Tema 1. Repaso de Series de Potencias

P n (x) yn +

·· · + P 1 (x) y + P   (x) = 0 o

(+, , , , )

−×÷◦

y  + y = 0

z +1=0

−→ y (x) =  Ae− +1=0 y   + y = 0 −→ y (x) =  Asen (x) + Bcos (x) −3−→ +4 =0 y  − 3y  + 4y = 0 y (x) =  Ae − + Be 2 + Cxe 2 +4 +5 =0 −→ y (x) =  A + Be −2 cos(x) + Ce −2 sen(x) y  + 4y  + 5y   = 0 x

z2

z3

z2

z3

z2

z

x

z

x

x

xy  + y  + xy = 0

x

c

∞



an ( x

− c)n =  a 0  +  a1 (x − c) +  a 2 (x − c)2 +  . . .

n=0

c  =

0 ∞



n=0

an

n

an x

=  a 0  +  a 1 x +  a 2 x2 +  a 3 x3 +  a4 x4 +  a5 x5 +  . . .

x

x

∞

f  ( x) =



n=0



f (n) (x0 )

(x

n!

n

− x0 )

1 1

−x

x

e =

=

=  f  ( x0 ) +

∞

f  (x0 )

1!



(x

(x0 ) (x 2!

− x0 ) + f 

− x0 )2 + . . .

xn = 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . .

n=0

∞ ∞ − ∞ − ∞ −

xn  x 2  x 3  x 4 = 1 + 1x + + + + . . . n! 2! 3! 4! n=0 n

( 1) x2n+1 sen (x) = = x (2n + 1)! n=0 n

( 1) x2n cos (x) = =1 (2n)! n=0

3

5

7

−  x3! +  x5!  −  x7! + . . . 2

4

6

−  x2! +  x4!  −  x6! + . . .

( 1)n+1 xn ln (1 + x) = = x n n=1

−

 x 2  x 3 + 2 3

−

 x 4 + . . . 4

c f  (c) an  =

f (n) (c) n!

c

f  (x)

g (x)

c

f  (x)

± g (x) f  (x) × g (x) f (x)/g(x)

c c c

g (c) = 0



x

 ∞

L  = lim

n→∞

an (x

− c)

n=0

n



x

 ∞

L  = lim

n→∞

n

|an (x − c) |

n=0



∞

=

lim n→∞

a0



an (x



n



|an | |(x − c) |

n=0

x  =  c

− c)n

x  =  c R >  0

|x − c|  < x  ∈ R R

R  =

0

R  = ∞

∞



an (x

n=0

L  = lim

n→∞

L = 0

⇒ R = ∞ L = ∞ ⇒ R = 0 0 < L < ∞ ⇒ R = 1/

L



an+1 an



− c)n

R

|x − c|  >

R

  n

L  = lim

n→∞

L = 0

⇒ R = ∞ L = ∞ ⇒ R = 0 0 < L < ∞ ⇒ R = 1/

|an |

L



n!xn = 1 + 1x + 2!x2 + 3!x3 + 4!x4 + . . .



xn n!

 

 →∞  →∞ 

=

x0

0!

+

  →∞ 

x2

x

1!  + 2!

+

x3

3!

+

x4

4!

an+1 L = lim = lim n n an

+ . . .

 |    →∞   

1/n!

 →∞



 

  →∞   →∞ | |

  

| ∞ =⇒ R = 0

(ex )

1/(n+1)!

xn = 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . .

 

1 = lim = 0= n n + 1 1

1

⇒ R = ∞

−x

an+1 1 L = lim = lim = 1= n n→∞ 1 an n3 n x 4n

an+1 L = lim = lim n n→∞ an L = lim

n

n



  

an+1 (n + 1)! L = lim = lim = lim n + 1 = n n→∞ n→∞ an n!

an = lim

→∞

n

n

⇒ R = 1

(n+1)3/4(n+1) n3/4n



    →∞  

1 = lim n 4

n + 1 n

3

1 =  = 4

⇒ R = 4

n3 1 1 3 n  =  lim ( n) =  = 4n 4n→∞ 4

√ 

⇒ R = 4

n2n+1 n x 2n2 +1

  →∞   →∞ | |

L = lim n

L = lim n

(n+1)2n+3/2(n+1)2 +1

 →∞  

an+1 = lim n an

n

an = lim

→∞

n

n

n2n+1/2n2 +1



 →∞ 

= lim

 1

n

n2n+1 n2+ n = lim =0 = 2n2 +1 n→∞ 2n+  1n

1 22n+1

2n+3

(n + 1) n2n+1

⇒ R = ∞

 

=?

∞ −

n

( 1) x2n (2n) n=0

t = x

2

∞ −  →

∞ −

∞

( 1)n x2n ( 1)n n = t = an tn 2n (2n) n=0 n=0 n=0

( 1)n+1/(2n+2)

 − − →∞

L = lim

( 1)n/(2n)

n

 →∞



2n = lim =0 n 2n + 2(2n + 1)

 →∞



√ t → R = √ R  = ∞

=

⇒ R  = ∞

2n L = lim =0 n 2n + 2(2n + 1) x =



t

⇒ R  = ∞ t

t

( 1)n+1 x2n+2/(2n+2)!

 − − →∞

L = lim

( 1)n x2n/(2n)!

n



=

x2 = lim = 0 < 1 x n (2n + 2)(2n + 1)

 →∞



∀ → R = ∞

f  ( x)

R ∞

f  ( x) =



an  ( x

n=0

n

− c)

I  f  ( x) ∞ 

f  (x) =



n=0

nan  ( x

n−1

− c)

I  = (c

− R, c +  R)

I  f  ( x)

 

      

2n n2

xn

3n (2n)!

→

xn



∞

  

an  ( x

S a  =



n=0

n

− c)

dx  =



n=0

an n + 1

(x

n+1

− c)

+  C 



→ (Sol.  :  R  = ∞)

(−1)n+1 4n

1 2

Sol.  :  R  =

∞



f  (x) dx  =

xn

→ (Sol.  :  R  = 1)

(−1)n+1 (x − 5)n → (Sol.  :  R  = 5) n5n n3

4n

x2n

n n + 1

→ (Sol.  :  R  = 2)

(−2x)n+1 →

(−1)n x2n+1 (2n+1)!



Sol.  :  R  =

1 2



→ (Sol.  :  R  = ∞)

∞

∞

S b  =

an

n=0

bn

n=0

{a } → 0

S a

• •



n

∀n  :  |a |  < b  ∧ S  convergente ⇒ S  convergente n

n

a

b

+

{a } , {b } ∈  R ∧ L  = n

n

  →  0  = 0  ∞   = ∞ √   →   1  1   →   1  =  1

lim

n→∞

L  = lim

n→∞

L

 < L < L L

an bn

n

an

lim

n→∞

L< L>

an+1 an

 ⇔ S  convergente  ⇒ S  convergente  ⇒ S  convergente

S a convergente S b convergente S a convergente

  Convergente   Divergente L< L>

  Convergente   Divergente

b

a b

1



p k ≥1 n

convergente ⇔ p >  1

C

n

(

a  +  kr ) =

n



ar

k

=  a

k=0



an =  an p r n , p ∈



n



a  +

1 2

k =0

1 − r n+1 1−r

p k ak r → convergente ⇔ |r | <

an+1 = an+b an an+c

an →

n≥1

ni

1

 

2n

1 n!



→

a

1−r

⇔ |r | <  1

    1  

geom e ´trica

1−r +r 2 (1−r)2 a 1 − 2r  + 4r 2 − r 3 (1−r )3

ca1



⇔ c − b − a >  0

c−b−a

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +  . . .  = 2 3 6 10 15

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +  . . .  = 2 2 4 8 16

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +  . . .  =  e 1 2 6 24 1 n2

= 1 + 1 + 1 + 1 +  . . .  =  e 1 4 9 16

1 + 1 + 1 + 1 + 1 +  . . .  =  ψ  ≈ 3.3598 · · · 1 1 2 3 5

(−1)n



2n − 1

 

= 1 − 1 + 1 − 1 +  . . .  = π 3 5 7 4

(−1)n 2n

= 1 − 1 + 1 − 1 +  . . .  = 2 2 4 8 3

(−1)n+1 n

= 1 − 1 + 1 − 1 +  . . .  =  ln (2) 2 3 5

 1 = 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + n

2

3

4

5

 . . . ≈ γ − ln (n) ; γ  ≈ 0.577 · · ·

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +  . . . 2 3 5 7 11

p  = 0 p  = 1

a

 

 1



N

k =1





(n  + 1) a0  +  a N  → ∞



p  = 2

∞

 (−1)  (−1) n

an

β

n=0

∞

σ (n)

σ

aσ (n)  =  β.

n=0

∞

ln2 =

n

 (−1)

n=0

n + 1

=1

− 21 + 31 − 41 + 51 − · · ·  .

− 21 − 41 + 13 − 61 − 81 + 15 − 101 − 121 +  1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1  − · · · =  − +  − + = 1 − +  − +  − · · · = ln 2 2 4 6 8 10 2 2 3 4 5 2 1









1

 − 141 − 161 + · · · 7

