Kontes Terbuka Olimpiade Matematika Kontes Bulanan Januari 2017 20–23 Januari 2017
Berkas Soal
Definisi dan Notasi Berikut ini adalah daftar definisi yang digunakan di dokumen soal ini. 1. Notasi N menyatakan himpunan semua bilangan asli, yaitu {1, 2, . . . }. 2. Notasi Z menyatakan himpunan semua bilangan bulat, yaitu {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }. 3. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a, b adalah bilangan bulat dan b 6= 0.
a b
dengan
4. Notasi Q menyatakan himpunan semua bilangan rasional. 5. Bilangan real yang tidak rasional disebut sebagai bilangan irasional. 6. Notasi R menyatakan himpunan semua bilangan real. 7. Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, n! (dibaca n faktorial) bernilai 1 × 2 × · · · × n. Contohnya, 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24. Selain itu, 0! didefinisikan sebagai 1. 8. Untuk setiap bilangan real x, notasi bxc menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Sebagai contoh, b2.3c = 2, bπc = 3, b−2.89c = −3, dan b4c = 4. 9. Untuk setiap bilangan real x, notasi dxe menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x. Sebagai contoh, d2.3e = 3, dπe = 4, d−2.89e = −2, dan d4e = 4. 10. Notasi a | b menyatakan a habis membagi b (atau b habis dibagi a). Notasi a - b menyatakan a tidak habis membagi b. 11. a ≡ b (mod c) jika dan hanya jika c membagi |a − b|. 12. Dua bilangan bulat a dan b disebut relatif prima bila fpb(a, b) = 1. 13. Fungsi Euler-phi (atau fungsi Euler), biasa didefinisikan sebagai ϕ(n), menyatakan banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai n yang relatif prima terhadap n. 14. Pada 4ABC: (a) Garis berat dari titik A adalah garis yang melewati titik A dan membagi garis BC menjadi dua bagian yang sama panjang. (b) Garis bagi ∠A adalah garis yang melewati titik A dan membagi ∠BAC menjadi dua bagian yang sama besar. (c) Garis tinggi dari titik A adalah garis yang melewati titik A dan tegak lurus dengan garis BC. (d) Titik berat 4ABC adalah perpotongan garis berat dari titik A, garis berat dari titik B, dan garis berat dari titik C. (e) Titik tinggi 4ABC adalah perpotongan garis tinggi dari titik A, garis tinggi dari titik B, dan garis tinggi dari titik C. (f) Lingkaran luar 4ABC adalah lingkaran yang melewati titik A, B, dan C. Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
Halaman 1
(g) Lingkaran dalam 4ABC adalah lingkaran di dalam 4ABC yang menyinggung segmen BC, CA, dan AB. 15. Luas dari sebuah segi-n dibungkus dengan kurung siku, yakni [ dan ]. Contohnya, [ABC] dan [DEF G] masing-masing menyatakan luas segitiga ABC dan luas segiempat DEF G. 16. Suatu barisan {an } disebut barisan aritmetika bila ai−1 − ai bernilai konstan (bisa jadi 0) untuk setiap i. Contohnya, 3, 5, 7, 9, . . . dan 2, 2, 2 merupakan barisan aritmetika. 17. Suatu barisan {an } disebut barisan geometrik bila ai+1 bernilai konstan taknol (bisa ai jadi 1) untuk setiap i. Contohnya, 4, 6, 9 dan 5, 5, 5, 5, 5, . . . merupakan barisan geometrik. 18. Rata-rata aritmetik dari dua bilangan real a dan b adalah 19. Rata-rata geometrik dari dua bilangan real a dan b adalah 20. Rata-rata harmonik dari dua bilangan real a dan b adalah
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
a+b . 2
√
ab.
2 1 + 1b a
.
Halaman 2
Bagian A Untuk setiap soal, tuliskan saja jawaban akhirnya. Setiap soal bernilai 1 angka. Tidak ada pengurangan nilai untuk jawaban yang salah atau dikosongkan. Jawaban soal-soal bagian A dipastikan merupakan bilangan bulat. 1. Tentukan bilangan asli dengan empat digit terkecil yang memiliki banyak faktor yang sama dengan banyak faktor dari 2017. 2. Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C dengan CA = 3 dan CB = 4. Titik D terletak pada AB sehingga CD tegak lurus terhadap AB. Titik E terletak pada CA sehingga DE tegak lurus terhadap CA. Jika panjang DE dinyatakan dalam 2 , dengan m dan n adalah bilangan asli yang relatif prima, tentukan nilai bentuk m n2 dari m + n. 3. Misalkan x dan y adalah bilangan real yang memenuhi x2 − 2xy + 2y 2 − 4y + 4 = 0. Tentukan nilai dari x4 + y 4 . 4. Sebuah bilangan asli disebut mantap jika penulisannya dalam basis 7 berakhir dengan angka 5. Sebuah bilangan disebut jiwa jika penulisannya dalam basis 13 berakhir dengan angka 4. Sebuah bilangan dikatakan mantap jiwa jika bilangan tersebut mantap sekaligus jiwa. Tentukan bilangan mantap jiwa terbesar yang terdiri dari tiga angka. 5. Misalkan ABCD adalah segiempat dengan AB = BC = CD = DA dan ∠ABC < 90◦ . Diketahui bahwa terdapat titik E dan F pada segmen BC dan CD, berturutturut, sehingga AB = AE = AF = F E (E terletak di antara B dan C, dan F terletak di antara C dan D). Misalkan besar ∠BEF adalah p dalam satuan derajat. Tentukan nilai p. 6. Andi dan Budi sedang bermain. Diberikan 2017 kartu dengan 901 di antaranya berwarna merah dan sisanya berwarna biru. Sebuah ronde permainan didefinisikan sebagai berikut: dua kartu diambil secara bersamaan; jika kartu yang terambil pertama berwarna merah dan kedua berwarna biru, Andi menang dan ronde selesai; jika kartu yang terambil pertama berwarna biru dan kedua berwarna merah, Budi menang dan ronde selesai; jika kedua kartu yang terambil berwarna sama, permainan berlanjut (kartu yang sudah terambil tidak dikembalikan lagi). Misalkan x adalah peluang Andi memenangkan sebuah ronde permainan. Tentukan nilai dari 2016x. 7. Tentukan sisa pembagian 202017 + 012017 + 172017 + 722017 oleh 2017. 8. Andi dan Budi sedang bermain. Terdapat sebuah kantong yang berisi 2016 kelereng merah dan 2017 kelereng biru. Andi mengambil sejumlah kelereng secara acak dari kantong tersebut. Andi menang jika banyaknya kelereng merah yang tersisa lebih banyak dari banyaknya kelereng biru; sebaliknya, Budi menang. Untuk memaksimalkan peluang Andi menang, tentukan jumlah kelereng yang harus diambilnya. 9. Diberikan 4ABC dengan panjang AB = 25, BC = 34, dan CA = 39. Misalkan P adalah sebuah titik di dalam segitiga dan titik-titik X, Y , dan Z adalah proyeksi
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
Halaman 3
titik P ke sisi BC, CA, dan AB, berturut-turut. Diketahui bahwa ketiga segiempat AZP Y , BXP Z, dan CY P X semuanya memiliki lingkaran dalam. Jika PX + PY + PZ =
m n
untuk bilangan asli m dan n yang relatif prima, hitunglah nilai dari m + n. Catatan: lingkaran dalam dari sebuah segiempat adalah sebuah lingkaran di dalam segiempat yang menyinggung keempat sisi dari segiempat tersebut. 10. Misalkan f : R → R adalah fungsi tak-konstan (hal ini berarti terdapat dua bilangan real a dan b sehingga f (a) 6= f (b)) yang memenuhi persamaan f (x)f (x + y) = f (2x + y) − xf (x + y) + x untuk setiap x, y ∈ R. Tentukan nilai dari f (−99). 11. Satria sedang bermain sebuah game dengan 3 (tiga) level. Kemungkinan ia memenangkan level pertama, kedua, dan ketiga adalah 32 , 21 , dan 31 , berturut-turut. Satria mulai dari level pertama. Setiap kali Satria memenangkan sebuah level, ia maju ke level selanjutnya; sedangkan setiap kali Satria kalah pada sebuah level, ia turun ke level sebelumnya. Jika Satria memenangkan level ketiga, ia memenangkan permainan dan permainan selesai. Sebaliknya, jika Satria kalah pada level pertama, ia dianggap kalah dalam permainan dan permainan juga selesai. Misalkan kemungkinan Satria memenangkan permainan adalah ab , di mana a dan b adalah bilangan asli yang relatif prima. Tentukan nilai dari a + b. 12. Misalkan x dan y adalah bilangan bulat sehingga (x3 − 1)(y 3 − 1) = 3(x2 y 2 + 2). Tentukan nilai dari x2 + y 2 . 13. Misalkan 4ABC memiliki I sebagai titik pusat lingkaran dalamnya. Lingkaran berdiameter AI memotong lingkaran luar 4ABC sekali lagi di titik X (hal ini berarti X 6= A). Misalkan Y adalah titik tengah busur BC yang tidak memuat A pada lingkaran luar 4ABC. Misalkan XY memotong BC di titik Z. Jika BZ = 7 dan AC = 35, tentukan keliling dari 4ABC. 14. Andi memiliki 3 tiket. Setiap hari, sebuah tiket diambil. Terdapat 52 bahwa tiket yang terambil tersebut dikembalikan, dan terdapat 35 bahwa Andi akan mendapat kembalian 2 tiket (jadi, banyak tiket Andi bertambah 1 tiket). Kejadian ini dilakukan terus menerus. suatu saat tiket Andi habis adalah x, tentukan nilai dari 999x.
Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
kemungkinan kemungkinan yang dimiliki Jika peluang
Halaman 4
Bagian B Tuliskan jawaban beserta langkah pekerjaan Anda secara lengkap. Jawaban boleh diketik, difoto, ataupun di-scan. Setiap soal bernilai 7 angka. Tidak ada pengurangan nilai untuk jawaban yang salah. 1. (a) Diberikan bilangan real positif a, b, dan c. x+y = y+z = x+z =
Perhatikan sistem persamaan a b c.
i. Tunjukkan bahwa penyelesaian x, y, dan z dari sistem persamaan tersebut adalah x = a−b+c 2 y = a+b−c 2 z = −a+b+c . 2 (Petunjuk: Jumlahkan ketiga persamaan, lalu nyatakan x, y, dan z dalam a, b, dan c) ii. Jika a, b, dan c merupakan panjang sisi-sisi dari suatu segitiga, tunjukkan bahwa penyelesaian x, y, dan z pada bagian (i) adalah bilangan real positif. iii. Apakah pernyataan bagian (ii) tetap benar jika a, b, dan c bukanlah panjang sisi-sisi segitiga? Jika benar, buktikan; jika salah, berikan suatu contoh penyangkal. (b) Diberikan bilangan real positif x, y, dan z . Dengan menyatakan x, y, dan z dalam a, b, dan c (seperti pada bagian (a1)), tunjukkan bahwa y z 3 x + + ≥ . y+z x+z x+y 2 (Catatan: Ketaksamaan ini dikenal dengan Ketaksamaan Nesbitt. Teknik substitusi seperti pada bagian (a.) dikenal dengan Substitusi Ravi) (c) Diketahui bahwa a, b, dan c merupakan panjang sisi-sisi dari suatu segitiga. Tunjukkan bahwa b c a + + < 2. b+c a+c a+b (Petunjuk: Gunakan teknik Substitusi Ravi. Coba nyatakan a, b, dan c dalam x, y, dan z) 2x + 3y 2. Misalkan x dan y adalah bilangan bulat sehingga adalah bilangan bulat. 13 3x − 2y Buktikan bahwa juga adalah bilangan bulat. 13 3. Diberikan segitiga ABC dengan AB < AC. Lingkaran yang berpusat di A dengan jari-jari AC memotong BC di C 0 . Jika O dan O0 adalah titik pusat lingkaran luar segitiga ABC dan ABC 0 , berturut-turut, buktikan bahwa AB membagi OO0 menjadi dua segmen yang sama panjang. 4. Sebuah persegi panjang dengan dimensi m×n dapat ditutupi ubin berdimensi 1×k dan k ×1 sedemikian sehingga setiap persegi satuan dalam persegi panjang tersebut ditutupi oleh tepat satu ubin. Tunjukkan bahwa k habis membagi m atau n. Kontes Terbuka Olimpiade Matematika
Halaman 5
