Simetría rotacional y traslacional en el problema de dos cuerpos P. H. Rivera* Facultad de Ciencias Físicas Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú Ciudad Universitaria, 26 de agosto del 2015
*
[email protected]
1
1.
Estimando las energía del estado fundamental usando las relaciones de incertidumbre
Es posible estimar las escalas de energía para hamiltonianos de sistemas con potenciales centrales sin resolver la ecuación de autovalor. Hemos determinado que el hamiltoniano de una cuasipartícula moviéndose en un campo central para el átomo de energía está dado por e2 1 pˆ2 ˆ − H= ˆ 2µ 4πǫ0 |r|
(1)
donde µ es la masa reducida del sistema electrón-protón. El valor esperado del hamiltoniano en el estado fundamental está dado por e2 1 p2 i E1 = h − 2µ 4πǫ0 |r| 2
(2)
donde n = 1 representa el número cuántico principal. El valor esperado de la energía potencial es e2 1 e2 1 h i= 4πǫ0 |r| 4πǫ0 a
(3)
donde a es el estimado del tamaño del átomo de hidrógeno. La relación de incertidumbre del operador de momento y el operador de posición está dado por ∆p · ∆r = ∆pˆ er · ∆rˆ er ∼ ℏ ,
(4)
∆r = aˆ er
(5)
ℏ . a
(6)
consideramos que
luego ∆p ∼ 3
La variancia del momento angular está dado por (∆p)2 = hp2i − hpi2
(7)
El valor esperado de la energía cinética hp2i (∆p)2 + hpi2 ℏ2 hEk i = = ∼ 2µ 2µ 2µa2
(8)
donde hpi = 0. Esto significa que el sistema electrón-protón está localizado en una región finita del espacio y permanece en ella. Desde el punto de vista de la mecánica ondulatoria este es un estado estacionario. Por tanto, nuestro estimado de la energía está dado por e2 1 ℏ2 . − E1 ∼ 2µa2 4πǫ0 a
(9)
En esta ecuación se observa que una disminución en el valor de a, el tamaño del átomo disminuye, también disminuye la energía potencial y la energía 4
cinética aumenta. Para analizar este detalle, calculamos la derivada de E1, dE1 ℏ2 e2 1 ∼− 3+ =0 da µa 4πǫ0 a2
(10)
del cual resulta un tamaño del átomo dado por ℏ2 1 a ∼ 2 e2 2µ 4πǫ
0
(11)
.
Reemplazando este resultado en la Ec.(9), obtenemos 2 e2 ℏ 4πǫ0 2µ 4 ℏ2 2 2µ
2
E1 ∼
e2 e 4πǫ 0 ℏ2 4πǫ0 2 2µ 2
−
2
1 e2 =− 4 4πǫ0
1
ℏ2 2µ
.
(12)
El tamaño del átomo, Ec.(11) y la energía del estado fundamental, Ec.(12), están dados en función de las constantes fundamentales, veamos. La masa 5
reducida µ del sistema electrón-protón, donde mp ∼ 1836 me es µ=
me mp me × 1836 me me × 1836 = 0.9994556 me . = = me + mp 1837me 1837
(13)
Considerando µ ∼ me tenemos que ℏ2 2 ∼ 3.81 eV-Å 2me
e2 ∼ 14.4 eV-Å 4πǫ0
(14)
el tamaño del átomo está dado por a ∼ 2 × 3.81 ×
1 Å = 0.529 Å 14.4
(15)
y la energía del estado fundamental 1 (14.4)2 E1 ∼ − eV = −13.606 eV . (16) 4 3.81 Estos estimados son bastante próximos a los resultados que obtendremos en el capítulo siguiente, el tamaño del átomo en su estado fundamental está 6
expresado en función de las constantes fundamentales como la constante de Planck, la masa del electrón y las constantes del electromagnetismo. Con la energía del estado fundamental, también ocurre lo mismo.
2.
Invariancia rotacional y conservación del momento angular
Analizando el hamiltoniano del sistema de dos cuerpos en coordenadas relativas, los operadores de momento relativo pˆ2 = pˆ2x + pˆ2y + pˆ2z y de posición relativo rˆ2 = rˆx2 +ˆ ry2 +ˆ rz2 conmutan con el operador de rotación, luego ambos son invariantes bajo rotaciones. Como estos operadores involucran los autovalores expresados en la magnitud de la posición y el momento relativo, ciertamente, las magnitudes de los vectores no mudan cuando los vectores rotan.
7
2.1.
Objetivo
El objetivo de esta sección es demostrar la validez de estas afirmaciones. ˆ Consideremos, nuevamente, el operador de rotación R(dφk) que rota un autoestado de posición alrededor del eje z un ángulo dφ. Hay que precisar aquí que el hamiltoniano relativo del sistema de dos cuerpos no posee en su estructura una predilección hacia una dirección dada en el espacio, por tanto, la elección del eje z es tan arbitraria que puede ser considerada cualquier dirección. La transformación de un vector A rotando el sistema coordenado un ángulo φ en el sentido antihorario está dado por
′ Ax ′ A y ′ Az
cos φ − sen φ 0 Ax Ay = sen φ cos φ 0 0 0 1 Az
8
(17)
siendo la rotación de un ángulo infinitesimal, φ ≈ dφ, esto implica que sen dφ ≈ dφ y cos dφ ≈ 1, luego obtenemos que el operador de rotación está dado por ˆ R(dφk)|x, y, zi = |x − ydφ, y + xdφ, zi .
(18)
Expresando el operador de rotación en función del operador generador de la rotación tenemos que iˆ ˆ R(dφk) =1− L z dφ . ℏ
(19)
Respecto a la definición del operador de rotación dado en el primer curso donde el generador de rotación ha estado definido por Jˆ y como hemos asumido que el operador de momento angular intrínsico Sˆ no será considerando aún en el análisis del sistema de dos cuerpos, luego nuestro análisis está concentrado ˆ solo en el operador de momento angular orbital L. Consideremos el operador de traslación que traslada la partícula una dis9
tancia infinitesimal a = (ax, ay , 0) = (−ydφ, xdφ, 0), i i exp − pˆ · a |x, y, zi = exp − (ˆ pxax + pˆy ay ) |x, y, zi ℏ ℏ i i exp − pˆxax exp − pˆy ay |x, y, zi = |x + ax, y + ay , zi ℏ ℏ i i = |x − ydφ, y + xdφ, zi = exp − pˆx(−ydφ) exp − pˆy (xdφ) |x, y, zi ℏ ℏ i i = 1 − pˆx(−ydφ) + . . . 1 − pˆy (xdφ) + . . . |x, y, zi ℏ ℏ i i = 1 + pˆxyˆdφ + . . . 1 − pˆy xˆdφ + . . . |x, y, zi ℏ ℏ i i = 1 + yˆpˆxdφ + . . . 1 − xˆpˆy dφ + . . . |x, y, zi ℏ ℏ i i ˆ z dφ + . . . |x, y, zi xpˆy − yˆpˆx)dφ + . . . |x, y, zi = 1 − L = 1 − (ˆ ℏ ℏ i ˆ z dφ |x, y, zi (20) = exp − L ℏ
10
donde el generador de la rotación se define como ˆ z = xˆpˆy − yˆpˆx L
(21)
el cual es la componente z del operador de momento angular orbital definido por ˆ = rˆ × pˆ L
(22)
que es el operador generador de las rotaciones 3D y que actúan sobre los autoestados de posición. Ahora, analizamos la conmutación de los siguientes operadores, veamos ˆ z , pˆx] = [ˆ [L xpˆy − yˆpˆx, pˆx] = (ˆ xpˆy − yˆpˆx)ˆ px − pˆx(ˆ xpˆy − yˆpˆx) = xˆpˆy pˆx − yˆpˆxpˆx − pˆxxˆpˆy + pˆxyˆpˆx = xˆpˆy pˆx − pˆxxˆpˆy − (ˆ y pˆx − pˆxyˆ)ˆ px = xˆpˆxpˆy − pˆxxˆpˆy − [ˆ y , pˆx]ˆ px = [ˆ x, pˆx]ˆ py + 0ˆ px = iℏpˆy (23) 11
ˆ z , pˆy ] = [ˆ [L xpˆy − yˆpˆx, pˆy ] = [ˆ xpˆy , pˆy ] − [ˆ y pˆx, pˆy ] = xˆ[pˆy , pˆy ] − [ˆ y , pˆy ]ˆ px = xˆ 0 − iℏpˆx = −iℏpˆx (24) ˆ z , pˆz ] = [ˆ [L xpˆy − yˆpˆx , pˆz ] = xˆ[pˆy , pˆz ] − yˆ[pˆx, pˆz ] = 0
(25)
En general, tenemos para dos operadores Aˆ y Bˆ que ˆ B ˆ 2] = AˆB ˆ 2 − Bˆ 2Aˆ = AˆBˆ Bˆ − B ˆ Bˆ Aˆ = AˆBˆ Bˆ − Bˆ AˆB ˆ +B ˆ AˆBˆ − Bˆ Bˆ Aˆ [A, ˆ A) ˆB ˆ + B( ˆ AˆB ˆ − Bˆ A) ˆ = [A, ˆ B] ˆ Bˆ + B[ ˆ A, ˆ B] ˆ . (26) = (AˆBˆ − B
ˆ z , pˆ2] = [L ˆ z , pˆ2 + pˆ2 + pˆ2] = [L ˆ z , pˆ2 ] + [L ˆ z , pˆ2 ] + [L ˆ z , pˆ2] [L x y z x y z ˆ z , pˆx]ˆ ˆ z , pˆx] + [L ˆ z , pˆy ]ˆ ˆ z , pˆy ] + [L ˆ z , pˆz ]ˆ ˆ z , pˆz ] = [L px + pˆx[L py + pˆy [L pz + pˆz [L = iℏpˆy pˆx + pˆxiℏpˆy − iℏpˆxpˆy − pˆy iℏpˆx + 0 pˆz + pˆz 0 = iℏ[pˆy , pˆx] − iℏ[pˆx, pˆy ] + 0 + 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 (27) 12
De manera similar, encontramos que ˆ z , xˆ] = iℏˆ [L y ˆ z , yˆ] = −iℏˆ [L x
(28)
ˆ z , zˆ] = 0 [L
(30)
(29)
luego ˆ z , rˆ2] = [L ˆ z , xˆ2 + yˆ2 + zˆ2 ] = 0 , [L
(31)
ˆ z conmuta con la magnitud del operador de posición y como lo que implica que L la energía potencial es una función de la magnitud del operador de posición, ˆ z conmuta con el operador de energía potencial. luego L Otra forma de expresar la invariancia del operador de rotación con la energía potencial es expresar los autoestados de posición en coordenadas esféricas, osea, |x, y, zi = |r, θ, φi 13
(32)
aquí el operador de rotación se expresa de forma más compacta sobre una de las coordenadas solamente ˆ R(dφk)|r, θ, φi = |r, θ, φ + dφi
(33)
el cual es claramente es una rotación de un ángulo dφ alrededor del eje z así tenemos que ˆ ˆ ˆ R(dφk)V (|r|)|r, θ, φi = R(dφk)V (r)|r, θ, φi ˆ = V (r)R(dφk)|r, θ, φi = V (r)|r, θ, φ + dφi = V (|ˆr|)|r, θ, φ + dφi ˆ = V (|ˆr|)R(dφk)|r, θ, φi
(34)
lo que se demuestra es que ˆ [V (|ˆr|), R(dφk)] =0 14
(35)
y también que el hamiltoniano conmuta con el generador de la rotación alrededor del eje z, ˆ L ˆz] = 0 . [H,
(36)
Si escogemos como eje de rotación el eje x o el eje y, también observaremos que ˆ L ˆ x] = 0 [H,
(37)
ˆ L ˆ y] = 0 . [H,
(38)
y
En general, el hamiltoniano es invariante ante cualquier rotación sobre cualquier eje arbitrario y como el hamiltoniano conmuta con el generador de dicha rotación y este es la componente del momento angular orbital en tal dirección, ˆ L ˆ n] = 0 , [H, 15
(39)
por tanto, de acuerdo a la ecuación de Heisenberg ˆ ni i ˆ ˆ dhL = h[H, Ln]i = 0 dt ℏ
(40)
ˆ n ≡ cte . L
(41)
luego
Esta invariancia rotacional es el reflejo de que el espacio es isotrópico así como la invariancia traslacional es el reflejo de la homogeneidad del espacio.
3.
Un conjunto completo de observables conmutantes
De la primera parte del curso hemos aprendido que los operadores de rotación alrededor de direcciones diferentes no conmutan en general. A partir 16
de ese hecho habíamos encontrado que los generadores de rotación tampoco conmutan y se había establecido un regla general expresado de la forma ˆ x, L ˆ y ] = iℏL ˆz [L
ˆ y, L ˆ z = iℏL ˆx [L
ˆ z, L ˆ x] = iℏL ˆy . [L
(42)
Una forma suscinta de expresar estas reglas es haciendo uso del tensor antisimétrico εijk . Una completa antisimetría es obtenida cuando dos índices se intercambian, εijk = −εjik y así sucesivamente. La otra definición es que ε123 = 1 y los términos antisimétricos se obtienen de la forma ε132 = −ε123 = −1 y si dos índices son iguales el tensor se hace cero, ε112 = −ε121 = 0, luego las relaciones de conmutación se escriben de forma compacta como ˆ i, L ˆ j ] = iℏ [L
3 X
k=1
ˆk εijk L
(43)
ˆ 1, L ˆ2 y L ˆ 3 representan L ˆ x, L ˆy y L ˆ z, donde i, j, k toman los valores 1,2,3 y L respectivamente. 17
También el producto vectorial es expresado en función del tensor antisimétrico de la forma ˆi = L
3 X 3 X
j=1 k=1
εijk xˆj pˆk .
(44)
Puesto que los generadores de rotación no conmutan alrededor de ejes diferentes, el hamiltoniano no conmuta simultáneamente con dos operadores generadores de rotación alrededor de direcciones diferentes. Pero si conmuta con el cuadrado de los mismos, ˆ L ˆ 2] = [H, ˆ L ˆ2 + L ˆ2 + L ˆ 2] = 0 . [H, x y z
(45)
Finalmente, debe existir un conjunto de autotestados que sean autoestados ˆ L ˆ2 y L ˆ z . Este conjunto de autokets está definido simultáneos al operador H,
18
como |E, l, mi y que cumplen las siguientes ecuaciones de autovalor ˆ H|E, l, mi = E|E, lmi , ˆ 2|E, l, mi = l(l + 1)ℏ2|E, lm, i , L ˆ z |E, lm, i = mℏ|E, l, mi , L
(46) (47) (48)
y que cumplen las condiciones de ortogonalidad y completez, hE ′ , l′, m′|E, l, mi = δE ′E δl′l δm′ m , ˆ1 = X |E, lmihE, l, m| ,
(49) (50)
E,l,m
respectivamente. ˆ con el operador L ˆ 2, usamos la siguiente Para relacionar el hamiltoniano H identidad, ˆ 2 = rˆ × pˆ · rˆ × pˆ = rˆ2pˆ2 − (rˆ · p) ˆ 2 + iℏ(rˆ · p) ˆ L 19
(51)
Evaluando sobre el vector de estado expresado en la base de energía y proyectado en el espacio del operador de posición, tenemos ˆ 2|αi = hr|rˆ2pˆ2 − (rˆ · p) ˆ 2 + iℏ(rˆ · p)|αi ˆ hr|L ˆ 2|αi + iℏhr|(rˆ · p)|αi ˆ . = hr|rˆ2pˆ2|αi − hr|(rˆ · p)
(52)
Evaluando los términos de la derecha separadamente, obtenemos hr|rˆ2pˆ2|αi = hr|r 2pˆ2|αi = r2hr|pˆ2|αi ,
(53)
ℏ ℏ ∂ ˆ ˆ hr|rˆ · p|αi = r · hr|p|αi = r · ∇hr|αi = r hr|αi , i i ∂r
(54)
ˆ 2|αi = −ℏ2r hr|(rˆ · p)
2
∂ ∂ ∂ ∂ r . + r2 2 r hr|αi = −ℏ2 ∂r ∂r ∂r ∂r
20
(55)
Luego 2 2 2 2 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂ ˆ hr|αi + ℏ r hr|L |αi = r hr|pˆ |αi + ℏ r + r hr|αi ∂r ∂r2 ∂r ˆ2 pˆ2 ℏ2 ∂ 2 2∂ L hr|αi , (56) |αi = hr| |αi + + hr| 2µr2 2µ 2µ ∂r2 r ∂r
ˆ2 pˆ L ℏ ∂ 2∂ hr|αi + hr| hr| |αi = − 2 + |αi 2µ 2µ ∂r r ∂r 2µr2 2
2
2
sumando la energía potencial
21
(57)
pˆ2 ℏ2 ∂ 2 2∂ hr|αi ˆ hr| |αi + hr|V (|r|)|αi =− 2+ 2µ 2µ ∂r r ∂r ˆ2 L ˆ |αi + hr|V (|r|)|αi (58) + hr| 2µr2
22
