Serie 1 Proba Wendolinnne

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS 1.- Las calificaciones de la materia de matemáticas de 54 estudiantes de primer semestre de FIME, fueron las siguientes: 45 96 50 65 46 88

55 42 44 68 54 65

85 48 66 76 65 46

94 65 78 66 36 55

36 68 84 54 42 77

48 74 43 54 54 62

84 79 49 46 75 81

49 68 73 45 70 64

65 79 84 43 36 60

Determine lo siguiente: Tabla de frecuencias, histograma, media, desviación estándar, varianza, mediana y rango. Paso 1. Ordenar los datos de la tabla de manera ascendente.

Paso 2. Para establecer la tabla de frecuencias necesitamos calcular el rango para establecer los intervalos, para este caso el rango es: RANGO= (96-36) = 60 En este caso dividiremos la tabla de frecuencia en intervalos de 6 es decir 10 intervalos y calcularemos también la marca de clase o punto medio:

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS Paso 3. Con los datos de la tabla de frecuencias y los datos de marca de clase armamos el siguiente histograma.

Calculo de la Media. La media de una muestra está definida de acuerdo con la siguiente expresión:

X= ∑ (Xi) /n Donde ∑ Xi representa la sumatoria de cada uno de los elementos de la muestra y n representa el número de elementos de la muestra. Con base a lo anterior tenemos que: X= (3,344) / (54) = 61.92


PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS Calculo de Varianza. La varianza de una muestra está definida de acuerdo con la siguiente expresión:

S ² = ∑ ( Xi - X ) ²

/(n-1)

Donde ∑ (Xi - X) ² representa la sumatoria de los cuadrados de restar la media entre cada uno de los elementos de la muestra y n representa el número de elementos de la muestra. Con base a lo anterior tenemos que:

S ²= (13,591.70) / (53)= 256.44 Calculo de la Desviación Estándar. La desviación estándar se define como:

S = S² Es decir la raíz cuadrada de la varianza. Con base a lo anterior tenemos que:

S = 256.44

= 16.01

Calculo de la Mediana. La mediana de una muestra está definida de acuerdo con la siguiente expresión: Si es impar la muestra

X= X

Si es

X= (X

(N+1)/2

X par la muestra

(N/2)

+X

)/2

(N/2)+1

Al referirnos a una muestra par o impar nos referimos al número de elementos que integra una muestra, los cuales pueden formar un subgrupo par y/o impar.


PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS Para nuestro caso en particular la muestra es par ya que son 54 elementos los que integra la muestra por ende aplicaremos la expresión correspondiente:

X= (X

(54/2)

X= (X

+X

(27)

(54/2)+1

)/2

+ X )/2 (28)

Es decir que tomaremos el elemento número 27 y 28 de nuestra muestra sacaremos su promedio, por lo que la expresión queda definida como sigue: X= (64 + 65) / 2 = 64.50

2.- Los datos siguientes reportan el número en un cruce peligroso en un lapso de 50 días. Consideré los datos como una población y como una muestra. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS

0 4 1 2 0

2 0 3 1 1

3 1 2 0 0

1 0 1 2 5

2 3 0 1 2

0 2 1 0 0

1 0 0 1 1

1 1 0 2 2

2 1 2 3 0

0 2 3 2 1

Determine lo siguiente: Tabla de frecuencias, histograma, media, desviación estándar, varianza, mediana y rango. Paso 1. Ordenar los datos de la tabla de manera ascendente.

Paso 2. Para establecer la tabla de frecuencias necesitamos calcular el rango para establecer los intervalos, para este caso el rango es: RANGO= (5-0) = 5 En este caso dividiremos la tabla de frecuencia en intervalos de 1 es decir 5 intervalos y calcularemos también la marca de clase o punto medio:

Paso 3. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS Con los datos de la tabla de frecuencias y los datos de marca de clase armamos el siguiente histograma

Calculo de la Media de la Muestra. La media de una muestra y está definida de acuerdo con la siguiente expresión:

X= ∑(Xi) /n Donde ∑ Xi representa la sumatoria de cada uno de los elementos de la muestra y n representa el número de elementos de la muestra. Con base a lo anterior tenemos que: X= (65) / (50) = 1.30

Calculo de la Media de la Población La media de una población y está definida de acuerdo con la siguiente expresión: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA


µ= ∑

f(x)*X

Donde ∑ f(x)*X representa la sumatoria del producto de la probabilidad del evento por el elemento correspondiente. Con base a lo anterior tenemos que:

Donde la los elemento de X son las marcas de clase y f(x) es la probabilidad del evento, este número se calculo dividiendo las frecuencias entre el total de eventos. Una vez establecido los parámetros de cálculo tenemos lo siguiente:

µ= (0.60*0.50)+ (0.26*1.50)+ (0.10*2.50)+ (0.02*3.5)+ (0.02*4.50) = 1.10 Calculo de Varianza de la muestra. La varianza de una muestra está definida de acuerdo con la siguiente expresión:

S ² = ∑ ( Xi - X ) ²

/(n-1)

S ²= (68.5) / (49) = 1.39 Calculo de Varianza de la población La varianza de una población está definida de acuerdo con la siguiente expresión: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA


Ł ²= ∑ (Xi -µ) ² /(n) Ł ²= (70.5) / (50) = 1.41 Calculo de la Desviación Estándar de la muestra. La desviación estándar se define como:

S = S² Es decir la raíz cuadrada de la varianza. Con base a lo anterior tenemos que:

S=

1.39

= 1.18

Calculo de la Desviación Estándar de la población. La desviación estándar se define como:

Ł = Ł² Es decir la raíz cuadrada de la varianza. Con base a lo anterior tenemos que:

Ł=

1.41

= 1.19

3.- Un joven estudiante pondrá nueve libros en una repisa de su recámara. Determine de cuantas maneras los puede acomodar si la condición es que:


PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS a) Tres específicos deben siempre estar juntos i.

Para la resolución de esta condición debemos primero mencionar que el orden si importa ya que una de las condiciones es que tres libros siempre este juntos.

ii.

Por consiguiente concluimos que se trata de una permutación.

iii.

El siguiente paso será realizar la permutación de los 3 libros que siempre estarán juntos, es decir:

1 2 3

iv.

1

v.

3 Permutaciones de 3 (3P3)= 1*2*3 = 3!

Una vez que hemos efectuado la permutación de los primeros 3 libros ahora la consideración es tomar a los 3 libros como una sola posición, es decir que tenemos 7 posiciones por permutar:

2 3 4

5 6 7

7 Permutaciones de 7 (7P3) = 7!

En conclusión tenemos que el número de opciones para acomodar 9 libros, con 3 de ellos siempre juntos es el siguiente:

Número de Opciones = (3!) * (7!) = (6)*(5,040) = 30,240

b) Tres específicos nunca deben de estar juntos i.

Para la resolución de esta condición debemos primero considerara todas las opciones posibles de la posición de cada uno de los libros es decir: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA


1 2 3 4 5 6

7 8 9

9 Permutaciones de 9 (9P9) = 9!= 362,880

ii.

El caculo anterior representa todas las posibilidades de colocación, incluyendo las posiciones donde tres libros están juntos.

iii.

De la afirmación anterior podemos decir que si restamos las opciones del inciso “a” aseguraremos que el número de opciones resultantes no contempla ninguna opción donde 3 libros específicos estén juntos, es decir

(9P9) – (3P3 * 7P3) = 362,880 – (30,240) = 332,640

iv.

Por lo tanto el número de posibles arreglos de los 9 libros sin que 3 específicos nunca este juntos es:

Número de Opciones = 332,640

4.- De un grupo de 11 edecanes deben de escoger un comité de cuatro para que asistan a una exposición. Determine de cuantas maneras se pueden hacer la selección si, además, existe el requisito de que: a) Una de las edecanes tiene que formar parte del comité PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

i. ii.

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS Antes de empezar con la solución de este apartado diremos que el orden de los elementos no importa por tal motivo, daremos solución a este problema como una combinación. Como la condición dice que una de las edecanes tiene que formar parte del comité tenemos que el número de arreglos posibles es el siguiente:

Número de Opciones = (1C1) * (10C3) = (1) * (120) = 120

b) Dos señoritas específicas no deben de formar parte del comité. i.

Dado que dos señoritas no pueden ser parte del comité, nuestro espacio muestral se reduce en 2 elementos por lo que el número de opciones es:

Número de Opciones = (9C4) = 126

c) Una de las 11 tiene que ser incluida por fuerza, pero a otras 2 señoritas específicas hay que excluirlas. i.

Tomado en cuenta la condición tenemos que nuevamente se reduce nuestro espacio muestral en dos elementos por consiguiente tenemos:

Número de Opciones = (1C1) * (8C3) = (1) * (56) = 56

5.- Un señor compró 11 pequeños dinosaurios de platico (todos diferentes) para que sus hijos Toño y Lalo. Al primero le dio 6 y al segundo 5, pero decidieron entre ellos intercambiar algunos. ¿De cuantas maneras podrían intercambiar conservando cada quien el número original de dinosaurios de platico que les regalaron.


i.

ii.

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS Debido a la condición del problema concluimos que el orden debe ser tomado en cuenta ya que a cada una de las personas mencionadas deben mantener el mismo número de elementos originales por ende se trata de un permutación. En el esquema que mostramos abajo, dentro de cada una de las casillas están las opciones que pueden tener cada uno de ellos para mantener el mismo número de elementos, por lo que el numero de permutaciones es: TOÑO

5 4 3 2 1

LALO 6 5 4 3 2

Opciones = 5 * 4 * 3 * 2 *1 = 5! = 120

Opciones = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 = 6! = 720

|

iii.

Aplicando el principio multiplicativo tenemos que la solución del problema es:

Número de Opciones = (5!) * (6!) = (120) * (720) =86,400

6.- En una urna hay 50 esferas, de las cuales 8 están marcadas con premios. Una persona extrae de la urna un puñado de cinco esferas. Determine de cuantas maneras se pueden sacar, sí:


PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS 5 esferas son extraídas. 50

Esferas Totales

8

Esferas marcadas

42

Esferas sin marca

a) Exactamente dos esferas están marcadas. i.

En la resolución del presente problema el orden no afecta ya que la pregunta es cuantas maneras (arreglos), se pueden tener sacra 5 esferas, por ende este es un problema de combinación.

ii.

Para el inciso “a” la condición es que exactamente 2 esferas estén marcadas y el restante no lo estén, la solución es:

Formas = (8C2) * (42C3) = (28) * (11,480) = 321,440 b) Por lo menos dos lo están. i.

Dado que se menciona la palabra por lo menos, el resultado será una suma de formas de sacar 5 esferas, el proceso se realiza de la siguiente forma:

Formas = [(8C2) * (42C3)]+[(8C3) * (42C2)]+[(8C4) * (42C1)]+ [(8C5) * (42C0)]

Formas = 321,440 + 48,216 + 112 + 56 = 369,824 7.- En el año 2000, las únicas monedas que circulaban en México eran, en orden ascendente de 5, 10, 20 y 50 centavos; lo mismo que de 1, 2, 5, 10 y 20 pesos, aunque la última era rara. Si un señor tiene en el bolsillo nueve monedas, justo una de cada denominación, ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar, sacando al azar una o más monedas? i.

Consideramos que el orden no es importante ya que la suma tiene la propiedad conmutativa es decir que el orden de los factores no altera el producto, por tanto el problema es una combinación ,el cual se puede resolver de la siguiente manera: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA


Sumas Diferentes: 9C1+9C2+9C3+9C4+9C5+9C6+9C7+9C8+9C9

Sumas =9 + 36 + 84 + 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1= 511

8.- De un grupo de 13 ingenieros con doctorado se desea formar un comité de cinco para enviarlos a un congreso a Cambridge, Inglaterra. Determine de cuantas maneras es factible elegir el comité si se desea que esté incluya por lo menos tres de los mejores 7 del grupo. i.

Consideramos que el orden no es importante ya que solo se menciona que deben ir cuando menos 3 de los mejores promedios, no se menciona sí será el mejor promedio de los 7 y/o si se seleccionan los mejores promedios primero o después, por lo tanto se trata de una combinación, misma que se resuelve, de la siguiente manera.

Comités = [(7C3) * (6C2)] + [(7C4) * (6C1)] + [(7C5) * (6C0)]

Comités = 525 + 210 + 21= 756

9.- En el año 2000, los números telefónicos de la ciudad de México eran de 8 dígitos, de los cuales el primero tenía que ser 5 el segundo no puede ser 0, 1 ni 9. ¿Cuántos números telefónicos diferentes se formarían con esas restricciones?

i.

Dado que se trata de números telefónicos en este caso el orden si es importante ya que cada posición nos da un número diferente, por dicha razón el problema se resuelve como permutación de números PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS ii.

Para este problema pueden existir dos casos uno que los elementos se repitan o que no lo hagan. Realizaremos ambos casos y veremos las diferencias.

CASO 1.- Con repetición de los elementos.

Dígitos del número completo 1 °

2° 3° 4° 5° 6° 7° 8°

Dígitos posibles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Para la posición 1° solo existe 1 posibilidad ya que la condición es que el número empiece con el número 5. Para la posición 2°, no puede contemplar los números 0, 1 y 9, por lo tanto solo hay 7 posibilidades. Para las posiciones 3°, 4°, 5°, 6°, 7° y 8°, pueden considerase todos los dígitos por lo que estas posiciones hay 10, 10, 10, 10, 10 y 10 Aplicando el principio multiplicativo tenemos que los números telefónicos que se pueden generar son los siguientes:

Números telefónicos = 1*7*10*10*10*10*10*10= 7, 000, 000

CASO 2.- Sin repetición de los elementos.

Dígitos del número completo 1 °

2° 3° 4° 5° 6° 7° 8°

Dígitos posibles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS Para la posición 1° solo existe 1 posibilidad ya que la condición es que el número empiece con el número 5. Para la posición 2°, no puede contemplar los números 0, 1 y 9, así mismo el 5 ya fue tomado en la primera posición por en hay 6 posibilidades. Para la posición 3° hay 8 posibilidades ya que han sido tomados 2 elementos del conjunto. Par a la posición, 4° se tienen 7 posibilidades. Para la posición 5° hay 6 posibilidades Para la posición, 6° hay 5 posibilidades Para la posición 7° hay 4 posibilidades Y para la posición 8° hay 3 posibilidades Aplicando el principio multiplicativo tenemos que los numero telefónicos que se pueden generar son los siguientes:

Números telefónicos = 1*6*8*7*6*5*4*3= 120, 960

.

10.- ¿De cuántas maneras se puede distribuir 12 juguetes entre 3 niños, de tal manera que cada pequeño reciba 4 juguetes? i.

Es importante resaltar que para este problema el orden no es importante por lo que la resolución será mediante el análisis como combinación, como se muestra a continuación.

Formas = 12C4 * 8C4 * 4C4



Formas = 495 * 70 * 1 = 34, 650 11. Se lanza una moneda 5 veces ¿Cuál es la probabilidad de que salgan? i.

Para él análisis de este problema utilizaremos tanto combinaciones y la aplicación del principio multiplicativo, así mismo es importante saber que la probabilidad es repetitiva en cada lanzamiento por lo que la probabilidad se multiplica por si misma las tantas veces como lanzamientos hagamos. a) Exactamente 2 águilas

i.

Primero tendremos que saber en cuantos arreglos de esta combinatoria tenemos el caso que al hacer 5 tiros obtengamos 2 águilas exactamente, como el orden de aparición no es trascendente, se ocupara una combinación de la siguiente forma:

Número de arreglos donde hay 2 águilas exactamente = ii.

5C2 = 10

Una vez establecidos los arreglos calculemos la probabilidad en la que puede salir un águila,

(½) * (½) * (½) * (½) * (½) = (1/32) por

siendo es equivalentes a lo tanto la probabilidad de que en 5 tiros se obtengan 2 águilas es la siguiente:

P (2 águilas)= 5C2 * (1/32) = (10/32) = 31.25%

b) Al menos 4 águilas i.

Análogamente al inciso “a”, par este caso la condición menciona al menos 4 águilas, lo que significa que puede obtenerse 4 ó 5 águilas en los 5 tiros que realizamos, lo que podemos obtener de la siguiente forma:

P (Al menos 4 águilas)= (5C4+5C5) * (1/32)

P (Al menos 4 águilas)= (5 + 1) * (1/32) = (6/32) = (3/16) = 18.75% PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS c) Como máximo 4 águilas. ii.

Para este caso y de manera análoga al inciso anterior tenemos que la condición menciona que como máximo 4 águilas lo que significa que después de hacer los 5 tiros podemos tener 0, 1, 2, 3, y hasta 4 águilas, por lo que esta probabilidad puede ser calculada de la siguiente forma:

P (Máximo 4 águilas)= (5C0+5C1 +5C2+5C3+5C4) * (1/32)

P (Máximo 4 águilas)= (1+5+10+10+5) * (1/32) = (31/32) = 96.87 %

12.- De un grupo de 4 hombres y 3 mujeres se van a seleccionar un comité de 6 personas ¿Cuál es la probabilidad de que dicho comité este integrado de i.

Dado que el orden de acomodar a los integrantes del comité no importa para la resolución de este problema lo haremos con el concepto de combinación. a) 3 hombres y 3 mujeres

P (3 Mujeres y 3 Hombres) = 3C3 * 4C3 7C6 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA


P (3 Mujeres y 3 Hombres) = 1 * 4 = 4 = 57.14 % 7 7

b) Exactamente 2 mujeres

P (2 Mujeres y 3 Hombres) = 3C2 * 4C4 7C6 P (2 Mujeres y 3 Hombres) = 3 * 1 = 3 = 42.85 % 7 7 c) Al menos una mujer.

13.- Una urna contiene 5 bolas rojas y 2 blancas. Si sacamos 3 al azar, determine la probabilidad de que: i.

Dado que el orden en que las esferas salgan de la urna no es importante para la resolución de este problema lo haremos con el concepto de combinación.

3 esferas son extraídas. 7

Esferas Totales Y ESTADÍSTICA PROBABILIDAD

5

Esferas Rojas

2

Esferas blancas


a) Salgan al menos 3 bolas rojas.

P (Al menos 3 esferas)= (5C3*2C0) 7C3

P (Al menos 3 esferas)= (10) = 28.57% 35 b) De que salga como mínimo 2 bolas blancas.

P (Mínimo 2 esferas)= (2C2*5C1) 7C3

P (Mínimo 2 esferas)= (5) = 14.28% 35 14.- Una caja de 15 fusibles los cuales 5 están defectuosos. Si tomamos 4 al azar ¿Cuál es la probabilidad de que: i.

Para los incisos “a”, “c” y “d”, el orden de aparición si es importantes por ende para estos incisos aplicaremos el concepto de permutación

ii.

Para el inciso “b” el orden no es importante dado que solo necesitamos calcular el número de arreglos donde exista un fusible fundido. Por dicha razón este inciso será resuelto como combinación. a) El primero y el último sean defectuosos y los demás buenos

5

1 0

1°

2°

1 5

1 4

9

4

Posibilidades de defecto

3° 4° Posiciones del arreglo PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 1 1 Posibilidades totales 3 2


Primero calculemos las posibilidades totales de obtener un arreglo de 4 fusibles, sin que nos interese si esta fundido ó no, este número de arreglos lo llamaremos PT, el cual se calculara de la siguiente forma: En la tercera fila nombrada Posibilidades Totales (PT), tenemos que: Para la posición 1° se tienen 15 posibilidades Para la posición 2° se tienen 14 posibilidades Para la posición 3° se tienen 13 posibilidades Para la posición 4° se tienen 12 posibilidades. Aplicando el principio multiplicativo tenemos que PT es igual a: PT= (15) * (14) * (13) * (12)= 32,760 formas . Ahora bien considerando la condición del inciso “a” la cual dice que el primero y el último deben estar fundidos, tememos que P (Fusible fundidos), será calculado de la siguiente forma: Para la posición 1° se tienen 5 posibilidades Para la posición 2° se tienen 10 posibilidades Para la posición 3° se tienen 19 posibilidades Para la posición 4° se tienen 4 posibilidades Aplicando el principio multiplicativo tenemos que P (Fusibles fundidos) es igual a: P (Fusibles fundidos)= (5) * (10) * (9) * (4)= 1,800 formas Por último el cálculo de la probabilidad de que el primer fusible y el último estén fundidos P(X), se calculará con la siguiente expresión.

b) Uno sea defectuoso PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS Como mencionamos en el apartado ii, para este inciso no existe condición alguna salvo que uno debe estar fundido, por ende el orden no importan y se tratará como una combinación, la cual quedará expresada como sigue:

iii.

c) Los tres primeros sean defectuosos iv.

Análogamente al inciso “a” utilizaremos la tabla de posiciones y tenemos el siguiente arreglo de posibilidades. 5

4

3

1 0


1°

2°

3°

4°

Posiciones del arreglo

1 5

1 4

1 3

1 2

Posibilidades totales

En este caso no calcularemos PT ya que es la misma que la del inciso “a” Ahora bien considerando la condición del inciso “c” la cual dice que los primeros 3 estén fundidos, tememos que P (Fusible fundidos), será calculado de la siguiente forma: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS Para la posición 1° se tienen 5 posibilidades Para la posición 2° se tienen 4 posibilidades Para la posición 3° se tienen 3 posibilidades Para la posición 4° se tienen 10 posibilidades Aplicando el principio multiplicativo tenemos que P (Fusibles fundidos) es igual a: P (Fusibles fundidos)= (5) * (4) * (3) * (10)= 600 formas Entonces tenemos que la probabilidad de que los primeros 3 estén fundidos será igual a:

d) El primero este fundido y los demás no lo estén v.

Análogamente al inciso “a”, y “c” utilizaremos la tabla de posiciones y tenemos el siguiente arreglo de posibilidades. 5

1 0

11

1 0


1°

2°

3°

4°

Posiciones del arreglo

1 5

1 4

1 3

1 2

Posibilidades totales

Tampoco para este inciso calcularemos PT ya que es la misma que la del inciso “a” y “c” Ahora bien considerando la condición del inciso “d” la cual dice el primero esté fundido, tememos que P (Fusible fundidos), será calculado de la siguiente forma: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE DE PROBLEMAS Para la posición 1° se tienen 5 posibilidades Para la posición 2° se tienen 10 posibilidades Para la posición 3° se tienen 9 posibilidades Para la posición 4° se tienen 8 posibilidades Aplicando el principio multiplicativo tenemos que P (Fusibles fundidos) es igual a: P (Fusibles fundidos)= (5) * (10) * (9) * (8)= 3,600 formas Entonces tenemos que la probabilidad P(X) de que el primer fusible este fundido será igual a:

15.- Se lanza una moneda 2 veces, ¿Cuál es la probabilidad de que salgan: vi.

Considerando el árbol probabilístico mostrado abajo, podemos resolver este problema de manera simple.



a) Exactamente 2 águilas. Observamos que la probabilidad que después de 2 tiros se obtengan XX es

¼ = 25%

b) Como máximo un águila. Para esta segunda condición tenemos que los resultados pueden ser (ƟƟ), (XƟ) y (ƟX), cada opción tiene una probabilidad de ¼ por lo tanto la probabilidad de obtener como máximo una X es del

¼ + ¼ + ¼ = ¾= 75%

16.- Dos urnas idénticas cuyos contenidos son los siguientes: Una urna “A” contiene 4 bolas rojas y 6 bolas negras, Una urna B contiene 7 bolas rojas y 3 bolas negras. Al seleccionar una urna al azar y extraer 2 dichas urnas ¿Cuál es la probabilidad de que:

URNA “A”

10 Bolas totales

URNA “B”


10 Bolas totales

4 Bolas Rojas

7 Bolas Rojas

6 Bolas Negras

3 Bolas Negras


i.

Considerando el árbol probabilístico mostrado abajo, podemos resolver este problema de manera simple. a) Sean de 2 colores diferentes

ii.

Una vez que tenemos armado el árbol probabilístico procederemos a aplicar el teorema de Bayes el cual dice:



Para nuestro caso particular tenemos que

Sustituyendo en la ecuación del teorema de valles tenemos

b) Sean de la urna “A” si las 2 fueran rojas. iii.

Para el inciso “b” el árbol probabilístico cambia de la siguiente forma:



Para nuestro caso particular tenemos que

Sustituyendo en la ecuación del teorema de valles tenemos


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