Lingkaran & Garis Singgung A.
Unsur-Unsur Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang disebut titik pusat lingkaran. Lambang lingkaran dengan titik pusat P ditulis “ [ P”
Unsur-unsur pada lingkaran :
Titik P disebut pusat lingkaran
Jari-Jari adalah jarak antara pusat lingkaran dengan titik yang ada dilingkaran. AP = PB = PC adalah jari jari lingkaran dengan panjang r
Gambar 1
Tali Busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Contoh pada gambar 1 : BC dan AB
Diameter adalah tali busur yang melalu pusat lingkaran. Panjang Diameter adalah 2 kali jari jari lingkaran. Contoh pada gambar 1 : AB
Apotema adalah jarak tali busur ke pusat lingkaran. Contoh pada gambar 1 : PQ adalah Apotema
[ P
Busur adalah garis lengkung yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Contoh pada gambar 1 : Garis lengkung AB, Garis lengkung BC, Garis lengkung AC
Juring adalah Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur. Juring merupakan bagian dari luas lingkaran. Contoh pada gambar 1 : daerah APC, daerah BCP dan daerah APB
Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh sebuah busur dan sebuah tali busur. Contoh pada gambar 1 : daerah yang dibatasi oleh busur CB dan tali busur CB
B.
Keliling & Luas Lingkaran Keliling Lingkaran : K = 2 r = d 2 Luas Lingkaran : L = r = d Keterangan : atau = 3,14 = r = jari-jari lingkaran d = diameter Contoh : Pada gambar berikut ini, panjang diameter lingkaran besar adalah 28 cm. Berapa keliling dan luas lingkaran yang diarsir ? Jawab : Diketahui diameter lingkaran besar d 1 = 28 cm, r 1 = 14 cm dan diameter lingkaran kecil d 2 = 14 cm, r2 = 7 cm
Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP. 085655092901 - 085331221413
a. Keliling daerah yang diarsir = (½ K
[ besar)
+ K [ kecil
= (½ d1) + d2 = (½ x x 28) + ( x 14) = 44 + 44 = 88 cm b. Luas daerah yang diarsir = (½ L 2
[ besar)
- L [ kecil
2
= ½ r1 + r2 2 2 = (½ x x 14 ) – ( x 7 ) = 308 – 154 2
= 154 cm C.
Panjang Busur Perhatikan gambar 1 di atas : Panjang Busur AC = x Keliling Lingkaran Contoh : o
Perhatikan gambar 1, Tentukan panjang busur BC jika sudut CPB = 108 dan jari-jari lingkaran 7 cm ? Jawab :
x Keliling [ P = x (2 r) = x (2 . . 7) = 0,3 x 44
Panjang Busur BC =
= 13,2 cm D.
Luas Juring Masih pada gambar 1 di atas : Luas Juring APC = x Luas [ P Contoh : Pada gambar 1, Tentukan luas juring APC jika
CPB = 108o dan jari-jari lingkaran 7 cm !
Jawab : Luas Juring APC =
x Luas [ P
= 180 - o o
o
o
= 30,8 cm
2
= 180 – 108 = 72 2 Luas Juring APC = x r 2 = 0,2 x ( . 7 ) = 0,2 x 154 E.
Luas Tembereng Pada gambar 1 di atas : Luas Tembereng BCT = L. Juring BPC – L. œ BPC
Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP. 085655092901 - 085331221413
Contoh : Masih pada gambar 1, jika jari-jari lingkaran P adalah 13 cm, panjang tali busur BC = 24 cm, dan
= 25o. berapa luas tembereng BCT ? Jawab : Luas Tembereng BCT = L. Juring BPC – L. œ BPC 2 L. Juring BPC = x r 2 = x ( . 13 ) = x = 0,36 x 531,14 2
= 191,21 cm L. œ BPC
=
½ BC x PQ
=
½ x 24 x
= 12 x 5 = 60 cm
2 2
Luas Tembereng BCT = 191,21 – 60 = 131,21 cm F.
Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Juring Serta Luas Lingkaran Perhatikan gambar ! 1.
Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Juring = =
2.
Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Lingkaran = =
Contoh : Jika jari-jari [ P = 10 cm dan
= 60 o, berapa ? jika luas juring DPC yang diarsir 2 kali
luas juring APB yang diarsir. Jawab : = Luas Juring APB = x Luas [ P 2 = x ( x 10 ) 2 = 52,3 cm = = o = = 120 Secara singkat, karena luas juring diarsir DPC besarnya 2 kali lipat luas juring diarsir APB maka besar sudut DPC dua kali lipat besar sudut APB
Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP. 085655092901 - 085331221413
G.
Sudut-Sudut pada Lingkaran dan Hubungannya
merupakan sudut pusat , dan merupakan sudut keliling 1.
Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besar sudut pusat sama dengan dua kali sudut keliling.
= 2 x , karena (sudut pusat) dengan (sudut keliling) menghadap busur yang sama yaitu busr AB 2.
Sudut keliling yang menghadap busur sama besarnya sama
= = karena menghadap busur yang sama yaitu busur AB 3.
o
Sudut keliling yang menghadap diameter besarnya 90 .
= 90o (siku-siku), karena menghadap diameter lingkaran Contoh : AC adalah diameter lingkaran. Jika besar
o
= 30 . Berapa
besar ? Jawab :
o
merupakan sudut keliling dengan besar 30 . Dan
menghadap busur yang sama dengan sudut pusat
. Maka :
= 2 x = 2 x 30o = 60o. dan saling berpelurus, maka : + = 180o o o 60 + = 180 = 120o H.
Sifat Segi Empat Tali Busur Segi empat tali busur adalah segiempat yang dibatasi oleh empat tali busur dimana keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran. 1.
o
Jumlah sudut yang berhadapan 180 .
+ = 180o + = 180o 2.
HAsil kali panjang diagonal = jumlah perkalian sisi yang berhadapan. AC x BD = (AB x CD) + (AD x BC)
3.
Hasil kali bagian diagonal adalah sama AE x EC = BE x ED
Contoh : Perhatikan gambar ! Berapa besar dan ? Jawab : o
Jumlah sudut yang berhadapan 180 .
= 180 - o
Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP. 085655092901 - 085331221413
o
o
o
= 180 – 135 = 45
= 180 - o o
o
= 180 – 80 = 100 I.
o
Sudut Antar Dua Tali Busur 1.
Berpotongan di dalam
= + Atau
= ½ ( + ) 2.
Berpotongan di Luar
= - Atau
= ½ ( - ) Contoh : Pada gambar berikut, O ousat lingkaran. Jika
= 55 o dan
= 30o, berapa besar ? Jawab :
= ½ ( - ) o o 30 = ½ ( – 55 ) o o o ½ = 30 + 27,5 = 57,5 = 115o J.
Garis Singgung Lingkaran Garis singgung lingkaran dalah garis yang memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari yang melalui titik singgungnya. 1.
Garis Singgung Melalui Satu Titik di Luar Lingkaran 2
2
2
PB = AP + AB AB = √
2.
Garis Singgung Persekutuan Luar
AB = PQ = Jarak kedua titik pusat lingkaran r1 = Jari-jari lingkaran P (besar) r2 = Jari-jari lingkaran Q (kecil) 3.
Garis Singgung Persekutuan Dalam
AB = PQ = Jarak kedua titik pusat lingkaran Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP. 085655092901 - 085331221413
r1 = Jari-jari lingkaran P (besar) r2 = Jari-jari lingkaran Q (kecil) Contoh : Pada gambar berikut, lingkaran P berjari-jari 7 cm dan lingkaran Q berjari-jari 5 cm. Berapa panjang ruas garis singgung persekutuan AB ? Jawab : Diketahui r1 = 7 cm dan r 2 = 5 cm Lingkaran P dan lingkaran Q bersinggungan sehingga jarak PQ = r 1 + r2 = 7 + 5 = 12 cm AB = = = = K.
√ = √ = 2 √ cm √
Lingkaran Dalam & Lingkaran Luar Segitiga 1.
Lingkaran Dalam Segitiga
Misalkan panjang jari-jari dari lingkaran dalam segitiga adalah r, AB = c, BC = a, AC = b r= dengan : Luas
œABC =
S = ½ (a + b + c) 2.
Lingkaran Luar Segitiga
Misalkan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga ABC adalah r, AB = c, BC = a, AC = b maka : r=
Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP. 085655092901 - 085331221413
Contoh : Perhatikan gambar ! Berapa luas daerah yang diarsir ? ( = 3,14) Jawab : Panjang sisi miring segitiga dalam lingkaran = = √ = √ = 20 cm √ Luas yang diarsir = Luas lingkaran – Luas segitiga Untuk mencari luas lingkaran harus tahu jari-jari lingkaran r. r= 2 Luas setiga ABC = ½ x 16 x 12 = 96 cm r= = 10 cm 2 2 2 Luas Lingkaran = r = 3,14 x 10 = 314 cm Jadi Luas daerah yang diarsir = 314 – 96 = 218 cm L.
2
SOAL 1.
Sebuah segi tiga ABC dengan panjang sisi AB = 13 cm dan AC 15 cm, luasnya 24 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah 4 cm, maka panjang garis tinggi menuju sisi BC adalah …
a. 6 cm
c. 12 cm
b. 7 cm
d. 4 cm
(UN 2000/2001) 2.
Jika jarak pusat lingkaran luar segi enam beraturan ke sisinya adalah 6 cm, maka panjang jari-jari lingkaran luar segi enam tersebut adalah … a. 6 √ cm b. 4 √ cm c. 3 √ cm d. 2 √ cm (UN 2000/2001)
3.
Dua lingkaran masing-masing dengan jari-jari 17 cm dan 25 cm, panjang garis singgung persekutuan luarnya 15 cm. Jarak antara kedua pusat lingkaran tersebut adalah …
a. 12 cm
c. 23 cm
b. 17 cm
d. 35 cm
(UN 2001/2002) 4.
Segitiga ABC siku-siku di A. Panjang sisi AB = 21 cm dan sisi BC= 35 cm. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga ABC adalah …
a. 10 cm
c. 15,0 cm
b. 12,5 cm
d. 17,5 cm
(UN 2002/2003)
Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP. 085655092901 - 085331221413
5.
Perhatikan gambar ! 2
Jika luas juring OBC = 60 cm , luas juring OAC adal ah … a. 44 cm
2
b. 76 cm
2 2
c. 104 cm
2
d. 120 cm
(UN 2012/2013)
Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP. 085655092901 - 085331221413
