Teoría, conceptos y problemas resueltos de Circunferencia
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Circunferencia de Fatela PreuniversitariosFull description
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4. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
CIRCUNFERENCIA ¿Es lo mismo decir circunferencia que circulo? No.... No se debe confundir circunferencia con círculo, aunque ambos conceptos están estrechamente relacionados. Definamos:
4.1.- ÁNGULO CENTRAL Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son los radios. B
R
1. CIRCUNFERENCIA Es el conjunto de los puntos pertenecientes a un mismo plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro, ubicado en el mismo plano.
x=
°
x°
O
R A
4.1.- ÁNGULO CENTRAL Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son los radios.
R
B
R
L = 2 R
x°
O
En la circunferencia se mide su longitud. La longitud de la circunferencia se halla de la siguiente manera:
x=
°
R A
4.2.- ÁNGULO INSCRITO
2. CÍRCULO Superficie determinada por la unión de una circunferencia y su región interior.
Es aquel ángulo cuyo vértice esta sobre la circunferencia y cuyos lados cortan a la circunferencia en dos puntos. B
R x=
x°
2
C
En el círculo se halla su área con la siguiente fórmula:
A = R2
3. ELEMENTOS
Es aquel ángulo cuyo vértice esta sobre la circunferencia uno de sus lados la corta y el otro es tangente.
N
C
C
R O
°
Q
M
R
°
4.3.- ÁNGULO SEMI-INSCRITO
P L
A
x°
R
2
B
A
B
x=
4.4.- ÁNGULO EX-INSCRITO Es el suplemento del ángulo i nscrito.
T
C
L1
Centro O: Es el punto interior que equidista de la circunferencia.
Segmento que va del centro a OA = R: Segmento cualquier punto de la circunferencia. Diámetro BC = 2R: Segmento que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia. Es la cuerda máxima, divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencia. Arco AC : Es la parte que esta delimitada por dos puntos de la circunferencia.
A
Radio
Cuerda
PQ : Es un
segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia. Recta Secante L: Recta que corta a la circunferencia en dos puntos. Recta Tangente L 1: Recta que toca a la circunferencia en un solo punto.
Flecha o Sagita MN : Porción del radio. Punto de Tangencia: Punto de intersección entre la recta tangente y la circunferencia.
x=
x°
°
2
B
4.5.- ÁNGULO INTERIOR Es aquel ángulo cuyo vértice esta en el interior de la circunferencia. Su medida es la semisuma semisuma de la medida medida del arco que abarcan sus lados con el arco que abarcan sus prolongaciones. ° C x=
B F
x A
2
D °
4.6.- ÁNGULO EXTERIOR Es aquel ángulo cuyo vértice esta en el exterior exterior de la circunferencia. Su medida es la semidiferencia de los
arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia. Hay tres casos y son: CASO 1
5.4).-Los segmentos tangentes trazados desde de un punto B exterior a una circunferencia son iguales.
C x°
°
°
Si: A y C son puntos de tangencia Entonces:
B
A
B
AB
CASO 2
A
x=
BC
C
2
A
5.5).- El ángulo exterior y un arco formado por dos tangentes son suplementarios.
B
x° °
A
°
C
x°
B x=
y°
D
2
C
CASO 3
x° + y° = 180°
B
5.6).- Si trazamos dos cuerdas de la misma longitud, entoncesClos arcos que subtienden cada una son iguales.
C
x°
°
°
B
F
Si : D A
x=
AB
D
α θ
CD
Entonces:
2
m AB =mCD
A
5. PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA
5.7).- Las cuerdas que equidistan del centro son de igual C medida. A
5.1).- Siendo L una recta tangente y A el punto de tangencia se tiene que L OA . O a
Si: a = b Entonces:
b
AB
O
B A
R
L
Si: OA es radio. Entonces:
OA L
B
° °
B
AB
P
BC y
son Tangentes. Entonces:
C O
OB
mAB = mCD
D
A
Si:
Entonces:
C
A
BC
5.8).- Si desde el vértice donde se unen las tangentes trazamos un segmento que se une con el centro de la circunferencia, el segmento es una bisectriz. A
5.2).-Si se traza dos cuerdas paralelas AD y BC, los arcos AB y CD son de igual medida. Si : BC // AD
D
= Bisectriz
5.9).-Siendo AB diámetro y P un punto cualquiera de la circunferencia, entonces el ángulo de vértice P en el triángulo APB es recto. Si: AB es diámetro = 90° Entonces:
IMPORTANTE: Toda la circunferencia mide 360°.
B
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº10 5.3).-Si un radio es perpendicular a una cuerda, el radio pasa por el punto medio de la cuerda y del arco correspondiente a la cuerda.
1).- Calcula “x”, si “O” es centro de la circunferencia.
B
Si : OA Entonces: O
BC
O
x°
60°
A
F
BF FC
BA = AC C
a) 30°
b) 60° c) 15°
d) 120° e) N.A
8).- Calcula “x”; si ABC = 260° y “A” es punto de tangencia.
2).- Calcula “x”, si “O” es centro de la circunferencia.
A 60°
O
x°
6x
B
a) 10°
b) 30°
c) 120°
d) 60°
3).- Calcula “x”, si ABC = 260°
a) 100°
A
a) 100°
b) 25°
9).- Calcula “x”; si PQR = 280°. P
c) 110°
d) 50°
e) N.A
4).- Si “B” es un punto que pertenece a circunferencia. Calcula “x”. A
R
x°
la Q
a) 280°
b) 24°
c) 38°
c) 80°
d) 140°
10).- Calcula “x”.
x°
48°
b) 40°
d) 96°
100°
e) N.A
5).- Si AC = 84° y “B” es un punto que pertenece a la circunferencia. A Calcula “x”. x°
e) 50°
B
x°
C
a) 48°
d) 200° e) 150°
C
b) 80°
B
c) 50°
x°
O
B
C
e) N.A
A
a) 280° b) 130°
c) 80°
d) 140°
e) 50°
11).- Calcula “x”. B
B
D
100°
C
a) 84° d) 96°
b) 42° e) N.A
c) 168°
x°
70°
A
a) 30°
6).- Calcula “x”; si ABC = 200° y “B” es un punto que pertenece a la circunferencia. A
C
b) 90°
c) 170°
d) 40° e) 85°
12).-Si AC = 110° y BD = 80°. Calcula “x”. C A
x°
B
x° D
B C
a) 84° b) 80° c) 200° d) 100° e) N.A 7).- Si “A” es punto de tangencia. Calcula “x”. 94°
a) 35°
b) 180°
B
B
C
30°
x°
x°
F
D A
A
a) 80° c) 70° b) 188°
d) 45°
13).- Calcula “x”.
110°
a) 50°
c) 70°
c) 94°
d) 100°
e) 47°
b) 90° d) 40°
e) 50°
e) 85°
14).- Calcula “AE”;si: BD = 50°. A
20).- Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula “n”.
B 40°
C
A
D
2n2 -52
E
a) 180° d) 140°
b) 130° e) 150°
c) 100°
P
15).- Calcula “x”, si A y C son puntos de tangencia.
a) 8
n2 -3
b) 6
c) 7
B
e) 5
d) 14
21).- Calcula el valor de “x” siendo “O” el centro de la circunferencia.
A
105°
x°
B
C
a) 105° b) 75° c) 15° d) 45° e) 55° 16).- Si “P” es punto de tangencia y “O” es centro de la circunferencia Calcula “x”. P
a) 80° b) 60° c) 40° d) 20° e) 30°
A
80° x° O
C
B
22).- Calcula “x”, si P, Q y R son puntos de tangencia. B
110° O
x°
A
r
a) 105° b) 70° c) 20° d) 45° e) 55° 17).- Si: r = 2; calcula “x”. A
a) 50° b) 60° c) 70° d) 80° e) 40°
a) 2 d) 2
A B
O
e) 4
C
P
23).- Calcula “x”; si “P” y “Q” son puntos de tangencia.
b) 4 2
20°
x°
Q
R
x r
P
P
c) 8 4
3x°
18).- Calcula “x”, si A y C son puntos de tangencia.
x°
A
B A
D
Q
x°
a) 20° d) 45°
70°
a) 15° d) 40°
C
b) 70° e) 50°
c) 140°
19).- Calcula la medida del mayor arco AB, si A y B son puntos de A tangencia. C 100°
