SIS·T EMATIZACIQN,, DEL METODO . DE RIGIDEZ .
Análisis de: - Armaduras Planas - Armaduras en el Espacio - Pórticos Planos - Pórticos en el Espacio - Edificios
Ponente:
lng. Helber Calla Aranda Docente de la línea de Estructuras de la Facultad de Ingeniería Civil - UNSA
"
ANALISIS DE ARMADURAS PLANA CON EL USO DEL METODO DE RIGIDEZ 1.- INTRODUCCION
Se explicará los fundamentos básicos del Método de la Rigidez, para el análisis de armaduras planas , se verá que este método aunque tedioso al hacerlo a mano , es muy adaptable para su uso en computadora . 2.- FUNDAMENTO DEL METODO DE LA RIGIDEZ:
La aplicación del Método de la Rigidez requiere subdividir en una serie de elementos finitos e identificar sus puntos extremos como nodos. Para el análisis de armaduras , los elementos finitos se representa por cada uno de los miembros que forman la armadura y los nodos representan los nudos . Se determina las propiedades fuerza-desplazamiento de cada elemento y luego se relacionan entre sí mediante las ecuaciones de equilibrio planteada en los nudos. Estas relaciones , para todos los miembros de la estructura , se agrupa luego en lo que se llama [k], Matriz de Rigidez de la estructura. Una vez establecida ésta los desplazamientos desconocidos de los nudos pueden determinarse para cualquier carga dada en la estructura . Cuando se conocen estos desplazamientos, las fuerzas externas e internas de la estructura pueden calcularse mediante las relaciones fuerza-desplazamiento para cada miembro . 3.- CONCEPTOS PREVIOS: 3. 1. -ldentificación de Miembros y Nudos
- Se numera los nudos y los miembros de la estructura , para luego identificar los extremos"CERCANO" y "ALEJADO " de un miembro , esto se realiza usando las flechas (Fig . 1) 3. 2.-Sistema de Coordenadas Locales y Globales
- Cada miembro de la estructura tiene su sistema de coordenadas loca les (x,y) que permite especificar el sentido de sus despl azamientos y cargas internas (Fig. 2) - Un sistema de coordenadas global o de la estructura usando los ejes (x,y) especificará el sentido de cada una de las componentes exte rnas de fuerza y desplazamiento en los nudos . 3. 3.- Grados de Libertad - P ra un a armadura existen dos grados de libertad por nudo , de los cuales te nemos grados de libertad no restringidos o desco nocidos y los rados de li bertad restrin gidos .
Por superposición.-
.t. 4
-
m
1
FIG . 1 - Armadura Plana
~3
C2)
6
¡
1Dx1
EA L
1D x k
if= x k-_ EA
1Dxi + EA L
1D Xk
-
-
y ...
if=x 1 _EA
@
1 ~-~
~
L
_
En forma matricial.-
=
- G.L. (Restringidos) (S,6,7,8)
8
-
=
Número de Nudos 4 Número de miembros =6 Grado de Libertad = G.L. (No restringidos) (1,2,3,4) 4
L
1 EA -L- [ -1
=4
7
-1] {~X}¡ 1
¡Ü Xk
~
~--x
{iF}=[ RJ{,o} . ..... (1) 1
Coordenadas Globales
I~
\CD
Alejado
Alejado
\~
~¡r
Alejado ~/
rAlg(,:·l: l L.:!:J b.>'
.
y > ® Cercana
y
v~"
·® Cercano
® Cercano Miembro 2
Miembro 4
Miembro 5 FIG . 2 - Coordenadas Locales
4.- MATRlZ DE RIGIDEZ DE UN MIEMBRO DE ARMADURA 4.1 Matriz de Rigidez del Miembro en Coordenadas Locales [k] Un miembro de armadura sólo puede desplazarse a lo largo de su eje(x) ya que las cargas están aplicadas a !o. l~rgQ_ de este eje . Son posibles do desplazamientos independientes GDxj) y GDxk) .
.,.x (Compresión) /
(Tracció n)
_
1:$. EA ,Dxj
j' EAl/
y'-.!J. [JJ Dx i [
/EA .Dxj L
[,R] = =t
X:
/5xkl
EA
+
?_
EA (.Dxk) L
1
R}
. ...
(2)
=Vector de fuerzas elástica s en co ordenadas locales
{1
=Matriz de rigidez de miembro en coo rdenadas locales
{io}
= Vector de desplazamiento en coordenadas locales
Nota: - Que los valores de 1F x 1 y 1F x k son iguales en valor absoluto , pero son de sentido contrario . - Es suficiente encontrar iF Xk para conocer la fuerza en el miembro 1, además si este valor es (+) la barra estará en tracción y si es (-), compresión .
,_
/EA (.Dxk)
l ''f' l' 'ITJ /'
L
Donde: { _F}
[; -~J
Jt¡>- ,Fxj EA / /
! f"/[j] L-·f
I'
,Fxj
4.2.-Matriz de rigidez de un miembro en coordenadas globales[ 1K] Primeramente
desarrollan~mos
un método para transformar la fuerzas
{ ¡f } y desplazamiento~ t D }en coordenadas locales a coordenadas globales {1F} y {¡O}
1
Relación de coordenadas:
y
Por superposición:
alejado
donde:
.. ® /?? :+ (x,_,yJ
CD ·. ""'·_ . . _e -'-----'-----+ X
cercano
+
,Dyj sene
,Dxk = ,Dxk cose
+
,Dyk sene
exj}
(yk-y¡) ex= cos e=
,Dxj = ,Dxj cose
(x,-:x;) d
[~X
Dxk
Cy
o
o
Cx
:y]
(x,_ -X;)
(X; ,Y¡)
Cy= sen e= (yk-y;) d Los signos algebraicos en estas ecuaciones "generalizadas" tomarán en cuenta automáticamente a los miembros que estén orientados en otro cuadrantes.
{,o} [A ]T{ p}
,Dxj
Pti ,D r< 1Ü yK
...... (3)
J
[ A T = Matriz de transformación de desplazamientos.
Relación de desplazamientos:
Relación de Fuerzas .-
y
l
y
y
®
X
y
y ...
(Y / /e
X 4
Fx ¡
=
Fxk
= lXk cose
1
,Dyk
;/e
ITl
ITl X
/ ,Dxk
sen e.
¡
1
CD
pxk cose /.L-- -
Xk
®
pyj
CD
l
,Dyk s n(
1
1
Fx ¡ cose
1
Fyj
= Fx1 sene 1
,Fy¡ = lxksene
cose
o
sene
o
o
cose
o
sene
-F Xk
8 Fxk cose
[ A ]
= Matriz de transformación de fuerzas . es la transpuesta d
ra hallar la matriz [ K] cada elemento de [ ,K] se colocará en su misma d 1 nación de fila y columna en la matriz [ K] rigidez de la estructura. En partl ular cuando dos o más miembros están conectado al mismo nudo 11t ne algunos de los elementos de cada una de las matrices [ 1K] se n nar n a la misma posición en la matriz [ K] , cuando esto ocurre , los 1 1n nto asignados a la posición común deben sumarse entre sí algebraica
[ A
Combinaremos ahora los resultados de las secciones proced nt determinaremos la matriz de rigidez para un miembro que relacl nn 1 componentes globales de fuerza {,F} del miembro con sus despl a ami ni globales
{P}
Si: ...... (8)
{iF} [A] u=} {iF} [A]{ K} {io} {iF} [ A ]{ ,K }[ A {io} [,K] 1
111
nt .
Ln matriz de rigidez de la estructura tendrá un orden que será igual al número fl e digo más alto asignado a la estructura (grados de libertad total de la str uctura). . Importante luego ordenar si es necesario la matriz [ K] rigidez de la structura , primeramente los códigos que representa los grados de libertad no 1 strlng idos , al final los grados de libertad restringidos, para lo cual Implemente se cambian filas y columnas . Uná vez ordenada la[ K ]esto nos permitirá subdividir.
r
[ K]
=[
~~t~~l] }:
+
-\
n=#nod"
;
1
t- }
eo
p
L
, ,.
''
} 2n • 2n
'-..--' '-..--'
u r u • código gra do de libertad no restringidos. r = có digo grado de libertad restringidos.
...... (5) l,KI
= Matriz de rigidez global de
un miembro
Ecuación de equilibrio
Ordenando los grados de libertad apropiadamente [ K] matriz de rigidez de la armadura se puede plantearla ecuación de equilibrio .
Resolviendo:
[,K]
=~E
cx2
Cx.Cy
- ex?-
- Cx.Cy
Cx.Cy
cy2
- Cx.Cy
- Cy2
- Cx.Cy
ex?-
Cx.Cy
- cy2
Cx.Cy
cy2
- Cx
2
- Cx.Cy
5.-MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA \K) Una vez que todas las matrices de-rigidez de miembro se han expre coordenadas globales, resulta necesario ensamblarlas en el apropiado para poder encontrar la matriz [ ] de rigidez de la estru para la armadura entera . K Primeramente se designa a cada matriz ' r Kl cuatro números de en las filas y columnas, usando para ideflt1ficar los grados de llb globales .. 6
{ F} = [
K] { D}
Es decir:
{i::l} [-t;~t?:Ji] {i::l} =
{Fu}
=
[Kuu ]{o0 + [ Kur ]{ or}
{Fr}= [Kru]{ou}+[KrrJ{or} rd tur do rt.
...... (6) /
:.,.:w:v:·.·.·.·.·.·.........·.·.·.·.·.·.·..·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·•·.·•·..·•.·.·.·.·.·.·.·••·•.·.·.-•••..••·••....................................-•.~¡
{ ou}
= [KuuH {Fu}- [Kur]{or}) 1 ...... (7) ,
,. ................................................................................................................................................................................
ANALISIS DE ARMADURAS ESPACIALES
U onde :
F ~ { Uj
= Fuerzas
externas conocidas aplicadas a la armadura en lugar ( 1, 1111 restringidos).
r} = Fuerzas de reacciones desconocidas en los soportes. {Du} =- Desplazamientos desconocidos en los GL no restringidos. {Dr} = Desplazamientos conocidos en los GL restringidos generalmente igual a c
1.-
{F
' 11 :111cto tiene armaduras tridimensionales estas se pueden idealizar 1• 11 <' I ¡ l:in o o en el espacio esto depende mucho de la geometría de la 1 ·. 1111ct11rn , la forma como se transmiten las cargas, etc. Existen armaduras 1•·.p:1d ll - u neces ariamente deben modelarse en el espacio debido a su u >111po1 tnmi nto estructural , es el caso de torres de alta tensión , tijerales 1 ·.p:1 .1 ;1 1 y otros. Es importante idealizar correctamente una estructura para p11d< J11 ·11 r r sultados confiables para nuestro diseño.
r
Si :
Con estas ecuaciones se determina los desplazamientos desconocidos reacciones { Fr} en los apoyos
{ou}y
l 1: 11 n (: 1an.._ li is de armaduras espaciales o tridimensionales se sigue el mismo p1111 :1,climi nto que para armaduras en el plano, visto en la sección anterior; c1> 11 In dif rc ncia que se tiene tres grados de libertad por nudo , por lo tanto la 111:1111 / (! rigidez de un elemento "i" en coordenadas globales es de 6 x 6 , :r.1111 b in la matriz de transformación de desplazamiento [Ar. ese orden 2 x 6 y:1 q11 1 1 mento está orientado en las coordenadas (x, y, z), pero la matriz d1 11<¡ id ' n coo rdenadas locales del elemento "i" es la misma. Respecto a las 1,:11q:i:> . pli adas a la estructura así como las reacciones y restricciones de los :q 1< 1yo - t rán definidos en tres direcciones (x, y, z).
1·
Finalmente se puede calcular las fuerzas en los miembros:
{ii=} {1R} {io} {iF} {1K} [ Ar {io}
{o}=
conocido por qu e ya determinó { ou}
1
F Xk
ALE [ 1 -1
Cy
o
o
Cx
:y ]
¡Üy j ¡ÜX k 10yk
[;K] =EA
L
:l.-
...... (10)
MATRIZ DE GLOBALES
-1
RIGIDEZ DE UN MIEMBRO EN COORDENADAS 6
® . ··
(+)tracción -----------
1F x k = ALE [ -Cx -Cy
- [1 -;]
•• •
Sóloesnecesarioconocerunvalorde 1Fx k = - 1Fxi
(-)compresión ~
2.- MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN MIEMBRO EN COORDENADAS LOCALES
¡ÜX j
(1~xi l =
INTRODUCCION
Cx Cy]
1Dxk • ¡Ü y k
· ·"'
x·COORD. LOCALES
3
3/ :,_____ 2
Zk 1
En particular si el resultado calculado en esta ecuación es positivo el miembro está n tracción.
~-.._
_ ______
COSENOS DIRECTORES _,__~--~Y
_______.,....-.l lxk Xj
Yk 1 11 lJl llJ I AL EN EL ESPACIO
9
111· , 1 ;1cc i n
Tenemos matriz [A r definida :
[Ar =
donde :
d
=~
Cx=
[
ex
Cy
Cz
o
o
O
o
o
Cx
Cy
2
(Xk - Xj) + (Yk - Yj)2 + (Zk - Zj) (Xk - Xj) d
Cy
{ Fr} = [ Kru ] { Du } - [ Krr ] { Dr} .1 { 1 1 }
= O, d
plazamientos en los grados de libertad no restringidos generalme nte ce ro .:
1 11 1¡ 11111 nl pod mos halla r las fue rzas en los miembros :
2
1
=
(Yk - Yj) d
Cz =_JQ_d
{;F } = [ )< ][ A .. 2
r {;D }
11
x 2 · "2··:t2"ix 6""···sx--r . . . .
luego la matriz [ ;K]
ond
1F,k si (+) tracción ,
Txk (-) compresión
resolviendo esta ecuación tenemos :
CxCy
CxCz
CxCy
c y2
CyCz
CxCz
CyCz
Cz
2
-Cx2
-CxCy
-CxCy -CxCz
cx2
[ ;K]
=
2
-CxCy
-CxCz
-CxCy
-Cy2
-CyC z
-CxCz
-CyCz
-Cz
-CxCz
c x2
C xCy
CxCz
-Cy2
-CyCz
CxCy
cy2
CyC z
-CyCz
-Cz
2
CxCz
CyCz
-C x
Cz
2
2
IV.- MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA [Kuu]
[Kur] n
[ ;K]= [
[Kru]
[Krr]
]
=#
nu
3n x 3n
V.- ECUACIONES DE EQUILIBRIO .Podemos hallar los desplazamientos no restringidos : { Du }
10
=[ Kuu r' ( {Fu } - [ Kur] { Dr } )
11
lhtos de los nudos
METODO DE RIGIDECES ARMADURA C oordenadas y
(m )
(m)
(Tn)
(Tn)
o
4 4 4
5
o
-JO
1
5 10
o
11
,
i
10
8Tn
-
o
o o o o
o o o
5
Restri cciones y X
Fuerzas Aolicadas y X
X
Nudo
Calcul ar los desplazamientos, reacciones y füerzas axiales de la siguiente armadura Datos E = 2. 1E7 Tn/m' 2 Area: de diagonales = l 5cm'·2 Area de las demas barras = 25 cm" 2
-
. .
.
-8
o o o
X
X X X
-
1
1
..-~~~~~~~~~~-...,...,.-~~~~~~~~~~--,,
Datos de los Miembros !VI i mb ru
4 00 m
r
.J
1
1
2
2
K
<)
6
2 3 1 5 2 2 6 3 3
'º
4
5
4 4
1
5
4
6
5 2
7 8
5
11
CDL.1
Arc2
Longitud
(cm " 2)
(m )
25 25 25 15 15 25 15 15 25 25 25
6
1
5
1
5
-
Cx
4
o
6.4 6.4 4 6.4
O. 781 0.7& 1
o
o
o o
1
2
1
'-"
- U:>,; .tx 1.1
}P
91 rr
11
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J
o
J
25
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.)
l~oto 1
-
-
10
V'
Elementos de la Armadura
!'
3¡
2
!
1 -0.625 0.625 1 - 0.62 5 0.625 1
0.78 1 0.78 1
5 5
.
o o
1 1
6.4 4
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Cy
1
1
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-10500
O
10500
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o
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11• '"'1 \I""
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2 IOE+07 Tnlnf 2
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C<.Cy ) • (
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L•
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J 10500 ·10500
-10500 10500
-10500
10500
J
-10500
.J
1 ' 1 .·~.
\
'·
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A•
2 10E.+-07 Tn1m·2
·13125
13 125
Cx , Cy ) = (
Al=[
E•
" 'IHI -1 /
\9 • 7
4fl\IJ '4 /
41J19 47
J
íK ,._
[
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{:: J
0.78
0.78 -0.62
J
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10
1
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J
-062
2399 7•]
2999."8
·2399 .74
·2999.68
·2399 .74
1919.79
2399 74
-191 9 79
-2999.88
Zl99.7•
2999.68
-2399.74
2390 7'
- 1919.79
·2399.7 4
191979
11
(
" 10 .,7
-4919 47
" l íl 47
'1 919.47
J
10
15
K Cx . Cy ) • (
K • (
0.78
0.62 0.78 0.62
14
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J
4919 ¿7
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-4919.47
4919 47
J
0 .62 0 .76
(
J
J
2399.74
1919 79
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·2999.68
-2399 7 4
2999 68
2399 74
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1919.79
2999.68
2399 .7'4
-2999.68
-1919.79
-2999.68
1919.79
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11
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1919.79
12
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VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS
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1
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J
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6. 15JE-05
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O COOé1'00
-2.0SOE-05
7.025E--0:5
3.204E-06
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·1 103E-05
6 15JE--0:5
3 204E-06
8 .161E-05
i' .OOOE-05
7 OOCE
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1 560E.O.
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11
VECTOR DE REACCIONES
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·!OSCO
·1 0500
10500
J
111) . ( Du )
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0.0008 1
11
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13 125
· 1919,79
·191 75
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( 1)1)
J
MATRIZ DE RIGIDEZ TOTAL
K•
1
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J
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8.3196
t
DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS AXIALES EN CADA ELEMENTO
l
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'•"''"º'º
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J
[
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J
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2 1021
o
J. ...
J 4
ºº'
(C )
0.00061 ·0.00006
J
[
o 00065
J
o 000011707J [ 0. 000649605
·O 00059 1TI
u
1
J
2F
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e 39 75
(T)
17
1J,., ,,,•n11 1 11
Elemento 3
¡ '53 ¡
¡ 3F' ¡
=( =[
o o
['~] 0 .00000
J
o
0.0008 1
7.6817
1J
3F =
0.78
3.711 2 -3 .71 12
-0.62
o
o
0.78
J
.d.F
=
[º='] 0.00031
J
371 12
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o 62 o
0.724 1
¡1i' ¡=[
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0 .62
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2.1803
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J
0.78
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o
o
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J
7F
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J
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J
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o
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0.00000
0.00031
(o
000~1404J
0.00000
(T )
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J
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J
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000314044 0 .000389992
0.00000
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-0 ~6 J
-0.00006
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[º~'] -0.00006
J
0.00039
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0.00000
( el
1.0212
0.62 0.78
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J
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-0.00006
Elemento 8
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Elemento 4
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J
0000,; 0.00000
J
0.00065
( 0.000245227] 0,000 141 "11
-0.00059
1e)
19
ANALISIS DE PORTICOS PLANOS POR EL METODO DE RIGIDEZ 1. - Introducción.Toda edificación esta conformada generalmente por pórticos planos bien definidos los cuales fueron planteados en la etapa de estructuración. Durante el amíllsls estructural de la edificación conformada por pórticos, va ser necesario resolver pórticos planos bajo cargas laterales y de gravedad, el m•todo de rigidez no solamente permite resolver o analizar pórticos bajo vanos estados de carga en forma eficiente, sino permite modelar mejor la estructura de tal forma que tengamos resultados cualitativamente correctos. ( Flg. 1)
z
i
DEFORMADA
-7,68
-7,68
Fig.1 Pórticos Planos
~\;CIONES
(D.F.A.)
20
Es importante antes de hacer el análisis estructural de un pórtico definir primero los nudos, según como se subdivide la estructura en sus componentes finitos, para luego definir los elementos o miembros estructurales, observe que cada miembro posee un extremo cercano y alejado de tal forma que se define automáticamente el sistem a de coordenadas local (X; Y: z). Por supuesto teniendo en cuenta la regla de la mano derecha. (Fig.3).
• El sistema de coordenadas globales o de la estructura se identifica con lot;
"J""
(X, Y, Z) (Fig. 2).
....
M•l'r r da R ly dez de un Miembro de Marco •
.', t M11t1l1C d•• Ri g i dez de un Míembro en Coordenadas Locales.
1.1.1 La matriz de rigidez de un miembro estructural considerando la d 11tonna cion axi al y flexión para nudos rígidos hallamos aplicando dl' apla r amientos exclusivos unitarios para cada grado de libertad.
'
EA
l•A
1 --f
9
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17
l@ /,,JJ,:;:11.l SISTEMA COORDENADAS
GLOBALES
~ 18
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L <-
Fig.2 Identificación de Nudos, Elementos y Conectividad
y"
.X''
LEJA..NO
z··
CD
CERCA.NO
®~ CERCANO Flg.4 Desplazamientos unitarios exclusivos
SISTEMA COORDENADAS
GLOBALES
\ Matriz de Rigidez: en coordenadas locales
Figl. Coordenadas Locales Una vez Identificado los miembros y nudos, puede determinarse l os grados de1 libertad de la estructura. En el análisis que sigue podemos tener en cuenta lo,., desplazamientos por flexión y axial, por consecuencia cada nudo de un mhunh r o de marco tendrá 3 grados de libertad, por ejemplo el marco de la flg. 2 tiene 1 n grados de libertad para los cuales los números de los códigos del 1 al 12 representan desplazamlentos desconocidos y del 13 al 18 repn~ vent· no d esplazamientos conocidos que en este caso son iguales a cero.
EA/ L
o o
· A/ L
o o
o.
t,J
12E/ /L 3 6EI / L
o
2
-12El / L 3 6EI / L 2
o 6El/L 4EI/L
o
-EA / L 2
-6El/L 2 2EI / L
o
o
EA / L
o o
o
-12El / L 3 -6EI/L
o
2
12E/ / L 3 -6EI/L 2
o
6EI/L 2 2EI /L
o
-6El / L 2 4EI / L . .2~
• Donde:
o(
= 12EI G.AcL'
G= Modulo de Corte;
G:si___ 2 (1+ y)
V"'Modulo de polsson:
'
Concreto armado •••••••••••• Y• 0.15 E/G = 2.3 Acero Y • 0.30 E/G =2.IS Albañlleria............ v • 0.25 E/G •2.5 !•Momento de Inercia.
J
A= Area axial de la sección. Ac=Area de corte ••••••••••••••••••••••••••• .Ac•
Fig. 5 Relación de Desplazamientos y Acciones en un Miembro Estructural
f ••••••••••••••••••••••••• f = A (Area axial) Ac (Area de corte) El factor de fonna se determina con la siguiente expresión. t- Factor de forma
La ecuación fundamental de rigidez.
F'x¡
Dxj
Fyj Faj Fxk Fyk i=ek
Dyj = (KJ ñei ftxk Dyk ñek
A
-
( F } • [ K ] ( D} .................. Ec. 1
Es decir
t- A p
JQ
2
da
Q=Momento de primer orden. b• Ancho de viga. da= Diferencial de •rea
b'
Donde:
[KJ • Matriz de Rigidez del Miembro. {F} • {D)
Por lo que podemos deducir:
Vector de Fuerzas Elásticas en Coordenadas Locales. Vector de Desplazamientos en CoordenaC*a• Líi~•IH.
=
2.1.2. -Matriz de rigidez de un elemento estructural considerando la deformación axial,.flexión y cortante se utlllza cuando se tiene muros de corte o vigas de gran peralte.
RECATNGULAR
T GRUESA
simétrica los elementos que no se muestran son cero
L 12EI
2
(i + a)L 3 6EI
3 (1
=4
5 6
+ 11)L
Ea
Ea
L
L. 12EI (1+11)/;;3 6El
(2 -
{i ·+--;ie
( 1 + !X)i
6EI (1
+ ~)L
12EI 2
C.UON
PERFIL ALA
f=10/9
Á.a:ial
f=-~-
Fig •• 6 Valores de Factor de Forma para diversas secciones transversales 2.1.3. ·Matriz de rigidez de una viga con partes rígidas en los extremos. Usualmente los muros de corte esün conectados con vigas y para los propósitos de análisis tenemos que encontrar la rigidez de la viga correspondiente a coordenadas al eje del muro. Flg. 7
+
(4 2
TUBUUR
1 • 9 0D"I. f= l. Z
Ea
CIRCULAR
(1
+ a)L 3 6EI
(4
(1
+
Ob11ervaclón s i a(o 12EI I c 2 L 2 GAc toma en cuenta las deformaciones por esfuerzo c ortante, 11í e11ta11 deformaciones se van a despreciar en el análisis entonces 11e pone Igual a cero. Es Importante para elementos peraltados .:on la limitación de acuerdo al reglamento: Pua Vigas simplemente apoyadas si ............d/L~415 Para Vigas continuas sl ................................... d/~2/5 d• peralte L e Longitud del tramo. l..• hipótesis de Navler no se cumple y ellas tienen que tratarse como vigas pared.
L
VIGA. CONSIDERANDO
1
DEJ'OP..MACION P OR
3
CORTE Y FLEXION
Si se van a despreciar los brazo11 rígidos en una viga tenemos:
(
ZON.A
o IJA
FL .. ~t e.L~
rt:>l.
LO TAN TO
d•o
b-: O)
INTINITAMENTE RIGIDA
12EI
simétrica
-¡3[5 6El
?/i
cL 1 +11. Flg. 7 Viga con Brazos rígidos
El (4+a.)-;:¡
6E/ (:r[í
12EI
6EI
12El
- -z.sr
-
P-
c~zfi
( '3/3
El !l'.)
el
6El - ·-,---2 (4
c-/
El
+ 11.) --· el
J
11 simetñc:a
c111
El
6 c1 11
12d
+7'('
+ o: 12J 12J2 ----;:/ + --;;I? + 7f' 4
6 - c 212
-?I' 6
.-'1
12h 2
+711..
2- a
-
12J
12
?i'r
?"P
6J + hb
12dh
--¡¡- + ----¿¡.-- + ¿¡:·
6
E11t• m•triz también se puede utilizar para muros de eorte despreciando la deformación axial pero considerando la deformación por flexión y corte. 12h
4 +a
12h
121.2
- c'I' - ,.>¡"i -,-,- + 7f + 7f
2.1.4. - Matriz de rigidez de biela, aplícable a marcos contraventados o pórticos con tabiques de albañlleria. Fli;.a.
L
Observación si ot~12EI / c 2 L 2 GAc toma en cuenta las deformaciones po..- esfuen:o cortante, si estas deformaclr ~ se van a despreciar en el an•Hsls entone•• se pone igual a cero. Es ¡¡..,portante para elementos peraltados Con la !Imitación da acuerdo al reglamento: Para Vigas simplemente apoyadas si •••••••••.•• d/L,,.4/5 Para Vigas continuas sl ................................... d~2/S da: peralte L• Longitud del tramo. La hipótesis de Navler no se cumple y ellas tienen que tratarse como viga11 pared.
!¡Flg.8 Interacción tabique pórtleo
[K]
=
EA l _.!_ L -1
1i _:!_ 1 1
l
Lo Importante es definir los valore
de E,A y L
Según la referencia.(&) Indica: Para el cálculo de la rigidez lateral en un pórtico con Tabiques ea po.a l bl• Idealizar cada tabique como una diagonal equivalente en compresión. Como resultados de estudios analitlcos en los que se toma en cuenta la Interacción portlco-tabique, se propone que la diagonal equivalente tenga el mismo espesor ( ij, módulo de elasticidad ( Em ) y un ancho (wol. aue el tabiaue. V
Según la referencla.13. Indica: A• Wo. t donde Wo•U4
2.15. -Cuando se tiene rótulas dentro la estructura (flg. 1 O) se puede deducir la matrt1t de rigidez de un miembro considerando este efecto sabiendo que la condición de rótula nos permite afirmar que el momento es cero.
... hinge ...,_
¡''
Mamposter ia can módulo de cortante Gm
1
1
L~---------.~-----
J
Í
1 R1
/
.,_\
p
1 R,
1 R.
a) Pórtico con Rótula lntema
1 R.
b)Diagrama de cuerpo Libre
h
ftg.10 Pórtico con Rótulas
La relación acclones-4esplazamlento para un miembro estructural considerando solo la deformación por ftexlón es:
1
J
u1 (P1) E,l,L
t
u3 (P3) .Pi Pi
Q-~@ (P2) u2
= (0.35+0.25 k) h
Cor\~ A-A
Donde:
·~
·~r.
- .- - · ~
1
Wo
L"'Diagonal.
h= Altura de entrepiso a ejes. k= Parámetro dimensional basado en las rigideces del tabique y Pórtico.
{ Pi P•
(P3) u4
l[ =
3
12E/ / L 2 6El / L -1 2E I / L 3 6EI/L 2
6F.I / L 1
4E 1/ L -6El / L 2 2E/ / L
-12El / L' -6El / l. 2 12E/ / L 3 -6t..l / L 2
1
6El // L L 2El -6El / L 2 4El / L
]¡,,
U¡
u4
Se va encontrar la matriz de rigidez para la viga del pórtico teniendo en cuenta la condición de rotula en el extremo cercano por lo tanto podemos afirmar P2"'0. P2c llEI u1 + 4EI u2 - SEi u3 +2EI u4 L' - L - - _L_2 _ -L--
=O
Despejando u2 y sustituyendo podemos encontrar P1!_!.3 y P4. _ _ _ _ __ k= Ec Ac GmAm
3E/
ü.2 Si:
Ec•Modulo de elastlcldad del del concreto. Ac=Area de la sección de la columna. Gm=Modulo de cortante del tabique. {Gm•0.4Em) Am= Area de la sección transversal del muro.
Finalmente tenemos el área efectiva •••••.••••• A• Wo.t Diagonal ............................................................. = L
-3 u1 + 3u3 - u4 2L 2L 2
3EI
JE /
r"' - T "] + r "•
P, =
3EI
3F. I
J E/
,,, = r"' - r "' + - ,-"•
-J E - 1- - 3 E f 3 E _ I __
P.i = -
] - 111
1
+ - 1-1
11 1 -
r "'
Podemoa re.lacionar las •cciones-4esplazamlento y definir la matriz de rigidez pu'a un mlenbro con rotula en el extremo cercano.
1
112
¡
{f}
3~1 /I'
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- 3EI /t' 3E I /1 2
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o
2
-3EI / 1
-JEl /1 2 3t:J ji
l {"'}
,o,.
11 2 ll ~
"'
Ahora podemos incluir además de deformación por flexión la deformación carga axial y obtendremos.
v··
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e
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u
()
3EI // 1
o
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o
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o
1~· 1111
o o
-3E l /1 1 3EI / 12
o o o
o
u
Desplazamiento Coordenadas l ocales
j
=:> Datos Previos:
L =.JX.:-X¡)"+(Yk-Yj)2
Cx = Cose= (X,-X;)
3¡_;;¡ / l
L1
Por Último si consideramos que la rótula se encuentra en el extremo lejano tendremos: ¡___
)J
EA/ /
o
o
ü
3EI ¡¡J 3E I /1 2
3E I / 12 3E I / /
o
V'c-
'--
-EA//
o o
o -3EI /1 3
o
o
-3E I /1 2
o
f_
-EA / /
o o
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o o
Cy = Sene = (Y·-Yj)
-r:¡
¡--"
o -3EI /!' -3EJ // 2 ()
3EI /1 1
o
o
o o
"1
()
o
,.
2.2 MAlRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES Matriz de Transformación de Desplazamiento
y
(
~ = Matriz de Transformación de Dezplazamientos Elemco19 l
J(X;.Y;) y
e
Desplazamiento Coordenadas Globales
,li",1
Cx
Cy
,D,;
-Cy
,Do;
o
o
o
o
1D.¡
Cx
o
o
o
,D,;
o
o
o
o
o
1:0.¡
,n .. ,n,..
o
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Cx
Cy
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---cy
Cx
o
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o
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,n.. ,n,. 1De.
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Ll {rO.}
{1F} = [[A].T
<..
<.._,. 6x 0
G "' 1
{1F)
[O 1 [A¡j
( ,F} = [T]T {,F)
1
i.p ,
~
[ 1 = Matriz Transformación de D.. pb.zamientos Para el elemento I.
l'l"I r • Matriz de Transformación de Fuerzas Para el elemento I
Donde se cumple (Matriz Ortogonal)
DET [T] = 1 [TJT = [T) -1
llclncionamo.:
(rFJ ~ [T)T {¡D} = [iT] {,D]
[ T] -1 {iD}
= [ll1
(,FJ
[TI hFJ = [TI
[T]·
, 1
hFJ
[ll [rD}
hDl = rrr LDI 1
1 {rD} = = [T)T {;Ii} Mllrril •le ri~idcz en Coordenadas Globales: i:
Matriz de Transfonnacióp de Fuerzas
Luego:
l1KI
Mlli.riz de Rigidez en Coordenadas Globales del Miembro J.
l'odrnrn s r-c'.'!Olvcr la tcuacion anterior : 1'•11' n111101li1fad
=
1F •J
=
1Fyj=
F,1 Cos0 =-;¡,, ;S•n0
1
(0 ./ L)C 2 l-( 12E l / L 3 )S 2
;i,J Sene ~FyJ cose
Cx
J{r~, } O
1Fn
O
J
1 91
1
1
F,J } ,F,J {
rFo1
[Cx Cy
O
C=Cx y
-Cy
F
1}( 1, ''""
S= Cy y trabajando con la matriz de la seccion 2. 1.J
( EA / L )SC -(l 2El / L 3 )S C
- (6E/ / L 1 )S
- ( E A/ l )C 1 - ( 12E l / L3 )S2
- ( E A/ L )SC + ( l2E l / L3)SC
- (6El / L 1)S
( EA / L)S2 +( l2E i / L 3 )C 2
(6E l / L 1 )C
- ( EA / l )SC +(12E I / L3 }CS
- ( EA / l )S 1 - (12E I / L 3 )C 2
(6EI / l 2 )C
4El / l
(6E/ / l 1 )S
- (6E/ / l 2 }C
2EI / L
(EA / L)C 1 + ( 12El / L 1 )S 1
( EA / L )SC - ( 12E l / L 1 )SC
(6E/ / L 2 )S
(E A/ L\S 1 +12(E i / L; )C 2
- (6El / L 1 )C
symmetri c
4 EI / l
>
rJ
Matriz de Rigidez de la Estructura Una vez que sehan encontrado las matrices de rigidez de los miembros, debemo en. ambl r ltr• en la matriz de rigidez de la estructura [K] . Este procedi miento depende primero en coni er la po 1c1 rt de cada elemento en la matriz de rigidez de miembro. Al respecto recuerde [ KJ . los renglones y lurnr 1N se identifican por J números de código en el extremo cercano y tres en el extremo al ejadr Por lo tnn1 0, ,, \ ensamb lar las matrices de cad.ad elemento, debe colocarse en ia misma posición de la matriz [KJ Cuando varios miembros se conectan a un nudo, ellos tendrán la misma posición de la ma1rir. 1' I y por Jo tanto sus coefi cientes de influencia de rigidez de miembro deben sumarse.
("/'/
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Alejado
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K12
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Nudos Conectivos
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1
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K11 12
K111
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11
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Nudos Conectivos
12
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K1111
K1212
K121
K110
K111
K112
K11
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K,
K210
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K112
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K
2
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C11 )
CD
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r osih l ensa mblar por sus nudos conectivos, el procedimiento es mas sencill o:
3
2
Nudos ú mecrivos K,s
[ ¡,c., ¡,c,.J®
Alejado
(2)
K....
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Alejado
©
]¡
4
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Grados de Libertad (Ubres - Restringidos)
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®
7
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K.2
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K¡1
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K1s
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K13
K2•
K2)
K16
K11
K22
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K3,
K3)
K3G
K31
Kn
K,3 3
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[1C1 1J
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1[Cit) 2(C31]
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3
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1[C22)
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o
3
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4
C.1.t ~ ,· ( ht rl· n In rno1 ri1 de rigidez t otal de Ja estructura, la cual se tiene que ordenar según Jos grados de \1\in 11.. 1(lr br ·s rcstrin •idos). En el ejemplo tenemos:
i)
+---- Se ha camhiadao de columna l 2 3 12 4 5 6 7 8 9 10 11 2
12
Se ha cambiado de fi la
4
[K]
=
,F\,.
5 6 7 8
,I·,.,.
•
9 10 11
_,,
-e:> ( •
,,,..
Finalmente se particionao y se define:
u
R
~
,--A---,, 4 5 6 . . . 11
1 23 12
• •
<'o(Jrdenadas
<,"fo/111/,.~
n u
[ K uu]
!XuRJ
lKRu)
(KRR)
(KJ =
i}
R
11
Ecuación de Equilibrio de Nudo Total de la. Estructura En una estructura se yiene n nudos, se plantea 3 ecuaciones de equilibrio por nudo. Las acciones que actúan en un nudo son: Depende de las rigideces de los miembros estructurales Depende de las Cargas Nodales Carga de Empotramiento Perfecto
(,F} =
{1rJ}
=
[1Cu] { 1DJ} + (1CJK] {tDx} + {1FiE}
(,r K) = (rCKJ] { 1DJ} + [1CKJ<] (1DK} + {1FxE}
I' \t
r- M
P-M
1
P• l
P=l
I'
111 11 ·1
1
l' 'ilil11111 '" ' ,. ¡ 1111
e udo
I¡¡ '' ['''
(KRu] (De:}+ [KRR) (DR) = (FNR} - (F\}
La resultante de la sumatoria de las acciones de extremo que concurren al nudo "P".
1FXP + 2FXP + JFXP } {Fr}
=
L
Fyp + 2Fvp + JFYl'
[F]
1
{
1Fep + 2Fer + 3fer
r-1
1{ ·"' R) • [.K. u] (D u)
Que corresponde a os Gradm de Libcrffltl
~
J)
11uk :
T
[KRR] (DR} +{FER} 1
( FNR} = Cálcu lo de Reacciones de la estructura. (Dn) = Desplazamientos en los grados de libertad restringidos
11> J P-2
3P Se deben equilibrar con las acciones ex1emas
(fpN} - (Fp} =O
L ·•o :
(DR) = O 1
(F"R l = [KRu) {Du) +
{F\}I
Solu.-i ón: Calculo acciones locales en cada elemento
{rD } = [1T] (iD)
(FrN} = {Fp}
Podemos generalizar para toda la estructura, ordenarmos según los grados de libenad de la estrucn1m. Q b•c n
L {Fp"} = L {Fp} P-l
P-1
Ordenando en la Est ructura Total:
{Du} =[Kuu]-1 ({~u) - {FEu) -[KUR] {!}¡¡) )
Donde :
{Du} =Desplazamiento de N udos libres en grados de libertad No restring ido s
(FNu} =Acciones directas en los nudos libres
{F\1) =Acciones de empotramiento (Sumar miembro con miembro)
38
METODO DE RIGIDECES PORTICO (J )'111t k11l1 · · · · lll ~ 11 los dcspluamientos• reacciones · DFN · DFC .y DMF Y de J s1gu1ente port1co I·
11:7 fn/ m" 2 A - O.OJO m"2 1 - 0.00012 m" 4
t 'o h1111111s
V1 11.
A ~
0.008
m"2
1= 0.00025 m" 4
4.50m
6 .00m
EJEMPLOS
11 13
9.00m
9.0ürn
ESTADOS DE CARGA
0.7 Tn
l 1B
41
Da tos d e los nudos
,.
OOOJ 12
,., X
Nudo
y (m)
1
(m)
1
• •• •
1
1
1 2 3 4 5
9
10.5
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18
6
o
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18
1
Datos de los Miembros
Miembro
J
1
K
1
1 2
2 1
3 4
4
2
3
5
1 1
3
A rea (ffi A2)
Inercia (m A4)
0.008 0. 008 O.OJO 0.0 10
0.00025 0.00025 0.0001 2 0.00012
!1 Longitud
Cx
Cy
1
(m)
1
-
10.06 10.06 6 6
0. 89 0.89
0.45 -0.45 1 -1
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1043.50
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16695.97
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78
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Fuerzas en coordenadas locales
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D.M.F. PRIMER ESTADO
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D.F.A. SEGUNDO ESTADO
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D.F.C . SEGUNDO ESTADO
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DEFORMADA SEGUNDO ESTADO 108 50
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D.M.F. SEGUNDO ESTADO
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11 B
METODO DE RIGIDECES PORTICO CON BIELA
Datos de los Miembros llld11I d ~ dns1i cidad del CºAº 1) 00 " f"c (Kg/cm" 2) 15 00 " 2 1O• 2 17370.65 Kg/cm" 2 l 'c • 17 "6 Tn/ m" 2 2.0E6 Tn/m*2
t' · I· ·
Calcular los desplazamientos, reacciones, DFN, DFC y DMF y del siguiente pó rtico co n biela Vigas 25 x 40 Columna 25 x 25 De Cº Aº f c = 21 O Kr/c m" 2
=
Vit:"s ( º Aº) O_) x 0.40 = O. 1O m* 2 1 0 2 x0A0" 3 /1 2 = 0 .00 133 m" 4
1\
Cot1111111u (Cº Aº) A _ x 0.25 = 0.0625 m*2 2 X Ü 25" 3 /J 2 = Ü.00033 m" 4
J .O m ll ir l:i (Tabiquería)
''11
500 f" m Mo1tc1 0 1 4 Lad rillo T ipo IV ~ fm = 45 Kg/cm" 2 I· a O x 45 Kg/cm" 2 = 22500 Kg/cm" 2 1'a 2 25E5 Tn/m" 2
5.00 m
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5.00 m
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QJ
1) · d ndc tenemos q ue wo = 1.82m
~ 10
S· Wo Wo 9.00m
(m) 1
o
2
5
3 4 5
10
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1
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J
s
J J 3
K
A rea
(m " 2\ 1 2 4
y (m)
d = " ( 5" 2 + 3"2 ) = 5. 80m
1.50 x 0.25 = 0.J75 m" 2
'
Coordenadas
X
Nudo
=l.60m
el 1ngº San Bartola me
Lll t
>1\
9.00m
Datos de los nudos
128
L 1 13 .
,'<.
O 25 m (espesor del tabique) ( O 5 f 0.22 x A) h h: altura f..= Ec x Ac / ( Gm x Am )
6 1
2 3 1 2 3
s
0. 1000 0.1000 0.0625 0.0625 0.0625 0.3750
1
Iner cia (m" 4)
Longitud (m)
Cx
Cy
0.00133 0.00 13 3 0.00033 0.00033 0.00033
s
1 1
o o
5
1
o o o
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3 3 3 5.83
1 1 1 O.SI
o 0.86 1
1
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Reacciones
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( FrN) = ( Kru) X ( Du } + ( Krr ) X ( Dr } + ( FrE} { FrN )
1 11111 1 .1~.
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{Frn} =
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·5.6775
F11
03490
F12
-9.5707
F13
5.574-4
F 14
0.3929
F'15
-O 2189
F16
0.1031
F1i
O 3548
F18
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9.45E--04 3.43E-07 -4
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1.00
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Desplazamientos en coordenadas locales para cada elemento
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178
5r
METODO DE RIG IDECES MlJ RO DE CORTE
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d ·splaza micntos, reacciones, DFN , DFC y DMF y del sigu iente pon ico con muro de cone y
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2
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Datos de los nudos Coordena das Nudo
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1
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2 3
5.25
4
5.25
o
o o
Datos de los Miembros
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·'
K
3
1
1
2 4
2
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Inercia
Longitud Cm\
Cx
l m '' 4)
0.50 0.14 0.08
0.2604 0 .005 7 0 .00 11
4 .00 5.25 4 .00
o
D.M .F.
1
1
o 1
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Cy 1
1
o
1
-1 1
1
198
s
Elemento 1: MURO DE CORTE A %
0 .5
m•2
=
2.604 E-01
m••
2.00E +06
Tnlm"2
8 70E+-05
Tn/m"2
1
E ,. G
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[
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1
[
J:]
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• =
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o
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~ . 48
93984 96
9396".96
318178.2581
o o
-613984 .96
57761~59 1 48
·250000
o
o
250000
o
o o
-48992.48
-9398-4 .96
48002.48
93984 .96
5ns1 .59148
o o
•o
8
1
2
-93984.962-4
-46992.4812
o
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o
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-1
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7
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1.00
] {: :1
~ o o
L= Cx , Cy )
m'2
0.<1167
Aw=
J =( K=(
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""""'6992 .4812
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o
-250000
46992.48 12
o o
o
o
250000
-~
57761°59148 93984.96241
o
sns1 .se148 9398<1.0024 1
318178.
3
93984.96241
318178.2581 9396-4 .9624 1
o
3984.9624
-939114 .96
-93984.96
o
318 178.
Elemento 2: BRAZO RIGIDO A= 1
=
E=
0.14
m•2
0.0057
m'4
2.00E+06
1
l
:
L=
:::
t .25
J '[
1.25
~
[~j=
o
- [ 21'3 75 4.?Hl.5
1143333
-"4287 5
5716 67
<3 75
..J.287 5
K=
1 -6967 1875
-214.3 .75
-8267 1875
2H375
-( 267 5
-J'287 5
11"43333
11076~
11076.0.J
K=
'2
(a] j
•
o
j
2143.75
6967. 1875
-2 143 75
"4 287 5
2
6967 1875
25501 .69
-6967. 1875
1107604
3
·21'3 75
..f!Siol 1875
7O
o
70000
0ClXJ
-
1
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o
-21 43.75
25501 69
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1
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FUERZAS COORDENADAS LOCALES
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93964.9624,
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UL
0,8 D.M.F.. DEFORMADA
••
METODO DE RIGIDEZ PARA PORTICOS EN EL ESPACIO
1. - Introducción.
Uno de los ·pasos m•s Importante en cualquier análisis es el proceso de fonnulacl6n de un modelo de la estructura real, susceptible de un tratamiento matem•tlco relativamente sencillo, este paso consiste en una cantidad de idealización y simpllftcaclones de la Intención de reducir el problema. Alguna de las idealizaciones tratan directamente con descrtpclones geométrtcas de la estructura real, siendo esta una de la más Importante. SI bien tenemos edificaciones que son trtdlmensionales, muchas de estas se ldeallzan en el plano para su anállsls, pero algunas veces esto no es posible ya que tendremos resultados no muy confiables por lo que se necesita tratar el problema en el espacio es el caso de edificaciones sin diafragmas rígidos, estructuras Industriales, etc. (Flg.1).
••
. .
M .llrlr ,,.,
1 n •• fly .2 • • muestra un miembro de un pórtico espacial con sus doce • 11011l•n•rl•• nodales numeradas consecutivamente la convención adoptada • nn•l•te en numerar primero los tres desplazamientos lineales del primer nudo v 111 •11 0 lo• tres desplazamientos angulares del mismo nudo, para después • nnllnu•r c on los tres desplazamientos y los tres desplazamientos angulares rlel ••uundo nudo. Las dobles ftechas de la figura Indican las coordenadas h•nal•• , mientras las coordenadas de traslaclón ae Indican con solo una
"''ª' "••h•.
• •
\b.u:o e"uucmr;,il prul(t fl~I : rc'> is1 r car{: u V('fl it-:llc:'
Rlgld6z d• un Ml•mbra •n Coordenadas Local••·
y
/
P, . ~.
z
Flg. 2 Miembro en el espacio relación de desplazamiento y acciones 1 a matrii. de rigidez en coordenadas locales para un segmento de viga de un 1uut1c o ••paclal sé optlene aplicando desplazamientos exclusivos unitarios para c ada grado de libertad. Se estudiara el caso más común para elementos doncle •• considera solamente las deformaciones por flexión, axial en dos pleno• y torsión con respecto a su eje. Es posible aftadlr el efecto de deformecl ón por corte.
' lat rnlcs. • • fiiC¡.l_;:¡
CU r!30{(
!:"~~ f :::...
Un miembro &cncral d(' nui1co rr:-. ,1 r do( f ucr t.as c0f1:i.nt~. un~ (ucrn a., i:il, d0,
ll'k>m rntos i..lc íl1.::.iñn )' uno di." torsión
~
a) Pórtico Tridimensional
Tor"6n
Fluoo n
4
o o
o
/'¡ \ / /
1 11: 1,¡ 1,1
l \ 1n: :r-a\ cn1co d•:iFonal: rr o ;"•·.x~inn a fll! iJc t
i_¡; 11 / L
1~m~ .~ 11 d1r.;1 l.
o o -6E l 1 / l}
Glx / L
menor
o 4E l 1 / L
b) Estructuras Industriales
o
Flg.1 Estructuras Trldlmenslonales
•
o o o
o o EA / L
.
J'
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o
6EI,/L 1 2
o
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12 EIJ L 3
o
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l2E 11 / L 3
2 E I, / L
o
o o o
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o o o o o
6El 1 / L 2
GJ J L
o 41:: I1 / L
o -6El, / L1
o o o 4E lz/ L
.......... ly,h
1
•
o o o o o -EA / L o 6E l:/ L 2 o o -l 2E l, / L3 o o - 12E l 1 / L 3 o - 6El 1 / L2 o o o o -GJ, / L o o o
6El, / L 2
4E /:f L
prinl.'.ipal
El método de rigidez para el análisis de pórticos planos presentado en la sección anterior, puede fácilmente ser extendido al anilllsls de pórticos en el espacio. Mientras los pórticos planos tienen solamente tres grados de libertad por nudo, el pórtico en el espacio tiene un total de seis, tres traslaciones en las direcciones x, y, z y tres rotaciones con respecto a estos ejes. En consecuencia un elemento de viga de un pórtico espacial Uene en sus dos nudos un total de 12 por lo tanto la matriz de rigidez de un miembro seril de 12x12.
o o o
A
Momento de Inerci a de la sección transversal con respecto a los ejes y. z. •L. un 11 lt,11d . Ar • • •
.• ..... • .. .•• .... •. •. •• . •• •.. •... •• .... •• ll
E= Modulo de el asticidad. lx= Momento de Inerci a torsional. (Ejemplos)
it-:;rt
.d-+
+---
o o •J ~ H+
lx=
~
be= n(D'"· d'") 32
32 CIRCULAR
TUBULAR
lx= ht3 ( 1-0.63t/h+0.052{tlh) 5 )= 13 ht3
-3-
--3
RECTANGULAR
Deacuerdo a la formula para secciones rectang ulares podemos determinar el siguiente cuadro. Valores de 13 hit
hit 2.5 3.0
13 0 .422
1.0 1.25
0.539 0.517 0.643 0.687
1.5 1.75 2
3.5 4.0 4.5
13
Hit
13
0.748 C.79 0 0.820 0.842 0.860
5 6 8 10
0 . 874 0.895 0.9 21 0.937 1. 00
00
3.- Matriz de Rigídez para un Miembro en Coordenadas Globales.
3.1 Relación de Desplazamientos. Para el nudo j se puede relacionar los 6 desplazamientos en coordenadas globales con locales del elemento l.
{D}•[A] j
Cf l
=
$
{D} •••••••••••••••••••••••••••••. (1) J
Cos ax Cos ay Cos az Cos bx Cos by Cos bz Cos ex Cos cy Cos cz
o o
o
o o
o
o o
o
o o o Cosax Cos bx Cos ex
o
o
o
o
o
Cos ay Cos by Cos cy
o
Cos az: Cos bz: Cos cz
• • •• •• • • ..."' •., • w
.. ... .. .• ....
• ... "'
\
1
x-y phme
\
'1
''
X
\
K
\
''
b)
a)
a) Localización del Punto K
Flg.J
b) Producto Vectorial
M• ( >
K• (
1 ¡uoduc to
Z: X x K
vectorial
tenemos ............. ( Zx,Zy,Zz)
I ".,(Y R· Y Al(ZK-ZA)-(ZB-ZA)(YK·YA) 1
v• (l. R-ZA)(KK-XAHXB-XA)(ZK·ZA)
l
1
(X B - XA)CYK-Y A)-{YB-YA)(KK·XA)
1 lt
!U
,.,.,
Y/
1 J1
z
"X
L32• Zy/Z
L33• ZzlZ
tenemos ...................................... ( Yx, Yy, Yz)
y,.¡y
L23=Yz/Y
llonde r • sulta Yx= L13L32-L12L33 Yy= L11L33-L13L31 Yz= L12L31-L11L32 t ln•hnen(• definimos la matriz de rigidez en coordenadas globales • T
= [T]
[K] 12x12
4
I • 1111c-/onntr de
12x12
[
K ] [T] ...................... 12x12
(5)
12x12
Equí/ibrlo.
• 1• •111 • ni 011.a amblaJe de la matriz de rigidez para luego plantear las
• • ••• • •un•• de equlllbrlo total de la estructura y determinar los
••••111•1 •n•
•ntoa ~
·1
N
I!
(Duj {l
(6)
Donde: 1~
Cos ax = Es el coseno del ángulo formado Dxj loczl con Dx,i global Cos ay Es el coseno del ángulo formado Dxj local con Dyj global Cos az: = Es el coseno del ángulo fonnado Dxj local con Dz:J global
reaccion es
=
I!
(f",,):::¡ ( K11u ] { Du} +[KAR ] { 0111} + {Fit}
Cos bx = Es el coseno del ángulo formado Dyj local con Dxj global Ces by = Es el coseno del ángulo formado Dyj l ocal con Dyj global Cos bz = Es el coseno del á n gulo formado Dyj local con Dzj global
l1oulo de acciones en cada miembro.
=
&os ex Es el coseno del ángulo formado Ózj local con Dxj global Ces c y = Es e l coseno del ángulo formad o Ózj local con Dyj global Cos cz: Es el coseno del ángulo fonnado Dz:j local con Dz:j global
I!
F}
=
, k del
Así mismo la relación de los 12 desplazami entos tanto del nudo miembro 1 tenemos:
{._D }= ['[ l {,_D} •••••••••••••••••••• (2)
si •••••••••••••••• [TJ=
íAJ j_ [O} [O)
[
1
[AJ
......................... (7)
J
= [ K ]{ D} + { F }
••••••••••••••••••••••••• (8)
l i•mplo de Aplicación: s ... va anallzar el pórtico rlgldo tndhnenslonal de la figura 4. Donde las propiedades de los elementos son:
11
3.2. - Relación de Acciones.
membcr 1
1.06 psi,
¡; -
X
\ 0 6 psi,
T
Para el nudo j
•••••••••••••••••••••••••••••••• {.F}=[AJ '
(F}
¡
. 4 111 •
.............. (3)
z
J
1, - 8_. 8 in'' , T
Para el elemento 1 •••••••••••••••••••••••••••••••• { F }= [ T ] ¡
'
{
F}
s
................ (4)
Cos ay= L12 Cos by= L22 Cos cy L32
=
Cos az Cos bz Cos cz
!.12= (YB-YA)/AB
L 13= (ZB·ZA=/AB
Trabajando en forma vectorial estos tres valores representa al vector X, faltaría definir los vectores Y y Z que representan por supuestc {!..21,!..22,L23) y {!..'.!1,L32,L33) respectivamente. Con ayuda del punto K (Xk, YK, Zk) localiudo en el plano X Y. Ver Fig.3.
1\
7.08 in2 .
l¿
membcr 3
Fig.4 Pórtjco Tridimensional
=L13 =L23 =L33
i. or-den:adas de los nudos:
'
1 ....... 180,
0,180 u do .2 ••••••• o, 0,180 1do J .... ... 180, 130, 180 ufo 4 ....... 180, o, o u do
Todo elemento o miem!3ro estructural esta definido por un extremo cercano ( XA,YA,ZA) y ( XB,YB,ZB) como extremo alejado luego tenemos: L11= ( XB-XA)IAB
ü.3
mcmber 2
ft-5'"
X
Si definimos a los cosenos directores por:
Cos ax= L11 Cos bx = L21 Cos ex= L31
in',
.f
41
1 1~
'ª
Conectividad de los Miembros
Miembro
Nudo A
1 2 3
f'lg. 5 :.e puede observar cada miembro de la estructura 1lnflne al vector K :auxiliar.
1 1 1
NudoB
2 3 4
donde también
•• Member J X X
•j
¡I
(180,0,0)
,
y
(0,0,0)
=
l11 • o L21 • O
L12 1 L22 •O
L l1
L32 z O
L13= O L23= ·1 L33= O
L12 =O L22 •O L32 • 1
L13= -1 L23z O L33• O
-1
Mlernbro J
R
~
Mlenbru 2
L11 • O
• (0,0,0)
Fig5. Miembros Estructurales
L 21• -1 l:\t
o
X
A o onllnuaclón apllcando la ecuación (S)podemos hallar la matriz de rigidez de c, ada elemento en coordenadas globales para determinar los esfuerzos en cada elemento solo trabajaremos con los grados de libertad no restringidos
La matriz de rigidez en coordenadas globales para cada miembro. Miembro 1
T
XA=180 YA =O ZA=180
XB =O XK• O YB= O YK=O ZB =180 ZK= O
[K] 12x12
Modulo AB"' 180
1 L12= (YB-YA)IAB
L12= O
L13= (ZB-ZA=/AB L13= O
•••••••••••••• O
Zy=(ZB-ZA)(KK-XAHXB-XA)(ZK-ZA)
.............. e -(180)2
SI él modulo de Z
1140817
............... •
(180)
2
o 1092 • 4941
=
Zx=(YB-YA){ZK·ZA)·(ZB·ZA)(YK·YA)
Zz•(XB·XA)(YK-YA}-(YB-YA)(KK·XA)
[K] [T)
12x12
12x12
12x12
Miembro 1
Luego. L11= ( XB-XA)/AB L 11= ·1
= [T] u 3
o o o
slm
4
5
o o
o o o o
444887 21881
53380000
8
o
1
-18278
2 3 4
o o o 11793333
2
5 8
l
u
J
• (180)2
Mlembrn 2 L31= Zxl Z =O
L32• ZyfZ&..1
u
L33"' ZzfZ•O
1 Finalmente tenemos Donde resulta Yx= L13L32-L12L33 •O Yy= L11L33-L13L31 •O Yzo: L12L31·L11L32 "'-1
donde el modulo Y = 1
.•
1012
2
3
4
5
6
o
o o
o o
o o o o
-98278
1140667
4941 sim
444667 53380000
221881 L21= YxfY =O L22=YyfY •O L23=YzfY•·1 Con el mismo procedimiento podemos hallar
o o o o
11793333
1 2 3 4 5 6
l u
j 11
Miembro 3 1
u 3
2
4941
o
o
1092
o
4
5
o
8
-444867
o o o
-98278
1140887 o 11793333 53380000
sim
o o o o o 21H1
1 2 3 4
5 8
1
u
1
Trabajando solamente con los grados de libertad ni restringidos puede determinar fácilmente la matriz [ Kuu ] y aplicar ecuación (S)
-1
N
• •• •• •• •• • •• •• • •• •
. .• .
l
· ·~
&
'' '
'J \
14
l rl
.
111
11
,
f'll
f10
111 112
:r
-20411 -2047 0.73 -0 -27 -118 -245950 2046 2<>47 -0 .73 0.27 -44 -122577
21)47
~u"" / ,. .73
-
1 88
-
2046
~-
_47/ ,
.
1.23
/
~~
........
100.3
1
1
.27 2044
2-4S949
~'m ¡ ~-
H2
j UJ
14'4.2
.16
Fig.6 Acci ones en el nudo 1
I!
{Du}=[Kuu) ( (Fu} -{Fu} [Kur ) (Dr} )
••
•• •• ... •
stlt
{Ful"=
[49iooo J ¡:~ ~
I!
(Fu) =O Porque no hay cargas sobre los miembros. {Dr} O Porque no hay asentamientos en los apoyos.
=
Ahora podemos hallar los desplazamientos. U1 U2 U3 U4 U5 U8
0.001794
o •
-0.001792 0.000012 0.004624 0.000007
::r
~
A
I!
11
= [•K ]{D} + ( F} s s
. .. ..,.... ... .. . • ....
Fin•lmente hallamos las acciones en los elementos aplicando la ecuación.
( F}
.. liiF
donde •• {
F) = O s
Solo presentamos los resultados del miembro 1. El resto se muestra en la flg. 6
,,.
••
n
•• •
1
., • ...• •
.. -"" ..... .., . ""' .... f'!
F
..
... ....
/\N/\I 1:;1s
TATICOSEUDO-TRIDIMENSIONAL
1) ll i¡1otP<. h dí'/ Analisis Seudo Tridimensional_ .
1 l 1111 1il 1· lo "0 11tlo-tridime nsional se basa en las siguientes hipótesis: : .i 1po111 :i In o:;lr uctura como un ensamble de pórticos. Dado que las rigideces •I n 1.. 1d 1 pó 1tico e n s u plano son mucho mayores que aquellas en la dirección 11 .111.,v1•1.,:i l. o ·t;i s últimas se desprecian. Igualmente no se consideran las 11 1doct ·. torsionales de todos los elementos . Los pórticos se suponen l11t 1111.t H1 octados so lamente por las losas de entrepiso , que actúan como d l. 111 .1q111a:. infi nitamente rígidos en su plano. Como consecuencia, no se 1 1>11" d1 ·1 a11 fo rmaciones axiales en las vigas , es decir se supone que en • .1t1.1 po1t i ·o, todos los nudos de un piso tienen el mismo desplazamiento l111il;o 11t nl.
u
1 " 1 1111I Jlú 11 hJ bitu al despreciar las deformaciones de corte en las vigas, • 11 •:111111 ;1·.1 on los elementos verticales (columnas o muros de corte) para I• >'· • p11 :;iJ co n id eran deformaciones de flexión, axiales y de corte . : .1 1111 · .1 1:011 id eran las componentes horizontales de sismo. La no inclusión fi n l:i compo nente vertical se justifica por tratarse de una acción cualitati-
v.11111 111 · similar a las cargas vertica les habituales . Si bien es cierto que las l1 ·1;1d o11 verticales del sismo producen incrementos (o decrementos) en 11 1" • fl ·i:tos ti bid os a la gravedad , se trata de acciones de muy corta duración, po1 u 1 l;1:. q11 t odos los materiales muestran rigideces y resistencias mayores q1 1• lw . q11 ti enen para cargas de larga duración. . 11 •
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~· J l '111cl'd/111iento del Análisis Seudo-Tridimensional
1111 1 ~ 1 " l11p J I ~ 1 d escritas en los párrafos precedentes se plantea un modelo 11111111H 11:1i co 11 trc g rados de libertad por piso . Este análisis se denomina ·. 1111111 1 11 1ll1111m ~ 1 nal por que gran parte del trabajo se desarrolla con modelos il• 1 p1111 <'.o·, 1 l<111os y sólo se consideran los aspectos esenciales del 1 11 1111 11 111 :1111 1J11t o trid imensional. El proced imiento se describe a continuación : 1
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1 111111.1 1111111()1:1 IJpa se consideran separadamente los pórticos planos que 111 11 1111 111.1 111:1<' lructura. Para cada uno de ellos deben obtenerse la matriz de 1 11lil11 1 1.11 01~ il - IJ es un a matriz que relaciona fuerzas y desplazamientos l 11111 :11 11 1. d1.. , 1 1p1 o d imi ento habitual para determinar la matriz de rigidez
lisis d lo pórti cos planos deben considerarse los grados de s el d s a los desplazamientos horizontales en cada nivel y los Ir s y desplazamientos verticales de cada nudo (Fig. 1_ ). En uponerse que el desplazamiento horizontal es el mismo nudos de un piso. lo que equivale a afirmar que la xial de vigas y losas es poco importante.
lateral consiste en ensamblar primero la matriz de rigidez del pórti co co n má grados de libertad y luego eliminar los grados de libertad que no corre spond n a los desplazamientos laterales, utilizando un procedimiento de''cond ensación estática". La hipótesis de losas infinitamente rígidas en su plano permiten conden sa r más el modelo. Por un lado , en cada nivel el desplazamiento horizontal de cad a uno de los pórticos puede relacionarse con tres componentes de desplazamiento que definen el movimiento de la losa. De otro lado , l~s fuerza s actuantes en cada uno de los pórticos en un nivel pueden deducirse a una resultante (con dos componentes), y un momento equivalentes en un punto arbitrario (típicamente el centro de masas) de la losa (considerada como cuerpo rígido) . Se puede entonces expresar las ecuaciones de equilibrio de cada pórtico en términos de fuerzas y desplazamientos en el punto de referencia (centro de masas) de cada nivel. Este proceso es un caso particular de "condensación cinemática''.
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Las condensaciones estáticas y cinemáticas permiten obtener una matriz de rigidez para el modelo seudo-tridimensional, con tres grados de libertad por piso.
Un paso importante del análisis es la definición del modelo para la estructura. Los grados de libertad considerados en el modelo deben permitir: - Representar todos los efectos de importancia. - identificar directamente cualquier grado de libertad de los elementos con un grado de libertad de la estructura .
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Si en cambio se requiere un análisis dinámico , deben definirse primero las correspondientes masas y amortiguamientos, se resuelven las ecuaciones diferenciales de equilibrio , típicamente por superposición modal espectral.
3) Determinación de la Matriz de Rigidez Lateral.
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Si el análisis se realiza con fuerzas estáticas equivalentes basta entonces resolver un sistema de ecuaciones algebraicas para determinar los desplazamientos de las losas en cada nivel.
A partir de 1a·s componentes de desplazamiento de las losas en cada nivel se sigue un camino inverso para obtener los desplazamientos en cada pórtico (con las mismas hipótesis usadas para la condensación cinemática y calcular las fuerzas que actúan en cada pórtico y en cada nivel; y si se quiere hallar los desplazamientos en cada nudo se utilizarán las expresiones de la condensación estática., para luego determinar sus solicitaciones internas . Es importante notar que al resolver el problema por descomposición modal espectral todo este proceso debe repetirse separadamente para cada modo , la combinación modal sólo debe hacerse como etapa final.
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FIG 1 MODELO PARA EL ANALISIS DE PORTICOS PLANOS .
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ya los grados de libertad para un pórtico p~a~o. se_ analizarán las d rigid ez de los elementos integrantes del port1co (vigas, columnas d orte) .
as. una viga de eje recto y sección constante, la matriz de rigidez se f cilmente . sustituyendo valores en expresiones conocidas. En n de tenerse grados de libertad que permitan considerar de interés . Así para el elemento de viga con los cuatro 1 d indicados (despreciando deformaciones de corte) en la n
Un :
l Ec. (1)
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FIG. 2 GRADOS DE LIBERTAD PARA VIGAS DE SECCION CONSTANTE
Nótese que no se han incluido los grados de libertad correspondientes a desplazamientos horizontales. lo que implica no considerar deformaciones axiales . Al ,modelar pórticos con muros de corte , figura 3, es conveniente considerar elementos de vigas con extremos infinitamente rígidos (vease la fig . 4).
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e) Sub-Elementos Componentes (Momentos y Cortantes). FIG . 4 ELEMENTOS HORIZONTALES .
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rí idos. matri z de transformación h ri ontales .
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b)Sub-Elementos Componentes (Deformaciones).
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1111 1 1111 1 l;1d . d la misma forma pueden relacionarse los esfuerzos (11111 1111 ·nt o·. y co rtantes), obteniendo :
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FIG. 3 PORTICOS CON MUROS DE CORTE. ... . . ?..2__+
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1 ,i Lo 11 ll',P 11 di nte matriz de rigidez para vigas con brazos rígidos puede 111111 ·111 •1·, c n partir de la ecuación(.1) considerando además las condiciones 1l1 ' 111 111ilil J110 y compa tibilidad impuestas por los brazos rígidos . 11111 1111 l:1do , los desplazamientos en los extremos de la porción central (11 11 .-: il ih ) pu d escribirse en función de los desplazamientos en los extremos 111 11111 11;111 nto co n brazos rígidos (ejes) , así tendremos: ·
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vector de acciones para un elemento horizontal con brazos rígidos (f = vector de acciones para un elemento horizontal sin brazos rígid os. [ar = transpuesta de la matriz [a J.
t'
En las expresiones anteriores a y b representan las distancias entre la cara del apoyo y el eje del muro de corte (o columna) .
1 :·
Según la formulación matricial de las rigideces, los parámetros que definen la solución son los desplazamientos. Para cada elemento , o parte de la estructura se define una relación entre , las fuerzas y los desplazamientos. de la forma :
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Donde : [ K JM = matriz de rigidez de un elemento horizontal con brazos rígidos, Donde cada componente de acción y su correspondiente componente de desplazamiento se asocian a un "grado de libertad.
xpr
iones As, es...e.I áre_a de corre . Para secciones rectangulares 2 . Para elementos esbeltoscii es mucho 1 y puede despreciarse (columnas), no así para muros de corte o r n pe ralte .
·~ t , G=0,4E; donde !I> =3(t/h)
Trabajando en la parte flexible :
[ R ti {u f' =(ft>
(5)
Para:
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= matriz de rigidez de un elemento horizontal sin brazos rígidos .
Multiplicando por [ar, se obtiene : ¡a
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[KJM ¡a D{u t ' = {
[K]M{u t> ={ f
f }(v)
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(6)
Donde : 1
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rticos con vigas con gran peralte , o en el caso de muros con p ible considerar los efectos de extremos rígidos en los elementos , figura 6. dlmi nto para hallar la matriz de rigidez de muro-columna con brazos a en los mismos pr:incipios esta bl ecidos para vigas. Ver figura
Reemplazando las Ec. 2 y 3; y agrupando: ([a r
) h::i:
=ra t¡~. t) [a] l
1~~~1 'L'- . -·. .· "i.
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(7)
Que es la matriz de rigidez de la viga con brazos rígidos. 3.2) Matriz de Rigidez Para Columnas ylo Muros de Corte.
Para los elementos verticales puede ser necesario incluir deformacion axiales (en pórticos esbeltos) y deformaciones de corte (en muros de corte)
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b) Muros con aberturas.
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c) Sub-Elem entos Compon ente s. (acciones).
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FIG . 7 ELEMENTOS VERTI CA LE S
La matriz de rigidez para (columna-muros) con brazos rígidos se obti ene a partir de la ecuación 8. Los desplazamientos en los extremos de un elemento flexible ( sin brazos rígidos) puede escribirse en función de los desplazamientos de un elemento con brazos rígidos: r 1
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Para ensamblar la matriz de rigidez del pórtico , se debe tener en cuenta la correspondencia entre los grados de libertad de cada elemento y aquellos de la estructura, define un conjunto de códigos o apuntadores, que permit n sumar los coeficientes de rigidez del elemento en las posiciones apropiad a Este proceso se conoce como"ensamblaje" de la matriz de rigidez.
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3.3) Matriz De Rigidez Del Pórtico.
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Que es la matriz de rigidez para (columnas-muros) con brazos rígidos.
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4)
DETERMINACION DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ SUDOTRIDIMENSIONAL La hipótesis de losas infinitamente rígida en su plano determina una relación geométrica entre los desplazamientos de todos sus puntos , que la base para efectuar una "condensación cinemática" de las matrices de rigidez lateral ya obtenida .
La matriz [KJ no representa más que las rigideces laterales del efecto qu producen los desplazamientos unitarios sucesivos en cada piso. como observa en la Fig . 9. Donde [KJ se trata de una matriz cuadrada del ord (pxp) . 1
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4.1) Matriz de Rigidez Seudo-Tridimensional Para un Edificio de un Piso. Co nsidérese primero el caso particular de una estructura de un solo pi o conformada por varios pórticos . El desplazamiento horizontal del órtico 3 es "u3 " y está relacionada con los componentes de desplazamiento del centro de masa de la losa (u .v y el giro torsor de • ta (h), ver Fig . 11 b, según el modelo mecánico presentado en la h ura 11 .a; de allí observamos que:
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Este cálculo es . efectuado utilizando un programa para pórticos plan os, evaluando en pnmer lugar la matriz de flexibilidad lateral [f], para después 1 invertirla , obteniéndose finalmente [ !<¡_] =[f]- . ..--.,.----'
A su .vez, la matriz [ f] se determina aplicando cargas unitarias en los nudos asociados a los niveles desplazables del pórtico que coinciden con los diagramas rígidos ( losas de los techos) (verfig.1 O) . , - -L"-"O"-'S"--'A=.-....r__ _...,f21
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[f]{fll f12 ] f21 f 22 FIG 1O CALCULO MATRIZ DE FLEXIBILIDAD
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2. Al deducir la Ec. 22. se ha elegido para el estudio al pórtico 3, debido a que éste es un pórtico inclinado en planta y por tanto representa un caso general. De esto concluimos, que la Ec. 22 es válido para cualquier tipo de pórtico, por lo que podemos generalizar para cualquier pórtico "i": 1 ••
Para hallar la.distancia del centro de masa (x.,, yG) a un punto de alineamiento del pórtico "i" definido por "r1" se deduce la siguiente fórmula . a partir de la figura 12.
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La expresión 22 también puede escribirse en lenguaje matricial, así: u,
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Generalizando oara pórtico "i": ( ID
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tH• 1 : 1 ~ : :1 ciones {Fe} son conocidas, por lo tanto . se podrá determinar {u} 0 • al w·.olvcr la siguiente ecuación:
Generalizando para el pórtico "i", y ordenando en forma matricial tenemos :
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Luego, sumando todas las acciones {fe}i, de todos los pórticos ya sean vectores de fuerzas laterales, según los ejes "x" e "y". y los momentos torsores, se halla {fe} que es la respuesta de la estructura en su C.M. bajo los desplazamientos (u ,V ,h) . 0
0
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·I :') Mntriz de Rigidez Seudo- Tridimensiona Para un Edificio de varios Pisos .
1 1 procedimiento para un edificio de un solo nivel, puede aplicarse a una fl'.lr 11 c llir:l .de muchos pisos . Así, para el desplazamiento horizontal .del 11c 11 I 1.o "I" en el nivel "j" puede escribirse:
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La fuerza sobre cada pórtico [KJ;.{U}¡, puede también sustituirse por otras estáticamente equivalentes aplicadas en el centro de masas, de donde resulta la matriz del modelo Seudo-Tridimensional con tres grados de libertad por piso, verfigura15 : p
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Más específicamente:
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Para toda la estructura, según la formulación más común de las rigideces:
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111· d i ulo Seudo-Tridimensional puede resumirse en los
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grados de libertad , incluyendo además de los desplazami entos horizontales por cada nivel , un desplazamiento vertical y un giro en el plano del sistema por cada nudo . Con el procedimiento de "condensa ción estática" se exp resa esta matriz en términos que involucra a los grados de libertad lateral obteniéndose la matriz de rigidez lateral del sistema. En el caso de que se tenga núcleos rígidos dentro de la edificación se tendría que determinar las rigideces laterales en las dos direcciones , incluyendo además la rigidez a la torsión pura.
2) Se forma la matriz de rigidez Seudo-Tridimensional en base a las matrices de rigidez lateral y al ángulo "a¡" que forma la proyección del sistema plan o con el eje X global, con su respectiva distancia con respecto al centro de masa (ri) de las losas, partiendo del equilibrio estático en las tres direcciones. Este proceso es un caso particular de "condensación cinemática". T p ")" [KJ
E !. =t.
3) Una vez establecida la matriz de rigidez Seudo-Tridimensional [K], con tres grados de libertad por piso, las cargas sísmicas se igualan a las cargas restauradoras ( [Fe]=[fe] ). Resolviendo la siguiente ecuación: íFe]
f K]
~P•1
Podemos hallar el vector de desplazamientos globales {u} 0 , es decir. el vector de los desplazamientos de los diafragmas con tres grados de libertad pornivel.
111111 11H . 11'\1 1 \
.... •• ... •• .... •• .. •• ..... •• .... ••
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• •
.. t42 •
4) Una vez conocido el vector de desplazamientos globales se procede a encontrar el vector de desplazamiento lateral de cada piso : { u }; = [ G ]; { u };
: Para cada sistema plano.
5) Finalmente, multiplicando la matriz de rigidez lateral de cada sistema plano con su respectiva matriz de desplazamientos laterales, nos proporciona la fuerza distribuida que absorbe este marco : { f }; = [ KL ]; { u }; : Para cada sistema plano.
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Al final de esta sección queremos señalar que la teoría presentada para el 6)pdelo seudo-tridimensional de edificios, es aplicable tanto para el análisis sísmico para fuerzas inerciales estáticos propuestos por R.N.C. como para fuerzas inerciales dinámicas (análisis dinámico)
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S A.
Yuan Yu Hsieh.
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