EXPANSIÓN POLINOMIAL EN SERIES DE TAYLOR
DEFINICIÓN Sea f una función cuyas “n” derivadas existen en un intervalo I , y estas no tienen un tamaño desmesurado; es decir, están acotadas:
f n ( x) k
xI
Entonces, se verifica que:
f (a)( x a) f (a)( x a) 2 f (a)( x a)3 f n (a)( x a) n f ( x) f (a ) ... ... 1! 2! 3! n! Donde:
aI
Es decir, una función infinitamente derivable en un intervalo puede representarse como un polinomio a partir de sus derivadas evaluadas en un punto “ a ”* de dicho intervalo. De manera más compacta:
( x a)n f ( x) f ( a) n! n 0
n
Esta fórmula, presentada por el matemático inglés Brook Taylor (1685-1731) en su Methodus Incrementorum Directa et Inversa (1715); es conocida como la fórmula de Taylor. Hacer una función equivalente a un polinomio de Taylor permite aproximar los valores mediante operaciones más simples (productos y sumas), aplicar las propiedades de las sumatorias, aproximar derivadas e integrales, entre otros.
*Cuando el punto escogido (“ a ”), para evaluar la función y sus derivadas, es 0; la serie toma el nombre de Maclaurin; en honor a Colin Maclaurin (1698-1746) quien estudió este caso particular de la series de Taylor.
Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 1. Calcúlese la serie de Taylor de f ( x) e x Empezamos derivando, tratando de obtener un patrón; lo que es fácil con esta función:
f ( x) e x , f ( x) e x , f ( x) e x ,..., f n ( x) e x Entonces, de la fórmula:
e x ea
e a ( x a ) e a ( x a ) 2 e a ( x a )3 e a ( x a) n ... ... 1! 2! 3! n!
Tomamos un punto (“ a ”), de fácil cálculo y con el que existan las derivadas; en este caso escogemos a =0.
e0 ( x 0) e0 ( x 0) 2 e0 ( x 0)3 e0 ( x 0) n e e ... ... 1! 2! 3! n! 1( x) ( x) 2 ( x)3 ( x) n ex 1 ... ... 1! 2! 3! n! De tal modo la serie para f ( x) e x , es: x
0
x x 2 x3 x 4 x5 xn e 1 ... ... 1! 2! 3! 4! 5! n! x
De forma más simple:
xn e n 0 n! x
Es decir, evaluar f ( x) e x resulta igual a evaluar el
xn polinomio infinito ; por ejemplo: n ! n 0
1n 1 f (1) e n 0 n! n 0 n! 1
Desarrollando el polinomio hasta 5° grado:
e 1
1 1 1 1 1 2.716 1! 2! 3! 4! 5!
Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 2. Calcúlese la serie de Taylor de f ( x) ln( x)
1 1 1.2 IV 2.3 (1) n1 (n 1)! n Las derivadas: f ( x) , f ( x) 2 , f ( x) 3 f ( x) 4 ,..., f ( x) x x x x xn De la fórmula de Taylor:
1 ( x a) 1 ( x a) 2 1 ( x a)3 (1) n1 ( x a) n ln( x) ln(a) 2 3 ... ... a 1 a 2 a 3 an n Resulta evidente que “ a ” no puede ser 0 (no admite una serie de Maclaurin) ya que no es derivable – ni continua- en ese punto; por comodidad se toma a =1.
1 ( x 1) 1 ( x 1) 2 1 ( x 1)3 (1) n1 ( x 1) n ln( x) ln(1) 2 3 ... ... 1 1 1 2 1 3 1n n ( x 1) ( x 1)2 ( x 1)3 ( x 1) 4 (1) n ( x 1) n1 ln( x) ... ... 1 2 3 4 n 1 Entonces:
(1)n ( x 1)n1 (n 1) n 0
ln( x)
CONVERGENCIA La aproximación con series de Taylor es mejor – para cualquier grado de desarrollo – mientras más cerca esté el número del punto de prueba ( a ). Es decir, hay un intervalo de convergencia centrado en “ a ”; con un radio de convergencia “ r ” (que pertenece al intervalo I ); para el cual la serie converge.
Luis E. Loaiza Guillen.
Teorema
Sea
u ( x a) n 0
n
n
una serie cualquiera; entonces se cumple una de las condiciones:
→ La serie solo converge (es exacta) para “ a ”. ( r =0) → La serie converge para cualquier valor de “x”. ( r = ) → La serie converge para un intervalo ( a r; a r ); con r 0 .
Ejemplo 3. Usemos la serie hallada en el ejemplo 2; para aproximar ln(1.2) y ln(3) desarrollando el polinomio hasta quinto grado:
(1.2 1) (1.2 1) 2 (1.2 1)3 (1.2 1) 4 (1.2 1)5 ln(1.2) 0.18233 1 2 3 4 5 (3 1) (3 1) 2 (3 1)3 (3 1) 4 (3 1)5 ln(3) 5.06667 1 2 3 4 5 Comparando con los valores reales (redondeado a 5 decimales):
ln(1.2) 0.18232 ln(3) 1.09861 Se puede observar que la aproximación es muy buena para ln(1.2), mas no para ln(3); lo que se explica por la cercanía con el punto de prueba ( a =1). Es evidente que 3 está fuera del intervalo de convergencia.
Luis E. Loaiza Guillen.
CÁLCULO DEL INTERVALO DE CONVERGENCIA: “PRUEBA DE LA RAZÓN” (CRITERIO DE D´ALEMBERT)
n Supongamos una serie de Taylor: T ( f , a) un ( x a) , donde los un son los coeficientes; n 0
entonces, se justifica que los términos vayan haciéndose más pequeños (ya que el denominador factorial se hace más grande), es decir, para cualquier n:
un ( x a)n un1 ( x a)n1 La prueba de la razón consiste en evaluar el límite:
lim n
un1 ( x a)n1 un ( x a ) n
1
Dado que:
lim n
un1 ( x a)n1 un ( x a ) n
( x a)n1 un1 u lim ( x a) lim n1 1 n n ( x a ) n u un n
Después de calcular el límite, resulta un intervalo en “x”.
(1)n ( x 1)n1 Ejemplo 4. Calcular el intervalo de convergencia de ln( x) (n 1) n 0
lim n
un1 ( x a ) n1 un ( x a ) n
(1)n1 ( x 1) n 2 (n 2) (1)n1 ( x 1) n 2 (n 1) lim lim n ( 1) n ( x 1) n 1 n ( n 2)( 1) n ( x 1) n 1 (n 1)
(1)1 ( x 1)1 (n 1) (n 1) lim x 1 lim 1 n n ( n 2) (n 2) Evaluando el límite:
x 1 lim n
(n 1) x 1 1 1 x 1 1 0 x 2 (n 2)
El intervalo de convergencia es exactamente: 0;2] . Y el radio de convergencia es 1.
Luis E. Loaiza Guillen.
(1)n ( x)2 n1 Ejemplo 5. La serie de Maclaurin para la función seno es: sen( x) ; calcule el (2n 1)! n 0
intervalo de convergencia. Usando la prueba de la razón:
lim n
un1 ( x a ) n1 un ( x a ) n
(1) n1 ( x)2 n3 (2n 3)! (1) n1 ( x)2 n3 (2n 1)! lim lim n ( 1) n ( x ) 2 n 1 n ( 1) n ( x ) 2 n 1 (2n 3)! (2n 1)!
(1)1 ( x) 2 1 lim x 2 lim 1 n (2n 2)(2n 3) n (2n 2)(2n 3)
Calculando el límite:
x 2 (0) 1 0 1 Lo que indica que la serie converge para todo x.
APROXIMACIÓN Y ACOTACIÓN DEL ERROR Al realizar una aproximación con una serie de Taylor uno está limitado - obligado - a realizar una suma finita; Es decir, escoger el grado hasta el que se desarrollará el polinomio.
Tomemos la expansión de Taylor para la función exponencial (ejemplo 1) para calcular una aproximación del número de Euler ( e ); podríamos desarrollar el polinomio a distintos grados:
e 1
1 1 1 1 1 2.71667 1! 2! 3! 4! 5!
e 1
1 1 1 1 1 1 2.71806 1! 2! 3! 4! 5! 6!
e 1
←aproximación de quinto grado (n=5)
←aproximación de sexto grado (n=6)
1 1 1 1 1 1 1 2.71825 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!
←aproximación de séptimo grado (n=7)
Luis E. Loaiza Guillen.
Entonces si aproximamos una función cometido es:
f ( x)
por una suma finita de grado “n” Tn ( f , a) ; el error
f ( x) Tn ( f , a) En otras palabras se comete un error por todos aquellos términos que no se sumaron, este se puede acotar:
Rn Donde Rn es el resto de Lagrange, que se expresa:
f n1 ( )( x a) n1 Rn (n 1)!
a x
Que representa el máximo error cometido en la aproximación de grado “n”.
Ejemplo 6. Estime el error cometido al calcular
sen( ) con un polinomio de Taylor de 5° grado. 6
Del ejemplo 5, sabemos:
x3 x5 T5 (sin( x),0) x 3! 5! 6 6 T5 (sin( ),0) 0.500002 6 6 3! 5! 3
5
El resto de Lagrange:
( ) 7 7 6 R5 7 2.14 *106 2.14 *106 (7)! 6 7!
T5 (sin( ),0) 0.500002 2.14*106 6
Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 7. Calcule el grado del polinomio para obtener una aproximación de
1 con un error e
menor a 10-4. Sabemos: 1 (0.5)n 0.5 e n! e n 0
con 104
Usando el Teorema Lagrange:
e (0.5)n1 Rn 10 104 (n 1)! 4
Tomando un ϴ que haga máximo el resto entre <-0.5;0>
e0 (0.5)n1 (0.5) n1 104 (n 1)! (n 1)! Entonces el menor número “n” que cumple la desigualdad:
(0.5)51 1 104 (5 1)! 46080 Podemos comprobarlo:
e
0.5
(0.5)0 (0.5) (0.5)2 (0.5)3 (0.5)4 (0.5)5 0.606510... 0! 1! 2! 3! 4! 5!
El resultado exacto: 0.606530… (se comprueba que el error aparece en la cuarta cifra decimal, como se quería)
Luis E. Loaiza Guillen.
COMPOSICION Y SUSTITUCION
Ejemplo8. Calcule
T ( g ( x),0) con g ( x) e x e x , y su intervalo de convergencia.
Queremos expandir alrededor de 0, la función que resulta de restar otras funciones; partiendo de:
xn x x 2 x3 x 4 x5 xn e 1 ... 1! 2! 3! 4! 5! n! n 0 n! x
Haciendo:
x x Obtenemos:
( x)n (1)n x n x x 2 x3 x 4 x5 e 1 ... n! n! 1! 2! 3! 4! 5! n 0 n 0 x
Restando ambas series:
x n (1)n x n 2 x 2 x3 2 x5 2 x 7 g ( x) e e ... n ! n ! 1! 3! 5! 7! n 0 n 0 x
x
x x3 x5 x 7 x 2 n1 g ( x) e e 2( ...) 2 1! 3! 5! 7! n 0 (2n 1)! x
x
Se puede demostrar que converge para todo x.
Luis E. Loaiza Guillen.
CÁLCULO DE LÍMITES Teorema Sea el límite
L lim f ( x) , y Tn ( f , a) la serie que representa a f ( x) alrededor de “ a ”, xa
entonces:
L lim f ( x) limTn ( f , a) xa
xa
Ejemplo 9. Demuestre que el límite hacia cero de la función seno cardinal es 1, usando series de Taylor.
sinc(x)
sin x x
Sabemos que la serie para la función seno:
(1)n ( x)2 n1 x3 x5 x 7 x9 sen( x) x ... (2n 1)! 3! 5! 7! 9! n 0
Luego, para un mismo valor de x; distinto de 0:
senx x 2 x 4 x 6 x8 1 ... x 3! 5! 7! 9! senx (1) n ( x) 2 n x n 0 (2n 1)! Donde resulta evidente:
sin x 1 x0 x
lim sinc(x) lim x 0
Luis E. Loaiza Guillen.
DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN Teorema Sea Tn ( f , a)
u ( x a) n 0
n
n
f ( x)
una serie que representa a
y converge alrededor de “ a ” con un
radio de convergencia “ r ”, entonces:
→ La serie
u (n 1)( x a) n 1
n 1
n
representa a f '( x) y tiene el mismo radio de convergencia, mas
no necesariamente converge en los extremos del intervalo.
( x a)n1 → La serie un representa a n 1 n 0
x
f ( x)dx
con " x " que pertenece al intervalo de
0
convergencia. En resumen, derivar o integrar término a término una serie que representa una función; genera la serie de su derivado o integral, con el mismo radio de convergencia.
Ejemplo 10. Obténgase la serie para
1 1 x
(1)n ( x 1)n1 Conocemos que ln( x) (n 1) n 0
Sustituyendo x 1 x , en la serie.
(1)n (1 x 1)n1 (1)n ( x)n1 ( x)n1 ln(1 x) (n 1) (n 1) n 0 n 0 n 0 ( n 1)
Luego, como:
d (ln(1 x)) 1 dx 1 x
d (ln(1 x)) d ( x) n1 (n 1)( x) n 1 ( ) dx dx n0 (n 1) (n 1) 1 x n 0 1 1 x x 2 x3 ..... x n 1 x n 0
Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 11. Mediante integración, obtenga la serie para h( x) arctan( x) Por el ejemplo anterior, sabemos Si sustituimos x x
1 xn 1 x n 0
2
Conseguimos: 1 1 ( x 2 )n 2 2 1 ( x ) 1 x n 0 1 (1) n x 2 n 2 1 x n 0 x
Como:
1
1 x
2
dx arctan( x) , la función es equivalente a:
0
h( x) (1) n x 2 n dx 1 x 2 x 4 x 6 ...dx 0 n 0 0 x
x
x3 x5 x 7 arctan( x) x .... 3 5 7 Por lo que:
(1)n x 2 n1 h( x) arctan( x) 2n 1 n 0
1 x 1
Luis E. Loaiza Guillen.
MÉTODO NUMÉRICO PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES Sea la ecuación diferencial ordinaria y el valor inicial, el PVI:
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0 Con solución:
y y ( x)
De la formula de Taylor:
y ''( x0 )( x x0 ) 2 y '''( x0 )( x x0 )3 y ( x) y ( x0 ) y '( x0 )( x x0 ) ... 2! 3! f '( x0 , y0 )( x x0 ) 2 f ''( x0 , y0 )( x x0 )3 y ( x) y ( x0 ) f ( x0 , y0 )( x x0 ) ... 2! 3! En general para el problema: n F ( x, y, y ', y '',..., y ) 0 PVI n 1 y ( x0 ), y '( x0 ), y ''( x0 ),..., y ( x0 )
Se puede aproximar la solución de la ecuación diferencial (función) para un punto cercano al valor inicial, centrando una serie de Taylor en el valor inicial en este punto A veces, para obtener un valor más exacto de un punto cualquiera conviene dividir el intervalo entre el punto que se tiene y el deseado, de tal forma que se tomen siempre valores cercanos; mientras se van centrando sucesivas series en cada iteración *La aproximación lineal:
y( x) y( x0 ) y '( x0 )( x x0 ) y( x0 ) f ( x0 , y0 )( x x0 ) Es conocido como el método de Euler
Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 12. Emplee el método de Taylor para aproximar y(0.5), usando un polinomio de tercer grado, y compare con el valor exacto; dado el problema:
y ' y 2x y (0) 0 Primero resolveremos la ecuación diferencial analíticamente, observando que es lineal:
dy (1) y 2 x dy ydx 2 xdx dx El factor integrante:
e
( 1)dx
e x
e x dy ydx e x 2 xdx e x dy e x ydx 2 xe x dx d (e x y ) 2 xe x dx d (e x y ) 2 xe x dx e x y 2( x 1)e x c La solución general:
y( x) 2( x 1) ce x Y la particular:
y (0) 2(0 1) c 0 c 2 y ( x) 2( x 1) 2e x El valor que se pide:
y(0.5) 2(0.5 1) 2e0.5 0.29744 Ahora usando el polinomio de Taylor, con el valor inicial:
y ''(0)( x)2 y '''(0)( x)3 y ( x) y (0) y '(0)( x) ... 2! 3! Sabemos
y ' y 2 x y '' y ' 2 y ''' y ''
y(0) 0, y '(0) 0, y '' 2 y ''' y n n 2
Luis E. Loaiza Guillen.
En general, la serie (de Maclaurin) sería:
( x)2 (2) ( x)3 (2) ( x)4 (2) ( x)5 (2) y ( x) 0 0 ... 2! 3! 4! 5! Factorizando:
( x ) 2 ( x )3 ( x ) 4 ( x )5 y ( x) 2 ... 3! 4! 5! 2! Haciendo algunos arreglos
( x) 2 ( x)3 ( x) 4 ( x) 5 y ( x) 2 1 1 x x ... 2! 3! 4! 5! 2 3 4 ( x) ( x) ( x) ( x) 5 xn y ( x) 2( x 1) 2 1 x ... 2( x 1) 2 2! 3! 4! 5! n 0 n! Por lo que se puede demostrar que se obtiene la solución exacta:
y( x) 2( x 1) 2e x Ahora, numéricamente el valor pedido:
(0.5)2 (2) (0.5)3 (2) 7 y (0.5) 0 0 0.29167 2! 3! 24 Ahora si agregásemos un par de términos más (polinomio de 5 grado):
(0.5)2 (2) (0.5)3 (2) (0.5)4 (2) (0.5)5 (2) 571 y (0.5) 0 0 0.2974 2! 3! 4! 5! 1920 Otra forma de aumentar la exactitud, sin agregar términos: haciendo iteraciones.
(0.25) 2 (2) (0.25)3 (2) 13 y (0.25) 0 0 0.06771 2! 3! 192 y ''(0.25)( x 0.25)2 y '''(0.25)( x 0.25)3 y ( x) y (0.25) y '(0.25)( x 0.25) 2! 3! 2 y ''(0.25)(0.25) y '''(0.25)(0.25)3 y (0.5) y (0.25) y '(0.25)(0.25) 0.29656 2! 3!
Luis E. Loaiza Guillen.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Muestre los polinomios finitos: a)
c) T4 ( x ln(1 x
T3 ( 1 x 2 sin( x), )
b) T3 (tan( x), ) 4
d) T5 (
2
),0)
1 ,1) x2 1
2. Obtenga las series correspondientes a las siguientes funciones alrededor de los puntos indicados: a)
c) cos( x) , a=0
ln( x x ) , a=1
b) arcsin( x) , a=0
d)
( x 1)2 , a=0
1 x x 2 n1 ) y calcule su intervalo de convergencia. ¿En 3. Pruebe que la serie representa a log( 1 x n 0 2n 1
qué punto coinciden? 4. Calcule el radio de convergencia de la serie de potencias:
a)
(n!) x
zn b) n 0 2
n
n 0
5. Calcule el intervalo de convergencia para la serie del ejemplo 10, si esta representa una serie geométrica de razón “x”>0. 6. Aproxime 3 8.5 , usando un polinomio de quinto grado ¿Dónde lo centraría?; estime el error y use el valor exacto para calcular el error absoluto. Trabaje con seis decimales. 7. Use un polinomio de Maclaurin de noveno grado para arcsin( x) (ver problema 2. b)) y aproxime
; acote el error. Sugerencia: use 6arcsin(0.5) . 8. ¿Qué grado debe tener el polinomio de Taylor que aproxima a 1 / x alrededor de x=1, para 5
aproximar1/ 1.3 , con un error máximo de 10 . Sugerencia: derive la serie del ejemplo 2. Luis E. Loaiza Guillen.
9. Dentro de una circunferencia de radio “R” se inscribe un cuadrado; dentro de este, otra circunferencia; y asi sucesivamente. a) plantee la serie que representa la suma del area de todos los círculos (S1) y la de todos los cuadrados (S2). b) use la serie del ejemplo 10 para calcular S1 y S2, en función de “R”. 10. ¿En qué intervalo la aproximación de cos( x) con 1
x2 x 4 x6 tiene error máximo de 106 ? 2! 4! 6!
11. Obtenga las series usando empleando el procedimiento sugerido, e indique el valor del punto de evaluación. a) sin(2 x)cos(2 x) .
Sugerencia: Sustitución y razón trigonométrica de un ángulo doble.
b) log10 (5 x) .
Sugerencia: Cambio de base y sustitución, o logaritmo de un producto.
c)
xe x cos( x 2 ) .
x2 x d) . x3
Sugerencia: Sustitución y multiplicación.
Sugerencia: Descomposición en fracciones parciales.
12. Calcule los límites: a)
1 cos( x) x0 x2
lim
ex 1 b) lim x 0 x
x arcsin( x) x 0 x3
c)
lim
d)
lim
log10 ( x) x 1 (1 x )
1
x e dx 2
13. Estime:
0
14. Obtenga la serie que representa
15. A partir de
sin( w) w dw y calcule su intervalo de convergencia.
5x 1 x n , obtenga la serie que representa . (1 x) 2 1 x n 0
Luis E. Loaiza Guillen.
x
16. Aproveche que sin(2 x)dx sin ( x) (ver problema 11.a)), para calcular 2
T (sin 2 ( x),0) .
0
Calcule también
T (cos2 ( x),0) .
17. Sea el problema:
y '' xe x y (0) 0 y '(0) 1 Aproxime y(0.3) usando un polinomio de Taylor de tercer grado, calculando: a) Directamente el valor con la formula de Taylor a=0. b) Primero y(0.1), con a=0; luego, y (0.2) con a=0.1 y y(0.3), con a=0.2 (tres iteraciones). Calcule en ambos casos el error absoluto, si y(0.3)=-0.294759973
y ' e x x 1, si coinciden en y(0)=1. 2
18. Muestre el polinomio cúbico que aproxima la solución
x 2 n1 0.5 x 2 x 1 ? ¿Puede mostrar la forma de la solución y ( x) n 0 n!(2n 1)
Sugerencia: realice una integración semejante al problema 13. 19. Obtenga los coeficientes de la parábola ax bx c que aproxima, en las cercanías de x=0, a la solución del problema: 2
u '' e xu ' ( x 1)u 5 u (0) 0 u '(0) 3
xn , con el cambio x i ( i 1 ), para demostrar la identidad de Euler: n 0 n!
x 20. Use e
e i cos( ) i sin( ) Sugerencia: Sustituya y reagrupe los términos de la serie exponencial.
Luis E. Loaiza Guillen.
