Métodos lógicos
– y es en esta medida que se dice que es un procedimiento semidecisorio – , sino
que es posible llevar a cabo una Es una operación lógica que consiste en demostración empleando distintas obtener, en base a reglas lógicas de reglas y en distinto orden, de modo que inferencia, una proposición la cuota de habilidad que el ejecutante denominada conclusión, a partir de una ponga en juego al momento de llevarla o más proposiciones denominadas a cabo determina en gran medida el premisas. En una operación de este tipo éxito del procedimiento. Dada una no puede darse el caso de que las inferencia cualquiera, el proceso premisas sean verdaderas y la derivativo consta de los siguientes conclusión sea falsa; o en otros pasos: términos, en una deducción la Paso 1 . Se asigna a cada proposición conclusión se deriva de modo necesario atómica su correspondiente variable. de las premisas. Dependiendo del Paso 2 . Se simbolizan las premisas y carácter de las premisas, tenemos la la conclusión, disponiendo aquéllas en deducción axiomática y la deducción forma vertical y escribiendo la natural. conclusión a continuación de la última premisa, en el mismo renglón. Entre la última premisa y la conclusión se 1.1. Deducción axiomática La deducción axiomática es un escribe una barra separadora „/‟ seguida procedimiento lógico que, en el marco del símbolo „‟ que se lee „luego‟ o de un sistema formal, deriva un „por lo tanto‟. teorema a partir de ciertos axiomas Paso 3 . Se procede a ejecutar las tomados como punto de inicio. En este derivaciones tomando como punto de ámbito se puede hablar de partida cualquiera de las premisas, demostración como un proceso a través siempre que sea factible, e indicando a del cual se deduce la verdad de una la derecha en forma abreviada de qué proposición (el teorema) a partir de la premisas y mediante qué regla se ha verdad de otras proposiciones básicas o obtenido la nueva expresión. primitivas (los axiomas). Este proceso depende sólo de reglas lógicas. El Este procedimiento contiene tres procedimiento de deducción axiomática axiomática estrategias o modalidades de se efectúa a través de una sucesión demostración independientes: la prueba finita de fórmulas, las cuales pueden directa (PD), la prueba condicional ser axiomas o alguna otra fórmula (PC) y la prueba por reducción al obtenida a partir partir de un axioma axioma – esto esto absurdo (PRA). es, un teorema – , mediante la aplicación de una o varias reglas de A) La Prueba Directa (P.D.) transformación. Como su nombre lo indica, esta prueba se ejecuta sin ninguna mediación. Lo 1.2. Deducción natural único que hay que hacer es aplicar El método de la deducción natural es “directamente” las reglas que una prueba formal empleada para conocemos para llegar a la conclusión. determinar la validez de un argumento. Veamos un ejemplo: Esta prueba está constituida por una sucesión de enunciados de los cuales 1. p q algunos son premisas del argumento a 2. (p q) r ser validado, y otros son incorporados 3. (p r) s en el curso de la prueba luego de ser 4. s t / t deducidos a través de la aplicación de 5. (q p) r Conmut. (2) dos tipos de reglas, a saber, las 6. q (p r) Export. (5) 1. Deducción
denominadas “reglas de inferencia” y las llamadas “reglas de reemplazo” , de
modo que el último enunciado de la serie viene a ser la conclusión del argumento que se pretende evaluar. Este método método no es un algoritmo. algoritmo. En efecto, el método de la deducción natural no contiene un conjunto predeterminado predeterminado de pasos cuya observancia conduzca de modo necesario a la obtención de un objetivo
7. p (p r) 8. p ( p r) 9. ( p p) r 10. p r 11. p r 12. s 13. t
SH (1,6) Impl. (7) Asoc. (8) Tau. (9) Impl. (10) MP (3,11) SD (4, 12)
B) La Prueba Condicional (P.C.)
Es una modalidad dentro del método de la deducción natural y se aplica en los casos en que una inferencia tiene una conclusión condicional. En efecto, siendo la conclusión una fórmula condicional necesariamente tendrá antecedente y consecuente. Para saber si una conclusión de este tipo se deriva de las premisas dadas, se agrega el antecedente de la conclusión a las premisas y luego, aplicando a este nuevo conjunto de premisas las reglas de inferencia o las de reemplazo ya conocidas, se realizan las derivaciones hasta obtener el consecuente de la conclusión. Esta modalidad se basa en el siguiente modelo de implicación o regla de la prueba condicional (P.C.): P1. AB ___ C. A (AB) Esta regla afirma que a partir de una fórmula condicional se puede concluir que del antecedente es posible derivar toda la fórmula condicional Dado el caso de que la conclusión de una inferencia sea una fórmula condicional, el procedimiento a seguir es el siguiente: Paso 1. Se toma su antecedente y se introduce como una nueva premisa (P.A.: premisa adicional). . Se efectúan las derivaciones Paso 2 hasta hallar el consecuente de la conclusión. . Se une implicativamente implicativamente la Paso 3 premisa adicional con el último paso logrado, logrando construir la proposición que se pedía concluir concluir en un principio. A continuación, ejemplo:
mostramos
un
1. ( p q ) (p r) 2. q p 3. r s / s p 4. s PA 5. r MT (3,4) 6. (p q ) (p r) Impl. (1) 7. [ (p q ) p ] r Asoc. (6) 8. [ (q p ) p ] r Conmut. (7) 9. [ q (p p ) ] r Asoc. (8) 10. ( q p ) r Tau. (9) 11. q p SD (10,5) 12. p q Conmut. (2) 13. p q Impl. (12) 14. q p Impl. (11) 15. p p SH (13,14) 16. p p Impl. (15) 17. p Tau. (16) 18. s p PC (4,17)
C) La Prueba por Reducción al Absurdo (P.R.A.)
Ésta es otra modalidad dentro del método de la deducción natural. Resulta de la fusión de la regla de la prueba condicional y de la noción de contradicción; de aquí su nombre de reducción al absurdo. Consiste en introducir como premisa adicional la negación de la conclusión para llegar a encontrar una contradicción en las premisas. Es decir, se supone la falsedad de la conclusión y se la agrega al cuerpo de premisas para llegar a deducir una contradicción en el nuevo cuerpo de premisas, mostrando de esta manera que es posible derivar la conclusión a partir de las premisas pues si no fuera así no habría contradicción (demostración (demostración indirecta). Una fórmula se demuestra por reducción al absurdo absurdo cuando cuando a partir de su negación se arriba a una contradicción, es decir, se genera una fórmula de la forma A A, implicada por aquélla negada inicialmente. La presencia de una contradicción es señal de que la fórmula negada es falsa, lo que demuestra de modo indirecto que se trata de una fórmula originalmente verdadera. Y esto no significa otra cosa que la demostración de la verdad de una fórmula por la imposibilidad de aceptar las consecuencias que se deducen de su negación, o, dicho de otro modo, de su contradictoria. Aunque la expresión “ reducción al absurdo” es empleada con mayor frecuencia para referirse a este tipo de demostración, en algunos casos también se habla de ésta como de “razonamiento apagógico” “reducción a lo imposible” .
o
Esta modalidad se basa en el siguiente modelo de implicación o regla de la prueba por la reducción al absurdo (P.R.A.): P1. A (BB) C. A El sentido de esta demostración se puede entender fácilmente si se recuerda que por el modus tollens (M.T.) se puede deducir la negación del antecedente de una implicación cuando se niega el consecuente, es decir, cuando se se sabe que el consecuente es falso. Dada una inferencia cualquiera, el procedimiento es el siguiente:
Se niega la conclusión y se introduce como una nueva premisa (premisa adicional: P.A.). Paso 2 . Se efectúan las derivaciones hasta encontrar una contradicción. Paso 3. Se une en forma condicional o implicativa la premisa adicional con la contradicción hallada, hallada, a través través de la regla de la prueba condicional (P.C.). Paso 4. Se establece la conclusión deseada como una inferencia lógicamente deducida de las premisas originales . Paso 1
Estudiemos el siguiente caso: 1. p q 2. r (q p) 3. s (t r) / t s 4. ( t s) PA 5. t s De M. (5) 6. t Simp. (6) 7. s Simp. (6) 8. (t r) MP (3,7) 9. t r De M. (8) 10. r SD (6,9) 11. q p SD (2,10) 12. q Simp. (11) 13. p Simp. (11) 14. (pq) (qp) Equiv. (1) 15. pq Simp. (14) 16. qp Simp. (14) 17. q MP (13,15) 18. q q Conj. (12,17) 19. ( t s) (q q) PC (4,18) 20. t s PRA (19) EJERCICIOS EJERCICIOS PROPUESTOS
III. Aplique la prueba por reducción al absurdo 1) 1. p q 2. r 3. ( q p ) s /
(r
s)
2) 1. ( q s ) r 2. k t 3. t r / (s k) q 3) 1. p q 2. r ( q p) 3. s (t r) /
t s
Ni ve vell I ntermed ntermedio io I. Aplique P.C. 1) 1. (p q) ( r s ) 2. r 3. ( t p ) (u v) 4. (u q) (s v) / t u 2) 1. p (qr) 2. r s 3. (r t) t /
q p
II. Aplique P.D. 1) 1. p q 2. (p q) r 3. (p r) s 4. s t / t
N i ve vell Avanzado Avanzado I. Aplique P.D.
N i vel B ásico si co 1) 1. [p (q r)] (sr) 2. t[q (r p)]/ p[(ts)r]
I. Aplique la prueba directa 1) 1. ( p p ) (q q) / 2. ( q q ) (p p) /
II. Aplique P.C.
q q
II. Aplique la prueba condicional 1) 1. p 2. (p 3. (q
r) r)
/
q
s
2) 1. r ( q p) 2. [ r ( s t)] ( s q ) 3. r [ ( s t) r] 4. r ( s q ) 5. p q / s t
1) 1. ( p q ) (p r) 2. q p 3. r s / s p 2) 1. (pq)[(r s)( t u)] 2. (t v)w / p (rw) III. Aplique P.R.A. 1) 1. p q 2. ( r s ) q 3. ( p r ) t 4. t s / r
