ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO - Ejercicios resueltos. Para resolver una ecuación con valor absoluto, debemos aislar el valor absoluto de un lado del del signo igual estableciendo dos casos: casos: Primero igualamos lo que está dentro del símbolo de valor absoluto a la cantidad positiva del frente y como segundo caso, la igualamos a la correspondiente parte negativa. Resolver | x | = 3 |3|=3 | -3 | = 3, por lo que x debe ser 3 o -3. A continuación, continuación, la solución es x = -3, 3. EJERCICIO RESUELTO 1. 1. Resolver | x + 2 | = 7 Para eliminar las barras del valor absoluto, tenemos que dividir la ecuación en sus dos posibles casos, un caso para cada signo: (x + 2) = 7 o - (x + 2) = 7 x + 2 = 7 o -x - 2 = 7 x = 5 o x = -9 A continuación, continuación, la solución es x = -9, 5. EJERCICIO RESUELTO 2. 2. Resuelva | 2x - 3 | - 4 = 3 En primer lugar, voy a despejar la parte del valor absoluto, es decir, voy a colocar la expresión de valor absoluto en un lado del signo "igual", y todo lo demás en el otro lado: | 2x - 3 | - 4 = 3 | 2x - 3 | = 7 Ahora aplico los dos casos, uno para cada signo: signo: (2x - 3) = 7 o - (2x ( 2x - 3) = 7 2x - 3 = 7 o -2x + 3 = 7 2x = 10 o -2x = 4 x = 5 o x = -2 Así que la solución es x = -2, 5. EJERCICIOS ILUSTRATIVOS. A continuación tenemos ejemplos prácticos en el siguiente vídeo:
EJERCICIO RESUELTO 3. Resuelva el siguiente ejercicio: | x 2 - 4 x - 5 | = 7 Establecemos las dos ecuaciones: ( x 2 - 4 x - 5 ) = 7 o -( x 2 - 4 x - 5) = 7 Resolvemos el primer caso: 2 2 x - 4 x - 5 = 7 x - 4 x - 12 = 0 ( x - 6)( x + 2) = 0 x = 6, x = -2 Resolvemos el segundo caso: - x 2 + 4 x + 5 = 7 - x 2 + 4 x - 2 = 0 0 = x 2 - 4 x + 2 La solución es: x= -2, 6, 2 más o menos raiz cuadrada de 2 Siga los pasos del vídeo anterior para resolver una igualdad de valor absoluto: EJERCICIO RESUELTO 4. Resuelva | 2x - 1 | + 3 = 6 |2x - 1| + 3 = |2x - 1| = 6-3 = |2x - 1| = 3 Primera ecuación: 2x - 1 = 3 2x - 1 = 3 2x = 4 x=2 Segunda ecuación: 2x - 1 = -3 2x - 1 = -3 2x = -2 x = -1 EJERCICIO RESUELTO 5. Resuelva: | x + 6 | = 7, entonces... a) x + 6 = 7 o b) x + 6 = -7 Resolviendo la ecuación a) x+6=7 x = 1 Resolviendo la ecuación b) x + 6 = -7 x = -13
INECUACIONES
Antes de empezar, diremos que en todos los problemas usaremos la cuarta propiedad del apartado "Propiedades del Valor Absoluto". Inecuación 1
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Escribimos la inecuación como
Por tanto, la solución es
Inecuación 2
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Escribimos la inecuación como
Por tanto, la solución es
O bien, con la notación de paréntesis,
En cualquier caso, los extremos del intervalo son abiertos (porque la desigualdad es estricta).
Inecuación 3
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Esta inecuación no tiene solución ya que el valor absoluto de un número siempre mayor o igual que 0.
Inecuación 4
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La solución es todos los reales:
ya que el valor absoluto siempre es mayor o igual que 0.
Inecuación 5
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Tiene que cumplirse una de las siguientes relaciones:
Por tanto, la solución es
Inecuación 6
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Podemos escribir la inecuación como
Tenemos que resolver las dos inecuaciones. Podemos hacerlo al mismo tiempo: Sumamos 1:
O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado:
De ambas formas obtenemos la misma solución:
Inecuación 7
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Tenemos las dos inecuaciones:
Las resolvemos:
Por tanto, la solución es
Inecuación 8
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Escribimos la inecuacón como
Por tanto,
Resolvemos cada inecuación: Por un lado:
Por otro lado:
Luego la solución es
Inecuación 9
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Escribimos la inecuación como
Por un lado:
Tenemos que estar alerta en el último paso ya que el coeficiente de la incógnita es negativo. Al dividir por -3 tenemos que cambiar el signo de la inecuación:
Por otro lado:
Por tanto, la solución es
Inecuación 10
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Debe cumplirse alguna de los dos inecuaciones:
Resolvemos la primera:
Resolvemos la segunda:
Por tanto, la solución es:
Inecuación 11
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Inecuación 12: dificultad alta
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Inecuación 13: dificultad muy alta
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Tenemos las dos inecuaciones:
Resolvemos la primera:
Ahora no podemos multiplicar la inecuación por x porque ésta podría ser negativa y, entonces, habría que cambiar el signo de desigualdad. Supongamos que x es positiva. Ahora podemos multiplicar:
Como el coeficiente de la x es negativo, cambiamos el signo de desigualdad al dividir por -6:
Pero, además, sabemos que x tiene que ser positiva:
Por tanto, tenemos que ha de ser
Ahora suponemos que x es negativa. Al multiplicar por x tenemos que cambiar el signo de desigualdad:
Por tanto,
Luego
Resolvemos la segunda inecuación procediendo de forma similar:
Si x es positiva:
Lo cual es falso. Por tanto, x no puede ser positiva. Si x es negativa:
Lo cual siempre se cumple (no aporta restricciones a la solución). Las soluciones que hemos obtenido son, de la primera inecuación
Y de la segunda: que x no puede ser positiva. Por tanto, como deben cumplirse ambas inecuaciones, la solución es
