Primer Cuatrimestre Cuatrimestre de 2016
Departamento de tecnología y administración.
Carrera: Ingeniería en Informática
Asignatura: Física I
Guía Teórico-Práctica Nº 2
[Cinemática Traslacional] La descripción del movimiento – Parte I
Elaboración: Juan Cruz Moreno Gustavo Montero Paulina Armagno
Física I Cinemática Traslacional1 Parte Pa rte I La descri descripc pciión del del Movimi M ovimiento ento:: el espac espaciio, el tiem ti empo po,, la posi posición ción y el desp spllazamie ien nto
Índice Introducció Introducción n ................................................................................... ............................................................................................................................. ..........................................2 1. Herramie Herramientas ntas Metodológi Metodológicas cas...................................................................................... ............................................................................................ ...... 3 I. Objeto Objeto de estudio estudio y Entorno Entorno ........ .............. ....... ....... ............. ....... ............ ............ ............. .............. ....... ....... .............. ....... ............... ........ . 3 II. Modelo Modelo.................................................................................... .......................................................................................................................... ...................................... 3 III. III. El Modelo Modelo de Partíc Partícul ula a .......................................................................................... ................................................................................................ ...... 5 2. El espacio espacio y el tiemp tiempo o ................................................................................... ....................................................................................................... .................... 5 3. Marco de Referencia y Sistema de Coordenadas ............ .... ............... ....... ............. ....... ............ ............ ............. .............. ....... ..... 7 4. Posición Posición .......................................................................................... ............................................................................................................................ .................................. 8 5. Desplazam Desplazamient iento o ............................................................ .............................................................................................................. .................................................. 11 6. Trayector Trayectoria ia ............................................................ ..................................................................................................................... ......................................................... 12 7. Distancia Distancia y Distanc Distancia ia recor recorrida rida ........................................................... ........................................................................................ ............................. 13 8. Gráficas funcionales de de las las coordenadas coordenadas de la posición posición respecto respecto al tiempo .............. ....... .............. ....... 14 9. Problema Problemass y Ejercicios Ejercicios de Aplicació Aplicación n ............................................................................... 20 Problem Problema a 1 ..................................................... ......................................................................................................................... .................................................................... 20 Problem Problema a 2 ..................................................... ......................................................................................................................... .................................................................... 21 Problem Problema a 3 ..................................................... ......................................................................................................................... .................................................................... 21
Introducción Este material determina las bases para el estudio de los movimientos de traslación, la denominada Cinemática Traslacional. Es decir nos enfocaremos en estudiar el movimiento que realiza un cuerpo al trasladarse de un lugar a otro. Como acordamos anteriormente que el tema del lenguaje es esencial en la construcción de Marcos Teóricos, todos tenemos que entender lo mismo cuando nos referimos a un concepto. Entonces esta definición es sin embargo capciosa, ¿qué es movimiento?¿qué es lugar?¿cuándo un objeto se mueve? Estableceremos un Marco Teórico que llamaremos Mecánica Newtoniana, donde responderemos esas preguntas y acordaremos acordaremos definiciones para para estos conceptos. Este Marco Teórico nos permitirá describir movimientos de manera precisa y práctica, que es el objetivo de toda Ciencia en general y de la Física en particular. Previo a definir los conceptos estrictamente de la Mecánica necesitaremos ineludiblemente establecer ciertos conceptos metodológicos previos al estudio. Estos conceptos
1
Este documento está basado en el Apunte “Cinemática” del Programa de Apoyo y Contención de la Universidad Nacional de La Plata, cuyos autores Juan Cruz Moreno y Diego Petrucci han dado autorización para la utilización del material.
2
Física I los llamamos Herramientas Metodológicas y son indispensables en un estudio enmarcado en una teoría. Existen Herramientas Metodológicas que son comunes a todas las Ciencias, Exactas, Sociales, etc. Además algunas de ellas son propias de cada Marco Teórico, ya que sólo en ese contexto tienen sentido. No es extraño que en muchos textos estas Herramientas Metodológicas no estén explícitas en los problemas que presentan o como se estudian los mismos. Sin embargo en este curso es esencial conocerlas, explicitarlas y aplicarlas correctamente; es de hecho uno de
los objetivos principales del curso.
1. Herramientas Metodológicas Comenzaremos definiendo dos Herramientas metodólogicas claves en los estudios de cualquier Ciencia: el Objeto de Estudio y el Modelo. Más adelante definiremos dos Herramientas más: Marco de Referencia y Sistema de Coordenadas, pero estas ya son propios de la Física.
I.
Objeto de estudio y Entorno El objeto de estudio es la porción del universo que aislamos para estudiar.
Metodológicamente, al identificar cuál parte del universo nos interesa, le estamos poniendo fronteras, estamos separando una porción del universo d el resto que llamaremos entorno. Mediante ambos conceptos podremos analizar las interacciones, es decir las acciones que atraviesan nuestra frontera en ambos sentidos: las que produce el objeto de estudio sobre el entorno y la que produce el entorno sobre el objeto de estudio. Las que "entran" a nuestro objeto y las que "salen" de él. Un objeto de estudio aislado no experimentará cambios. Sólo sufrirá cambios, estos serán producto de acciones provenientes desde el exterior. En Cinemática traslacional la elección del objeto de estudio resulta en general directa, trivial. Es el objeto que se está moviendo, el auto, la bicicleta, la bicicleta con ciclista, etc. Con el Entorno sucede algo similar, pero que es imprescindible considerar y definir. Es que no es lo mismo que el ciclista se mueva en asfalto que en arena, o subiendo una loma, etc.
II.
Modelo La Ciencia trata sobre el mundo, pero no directamente. No tenemos acceso directo a conocer
el mundo tal como es (si es que tal cosa fuera posible). Lo que se hace en ciencia es crear modelos que nos sirven para entender, explicar y predecir cómo se comporta el mundo (o al menos, una parte de él). Es decir que los modelos son creaciones de la ciencia que están a mitad de camino entre la teoría y la realidad. Los electrones, los átomos, las células no son objetos que existen por sí mismas, sino que son modelos
Un modelo es una representación simplificada de un objeto de estudio.
creados desde una teoría científica. Una aclaración, cuando decimos que las células o los átomos no existen, nos referimos a que son miradas, recortes que hacemos del mundo, desde alguna perspectiva teórico. La misma planta un biólogo nos dirá que está compuesta por células, un químico dirá que tiene moléculas y un físico dirá que tiene átomos, o incluso partículas subatómicas. Ninguno tiene absoluta razón, ni está necesariamente equivocado. Es que cada uno mira a través de su propia teoría, en función de sus intereses. Un modelo es una representación simplificada de un objeto de estudio. No es el objeto de estudio. La teoría nos indica cuáles son las características del objeto de estudio que nos interesan 3
Física I y cuáles no tendremos en cuenta. Es decir que modelizamos un objeto de estudio elaborando una representación simplificada de él, seleccionando una serie de características o variables en función de los objetivos del problema. El modelo re-presenta al sistema de estudio. Es razonable comenzar una tarea utilizando el modelo más sencillo posible. En muchos casos bastará para alcanzar los objetivos. En ocasiones será necesario emplear modelos más complejos para, por ejemplo, aumentar la precisión de nuestros resultados. Pero debemos evaluar si vale la pena debido a que el trabajo suele incrementarse considerablemente. Las personas usamos cotidianamente algo parecido a un modelo, que llamaremos representaciones. Son las imágenes o conceptos que una persona tiene de los objetos. Durante nuestra vida vamos desarrollando representaciones que nos ayudan a interactuar con el mundo. Si estamos en una ciudad desconocida, nos perdemos porque no tenemos una representación de la disposición de sus calles. ¿Cómo construimos una? Podemos preguntar y así apoyarnos en los conocimientos de sus habitantes. Podemos recorrer pequeñas distancias que serán cada vez mayores, en distintas direcciones (equivale a experimentar), o comprar un mapa (que es un modelo elaborado por el trabajo sistemático de un equipo de personas) y vamos haciendo coincidir los detalles geográficos que vemos en él con las imágenes que vamos viendo por la ciudad. Un mapa es un modelo de la ciudad. Es un modelo consensuado entre varias personas (o la comunidad). Se ve que no es lo mismo el modelo (el mapa) que el objeto de estudio (la ciudad). En nuestras mentes hay representaciones de las ciudades que conocemos, como en un mapa. En ambos casos se registran detalles, que resultan importantes y útiles para orientarnos, y se desprecian otros, que se supone no son tan útiles. En los mapas figura la numeración de todas las calles, pero no suele informar si hay árboles en la vereda o si cierta cuadra tiene un encanto especial por su belleza. Si somos conductores nuestra representación incluirá
El Problema a resolver es el que define desde qué Marco Teórico lo voy a abordar y qué modelo usaré.
datos como qué calles son empedradas y el sentido de circulación, porque son útiles para tomar decisiones. Incluso también podemos elegir un camino alternativo porque es más agradable a la vista. La representación de un ciclista suele incluir las pendientes de las calles. Es un ejemplo de cómo podemos tener distintas representaciones de un mismo objeto según diferentes necesidades. No existe una única manera de modelizar el objeto de estudio. El mismo objeto puede ser modelizado de diferentes maneras de acuerdo al Marco teórico utilizado. Por ejemplo un termo para mate deberé modelizarlo de una manera si quiero estudiar su traslación (Marco Teórico de la Cinemática), de otra si quiero analizar las fuerzas sobre él (Marco Teórico de la Dinámica) y de otra si quiero estudiar cómo varía la temperatura del agua en su interior (Marco Teórico de la Termodinámica). Incluso un Marco Teórico puede incluir varias modelizaciones. Pero debemos siempre tener en claro esto: el Problema a resolver es el que define desde qué Marco Teórico lo voy a abordar y qué modelo usaré. Por último una cuestión más acerca de modelos. No sólo se modelizan los objetos de estudio, también se modelizan los objetos del entorno (en general con el mismo modelo del objeto de estudio), las acciones que se realizan los objetos, e incluso las situaciones del problema.
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Física I III.
El Modelo de Partícula De todas las formas posibles de describir
movimientos, en Física (como en todo) se prefieren aquellas que resultan por un lado precisas, y por el otro prácticas, es decir que resulten lo menos
El modelo de partícula consiste en definir un punto del espacio que va a representar al objeto de estudio.
engorrosas posible. Esta descripción del movimiento es necesaria para entender luego las leyes del movimiento (en Dinámica). La secuencia metodológica implica que cuando hemos identificado el problema a estudiar luego delimitamos el objeto de estudio y el entorno. Una vez delimitado el objeto de estudio, procederemos a modelizarlo de acuerdo al Marco Teórico. En el caso de la Cinemática, el modelo es el llamado modelo de partícula. Como hemos planteado, al modelizar consideramos ciertos aspectos del sistema y descartamos otros, en función de nuestros intereses. Cuando nos interesa describir el movimiento de un objeto (que es lo que veremos en Cinemática Traslacional) y entender por qué se mueve así (Dinámica Traslacional), lo más simple es identificar la posición del objeto con la posición de un punto en el espacio. El modelo de partícula consiste en definir un punto del espacio que va a representar al objeto de estudio. En cinemática Traslacional este modelo nos permitirá establecer la posición del objeto de estudio, y en Dinámica también nos interesará su masa. Entonces descartaremos aspectos tales como su forma, volumen, orientación, velocidad de rotación, aspecto, color, textura, etc. Este modelo justamente se emplea cuando nos interesa estudiar el desplazamiento en el espacio y/o la velocidad de traslación de un sistema. En algunos textos es llamado "punto material". Se suele asociar partícula con un objeto muy pequeño, por ejemplo una partícula de polvo. Sin embargo, un modelo es una representación abstracta, sin existencia real. Podemos modelizar a la Tierra como una partícula si nos interesa describir su trayectoria alrededor del Sol, y es muy probable que elijamos al centro de la Tierra como el punto d el espacio que la representa. Aunque si queremos podemos escoger que el punto que represente a la Tierra como partícula se encuentre ubicado donde está el Obelisco. El punto que represente al objeto no necesariamente tiene que ser parte de él, por ejemplo para modelizar un anillo como partícula es muy probable que escojamos su centro geométrico, que justamente no es parte del anillo! Un auto o un bloque de madera pueden ser modelizados como partículas. Imaginemos a un puma lanzado a la carrera, si bien cada parte de su cuerpo tendrá diferente velocidad, al considerarlo como partícula, nos referiremos a la velocidad de un punto, ese punto será nuestra elección y es el que mejor creamos que represente al movimiento del puma.
2. El espacio y el tiempo Para completar la descripción de la traslación de un objeto no alcanza sólo con el modelizarlo como partícula. Necesitaremos las nociones físicas de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración más otros conceptos necesarios, como el de marco de referencia. La mayoría de nosotros tenemos nuestras ideas sobre lo que significan estas palabras, que pueden diferir de unos a otros y ser difusas. Los significados los hemos ido construyendo a medida que los necesitábamos, a lo largo de nuestras vidas, sin la preocupación de definirlas con precisión, como es necesario hacerlo en Física. 5
Física I Comencemos desde los fundamentos mismos. La cinemática se ocupa de describir las posiciones de los cuerpos en el espacio a medida que transcurre el tiempo. Sobre estas ideas dijo Newton2 (1687) (citamos la reedición de 1997): "Tiempo, espacio, lugar y movimiento son palabras conocidísimas para todos. Es de observar, con todo, que el vulgo sólo concibe esas cantidades partiendo de la relación que guardan con las cosas sensibles. Y de ello surgen ciertos prejuicios, para cuya remoción será conveniente distinguir allí entre lo absoluto y lo relativo, lo verdadero y lo aparente, lo matemático y lo vulgar. I. El tiempo absoluto, verdadero y matemático, en sí y por su propia naturaleza sin relación a nada externo fluye uniformemente, y se dice con otro nombre de duración.”
(Newton, 1997, pp. 32). “II. El espacio absoluto, tomado en su naturaleza, sin relación a nada externo, permanece siempre similar e inmóvil…" (Newton, 1997, p. 33)
Se manifiestan aquí las ideas de tiempo y espacio que prevalecieron durante más de doscientos años en ámbitos científicos y que hoy en día utilizamos en nuestra vida cotidiana. Podemos decir que actualmente se han transformado en conceptos "vulgares". El tiempo al que se refiere la teoría de Newton es un tiempo absoluto, en el sentido de que es el mismo para todos los observadores, sin importar dónde esté ni a qué velocidad se desplace. Es decir que si un observador registra un evento y observa que transcurrieron diez minutos en su reloj, cualquier otro observador que considere los mismos instantes iniciales y finales también verá que han pasado 10 minutos en su reloj. Esto nos parece muy obvio porque se cumple siempre en nuestro mundo cotidiano. Sin embargo no es así en muchas situaciones del mundo físico: son las que contempla la Teoría de la Relatividad. Pero ese análisis escapa a los alcances de este apunte y del curso, así que en definitiva el tiempo que usaremos en este curso es el que medimos con nuestros relojes. Las unidades que los hombres siempre han usado para medir el tiempo tu vieron su origen en el cielo. El ciclo de las estaciones, dadas por la traslación de la Tierra alrededor del Sol ha sido usado para definir al año. Las fases de la luna dieron origen al mes. Y el tiempo que tarda el Sol, visto desde la Tierra, en volver al mismo lugar en el cielo, definen un día. Visto desde el Sol, es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa sobre su eje. Los meses fueron divididos en semanas y los días en horas, minutos y segundos. Newton también propone la idea de un espacio absoluto. Este espacio es homogéneo es decir que tiene las mismas propiedades en todos sus lugares. También es eterno, es inmutable ante todo. No le afecta el paso del tiempo ni la presencia de materia, es un espacio eterno. Es un espacio infinito y continuo. La geometría euclidiana sentó las bases del espacio que postula la teoría de Newton: un espacio euclidiano.
Es casi un deber citar a Newton. Es considerado una de las cinco mentes más brillantes de la Historia de la Humanidad. Sus teorías fueron las que provocaron revoluciones lógicas y materiales. 2
6
Física I 3. Marco de Referencia y Sistema de Coordenadas Continuemos enfocándonos en estudiar los movimientos. Para esto incluiremos dos Herramientas Metodológicas ligadas a la Física: El Marco de Referencia y el Sistema de Coordenadas. Es que si lo que qu eremos es estudiar el movimiento tendremos que definir “qué es el movimiento”.
En una primera aproximación diremos que un objeto se encuentra en
movimiento si cambia de lugar a medida que transcurre el tiempo (luego tendremos que definir más precisamente qué es un lugar). Pero lo que tenemos que tener en claro es que hablar de movimiento es hablar de movimiento respecto a algo. En definitiva no existe el movimiento (o reposo) absoluto, siempre podré encontrar un lugar desde el cual veré que mi objeto de estudio no se mueve. Ese lugar respecto al cual diré que mi objeto se mueve, es el llamado Marco de
Referencia. Determinar un Marco de Referencia es establecer el lugar desde el cual vamos a referenciar el movimiento. Es un lugar considerado fijo, desde el cual se refieren las posiciones. En cada estudio físico que emprendamos SIEMPRE debemos explicitar "desde dónde" vamos a observar. Algunos autores se refieren a él como sistema de referencia.
Marco de Referencia: es un punto u objeto físico del espacio considerado fijo desde el cual describiré el movimiento de mi objeto de estudio. En la práctica se suelen utilizar cuerpos físicos como marcos de referencia (el suelo, la mesa, un auto). El observador, es decir quien describe la situación, se encuentra en reposo respecto el marco de referencia. Para la mayoría de las situaciones
que
suceden
en
el
entorno
de
la
Marco de Referencia : Es un punto físico del espacio considerado fijo, desde el cual se miden las posiciones. En la práctica lo asociamos frecuentemente a un cuerpo: la Tierra, un vagón, el Sol, etc. Es un lugar en reposo respecto al observador.
superficie terrestre podemos elegir al planeta como
Tierra marco
de
referencia (Recuadro 1).
Recuadro 1: Marco de Referencia.
Ya sabemos entonces que definir el movimiento significa establecer si la posición del objeto de estudio cambia respecto a lo que hemos seleccionado como Marco de Referencia. Pero para saber si cambió o no cambió la posición necesitamos cuantificarla: por lo tanto el paso siguiente para, es ubicar un Sistema de coordenadas asociado a nuestro Marco de Referencia. El Sistema
de
Coordenadas
es
un
elemento matemático, compuesto por ejes ordenados ortogonales y una escala de longitudes. El sistema de Coordenadas
es
el
instrumento
necesario para medir la posición. Cuando
queremos
determinar
Sistema de Coordenadas : elemento matemático compuesto por ejes ortogonales. Está asociado al Marco de Referencia y en reposo respecto a él. Incluye una escala para medir longitudes
la Recuadro 2: Sistema de Coordenadas.
posición de un objeto modelizado como partícula debemos elegir y
explicitar dónde colocar el origen del sistema de coordenadas y también cómo orientar los ejes.
7
Física I 4. Posición Newton introduce la primera noción necesaria para describir el movimiento de los cuerpos en el espacio: "III. El lugar es la parte del espacio que un cuerpo ocupa, siendo relativo o absoluto en razón del espacio. Las posiciones no tienen propiamente cantidad, y no son tanto los lugares mismos como las propiedades de los lugares." (Newton, 1997, p. 33).
Newton no usa las nociones de lugar y de posición. Definiremos a la Posición como la magnitud vectorial que se utiliza para identificar el lugar de los cuerpos en el espacio. Veamos un ejemplo. Supongamos que queremos identificar la posición d e un nadador en su andarivel (Figura 1). Ahora comenzamos a utilizar las herramientas metodológicas: 1. El nadador es nuestro objeto de estudio. 2. Lo modelizamos como una partícula. Al modelizarlo como partícula elegimos un punto del nadador que lo va a representar. La posición de ese punto es la posición que representaremos. En este caso elegimos el centro del cuerpo. 3. También idealizamos el movimiento, para simplificarlo, considerando que se mueve en línea recta. 4. Establecemos el Marco de Referencia, desde donde referiremos el Movimiento. Por ejemplo la escalera de la pileta 5. Ubicamos un eje coordenado (de los que se usan en matemática) en la dirección del movimiento eligiendo poner el cero dónde más nos guste. 6. Graduamos el eje con las unidades que utilizaremos, metros, por ejemplo. 7. Ya estamos en condiciones de determinar una primera aproximación a la posición del nadador (partícula): nos basta con leer en el eje dónde está el nadador. En el ejemplo se encuentra en la posición 4 m.
Partícula Nadador
X [m] -2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 1: Representación del movimiento de un nadador en un esquema (arriba). Modelización del objeto de Estudio como partícula y su ubicación en un eje coordenado (abajo).
8
Física I En ocasiones deberemos determinar posiciones en dos dimensiones, por ejemplo: •
B - 4 en la Batalla Naval, juego clásico si los hay.
•
38 latitud Norte, 15 longitud Oeste es la posición de un punto sobre nuestro planeta.
Vemos que en general para determinar una posición se dan dos coordenadas. A veces debemos incluir la tercera dimensión: Calle 115 esquina calle 46, 1 piso. Esto es un departamento de una esquina de la ciudad
de La Plata, cuyas calles están numeradas Hay muchos sistemas diferentes para ubicar posiciones. El número de datos parece coincidir con el número de dimensiones, aunque podríamos inventarnos un sistema complicado donde el número de datos sea mucho mayor. U otro donde sea menor: supongamos que numeramos uno por uno los departamentos de un edificio. Con sólo un número determinamos cuál es el nuestro, pero los visitantes deberán recorrer todo el edificio hasta dar con nuestra casa. La forma adoptada es la de ubicar el departamento con dos datos: el piso y el número o letra del departamento. En Física hay acuerdo en que los vectores son un muy buen sistema para determinar posiciones en el espacio. El sistema no cambia demasiado para una, dos o tres dimensiones, nos permite trabajar con ecuaciones y hacer cuentas, lo cual resulta muy útil. Un vector es un elemento matemático que representaremos: (a, b) en dos dimensiones y (a, b, c) en tres. También podemos indicarlo mediante el módulo, la dirección y el sentido. La primera representación es analítica y la segunda gráfica3 . Ya estamos en condiciones de definir el concepto físico de posición. Es aquél vector que va desde el origen del sistema de coordenadas hasta el lugar en que se encuentra el punto que representa al objeto modelizado como partícula. En la Figura 2 tenemos un ejemplo acerca de cómo determinamos la posición de un objeto de estudio. La posición del objeto de estudio banderín según el observador A (con un Marco de Referencia SA fijo a la Tierra) es ⃗ , mientras que para el observador B (con un Marco de Referencia SB un fijo al barco) es ⃗ . Cada Marco de Referencia tiene un Sistema de Coordenadas asociado. Es importante prestar atención a un procedimiento necesario en nuestras representaciones: en la parte de la derecha de la Figura tenemos un esquema representativo de la situación, en definitiva un dibujo de la situación. En ese dibujo sólo agregamos los sistemas de coordenadas para saber desde donde mediremos las posiciones. En la parte de la derecha está la representación gráfica de la modelización, donde vemos al objeto de estudio modelizado como partícula,
los
coordenadas
sistemas y
los
de
vectores
posición. ¿Por qué no incluir todo en
un
solo
gráfico?
Porque
Posición: vector que va desde el origen del sistema de coordenadas al lugar en que se encuentra el punto que representa al objeto.
queremos diferenciar lo que es la
Recuadro 3: Posición.
situación (izquierda) de lo que es la modelización física (derecha). 3
Los conocimientos necesarios sobre vectores para comprender este apunte se encuentran en el apunte sobre Vectores. 9
Física I Partícula banderín
SB
SA
SA
SB
Figura 2: Gráfico de un vector posición desde dos Marcos de Refe rencia. El Marco de Referencia A lo determina el observador situado sobre el acantilado y está fijo a éste último. El Marco de Referencia B lo establece el observador situado en el bote y está fijo a la embarcación. Representamos la situación en un esquema ( izquierda) estableciendo los Marcos de Referencia S A y S B , asociando a cada uno un Sistema de coordenadas. Modelizamos al objeto de estudio como una partícula (en este caso el banderín), lo graficamos como un punto y luego representamos los vectores respecto a cada uno de los sistemas de coordenadas asociados (derecha).
El Marco de Referencia B de la Figura 2 estaba moviéndose respecto al Marco de Referencia A, y vemos que determinan diferentes vectores posición. Notemos ahora algo más general para dos Marcos de Referencia que no se mueven entre sí, al colocar dos sistemas de coordenadas iguales pero con el origen en distinto lugar y diferentes orientaciones de sus ejes, cada sistema determina un vector posición diferente (ver Figura 3 y recuadro 4). Esto resume algo que tal vez ya habías deducido: la posición de un objeto modelizado como partícula depende del
Marco de Referencia y del Sistema de Coordenadas. Veamos en el ejemplo de la Figura 4 qué ocurre con la posición del banderín cuando usamos dos Marcos de Referencia. Un Marco de Referencia está fijo a la Tierra y el otro en un barco a toda vela. Uno de los vectores posición irá desde el origen del sistema fijo al barco hasta el banderín y no cambiará en el tiempo, mientras que el otro vector irá desde el origen del sistema fijo a la Tierra hasta el banderín, y sí cambiará con el tiempo (Ver recuadro 4). En
Partícula banderín
SA
SA
SC
SC
Figura 3: Gráfico de vectores posición desde dos Marcos de Refe rencia que no se mueven entre sí. El Marco de Referencia A lo determina el observador situado sobre el acantilado y está fijo a éste último. El Marco de Referencia C lo establece el observador situado en la otra punta de la bahía y está fijo a ella (izquierda). Asociamos a cada uno de los Marcos de Referencia un Sistema de Coordenadas y determinamos la posición del banderín modelizado como partícula (derecha) . La
posición depende del Marco de Referencia y el Sistema de Coordenadas asociado. 10
Física I En Resumen:
Marco de Referencia es un concepto físico mientras que Sistema de Coordenadas es un elemento matemático. Un Marco de Referencia respecto de otro puede: trasladarse, estar acelerado o rotar. Dos Sistemas de Coordenadas que no se desplacen entre sí pertenecen a dos Marcos de Referencia que no se desplazan entre sí. Desde dos Marcos de Referencia diferentes, con Sistemas de Coordenadas diferentes, determino distintos vectores posición de un objeto modelizado como partícula. Recuadro 4: Resumen de Marco de Referencia y Sistema de Coordenadas.
definitiva: la posición es una función del tiempo (⃗ ()). Continuaremos con este ejemplo en el apartado siguiente. Velero en un instante de tiempo
Partícula banderín
Velero un tiempo después
Partícula banderín un tiempo después
′
′
SB
SB SA
SB
SB
SA
Figura 4: Gráfico de un vector posición desde dos Marcos de Referencia que se mueven entre sí. El Marco de Referencia A lo determina el observador situado sobre el acantilado y está fijo a éste último. El Marco de Referencia B lo establece el observador situado en el bote y está fijo a él (izquierda). Asociamos a cada uno de los Marcos de Referencia un Sistema de Coordenadas para determinar la posición del banderín (derecha). La posición medida desde el Marco de Referencia ≠ ′ ) pero la posición me dida desde el Marco de Referencia B es A cambia con el tiempo ( ′ ). siempre la misma ( =
Para discutir
5. Desplazamiento Newton nos dice después: "IV. El movimiento absoluto es la traslación de
Dos observadores están en distinto lugar, con sus sistemas de coordenadas fijos entre sí , ¿miden la misma posición de un objeto de estudio modelizado como partícula?
un cuerpo desde un lugar absoluto a otro, y el movimiento relativo la traslación de un lugar relativo a otro." (Newton, 1997, p. 33).
11
Física I A partir de esta idea, definiremos el concepto de desplazamiento. Supongamos que un objeto (un banderín, por ejemplo) en un instante se encuentra en una posición y un instante de tiempo después se encuentra en otra posición, el vector desplazamiento se define como la resta de ambos4:
⃗ = ⃗( ) − ⃗( ) ∆
(1)
Es importante destacar que no estamos haciendo sólo una resta de vectores posición, el desplazamiento es la diferencia de los vectores posición del mismo objeto de estudio modelizado como partícula, en dos instantes de tiempo diferentes. Notemos una propiedad que se da al utilizar dos Marcos de Referencia que tienen diferente origen pero fijos entre sí (por ejemplo, ambos fijos al barco, uno en proa y otro en popa, Figura 5). Si bie n la posición de nuestro banderín es diferente para cada sistema, sus desplazamientos serán los mismos.
Partícula banderín
Banderín en el instante inicial
Banderín un tiempo después
SA
SA
SB
SB
Figura 5: El vector desplazamiento no depende del Sistema de Coordenadas. El Marco de Referencia A lo determina el observador situado sobre la proa y está fijo al bote. El Marco de Referencia B lo establece el observador situado en la popa y está fijo también al bote. Asociamos a cada uno de los Marcos de Referencia un Sistema de Coordenadas.
6. Trayectoria
4
Nota aclaratoria matemática I: al trabajar con las componentes esta resta se realiza restando las componentes : ⃗ − ⃗ = ( , ) − ( , ) = ( − , − ). 12
Física I Otro concepto muy importante en Cinemática es el de trayectoria. Es la línea que indica el recorrido del objeto. Puede definirse también como la sucesión de puntos del extremo del vector posición. La trayectoria puede graficarse (ver Figura 6), para movimientos planos, en los ejes coordenados (x, y).
Pese a ser una curva de trazo continuo, la trayectoria no es la
representación gráfica de una función matemática, esto significa que para un mismo valor de la coordenada X puede haber más de un valor de la coordenada Y. Esto es así porque no olvidemos que representa la posición de la partícula en diferentes instantes de tiempo. Trayectoria 2
Y [m]
Y [m] Trayectoria 1
∆
( )
( )
( )
( )
X [m]
X [m]
Figura 6: Representación de la trayectoria de una partícula. Identificamos la posición en los instantes t 1 y t 2.
Figura 7: Representación de la trayectoria de dos partículas. Identificamos sus posiciones ⃗ ∆ en los instantes t 1 y t 2. El desplazamiento en la trayectoria 1 es el mismo que el de la trayectoria 2.
En cuanto a su representación gráfica, debemos agregar que la trayectoria no incluye flechas graficadas indicando el sentido del movimiento. Para saber hacia dónde se mueve la partícula debemos conocer la posición en instantes de tiempo sucesivos. Recordando la d efinición de desplazamiento como la diferencia de la posición de la partícula en dos instantes diferentes, observamos que el desplazamiento entre instantes t1 y t2 por la trayectoria 1 (Figura 7) puede ser idéntico al desplazamiento entre instantes t3 y t 4 por la trayectoria 2 (no es necesario que t1 =t3 y t2=t4). El concepto de trayectoria resultará de extrema utilidad para definir la Velocidad.
7. Distancia y Distancia recorrida Como ya hemos notado, hay palabras que usamos cotidianamente y que en el contexto del Marco Teórico llamado Mecánica Newtoniana tienen un significado muy específico (algunas veces no tan diferente del cotidiano). Ejemplo de eso son la posición y el desplazamiento. Con el concepto de distancia sucede algo similar, definiremos en el marco de nuestra teoría a la distancia como el módulo del vector desplazamiento. Matemáticamente lo expresamos como
⃗ | = |⃗( ) − ⃗( )| = ( − ) + ( − ) |∆ 13
(2)
Física I donde hemos asumido que la posición corresponde a un problema en dos dimensiones y hemos utilizado el teorema de Pitágoras para calcular el módulo del vector. Esta definición implica que la distancia es un escalar y tiene unidades de longitud. Diferente es lo que denominamos distancia recorrida y definiremos como la longitud de la trayectoria. Es la medida de un cuentakilómetros imaginario que llevara nuestro objeto de estudio, y obviamente está también expresada en unidades de longitud y es siempre positiva. En la Figura 7 se aprecia claramente que la distancia entre las posiciones⃗( ) y
⃗( ) , es decir |∆⃗ |, es la misma en las Trayectorias 1 y 2. Sin embargo esa distancia es diferente (en concreto es menor) que la distancia recorrida al ir de la posición ⃗ ( ) a la ⃗( ) para la Trayectoria 1 (la longitud de la curva negra entre posiciones ⃗ ( ) y ⃗( )) y para la Trayectoria 2 (la longitud de la curva verde entre posiciones ⃗ ( ) y ⃗( )). Incluso podemos afirmar que la distancia recorrida en la Trayectoria 1 es menor que en la Trayectoria 2. A continuación presentamos un ejemplo de problema en el que se aplican los conceptos hasta aquí tratados.
8. Gráficas funcionales de las coordenadas de la posición respecto al tiempo Ya tenemos en claro que la trayectoria nos representa el camino que siguió nuestro objeto de estudio modelizado como partícula. ¿Esto significa que si conocemos la trayectoria podemos conocer cómo se mo vió nuestro objeto de estudio? Si efectivamente fuera así, podríamos enviarle a algún amigo (o enemigo) el gráfico de la trayectoria (con la previa aclaración respecto a cuál es el objeto de estudio, cómo lo modelizamos, cuál
Y
es el Marco de Referencia y dónde está
X
el origen del Sistema de Coordenadas y la orientación de sus ejes) y que nuestro
amigo
reproduzca
el
movimiento. Sin embargo con eso solo no
alcanza.
No
alcanza
porque
justamente la trayectoria no tiene información acerca del tiempo en juego.
Figura 8: Estudio del movimiento de un auto modelizado como partícula. Se observa la trayectoria en negro y el sistema de coordenadas en rojo.
Veamoslo con un ejemplo: El movimiento de un automóvil que tarda 14
Física I 21 segundos en recorrer los 420 m representados por la trayectoria de la Figura 8. El Marco de Referencia elegido es la puerta de Transportes Emmanuel (efectivamente el auto se mueve respecto a la puerta), y elegimos un sistema de Coordenadas con su origen en la esquina Chile e Isleta y con los ejes X y Y orientados como indica la figura. Seleccionamos como objeto de estudio el auto y lo modelizamos como partícula, ya que decido estudiar su movimiento de traslación. Con todas estas consideraciones ya estamos en condiciones de graficar la trayectoria del auto modelizado como partícula, en efecto la graficamos en negro en la Figura 8. Nos preguntamos ¿existe algún otro movimiento que pueda realizar con el auto que dé como resultado la misma trayectoria? Claro que sí!! Porque esta trayectoria (y todas las trayectorias) no tiene información acerca del tiempo. Nos referimos a que con solo esa trayectoria no sabemos si el auto frenó en el semáforo, s e detuvo, fue despacio, rápido, etc. ¿Qué es lo que nos falta para definir el movimiento de manera tal que sea único? Tenemos que introducir como varía la posición con el tiempo. Conocer cómo cambia la posición como función del tiempo ⃗( ) = ( ( ( ) , ( ) ) es en definitiva conocer cómo cambian las componentes de la posición con el tiempo, es decir conocer las funciones
()
y
( ).
Podemos conocer
analíticamente esas funciones (es decir la expresión matemática funcional) y/o conocer su expresión gráfica. En este apunte haremos esto último y más adelante veremos la expresión analítica de esas funciones. Si asumimos que las cuadras tienen 100 m de longitud y el auto se movió siempre al mismo ritmo, observando la Figura 8, y con estas consideraciones, construimos las gráficas de la variación de las componentes de la posición (Figura 9). Analicemos los primeros 6 segundos (hasta que llega a Mario Bravo y Gral Conesa). Durante todo ese tramo, las componentes X de los vectores posición que yo podría graficar tienen siempre el mismo valor de 100 m, mientras que las componentes Y de esos vectores posición crecen uniformemente de 0 m a 100 m. En los siguientes 10 segundos, desde los 6s a los 16 s (hasta que el auto avanzó dos cuadras por Juan Farrell), la coordenada X varía uniformemente de 100 m a -100m, mientras que la componente Y se mantiene constante en 100 m. Por último, en los últimos 5 segundos (entre los 16 s y 21 s) recorre 100 m por calle Guatemala, por lo que la componente X de la posición se mantiene constante en -100 m y la componente Y de la posición varía de 100 m a 200 m.
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Física I
X [m]
Y [m]
100
200
100
t [s] -100
t [s]
Figura 9: Representación de las funciones que representan como cambian las componentes de la posición con el tiempo en la trayectoria de la Figura 8. Se asume que le auto se movió a ritmo constante.
Ahora sí completamos nuestra descripción de cómo fue el movimiento. Las tres gráficas (la trayectoria en el Sistema de Coordenadas de la Figura 8 y las dos gráficas funcionales de la posición de la Figura 9) me definen un único movimiento. Si yo le mando esas tres gráficas a mi amigo (o enemigo) comprende exactamente lo que hizo el auto.
Problema de Aplicación Objetivo: Identificar, graficar e interpretar vectores posición y desplazamiento.
Un estudiante sale de su casa (vive en una esquina) y va a comprar un lápiz a una librería que queda en la esquina opuesta de la misma manzana. Regresa completando una vuelta a la manzana. a. Realizar un esquema de la situación b. Elegir un marco de referencia. c.
Ubicar un sistema de coordenadas.
d. En un gráfico (x, y) representar al vector posición del estudiante cuando ha recorrido una, dos, tres y cuatro cuadras (cada cuadra mide 100 m). e. En otro gráfico (x, y) representar los vectores desplazamiento: 1. Desde que salió de su casa y hasta que llegó al negocio. 2. Desde que salió del negocio y hasta que llegó a la siguiente esquina. 3. Entre que salió y regresó de su casa. f.
En otro gráfico (x, y) representar la trayectoria.
g. Representar en dos gráficos la variación de las componentes de la posición en función del tiempo x(t) e y(t). Para eso deberás usar un par de ejes (x,t) y otro (y,t) en cada gráfico. h. Repetir todo el ejercicio colocando el origen del sistema de coordenadas en otro lugar. 16
Física I Nota: el enunciado no indica el sentido en que da la vuelta a la manzana, así como tampoco los tiempos en que tienen lugar los movimientos. Es un problema abierto. Para resolverlo se deben tomar algunas decisiones. Por ejemplo, se puede medir o estimar el tiempo se tarda en caminar una cuadra, para resolver el inciso g.
Resolución a.Se realiza el siguiente esquema: Kiosco
Casa
b.Se elige un Marco de Referencia fijo a la Tierra (si bien puede elegirse cualquier otro, este marco simplificará la resolución de los incisos siguientes). En este caso elegimos como Marco de Referencia el cordón de la vereda. c. Se ubica en el esquema un sistema de coordenadas, por ejemplo:
Y [m] 100
Kiosco
50
Casa 0
50
100
X [m]
d.Si el estudiante gira la manzana en sentido antihorario, los vectores posición son,
⃗ , ⃗ y ⃗): , considerando al estudiantes como una partícula, los siguientes ( ⃗
17
Física I Y [m] C
100
B
50
A
0 D = (0,0) 50
100
X [m]
⃗ , ⃗ y ⃗): e.Los vectores desplazamiento son los siguientes (
Y [m]
⃗
100
50
= (, ) 0
X [m] 50
100
f. La trayectoria se representa:
Y [m] 100
50
0
X [m] 50
100
g.Suponiendo que tarda 2 minutos en recorrer cada cuadra y que cuando camina lo hace siempre igual de rápido, se realizan los siguientes gráficos:
18
Física I X [m] 100
50
0
2
4
6
8 t [min]
2
4
6
8
Y [m] 100
50
0
t [min]
h.Se deja por cuenta de los lectores…
Escolio 5 Realizar un esquema suele ser muy útil para iniciar la resolución de un problema. Es aconsejable hacerlo al resolver problemas en Física. También es importante explicitar cuál Marco de Referencia se ha elegido y dónde está el origen del Sistema de Coordenadas y cómo están orientados sus ejes. De esta manera se puede ubicar y explicitar el sistema de coordenadas. En este problema, hay más de un esquema que puede considerarse correcto, así como el sistema de coordenadas puede ubicarse de diversos modos. ¿Por qué es necesario usar el modelo de partícula? Nos permite representar la posición solamente con un vector, sin preocuparnos por el tamaño o la orientación del objeto de estudio. En la resolución de los incisos f y g se aprecia la diferencia entre representación de la trayectoria y las gráficas de la funciones x(t) e y(t) que se suelen confundir. Notar que en las gráficas la posición es una función del tiempo, ya que representa cómo varía cada una de sus
Para recordar: Los vectores posición se representan gráficamente (como flechas) en los sistemas coordenados (x, y). En esos sistemas también se representan las trayectorias. Pero cuando graficamos la variación de las componentes de la posición con el tiempo, lo hacemos en gráficos (x, t) e (y, t) y no dibujamos flechas. En estos gráficos dibujamos una función matemática que tiene un significado físico. Recuadro 5: Recordatorios de cómo se grafica. 5
Escolio es una nota que se pone a un texto para explicarlo. 19
Física I coordenadas.
9. Problemas y Ejercicios de Aplicación Problema 1 Objetivo: Utilizar los conceptos de posició n, desplazamiento, trayectoria y distancia.
Una carrera pedestre para nada competitiva consiste en un recorrido urbano como el que se muestra en la figura. Una de las competidoras –la ganadorarealiza
todo
el
trayecto
en
vertiginosos 24 minutos. Vamos a analizar el movimiento de la atleta considerando que corre al mismo ritmo durante su viaje, a) ¿Qué elegirías cómo objeto de
estudio?
¿Por
qué?
¿Cómo lo modelizás? b) Elegí un marco de referencia y
ejes
coordenados
adecuados para analizar la situación.
¿Cuántos
ejes
necesitaremos? ¿Por qué? c) Representá la trayectoria de la atleta. d) Identificá,
en
esa
representación, la posición de la competidora a los 3 minutos, a los 6 minutos , a los 12 minutos, a los 15 minutos y a los 22 minutos. e) Calculá su desplazamiento para los intervalos de tiempo de 0-3 minutos, 0-6 minutos, 3 - 6 minutos, 3-12 minutos y 0 - 24 minutos; f)
¿Qué distancia recorrió en cada uno de esos intervalos?
g) ¿Cuál es la longitud de la trayectoria recorrida? h) Hacé gráficas de las componentes de la posición como funciones del tiempo, considerando que la atleta: i. corre siempre al mismo ritmo; ii. corre al mismo ritmo los primeros 12 minutos, se detiene 1 minuto y reinicia la marcha al ritmo inicial. Tarda en todo el recorrido 25 minutos.
20
Física I iii. corre al mismo ritmo los primeros 12 minutos, luego cambia al ritmo al doble de lo inicial. Tarda en todo el recorrido 18 minutos.
Problema 2 Objetivos: Intepretar gráficos y asociarlos con funciones.
Compará las siguientes gráficas de crecimiento. ¿Cambia la altura con el tiempo? ¿En qué unidades se mide el cambio? ¿Cuáles gráficas representarían modelos de
c a r u t l
c a r u t l
Tiempo [días]
Tiempo [días]
c a r u t l
c a r u t l
Tiempo [días]
Tiempo [días]
crecimiento de una planta?¿Cómo lo justificarías?
Problema 3 Objetivos: Afianzar los conceptos de posición, distancia recorrida, y desplazamiento.
Un empleado postal realiza el recorrido que se o bserva en el dibujo. Con un trayecto que podemos identificar con tres tramos rectilíneos, parte de lo identificado como I NICIO y llega a lo identificado como FIN que tiene coordenadas
(6.19km;
4.79km)
respecto al inicio. a) ¿Dónde
está
el
Sistema
de
Coordenadas?¿Dónde el Marco de Referencia? b) Determiná
la
magnitud
y
la
dirección del desplazamiento en el primer tramo del trayecto 21
Física I c) Determiná la magnitud y la dirección del desplazamiento en el segundo tramo del trayecto d) Determiná la magnitud y la dirección del desplazamiento que representa al tercer tramo e) Calculá el desplazamiento total y la distancia total recorrida analizando tramo por tramo. f)
Realizá el cálculo del desplazamiento total utilizando el método gráfico y contrastar con el valor obtenido en el punto anterior.
g) Compará la distancia y la distancia recorrida entre los puntos Inicio y Fin
22
