logo.png
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika Kontes Bulanan Oktober 2017 24–27 November 2017
Berkas Soal
Definisi dan Notasi
Berikut ini adalah daftar definisi yang digunakan di dokumen soal ini. 1. Notasi N menyatakan himpunan semua bilangan asli, yaitu 1, 2, . . . .
{ } 2. Notasi Z menyatakan himpunan semua bilangan bulat, yaitu {. . . , −1, 0, 1, 2, . . . }. 3. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ab dengan a, b adalah bilangan bulat dan b = 0.
4. Notasi Q menyatakan himpunan semua bilangan rasional. 5. Bilangan real yang tidak rasional disebut sebagai bilangan irasional. 6. Notasi R menyatakan himpunan semua bilangan real. 7. Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, n ! (dibaca n faktorial) bernilai 1 2 n. Contohnya, 4! = 1 2 3 4 = 24. Selain itu, 0! didefinisikan sebagai 1.
× ×
·· · ×
× × × 8. Untuk setiap bilangan real x, notasi x menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x . Sebagai contoh, 2.3 = 2, π = 3, −2.89 = −3, dan 4 = 4. 9. Untuk setiap bilangan real x, notasi x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x . Sebagai contoh, 2.3 = 3, π = 4, −2.89 = −2, dan 4 = 4. 10. Notasi a | b menyatakan a habis membagi b (atau b habis dibagi a). Notasi a b menyatakan a tidak habis membagi b.
11. a
≡ b (mod c) jika dan hanya jika c membagi |a − b|.
12. Dua bilangan bulat a dan b disebut relatif prima bila fpb(a, b) = 1. 13. Fungsi Euler-phi (atau fungsi Euler), biasa didefinisikan sebagai ϕ(n), menyatakan banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai n yang relatif prima dengan n. 14. Notasi
n n! menyatakan nilai . k k !(n k )!
−
15. Pada
ABC :
(a) Garis berat dari titik A adalah garis yang melewati titik A dan membagi garis BC menjadi dua bagian yang sama panjang. (b) Garis bagi ∠A adalah garis yang melewati titik A dan membagi ∠BAC men jadi dua bagian yang sama besar. (c) Garis tinggi dari titik A adalah garis yang melewati titik A dan tegak lurus dengan garis BC . (d) Titik berat ABC adalah perpotongan garis berat dari titik A, garis berat dari titik B , dan garis berat dari titik C .
(e) Titik tinggi ABC adalah perpotongan garis tinggi dari titik A, garis tinggi dari titik B , dan garis tinggi dari titik C .
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
Halaman 1
(f) Lingkaran luar
ABC adalah lingkaran yang melewati titik A, B , dan C . (g) Lingkaran dalam ABC adalah lingkaran di dalam ABC yang menyinggung segmen BC , CA, dan AB .
16. Luas dari sebuah segi-n dibungkus dengan kurung siku, yakni [ dan ]. Contohnya, [ABC ] dan [DEFG] masing-masing menyatakan luas segitiga ABC dan luas segiempat DEF G. 17. Suatu barisan an disebut barisan aritmetika bila ai−1 ai bernilai konstan (bisa jadi 0) untuk setiap i. Contohnya, 3, 5, 7, 9, . . . dan 2, 2, 2 merupakan barisan aritmetika.
{ }
−
18. Suatu barisan an disebut barisan geometrik bila aa+1 bernilai konstan taknol (bisa jadi 1) untuk setiap i. Contohnya, 4, 6, 9 dan 5, 5, 5, 5, 5, . . . merupakan barisan geometrik.
{ }
i
i
19. Rata-rata aritmetik dari dua bilangan real a dan b adalah
a+b
2
.
20. Rata-rata geometrik dari dua bilangan real a dan b adalah
√ ab.
21. Rata-rata harmonik dari dua bilangan real a dan b adalah
2 . 1 1 + a b
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
Halaman 2
Bagian A
Untuk setiap soal, tuliskan saja jawaban akhirnya. Setiap soal bernilai 1 angka. Tidak ada pengurangan nilai untuk jawaban yang salah atau dikosongkan. Jawaban soal-soal bagian A dipastikan merupakan bilangan bulat.
1. Misalkan f dan g adalah fungsi sehingga f −1 (x) = g (x). Tentukan f (f (1)) jika g (20) = 1, g (1) = 7, dan g (7) = 20. 2. Diketahui bahwa x merupakan bilangan real sedemikian hingga jajargenjang ABCD dengan A(5, 12), B (0, 0), dan C (15, x) memiliki luas 300 satuan luas. Tentukan jumlah semua nilai x yang memenuhi. 3. Setiap harinya, Ricky harus menaiki n anak tangga di kampusnya. Karena memiliki kaki yang panjang, Ricky bisa menaiki 1,2, atau 3 anak tangga sekaligus dalam sekali langkah. Jika ada 81 cara untuk Ricky menaiki anak tangga, berapakah nilai n yang dimaksud? 4. Tentukan banyaknya bilangan asli n yang tidak lebih dari 2017 sehingga 17n + 10 dan 8n + 19 relatif prima. 5. Diberikan sebuah persegi ABCD, dan segitiga ABE siku-siku di E serta segitiga CDF siku-siku di F . Diketahui, perbandingan sisi - sisinya adalah AE : C√ F = 5 : 8 serta B E : DF = 7 : 3. Jika AE : B E dapat dinyatakan dalam bentuk a c b dimana a,b,c bilangan asli dengan a, c relatif prima serta b tidak habis dibagi oleh bilangan kuadrat yang lebih dari 1. Tentukanlah nilai dari a + b + c. 6. Tentukan banyaknya pasangan bilangan asli (x, y ) yang memenuhi 3x + 7y = 2017. 7. Carilah banyaknya solusi real (x, y) yang memenuhi sistem persamaan
1
+y 2 y 52 + x x
2
− 2x −y
=0 =0
8. Misalkan π (x) menyatakan hasil perkalian digit digit penyusun x, dimana x bilangan asli, sebagai contoh π (123) = 1 2 3 = 6. Jika S didefinisikan sebagai
× ×
S =
2
2
10 0
10 + 1
10 + 2
2
+
·· ·
10 + 10
2
tentukanlah nilai dari π (S ). 9. Diketahui lingkaran L memiliki persamaan L : x 2 + y 2 +9 x 7y 16 = 0, sebuah titik P memiliki koordinat P ( 13, 9) dan lingkaran C memiliki pusat di titik Q ( 4, 22). Jika titik P memiliki besar kuasa yang sama terhadap lingkaran L dan lingkaran C , tentukanlah besar jari jari lingkaran C . (Kuasa dari suatu titik P terhadap suatu lingkaran yang berpusat di O dengan jari-jari R didefinisikan sebagai nilai dari OP 2 R2).
−
− −
−
−
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
Halaman 3
10. Definisikan barisan an dan bn sebagai berikut a1 = a 2 = b 2 = 1, b1 = 0, dan untuk n 3, an = a n−1 + an−2 dan bn = b n−1 + bn−2 .
≥
Misalkan P n (x) = x2 + sn x + t n adalah polinom yang akar-akarnya adalah an dan bn untuk setiap bilangan asli n . Misalkan M dan m adalah bilangan asli k terbesar dan terkecil, berturut-turut sehingga berlaku sk
− s2k
4tk + 1 + tk + 100 > 0 .
Tentukan M + m. 11. Misalkan S adalah himpunan semua bilangan asli n yang kurang dari 2017 sehingga tidak ada bilangan asli a, b, c yang memenuhi n = KPK(a, b) + KPK(b, c) + KPK(c, a).
Tentukan hasil penjumlahan semua anggota S . 12. Misalkan a, b, c, d, e, f adalah bilangan real tak negatif dengan jumlah satu. Misalkan nilai maksimal dari abc + bcd + cde + def + ef a + f ab
dapat dinyatakan dalam bentuk pq dengan p, q adalah bilangan asli yang yang relatif prima. Hitunglah 100 p + q . 13. Terdapat 1000 titik dalam suatu persegi. Diantara 1000 titik dan keempat titik sudut persegi tersebut, tidak ada 3 titik yang kolinear. Beberapa ”garis penghubung” ditarik untuk menghubungkan 1000 titik dan keempat titik sudut persegi sehingga persegi tertriangulasi sempurna.(Persegi terbagi menjadi segitiga-segitiga yang tidak berpotongan, dimana sisi segitiga adalah ”garis penghubung” atau sisi persegi, dan tidak ada ”garis penghubung” yang berpotongan selain di titik-titik yang sudah ada pada bidang). Tentukan banyaknya segitiga yang terbentuk. 14. Diberikan segitiga ABC dengan sisi AB = 5, BC = 6 dan CA = 7. Dikonstruksi jajargenjang CABA ,ABCB ,ACBC . Misalkan H dan H adalah perpotongan garis-garis tinggi segitiga ABC dan segitiga √ a A B C berturut-turut. Bila panjang HH dapat dinyatakan dalam abentuk b dengan a dan b bilangan bulat positif serta a tidak habis dibagi oleh kuadrat bilangan prima apapun, tentukan a + b.
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
Halaman 4
Bagian B
Tuliskan jawaban beserta langkah pekerjaan Anda secara lengkap. Jawaban boleh diketik, difoto, ataupun di-scan. Setiap soal bernilai 7 angka. Tidak ada pengurangan nilai untuk jawaban yang salah.
1. Bilangan real x dikatakan cantik jika memenuhi persamaan x2
− (1 + x)x + 1 = 0.
(a) Berikan satu contoh bilangan cantik. (b) Tunjukkan bahwa hanya ada satu bilangan rasional cantik. (c) Apakah ada bilangan irasional cantik yang negatif? Jelaskan jawaban Anda. (d) Tentukan semua bilangan irasional cantik. 2. Diberikan kotak berukuran 20 20 yang diberi garis sehingga terbentuk kotak kotak unit berukuran 1 1 sebanyak 400 buah. Setiap titik sudut diwarnai dengan merah atau biru. Terdapat 233 titik berwarna merah. 2 di antaranya adalah titik sudut dari kotak yang besar, 43 lainnya terletak pada sisi kotak yang besar. Warna setiap segmen pada setiap unit kotak ditentukan sesuai aturan : Jika kedua titik yang menghubungkan segmen tersebut berwarna merah, maka segmen diberi warna merah, jika kedua titiknya biru, segmen diberi warna biru, jika salah satu titik merah dan satu titik lainnya adalah biru, segmen tersebut diberi warna kuning. Andaikan terdapat sebanyak 343 segmen berwarna kuning. Tentukan banyaknya segmen yang berwarna biru. (Asumsikan setiap segmen berukuran 1 unit).
×
×
3. Misalkan ABC adalah segitiga lancip dengan titik pusat lingkaran luar O . Misalkan Γ1 adalah lingkaran yang melewati titik A, B dan menyinggug garis AC . Misalkan juga Γ2 adalah lingkaran yang melewati titik A, C dan menyinggung garis AB . Misalkan Γ1 dan Γ2 berpotongan untuk kedua kalinya di titik D . Buktikan bahwa D terletak pada lingkaran luar segitiga BOC . 4. Apakah ada bilangan bulat x dan y sehingga 2y 2 + 3 habis membagi x2
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
− 2?
Halaman 5
