BAB 2 BARISAN DAN DERET Pengertian Pola adalah keteratran !i"at #ang di$iliki oleh !ederetan ata !erangkaian o%&ek Pola Bilangan Gena'
(i$'nan %ilangan gena' = )2* 4* 6* +* ,,,,,,,Pola Bilangan Gan&il
(i$'nan %ilangan gan&il = )1* 3* 5* .* ,,,,,,,-
POLA BILANGAN
Pola Bilangan /egitiga
1
3
6
10
Polan#a 'en&$lahan n %ilangan a!li 'erta$a, Pola di ata! adalah (i$'nan %ilangan !egitiga, Himpunan bilangan segitiga = { 1, 3, 6, 10 ,..........} Pola Bilangan Per!egi
1x1=1
2x2=4
3x3=9
4 x 4 = 16
Pola %ilangan %ilangan 'er!egi 1* 4* 9* 16* 16* 25* ,,,, Pola %ilangan 'er!egi'an&ang
2x1=2
Pola Bilangan Pa!al
3x2=6
4 x 3 = 12
5 x 4 = 20
Pola %ilangan 'er!egi'an&ang 2* 6* 12* 20* ,,,,
/alah !at kegnaan dari %ari!an %ilangan /egitiga Pa!al adalah ntk $enentkan koe!ienkoe!ien koe!ienkoe!ien !k! a%1 = a % a%2 = a2 2a% %2 a%3 = a3 3a2 % 3a%2 %3
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Tentukan nilai m dari pola bilangan Fn berikut: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, m. Pembahasan
Jika diperhatikan bilangan-bilangan terebut membentuk pola bilangan berikut
!aka nilai m adalah 36.
2. "edagang bola men#uun bola dengan uunan abagai berikut
pola 1
pola 2
pola 3
pola $
%erapakah ban#akn#a bola pada pola ke-8& Pembahasan Pola keBanyak bola Pola yang dapat kita lihat 1 1 1'1 2 3 3'1(2 3 6 6'1(2(3 4 10 10 ' 1 ( 2 ( 3 ( 4 ... ... ... & 1 ( 2 ( 3 ( $ ( 5 ( 6 ( ) ( ' 36 Jadi, ban#akn#a bola pada pola ke-8 adalah 36. Latihan 1. Tentukanlah ketiga uku berikutn#a dan tulilah aturan dari maing-maing pola bilangan berikut.
a. 2, $, 6, 8, 10, . . .
*. 6, 18, 5$, 162, . . .
b. 8, 16, 2$, 32, . . .
g. 1, 5, 25, 125, . . .
+. 6$, 32, 16, 8, . . .
h. 2, 12, 22, 32, . . .
d. 1, ), $, 3$3, . . .
i. 2$, 21, 18, 15, . . .
e. 13, 1, 25, 31, . . .
. 120, 105, 0, )5, . . .
2. Tentukan umlah dari: a. 6 bilangan ali #ang pertama b. 6 bilangan ali genap #ang pertama
3. Tentukan:
a. %ilangan ganil #ang ke delapan b. %ilangan kelipatan empat #ang kelima +. %ilangan prima #ang ketuuh
$. engkapi pola bilangan berikut: a. 1, 5, , 13, ...... b. 3, ), 10, ......, 2), $$, )1 +. 2, 1, 3, 2, $,....., 5, $ d. /impunan bilangan peregi ' 1, $, , 16, .... e. /impunan bilangan peregi panang ' 2, 6, 12, 20, ...... 5. Jabarkan bentuk a(b3 kemudian tentukan: a. 4oe*iien dari a3 b. koe*iien dari a2 b +. koe*iien dari ab2 d. koe*iien dari b3 6. Tentukan hail dari: a . 1 ( 2 ( 3 ( $ ( ... ( 100 b. 12 ( 22 ( 32 ( $2 ( ... ( 1002 +. 13 ( 23 ( 33 ( $3 ( ... ( 1003 d. ) ( 8 ( ( 10 ( ... ( 10) ). "erhatikan pola #ang dibuat dengan batang lidi berikut
Tentukan ban#ak batang lidi untuk membuat pola keembilan
%arian: a, a ( b, a ( 2b, ..., a ( n 1b. 7eret: a ( a ( b ( a ( 2b ( ... ( a ( n 1b Rumus:
Sisipan
b
1.
BARISAN
k + 1 1. beda baru b ' 2. ban#ak uku baru n ' n ( n 1k 3. Jumlah n uku pertama eudah iipan n: ( a + U n ) 2 9n '
%arian: a, ar, ar 2, ar 3, =,ar n 1 7eret: a ( ar ( ar 2 ( ar 3 ( ... ( ar n 1
>umu r =
9iipan r : = k +1 r
U n U n −1
1. raiobarur ' 2. ban#akukubarun ' n ( n 1k 3. Jumlah n ukupertamaetelahiipan9 n
1. U n
= ar n −1
2. S n
=
3. S n
(
n a 1 − r 1 − r
(
n
a r =
)
S n : =
)
S n : =
,r?1
a r : n
{
:
− 1}
r :−1
a 1 − r : n :
−1
1 − r :
, r : > 1
},
r : < 1
r − 1
konAergen mempun#aiumlah : 1 ? r ? 1 atau BrB ? 1 diAergen: BrB @ 1 IN#AT
>umu
a
S ∞
=
S ∞
= S ∞ ganj il + S ∞ genap
1 − r
1.
Ba!i%an Tingkat D&a
2. S ∞ ganj il =
a 2 1 − r
3. S ∞ genap
ar =
2 1 − r
$.
>umu uku ke-n: 'n ( an2 ) bn ) * angkah-langkah: 1 2a ' b2 dapatkan nilai a 2 3a(b ' b2 dapatkan nilai b 3 a ( b ( + ' <1 dapatkan nilai + $ maukkan nila a, b, + ke rumu
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Tentukan uku kelima dari barian 0, $, 10, 18 Pembahasan Cara 1: menentukan pola $ ' 0 ( $ 10 ' $ ( 6 18 ' 10 ( 8 9uku kelima ' 18 ( 10 ' 28 Cara 2: dengan rumu barian tingkat dua Bent&k %&k& ke-n da!i ba!i%an tingkat d&a adalah 'n ( a n2 ) b n ) *
4
0
,
+4
,
10
+6
,
18
+8
+2
+2
+angkah-langkah, 2 2
1 2
3
2a ( 2 a ' '1 3a)b ( 4 3 1 ( b ' $ 3 ( b ' $ b ' 1 a )b ) * ( 1 ( 1 ( + ' 0 2 ( + ' 0 + ' 2
9ubtituikan nilai a ' 1 , b ' 1 dan + ' 2 ke 'n ( a n2 ) b n ) *
maka
2. Jika uku ke-3 0 ke-4 dan ke- adalah 0 12 0 1. Carilah uku pertama dari barian terebut Pe"baha%an ) , 12 , 1).
(5
(5
<3 ' ) dengan rumu
Pembahasan !ialkan kedua bilangan terebut D ' 5 , # ' $5 dan k ' ), maka blama ' $5 5 ' $0 a. beda ba!& b
$0
k + 1
b (
$0
) +1
'
8
(
(
Jadi bear beda ' 5
$.
5.
b. uku ke-6
7eret geometri naik dan turun. a 3 ( ( 2) ( 81 ( ....diebut deret geometri naik. 4arena <2@ <1 E <3@ <2 E <$ @ <3. b 2 ( $ ( 8 ( 16 ( 32 ( ....... diebut deret geometri turun 4arena <2? <1 E <3? <2 ..........dt. Tentukan uku ke- 5 dari deret 81 ( 2) ( ( 3 ( ..... Pembahasan <1 ' 81 E <2 ' 2) E < 3 ' . U 2
2)
1
U 3
U 1
81
3
U 2
'
'
dan
1
,
3
2)
'
1
'
3
ehingga r '
.
U 1
U n
'
D r n 1 5−1
1 × 3
<5 ' 81 $
1 × 3
' 81 <5 ' 1 Jadi uku 5 adalah 1 6.
Tentukan uku ke-5 dari deret geometri #ang uku pertaman#a 5 dan raio 2. Pembahasan <1 ' 5 , r ' 2 dan n ' 5
Latihan 1. Tentukan umlah dari: a. 6 bilangan ali #ang pertama b. 6 bilangan ali genap #ang pertama
2.
Tentukan: a. %ilangan ganil #ang ke delapan b. %ilangan kelipatan empat #ang kelima
+. %ilangan prima #ang ketuuh 3.
engkapi barian berikut: a. 1, 5, , 13, ...... b. 3, ), 10, ......, 2), $$, )1 +. 2, 1, 3, 2, $,....., 5, $
$.
Jika diketahui deret aritmatika memiliki <1 ' 5 dan <) ' 2, tentukan beda deret aritmatika terebut
5.
Jika uku pertama dari deret aritmatika adalah 16 dengan beda 6 maka tentukan uku ke-12
6.
Jumlah ebela uku pertama dari deret aritmatika adalah 110. 9uku ke-1 adalah 30, tentukan beda dari deret terebut
).
Tentukan umlah dari deret 2 ( 33 ( 3) ( $1 ( .....( 26.
8.
Jumlah uatu deret aritmatika 1.218 dan uku pertaman#a 8 dengan beda 5./itunglah ban#ak uku dalam deret terebut
.
7iantara bilangan $) dan 2 diiipkan 8 buah bilangan ehingga membentuk uatu deret aritmatika. Tentukan: a. bear beda deret #ang baru. b. uku ke-10 dari deret terebut.
10. 9uku ke-5 uatu deret aritmatika adalah 35, uku tengahn#a 5 dan uku terakhir -5. Tentukan: a. uku pertaman#a b. ban#ak uku dalam deret terebut +. bear bedan#a 11. 7alam ebuah gedung pertemuan terdapat 25 kuri pada bari pertama dan etiap bari berikutn#a memuat.2 kuri lebih ban#ak dari bari dimukan#a. Jika dalam gedung terebut terdapat 15 bari kuri. Tentukanlah: a. ban#ak kuri pada bari ke-15. b. ban#ak kuri dalam gedung itu 12. Tentukan manakah #ang merupakan deret geometri naik atau deret geometri turun. 1
1
2
a.
$
(
1
1
16
8
(
(
( ..........
1
1
2
8
b. 8 ( 2 ( ( ( ....... +. 2) ( ( 3 ( 1 ( ...... 13. 9uatu deret geometri uku pertaman#a -5 dan raion#a 3.Tentukan uku ke-5 1 2
1$. 9uku pertama dari deret geometri adalah 20 dan raion#a
./itunglah uku ke-8
15. 9uku pertama dari deret geometri adalah 6 dan uku ke-$ adalah 38$. Tentukan uku ke-) 16. Tentukan uku ke-10 dari deret geometri 6 ( 2$ ( 6 ( .... 1). Tentukan uku ke-10 dari deret geometri 2 ( - 6 ( 18 ( -5$ ( ....
PROBLEM SET Pilihlah satu jawaban yang benar dengan memberi tanda silang ( X ) 1. 7ua uku berikutn#a pada barian: . 9uatu barian aritmatika mempun#ai <5 ' 8 1,2,3,5,8,13,.....,........adalah.... dan < ' 20. %eda antaruku barian terebut a. 20,28 +. 21,3$ adalah... b. 20,2 d. 22,23 a. 2 +. $ b. 3 d. 5 2. Jika p, , ), 12, 1 merupakan barian *ibona++i, maka nilai p ' .... 10. 7iketahui <) ' 103 dan <10 ' 88 adalah uku a. 1 +. 3 uku barian aritmetika. 9uku pertama barian b. 2 d. $ terebut adalah... a. 133 +. 125 3. 7iketahui barian *ibona++i berikut: 1, 1, 2, 3, b. 130 d. 120 5, ..... Jumlah 10 uku pertama adalah... a. 1$3 +. 135 11. >umu uku ken uatu barian bilangan b. 1$2 d. 132 adalah umu uku ke-n barian bilangan: 3, 5, ), , 11, .... adalah... 5. 7ari barian bilangan berikut: 1, 3, 6, 10, p, , a. 5n 2 +. n ( 2 maka nilai p dan adalah ... b. $n 1 d. 2n ( 1 a. 1$ dan 20 +. 15 dan 21 b. 1$ dan 21 d. 15 dan 22 13.7iketahui barian bilangan 1, 5, , 13, 1), ...,.....,6. %an#ak uku bilangan pada 6. 7iberikan barian bilangan: barian terebut adalah... ), 10, 13, 16, 1, .... a. 16 +. 18 9uku ke15 dari barian terebut adalah.... b. 1) d. 1 a. $2 +. $ b. $5 d. 51 1$. 9uatu barian bilangan memiliki rumu uku ). 9uku ke-1) dari barian: 8, 2, 86, 80 ,....., ke-n.
8.
9uatu barian memiliki rumu 'n ( 3 n ) 2 maka uku ke26 barian terebut adalah... a. 80 +. )0 b. )6 d. 50
15. >umu uku ke-n uatu barian aritmetika adalah
16. Jumlah 13 uku pertama barian bilangan :1, 3, 5, ), ...adalah... a. 136 +. 150 b. 1$$ d. 16 1). Jumlah ) uku pertama barian bilangan: 5, , 13,....adalah... a. 121 +. 115 b. 11 d. 105
22. /ail dari 2 ( $ ( 6 ( 8 ( ... ( 6 ( 8 ( 100 ' .... a. 2550 b. 5205 +. 2505 d. 2055 23. Gilai D agar D ( 3, 2D ( 1, dan 5D ( 2 membentuk barian aritmatika adalah .... 2
18. Jumlah emua uku pada barian bilangan :6, 11, 16, ....., $6 adalah.. a. 23$ +. 208 b. 226 d. 16 1. 7iketahui 9n adalah umlah n uku pertama barian aritmetika. Jika 93 ' 21 dan 95 ' 60, maka beda barian terebut adalah... a. $ +. 6 b. 5 d. )
−
3
a. 3 −
2
b. 2 3
+. 3 2
20. 9uatu deret aritmetika mempun#ai <3(<5'8 dan <8'0. 9uku pertama deret terebut adalah... a. +. $ b. 5 d. ) 1 2
21. /ail dari 62 6$
a. 63 6$
b. +. 1
1 d.
1 6$
1 +
$
1 +
8
1 +
16
+ ... +
1 128
' . . . .
d. 2$. Hmoeba #ang terdiri ata atu el berkembangbiak dengan +ara membelahdiri. 9etelah 20 menit, Hmoeba itumembelah menadi 2 ekor, etelah$0 menit menadi $ ekor, etelah 60menit men adi 8 ekor, dan demikianeterun#a. %an#akn#a Hmoeba etelah3 am adalah .... a. 512 ekor b. 256 ekor +. 128 ekor d. 6$ ekor 25. 9uatu eni motor mengalami penurunanharga ebear 2I pada etiapakhir tahun. "ada Januari hargamotor baru >p16.000.000,00. /argaual motor ter ebut pada akhir tahunke-$ adalah .... a. >p1$.)20.000,00 b. >p1$.)$0.000,00 +. >p1$.$00.000,00 d. >p1$.080.000,00
