Deduccion de La Ecuacion de Bernoulli

Deducción de la ecuación de Bernoulli Consideraremos la cantidad de fluido ilustrado y se calculara el trabajo efectuado para moverlo desde 𝑠1 hasta 𝑠2. Al existir movimiento en el fluido y una diferencia de alturas en el tramo del mismo existirá una energía cinética y una energía potencial en el fluido.

Se calculara el trabajo que realiza el fluido en el tramo 𝑠1 𝑊1 = 𝐹1 𝑠1 = 𝑃1 𝐴1 𝑠1 En el área 𝐴2 el trabajo realizado por el fluido es: 𝑊2 = 𝐹2 𝑠2 = −𝑃2 𝐴2 𝑠2 El signo negativo indica que la fuerza ejercida en el segundo tramo se opone al movimiento del fluido. Se calculara la energía potencial o el trabajo ejercido por la gravedad sobre el fluido en el tramo 𝑠1 y 𝑠2. 𝑊3 = −𝑚𝑔(ℎ2 − ℎ1 ) Donde ℎ1 y ℎ2 son las alturas del centro del tubo tomadas a partir de un eje de referencia. El signo negativo indica que el trabajo es ascendente, es decir en contra de la fuerza de gravedad. El trabajo neto efectuado sobre el fluido es la suma de los trabajos efectuados en cada tramo. 𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑊1 + 𝑊2 + 𝑊3 𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑃1 𝐴1 𝑠1 −𝑃2 𝐴2 𝑠2 − 𝑚𝑔(ℎ2 − ℎ1 ) Según el principio de trabajo y energía o también conocido como la regla de oro de la mecánica el trabajo neto efectuado sobre un sistema es igual a la variación de la energía cinética tanto en 𝑠1 como en 𝑠2. 1 1 𝑚𝑣2 ² − 𝑚𝑣12 = 𝑃1 𝐴1 𝑠1 −𝑃2 𝐴2 𝑠2 − 𝑚𝑔ℎ2 + 𝑚𝑔ℎ1 2 2 La masa 𝑚 tiene un volumen de 𝐴1 𝑠1 =𝐴2 𝑠2 , donde

𝜌=

𝑚 𝐴𝑠

Para un fluido incompresible. Al dividir ambos lados de la igualdad por 𝐴1 𝑠1 = 𝐴2 𝑠2 la ecuación queda de la siguiente manera:

1 1 𝜌𝑣2 ² − 𝜌𝑣12 = 𝑃1 − 𝑃2 − 𝜌𝑔ℎ2 + 𝜌𝑔ℎ1 2 2 Reordenando la ecuación de Bernoulli es la siguiente: 𝑃1 +

1 1 𝜌𝑣1 ² + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 + 𝜌𝑣2 ² + 𝜌𝑔ℎ2 2 2

Donde 𝑃 es la presión, 𝜌 es la densidad del fluido, 𝑣 es velocidad del fluido en el tramo y ℎ es la altura a la cual se encuentra el fluido a partir del eje de referencia. La ecuación de Bernoulli puede tomar un punto cualquiera a lo largo de un tubo de flujo, siendo la ecuación 𝑃+

1 𝜌𝑣² + 𝜌𝑔ℎ = 𝑧 2

Donde z es una constante.

Ejercicio Flujo y presión en sistemas de calentamiento de agua. El agua circula a través de una casa en un sistema de calefacción con agua caliente. Si el agua es bombeada con una rapidez de 0,05 m/s a través de un tubo de 4.0 cm de diámetro en el sótano a una presión de 3.0 atmosferas, ¿Cuál será la rapidez y presión del flujo en un tubo de 2.6 cm de diámetro en el segundo piso situado a 5.0 m arriba del sótano? Suponga que los tubos no tienen ramificaciones. 

A partir de la ecuación de la continuidad se calcula la rapidez en el segundo tramo 𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 = 1.2 𝑚/𝑠 𝑦 2.5 𝑎𝑡𝑚.

APLICACIONES

Tubo de venturi

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GIANCOLI, DOUGLAS C. Física para ciencias e ingeniería. Cuarta edición. Ed. Pearson Educación, México, 2008.