 CIRCU CIRCUNF NFERE ERENCI NCIA A Y CÍRCU CÍRCULO LO 4.5. 4.5.1. 1. Circ Circun unfe fere renc ncia ia geométrico, es decir, un conjunto de puntos que La circunferencia se define como un lugar geométrico, radio, de cumplen una condición. condición. Esta condición es estar estar dichos puntos a una misma distancia r , llamada radio, un punto fijo O del plano, llamado centro. centro.

B

C

r

r

Fig. 4.5.1

r

O

r

A

A, B, C , D son puntos de la circunferencia de centro O

D Entre dos radios cualesquiera de una circunferencia se forma una abertura llamada ángulo del centro (figura 4.5.2), el que a su vez subtiende una porción de ésta llamada arco de circunferencia y que se » simboliza, AB siendo A y B los puntos que limitan el arco.

arco de circunferencia circunferencia ángulo del centro

Otros elementos en la circunferencia son: a)

Cuerda: Cuerda: Es el trazo trazo que que une dos pun puntos tos de la circ circunf unfere erenci ncia. a.

cuerda AB

b)

Diámet Diámetro: ro: Es la cuerda cuerda de may mayor or longit longitud ud que que se puede puede trazar trazar en una circunfe circunferen rencia cia,, pasa pasa por el centro de ella y por lo tanto es equivalente al doble del radio. diámetro d Fig. 4.5.4

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111

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c)

Secant Secante: e: Es la rect rectaa o traz trazoo que que pasa pasa por por dos dos pun puntos tos de la la circu circunfe nferen rencia cia..

secante AB d)

Tange Tangente: nte: Es la recta recta que que “toca” “toca” a la circun circunfere ferenci nciaa en un sólo sólo punto punto.. La tangent tangentee es perpen perpendic dicula ularr al radio en el punto de tangencia.

Fig. 4.5.6

e)

Ángulo inscr Ángulo inscrito ito en la circu circunfe nferen rencia: cia: Es el el ángulo ángulo formad formadoo por dos dos cuerda cuerdass y cuyo vérti vértice ce es un punto punto de la circunferencia.

Fig. 4.5.7

ángulo inscrito

4.5.2. 4.5.2. Perím Perímetr etroo de la Circ Circunf unfere erenc ncia ia Al igual que en los polígonos, el perímetro de una circunferencia corresponde a la medida de su contorno, es decir, si se pudiera "cortar" la circunferencia en un punto y estirarla, el perímetro será la longitud del segmento resultante (figura 4.5.8). P

O

B

A

B

r

Fig. 4.5.8

A







Ejemplos: 1.

El per perím ímet etro ro de de una una circ circun unfe fere renci nciaa de de rad radio io 5 cm cm es es

2.

= 2 ⋅ π ⋅ 5 cm cm P ⊗ = 10π cm ¿Cuá ¿Cuáll es el el perí períme metr troo de una una cir circu cunfe nfere renci nciaa de rad radio io 0,2 0,2 cm? cm? P ⊗

= 2 ⋅ π ⋅ 0,2 m P ⊗ = 0,4π m

P ⊗

3.

4.

¿Cuál C  uál es el radio de una circunferencia cuyo perímetro es 14π m? P ⊗ = 14π m = 2πr 14 π m = r 2π 7 m = r ¿Cuál C  uál es el perímetro de una circunferencia de 10 cm de diámetro? diámetro = d = 10 cm = 2r = 2πr = π ⋅ 2r = π ⋅ d P ⊗ = 10π cm

P ⊗

5.

Dete Determ rmina inarr el per perím ímet etro ro de de una una circ circun unfe fere renc ncia ia de de radio radio r = (a + 2 ) . P ⊗ = 2 π( a + 2

4.5.3. Semicircunferencia Semicircunferencia Una semicircunferencia es una figura cerrada determinada por el diámetro de una circunferencia y por el arco que éste subtiende (figura 4.5.9).

Fig. 4.5.9

A

B

O

El perímetro de la semicircunferencia es: P P

»

AB

A

2πr

d

2 P P

4.5.4. Longitud del arco de circunferencia. circunferencia.

π

r 2 r

r π

2







B

l = P = 2πr

360° O

r

r

O

α

r

l

A

Fig. 4.5.10 Si se mide el arco de la circunferencia en unidades de ángulo, su medida es igual a la del ángulo central que lo subtiende, independiente de cual sea la medida del radio de la circunferencia y a esta medida se le conoce como la medida angular del arco. arco. Ejemplos: 1.

» Determina inar la longitu itud l del arco, AB de la figura si r = 2 m y α = 60°

B

Aplicamos la proporción r O

360° 60° = 2π ⋅ m l

60° r

A

y despejamos l 60° ⋅ 2π ⋅ 2 m 360° 4π l = m 6 2π l = m 3 l =

Ahora, en unidades de ángulo, l mide 60° 2.

» ¿Cuánto C  uánto mide el arco AB de la figura si α = 120° y r = 10 cm?

α

360° 120° = l 2π ⋅10 cm 120° l = ⋅ 20π cm 360° 20π l = cm 3 En unidades de ángulo, l mide 120°

3.

Dete Determ rmina inarr el diám diámet etro ro de la la circu circunfe nfere renc ncia ia de la la figur figuraa si el arc arcoo centro mide 80°. 360° 80° = 2 πr 4π cm

» AB

mide 4π cm y el ángulo del







pero pero

d = 2r , luego d = 2 ⋅

9 cm = 18 cm

4.5.5. Círculo Se llama círculo a la región interior a la circunferencia, en otras palabras, corresponde al área o superficie comprendida por la circunferencia (figura 4.5.11).

O

La medida de la superficie del círculo se determina con la fórmula. fórmula. r

= π r 2

A

donde π = 3,1415926...., y r es el radio de la circunferencia. Fig. 4.5.11 Ejemplos: 1.

¿Cuá ¿Cuáll es es la supe superf rfic icie ie de de un un círc círcul uloo de de rad radio io 3 mm? mm? Usando la fórmula para el área

2.

A ⊗

= π ⋅ (3 mm)2

A ⊗

= 9π mm2

¿Cuál C  uál debe ser el radio de un círculo para que su área sea 72π cm 2? A ⊗ = 72π cm2 = π r 2

72π cm2 2 = r π 72 cm2 = r 2 / 72 cm2 = r 6 2 = r 3.

Dete Determ rmina inarr el áre áreaa de un un círc círcul uloo cuyo cuyo per perím ímet etro ro es es 36 cm cm.. P ⊗ = 36π cm =

36π cm

2πr

= r

2π 18 cm = r 2

A ⊗ = π r

4.

= π ⋅ (18 cm )

A ⊗ = 324π

¿Cuál es el radio de un círculo cuya superficie es

π a2 4

?

2

cm

2







π a2 A ⊗ = π r = 4 π a2 2 / r = 4π 2

a

r = r =

5.

¿Cuál C  uál es el área de un semicírculo de radio

a

2

4 a

2 2 m?

A ⊗

= π(a 2 )2

A ⊗

= 2a2π m2

Un semicírculo es la mitad del círculo, luego su área será A =

A ⊗

A ⊗

2

2

=

2 A = a π m2

2a π 2 m 2

2

4.5. 4.5.6. 6. Sect Sector or circ circul ular ar Un sector circular es el área comprendida entre dos radios y un arco de circunferencia y tiene asociado el ángulo del centro respectivo (figura 4.5.12).

Fig. 4.5.12

sector circular

Para determinar la medida del sector circular se plantea una proporción directa, del mismo modo como se hizo para el cálculo de la longitud del arco: "a mayor ángulo del centro, mayor es el sector circular asociado a él", lo que nos permite plantear la razón constante entre el área y el ángulo (figura 4.5.13).

S = πr 2

360°

s

P

Fig. 4.5.13 Ejemplos: 1

¿Cuánto mide el sector circular s de la figura si r = 30 cm y α = 60°?









despejamos s s =

60°

⋅ π ⋅ ( 30 cm )

2

360° 1 2 s = ⋅ π ⋅ 900 cm 6 2 s = 150π cm

2.

Dete Determ rmina inarr el área área del del círcu círculo lo de de la la figu figura ra si si el el sect sector or 2 circul circular ar sombre sombreado ado mide mide 1 m y lo subtiende un ángulo de 18°. 2 A ⊗ = πr 2 s= 1m 360 πr 2

360

=

18 1 m2

1 m 2 = πr 2

18

20 m 2 = πr 2 20 m 2 =

A

3. ¿Qué parte del área del círculo de radio r es un sector circular subtendido por un ángulo de 120°? B

Respuesta: El sector s es

120º O

r

A

1 de π 3

r

2

, es decir, la tercera

parte parte del del área área del círcul círculo. o. 4. Dete Determi rmina narr el perím perímet etro ro de de un sect sector or circ circul ular ar de de radi radioo r = 10 cm y cuyo ángulo central mide 72°. En este problema no se pide calcular el área del sector circular, sino su perímetro. Como el perímetro perímetro es la medida medida del contorno del sector, éste se determinará como: Ps = r + r +

»

luego, lo que hay que determinar es la medida del arco B r

O

72º

Finalmente, P = 2 10 cm + 4π cm P = 20 cm + 4π cm P = 4(5 + π) cm s

s s

» . AB







Fig. 4.5.14 COROLARIO: COROLARIO: "Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto." En la figura 4.5.15, O es el centro de la circunferencia, AB es diámetro, ∡ α = 180° es ángulo del centro, β es ángulo inscrito. Por el teorema 4, se cumple que:

β

O

A

∡ β=

B

α

∡ β=

1 2 1 2

∡α ⋅ 180°

Fig. 4.5.15 TEOREMA 5

∡ β = 90° 90°

"En una circunferencia, a ángulos del centro iguales les corresponden arcos, cuerdas, sectores y segmentos circulares iguales." B

C

seg’

α’

s’

seg O

α

D

s A

En la figura 4.5.16, si ∡ AOB = ∡ COD, entonces también se cumple que » i) AB = CD ii) AB CD iii) s = s' iv) seg = seg' »

TEOREMA 6

"En una circunferencia de centro O, la medida del ángulo interior, formado por la intersección de dos cuerdas, es igual a la semisuma de las medidas angulares de los arcos que subtienden dichas cuerdas."

C B

α D

En la figura 4.5.17, α es un ángulo interior formado por las cuerdas AC » y BD que, a su vez, subtienden los arcos AB y CD ; entonces, »

O A

Fig. 4.5.17

∡α

=

» AB

» CD







Fig. 7.19

Ejemplos: 1. En la la ci circunferencia de de ce centro O, α mide 72° ¿Cuál Cuál es la medida del ∡ x? Para encontrar la respuesta, basta aplicar el TEOREMA 4 O α 2. En la la ci circunferencia de de ce centro O, β mide 32°. ¿Cuál es la medida del ∡ AOB? Por TEOREMA 4, ∡ β =

B

β

1 ∡ α , luego: 2

2 β = ∡ AOB 2 · 32º = ∡ AOB 64º = ∡ AOB

O A

3. Con Con los los dato datoss de de la la fig figur ura, a, det deter ermi mina narr la la med medid idaa en en gra grado doss del del » arco BC 

Recuerda que, en unidades de ángulo, un arco mide lo mismo que el ángulo del centro centro que lo subtiende. subtiende. Entonces mide mide 80°, 80°, pues pues el ángu ángulo lo del del ¼ AC

C

B

E

20º

cent centro ro que lo subti ubtieende nde (que (que no aparece en la figura) mide el doble del ∡ ADC que subtiende el mismo arco (teorema 4). Lo mismo ocurre entre » el arco AB y el ∡ AEB , es decir, decir, = 2 · 20º = 40º. Luego, la respuesta » AB al problema la encontramos mediante la siguiente expresión:

A

» BC

¼ AC

» AB

» = BC

80° 80° −40° 40°







∡ OBC = 30° » 5. En la figura, AB medida del ∡ AED?

D

» BC

» CD

. Si ∡ BOC = 25°, ¿cuál cuál es la

» BOC es ángulo del centro, luego BC

= ∡ BOC = 25° » y como AB CD , entonces, por Teorema 5, ∡ AOB = 25° y ∡ COD = 25° luego, ∡ AOD = 75°, y por teorema 4 1 ∡ AED = ∡ AOD = 37,5° 2

C

»

E B A

6.

» En la figura, AB = 70º y

» CD

= 90º. ¿Cuál es la medida del ∡α? Como α es un ángulo ángulo interi interior or de la circun circunfer ferenc encia, ia, entonc entonces es aplicamos directamente el teorema 6.

α

α

» AB

» CD

2 α

7 0º 0º

9 0º 0º 2

α

7.

8 0º

» En la la cir circu cunf nfeerenc rencia ia de ce centro ntro O de de la la fig figuura, ra, β = 70º y AB = 40º. ¿Cuánto mide el ángulo α?

Como α es un ángulo exterior de la circunferencia, entonces aplicamos directamente el teorema 7.

C B β

α



D

A

α

»

» C D

AB

2 α

70 º

40 º 2

α

1 5º

ACTIVIDADES 1.

En la circ circun unfe fere renc ncia ia de cent centro ro O y radi radioo 2 de la figura, AB y CD son diámetros. ¿ Cuánto Cuánto mide la superficie sombreada?

D







3.

Calc Calcul ular ar el áre áreaa y el perí períme metr troo de la circ circun unfe fere renc ncia ia de la la figur figuraa si 2 AB es diámetro y el Δ ABC es rectángulo isósceles de 16 cm de superficie.

4.

En la figura, el Δ ABC inscrito en la circunferencia de centro O es equilátero. ¿ Cuánto Cuánto mide el ∡ α?

α

5.

En la circ ircunfe unfere renc ncia ia de centro ntro O de la figura, ∡α =70°. ¿Cuánto Cuánto mide el ∡ β? α β

6.

En la cir circcunfe unfere renc ncia ia de centro ntro O de la figura, » Si BD = 40° ¿Cuál Cuál es la medida del ∡ α?

» AB

» BC

» . CD

α









8.

¼ ABCD cuadrado de lado 3 cm y AC En la la fi figura, ABCD arco de circunferencia de centro en B. Calcular el área y el perímetro de la región sombreada.

9.

Calcular el área y el per perímetro de la semicircu rcunfe nferencia ncia construida sobre la hipotenusa del Δ ABC rectángulo de catetos 6 m y 8 m.

10. Determ Determinar inar el el área área y el perímet perímetro ro del secto sectorr circula circularr de la figura figura si α = 240° y r = 5 m.

α

ABCD rectángulo, O y O' son los centros de dos 11. En la figura, ABCD circunferencias congruentes de 4 cm de radio. ¿ Cuánto mide la superficie sombreada?

D

r

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