Sistema de Deduccion Natural de Gentzen

Grado en Ingenier´ıa Informática

Sistema de deducción natural de Gentzen Grado en Ingenier´ıa Informática

Octubre de 2011


Definición


Definición

Definición El sistema de deducción natural de Gentzen es un sistema de demostración que denotaremos G = (A, L, X, R), donde cada uno de los elementos se describe a continuación:


Alfabeto


Alfabeto

A : el alfabeto está compuesto por


Alfabeto

A : el alfabeto está compuesto por • los s´ımbolos p, q, r, s, t, . . . de proposiciones atómicas,


Alfabeto

A : el alfabeto está compuesto por • los s´ımbolos p, q, r, s, t, . . . de proposiciones atómicas, • los s´ımbolos de conectivos ¬, ∧, ∨, →,


Alfabeto

A : el alfabeto está compuesto por • los s´ımbolos p, q, r, s, t, . . . de proposiciones atómicas, • los s´ımbolos de conectivos ¬, ∧, ∨, →, • los s´ımbolos de paréntesis ( , ) .


Lenguaje: conjunto de fórmulas bien construidas


Lenguaje: conjunto de fórmulas bien construidas L : el conjunto de las fórmulas bien construidas (fbc) se define recursivamente como


Lenguaje: conjunto de fórmulas bien construidas L : el conjunto de las fórmulas bien construidas (fbc) se define recursivamente como At : toda proposición atómica es una fbc,


Lenguaje: conjunto de fórmulas bien construidas L : el conjunto de las fórmulas bien construidas (fbc) se define recursivamente como At : toda proposición atómica es una fbc, ¬ : Si ϕ es una fbc entonces ¬ϕ es una fbc,


Lenguaje: conjunto de fórmulas bien construidas L : el conjunto de las fórmulas bien construidas (fbc) se define recursivamente como At : toda proposición atómica es una fbc, ¬ : Si ϕ es una fbc entonces ¬ϕ es una fbc, ◦ : si ϕ y ψ son dos fbc, entonces (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ) son fbc.



Toda fbc se obtiene mediante las tres reglas anteriores y se simplifica como lo hicimos en el cap´ıtulo de sintaxis.



Toda fbc se obtiene mediante las tres reglas anteriores y se simplifica como lo hicimos en el cap´ıtulo de sintaxis. NOTA: En lo que se sigue usaremos también el conectivo de doble implicación entre dos fórmulas, ϕ ↔ ψ. Este conectivo se entenderá como una forma abreviada de representar la fórmula bien construida (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ).


Axiomas


Axiomas

X : el conjunto de los axiomas es vac´ıo.


Axiomas

X : el conjunto de los axiomas es vac´ıo. Nota: Este sistema quiere modelar la lógica de modo que no tendrá verdades a priori (no quiere describir objetos). Toda la información sobre nuestra forma de razonar irá a las reglas de inferencia.


Reglas de inferencia



R : el conjunto R de las reglas de inferencia está compuesto por las 8 reglas de introducción y de eliminación que se describen a continuación:



R : el conjunto R de las reglas de inferencia está compuesto por las 8 reglas de introducción y de eliminación que se describen a continuación: (I ∧): Regla de introducción de la conjunción



R : el conjunto R de las reglas de inferencia está compuesto por las 8 reglas de introducción y de eliminación que se describen a continuación: (I ∧): Regla de introducción de la conjunción (E ∧): Regla de eliminación de la conjunción



R : el conjunto R de las reglas de inferencia está compuesto por las 8 reglas de introducción y de eliminación que se describen a continuación: (I ∧): Regla de introducción de la conjunción (E ∧): Regla de eliminación de la conjunción (I ∨): Regla de introducción de la disyunción



R : el conjunto R de las reglas de inferencia está compuesto por las 8 reglas de introducción y de eliminación que se describen a continuación: (I ∧): (E ∧): (I ∨): (E ∨):

Regla de introducción de la conjunción Regla de eliminación de la conjunción Regla de introducción de la disyunción Regla de eliminación de la disyunción



R : el conjunto R de las reglas de inferencia está compuesto por las 8 reglas de introducción y de eliminación que se describen a continuación: (I ∧): (E ∧): (I ∨): (E ∨): (I ¬):

Regla de introducción de la conjunción Regla de eliminación de la conjunción Regla de introducción de la disyunción Regla de eliminación de la disyunción Regla de introducción de la negación



R : el conjunto R de las reglas de inferencia está compuesto por las 8 reglas de introducción y de eliminación que se describen a continuación: (I ∧): (E ∧): (I ∨): (E ∨): (I ¬): (E ¬):

Regla de introducción de la conjunción Regla de eliminación de la conjunción Regla de introducción de la disyunción Regla de eliminación de la disyunción Regla de introducción de la negación Regla de eliminación de la doble negación



R : el conjunto R de las reglas de inferencia está compuesto por las 8 reglas de introducción y de eliminación que se describen a continuación: (I ∧): (E ∧): (I ∨): (E ∨): (I ¬): (E ¬): (I →):

Regla de introducción de la conjunción Regla de eliminación de la conjunción Regla de introducción de la disyunción Regla de eliminación de la disyunción Regla de introducción de la negación Regla de eliminación de la doble negación Regla de introducción de la implicación



R : el conjunto R de las reglas de inferencia está compuesto por las 8 reglas de introducción y de eliminación que se describen a continuación: (I ∧): (E ∧): (I ∨): (E ∨): (I ¬): (E ¬): (I →): (E →):

Regla de introducción de la conjunción Regla de eliminación de la conjunción Regla de introducción de la disyunción Regla de eliminación de la disyunción Regla de introducción de la negación Regla de eliminación de la doble negación Regla de introducción de la implicación Regla de eliminación de la implicación (también Modus Ponens)


Regla de introducción de la conjunción



(I∧) : {ϕ, ψ} ` ϕ ∧ ψ



(I∧) : {ϕ, ψ} ` ϕ ∧ ψ

• De dos fórmulas se deduce su conjunción.



(I∧) : {ϕ, ψ} ` ϕ ∧ ψ

• De dos fórmulas se deduce su conjunción. • Teorema de la deducción



(I∧) : {ϕ, ψ} ` ϕ ∧ ψ

• De dos fórmulas se deduce su conjunción. • Teorema de la deducción

ϕ → (ψ → (ϕ ∧ ψ)) es una tautolog´ıa


Regla de eliminación de la conjunción



(E ∧)

ϕ∧ψ `ϕ ϕ∧ψ `ψ

(eliminación derecha) (eliminación izquierda)



(E ∧)

ϕ∧ψ `ϕ ϕ∧ψ `ψ

(eliminación derecha) (eliminación izquierda)

• De una conjunción de dos fórmulas se deducen las dos fórmulas.


Un primer ejemplo de deducción



Ejemplo Usando sólo las dos reglas anteriores podemos demostrar que p ∧ (q ∧ r) ` p ∧ r.



Ejemplo Usando sólo las dos reglas anteriores podemos demostrar que p ∧ (q ∧ r) ` p ∧ r.

1) p ∧ (q ∧ r) 2) p 3) q ∧ r 4) r 5) p ∧ r

(Premisa) (E ∧(1)) (E ∧(1)) (E ∧(3)) (I ∧(2,4))


Regla de introducción de la disyunción



(I ∨)

ϕ ` (ϕ ∨ ψ) ψ ` (ϕ ∨ ψ)

(introducción derecha) (introducción izquierda)



(I ∨)

ϕ ` (ϕ ∨ ψ) ψ ` (ϕ ∨ ψ)

(introducción derecha) (introducción izquierda)

• La disyunción de dos fórmulas se puede deducir de cada una de

ellas.


Un segundo ejemplo de deducción


Un segundo ejemplo de deducción Ejemplo Podemos demostrar que p ∧ q ` (p ∨ q) ∧ (q ∨ s).


Un segundo ejemplo de deducción Ejemplo Podemos demostrar que p ∧ q ` (p ∨ q) ∧ (q ∨ s).

1) p ∧ q 2) p 3) p ∨ q 4) q 5) q ∨ s 6) (p ∨ q) ∧ (q ∨ s)

(Premisa) (E∧(1)) (I∨(2)) (E∧(1)) (I∨(4)) (I∧(3,5))


Regla de eliminación de la disyunción



(E ∨) : {ϕ ∨ ψ, ϕ → χ, ψ → χ} ` χ.



(E ∨) : {ϕ ∨ ψ, ϕ → χ, ψ → χ} ` χ.

• La regla de eliminación de la disyunción NO es

ϕ∨ψ `ϕ ϕ ∨ ψ ` ψ, ya que de la validez de una disyunción de dos fórmulas no se puede deducir la validez de las dos fórmulas.


Método de demostración por casos


Método de demostración por casos Se aplica cuando se quiere demostrar una deducción del tipo ϕ∨ψ `χ:


Método de demostración por casos Se aplica cuando se quiere demostrar una deducción del tipo ϕ∨ψ `χ: 1) se introducen las premisas auxiliares ϕ y ψ,


Método de demostración por casos Se aplica cuando se quiere demostrar una deducción del tipo ϕ∨ψ `χ: 1) se introducen las premisas auxiliares ϕ y ψ, 2) usando las dos premisas auxiliares se intentan demostrar dos subdeducciones independientes con igual conclusión χ, es decir, las subdeducciones ϕ`χ

y

ψ ` χ,


Método de demostración por casos Se aplica cuando se quiere demostrar una deducción del tipo ϕ∨ψ `χ: 1) se introducen las premisas auxiliares ϕ y ψ, 2) usando las dos premisas auxiliares se intentan demostrar dos subdeducciones independientes con igual conclusión χ, es decir, las subdeducciones ϕ`χ

y

ψ ` χ,

3) si se ha completado el paso anterior, se usan las subdeducciones obtenidas en la deducción madre y se obtiene que {ϕ ∨ ψ, ϕ → χ, ψ → χ} ` χ.


Notación de Fitting


Notación de Fitting El método de demostración por casos con la notación de Fitting se representa como sigue:


Notación de Fitting El método de demostración por casos con la notación de Fitting se representa como sigue:

ϕ∨ψ

(Premisa)

ϕ (Premisa auxiliar) .. . .. . `χ

ψ (Premisa auxiliar) .. . .. . `χ

ϕ → χ (avanzamos la regla de introducción de la implicación) ψ → χ (avanzamos la regla de introducción de la implicación) `χ


Un ejemplo del método de demostración por casos


Un ejemplo del método de demostración por casos Queremos demostrar la propiedad distributiva de la conjunción p ∧ (q ∨ r) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)


Un ejemplo del método de demostración por casos Queremos demostrar la propiedad distributiva de la conjunción p ∧ (q ∨ r) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

1) p ∧ (q ∨ r) (Premisa) 2) p (E ∧(1)) 3) q ∨ r (E ∧(1))

4) q (Premisa auxiliar) 5) p ∧ q (I ∧(2, 4)) 6) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (I ∨(5))

7) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

(E ∨(3, (4 − 6)))

r (Premisa auxiliar) p ∧ r (I ∧(2, 4)) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (I ∨(5))


Regla de introducción de la negación



(I¬) : {ϕ → ψ, ϕ → ¬ψ} ` ¬ϕ.



(I¬) : {ϕ → ψ, ϕ → ¬ψ} ` ¬ϕ.

• Esta regla se usa en demostraciones por reducción al absurdo de

la validez de una fórmula ¬ϕ


Método de reducción al absurdo


Método de reducción al absurdo Demostración de la validez de una fórmula ¬ϕ :


Método de reducción al absurdo Demostración de la validez de una fórmula ¬ϕ : 1) Tomamos como premisa auxiliar la fórmula ϕ,


Método de reducción al absurdo Demostración de la validez de una fórmula ¬ϕ : 1) Tomamos como premisa auxiliar la fórmula ϕ, 2) Si de esta premisa auxiliar podemos deducir la validez de una contradicción ψ ∧ ¬ψ, entonces podemos afirmar la validez de ¬ϕ.


Método de reducción al absurdo Demostración de la validez de una fórmula ¬ϕ : 1) Tomamos como premisa auxiliar la fórmula ϕ, 2) Si de esta premisa auxiliar podemos deducir la validez de una contradicción ψ ∧ ¬ψ, entonces podemos afirmar la validez de ¬ϕ. Con la notación de Fitting (I ¬) se representa como: ϕ (Premisa auxiliar) .. . .. . ` ψ ∧ ¬ψ

` ¬ϕ


Otra deducción

p ` ¬¬p


Otra deducción

p ` ¬¬p 1) p (Premisa) 2) ¬p (Premisa auxiliar) 3) p ∧ ¬p (I∧(1, 2)) 4) ¬¬p (I¬(2,3))


Regla de eliminación de la doble negación



(E¬) : ¬¬ϕ ` ϕ.



(E¬) : ¬¬ϕ ` ϕ. • Recordamos que ¬¬ϕ → ϕ es una tautolog´ıa (de hecho son

lógicamente equivalentes).


Identidad

p`p


Identidad

p`p 1) p (Premisa) 2) ¬p (Premisa auxiliar) 3) p ∧ ¬p (I∧(1, 2)) 4) ¬¬p (I¬(2,3)) 5) p (E¬(4))


De una contradicción se deduce cualquier cosa

p ∧ ¬p ` ϕ


De una contradicción se deduce cualquier cosa

p ∧ ¬p ` ϕ 1) p ∧ ¬p (Premisa) 2) ¬ϕ (Premisa auxiliar) 3) p ∧ ¬p (1) 4) ¬¬ϕ (I¬(2,3)) 5) ϕ (E¬(4))


Regla de introducción de la implicación


Regla de introducción de la implicación Para definir esta regla (I →):


Regla de introducción de la implicación Para definir esta regla (I →): 1) se toma una premisa auxiliar ϕ,


Regla de introducción de la implicación Para definir esta regla (I →): 1) se toma una premisa auxiliar ϕ, 2) si se demuestra que de ϕ se deduce una fórmula ψ, entonces se ha demostrado la validez de ϕ → ψ.


Regla de introducción de la implicación Para definir esta regla (I →): 1) se toma una premisa auxiliar ϕ, 2) si se demuestra que de ϕ se deduce una fórmula ψ, entonces se ha demostrado la validez de ϕ → ψ. Con la notación de Fitting (I →) se representa como: ϕ (Premisa auxiliar) .. . .. . `ψ

`ϕ→ψ


Regla de eliminación de la implicación (también Modus ponens)


Regla de eliminación de la implicación (también Modus ponens)

(E →) : {ϕ, ϕ → ψ} ` ψ.


Reglas derivadas del sistema de Gentzen



• A partir de la definición del sistema de Gentzen es posible

demostrar los resultados más interesantes de la lógica proposicional




demostrar los resultados más interesantes de la lógica proposicional • Teorema de la identidad: ϕ ` ϕ




demostrar los resultados más interesantes de la lógica proposicional • Teorema de la identidad: ϕ ` ϕ • Regla del silogismo: {ϕ → ψ, ψ → χ} ` ϕ → χ




demostrar los resultados más interesantes de la lógica proposicional • Teorema de la identidad: ϕ ` ϕ • Regla del silogismo: {ϕ → ψ, ψ → χ} ` ϕ → χ • Modus tollens: {ϕ → ψ, ¬ψ} ` ¬ϕ




demostrar los resultados más interesantes de la lógica proposicional • Teorema de la identidad: ϕ ` ϕ • Regla del silogismo: {ϕ → ψ, ψ → χ} ` ϕ → χ • Modus tollens: {ϕ → ψ, ¬ψ} ` ¬ϕ • Y as´ı hasta 30 en el libro


Regla del silogismo

{ϕ → ψ, ψ → χ} ` ϕ → χ


Regla del silogismo

{ϕ → ψ, ψ → χ} ` ϕ → χ 1) ϕ → ψ (Premisa) 2) ψ → χ (Premisa) 3) ϕ (Premisa auxiliar) 4) ψ (E→(1,3)) 5) χ (E→(2,4)) 4) ϕ → χ (I→(3-5))


Modus Tollens

{ϕ → ψ, ¬ψ} ` ¬ϕ


Modus Tollens

{ϕ → ψ, ¬ψ} ` ¬ϕ 1) ϕ → ψ (Premisa) 2) ¬ψ (Premisa) 3) ϕ (Premisa auxiliar) 4) ψ (E→(1,3)) 5) ψ ∧ ¬ψ (I∧(2,4)) 4) ¬ϕ (I¬(3-5))

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