Contenido
LA ECUACION DE CALOR ................................................. ................................................................................................................ ............................................................... 2 CONDICIONES DE FRONTERA............................................ FRONTERA ......................................................................................................... ............................................................. 4 DISCRETIZACION DE LA ECUACION DE CALOR EN ENFOQUE BIDIMENSIONAL DE GALERKIN....... GALERKIN....... 6 EL TRIANGULAR COMO ELEMENTO FINITO .............................................. ................................................................................... ..................................... 8 Jacobiano de la transformación transformación para el Elemento Triangular .................................................. .................................................. 8 Ecuaciones de Forma del Elemento Triangular ................................................ Triangular ....................................................................... ....................... 10 MATRICE RIGIDEZ Y GLOBAL............................................. GLOBAL ........................................................................................................ ........................................................... 12 Matriz de Rigidez del Elemento ................................................ ............................................................................................... ............................................... 12 Matriz Global del Elemento .................................................................... ..................................................................................................... ................................. 14
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ANALISIS DE LA TRANSFERENCIA TRANSFERENCIA DE CALOR CALOR EN ESTADO ESTADO ESTABLE POR EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
LA ECUACION DE CALOR La conservación de la Energía es un principio fundamental de la física, a pesar de no poseer una demostración matemática, es uno de los más útiles descubrimientos, ya que la mayoría de las teorías de termodinámica, transferencia de calor, algunas de la mecánica de sólidos y de fluidos parten y convergen de esta.
[1]
Fue Benjamín Thompson (1753 - 1814) quién descubrió la equivalencia del trabajo y el calor, en esas épocas se enfrentaba con la teoría del calórico (calor era un fluido sin masa). Más
adelante Albert Einstein (1879 - 1955) en uno de sus brillantes artículos de 1905 dio la ecuación más popular de la física
(equivalencia masa - energía) era un año antes de
tomar a un tiempo – espacio como relativo y mas no como absolutos e independientes. Por lo tanto la ley puede ser modificada para expresarse como la conservación de la masa – energía. Siempre y cuando un proceso nuclear no este implícito. La ecuación [1] se la puede representar de siguiente manera:
[2]
Ahora,
supongamos que el proceso inicia ya con una energía energía almacena previa o genera
energía mediante un proceso químico o eléctrico, su ecuación correspondería:
[3]
Consideraremos un medio tridimensional homogéneo y de este tomaremos un
volumen
de
control
fijo
diferencial
. Al utilizar una configuración de
flujo arbitraria [3] obtendremos:
2
[4]
(i )
( j) j)
(j) parte de la de conducción de calor evaluado a partir de Fourier. Donde:
es temperatura y
constante de conducción
(k )
(l )
=
Si no existe un cambio de fase la energía de almacenamiento se expresa como (l ( l ) Donde:
Sustituimos: (i (i )
Sea:
( j )
es densidad,
es calor específico y
es tiempo.
(k ) (l ) en [4]
difusividad térmica
[A]
“en cualquier punto dentro del medio homogéneo, la transferencia de energía por conducción en un volumen unitario más la rapidez de generación volumétrica de energía térmica debe ser igual a la rapidez de cambio de energía térmica almacenada dentro del volumen de control fijo”
Idealizaremos la ecuación de difusión de calor [A] para abordar su estudio mediante el Método de los Elementos Finitos. [B]
Sea [B] la Ecuación de Conducción de Flujo estable.
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CONDICIONES DE FRONTERA “Las limitaciones de la mente humana son tales que no puede captar el comportamiento del complejo mundo que la rodea en una sola operación global”… O. C. Zienkienwicz, R. L. Taylor.
Resolver el problema con la totalidad de sus componentes o elementos es un reto de muy poca probabilidad de lograrlo. Es por esta razón que los ingenieros nos ideamos en separa el problema en sistemas con sus componentes o elementos más notables, para resolver cada uno de estos y tener un sumatorio que nos dará una tendencia del fenómeno estudiado. Los modos de transferencia de calor son: por convección, por conducción y radiación, estos son
provocados
por
una
diferencia
de
temperaturas y las condiciones de frontera son: de temperatura especificada, de flujo de calor especificado y de convección. convección. Su papel es de gran importancia ya que nos permite delimitar nuestro problema y condicionarlo a nuestras necesidades de cálculo. Las ecuaciones que responden a estos fenómenos son:
“movimiento molecular aleatorio”
Donde:
constante de conducción.
“movimiento molecular aleatorio más un movimiento global del flujo”
Donde:
es superficie de trabajo, superficie y
Sea:
4
constante de convección,
temperatura del flujo.
temperatura de la
Donde:
Temperatura inicial
Donde:
flujo de calor inicial.
Es importante un entendimiento de los principios que intentan interpretar a la naturaleza, ya que físicos colocan las ecuaciones diferenciales, matemáticos tratan de buscar su respuesta analítica, mientras los ingenieros buscan respuestas aproximadas cada vez m ás óptimas.
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DISCRETIZACION DE LA ECUACION BIDIMENSIONAL DE GALERKIN
DE
CALOR
EN
ENFOQUE
[C]
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Descripción de [C] De la primera integral doble obtendremos la Matriz Global, que será explicada más adelante, y aplicaremos nuestras Condiciones de Frontera: [C1]
De la segunda integral doble obtendremos la Matriz de Rigidez:
[C2]
La cual nos permitirá realizar el pre proceso computacional y nos dará las soluciones del problema, Es decir, la temperatura en cada elemento.
Ahora, hemos mallado al sistema y usamos como Elemento Finito, un triangulo.
De la tercera integral podremos incluir un flujo de calor inicial suministrado: [C3]
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EL TRIANGULAR COMO ELEMENTO FINITO Jacobiano de la transformación transformación para el Elemento Triangular
Dado:
Mediante la Regla de la cadena: cadena:
En notación matricial obtenemos:
ó
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[D]
Donde:
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Ecuaciones de Forma del Elemento Triangular
Representaciones isoparamétricas
Representación Matricial
Sustituimos las Ecuaciones de Forma en
y
Ahora para la Matriz Matriz Jacobiana obtenemos:
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Por lo tanto [D], nos queda:
Sea:
Por lo tanto:
Sea:
y
Finalmente [D]:
[E]
[E] representa la matriz Jacobiana desarrollada totalmente para un elemento triangular y esta será aplicada en el momento de la programación para el pre proceso.
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MATRICE RIGIDEZ Y GLOBAL Matriz de Rigidez del Elemento
Trabajando con [C2], obtendremos la matriz de rigidez del elemento:
Mediante los residuos ponderados: temperaturas.
y N es una matriz virtual de
En arreglo matricial, obtendremos:
(i)
Aplicando en (i) el Jacobiano de la transformación, para:
(j)
Sustituir en (j) la matriz Jacobiana desarrollada totalmente: [F]
[F] es la doble integral de la matriz de rigidez del elemento triangular, como un triangulo posee tres a ristas, en cada arista tendremos tres temperaturas.
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Recordando la definición dada por Newton a la integral, sabemos que: Ahora aplicamos en [F]
[G]
Matriz de Rigidez del Elemento
Donde:
coeficiente de conducción en el elemento,
Are del elemento
triangular:
Si a nuestro sistema lo mallamos con n elementos, tendremos n matrices de rigidez, cuyo sumatorio nos permitirá ensamblar la Matriz de Rigidez del sistema.
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Matriz Global del Elemento
[C1] es la doble integral donde nosotros podemos matemáticamente colocar los
valores de frontera o las condiciones iníciales del problema a resolver. En [C1] aplicamos la ley de Fourier, en la dirección correspondiente:
(i)
(i) Aplicar el teorema de la divergencia:
Mediante los residuos ponderados:
y N es una matriz
virtual de temperaturas.
(j)
En (j) aplicaremos todas nuestras condiciones de frontera y que actúan sobre la superficie, es por esta razón la importancia del teorema de
divergencia:
Donde: que
Son datos o condiciones que imperan el problema, Mientras
es una variable que debemos sumar a la Matriz Rigidez del Elemento que
este sometido a esta condición.
Es de suma importancia, ya que al agregar a la Matriz de Rigidez Global nos
permitirá eliminar por lo menos una fila y columna y sacara la singularidad de nuestros sistemas de matrices, es decir, la matriz tendrá inversa y se podrán hallar sus raíces. Este tema lo veremos más adelante con más detalle.
Las C. F. en (j)
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(k)
(k1)
La longitud expuesta a la condición
es:
Sera
Las funciones de forma son especiales para modelar la condición y son:
Aplicar toda esta concepción en (k1)
Integrando -> (k1’) (k1’)
(k1’) es el modelo de una condición inicial de flujo de calor
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(k2)
Sera
La longitud expuesta a la condición
es:
Las funciones de forma son especiales para modelar la condición y son:
Aplicar toda esta concepción en (k2)
Integrando -> (k2’) (k2’)
(K2’) es el modelo matemático de una Temperatura inicial dada.
Por analogía tendremos el modelo m atemático para cuando tengamos la temperatura ambiente del sistema: (k3’)
(K3’) es el modelo matemático de la Temperatura ambiente del sistema.
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Modelo matemático para para la variable (k4) Sea:
La longitud expuesta a la variable es:
Reordenando:
Las funciones de forma son especiales para modelar la condición y son:
Aplicar toda esta concepción en (k4)
Integrando -> (k4’) (k4’)
(K4’) es el modelo matemático para la convección.
Omitimos la radiación
ya que es un modelo no lineal y requiere de
un trato singular. Ya que se trata de cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos o moléculas constitutivas cuyo transporte son ondas electromagnéticas. La buena conjugación de: (K1’),…, (K4’), La Matriz de Rigidez y la Global. Dependerán del ingenio del sujeto. Y el éxito de obtener resultados coherentes, acorde con la práctica, dependerá de su habilidad para la programación. Este es el análisis matemático de “toda” la Transferencia de Calor en Estado Estable por el Método de los Elementos Finitos. Ahora queda buscarla una aplicación. 17
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