TRIGONOMETRÍA DEFINICIÓN:
Trigonometría #i$er%&li"a : Es aquella que
Es una parte de las matemáticas que se dedica dedica a resolv resolver er probl problemas emas gráfic gráficos os y anal analíti íticos cos rela relacio ciona nado do con con ma magn gnit itude udess lineales y angulares
se util utilii-aa en inve invest stig igac aci+ i+nn de físi física ca y ciencias t.cnicas
ETIMOLOGÍA:
En el presente curso solo nos abocaremos al estudio de la trigonometría Plana
Proviene de voces griegas:
APLICACIONES:
TRIGOO %ETRO
,e aplica ica en diferentes rama ramass de la cien cienci ciaa como como:: %a %ate temi mica ca** Topo Topogr gráf áfic ica* a* El.ctrica* !stronomía$
TRI!G"#O$ %E&I&!$
O sea significa la 'medida del triangulo( Otra etimología es: TRI GOO %ETRO
) !G"#O %E&I&!
ANG'LO T(IGONOM)T(ICO: T(IGONOM)T(ICO: En Trig Trigon onom omet etrí ríaa se cons consid ider eraa que que un ángulo es generado por la rotaci+n de un rayo alrededor de un punto fi/o llamada '0.rtice( '0.rtice( desde una una posici+n posici+n inicial inicial 1#ado 1#ado inic inicial ial22 3asta 3asta una una posic posici+ i+nn final final 1lado 1lado final2 B
O sea* etimol+gicamente* la trigonometría es el estudia de las medidas de los ) ángulos de una figura* que evidentemente es el triangulo
DIVISIÓN: ,e divide en ) grandes Grupos
l a n i f o a d L
Vertice O
aquella cie ciencia ncia Trigonometría Plana: Es aquella que que se encar encarga ga de reso resolv lver er todo todoss los los triángulos que se pueden tra-ar sobre una superficie plana
Trig Trigon onome ometrí tríaa
Es! Es!ri" ri"aa:
Es aquella ciencia que se encarga de resolver todos los triángulos que se pueden tra-ar sobre una superficie plana
Lado inicial
A
#a flec3a curva indica en que sentido se 3i-o la rotaci+n ,e considera que un angulo es positivo si la rotaci+n se reali-a en sentido anti3orario y negativo cuando la rotaci+n se reali-a en sentido 3orario$ E/emplo:
Indicar el sentido de rotaci+n de los siguientes angulos:
-+-+, SISTEMA /INGLES*:
SE.AGESIMAL
Este ,istema considera que el angulo de una vuelta esta dividido en )45 partes iguales y a cada parte se le denomina 'Grado ,e6agesimal$(
a* B
Nota"i&n:
O
7 grado se6agesimal : 7 minuto se6agesimal : 7 segundo se6agesimal :
A
7O 70 l00
E12i3alen"ias: 78 9 459 )455 79 45
%* 1vuelta
B
360
1O
1vuelta
-+4+, SISTEMA /F(ANCES*: O
360 O
CENTESIMAL
Este ,istema considera que el angulo de una vuelta esta dividido en ;55 partes iguales y a cada parte se le denomina 'Grado
A
"*
Nota"i&n: 7 grado centesimal : 7 minuto centesimal : 7 segundo centesimal :
B
7g 7m ls
E12i3alen"ias: A
I+, SISTEMAS DE MEDIDA ANG'LA(
7g 9 755m9 75555s 7m 9 755s 1vuelta 400
1g
1vuelta
400 g
-+5+, SISTEMA (ADIAL /CI(C'LA(*:
En este sistema la unidad angular es el radian que se define como el angulo central que subtiende un cualquier circunferencia un arco de longitud igual al radio$
en el numerador se coloca media rotaci+n del nuevo sistema y en el denominador media rotaci+n del antiguo sistema E/emplo:
R
"edia rotacion
R R
#
del ite!a B
A
"edia rotacion 1vuelta
2 rad.
-+6+, (ELACION DE CONVE(SIÓN ENT(E LOS T(ES SISTEMAS: ,ean ,* < y R los numeros que representan la medida de un angulo en los sistemas ,ecagesimal*
del ite!a A -+7+, (ELACION ENT(E SISTEMAS SE.AGESIMAL CENTESIMAL: ,e
S Cg R rad
sabe
LOS 8
S C * 180 O 200 g
que:
simplificando se tiene: S
S C R 360 O 400 g 2rad
,implificando la e6presi+n se obtiene: S 180
C O
200
R g
rad.
NOTA: "na forma practica para convertir de un sistema a otro es multiplicar a la medida dada por un factor de conversi+n $ &onde
$
O
C 10
g
? !3ora 3allaremos las formula para convertir de minutos se6agesimal a minutos centesimal %ultiplicamos por 45 y 755 respectivamente a la formula de grados para obtener minutos S 9 60
C 10 100
* #uego:
&2
C
60
100
* #uego
NOTA: Para 3omogeni-ar e6presiones que contengan grados* minutos y segundos tener presente el siguiente cuadro$ ,3600
,60 %RA&OS S'#A%'S("AL'S
a grados ',( @@@@@@@@@@ ABrad$ a grados '<( @@@@@@@@@@
E2
? &e igual manera 3allamos la formula para convertir de segundos ,e6agesimales a segundos
A4rad$
,60 "()*+OS S'#A%'S("AL'S
-60
S'%*)&OS S'#A%'S("AL'S
-60
-3600
APLICACIONES:
C$? 2 ;5g a grados ',( @@@@@@@@@@ <2 45g a radianes @@@@@@@@@@ &2 7C5 O a radianes @@@@@@@@@@ O E2 ;B a radianes @@@@@@@@@@ )$? !l 3omogeni-ar la siguiente e6presi+n se obtiene: 7B OCB)B a27B$;B)4 O b27B$C)B) O c27B$;C4) O d27B$;DB O e27B$C);B O ;$? !l 3omogeni-ar la siguiente e6presi+n se obtiene: ;F OBD;C a2;F$FD) O b2;F$4FDB O c2;F$B4FB O d2;F$4;C) O e2;F$DF4 O B$? !l 3omogeni-ar la siguiente e6presi+n se obtiene: )4 O7BC) a2)4$4FD4 O b2)4$D)B) O c2)4$4FC4) O d2)4$;BDB O e2)4$CB4) O 4$? ,i un ángulo mide 7F*)5FB e6presar dic3a medida en grados minutos y segundos se6agesimales$ a2 7F7D CF( b2 7FCF 7D( c2 7F7D )4( d2 7FC7 )F( e2 7F7D ;B(
7$? 2 )5O a grados '<( @@@@@@@@@@ A)rad$ <2 a grados '<( @@@@@@@@@@
F$? El valor de un ángulo es 'Bn( grados centesimales* calcular el valor de dic3o ángulo en radianes* sabiendo que su complemento es 'n( grados se6agesimales$ a2
6
rad
b2
5
rad
c2
10
rad
d2
20
e2
rad
30
7)$?? #os ángulos de un cuadrilatero miden: C56g* 6* 16A42rad$* 7B6 $ Hallar el mayor$
rad
D$? Hallar el valor de: g 20 + 36 +
E= g
80 - 9 -
a27 d2;
b2C e2B
10
3 20
rad.
rad.
c2)
a2AC d2;AB
b2CA) c2)A; e2BA4
7;$? En la Jigura ad/unta calcular la medida del ángulo ! 1en radianes2
$? Hallar el valor de: g 7 2 20 + 16 + rad. 3 36 E= g 1 rad. + 25 + 11 36 9
a2FA; d2)A;
b2BA; e277A;
c2A;
a2 c2
75$? #a suma de las medidas de dos ángulos es 45 y su diferencia 1CA)2rad$ Hallar el mayor en grados centesimales$ a25g b2755g c2B5g d2F5g e2)5 g 77$? ,e tienen dos ángulos suplementarios tales que la diferencia de sus medidas es D5g$ Hallar el menor en radianes$
e2
3 7
4 5 4
b2)A75 c2A75 e2AB
7C$? #os ángulos de un triángulo miden: 6 * 756g* 1C6A;B2rad$ Hallar el menor$ a2B d2C5
b275 e2CB
d2
rad
13 36 7
13
rad
rad
rad
7B$? ,i ',( y '<( representan la medida de un ángulo en los sistemas se6agesimales y centesimales respectivamente* Hallar la medida de dic3o ángulo en radianes sabiendo que ' ( y ' ( son complementarias
a2A) d275A)
b2
rad
a2 19
5
2
d2 40
C
,
b2 20
2
4
S
c2 30
2
2
e2 $!$
c27B 74$?
se6agecimales * verifica a la siguiente igualdad$ S C
a2
b2
S
1
3
S
4
4
c2
5
a2 d2
2
d2
1
3
e2
2
5 9
7F$?#os ángulos de un cuadrilátero !><& se miden en ) sistemas diferentes$ El ángulo ! mide )5 O * el ángulo > mide B A4 rad$ L el ángulo < mide 5g$ M
90
1
2 C
a2
20
20
rad
b2
12 21
rad
b2
6
20
40
x° yg
12
7 4
180
rad
7$? Hallar la medida de un ángulo en radianes si: ,C<),;<B,$$$75<97D555
d2
12 9
9 12
B
b2 e2
10 7
y
200
z
&eterminar y Q 6
7D$? ,e tienen tres ángulos tales que si sumamos de dos en dos se obtiene B5 * D5g y 1A42 rad$ Respectivamente$ Hallar el menor$ a2; b2B c24 d2F e2D
a)
rad
,e verifica que: e2
8
C7$? El ángulo !O> mide ;B loa dividimos en ) partes* como se observa en la figura$ !
x
rad
c2
10
c2
rad
17
e2
11
d2
2 S
C
O
11
c2
a2 d2
5
b2
3
8
e2
3
10
c2
3
4 3
7 3
CC$? &eterminar 'R( si se cumple que ! 9 >$
12 S
S
S
S.....
A
7
7 12
C5$? Hallar el nKmero de radianes de un
C
C
C
C.....
B
a2
b2
10
9
c2
5
C4$? ,e tienen los siguientes ángulos:
3 5
d2
19
e2
10
"
. . . .
CC
S
a2 c2 e2
10
50 10
100
10 200
3 8
rad S97)B 97)B
5
C)$? ,i ',( y (<( representan el nKmero de grados se6agesi?males y centesimales que mide un ángulo* calcular dic3o ángulo en radianes* sabiendo que$
S "
=
!
d2
rad
a2CF d2)5
b2B; c245 e2;B
. . . . . !
10
b2
rad
300 10
600
rad
rad
-+9+, LONGIT'D DE A(CO: A(CO: Es una porci+n de circunferencia* separada del resto por dos puntos cualesquiera de ellos$
rad
C;$? Hallar la medida en radianes del ángulo que cumple:
#a longitud de arco es:
r
C, )< BR 9 7B*7;74
L
.r
L O
a2AB b2A75 c2A7B d2AC5 e2ACB
r
CB$?
a245 d2D5
b2)5 e2755
=
40R
c25
2
+
1 19
&onde: #: #ongitud de arco : angulo central /(AD* r: Radio de la circunferencia
-++, A(EA DE 'N SECTO( CI(C'LA(: SECTO( CI(C'LA(: Es una porcion del area de un circulo* limitado por los radios y la longitud de arco que subtienden
4+,
sobre una superficie curva* se presentan C casos:
1 r .L 2
I Caso:
Reempla-ando el valor de la longitud de arco se tiene: $ #.r
r
A
B R
A SC
1
.r
2
L2
A SC
2
2
NOTA: -+, * se tiene que:
n
R r 2 r
II Caso: n
R r 2 r
R
A
L
L
g g
r
n
L 2 r
&onde: n: umero de vueltas que da la rueda al ir de ! 3asta > g:
B
B
A
2
R
r
r
n
R
!ngulo que gira la rueda
#: #ongitud que recorre la rueda o que se despla-a R: Radio de la rueda
En ambos : angulo que describe el centro de la rueda con respecto al centro de la superficie al ir de ! 3asta > R: Radio de la superficie curva R: Radio de la rueda
5+,
r1
r1
r2
r2
n1
r1
2
7$? dos postulantes a la ",!!<* observan un relo/ electrico cuyas agu/as estan detenidas* luego uno de los estudiantes dice que el area que 3acen las agu/as es de F$C pulgadas cuadradas$ ,i el relo/ tiene un radio de 4 pulgadas$ M
r2
a27CAB pulg$ c2 BA7C pulg$ e2 7CAF pulg$
r1
2 r2
1
APLICACIONES: r2
1r1
n2
n 1r1
n 2r2
&onde: 7 y n 7: !ngulo de giro y numero de vueltas de la rueda r7 C y nC: !ngulo de giro y numero de vueltas de la rueda r C 6+,
b2 77AB pulg$ d2 BA77 pulg$
C$? #os radios de las ruedas de una bicicleta son entre si como ; es a 75$
b2 )D4 d2 )5
e2 F)4
)$? ,e tiene un sector circular de radio 'r( y un angulo central de )4 O M
a2 4; c2 CD
b2 )4 d2 755
e2 C5
;$? "n tramo de una via ferrea curvilínea esta formado por dos arcos sucesivos$ El primero tiene un angulo central de C5 O con un radio de CB55 pies y el segundo un angulo central de CB O con un radio de )555 pies$ Encontrar la longitud de la via a2 C7DD c2 C7D; e2 C7DC
B$? "n tramo de una carretera esta formado por tres arcos de circunferencia$ El primero tiene un radio de 7DUm y un angulo central de ;5 O * el segundo tiene un radio de )4Um y un angulo central de B5O y el tercero tiene un radio de C7Um y un angulo central de ;B O $ Hallar la longitud total de este tramo b2 4C$; d2 4)$7
e2 4;$D
4$? El area de un sector circular cuyo angulo central mide FC O es de ;B cm C * si duplicamos el radio de dic3o sector y disminuimos rad$ ! su ángulo central tal que el área del nuevo sector circular disminuye en un tercio del anterior$
c2
1
2 1 4
b2
rad
rad
d2
1 5
1 5
rad
F$? ,i !>97$Cr $ < 1r9;Bu2
B r A
b2 C7D4 d2 C7D)
a2 47$) c2 45$B
e2
1 3
rad
rad
O
a2 C4$B c2 CC$4
C
b2 CB$4 d2 C)$4
e2 C)$F
D$? &os m+viles ! y > parten al mismo tiempo y en las direcciones que se indican de los puntos P y V respectivamente$ ,i la velocidad de ! es a la velocidad de > como ) es a F$
a2
c2
e2
rad
22
20
18
rad
b2
d2
21
19
rad
rad
rad
&W& !$H$T
C2s"o;-<=><=4>-
