Cin em áti ca
SEMANA 2 1. CONCEPTO: El móvil describe una trayectoria rectilínea, avanzando distancias iguales en intervalos de tiempos iguales. El cuerpo se mueve con velocidad constante constante (módulo y dirección).
Y
T
T
T
T
X 0 d
d
d
d
El movimiento rectilíneo uniforme, es el movimiento más simple de la materia.
2. VELOCIDAD CONSTANTE CONSTANTE La partícula se mueve con velocidad constante en módulo y dirección. Es decir la tr ayectoria es rectilínea siempre.
V (m/s)
25 El móvil recorre 25 metros en cada segundo, equivalente a 90 km/h. El área bajo la recta representa el cambio de posición.
T(s) 0
1 29
2
3
4
Cin em áti ca
3. CARACTERÍSTICAS DE LA VELOCIDAD EN EL M.R.U. La velocidad instantánea es constante. La velocidad media es constante. La velocidad instantánea es igual a la velocidad media. La velocidad es una cantidad física vectorial, es decir tiene módulo y dirección. La rapidez es el módulo de la velocidad. Cálculo de la rapidez :
V=
d
t d = V.
Cálculo de la distancia:
Cálculo del tiempo transcurrido:
t
t=
d V
d V Unidades: d : metros ;
t
t : segundos ;
V : m/s
4. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO (M.R.U.) La posición final de la partícula es igual a la adición de la posición inicial más el desplazamiento.
xF = x 0
V. t
El signo positivo o negativo representa la dirección de la cantidad vectorial. De otro modo, se reemplaza en la ecuación en signo de cada cantidad física vectorial.
Y (m)
t x f : Posición final
V X (m)
x 0 : Posición inicial
0
X0
V : Velocidad
d XF
t: tiempo t iempo transcurrido
30
Cin em áti ca
3. CARACTERÍSTICAS DE LA VELOCIDAD EN EL M.R.U. La velocidad instantánea es constante. La velocidad media es constante. La velocidad instantánea es igual a la velocidad media. La velocidad es una cantidad física vectorial, es decir tiene módulo y dirección. La rapidez es el módulo de la velocidad. Cálculo de la rapidez :
V=
d
t d = V.
Cálculo de la distancia:
Cálculo del tiempo transcurrido:
t
t=
d V
d V Unidades: d : metros ;
t
t : segundos ;
V : m/s
4. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO (M.R.U.) La posición final de la partícula es igual a la adición de la posición inicial más el desplazamiento.
xF = x 0
V. t
El signo positivo o negativo representa la dirección de la cantidad vectorial. De otro modo, se reemplaza en la ecuación en signo de cada cantidad física vectorial.
Y (m)
t x f : Posición final
V X (m)
x 0 : Posición inicial
0
X0
V : Velocidad
d XF
t: tiempo t iempo transcurrido
30
Cin em áti ca
5. EQUIVALENCIA Un kilómetro equivale a mil metros. Una hora equivale a 3 600 segundos. Una hora equivale a 60 minutos. Un minuto equivale a 60 segundos.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
9,5 km/h = 2,5 m/s 18 km/h = 5 m/s 36 km/h = 10 m/s 54 km/h = 15 m/s 72 km/h = 20 m/s 90 km/h = 25 m/s 108 km/h = 30 m/s 144 km/h = 40 m/s 1 hora = 3 600 s 1 km = 1 000 m
6. TIEMPO DE ENCUENTRO Dos cuerpo A y B se encuentra separados una distancia d, salen al encuentro simultáneamente simultáneamente con rapidez constante en direcciones direcciones opuestas.
dA
dB
VA
VB
A
d
d = d A +dB
Tencuetro =
B
d = VA .T+VB.T .T
d V A +VB
EJEMPLO 01: Don móviles A y B se encuentran separados inicialmente 120 metros, salen simultáneamente simultáneamente al encuentro con rapidez rapidez de 20 m/s y 10 m/s respectivamente. ¿Cuánto ¿Cuánto tiempo demoran encontrarse en un mismo punto?
Resolución. Los móviles A y B van al encuentro sobre una misma trayectoria. La distancia de separación inicial es 120 metros. Aplicamos la regla práctica.
Tencuentro =
d V A +VB
Te =
120 =4s 20 + 10
Respuesta: Los móviles A y B se encuentran después de 4 segundos.
31
Cin em áti ca
7. TIEMPO DE ALCANCE Dos cuerpo A y B se encuentra separados una distancia d, salen simultáneamente en la misma dirección con rapidez constante.
dA
dB VA
VB
A
d
B
d
d B
T alcance
dA
d
VA .T
VB .T
d V A
V B
EJEMPLO 01: Dos móviles A y B se encuentran separados inicialmente 120 metros, salen simultáneamente en la misma dirección con rapidez de 40 m/s y 10 m/s respectivamente. ¿Cuánto tiempo demora el más veloz en alcanzar al más lento?
Resolución El móvil A con rapidez de 40 m/s es más veloz que el móvil B. La distancia de separación inicial es 120 metros. Aplicamos la regla práctica.
d
120
4s V A V B 40 10 Respuesta: El móvil A alcanza al móvil B en 4 segundos. Talcance
Ta
8. TIEMPO DE CRUCE EN DIRECCIONES OPUESTAS Dos cuerpos rígidos A y B de largo apreciable como ocurre con los trenes, camiones, puentes, túneles, automóviles. Los cuerpos se mueven en direcciones opuestas.
VA
VB
dB
dA
T cruce
d A
d B
V A
V B
32
Cin em áti ca
EJEMPLO 01: Un camión de 40 m de largo, marcha a 72 km/h por una carretera paralela a la vía del tren. ¿Cuánto tiempo invertirá el camión cruzarse íntegramente con un tren de 260 metros de largo que marcha a 36 km/h en dirección opuesta?
Resolución Transformando tenemos que el camión de 40 m tiene rapidez de 20 m/s y el tren de 260 m de largo con rapidez de 10 m/s. El tiempo que demora en cruzarse el camión con el tren es:
T
Lcamion
Ltren
Vcamion
V tren
40 m + 260 m 300 m = =10 segundos 20 m/s + 10 m/s 30 m/s Respuesta: El tiempo que demora en cruzarse el camión con el tren es 10 segundos. Reemplazando tenemos:
T=
9. TIEMPO DE CRUCE EN DIRECCIONES IGUALES Dos cuerpos rígidos A y B de largo apreciable como ocurre con los trenes, camiones, puentes, túneles, automóviles. Los cuerpos se mueven en direcciones iguales.
VA
VB
dA
T cruce
d A
d B
V A
V B
dB
EJEMPLO 01: Un camión de 40 m de largo, marcha a 72 km/h por una carretera paralela a la vía del tren. ¿Cuánto tiempo invertirá el camión en pasar íntegramente a un tren de 260 metros de largo que marcha a 36 km/h en la misma dirección?
Resolución Transformando tenemos que el camión de 40 m tiene rapidez de 20 m/s y el tren de 260 m de largo con rapidez de 10 m/s. El tiempo que demora en adelantar el camión al tren es:
T
Lcamion
Ltren
Vcamion
V tren 40 m
260 m
300 m
30 segundos 20 m / s 10 m / s 10 m / s Respuesta: El tiempo que demora en adelantar el camión al tren es 30 segundos. Reemplazando tenemos:
T
10. SONIDO Y ECO El eco es un fenómeno acústico. El sonido en una onda mecánica. El sonido necesita para propagarse un medio diferente al vacío. En el aire se propaga con una rapidez promedio de 340 m/s. El eco se produce cuando el observador percibe el mismo sonido por segunda vez debido al rebote de la onda sonora en algún obstáculo (montaña, cerro, pared, muro, etc.).
33
Cin em áti ca
La rapidez del sonido en el aire seco a 0 ºC es de unos 330 m/s. La presencia de vapor de agua en el aire incrementa ligeramente dicha rapidez. Un aumento de la temperatura del aire también aumenta la rapidez del sonido. La rapidez del sonido en aire aumenta en 0,6 m/s por cada grado centígrado. La rapidez del sonido en un material dado no depende de la densidad material, sino de su elasticidad. El acero en un material elástico. Los átomos de un material elástico están relativamente juntos. El sonido se propaga unas quince veces más a prisa en el acero que en el aire, y unas cuatro veces más a prisa en agua que en el aire. La ecuación muestra la variación de la rapidez del sonido en el aire debido al cambio de la temperatura en grados Celsius.
330
V T
0 ,6.T
m
T
s
0 0C
EJEMPLO 01: Un hombre que se encuentra frente a una montaña emite un grito. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, ¿después de qué intervalo de tiempo escuchará el eco?
850 m
Resolución Eco es aquel fenómeno en el cual el sonido percibe el hombre por segunda vez, esto ocurre cuando el sonido (onda sonora) se refleja debido a un obstáculo (montaña). Cálculo del tiempo que demora el sonido en llegar a la montaña:
t
d
850 m
VSONIDO
340 m / s
2,5 s
Entonces el sonido invierte 5,0 segundos en ir y regresar de la montaña.
Respuesta: El eco se escucha luego de 5 segundos. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Se muestra un ciclista y un camión se mueven con velocidad constante. Si inicialmente están juntos, determine la distancia de separación (en m) después de 20 segundos.
Resolución En cada segundo el camión avanza 12 m y el ciclista 5 m, por consiguiente en cada segundo se separan en 12 – 5 = 7 m. La separación luego de 20 segundos será: 7 veces 20 = 140 m.
d
Vrelativa .t
(12 5).(20)
140 m
En 20 segundos se separan en 140 metros.
34
Cin em áti ca
2. Un piloto de MIG-29 prepara su nave para cumplir una misión aérea, después de 20 minutos en el aire logra recorrer 24 km en 0,5 minuto. Determine el valor de la velocidad en este tramo (en m/s):
Resolución
Después de 20 minutos el avión alcanza un movimiento uniforme, recorriendo 24 000 metros en 30 segundos. La rapidez en este último tramo es:
V
d
24 000 m
t
30 s
800
m s
3. Un tren de 200 m de largo se mueve en línea recta con rapidez constante. Si demora en pasar frente al poste 8 segundos y en atravesar el túnel 24 segundos. Determine el largo del túnel. tunel
Resolución LTREN
La rapidez es constante: V Reemplazando los datos:
LTREN
T1
LTUNEL T 2
200
200 LTUNEL
8
24
Resolviendo tenemos: LTUNEL
400 m
Respuesta: el largo del túnel es 400 m. 4. Dos autos que parten simultáneamente de una ciudad A en dirección a la ciudad B, con rapidez de 50 km/h y 60 km/h. Si llegan a la ciudad B con un intervalo de 20 minutos, ¿cuál es la distancia entre las ciudades A y B?
Resolución La distancia que recorren ambos móviles son iguales, entonces la velocidad y el tiempo empleado son inversamente proporcionales.
d1
d2
V1.T1
V2 .T2
Sabemos que 20 minutos es un tercio de hora. 1 Reemplazando tenemos que : 50.T 60. T 3 Resolviendo: T = 2 horas km La distancia entre A y B es: d AB = 50 .2 hora = 100 km hora Respuesta: La distancia entre las ciudades A y B es 100 km.
35
Cin em áti ca
EJERCICIOS 1.-
"En el movimiento ........... el desplazamiento y la velocidad son siempre .................". A) rectilíneo, perpendiculares B) rectilíneo, colineales C) desacelerado, codirigidos D) curvilíneo, iguales E) acelerado, opuestas
2.-
Identifique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Una partícula tiene velocidad constante cuando su rapidez es constante. II. Cuando una partícula se mueve con MRU la trayectoria y el desplazamiento son iguales. III. La velocidad apunta en la dirección del desplazamiento. A) B) C) D) E)
3.-
FFF VFF FVV VFV FVF
Dadas las siguientes proposiciones: ( ) ( ) ( )
El desplazamiento es un vector. El cambio de posición de un móvil viene dado por el desplazamiento. La longitud del vector desplazamiento nos indica la distancia existente entre el punto de partida y el punto de llegada.
Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda. A) B) C) D) E) 4.-
VFF VFV VVV FVV FFF
Identifique la(s) proposición(es) incorrecta (s) I. La velocidad mide los cambios de posición de un móvil a través del tiempo. II. Un móvil en reposo puede presentar una velocidad no nula. III. En el M.R.U. la velocidad es variable. A) B) C) D) E)
5.-
I II III II y III I y III
Una partícula realiza un M.R.U. con V = +5m/s. Si en to = 0, se tiene x o = 10 m, halle el tiempo transcurrido cuando la distancia recorrida es 30 m. A) 5s B) 6 C) 4 D) 3 E) 2
36
Cin em áti ca
6.-
Un cuerpo realiza un M.R.U. Si en los cuatro primeros segundos recorre 6 m más que en el tercer segundo. Determine la rapidez del auto. A) 1m/s B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
7.-
Un ciclista que se desplaza en una pista rectilínea pasa frente a un poste con una rapidez constante de 6 m/s. Si luego de 10s pasa frente al poste un automóvil con una rapidez constante de 20 m/s y en la misma dirección que el ciclista. Determine luego de cuanto tiempo el ciclista es alcanzado por el automóvil. A) 3,3 s B) 2,3 s C) 4,3 s D) 6,3 s E) 8,3 s
8.-
A partir del instante que se muestra, determine el tiempo de encuentro de los autos "A" y "B", sabiendo que el auto "A" y el atleta se encuentran al transcurrir 2 s desde las posiciones que se muestran. Todos los móviles realizan M.R.U.
A) 3 s 9.-
B) 2
C) 1
D) 5
E) 4
Dos partículas se mueven con M.R.U., la partícula "A" tiene una rapidez de 20 m/s según el eje "x" y pasa por el origen en t = 0 s, la partícula "B" tiene una rapidez de 30 m/s según el eje "y" y se dirige al origen pasando por y = 30 m en t = 0 s. ¿A qué distancia se encuentran entre sí a los 0,5 s? A) 5 13 m B) 2 13 C) 3 13 D) 5 5 E) 10 13
10.- Dos móviles "A" y "B" están separados 20 m. El móvil "A" parte en t = 0 s, con una velocidad V = 4 m/s hacia el móvil "B". El segundo móvil parte en la misma dirección con una V = 2 m/s, en t = 2 s. ¿Para qué instante el primero alcanza al segundo? A) 8 s B) 1 C) 12 D) 6 E) 10 11.- Dos móviles se desplazan en la misma pista con una rapidez constante, luego de 10 s el móvil "A" cambia su dirección en 180° manteniendo constante su rapidez. ¿Qué tiempo emplearon en encontrarse desde las posiciones indicadas?
A) 5 s
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
12.- Un helicóptero y el auto experimentan un M. R. U. a partir del instante mostrado, determine la distancia que los separa transcurrido 1 segundo.
A) B) C) D) E)
30 m 40 50 60 45
37
Cin em áti ca
13.
Dos personas "A" y "B" están separadas una distancia "x", en cierto instante "A" dispara una bala con una velocidad de 170 m/s en dirección del blanco que se encuentra junto a "B". Si "B" escucha el disparo y 3 s después percibe el impacto en el blanco, determine "x". Rapidez del sonido = 340 m/s. A) 1 020 m B) 340 C) 680 D) 850 E) 1200
14.- La figura muestra el instante t = 0 s, en que dos móviles se mueven a lo largo del eje "x" con velocidades constantes, determine la posición (en "m") del móvil "A" cuando ambos nuevamente se encuentran separados 100 m. A) +70 m
C) +140
B) +210
D) +180
E) +105
15.- Una motocicleta se mueve con una velocidad constante de 50 km/h hacia un automóvil que se encuentra en reposo pero cuando se encuentra a 600 m del automóvil, este parte con una velocidad constante de 20 km/h. Halle a partir de ese momento el tiempo que tarda en alcanzar el automóvil. A) 1,8 min B) 0,6 C) 1,2 D) 2 E) 2,4 16.- Dos móviles "A" y "B" se están moviendo en sentidos opuestos con velocidades constantes VA y VB en t = 0 s se encuentran separados 120 m, si los móviles se cruzan después de 10 s, calcule después de que t iempo a partir del encuentro estarán separados 60 m. A) 5 s B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 17.- Dos móviles parten simultáneamente desde un mismo punto siguiendo trayectorias rectilíneas perpendiculares entre sí, con rapidez de 6 m/s y 8 m/s respectivamente. Halle la distancia de cada móvil hacia el origen, en el instante que su separación mutua es de 200 m. A) 400 m; 300 m B) 120; 160 C) 140; 210 D) 60; 80 E) 150; 200 18.- Un bus de 10 m de longitud que realiza un M.R.U. con una rapidez de 20 m/s cruza un puente en "t" segundos, si duplicara su rapidez se demoraría 2 s menos. ¿Cuál es la longitud del puente? A) 100 m B) 80 C) 70 D) 60 E) 50 19.- Dos trenes corren en sentidos contrarios con velocidades V 1 = 36 km/h y V2 = 54 km/h. Un pasajero del primer tren (el de V 1) nota que el tren 2 demora en pasar por su costado 6 segundos. ¿Cuál es la longitud del segundo tren? (se supone que el pasajero esta inmóvil en el primer tren mirando a través de la ventana). A) 100 m B) 150 C) 200 D) 250 E) 300 20.- Un avión se dirige de "B" hacia "C", el ruido del motor emitido en "B" alcanza al observador en "A" en el instante en que el avión llega a la posición "C". Sabiendo que la velocidad del sonido es de 340 m/s, determine la velocidad constante del avión. A) B) C) D) E)
238 m/s 119 476 272 136
38
Cin em áti ca
M.R.U.V. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 1. CONCEPTO: Es aquel movimiento donde el móvil describe una línea recta y además en intervalos de tiempo iguales los cambios de velocidad son iguales y las distancias recorridas son diferentes. Tiene aceleración constante.
1s
1s
1m/s
3m/s
1s
5m/s
7m/s x
V=2m/s
V=2m/s
V=2m/s
Los cambios de velocidad son iguales en tiempos iguales. La trayectoria o camino de la partícula es una línea recta. El móvil recorre distancias diferentes en tiempos iguales.
2. ACELERACIÓN LINEAL O TANGENCIAL. La aceleración lineal mide la rapidez de cambio de la velocidad en módulo. En el M.R.U.V. la aceleración lineal es constante, es decir no cambia la dirección ni el módulo de la aceleración.
Unidad de la aceleración en el S.I.: m/s² o m.s-2 a
a
V F
V
…. (1)
t
V F V 0 t
V0
…. (2)
a.t …. (3)
3. VELOCIDAD MEDIA EN EL M.R.U.V. Dado que la velocidad varía linealmente, la velocidad media es igual a la semisuma de las velocidades inicial y final en cierto intervalo de tiempo. La velocidad media, es una velocidad constante en intervalo de tiempo “t” donde el móvil
recorre una distancia “d”, cumpliéndose la siguiente ecuación: 39
Cin em áti ca
Vm .t
d
(V0
d
…. (4)
V F )
2
.t
…. (5)
V (m/s) VF
VMEDIA
V0 t (s) 0
t
Reemplazando (3) en (5):
(V0
d
V F )
2
Obtenemos:
.t
d
De (2): V F V0 De (5): V F V 0
(V0
d
V0 .t
V0
2 1 2
a.t 2
a.t ) .t
… (6) … (7)
a.t
2d
…. (8)
t
Multiplicado miembro a miembro (7) y (8):
V F 2
V02
2ad
Despejando tenemos que: 2
VF
V
2
0
De (3): V F
2ad V0
…. (9)
a.t
… (10) d
Reemplazando (10) en (5) Obtenemos:
d
V F .t
1 2
(V0
V ) F
2
.t
a.t 2
40
d
(VF
a.t VF )
2
.t
Cin em áti ca
Cuando aumenta la velocidad Acelera 1) d
1 2
V0 .t
a.t 2
Cuando disminuye la velocidad Desacelera 1) d
V F
V0
a.t
V F
V0
V F 2
V02
2a.d
V F 2
V02
(V0
V F )
d
2
.t
d
1 2
V0 .t
a.t 2
a.t
2a.d
(V0 V F ) 2
.t
PROBLEMA 01: Un móvil que tiene M.R.U.V. inicia su movimiento, desde el reposo, tal que su rapidez aumenta a razón de 10 m/s cada 5 segundos. ¿Qué distancia recorre en el primer minuto de su movimiento?
Resolución
Nos dan como dato la variación de la velocidad en cada intervalo de tiempo . Cálculo del módulo de la aceleración: V 10 m / s 2 m / s2 a 5s t La velocidad inicial es nula. El intervalo de tiempo es 60 segundos. Aplicamos la fórmula para determinar la distancia.
d
1 2
V0 .t
a.t 2
Reemplazando los datos tenemos que:
d
1 2
0 x60
.2.(60) 2
3 600 m
Respuesta: en un minuto recorre 3,6 km.
PROBLEMA 02: Un automóvil que tiene M.R.U.V. disminuye su rapidez a razón de 4 m/s cada 2 segundos. ¿Cuántos metros recorrió en el último segundo de su movimiento?
Resolución Cálculo del módulo de la desaceleración:
a
V
4 m/s
2 m / s2
2s En el último segundo, la velocidad final es nula. Aplicamos la fórmula en función de la velocidad final. d
t
V F .t
1 2
2 a.t
d
0 x1
1 2
.2.(1) 2
1m
Respuesta: en el último segundo recorre un metro.
41
Cin em áti ca
4. SIGNOS DE LA ACELERACIÓN Si la velocidad aumenta en módulo decimos que el movimiento es acelerado, en cambio si la velocidad disminuye en módulo decimos que el movimiento es desacelerado .
V F
V0
a.t
V0 : velocidad inicial (+) : Movimiento acelerado
VF : velocidad final (-) : Movimiento desacelerado
Y (m)
a V0
VF X (m)
t En el movimiento acelerado la aceleración y la velocidad tienen la misma dirección. En cambio si el movimiento es desacelerado la aceleración tiene dirección opuesta (sentido opuesto) a la velocidad.
EJEMPLO 01: Wall dispone de un minuto para pasearse en una moto recorriendo un tramo sobre el eje X, desde A hasta B y luego de regreso desde B hasta A. ¿Qué distancia máxima podrá alejarse con velocidad constante de 20 i m/s?, si debe regresar de B hacia A desde el reposo con aceleración de – 8 i m/s2.
Resolución El tramo AB (ida) recorre con MRU. En cambio el tramo BA (regreso) con MRUV, acelerado. Igualando las distancias, obtenemos la siguiente ecuación.
d AB M .R.U . V .t1
20.T
V0 .t2
dBA M .R.U .V . 1 2
.a.t 22
4 60 T
2
20.T
5.T
0
1 2
.8. 60 2
60 T
Resolviendo la ecuación: T = 45 segundos. Cálculo de la distancia: d AB
20.45
900 m
Respuesta: La distancia entre A y B es 900 metros. 42
2
T
Cin em áti ca
5. NÚMEROS DE GALILEO GALILEI. Galileo Galilei n ació el 15 de feb rero de 1564 en Pi sa, Italia. El inic ió el m é to do científico experim ental. Isaac Newton utilizó un a de las desc ripc ion es m atemáticas de Galileo, “la ley de la Inercia”, como fundació n para su prim era ley del movim iento. Galileo falleci ó en 1642, el añ o d e naci mi ento de Isaac Newt on . Analicemos el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, cuando tiene velocidad inicial diferente de cero.
d
V0 .t
1 2
2
a.t 1 2
a.n2
Para. t = n
d1
V0 .n
Para. t = n-1
d2
V0 .( n 1) dn
Restando: Obtenemos que: d n
V0
d1 1 2
1 2
2 a.( n 1)
d 2
a.(2n 1)
V0 = 0 t=0
a t=1s
t=2s
K
3K
t=3s
5K
CASO PARTICULAR
Si la partícula inicia su movimiento desde el reposo, con M.R.U.V., entonces el móvil recorre en cada segundo distancias directamente proporcionales a números los impares. Cuando V 0 0
dn
1 2
a.(2n 1)
dn
K .(2n 1)
Donde el valor de K es la mitad del valor de la aceleración. K
a
2
EJEMPLO 01: Un móvil que tiene M.R.U.V. inicia su movimiento, desde el reposo, con aceleración 5 i (m/s2). Determine la distancia que recorre en el quinto segundo de su movimiento.
Resolución La velocidad inicial es nula. Quinto segundo, entonces n = 5. Aplicamos la fórmula práctica.
dn
1 2
a.(2n 1)
dn
1 2
.5.(2 x5 1)
22,5 m
Respuesta: El móvil recorre 22,5 metros en el quinto segundo. 43
Cin em áti ca
6. DESPLAZAMIENTO EN EL ENÉSIMO SEGUNDO Analicemos el caso, cuando el cuerpo acelera. El enésimo segundo está comprendido entre los instantes t = n - 1 y t = n. Entonces la distancia que recorre en el enésimo segundo se determina restando, las distancias que recorre el móvil en los primeros n segundos y en los (n - 1) segundos.
d1
d2
V0
t=0
d
1 2
V0 .t
dn
t = n-1
a
t=n
2
a.t d1
Para. t = n:
d2
Para. t = n-1:
dn
Obtenemos que:
1 2
V0 .( n 1)
Restando:
dn
V0
1 2
V0 .n d1 1 2
a.n
2
a.( n 1)2
d 2
a.(2n 1)
CASOS PARTICULARES a) Cuando
dn
1 2
el
cuerpo
acelera
desde
el
dn
V0
reposo
V 0
0 ,
se
cumple
que:
a.(2n 1)
b) Cuando el cuerpo desacelera:
1 2
a.(2n 1)
* Si dn es positivo el cuerpo se aleja del punto de lanzamiento. * Si dn es negativo el cuerpo se aleja del punto de lanzamiento en la dirección opuesta. * Si dn es cero el cuerpo regresa al punto inicial.
EJEMPLO 01: Un móvil que tiene M.R.U.V. inicia su movimiento con velocidad V 0 = 8 i (m/s) y aceleración 5 i (m/s2). Determine la distancia que recorre en el quinto segundo de su movimiento.
Resolución La rapidez inicial es 8 m/s. Quinto segundo, entonces n = 5. Es un MRUV acelerado. Aplicamos la fórmula práctica.
dn
V0
1 2
a.(2n 1)
dn
8
1 2
.5.(2 x5 1)
44
30,5 m
Cin em áti ca
Respuesta: El móvil recorre 30,5 metros en el quinto segundo. 7. POSICIÓN DE LA PARTÍCULA EN EL EJE X Analizamos el movimiento de la partícula con aceleración constante, sobre el eje X, respecto de un sistema de referencia.
Y d X
X0 Cambio de posición: d La posición final: X F
d
… (1) … (2)
a.t 2
… (3)
X F X0
V0 .t
Para el MRUV: d
XF
1 2
X 0
Reemplazando (3) en (2) tenemos : X F
X F
X0
V0 .t
1 2
a.t 2
X 0 .t 0
V0 .t 1
a.t 2
0!
1!
2!
t=0
t >0
d
EJEMPLO 01: Un cuerpo tiene la siguiente ley del movimiento: X (t)
3
4.t
t 2 , donde t
se mide en segundos y X se mide en metros. Determine la distancia que recorre entre los instantes t = 2 s y t = 5 s.
Resolución Determinamos previamente la posición en el instante t = 2 s
X(t) 3 4.t
t2
X(t) 3 4.2
22
15 m
Determinamos ahora la posición en el instante t = 5 s
X(t) 3 4.t
t2
X(t) 3 4.5 52
48 m
La distancia que recorre el cuerpo se obtiene mediante la diferencia: d = 48 - 15 = 33m
45
Cin em áti ca
Respuesta: El cuerpo recorre 33 metros en el intervalo 2s < t < 5s . 8. SONIDO Y ECO El eco es un fenómeno acústico. El sonido necesita para propagarse un medio diferente al vacío. En el aire desarrolla una rapidez promedio de 340 m/s. El eco se produce cuando el observador percibe el mismo sonido por segunda vez debido al rebote de la onda sonora en algún obstáculo (montaña, cerro, pared, muro, etc.). AL BERT EINSTEIN KOCH , físico de origen judío, recibió el premio nobel de Física en 1921 por su explicación del Efecto Foto Eléctrico. Se sabe que este genial científico tocaba el violín casi como un profesional . A
EJEMPLO 01: Un automóvil que parte del reposo se mueve con MRUV con aceleración de módulo constate de 1 m/s 2, en dirección a una montaña. Al partir el chofer toca la bocina y cuando ha recorrido 32 metros escucha el eco. Determine la distancia de separación inicial entre el auto y la montaña. Rapidez del sonido en el aire 340 m/s.
Resolución El intervalo de tiempo empleado por el auto en recorrer 32 m, es el mismo tiempo que emplea la onda sonora en ir desde el punto A hasta la montaña y regresar a la nueva posición del auto en B.
S
o
n
i
d
Montaña
o
B C
A
32 m
Para el auto (MRUV): d
V0 .t
Reemplazando los datos: 32
(x - 32) m
a.t 2
2 00.t
1.t 2
64
2
t 2
Resolviendo: t = 8 segundos Para el sonido (MRU):
eSONIDO
VSONIDO .T
Resolviendo: X = 1 376 m
46
X
X
32
340.8
Cin em áti ca
Respuesta: la distancia de separación inicial entre el auto y la montaña es 1,376 km.
EJERCICIOS DE MRUV 1.-
Para un móvil que desarrolla un M.R.U.V. indique verdadero (V) o falso (F). I. II. III.
Su aceleración es constante. La dirección de la aceleración siempre es igual a la velocidad. Su aceleración es perpendicular a su desplazamiento.
A) VFF 2.-
C) VFV
D) FW
E) FFF
Marque verdadero (V) o falso (F). I. II. III.
En el M.R.U.V. la velocidad permanece constante y la aceleración varía uniformemente. En el M.R.U.V. la aceleración es constante y la velocidad varía uniformemente. Si la velocidad de un cuerpo es cero, entonces su aceleración también es cero.
A) VFF 3.-
B) WF
B) FW
C) FVF
D) FFF
E) WF
Marque verdadero (V) o falso (F). ( )
Si un cuerpo tiene una aceleración constante entonces el módulo de su velocidad va en aumento. ( ) En el M.R.U.V. la velocidad y aceleración pueden ser perpendiculares. ( ) Si un cuerpo posee un movimiento rectilíneo uniformemente retardado, entonces cuando su velocidad llega a cero su aceleración es nula. A) VVF 4.-
B) 26
C) 25
D) 30
E) 27
B) 155
C) 108
D) 105
E) 18
B) 0,5
C) 2
D) 1,5
E) 4
Un auto se desplaza en una pista rectilínea observándose que su rapidez disminuye en 4 m/s cada 2 segundos. Determine su recorrido un segundo antes de detenerse, si su rapidez inicial es 10 m/s. A) 1 m
8.-
E) FVV
Un móvil que realiza un M.R.U.V. triplica su rapidez luego de recorrer 8 metros en 2 segundos. Determine el valor de la aceleración. A) 1 m/s2
7.-
D) FFF
Un automóvil tiene rapidez de 18 m/s, luego reduce su rapidez a razón constante de 3 m/s cada 2 segundos. Si el automóvil tiene M.R.U.V.; determine la distancia que recorre hasta que se detiene. A) 27 m
6.-
C) FVF
La velocidad al final de un móvil que recorre 100 m en línea recta es 35 m/s. Si su aceleración es constante e igual a 3 m/s 2, calcule la velocidad de partida en m/s. A) 38 m/s
5.-
B) VFF
B) 2
C) 3
D) 5
E) 4
Un móvil se desplaza con rapidez constante igual a 2 m/s, durante 10 s, luego acelera uniformemente con a = 1 m/s 2 durante 5 segundos y después desacelera uniformemente
47
Cin em áti ca
con 2 m/s2. Determine el intervalo de tiempo en el cual la velocidad llega a cero y dar como respuesta la distancia recorrida. A) 12,2 m 9.-
B) 32,2
C) 48,2
D) 54,75
E) 25,2
Un ciclista inicia su movimiento con una aceleración constante de módulo 4 m/s 2, determine: I) Su rapidez luego de 4 s de iniciado su movimiento. II) Su recorrido en los 4 primeros segundos. A) 16m/s, 28m B) 12m/s, 14m
C) 16 m/s, 32 m D) 16m/s, 18m
E) 12 m/s, 64 m
10.- Dos móviles "A" y "B" en cierto instante están separados tal como indica la figura. Determine cuanto tiempo transcurre hasta que se encuentran, si "A" experimentó un MRU y "B" un MRUV con aceleración de módulo 2 m/s 2. A) 1s C) 4 E) 3 B) 2 D) 2,5 11.- Un móvil parte del reposo con una aceleración constante logrando recorrer 20 m en los primeros 5 segundos. Calcule la velocidad del móvil a los 10 s de haber iniciado su movimiento. A) 4 m/s B) 8 C) 12 D) 16 E) 20 12.- Dos partículas "A" y "B" se encuentran separados 1 200 m. Si parten simultáneamente uno hacia el otro se encuentran luego de 10 s. Si "A" parte del reposo y acelera a razón de 4 m/s2 y "B" mantiene una velocidad constante V B. Determine "VB". A) 120 m/s B) 200 C) 150 D) 100 E) 80 13.- Un ciclista va con movimiento uniforme a una velocidad de 10 m/s. Al entrar a una pendiente adquiere una aceleración de 0,4 m/s 2. Si la longitud de la pendiente es 1,0 km, el tiempo en segundos, en recorrer la longitud de la pendiente es: A) 50 B) 200 C) 100 D) 25 E) 150 14.- Un auto experimenta un M.R.U.V. al pasar por un punto "P" tiene una rapidez de 5 m/s. Si 25 m más adelante su rapidez es de 20 m/s, ¿qué distancia recorre luego de 4 s de pasar por "P"? A) 100 m B) 60 C) 40 D) 80 E) 20 15.- Dos autos inician sus movimientos simultáneamente en direcciones contrarias con aceleraciones constantes de módulo 2 m/s 2 y 4 m/s2 en pistas paralelas, ¿Qué rapidez tienen en el instante que empiezan a cruzarse, si inicialmente están separados una distancia paralela a la pista de 48 m? A) 6m/s, 12m/s
B) 8m/s, 16m/s
C) 4m/s, 8m/s
48
D) 8m/s, 18m/s
E) 8m/s, 24m/s
Cin em áti ca
CAÍDA LIBRE VERTICAL 1. CONCEPTO. Es aquel tipo de movimiento rectilíneo uniformemente variado (M.R.U.V.) cuya trayectoria es una línea recta vertical y que se debe a la presencia del campo de gravedad. La única fuerza que actúa sobre el cuerpo es su propio peso, ya que no considera la resistencia del aire. Este tipo de movimiento se obtiene, cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, hacia abajo, o simplemente es soltado. En las ecuaciones cinemáticas no se considera la masa ni la fuerza resultante. La cinemática en general estudia as propiedades geométricas del movimiento. (1564 - 1642) gran físico y astrónomo italiano que GALILEO GALILEI por primera ve z empleo el método experimental de investigación en la ciencia. Galileo introdujo el concepto de inercia; estableció la relatividad del movimiento; estudio las leyes de caída de los cuerpos y del movimiento de estos por un plano inclinado; las leyes del movimiento, al lanzar uno objeto formando cierto ángulo con el horizonte; aplicó el péndulo simple para la medida del tiempo.
2. CONSIDERACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE * * * *
*
No se considera la resistencia del aire. La altura máxima alcanzada es suficientemente pequeña como para despreciar la variación de la aceleración de la gravedad. La velocidad máxima alcanzada por el cuerpo es suficientemente pequeña para despreciar la resistencia del aire. La altura alcanzada es suficientemente pequeña para considerar un campo gravitatorio homogéneo y uniforme. El valor o módulo de la aceleración de la gravedad es: g 9,8
m
s 2
9,8
N kg
3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE VERTICAL Analíticamente el movimiento de caída libre es un caso es especial del MRUV, donde la distancia se reemplaza por la altura y la aceleración lineal por la aceleración de la gravedad.
Cuando BAJA 1) h
V0 .t
1 2
2) h
V F .t
1 2
3) V F 2
4) V F
5) h
g.t 2
1) h
V0 .t
2
2) h
V F .t
g .t
g .t
V0 V02
2 g .h
(V0 V ) F 2
Cuando SUBE
.t
hn
V0
1 2
g.(2n 1)
hn
V0
1 2
g.(2n 1)
3) V F
V0
2
V0
4) V F
5) h
hn
49
1 2
2
g.t
g .t
2
2 g .h
(V0
V ) F
2 V0
g.t 2
1 2
1 2
.t
g.(2n 1)
Cin em áti ca
4. TIEMPO DE VUELO Consideremos un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba. Cuando el cuerpo alcanza la altura máxima su velocidad es nula. De la ecuación:
V F
V0
g.t
VF = 0
reemplazando los datos:
0
V0
g .T
g
T
Despejando:
T
V 0
V0
g
Tiempo de subida:
Tiempo de vuelo:
V 0
tSUBIDA
tVUELO
g
2.V 0
T
2T
g
EJEMPLO 01: Desde el piso es lanzado verticalmente hacia arriba un cuerpo con una rapidez de 50 m/s. Determine el tiempo de vuelo. (g = 10 m/s 2)
Resolución Aplicando la fórmula práctica: 2.V 0 2(50) tVUELO TVUELO 10 g
10 s
Respuesta: el tiempo que demora en regresar al punto de lanzamiento es 10 segundos. EJEMPLO 02: Desde el piso es lanzado verticalmente hacia arriba un cuerpo luego de 8 segundos regresa al punto de lanzamiento. Determine la rapidez de lanzamiento. (g = 10 m/s2)
Resolución Aplicando la fórmula práctica: Resolviendo: V0
t VUELO
2.V0 g
40 m / s
Respuesta: La rapidez de lanzamiento es 40 m/s.
50
8
2(V 0 ) 10
Cin em áti ca
5. EL INTERVALO DE TIEMPO DEPENDE DE LA ALTURA Todos los cuerpos que se dejan caer simultáneamente con la misma velocidad inicial cero desde una altura, utilizan el mismo intervalo de tiempo para llegar al suelo.
h
V0 = 0
1 2
V0 .t
2 .g .t
Reemplazando los datos tenemos:
H
g H
T
0
1 2
. g.T 2
el intervalo de tiempo de caída es:
T
2. H g
VF EJEMPLO 01: Desde una altura de 80 metros se abandona (velocidad nula) una esfera de hierro. Determine el intervalo de tiempo que demora en llegar al piso. (g = 10 m/s 2)
Resolución Aplicando la regla práctica:
T
2. H g
T
2.(80) 10
16
4s
Respuesta: el tiempo transcurrido es 4 segundos. EJEMPLO 02: Desde una altura de 45 metros se deja caer (velocidad nula) una piedra. Determine el intervalo de tiempo que demora en llegar al piso. (g = 10 m/s 2)
Resolución Aplicando la regla práctica:
T
2. H g
T
2.(45) 10
9
3s
Respuesta: el tiempo transcurrido es 3 segundos.
51
Cin em áti ca
6. ALTURA MÁXIMA Un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba alcanza su altura máxima cuando su velocidad final en el punto más alto es igual a cero.
VF = 0
Aplicando la ecuación:
V F 2
V02
2 g.h
Reemplazando los datos:
0
V02
g H
2 g .H
V0
2
H
V 0
2 g
EJEMPLO 01: Desde el piso es lanzado verticalmente hacia arriba un cuerpo con una rapidez de 50 m/s. Determine la altura máxima que alcanza el cuerpo. (g = 10 m/s 2)
Resolución Reemplazando en la fórmula práctica: 2
H
V 0
2 g
H
(50) 2 2.(10)
125 m
Respuesta: La altura máxima es 125 metros. EJEMPLO 02: En la tierra, un objeto lanzado verticalmente hacia arriba con cierta rapidez alcanza una altura máxima “H”, determine la altura máxima que alcanza en la Luna, si la aceleración de la gravedad es la sexta parte de la terrestre y la rapidez de lanzamiento la misma. (g = 10 m/s2)
Resolución Reemplazando en la fórmula práctica: En la Tierra: H =
En la Luna: H1 =
V02 2g V02 g 2 6
=6
V02 2g
= 6.H
Respuesta: La altura máxima que alcanza en la Luna es 6H.
52
Cin em áti ca
7. CAMBIO DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD La intensidad de la gravedad no es el mismo para todos los lugares de la Tierra, depende de la altura sobre el nivel del Mar y de la latitud. El movimiento de caída libre plantea la misma aceleración para todos los cuerpos cualquiera que sea su masa, a esta aceleración se le llama aceleración de la gravedad normal, cuyo valor es 45° de latitud:
m g 9,8 2 s
9,8
N kg
* En los polos: g = 9,83 m/s² (Máxima) * En el Ecuador: g = 9,78 m/s² (Mínima)
8. CAMPO GRAVITACIONAL No sólo la Tierra atrae a los cuerpos, también el Sol, la Luna y todo astro. Se entiende por
“gravedad” a la región de espacio que rodea a un astro gracias al cual atrae a los cuerpos. Todos los planetas gravedad. g Tierra gLuna 6
(Tierra) y satélites (Luna) generan a su alrededor un campo de
9. INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO La aceleración de la gravedad “g” depende de la masa y el radio terrestre. Es decir la aceleración de la gravedad depende de la forma que tiene el cuerpo creador del campo gravitatorio.
Donde: g G: G= MT RT
G
MT R 2T
Constante de gravitación universal. 6,67.10-11 N.m2.kg-2 = Masa de la tierra = 5,9.1024 kg = Radio de la tierra = 6 400 km
53
Cin em áti ca
10. NÚMEROS DE GALILEO Si abandonamos un cuerpo de cierta altura, entonces la altura que recorre en cada segundo es directamente proporcional a los números impares.
h
Primer segundo
1K = 5 m
Segundo segundo
3K = 15 m
Tercer segundo
5K = 25 m
Cuarto segundo
7K = 35 m
Quinto segundo
9K = 45 m
Sexto segundo
11K = 55 m
Sétimo segundo
13K = 65 m
Octavo segundo
15K =75 m
V0 .t
1 2
V0 = 0
2
g.t
t=0s K
Para. t = n h1 V0 .n 12 g.n2 Para. t = n - 1 h2 V0 .( n 1)
1 2
t=1s g.( n 1)2
3K Restando: hn h1 h2 Obtenemos que: hn V0 12 g.(2n 1)
t=2s
CASO PARTICULAR Cuando V 0
hn hn
1 2
0
g.(2n 1)
K .(2n 1)
g
Donde el valor de K es la mitad del valor de la aceleración. g K =5
5K
2
Considerando: g = 10 m/s 2. En el primer segundo recorre 5 metros. En el segundo segundo recorre 15 metros. En el tercer segundo recorre 25 metros. En el cuarto segundo recorre 35 metros. En el quito segundo recorre 45 metros. En el enésimo segundo recorre 5(2n - 1) metros.
54
t=3s
Cin em áti ca
11. CUANDO EL CUERPO ASCIENDE (DESACELERA) Analicemos el movimiento de subida respecto de un sistema de referencia.
Ecuaciones: 2
1 2
1) h
V0 .t
2) h
V F .t
3) V F
V0
g.t
V02
2 g.h
2
4) V F 5) h 6) hn
g.t
1 2
2 1 2
VF
2
g .t
(V0 V F )
V0
Y (m)
g
h
.t
g.(2n 1)
V0 X (m)
EJEMPLO 01: Se muestra el lanzamiento vertical de una esfera en el punto A con rapidez V0 = 30 m/s. Determine la rapidez de la esfera cuando pasa por el punto B. (g = 10 m/s 2) B
4 0m V0= 30m/s A
Resolución Aplicamos la siguiente ecuación del movimiento: 2
V F V B2 2
V B
2
V0 (30)2 100
2 g.h 2(10).(40) VB
10 m / s
Respuesta: La rapidez de la esfera en B es 10 m/s.
55
Cin em áti ca
12. CUANDO EL CUERPO DESCIENDE (ACELERA) Analicemos el movimiento de bajada respecto de un sistema de referencia.
Ecuaciones:
X (m) g.t 2
1 2
1) h
V0 .t
2) h
V F .t
3) V F
V0
2 4) V F
V02
1 2
g .t
2
6) hn
h (+)
2 g .h
(V0 V ) F
5) h
V0
2
g.t
1 2
V0
g
.t
g.(2n 1)
Y (m)
VF
EJEMPLO 01: En cierto planeta una partícula en caída libre duplica su rapidez luego de recorrer 30 m en 2 segundos. Determine la aceleración de la gravedad (en m/s 2). V 30 m 2V
Resolución Cálculo de la rapidez V:
h
(V0
V ) F
2
.t
30
(V
2V ) 2
.(2)
Resolviendo: V = 10 m/s Cálculo del módulo de la aceleración de la gravedad:
g
V B V A
20 10
t
2
5 m / s2
Respuesta: el módulo de la aceleración de la gravedad en este planeta es 5 m/s 2.
56
Cin em áti ca
13. TIEMPO DE ALCANCE Cuando dos partículas son lanzadas simultáneamente, en la misma dirección, de diferentes posiciones, en una misma línea vertical; el tiempo de alcance es:
Del gráfico tenemos la siguiente ecuación:
H A
HB 1 2
(V A .T
P
H 2 gT ) (VB .T
1 2
2 gT )
HB
H
g
simplificando tenemos:
V A .T
VB .T
HA
VB
H
despejando obtenemos:
T encuentro
H V A V B
H VA
EJEMPLO 01: Se muestra el lanzamiento vertical de dos esferas simultáneamente con rapideces de V A = 80 m/s y VB = 30 m/s. ¿Después de cuántos segundos las esferas se encuentran a la misma altura? (g = 10 m/s 2) V
B
100 m V
A
Resolución Los móviles están separados inicialmente 100 metros en la vertical. Aplicando la fórmula práctica: 100 H 2s Talcance Talcance 80 30 V A V B
Respuesta: Las esferas estarán a la misma altura después de 2 segundos.
57
Cin em áti ca
14. TIEMPO DE ENCUENTRO Cuando dos partículas son lanzadas, simultáneamente, en direcciones opuestas, de diferentes posiciones en una misma línea vertical; el tiempo de encuentro es: Del gráfico ecuación:
H A (V A .T
HB 1 2
tenemos
la
VA
siguiente
g
HA
H 2 gT ) (VB .T
1 2
2 gT )
H
H
P
simplificando tenemos: V A .T VB .T H despejando obtenemos:
T encuentro
HB
H V A
V B
VB
EJEMPLO 01: Dos objetos que se encuentran en la misma vertical separados una distancia vertical de 200 m, si uno de ellos se suelta libremente mientras el otro es lanzado hacia arriba con una rapidez de 40 m/s. Determine el intervalo de tiempo que demoran en encontrarse.
Resolución Los móviles están separados inicialmente 200 metros en la vertical. Aplicando la fórmula práctica:
Tencuentro
H V A
V B
Tencuentro
200 0 40
5s
Respuesta: Las esferas estarán a la misma altura después de 5 segundos. EJEMPLO 02: Dos objetos que se encuentran en la misma vertical separados una distancia vertical de 160 m, si uno de ellos se lanza hacia abajo con rapidez de 5 m/s mientras que el otro es lanzado hacia arriba con una rapidez de 35 m/s. Determine el intervalo de tiempo que demoran en encontrarse.
Resolución Los móviles están separados inicialmente 160 metros en la vertical. Aplicando la fórmula práctica: 160 H Tencuentro Tencuentro 4s 5 35 V A V B
Respuesta: Las esferas estarán a la misma altura después de 5 segundos. 58
Cin em áti ca
15. LA ALTURA ES DESPLAZAMIENTO VERTICAL Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba respecto de un sistema de referencia. Ahora analizamos el movimiento de cuerpo en caída libre en forma vectorial, es decir considerando los signos. Entonces la altura tendrá signos positivo o negativo: (1) Si la altura tiene signo positivo significa que el cuerpo se encuentra sobre el nivel de referencia, subiendo o bajando. (2) Si la altura tiene signo negativo significa que el cuerpo se encuentra debajo de la línea de referencia descendiendo. (3) Si la altura es cero significa que el cuerpo ha regresado o está pasando en ese instante por el nivel de referencia (N.R.).
Y (+)
g V2
V3 h (+) V1 h=0 N.R.
X (+) V4
h (-)
Y (-) V5
59
Cin em áti ca
EJEMPLO 01: Se muestra el lanzamiento de una partícula, con rapidez V = 20 m/s desde una altura h = 300 m. ¿Después de cuántos segundos llegará a la superficie terrestre? V (g = 10 m/s2) A
h
Resolución El desplazamiento de la piedra finalmente es 300 metros vertical hacia abajo (signo negativo). Aplicamos la ecuación del movimiento que relaciona la posición y el tiempo:
h
V0 .t
1 2
g .t 2
Remplazando tenemos:
300
1 2
20.t
(10).t 2
2
t 10 s Resolviendo la ecuación: 60 4.t t Respuesta: La partícula llegará al piso después de 10 segundos.
EJEMPLO 02: Desde un globo a 75 m sobre el suelo, que asciende verticalmente con rapidez de 10 m/s, se suelta un saco de lastre, determine el intervalo de tiempo que le toma llegar al suelo. (g = 10 m/s 2)
Resolución La velocidad inicial del saco es 10 m/s hacia arriba (por inercia) respecto de nuestro observador ubicado en la Tierra. Aplicamos la ecuación del movimiento que relaciona la posición y el tiempo:
h
V0 .t
1 2
g .t 2
Remplazando tenemos: Resolviendo la ecuación:
1 2
75 10.t
15
(10).t 2
t2
2.t
t
5s
Respuesta: La partícula llegará al piso después de 5 segundos. EJEMPLO 03: Un globo se encuentra subiendo con velocidad de 5 j (m/s) y en el instante que se encuentra a 360 m del piso, desde el globo se deja caer una piedra. ¿Qué tiempo tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre? (g = 10 m/s 2)
Resolución La velocidad inicial de la piedra es 5 m/s hacia arriba (por inercia) respecto de nuestro observador ubicado en la Tierra. Aplicamos la ecuación del movimiento que relaciona la posición y el tiempo:
h
V0 .t
1 2
g .t 2
Remplazando tenemos:
360
Resolviendo la ecuación:
72
1 2
5.t t
t2
(10).t 2 t
9s
Respuesta: La partícula llegará al piso después de 9 segundos.
60
Cin em áti ca
16. DISTANCIA QUE RECORRE EN EL ENÉSIMO SEGUNDO Analicemos el caso, cuando el cuerpo es lanzado verticalmente hacia abajo. El enésimo segundo está comprendido entre los instantes t = n - 1 y t = n. Entonces la distancia que recorre en el enésimo segundo se determina restando las distancias que recorre el mó vil en los primeros n segundos y en los (n - 1) segundos. 1 2
V0 .t
h
2
g .t
Para. t = n 2 h1 V0 .n 12 g.n Para. t = n-1 h2 V0 .( n 1)
1 2
t=0 V0
2 g.( n 1)
Restando: hn h1 h2
g
h2
Obtenemos que:
hn
1 2
V0
g.(2n 1)
h1 CASOS PARTICULARES a) Cuando el cuerpo es abandonado, soltado o dejado caer V 0 0 , se cumple
t = n-1
que:
hn
1 2
g.(2n 1)
hn
b) Cuando el cuerpo es lanzado verticalmente hacia ARRIBA, el cuerpo inicia su movimiento en contra del campo de gravedad, es decir desacelera.
hn * * *
V0
1 2
t=n
g.(2n 1)
Si hn es positivo el cuerpo se desplaza verticalmente hacia arriba. Si hn es negativo el cuerpo se desplaza verticalmente hacia abajo. Si hn es cero el cuerpo regresa al punto inicial.
EJEMPLO 01: Un cuerpo se deja caer desde lo alto de una torre, ¿qué distancia recorre en el tercer segundo de su movimiento? (g = 10 m/s 2)
Resolución 0 ). Aplicamos la regla práctica. En el tercer segundo,
El cuerpo sale del reposo ( V 0 entonces n = 3.
hn
1 2
g.(2n 1)
hn
1 2
.10.(2 x3 1)
25 m
Respuesta: el cuerpo se desplaza 25 metros, vertical hacia abajo. 61
Cin em áti ca
EJERCICIOS DE CAÍDA LIBRE VERTICAL 1.-
Señale verdadero (V) o falso (F) según como corresponda: ( ) Todo cuerpo en caída libre tiene movimiento uniforme. ( ) Sólo existe gravedad en la Tierra. ( ) La aceleración de caída libre depende del tamaño de los cuerpos. A) VFV
2.-
B) C
D) VVV
E) VFF
C) D
D) B
E) A
Si lanzamos una moneda al aire y verticalmente hacia arriba: ( ) El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada. ( ) En la parte más alta de su trayectoria la velocidad es nula. ( ) La velocidad de retorno es igual a la velocidad de lanzamiento. Indicar verdadero (V) o falso (F): A) FVV B) FFV
4.-
C) FFF
Con relación a la aceleración de caída libre de los cuerpos en la superficie de la Tierra, no es cierto que: A. Depende del peso de los cuerpos. B. Es independiente de su volumen. C. Es la misma a toda altura. D. Es mayor en la Tierra que en la Luna. E. Se considera constante en la superficie de la Tierra. A) E
3.-
B) FFV
C) VFF
D) VVF
E) VVV
Un cuerpo que cae libremente, paso justo al punto "A" con rapidez "V". ¿Con qué rapidez pasará junto al punto "B", si este se ubica a una distancia "h" debajo de "A"? A)
v2 2gh
B)
v2 2gh
C) 2v2 gh
5.-
D)
v2 gh
E)
v2 gh
Desde un helicóptero que está descendiendo a una velocidad uniforme de 3 m/s, se deja caer una pelota verticalmente. Calcule la velocidad de la pelota en m/s al final del primer segundo. No considere la resistencia del aire. (g = 9,8m/s 2) A) 3 m/s
6.-
D) 16,6
E) 22,6
B) 120
C) 130
D) 135
E) 140
Se suelta un objeto desde una altura de 250 m. Determine a qué altura del piso se encuentra luego de 6 s de ser soltada. (g = 10 m/s 2) A) 40 m
8.-
C) 12,8
Desde un edificio muy alto, un niño suelta un coco; 3 segundos después suelta el siguiente coco, ¿cuál será la separación entre los cocos, 3 s más tarde? A) 100 m
7.-
B) 6,8
B) 60
C) 70
D) 80
E) 90
Un proyectil es disparado verticalmente hacia arriba. Determine la rapidez de disparo, si luego de ascender 25 m su velocidad es de 20 m/s. (g = 10 m/s 2) A) 10 m/s
B) 20
C) 30
62
D) 35
E) 40
Cin em áti ca
9.-
¿Desde qué altura se debe soltar una canica para que en el último segundo de su caída libre recorra 25 m? (g = 10 m/s 2) A) 45 m
B) 25
C) 40
D) 20
E) 30
10.- Desde lo alto de un edificio se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una rapidez de 40 m/s, ¿qué tiempo permanece la piedra en el aire y con qué rapidez llega al piso? A) 5s; 30 m/s B) 10s; 60 m/s C) 15s; 30 m/s D) 20s; 30 m/s E) 25s; 40 m/s
11.- Desde la azotea de un edificio se suelta una piedra. Si en los 60 últimos metros de su recorrido (justo antes de impactar con el piso) su rapidez se duplica, halle la altura del edificio. A) 40 m B) 60 C) 80 D) 120 E) 200
12.- En el diagrama mostrado, determine que tiempo demora el proyectil en ir de "A" hasta "B". (g =10 m/s2)
A) 1 s B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
13.- Una pequeña esfera es lanzada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio para impactar en la base del mismo, luego de 10 s, con una rapidez de 70 m/s. Determine la altura del edificio. (g =10m/s 2) A) 100 m
B) 200
C) 150
D) 145
E) 250
14.- Se deja caer un objeto desde la azotea de un edificio. Cuando pasa junto a una ventana de 2,2 m de altura, se observa que el objeto invierte 0,2 segundo en recorrer la altura de la ventana. ¿Qué distancia existe entre la cima del edificio y la parte superior de la ventana? A) 15 m
B) 20
C) 25
D) 5
E) 10
15.- Un globo se eleva verticalmente desde la superficie terrestre a rapidez constante de 5 m/s. Cuando se encuentra a una altura de 360 m se deja caer una piedra desde el globo. El tiempo en segundos que tarda la piedra en llegar a la superficie terrestre es: (g =10 m/s 2) A) 6 s
B) 9
C) 12
63
D) 15
E) 18
