SEMINARIO DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
1. Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas normalmente con una media de 174,5 cm. Y una desviación estándar de 6.9 cm Suponiendo que las estaturas se redondean al medio centímetro superior más cercano, ¿Cuántos de estos estudiantes se espera que tengan estaturas?
Menores a 160 cm.
Entre 171,5 y 182 cm.
Mayores a 188cm.
2. Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.
Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.
En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?
3. El número de días entre la facturación y el pago de las cuentas corrientes de crédito en una tienda de departamentos grande tiene una distribución aproximadamente normal con una media de 18 días y una desviación estándar de 4 días. ¿Qué proporción de las facturas serán pagadas?
Entre 12 y 18 días.
Entre 20 y 23 días
En menos de 8 días.
4. Los resultados de una prueba objetiva realizada a 200 personas indicaron que la Distribución de puntuaciones era normal, con media 80 puntos y desviación típica de 10 puntos. Calcular cuántos de los examinados ha obtenido:
Puntuación superior a 100 puntos
Puntuación inferior a 55 puntos
Puntuación comprendida entre entre 65 y 95 puntos TAMAÑO DE MUESTRA
1.
Si deseamos conocer la media de la glucemia basal de una población, con una seguridad del 95 % y una precisión de 3 mg/dl y tenemos información por un estudio piloto o revisión bibliográfica que la varianza es de 250 mg/dl
2.
Queremos ajustar una máquina de refrescos de modo que el promedio del líquido dispensado quede dentro de cierto rango. La cantidad de líquido vertido por la máquina sigue una distribución normal con desviación estándar 0,15 decilitros. Deseamos que el valor estimado que se vaya a obtener comparado con el verdadero no sea superior a 0,2 decilitros con una confianza del 95%.¿De qué tamaño debemos escoger la muestra?
3.
Es necesario estimar entre 10000 establos, el número de vacas lecheras por establo con un error de estimación de 4 y un nivel de confianza del 95%. Sabemos Sabemos que la varianza es 1000. ¿Cuántos establos establos deben visitarse para satisfacer estos requerimientos?
4.
Se desea hacer una encuesta para determinar la proporción de familias que carecen de medios económicos para atender los problemas de salud. Existe la impresión de que esta proporción está próxima a 0,35. Se desea determinar un intervalo de confianza del 95% con un error de estimación de 0,05. ¿De qué tamaño debe tomarse la muestra?
5.
Un biólogo quiere estimar el peso promedio de los ciervos cazados en el estado de Maryland. Un estudio anterior de diez ciervos cazados mostró que la desviación estándar de sus pesos es de 12.2 libras. ¿Qué tan grande debe ser una muestra para que el biólogo tenga el 95% de confianza de que el error de estimación es a lo más de 4 libras?
6.
¿A cuántas personas tendría que estudiar de una población de 15000 habitantes para conocer la prevalencia de diabetes? Seguridad 95%; Precisión 3%; proporción esperada asumamos que puede ser próxima al 5% ; que maximiza el tamaño muestra.
7.
Se desea estimar el peso promedio de los sacos que son llenados por un nuevo instrumento en una industria. Se conoce que el peso de un saco que se llena con este instrumento es una variable aleatoria con distribución normal. Si se supone que la desviación típica del peso es de 0,5 kg. Determine el tamaño de muestra aleatoria necesaria para determinar una probabilidad igual a 0,95 de que el estimado y el parámetro se diferencien modularmente en menos de 0,1 kg.
8.
Se desea realizar una investigación para estimar el peso medio de los hijos recién nacidos de madres fumadoras. Se admite un error máximo de 50 gramos, con una confianza del 95%. Si por estudios anteriores se sabe que la desviación típica del peso medio de tales recién nacidos es de 400 gramos, ¿qué tamaño mínimo de muestra se necesita en la investigación?
9.
La desviación típica de la altura de los habitantes de dicho país es de 8 cm. Calcular el tamaño mínimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho país para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1 cm. Con un nivel de confianza del 90%
10.
Siguiendo con el estudio planteado en el punto anterior, supongamos que tratamos de estimar la proporción de mujeres que trabajan diariamente 10 horas o más. De un estudio piloto se dedujo que p = 0,30 se fija el nivel de confianza en 0,95 y el error máximo 0,02. ¿Cuál debe ser el tamaño muestra en este caso? INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
1. 49 reses recibieron una alimentación especial por un periodo de 4 meses siendo el aumento medio de peso en este periodo de 60kg. Con una desviación típica de 7 kg. Con qué nivel de confianza del 90% determine un intervalo para la media en un periodo de 4 meses. 2. Una auditoria del inventario de una compañía se realizó seleccionando una muestra al azar de 100 productos en existencia. El precio de venta promedio obtenido en la muestra fue de 17,5 soles con una desviación típica de 6,75 soles, construya un intervalo de confianza del 95% para el precio promedio de todos los artículos en existencia. 3. Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada fábrica sigue una distribución normal con una desviación típica de 0,12 kilos. En el día de hoy se extrae una muestra aleatoria de 60
ladrillos con un peso medio de 4,07 kilos. Calcular un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy. 4. Las cajas de cereal producidos por un fabricante deben tener un contenido de 16 onzas. un inspector tomo una muestra que arrojo los siguientes pesos en onzas: 15,7 15,7 16,3 15,8 16,1 15,9 16,2 15,9 15,8 15,6 Calcule el intervalo de confianza del 90% para la media de los pesos. 5. Los pesos netos en gramos de 8 latas de conservas fueron los siguientes: 121, 119, 124, 123, 119, 121, 124, 120. Obtener un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de las conservas. 6. El gerente de una cadena de supermercados en una ciudad grande, reúne los datos de ventas diarias de 5 tiendas escogidas al azar. Ellos son en miles de soles: 18, 24, 22, 26, 16. Construya un intervalo de confianza de un 98% parar las ventas medias. 7. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se ha medido el nivel de glucosa en sangre, obteniéndose una media muestral de 110 mg/cc. Se sabe que la desviación típica de la población es de 20 mg/cc. Obtén un intervalo de confianza, al 90%, para el nivel de glucosa en sangre en la población. 8. Un fabricante de vehículos sabe que el consumo de gasolina de sus vehículos se distribuye normalmente. Se selecciona una muestra aleatoria simple de coches y se observa el consumo cada cien kilómetros obteniendo las siguientes observaciones: 19,2; 19,4; 18,4; 18,6; 20,5; 20,8. Obtenga el intervalo de confianza para el consumo medio de gasolina de todos los vehículos de este fabricante, al nivel de confianza del 99%. 9. El precio de un determinado artículo en los comercios de una ciudad sigue una distribución normal. Se toma una muestra aleatoria simple de ocho comercios y se observa el precio de dicho artículo, obteniendo las siguientes observaciones: 132, 125, 130, 139, 126,138, 124, 140. Obtenga al nivel de confianza del 95% un intervalo de confianza para la varianza poblacional. 10. Una empresa de investigación llevó a cabo una encuesta para determinar la cantidad media que los fumadores gastan en cigarrillos durante una semana. La semana encontró que la distribución de cantidades gastadas por semana tendía a seguir una distribución normal, con una desviación estándar de $ 5. Una muestra de de 64 fumadores reveló que la media es de $ 20. ¿Cuál es el estimador de intervalo de confianza de 95%? 11. Para la muestra de tamaño 36 extraídas de la distribución de calificaciones en una población de 120 alumnos, con media 5,5 y desviación típica 2,04. Hallar los intervalos de probabilidad para un nivel de confianza de: a) 95,6% b) 90% 12. Se desea estudiar el gasto semanal de fotocopias, en nuevos soles, de los estudiantes de bachillerato de Madrid. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 9 de estos estudiantes, resultando los valores siguientes para estos gastos: 100 150 90 70 75 105 200 120 80 Determínese un intervalo de confianza al 95% para la media del gasto semanal en fotocopias por estudiante.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCIÓN
1. Seis de cada diez familias de cierta ciudad poseen ordenador. Halla el intervalo característico para la proporción de familias con ordenador, en muestras de 35 familias de esa ciudad, correspondiente al 90% de intervalo de confianza. 2. El 65% de los alumnos de cierta localidad utiliza con regularidad la biblioteca del pueblo. Halla un intervalo en el que se encuentre el 95% de las proporciones de alumnos que utilizan la biblioteca en muestras de tamaño 60 3. Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontró que 54 de ellos hablaban inglés. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de estudiantes que hablan el idioma inglés entre los estudiantes de esa Universidad. 4. Tomada una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad, se obtuvo que 105 habían votado a un determinado partido X. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza que permita estimar la proporción de votantes del partido X en esa ciudad. 5. Para estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporción
p
de individuos miopes de una
población, se ha tomado una muestra de 80 individuos con la que se ha obtenido un porcentaje de individuos miopes del 35%. Determine, usando un nivel de confianza del 99%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de miopes de toda la población. 6. En una encuesta realizada a 500 mujeres adultas de una población se encontró que 300 de ellas están casadas actualmente. Construya con estos datos un intervalo de confianza, con un nivel del 90%, para la proporción de mujeres adultas actualmente casadas en esa población. 7. En una muestra aleatoria de 600 coches de una ciudad, 120 son de color blanco. Construya un intervalo de confianza de la proporción de coches de color blanco con un nivel de confianza del 98%. 8. En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una cohorte de 412 mujeres mayores de 15 años en la Región Metropolitana, se encontró que el 17.6% eran hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para la proporción de mujeres hipertensas en la Región Metropolitana está dado por: 9. La proporción de alumnos de cierto instituto que aprueban matemáticas es de 560/800. Halla el intervalo característico para la proporción de aprobados en matemáticas, en muestras de 30 alumnos, correspondiente al 99% 10. En una encuesta realizada a 150 familias de una determinada población, se encontró que en 25 de ellas había tres o más hijos. Halla el intervalo de confianza para estimar la proporción real de las familias en las que hay tres o más hijos, con un nivel de confianza del 90%. 11. En cierta población se seleccionó aleatoriamente una muestra de 300 personas a las que se les sometió a cierto test cultural. De ellas, 225 resultaron aprobadas. Teniendo en cuenta esta información, estimar el porcentaje de persona de esa población que resultarían aprobada si se las sometiera a dicho test cultural. Obtener, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para la proporción
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MEDIA
1. Un comprador de ladrillos cree que la calidad de los ladrillos están disminuyendo. De experiencias anteriores, la resistencia media al desmoronamiento de tales ladrillos es de 200 kg. Con una desviación típica de 10 kg. Una muestra de 100 ladrillos arroja una media de 195 kg. Probar la hipótesis, la calidad media no ha cambiado, contra la alternativa que ha disminuido. 2. Una muestra aleatoria de 10 latas de maracuyá de un proveedor, el peso medio por lata de maracuyá fue una media de 9,4 con deviación típica de 1,8 onzas. Contiene esta muestra suficiente evidencia para indicar que el peso medio es menor que 10 onzas a un nivel de significancia de 0,01. 3. La experiencia de muchos años respecto a un examen de inglés para obtener admisión en la universidad, arroja una calificación media de 64 puntos con una desviación estándar de 9 puntos. Todos los estudiantes de una cuidad de la cual hay 54 en el examen, han obtenido una calificación media de 68 puntos. Puede tenerse la certeza que los estudiantes de esta ciudad saben más inglés, con un nivel de significancia de 0,05. 4. Una fábrica de clavos cuya longitud media es de 1 pulgada. Después de efectuadas algunas modificaciones a los dispositivos de las máquinas de dicha fabrica y con respecto a la producción de clavos durante los últimos meses se han recibido continuos reclamos de los compradores quine s han manifestado que los clavos presentan un incremento en más de 0,1 pulgada en su longitud. Lo que perjudica a los usuarios; para verificar lo manifestado por los compradores, el fabricante toma una muestra aleatoria de 10 clavos cuyas longitudes resultaron: 1,14 1,12 1,11 1,10 1,16 1,09 1,08 1,12 1,11 1,10 Usando un nivel de significancia de 0,05 podrá el fabricante aceptar lo manifestado por los compradores. 5. Los registros del puntaje de un test de aptitud académica tomado a los aspirantes primer año en una universidad revelaron que el puntaje medio aritmético era de 100 y la desviación típica de 10. Aplicando el test a los nuevos aspirantes se vio que para una muestra de 400 el puntaje medio era de 106 con un el de significancia de 0,01. 6. Una maquinaria para enlatar conservas de pescado ha sido regulada para que el contenido de cada lata sean de 16 onzas usando un nivel de significancia de 0,05 Diría usted que la maquina ha sido adecuadamente regulada, si una muestra de 20 latas dio un peso medio de 16,05 onzas y una desviación típica de 1,5 onzas. 7. Suponga que cierto proceso para producir alambre la resistencia a la ruptura del alambre es una variable aleatoria normal con media de 90,80 kg. para reducir los costos de producción se prueba otros procesos, una muestra de 10 valores obtenidos bajo el nuevo proceso dio una media de 85,352 kg. Y una desviación típica de 2,724 kg. El nuevo proceso tiene un efecto negativo sobre el alambre use un nivel de significación de 0,05. 8. La cadena de restaurantes Pipo afirma que el tiempo de espera de los clientes tiene una media de 3 minutos con un minuto de desviación estándar. El departamento de aseguramiento de la calidad encontró en una muestra de 50 clientes el Pipo del tunal que el tiempo medio de espera fue de 2.75 minutos. En el nivel de significancia de 0.05, ¿es posible concluir que el tiempo medio de espera es menor a 3 minutos? 9. Se han realizado 26 experimentos para estudiar el contenido de productos envasados, encontrándose que la media es de 240 gr. Y una desviación típica de 10 gr. Es suficiente prueba para pensar que el verdadero promedio sea mayor que 238 gr. Use un nivel de significación de 0,05.
10. Una muestra aleatoria de 8 cigarrillos de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de 2.6 miligramos y una desviación estándar de 0.9 miligramos. ¿Existe suficiente evidencia estadística para decir que el contenido promedio real de nicotina de esta marca de cigarros en particular es de 2.4 miligramos? Con = 0.05. 11. Una muestra aleatoria de 12 alumnas graduadas de una escuela secretarial mecanografió un promedio de 79.3 palabras por minuto con una desviación estándar de 7.8 palabras por minuto. ¿Se tiene evidencia estadística para decir que el número promedio de palabras mecanografiadas por todas las graduadas de esa escuela es menor de 80 con un nivel de significación 0.1. 12. Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95% 13. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de hojuelas de maíz pesan, en promedio 5.23 onzas con una desviación estándar de 0.24 onzas. El fabricante quiere poner en la etiqueta que el peso promedio es de 5.5 onzas. Probar la hipótesis de que μ =5.5 onzas contra la hipótesis alternativa, μ < 5.5 onzas con un nivel de significancia de 0.05. 14. Un comerciante desea determinar si el ingreso promedio de las familias que viven en un perímetro de 2 millas de un centro comercial es mayor que $24400, si el ingreso medio de una muestra de 60 familias tomadas al azar en esa zona, es de 25524$ con desviación estándar de 763$, el nivel de significación es del 0.05 15. Se desea demostrar sobre la base de una muestra aleatoria de tamaño 6, si el peso promedio de los caballos de silla americanos de un grupo específico es mayor a 1000 libras, que puede concluirse con un nivel de significación de 0.01, si los pesos de la muestra tomada son: 987, 1146, 995, 1010, 1183, 1075 libras. 16. Durante los tres primeros meses de vida el aumento de peso registrado por cierto animal fue de 65 gr. Desde el nacimiento hasta los tres meses de edad; una docena de estas animales fueron alimentados con determinada dieta y los aumentos de pesos observados fueron los siguientes: 61, 62, 67, 59, 62, 60, 63, 65, 58, 54, 62, 55. Hay razón para creer al nivel de significancia del 0,05 que la dieta original cambio en el aumento de peso. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCIÓN
1. La oficina de relaciones familiares informa que el 50% de los matrimonios que viven en la ciudad A, llegan a la corte de divorcios dentro de su primer año de casados ¿Qué conclusiones puede sacarse acerca de la validez de este informe si de una muestra aleatoria de 400 matrimonios, solo 193 fueron a una corte de divorcios dentro de su primer año de casados? utilice un nivel de significancia del 1% 2. En una conferencia de prensa, una alta autoridad anuncia que el 90% de los habitantes adultos del país están a favor de cierto proyecto económico del gobierno. Una muestra aleatoria de 625 adultos indica que 550 están a favor del proyecto. Si usted desea rechazar la hipótesis verdadera de una vez en 100 ¿concluiría que la popularidad del proyecto ha sido exagerado por la autoridad? 3. Un manufacturero de juguetes Tailandés reclama que solo un 10% de los osos de juguete hechos para hablar están defectuosos. Cuatrocientos de éstos juguetes se sometieron a prueba de forma aleatoria y se encontró que 50 estaban defectuosos. Pruebe el reclamo del manufacturero con un nivel de significancia de 5%.
4. Una agencia de empleos afirma que el 80% de todas las solicitudes hechas por mujeres con hijos prefieren trabajos a tiempo parcial. En una muestra aleatoria de 200 solicitantes mujeres con niños, se encontró que 110 prefirieron trabajos a tiempo parcial. Pruebe la hipótesis de la agencia con un nivel de significancia de 5% 5. Nacionalmente, un 16 % de los hogares tiene una computadora personal. En una muestra aleatoria de 80 hogares en Baltimore, solo 13 poseían una computadora personal. Con un nivel de significancia de 5%, pruebe si el porciento de hogares en Baltimore que tienen computadoras personales es menor que el porcentaje nacional. 6. El registrador de cierta universidad ha dicho que esta dispuesto a permitir una sección del curso ESTAD 121 una vez a la semana si más del 65% de los estudiantes matriculados en el curso expresan que prefieren el curso una vez a la semana, en vez de dos veces a la semana. En una muestra aleatoria de 40 estudiantes, 26 indicaron su preferencia de una vez a la semana. Usando un nivel de significancia de 0.01, debe el registrador autorizar el ofrecimiento del curso ESTAD 121 una vez a la semana? 7. El expendio Pollos Deliciosos asegura que 90% de sus órdenes se entregan en menos de 10 minutos. En una muestra de 100 órdenes, 82 se entregaron dentro de ese lapso. Puede concluirse en el nivel de significancia 0,01, que menos de 90% de las órdenes se entregan en menos de 10 minutos? 8. Un artículo reciente, publicado en el diario USA today, indica que solo a uno de cada tres egresados de una universidad les espera un puesto de trabajo. En una investigación a 200 egresados recientes de su universidad, se encontró que 80 tenían un puesto de trabajo. Puede concluirse en el nivel de significancia 0,02, que en su universidad la proporción de estudiantes que tienen trabajo es mayor? 9. El rector de una universidad pública afirma que el 15% de los estudiantes de la universidad que él dirige está en contra de una ley que actualmente se discute en el congreso y que supuestamente afecta a la comunidad universitaria. El representante de los estudiantes, considera que dicha proporción es mayor y para comprobarlo toma una muestra de 100 estudiantes seleccionados aleatoriamente y encuentra que el 23% están en desacuerdo con dicho proyecto de ley. Se pide comprobar si el rector tiene o no la razón con un nivel de significación del 5%. 10. Se estudiaron 40 muestras de aceite crudo de determinado proveedor con el fin de detectar la presencia del níquel mediante una prueba que nunca da un resultado erróneo. Si en 5 de dichas muestras se observó la presencia de níquel ¿podemos creer al proveedor cuando asegura que a lo sumo el 8% de las muestras contienen níquel? 11. El fabricante de llantas radiales con cinturón de acero X-15 para camiones señala que el millaje medio que la llanta recorre antes de que se desgasten las cuerdas es de 60000 millas, con desviación estándar de 5000 millas. Una compañía compró 48 llantas y encontró que el millaje medio para sus camiones es de 59500 millas. ¿Se puede afirmar que el verdadero millaje medio de las llantas es menor de lo que afirma el fabricante? 12. Una compañía analiza una nueva técnica para armar un carro de golf; la técnica actual requiere 42.3 minutos, en promedio. El tiempo medio de montaje de una muestra aleatoria de 24 carros, con la nueva técnica, fue de 40.6 minutos y la desviación estándar de 2.7 minutos. ¿Se puede afirmar que el tiempo de montaje con la nueva técnica es más rápida?
13. Por mucho tiempo, se ha afirmado que el 60% de los jóvenes de una ciudad, son fumadores. Actualmente un investigador social dice que esta proporción ha disminuido, debido a una campaña de educación en salud. Para probar esta afirmación se hizo un estudio que consistió de una muestra aleatoria de 350 jóvenes de esa ciudad y se encontró que 210 fuman. 14. Una encuesta realizada por Bancomer a 35 clientes indicó que un poco más del 74 por ciento tenían un ingreso familiar de más de $200,000 al año. Si esto es cierto, el banco desarrollará un paquete especial de servicios para este grupo. La administración quiere determinar si el porcentaje verdadero es mayor del 60 por ciento antes de desarrollar e introducir este nuevo paquete de servicios. Los resultados mostraron que 74.29por ciento de los clientes encuestados reportaron ingresos de$200,000 o más al año. El naval de significancia es 5%
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 1. Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia real entre las duraciones de dos marcas de bombillos, si una muestra de 40 bombillos tomada al azar de la primera marca dio una duración media de 418 horas, y una muestra de 50 bombillos de otra marca dieron una duración media de 402 horas. Las desviaciones estándares de las dos poblaciones son 26 horas y 22 horas, respectivamente. 2. Un artículo publicado dio a conocer los resultados de un análisis del peso de calcio en cemento estándar y en cemento contaminado con plomo. Los niveles bajos de calcio indican que el mecanismo de hidratación del cemento queda bloqueado y esto permite que el agua ataque varias partes de una estructura de cemento. Al tomar diez muestras de cemento estándar, se encontró que el peso promedio de calcio es de 90 con una desviación estándar de 5; los resultados obtenidos con 15 muestras de cemento contaminado con plomo fueron de 87 en promedio con una desviación estándar de 4. Supóngase que el porcentaje de peso de calcio está distribuido de manera normal. Encuéntrese un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre medias de los dos tipos de cementos. 3. Construya un intervalo de confianza del 97% para la diferencia real entre las duraciones de dos marcas de focos, si una muestra de 40 focos tomada al azar de la primera marca dio una duración media de 418 horas, y una muestra de 50 focos de otra marca dieron una duración media de 402 horas. Las desviaciones estándares de las dos poblaciones son 26 horas y 22 horas, respectivamente. 4. Una muestra al azar de 200 pilas de la marca A para calculadoras muestra una vida media de 140 horas y una desviación típica de 10 horas. Una muestra al azar de 120 pilas de la marca B de una vida media de 125 horas y una desviación típica de 9 horas. a) Determinar un intervalo de confianza del 95% para la vida media de dos poblaciones. b) Determinar un intervalo de confianza del 99% para la vida media de dos poblaciones. 5. Dos grupos escogidos al azar de 50 alumnas de una escuela para secretarias, aprenden taquigrafía por dos sistemas diferentes y luego se les somete a prueba de dictado. Se encuentra que el primer grupo obtiene un promedio de 120 palabras por minuto con una desviación típica de 11 palabras, mientras que el segundo grupo promedia 110 palabras por minuto y con una desviación estándar de 10 palabras. Determinar un intervalo de confianza del 99% para la diferencia de medias de los dos métodos. 6. Se comparan dos tipos de rosca de tornillo para ver su resistencia a la tensión. Se prueban 50 piezas de cada tipo de cuerda bajo condiciones similares, la marca A tuvo una resistencia promedio a la
tensión de 78.3 Kg, mientras que la marca B tuvo una resistencia promedio de 87.2 Kg. Se sabe de antemano que las desviaciones poblacionales son de 6.5 Kg para la marca A y 6.3 Kg para la B. Determine el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las dos medias poblacionales. 7. Los tiempos de encendido en segundo de crisoles de humo flotantes de dos tipos diferentes son los siguientes: Tipo I: 481, 506, 527, 661, 501, 572, 561, 501, 487, 524 Tipo II: 526, 511, 556, 542, 491, 537, 582, 605, 558, 578 Determinar un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de media en tiempos de encendido. 8. Los siguiente datos representan los tiempos de duración(minutos) de la películas producidas por dos compañías cinematográficas: Compañía A: 103, 94, 110, 87, 98 Compañía B: 97, 82, 123, 92, 175, 88, 118 Determinar el intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre los tiempos promedios de las películas producidas. 9. Una compañía productora de semilla de maíz hídrico planta dos nuevas hileras de maíz hibrico en cinco granjas diferentes. La producciones en bushels por acre fueron: Hibrico I : 90, 85, 95, 76, 80 Hibrico II : 84, 87, 90, 92, 90 Determine el intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las dos producciones medias 10. Los zoólogos están interesados en la distancia promedio que un cierto tipo de mamífero viaja desde su madriguera. Un equipo de vigilancia observa dos poblaciones de estos mamíferos, la información en metros de la población 1 fue: 176-289-181-226-265-174-260-260-325-145-207-245-228-144, y de la población 2 fue: 129-212-213-191-157-143-136-148-138-167. Calcule e interprete un intervalo de confianza del 99% para la diferencia media de la distancia desde la madriguera de las dos poblaciones, suponga que las desviaciones poblacionales son iguales. 11. Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B. Se mide el rendimiento en millas por galón de gasolina. Se realizan 50 experimentos con el motor tipo A y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se utiliza y las demás condiciones se mantienen constantes. El rendimiento promedio de gasolina para el motor A es de 36 millas por galón y el promedio para el motor B es 42 millas por galón. Encuentre un intervalo de confianza de 96% sobre la diferencia promedio real para los motores A y B. Suponga que las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para los motores A y B respectivamente. 12. Una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca A o de la B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva a cabo un experimento utilizando 12 de cada marca. Los neumáticos se utilizan hasta que se desgastan, dando como resultado promedio para la marca A 36300 kilómetros y para la marca B 38100 kilómetros. Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia promedio de las dos marcas, si se sabe que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal con desviación estándar de 5000 kilómetros para la marca A y 6100 kilómetros para la marca B. 13. Los tiempos de reacción ante la palabra divorcio se distribuyen normalmente tanto entre los hombres como entre las mujeres. La desviación típica poblacional de dichos tiempos en el caso de los hombres es 6 segundos y en las mujeres es 7 segundos. Con el fin de estimar la diferencia de medias poblacionales, se escoge una muestra formada por 40 hombres y 38 mujeres, obteniéndose tiempos
medios de reacción 15 segundos y 14 segundos, respectivamente. Hallar un intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales al nivel del 90%. 14. En un estudio sobre hábitos de alimentación en murciélagos, se sabe que la distancia que recorren volando en una pasada en busca de alimento sigue una distribución normal tanto en los machos como en las hembras. Las desviaciones típicas poblacionales son 80 y 75 metros, respectivamente. Con el fin de estimar la diferencia de medias de distancias recorridas, se toma una muestra formada por 40 machos y 35 hembras y se determinan las medias muéstrales, que son, respectivamente, 230 y 140 metros. Hallar un intervalo de confianza para la diferencia de medias recorridas poblacionales al nivel del 95%. 15. Se seleccionaron dos muestras aleatorias independientes del número de puestos de trabajo creados de dos empresas de distintos sectores en el último mes. Los resultados fueron: X=”Número de puestos empresa sector A” (13, 14, 21, 19, 15, 15) Y= ”Número de puestos empresa sector B” (18, 19, 20, 22, 31, 26)
Suponiendo que el número de puestos de trabajo creados en cada sector se distribuye normalmente y con varianzas iguales, construir un intervalo de confianza al 99% para la diferencia de media poblacional.
ESTIMACIÓN DEL PARÁMETRO DE LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES 1. El fabricante de la cerveza Dorada afirma que su marca de cerveza es más preferida en Iquitos que en Cuzco. Para comprobar esta afirmación un investigador de mercado escogió dos muestras aleatorias, una de 500 consumidores de cerveza en Iquitos y otra de 400 consumidores de cerveza en el Cuzco. Si las muestras revelaron que 350 consumidores en Cuzco y 240 consumidores en Iquitos prefieren la cerveza Dorada utilizando un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de dos proporciones de todos los consumidores de esta cerveza en las dos ciudades 2. En una empresa de estudios de mercado quiere estimar las proporciones de hombres y mujeres que conocen un producto promocionado a escala nacional. En una muestra aleatoria de 100 hombres y 200 mujeres se determina que 20 hombres y 60 mujeres están familiarizados con el artículo indicado. Calcular el intervalo de confianza de 95% para la diferencia de proporciones de hombres y mujeres que conocen el producto. 3. Cierto genetista quiere conocer la proporción de hombres y mujeres de cierta ciudad que padecen un desorden sanguíneo menor. Una muestra aleatoria de 1000 mujeres arroja 250 afectadas, en tanto que 275 de 1000 hombres sufren desorden. Establezcan un intervalo del 95% para la diferencia entre la proporción de hombres y mujeres que padecen tal desorden. 4. Se ha encontrado que 25 de 250 cinescopios de televisión producidos por el proceso A son de3fectuosos y que 14 de 180 producidos por un proceso B son defectuosos. Suponiendo que el muestreo es aleatorio, determinar el intervalo de confianza del 99% de confianza para la diferencia verdadera de en la proporción de defectuosos de los dos procesos. 5. En una muestra al azara de 600 mujeres, 300 indican que están a favor de la ayuda del estado a los colegios privado. En una muestra al azar de 400 hombres, 100 indican que están a favor de los mismos. Determinar un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de proporciones de todas las mujeres y todos los hombres que favorecen tal ayuda.
6. La firma PERUDIS distribuye 2 marcas de cerveza .En una reciente encuesta se encontró que 60 de 120 prefieren la marca A y 50 de 80 prefieren la marca B. Use un intervalo de confianza del 99% para la diferencia de proporciones de preferencias poblacionales de las marcas de cerveza. 7. En octubre 160 personas de una muestra aleatoria de tamaño 400 aprobaron la gestión de un líder político. Dos meses más tarde, en diciembre, la mitad de otra muestra de tamaño 500 independiente de la anterior, rechazaba tal gestión. Con un intervalo de confianza del 98% 8. Dos muestras aleatorias de 250 mujeres y 200 hombres indicaron que 75 mujeres y 80 hombres consumen un nuevo producto unisex que acaba de salir al mercado. Determine un intervalo de confianza del 95% para la diferencias de proporciones 9. En una muestra de 500 hogares de Trujillo se encontró que 50 de ellos se encuentran viendo vía satélite un programa especial de televisión. En Tarapoto, 30 hogares de una muestra aleatoria de 400 se estaban viendo el mismo programa especial. Desarrolle un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de porcentajes reales. 10. En un estudio de mercado para determinar el rating de los programas de TV del mediodía una muestra aleatoria de 4010 hogares revelo que 80 estaban sintonizando el programa B de Tv, 120 sintonizaban el programa G y el resto sintoniza otra cosa. Desarrolle un intervalo de confianza del 98% para la diferencia de proporciones del programa B y del programa G 11. Se cree que la osteoporosis está relacionada con el sexo. Para ello se elige una muestra de 100 hombres de más de 50 años y una muestra de 200 mujeres en las mismas condiciones. Se obtiene que 10 hombres y 40 mujeres con algún grado de osteoporosis. ¿Determine un intervalo de confianza 95 % para la diferencia de dos proporciones?
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 1. Para determinar el impacto de las escuelas sin ventanas sobre el desarrollo psicológico de los escolares, se sometió a una misma prueba de ansiedad a un grupo de 40 niños de una escuela sin ventanas dio una media de 117 y una desviación estándar de 10 y otro grupo de 30 niños de una escuela con ventanas dio una media de 112 y una desviación estándar de 12. Usted está dispuesto a rechazar esta hipótesis verdadera a un nivel de significancia del 5% .Puede concluir que le impacto de los dos tipos de escuela sobre la ansiedad de los niños no es el mismo. 2. Diez barras de acero fabricado por un proceso A tienen una fuerza de ruptura de media de 50 con una desviación estándar de 10 mientras 8 barras de fabricadas por un proceso B tiene una fuerza de ruptura media de 55 y una desviación estándar de12. Supóngase que la población de fuerzas de ruptura normal Pruébese con un nivel de significancia del 5% la hipótesis de los dos procesos producen acero de la misma fuerza en contra de la posibilidad que no es así. 3. Los siguientes datos dan el aumento de peso de 20 conejos d los cuales la mitad recibió su proteína de maní crudo y la otra mitad de maní tostado. Probar si el tostado de maní tiene menor efecto en el aumento de peso de los conejos el nivel de significación es del 5% Crudo Tostado
61 55
60 54
56 47
63 59
56 51
63 61
59 57
56 54
44 62
61 58
4. Se estudia el contenido de nicotina en los cigarros de dos marcas A y B obteniéndose los siguientes resultados
A
17
20
20
23
B
18
20
21
22
24
Con un nivel de significancia de 5% Determine si es posible llegar a la conclusión que el contenido de nicotina de ambas marcas es diferente. 5. El salario promedio semanal para una muestra de Lasmo es de
X 1
280000 soles,
n
1
30 empleados
de la empresa petrolera
con una desviación típica muestral de S 1
empresa petrolera grande, una muestra aleatoria de
n
2
40
14000 soles.
En otra
empleados tiene un salario promedio
semanal de X 2 270000 soles, con una desviación estándar muestral de S 2 10000 soles. Se prueba la hipótesis de que no existe diferencia entre los salarios promedio semanal de las dos empresas, utilizando un nivel de significancia de: a) 5 %, b) 1 %.
6. Se realizó una prueba de Estadística en las secciones 1 y 2 de IUTJAA las cuales estaban integradas por 40 y 50 estudiantes respectivamente. En la sección 1 los estudiantes obtuvieron una puntuación promedio de 74 puntos con una desviación estándar de 8, mientras que en la sección 2 los estudiantes alcanzaron una puntuación promedio 78 puntos con una desviación estándar de 7 puntos. Se desea saber si hay una diferencia significativa entre el resultado obtenido por las dos secciones utilizando para ello un nivel de significación de: a) 1 %, b) 5 %. ¿Cuáles son sus conclusiones? 7. Las horas extras promedio laboradas en el 2000 por 50 obreros de una petrolera de la región fue de 68.2 horas con una desviación estándar de 2.5 horas, mientras que 50 obreros de la misma petrolera en el 2001 tenían un promedio de horas extras laboradas igual a 67.5 horas con una desviación tipita de 2.8 horas. El Gerente de Recursos Humanos de la empresa mantiene que el promedio de horas extras laboradas por los obreros de la empresa en el 2000 es más alto que el promedio de horas extras laboradas por los obreros en el 2001, para ello se utiliza un nivel de significancia de: a) 0.05, b) 0.01. ¿Cuál es la conclusión? 8. Se realizó un pesaje en los alumnos del tercer semestre de Administración en las secciones I y II del IUTJAA los cuales estaban integradas por 40 y 50 estudiantes respectivamente. En la sección I los estudiantes obtuvieron un pesaje promedio de 74 Kg. con una desviación estándar de 8 Kg., mientras que en la sección II los estudiantes alcanzaron un a pesaje promedio de 78 Kg. con una desviación estándar de 7 Kg. Se desea saber si hay una diferencia significativa entre el resultado promedio obtenido del pesaje en las dos secciones, para ello se utilizará un nivel de significación de a) 1 %, b) 5 %. ¿Cuáles son sus conclusiones? 9. De una población se toma una muestra de 40 observaciones. La media muestral es de 102 y la desviación estándar 5. De otra población se toma una muestra de 50 observaciones. La media muestral es ahora 99 y la desviación estándar es 6. Realice la siguiente prueba de hipótesis usando como nivel de significancia 0,04. Ho: u1 = u2 Ho: u1 ≠ u2
10. Un constructor está considerando dos lugares alternativos para construir un centro comercial. Como los ingresos de los hogares de la comunidad son una consideración importante en ésta selección, desea probar que el ingreso promedio de la primera comunidad excede al promedio de la segunda comunidad en cuando menos $1.500 diarios. Con la información de un censo realizado el año anterior sabe que la desviación estándar del ingreso diario de la primera comunidad es de $1.800 y la de la segunda es de $2.400
11. Para una muestra aleatoria de 30 hogares de la primera comunidad, encuentra que el ingreso diario promedio es de $35.500 y con una muestra de 40 hogares de la segunda comunidad el ingreso promedio diario es de $34.600. Pruebe la hipótesis con un nivel de confianza del 95 por ciento. 12. Dos fabricantes A y B producen un artículo similar, cuyas vidas útiles tienen desviaciones estándar respectivas de 120 horas y 90 horas. Para comparar el promedio de vida útil de estos artículos se extrae una muestra aleatoria de 60 artículos de cada fabricante encontrándose la duración media de 1.230 horas para la marca A y de 1.190 horas para la marca B. ¿Se puede concluir a un nivel de significación del 5% que los artículos de marca A tienen mayor duración media que los artículos de marca B?
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES 1. Una firma fabricante de cigarrillos distribuye dos marcas de cigarrillos. En una encuesta que 56 de 200 fumadores prefieren la marca A y que 29 de 150 fumadores encuestados prefieren la marca B. Se puede concluir al nivel de significancia del 6% que la marca A se vende más rápidamente que la marca B. 2. Un investigador selecciona muestras aleatorias de 120 psicólogos y 80 psiquiatras para investigar sus opiniones acerca si la esquizofrenia es causa por anormalidad bioquímica o una inadaptación originado en la niñez. La tabla que sigue da los resultados de esta investigación:
Anormalidad Bioquímica Inadaptación de la niñez TOTAL
Psicólogos 60 60 120
Psiquiatras 50 30 80
Si usted está dispuesto a rechazar una hipótesis verdadera no más de una vez en 100¿Rechazaria la Hipótesis que las opiniones de psicólogos y psiquiatras acerca de las causas de la esquizofrenia son las mismas? 3. En una empresa de estudios de mercado quiere saber si un producto promocionado a nivel nacional lo adquieren los hombres en mayor porcentaje que las mujeres. Para esto se escogieron dos muestras aleatorias independientes de 900 hombres y 800 mujeres resultando 270 hombres y 200 mujeres adquieren el producto .Al nivel de significancia del 5% ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? 4. En un estudio de mercado para determinar el rating de los programas de TV del medio día una muestra aleatoria de 400 hogares de cierta comunidad revelo que 80 están sintonizando el programa B de TV, 120 sintonizan el programa G y el resto sintoniza otra cosa. ¿Es la proporción global de televidentes que sintonizan el programa B igual al que sintonizan el programa G. Utilice un nivel de significancia del 1%. 5. Par probar la eficacia de dos nuevos insecticidas en la protección contra plagas de las viñas de San Antonio de San Martin, se seleccionaron al azar 80 plantas de uvas para rociarlo con el insecticida A y 50 plantas de uva para rociarlo con el insecticida B. Cuando maduraron las uvas se encontraron que 6 y 5 plantas de uvas rociadas con Ay B respectivamente tenían plagas. Con un nivel de significancia del 5% ¿Se puede concluir que el insecticida A es más eficaz? 6. Una muestra aleatoria de 100 hombres fue tomada en cierta ciudad y se encontró que 60 estaban a favor de una ley sobre divorcio. Una muestra al azar de 100 mujeres escogidos de la misma ciudad en
la misma fecha revelo que 40 estaban a favor de tal nueva ley. Es igual la proporción de hombres que mujeres que favorecen a una nueva ley sobre el divorcio en tal ciudad. Use un nivel de significación del 5%. 7. De 292 chicas que terminaron secundaria en cierto colegio del Callao se encontraron que 13 no quieren seguir estudios superiores, de 290 chicas que terminaron secundaria en un colegia de Comas en el mismo año escolar se encontró que 12 no quieren seguir estudios superiores. Probar la Hipótesis que la proporción de chicas del Callao que no quieren seguir estudios superiores es la misma que Comas, en contra que no son iguales. Use un nivel de significancia del 5%. 8. Una muestra de 87 mujeres trabajadoras profesionales mostró que la cantidad promedio que pagan a un fondo de pensión privado el 5% de su sueldo. Una muestra de 76 hombres trabajadores profesionales muestra que la cantidad que paga a un fondo de pensión privado es el 6.1% de su sueldo. Un grupo activista de mujeres desea demostrar que las mujeres no pagan tanto como los hombres en fondos de pensión privados. Si se usa alfa = 0.01 ¿Se confirma lo que el grupo activista de mujeres desea demostrar o no? 9. Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se preguntó a dos muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte, y el 12% de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo 10% de las mujeres adultas lo están. Con un nivel de significancia de 0.05 ¿Se puede afirmar que hay evidencia estadística de que las opiniones difieren entre hombres y mujeres? 10. Una muestra aleatoria de 300 hombres y otro de 400 mujeres de una determinada población reveló que 120 hombres y 120 mujeres estaban a favor de cierto candidato. ¿Se puede concluir a un nivel de significación del 5% que la proporción de hombres a favor del candidato es mayor que la proporción de mujeres? 11. En un proceso de producción de botellas de vidrio se tomó una muestra de 400 de las cuales 28 estaban defectuosas, en otro proceso se tomaran 300 muestra de botellas de la cuales 15 estaban defectuosas. Demuestre la hipótesis nula p1= p2 de que los dos procesos generan proporciones iguales de unidades defectuosas, contra la hipótesis alternativa p1 ≠ p2 con un nivel de significancia
de 0.05. 12. Un fabricante de productos medicinales está probando dos nuevos compuestos destinados a reducir los niveles de presión sanguínea los compuestos son suministrados a dos conjuntos diferentes de animales de laboratorio. En el grupo A, 71 de 100 animales probados respondieron al medicamento A con niveles menores de presión arterial. En el grupo B, de 90 animales 58 respondieron al medicamento B con menores niveles de presión sanguínea. El fabricante desea probar a un nivel de significancia de 0.05 si existe una diferencia entre la eficiencia de las dos medicinas. ¿De qué manera se debe proceder en este caso?
