2.- Metodo Directo de Matriz de Rigidez

Universidad José Carlos Mariátegui

Análisis Estructural II

METODO DIRECTO DE MATRIZ DE RIGIDEZ CONCEPTO: Consiste en describir matemáticamente una estructura continua, por medio de un modelo matemático discreto de múltiples ecuaciones simultaneas, concentrando concentrando la masa de los elementos estructurales en los nudos. · e desarroll! con base en uno de los principios del e"uilibrio# $a compatibilidad %uer&a'(espla&amiento · $as ecuaciones se escriben en )unci!n de los *rados de $ibertad +*$ del sistema. · $a matri& estática de rigide& tiene el orden igual a los *$ del sistema +libres o restringidos · $a relaci!n )uer&a'despla&amiento )uer&a'despla&amiento se puede representar por # [ F ] = [ K ] { U } -  / 0 Matri& de rigide& - % / 01ector de )uer&as 2 U 3 0 1ector de despla&amiento Rigidez: %uer&a Rigidez: %uer&a o momento necesario para producir un despla&amiento o rotaci!n unitaria en la direcci!n de la )uer&a aplicada.

1. SISTEMA DE COORDENADAS e utili&a un sistema ortogonal, cartesiano 4 de mano derec5a +(e6tr!giro, se usan 7 sistemas# 1.1 Si!e"# de $%%&de'#d# g(%)#(e: e utili&a para re)erenciar toda la estructura, nudos, cargas, despla&amientos 4 reacciones. e usan 7 sistemas de coordenadas globales dependiendo del tipo de estructuras.

1



1.* Si!e"# de $%%&de'#d# (%$#(e e utili&a para re)erenciar los elementos estructurales8 como dimensiones, áreas, inercias, cargas aplicadas, )uer&as internas. e de9ne un nudo inicial 4 9nal, se de9ne un vector de posici!n# direcci!n θ 4 sentido +positivo o negativo. :elaci!n entre coordenadas locales 4 globales. ;6, ;4, ;&# Cosenos directores

*. M+TODO DE ,A RIGIDEZ -%/0-/2U3

2 U 3 0 1ector de despla&amiento 2 Un 3 0 1ector de despla&amiento en los nudos libres 2 %n 3 0 1ector de carga aplicada 2 %a 3 0 :eacciones de los apo4os 2 Ua 3 0 1ector de despla&amiento de los nudos restringido, generalmente iguales a cero o grados de libertad prescritos. E6pandiendo# - %n / 0 - nn / 2 Un 3 < - na /2 Ua 3

+=

2 %a 3 0 - an /2 Un 3 < - aa /2 Ua 3

+7

(e += despe>o 2 Un 3 - un /2 Un 3 0 2 %n 3 ? - na /2 Ua 3 2 Un 3 0 - nn / '= 2 %n 3 ? - nn / '=- na /2 Ua 3

+@

:eempla&o en +7 2 %a 3 0 - an /- nn / '=2 %n 3 ? - an /- nn / '=- na /2 Ua 3 < - aa /2 Ua 3 %actori&o # 2 Ua 3 2



2 %a 3 0 - an /- nn / '=2 %n 3 ? -- an /- nn / '=- na /<- aa //2 Ua 3 + Bara despla&amientos iguales a cero en los apo4os# 2 Un 3 0 - nn / '=2 %n 3 2 %a 3 0 - an /- nn / '=2 %n 3 ' e supone el siguiente elemento en coordenadas locales# i, > 0 nudos

' %uer&as de e6tremo#

' *rados de libertad del elemento#

E6isten @ grados de libertad libres por nudo en el caso plano.

-. M+TODO DE ,A RIGIDEZ DE UNA ARRA PRISM/TICA 3



U 0 despla&amiento a6ial A 0 secci!n transversal $ 0 longitud E 0 m!dulo de elasticidad

%uer&a en el resorte :igide& a6ial, )uer&a necesaria para producir un despla&amiento unitario U0=

$a matri& de rigide& en coordenadas locales se arma de la siguiente manera# e suelta un e6tremo, 4 se le da un despla&amiento unitario U> 0 =

4



i> 0 :igide& en el nudo i debido a un despla&amiento en > U6> 0 =. e suelta el nudo i #

:igide& en el nudo i debido a un despla&amiento en i.

Esta matri& se aplica en armaduras o cerc5as espaciales. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA CERC0A P,ANA *rados de libertad globales

%uer&as locales

En coordenadas locales# 2 %$ 3 0 -  /$ 2 U$ 3

5



e pro4ectan las le4es globales sobre los e>es locales en el nudo i 4 >. U6i$ 0 U6i Cos ; < U4i en ; U4i$ 0 ' U6i Cos ; < U4i en ;

C 0 Cos ;

U6>$ 0 U6> Cos ; < U4> en ;

 0 en ;

U4>$ 0 ' U6> Cos ; < U4> en ; :eempla&ando# en 2 %$ 3 0 -  /$ 2 U$ 3

Bara las )uer&as se tiene# 2 %$ 3 0 -  /2 % 3 -  / 0 Matri& de trans)ormaci!n 2 % 3 0 -  / '=2 %$ 3 Bara matrices simétricas 4 ortogonales -  /'= 0 -  / 2 % 3 0 -  /  2 %$ 3 Bara los despla&amientos 2 U$ 3 0 -  /2 U 3 6



2 U 3 0 -  /' = 2 U$ 3 2 U 3 0 -  / 2 U$ 3 :eempla&ando en 2 % 3 0 -  /  2 %$ 3 2 %$ 3 0 -  /$2 U$ 3 2 % 3 0 -  /  -  /$2 U$ 3 2 % 3 0 -  /  -  /$-  /2 U 3 -  / 0 -  / -  /$-  / Matri& de rigide& en coordenadas globales del elemento.

PROPIEDADES DE ,A MATRIZ DE RIGIDEZ E2i(i)&i%: $a matri& relaciona despla&amientos de e6tremo de un elemento con unas )uer&as de e6tremo en e"uilibrio. Cual"uier despla&amiento ocasiona un con>unto de )uer&as en e"uilibrio.

Movimiento de un Cuerpo :Dgido 7



i a un punto se le genera un despla&amiento correspondiente a un cuerpo rDgido, no se desarrollaran )uer&as sobre los e6tremos de los elementos. o 5a4 cambio de longitud del elemento.

:eempla&ando en la columna respectiva

:eempla&ando en la matri& completa del elemento 4 despe>ando# %4i 0 %4> 0 F 8 %6i 0 %6> 0 F 8 Mi 0 M> 0 F

ingularidad $a matri& de rigide& de un elemento es singular, osea "ue no tiene inversa, es decir "ue es autoe"uilibrante para cual"uier con>unto de despla&amientos, matemáticamente signi9ca "ue las columnas = 4 , 7 4 G, @ 4 H son linealmente dependientes, 4 esta es la base de la de9nici!n de una matri& singular. En este sistema 5a4 @ reacciones independientes 4 las otras @, son el resultado de una combinaci!n lineal. $a matri& de rigide& del sistema estructural estará )ormada por matrices singulares de los elementos, pero para solucionar el sistema los movimientos del sistema deben de estar restringidos por soportes e6ternos. imetrDa Consecuencia del teorema reciproco de Ma6ell, también demostrable por el teorema de Castigliano, "ue indica "ue los términos )uera de la diagonal son iguales 4 por lo tanto simétricos.

8



CARGAS E3UI4A,ENTES EN ,AS 5UNTAS PARA CARGAS SORE E, E,EMENTO

2%30-/2U3 2 % 3 0 1ector de carga "ue debe generar el mismo despla&amiento 2 U 3 "ue las cargas reales.

Caso = # Cargas reales

Caso 7 # Cargas reales < con>unto de cargas restrictivas para impedir rotaci!n 4 traslaci!n de >untas. $a suma de 7 4 @# es estáticamente igual al sistema real

9



Caso @# Cargas e"uivalentes en las >untas. Bara cancelar cargas restrictivas. (e magnitud igual pero sentido opuesto. Broducen los mismos despla&amientos "ue las cargas reales.

$as cargas e"uivalentes se calculan a partir de las acciones de e6tremo 9>o. obre los e6tremos de los elementos +%.E.A., no pueden despla&arse ni girar +empotrado El e"uilibrio en el nudo será#

10



MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN E,EMENTO A5O F,E6I7N 8 CORTANTE curre un despla&amiento U 4 un giro K en un e6tremo, las )uer&as de e6tremo producido por el despla&amiento serán#

U 0 despla&amiento e6tremo L 0 :otaci!n en un e6tremo (el método de la viga con>ugada 4 5aciendo un despla&amiento unitario U4 0 =

Ensamblando la matri& de rigide&.

@

11



PRO,EMA N9 1 ; 4IGA: Bara la viga mostrada en la 9gura dibu>ar los (M%. 4 (%C. Considerar EI0constante.

SO,UCI7N: Ensamblamos la matri& de rigide& de cada elemento.

12



Ensamblamos la matri& de rigide& de la estructura#

1ector de )uer&as de empotramiento per)ecto de cada elemento#

13



14



(iagrama de momento ector 4 )uer&a cortante#

15



PRO,EMA N9 * < MARCO P,ANO: En el marco plano de la 9gura ==.N actúa la carga uni)orme distribuida de magnitud .= Om sobre el elemento 7 como se indica en la 9gura ==.N. :esolver este problema considerando el mismo sistema de coordenadas P ' " 4 B ' p del e>emplo . En consecuencia la matri& de rigide& de la estructura es la misma debiendo iniciar el cálculo a partir del vector de cargas generali&adas.

$UCIQ

En éste caso e6iste problema primario el mismo "ue se presenta en la 9gura ==.=F. Bor lo tanto para calcular las )uer&as 4 momentos 9nales 5abrá "ue sumar a las cargas del problema complementario las acciones del problema primario. $os vectores P de cargas generali&adas 4 " de coordenadas generali&adas "ue se obtienen a partir de la ecuaci!n básica de estructuras P 0  " resultan.

Bara calcular las de)ormaciones  se reali&a# 

16

A 

=



E(e"e'!% 1

E(e"e'!% *

E(e"e'!% -

Con los valores obtenidos la soluci!n del problema complementario es la siguiente#

17



S%(2$i>' de( P&%)(e"# $%"(e"e'!#&i% Al e)ectuar la suma algebraica del problema primario indicado en la 9gura ==.=F con la soluci!n del problema complementario "ue se acaba de indicar se encuentra la soluci!n 9nal.

18

2.- Metodo Directo de Matriz de Rigidez

Recommend Documents