ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL CÁLCULO INTEGRAL ING. ROBERTO CASCANTE PROYECTO # 1.- CONSTRUCCIÓN DE UNA PRESA Las presas se proyectaron al principio para asegurar reservas de agua en las épocas de sequía. Conforme los conocimientos técnicos han progresado, han sido dedicadas a otros menesteres, tales como formación de lagos de recreo, saltos generadores de energía o previsión de riadas. Junto con esos beneficios, beneficios, una presa puede implicar daños ecológicos y obliga a recolocar a las personas personas e incluso la fauna de la zona. Asimismo, una presa de construcción deficiente supone un riesgo de d e catástrofe para la región de su entorno. Uno de los diseños empleados en la construcción de presas es la presa de arco. Suele utilizarse en cañones estrechos y se curva hacia el agua que contiene. La fuerza del agua presiona las paredes de la presa contra el cañón, de manera que la roca hace de soporte adicional para la estructura. Eso permite, ahorrar materiales en la construcción de la presa, por comparación con las de soporte vertical. Una sección de una presa de arco típica sigue el modelo del esquema (a la izquierda) y responde a la función.
0,03 x 2 7,1 x 350, 70 x 16 f ( x) 16 x 0 389, 6,593 x 389, 0 x 59 Al girar esa sección en torno al eje y se forma la presa de arco. El número de grado que se gira y la anchura de la base varían de una a otra, dependiendo sobre todo de las variaciones que pueda sufrir el nivel del agua. Una posible configuración, con giro de 150º y base de 150 pies, se muestra a continuación.
CUESTIONES
Calcular el área de una sección de la presa. Calcular el volumen de hormigón necesario para construir la presa.
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL CÁLCULO INTEGRAL ING. ROBERTO CASCANTE PROYECTO # 2.- DISEÑO ARQUITECTÓNICO La sección de un soporte de cemento de 20 pies de largo está acotada por la gráfica de las ecuaciones
x
2 1 y
2
, x
2 1 y
2
, y 0, y 3
donde x e y se miden en pies.
CUESTIONES
Calcular el volumen V y el peso W de este soporte, supuesto que el cemento pesa 148 libras/pies3. Calcular el perímetro de la sección transversal. Localizar el centroide de la sección transversal.
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL CÁLCULO INTEGRAL PROYECTO # 3.- DISEÑO DE BOMBILLAS
ING. ROBERTO CASCANTE
Una bombilla ornamental ha sido diseñada con la forma de la superficie de revolución obtenida al girar la gráfica de:
1
1
3
1
y x x ,0 x 3 3 2
2
alrededor del eje x , donde x e y se miden en metros.
CUESTIONES
Calcular su área y usar el resultado para estimar la cantidad de vidrio necesaria para construir la bombilla, si el espesor del vidrio es 0,015 pulgadas. Calcular el volumen del interior de la bombilla. Calcular el perímetro de la sección transversal de la bombilla generada sobre el plano xy .
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL CÁLCULO INTEGRAL PROYECTO # 4.- DISEÑO DE EDIFICIOS
ING. ROBERTO CASCANTE
Unas vigas de cemento empleadas en un nuevo edificio tienen la forma y dimensiones, en metros, indicadas en la figura:
CUESTIONES
Hallar el área de la cara adosada al sistema de coordenadas rectangular. Hallar el perímetro de la cara adosada al sistema de coordenadas rectangular. Calcular el volumen de cemento de la viga. Si un metro cúbico de cemento pesa 5000 libras. ¿Cuánto pesa la viga?
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL CÁLCULO INTEGRAL PROYECTO # 5.- ENERGÍA DE MAREA
ING. ROBERTO CASCANTE
Las plantas de producción de energía eléctrica a partir de la “energía de marea” tienen una presa q ue separa una bahía del mar. La energía eléctrica se produce por el flujo y reflujo del agua entre la bahía y el mar. La cantidad de energía producida depende del volumen de la bahía y del rango de la marea, es decir, la distancia vertical entre la marea alta y la marea baja. (En diversas partes de la Tierra hay bahías naturales con rangos de de marea superiores a los 15 pies. La bahía de Fundy, en Nueva Escocia, tiene un rango de marea de 47.5 pies.) CUESTIONES
Considérese una bahía de base rectangular como la mostrada en la figura con un rango de marea de 25 pies, correspondiendo la marea baja a y 0 . ¿Cuánta agua contiene la bahía en marea alta? La cantidad de energía producida durante el llenado (o el vaciado) de la bahía es proporcional a la cantidad de trabajo requerido para llenar o vaciar la bahía. ¿Cuánto trabajo es necesario para llenarla con agua del mar, que pesa una 64 libras/pie3?
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL CÁLCULO INTEGRAL ING. ROBERTO CASCANTE PROYECTO # 6.- INTENSIDAD DE CAMPO MEDIA La intensidad de campo H de un imán de longitud 2 L sobre una partícula que dista r unidades de su centro es:
2mL
H
r
L
2
2
3 2
donde m son los polos del imán.
CUESTIONES
Hallar la intensidad de campo media cuando la partícula se desplaza desde 0 hasta R unidades de distancia del centro, calculando la integral:
1
R
R 0
2mL
r
3
2
dr
L2 2
Ahora supóngase que la partícula se desplaza hacia el infinito, hallar la intensidad de campo media evaluando la integral:
0
2mL
r
2
3
L2 2
dr
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL CÁLCULO INTEGRAL ING. ROBERTO CASCANTE PROYECTO # 7.- LA NO ESFERICIDAD DE SATURNO Saturno es el menos esférico de los nueve planetas de nuestro sistema solar. Su radio ecuatorial mide 60268 Km y su radio polar 54364 Km.
CUESTIONES
Hallar la razón entre los volúmenes de la esfera y el elipsoide achatado de las figuras mostradas. Si un planeta fuese esférico y tuviese el mismo volumen que Saturno, ¿Cuál sería su radio?
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL CÁLCULO INTEGRAL PROYECTO # 8.- TENDIDOS ELÉCTRICOS
ING. ROBERTO CASCANTE
Los tendidos eléctricos se construyen colocando cables entre soportes fijos y ajustando la tensión en los diversos tramos. El cable adopta la forma de una catenaria, como muestra la figura.
Sean T la tensión en libras del cable, u la densidad (en libras/pie), g 32.2 la aceleración de la gravedad (en pies/s 2) y L la distancia (en pies) entre dos soportes consecutivos. Entonces, la ecuación de la catenaria es
y
T ugx 1 cosh ug T
donde x e y se miden en pies. CUESTIONES
Calcular la longitud de cable entre dos soportes. Los especialistas miden la tensión utilizando el método de la onda de retorno. Se percute el cable en uno de los soportes, creando una onda en la línea y mide el tiempo t (en segundos) que tarda en ir y volver del soporte siguiente. La velocidad v (en pies/s) viene dada por v T / u . ¿Cuánto tarda la onda en ir y volver entre dos soportes contiguos?
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL CÁLCULO INTEGRAL ING. ROBERTO CASCANTE PROYECTO # 9.- VELOCIDAD DE UN COHETE La velocidad (en pies/s) de un cohete cuya masa inicial es m (incluyendo el combustible) es:
v gt u ln
m mn
, t
m r
donde u es la velocidad de expulsión del combustible, r el ritmo al que se consume éste, y g 32 pies/s2 es la aceleración de la gravedad. CUESTIONES
Hallar la ecuación para la posición de un cohete con m 50.000 libras, u 12.000 pies/s y r 400libras / s. ¿A qué altura está el cohete cuando t 100 segundos? (Suponer que se ha lanzado desde el suelo y se mueve verticalmente.) Determinar la distancia total recorrida cuando t 100 segundos.
