DEDUCCION DE LA ECUACION DE POISSON Teore Teorema ma de gauss En una región en el espacio (D c
R
3
), la unción !
( x , y , z ) nos proporciona una dis"ri#ución de cargas, en"onces el $u%o del campo el&c"rico de"erminado por !, 'E a "ra&s de la ∂ D S =
(*+ONTE+A) es igual a la carga "o"al en
D ε 0 (
ε0
c"e de permi"iidad al acio)
E campo el&c"rico N ec"or normal uni"ario D región en el espacio ❑
*lu%o
∫ s
Q n . E d A= ε 0 , - carga "o"al
+ecordemos .ue una unción po"encial
1
❑
∫ ρ ( x , y , z )dxdydz
ε 0 D
φ sa"isace E=− ∇ φ para poder
/allar la ecuación de poisson nos al"a a0adir el "eorema de S"o1es2 Si E es un campo ec"orial ar#i"rario, es decir no "iene .ue ser el&c"rico3 puede ser cual.uier en D en"onces
❑
❑
s
D
dydz ∫ E . n dA =∫ ¿ ( E ) dx dydz
+ecordemos cual es la diergencia de E3 (E campo ec"orial) E( E1 , E 2 , E3 ) .uiere decir .ue en cada pun"o del espacio /a4 un ec"or de"erminado por las unciones E(5, 4, 6)
divE =
E1 ( x x , y , z ) ; E 2 ( x , y , z ) ; E 3( x , y , z )
∂ E1 ∂ E2 ∂ E3 X
+
Y
+
Z
En elec"roes"7"ica nos dice 3 "eorema de gauss 2 ❑ ❑ Q 1 n.EdA = = ρ ( x , y , z ) dx dy dz ε ε 0 0 D ∂D
∫
∫
A/ora reempla6amos2 gauss llego a la ormula (8) general pensando en la ecuación (9)2 ❑
1
❑
∫ ¿ ( E ) dxdydz = ε ∫ ρ ( x , y , z ) D
0
D
::;; (<)
+ecordemos .ue 2 =−¿ ( ∇ φ )=−∇ 2 φ E=−∇ φ ,÷ (−∇ φ )=−¿ 2
2
2
∂ φ ∂ φ ∂ φ ¿−( 2 + 2 + 2 ) ∂x ∂ y ∂z
=laplaciano de
φ
❑
1
❑
∫−∇ φ = ε ∫ ρ ( x , y , z ) 2
D
0
1
−∇ φ ε ρ ( x , y , z ) 2
0
D
∂ φ ∂ φ ∂ φ − ρ ( x , y , z ) + 2+ 2 = 2 e0 ∂ x ∂ y ∂z 2
2
2
Ecuación de poisson 2
∇
2
2
2
− ρ ∂ φ ∂ φ ∂ φ − ρ = + + = φ= ε0
∂x
2
∂y
2
∂z
2
ε0
φ = poencial de campoelec!ico
ρ densidaddel campo el e c!ico =
