ÁREAS Si f es continua tal que f ( x , y ) 1 para todo ( x , y ) doble representa el área de la región plana R , es decir
A( R )
f ( x , y )dA )dA R
R
2
,
entonces la integral
dA R
Ejemplo 1. Calcular el área comprendida por la gráfica de las funciones y
y cos cos(x) 1 en el intervalo
4
,
5
sen( x) 1 e
.
4
Solución. Como podemos observar en la gráfica, se trata de una región Y- simple.
Entonces para el cálculo del área emplearemos la integral relacionada a este tipo de región. 5 4
Area( D)
D
1 dA
5
sen( x ) 1
1 dy dx
2
4
y
2
sen( x ) 1 cos( cos( x) 1
dx
cos( cos( x) 1 4
4
5 5
4
2 sen( x)
cos( x) dx 2
cos( x)
sen( x)
4
4 2
4 4
Ejemplo 2. Calcular el área de la región D comprendida por la gráfica de las funciones
y
x e y (2 x)2 y y 0 .
Solución. A continuación representaremos gráficamente el área que queremos calcular. Para ello, en primer lugar encontraremos los puntos de intersección de las funciones que delimitan el dominio a integrar. Igualando las funciones se tiene
x (2 x)2
x2 5x 4 0
Luego los puntos que delimitan el dominio son : P1
x 1
x 4
(0, 0) , P2
(1,1) , P 3
(2, 0)
Por lo tanto el dominio D sobre el que tenemos que integrar es una región x-simple de la siguiente forma:
D Área
1dA
D D
1 0
(2
( x, y) 0
1
2
0
y
y
y
y) dy
1 dx
2y
y 1 ,y x 2 1
dy
2
0
x 2
y
y
x
dy x y
y3 2
y2
3
2
y 1
2
Ejemplo 3. Encontrar el área de una flor de r cos(2 ) .
Solución
y 0
5 6
Área de una flor 2
4
0
0 4
4
cos 2
0 2
[cos 2 ] 1 cos 4 2
0
1 24
r dr d
1
d 2
s en 4 4
4
0
8
Ejemplo 4 Encontrar el área de la región R que se encuentra entre las curvas r 2 sin 3 y r 4 cos3 .
Solucion
2
A rea 0 '
4 cos(3 )
2 sen(3)
1.r dr d
2
0
r 2 2
1
2
2
0
1 2
2
0
4 cos ( 3)
2 sen (3 )
d
(4 cos 3 ) 2 (2 sen 3 ) 2 d
(12 8 cos 3 cos 6 4 sen 3 d
12 Ejemplo 5. Encontrar el área de la región R en el primer cuadrante acotado por las curvas x y , x 2 y , xy 1 , xy 4 .
Solución
Hacemos el cambio de variable u x y y v x y . Entonces la región por las desigualdades 1 u 2 , 1 v 5 . Para integrar en el espacio u , v , tenemos que encontrar el Jacobiano. Primero resolvemos las ecuaciones para x e y en términos de u , v , obteniendo:
x u v , x
v u
Asi
J (u, v)
v 1 vu 1 2 4 u v 4u uv 2u
1
Luego ,
Area( R) R dxdy
1 2
2
1
5
1
1
u
dvdu 2
2
1
du 2 ln 2 u
