CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO INESTABLE
FLUJO DE CALOR TRANSITORIO Y PERIODICO • SE AN ANAL ALIZ IZAR ARÁN ÁN PR PROB OBLE LEMA MAS S QUE QUE PU PUED EDEN EN SIMPLIFICARSE SUPONIENDO QUE LA TEMPERATURA ES UNA FUNCIÓN DEL TIEMPO Y ES UNIFORME A TRAVÉS DEL SISTEMA EN CUALQUIER INSTANTE. • ADEMA EMAS SE SE CON CONS SID IDER ERAR ARAN AN MÉT MÉTODOS ODOS PARA RESOLVER PROBLEMAS PRÁCTICOS DE FLUJO DE CALOR INESTABLE CUANDO LA TEMPERATURA DEPENDE NO UNICAMENTE DEL TIEMPO, SINO VARIA EN EL INTERIOR DEL SISTEMA
FLUJO DE CALOR TRANSITORIO Y PERIODICO • No obst obstan ante te que que no exis existe tenn en la natu natura rale leza za materiales que poseen una conductividad térmica infinita, muchos problemas de flujo de calor transitorio pueden resolverse con exactitud aceptable, suponiendo que la resistencia conductiva interna del sistema es tan pequeña, que la temperatura dentro del sistema es uniforme en cualquier instante
FLUJO TRANSITORIO DE CALOR EN SISTEMAS CON RESISTENCIA INTERNA DESPRECIABLE
• Esta simplificación está justificada cuando la resistencia térmica externa entre la superficie del sistema y el medio que lo rodea es grande, comparada con la resistencia térmica interna del sistema que controla el proceso de transferencia de calor
• •
Una medida de la importancia relativa de la resistencia térmica dentro del cuerpo sólido, es la razón de la resistencia interna a la externa. Esta razón se llama Número de Biot: Biot =
h L k S
h = Conductancia por unidad de superficie promedio kS = Conductividad térmica del cuerpo sólido L =Tiene dimensiones de longitud y es una constante significativa que se obtiene al dividir el volumen del cuerpo por el área de su superficie
En cuerpos cuya forma se asemeja a una placa, a un cilindro o una esfera, el error introducido por la hipótesis de que la temperatura en cualquier instante es uniforme, será menor al 5% cuando la resistencia térmica sea menor del 10% de la resistencia de la superficie externa: es decir:
Biot =
h L k S
p
0,1
Para la resolución de este tipo de problemas procede de la siguiente manera:
se
• Supongamos un trozo de metal en un baño de templado después de sacarse de un horno caliente y es sumergido bruscamente en un baño: T0 = Temperatura a la que se extrae del horno. t0 = Tiempo de inicio del enfriamiento. T ∞ = Temperatura del baño a una distancia lejos del trozo de metal, de manera que no varíe con el tiempo.
Balance energético: Se supone un pequeño trozo de metal fundido en un baño de templado después de sacarse de un horno caliente, se supone que el trozo se extrae del horno a una temperatura uniforme To y se sumerge tan bruscamente que se puede aproximar el cambio a la temperatura ambiente por un paso. Sea el tiempo de inicio como “t” y la temperatura del baño como “Too” Cambio de la energía interna del trozo de metal durante t
=
Flujo neto de calor del trozo de metal al baño durante t
_
− Cp
ρ V dT = h As (T − T ∞)dt
Balance energético: Donde: Cp = ρ = V = T = As = dT =
Calor especifico del trozo de metal (BTU / lb ºF) (kJ /kg. ºc) Densidad del trozo de metal (lb / pie3) (kg. /m3) Volumen del trozo de metal (pie3) (m3) Temperatura promedio del trozo de metal (ºF) (ºC) Área superficial del trozo de metal (pie2) (m2) Cambio de temperatura durante dt (ºF) (ºC)
_
= Unidad de conductancia unitaria por convección (BTU / h pie2 ºF) (kcal /h m2 ºC) t = Tiempo (seg.) kS = Conductividad térmica del material (BTU / h pie ºF) (w / m ºC) h
El signo menos de la ecuación indica que la energía interna decrece cuando T > Too
_
h As dT d (T − T ∞) dt = =− T − T ∞ (T − T ∞) Cp ρ V _
Ln
T − T ∞
h As
=−
To − T ∞
Cp ρ V _
T − T ∞ To − T ∞
−
=e
h As Cp ρ V
t
t
La cantidad:
Cp V ρ _ h As Tiene una dimensión de tiempo y se llama constante de tiempo, y su valor es indicativo de la rapidez de la respuesta. Los resultados del análisis se pueden expresarse en términos de parámetros adimensionales. Considerando una longitud característica (L = V / As) en unidades de longitud siendo una constante significativa del cuerpo
Variación de la energía interna • Para determinar la variación de la energía interna del sistema durante el intervalo de tiempo: _
− Cp
ρ V dT = h As (T − T ∞)dt
q = Cp ρ V
dT dt _
dT dt
= (T ∞ − To)
q _
h As Cp ρ V
=e
*e
_ h As * t − Cp ρ V
_ h As * t − Cp ρ V
=e
− ( Bi )( Fo )
h As (T ∞ − To) Q _
h As (T ∞ − To)
t
=
∫ e 0
_ h As *t − Cp ρ V
h As *t − Cp ρ V Cp V ρ dt = 1 − e _ h As _
Multiplique el numerador y denominador del exponente:
_ _ h t * L ks = h L * ks * t = ( Bi )(Fo ) Cp ρ L L ks ks ρ Cp L2 T − T ∞ ( Bi ) ( Fo ) =e To − T ∞ 2 2 a = ks pie m Cp ρ h seg. Fo = a t 2 L
Cuerpo semi infinito Si la temperatura en el interior de una placa no cambia durante un proceso, la distribución de temperatura cerca de la superficie es idéntica a aquella en una placa infinitamente gruesa que se designa como cuerpo semi infinito.
Cuerpo semi infinito Se considera que el cuerpo semi infinito se mantiene a una temperatura inicial Ti. Se reduce bruscamente la temperatura de la superficie y se le mantiene a una temperatura To; q
o
=
− kA
dt dx
x = o
To
Ti
X
Cuerpo semi infinito 2
∂ T ∂ x
2
=
1 ∂T
a ∂t T ( x, o) = Ti T (o, t ) = To
para t > 0
1. La distribución de temperatura en el cuerpo esta originalmente uniforme a To 2. En el instante t = 0 la cara del sólido semi infinito se pone en contacto con un fluido a Too 3. La conductancia por unidad de superficie “h” sobre la cara en x = o es constante y uniforme.
Cuerpo semi infinito Para este caso la solución de la ecuación x T − T ∞ G = T − T 2 a t 0 ∞ Donde : 2
∂ T ∂ x
2
=
x
es la int egral de Gauss de error 2 a t
1 ∂T
G
a ∂t T ( x, o) = Ti T (o, t ) = To
x
x
para t > 0
2 2 a t π
G
q = − ks A
∂T ∂ x
2 at
∫
β 2
e d β
0
= ks A
T ∞ − T 0
π a t
t
∫
Q = qdt = 2 ks A(T ∞ − T 0 ) 0
t
π a
Flujo transitorio de calor en una placa infinita En los casos anteriores se analizaron métodos analíticos para flujo transitorio que pueden simplificarse despreciando la resistencia térmica dentro del sistema. Cuando el número de Bi es mayor que 0,1 se pueden resolver por métodos gráficos. Si se tiene una pared de manera que el perfil de temperatura es simétrico con respecto al plano central, de manera que el gradiente de temperatura debe ser cero en el centro, siendo esta condición igual a la condición de frontera para la cara aislada.
Flujo transitorio de calor en una placa infinita Y (oo)
Z (oo)
X L
L
Aplicaciones a placas cuyo espesor es pequeño con relación a otras dimensiones, cilindros en que el diámetro es pequeño comparado con la longitud y esferas. Las soluciones graficas fueron dadas por HEISLER para los tres casos.
Flujo transitorio de calor en una placa infinita En los tres casos la temperatura ambiente para la convección es Too y la temperatura central para x = o ó r = o es To. En tiempo cero se supone que cada sólido tiene una temperatura inicial informe Ti. En las graficas se dan las temperaturas en los sólidos, como funciones del tiempo y la posición espacial.
θ = T ( x, t ) − T ∞ θ i
= T i − T ∞
θ o
= T o − T ∞
ó
T (r , t ) − T ∞
Flujo transitorio de calor en una placa infinita Si se desea una línea central de temperatura solo se necesitara una grafica para obtener el valor de θ o y en seguida de To. Para determinar una temperatura fuera del centro se necesitan dos graficas para calcular el producto:
θ θ i
θ o θ = θ i θ o
Cuerpo en dos y tres dimensiones
Se mostrara como combinar las soluciones de problemas en una dimensión, para obtener soluciones de problemas transitorios de dos y tres dimensiones
Sistema de coordenadas para una barra rectangular infinitamente larga
T − T ∞ T 0 − T ∞ barra
T − T ∞ T − T ∞ = * T 0 − T ∞ placa 2 a T 0 − T ∞ placa 2b
Sistema de coordenadas para un cuerpo en forma de tabique
T − T ∞ − T T 0 ∞ tabique
T − T ∞ T − T ∞ T − T ∞ * * = − ∞ − − T T T T T T 0 placa 2 a 0 ∞ placa 2b 0 ∞ placa 2c
Sistema de coordenadas para un cilindro finito
T − T ∞ − T T 0 ∞ cilindro long . 2 a
=
T − T ∞ T − T ∞ * − ∞ − T T T T 0 cilindro inf inito 0 ∞ placa 2 a
Sistema de coordenadas para la cuarta parte de un cuerpo infinito
T − T ∞ T T 0 − ∞ x , y
T − T ∞ T − T ∞ = * T T T T 0 − ∞ x 0 − ∞ y
Sistema de coordenadas para la octava parte de un cuerpo infinito
T − T ∞ T 0 − T ∞ x , y , z
T − T ∞ T − T ∞ T − T ∞ = * * T 0 − T ∞ x T 0 − T ∞ y T 0 − T ∞ z
