ALETAS DE ENFRIAMI EN FRIAMIENTO ENTO DE D E SECCIÓ SECC IÓN N TRANSVERSA TRAN SVERSAL L CONSTANTE CON STANTE Considérese una aleta de enfriamiento recta de longitud L con sección transversal constante, unida a una pared que se encuentra a temperatura T w y rodeada de un fluido a temperatura T .
Dividiendo entre Axt :
qx x
q x x
x x
qconv P A
0
Comparando con la definición de la primera derivada: df
f x x f x
lim
x
x 0
dx
se ve que es necesario invertir el orden de los términos en la primera fracción, sacando un signo negativo enfrente: Se desea determinar el perfil de temperatura en la aleta y la cantidad de calor disipado en estado estable.
Suposiciones 1. 2. 3. 4.
Estado estable. Sólo hay conducción en la dirección x . La temperatura de la base de la aleta es constante. Sólo se considera las pérdidas de calor por convección en los lados de la aleta, por lo que se ignora la pequeña pérdida de calor en el extremo. 5. El coeficiente de transferencia de calor por convección es constante. 6. La conductividad térmica es constante. 7. No hay generación de calor.
Balance de Energía y Ecuación Diferencial Se considera un volumen de control de longitud x , que tiene un área de sección transversal A y perímetro P :
q x x x
qx
x
x
qconv P A
0
Entonces, en el límite cuando x 0 se obtiene la ecuación diferencial que describe la transferencia de calor en la aleta: dq x
dx
qconv P A
0
Ahora, se introduc in troducee la ley l ey de Fourier Fourie r de la l a conducció cond ucción: n: q x
k
dT dx
y la ley de Newton del enfriamiento, en la que la diferencia de temperaturas se toma de tal forma que la dirección de la convección concuerde con la suposición de que es una salida de calor (es decir, que la aleta está a una mayor temperatura que el medio ambiente):
h T T
qconv
Con estas dos leyes, la ecuación diferencial queda:
Las diversas contribuciones al balance de energía, expresadas todas en joules (J), son: Entrada de energía por conducción en x
q x
x
At
q x
Salida de energía por convección en la superficie lateral
qconv Pxt
No hay generación No hay acumulación (estable)
El balance de energía E – S + G = A queda: q x x At qx
REVISIÓN 2 74544.55
x x
At qconv Pxt 0
x x
Como la conductividad térmica es constante: d 2T
k
dx
2
hP
T T 0
A
o bien:
At
Salida de energía por conducción en x x
k dT h T T P 0 dx dx A d
d 2T dx
2
hP kA
T T 0
Esta última es la ecuación diferencial para la aleta de enfriamiento recta de de sección transversal transversal constante. Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden no homogénea de coeficientes constantes. Las condiciones de frontera que aplican son:
en x 0 : T T w
en x L :
dT dx
0 (porque q x 0 ) Página 1 de 3
Adimensionalización de la Ecuación Diferencial
Aplicando la condición de frontera
Para simplificar el procedimiento de solución, se introducen las siguientes variables adimensionales:
T Tw T T
x L
que tienen la ventaja adicional de estar normalizadas, por lo que siempre se va a cumplir que 0 1 y 0 1 . Al convertir la ecuación diferencial a las variables adimensionales, se obtiene: d 2
hPL2
d 2
kA
Se puede demostrar fácilmente que el coeficiente de no tiene unidades, lo que permite definir un número adimensional característico de este problema: el número de Biot: Bi
Bi
Ya que senh 0 0 y cosh 0 1, se tiene que C 2 1 , con lo que la solución se vuelve:
C1 senh a cosh a Para poder aplicar la condición de frontera encontrar la derivada de la solución: d
se necesita
aC1 cosh a a senh a
0 aC1 cosh a (1) a senh a (1)
de donde se despeja C 1 : C1
hPL
rapidez de transferencia de calor por convección
y en esta última ecuación sustituir la condición de frontera:
2
kA
:
1 C1 senh 0 C 2 cosh 0
d
0
senh a
C1 tanh a
cosh a
y al sustituir en la ecuación diferencial:
tanh a senh a cosh a
rapidez de transferencia de calor por conducción dentro de la aleta
que, con un poco de manipulación se obtiene:
Solución de la Ecuación Diferencial Para facilitar la solución de la ecuación diferencial, se toma la constante a 2 Bi , con lo que la ecuación se vuelve: d 2 d
2
a 2 0
Ésta es una ecuación diferencial de segundo orden, homogénea, de coeficientes constantes. Su ecuación característica es: m
2
a 0 2
ya que a 2 (que es el número de Biot) es una cantidad positiva, las raíces de la ecuación característica son reales: m a
La solución puede expresarse con funciones exponenciales. Sin embargo, como las raíces son números reales iguales de signo opuesto, es más conveniente expresar la solución en términos de funciones trigonométricas hiperbólicas:
C1 senh a C2 cosh a Para encontrar las constantes, hay que aplicar las condiciones de frontera, que también se pueden expresar empleando las variables adimensionales:
REVISIÓN 2 74544.55
en 0 : 1 en 1:
d d
0
cosh a 1 tanh a tanh a Regresando a las variables originales, se llega al perfil de temperaturas buscado:
T x cosh Tw T L T
Bi
1 tanh
Bi
tanh Lx
Bi
Rapidez de Disipación de Calor La cantidad de calor disipado por la aleta se puede obtener de dos formas. La primera es sumando todo el calor transferido por convección a partir de la superficie de la aleta. Ya que la temperatura no es uniforme a lo largo de la aleta, este calor se debe obtener por integración: Q
L
q 0
conv
Pdx
O bien, como la aleta se encuentra en estado estable, la misma cantidad de calor que se pierde por convección es la que debe estar entrando por conducción a través de la base de la aleta: Q kA
dT dx
x 0
Para facilitar el trabajo algebraico, se vuelve a introducir las variables adimensionales y para encontrar el equivalente adimensional de dT / dx : Página 2 de 3
dT dx
Tw T d L d
Simplificando:
por lo que la cantidad de calor buscada sería: Q
d
kA 2
d
a tanh a cosh a a senh a
d
1 Bi
por lo que la eficiencia de la aleta es:
tanh Bi Bi
Es importante recordar que esta expresión no aplica para otros tipos de aletas, únicamente para aletas rectas de sección transversal constante. La eficiencia se suele graficar en función de
Al sustituir 0 : d
hPL
aC1 cosh a a senh a
Sustituyendo C1 tanh a : d
Bi tanh Bi
hPL2
pero se tiene que:
T d L d 0
kA Tw
La derivada d / d ya se había obtenido cuando se estaban aplicando las condiciones de frontera: d
kA
a tanh a cosh 0 a senh 0 0
d d
a l
a tanh a
e d a i c n e i c i f E
0
Por lo tanto: Q
kA Tw
T
L
a t e l a
a tanh a
es decir:
Bi
:
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
1
2
3
4
5
Bi
Q
T
kA Tw
L
Bi
tanh Bi
Para determinar la cantidad de calor transferido por una aleta real, se obtiene la eficiencia de la gráfica y se multiplica por Qideal : Q Qideal
Eficiencia de la Aleta Se define primero una aleta ideal para la cual toda la superficie se encuentra a la misma temperatura de la base (aleta isotérmica). Esta aleta es la que transfiere la máxima cantidad teórica de calor: Qideal
hS Tw T
donde S es la superficie de la aleta. Para una aleta recta de sección transversal constante, S PL . A continuación, se define la eficiencia de la aleta como la relación del calor transferido entre el calor de la aleta ideal:
Q Qideal
Sustituyendo Q y Qideal en la definición de : kA Tw
REVISIÓN 2 74544.55
T
L hPL Tw
Bi tanh
Bi
T Página 3 de 3
