Matemática
Sistema de numeración:
La construcción temprana de criterios para comparar números que realizan los niños, parte
de
dos
supuestos,
primero
que
elaboran
criterios
propios
para
producir
representaciones numéricas y segundo que la construcción de la notación convencional no sigue el orden de la serie, aunque ésta desempeñe un papel importante en esa construcción. Los niños, mediante las comparaciones que realizan frente a los números, elaboran hipótesis que les permiten diferenciar lo mismos, por ejemplo “cuando mayor es la cantidad de cifras de un número, mayor es el número”. Los criterios de comparación que lo s niños construyen, funcionan aún cuando ellos no conocen la denominación oral de los números que están comparando. Se trata entonces de un criterio elaborado fundamentalmente a partir de la interacción con la numeración escrita y en forma relativamente independiente del manejo de la serie de los nombres de los números. Los niños descubren, además de vincular entre la cantidad de cifras y la magnitud del número, otra característica especifica de los sistemas posicionales: el valor que una cifra representa, lejos de ser siempre el mismo, depende del lugar en el que esté ubicada con respecto a las otras que constituyen el número. También saben que, si comparan dos números de igual cantidad de cifras, será mayor aquel cuya primera cifra sea mayor, además saben que cuando la primera cifra de las dos cantidades en la misma, hay que apelar a la segunda para decidir cual es mayor. La apropiación da la escritura convencional de los números no sigue el orden de la serie numérica: los niños manejan en primer lugar la escritura de los nudos, es decir de las decenas, centenas, unidad de mil, exactas y sólo después elaboraran la escritura de los números que se ubican en los intervalos entre nudos. Los niños elaboran conceptualizaciones acerca de la escritura de los números, basándose en la información que se extraen de la numeración numeración hablada y en su conocimiento de la escrita convencional de los nudos. Para producir los números de cuya escritura convencional no se han apropiado aún, los chicos yuxtaponen los símbolos que conocen disponiéndolos de modo tal que se corresponda con el orden de los términos en la numeración hablada. La hipótesis según la cual la escritura numérica resulta de una correspondencia con la numeración hablada conduce a los niños a producir notaciones no convencionales. ¿Por qué ocurre esto? Porque a diferencia de la numeración escrita, la numeración hablada no es posicional. En efecto, si la organización de la enumeración hablada fuera posicional, la denominación oral correspondiente a 4705, por ejemplo, sería “cuatro, siete, cero, cinco”; sin embargo, la denominación realmente utilizada para ese número explicita, además de las cifras
cuatro, siete, cero y cinco, las potencias de diez correspondientes a esa cifras es (cuatro mil setecientos cinco). Otra cuestión que debe ser tomada en cuenta es la de las operaciones involucradas en la numeración hablada y escrita. En la numeración hablada, la yuxtaposición de palabras supone siempre una operación aritmética, operación que en algunos casos es una suma (mil cuatro significa 1000 + 4, por ejemplo), y en otros una multiplicación (ochocientos significa 8. 100, por ejemplo). En la denominación del número, estas operaciones aparecen combinadas (por ejemplo, cinco mil cuatrocientos significa 5 . 1000 + 4 . 100). Las escrituras numéricas no convencionales producidas por los niños están hachas entonces a imágenes y semejanzas de la numeración hablada. Evidentemente, no es tarea fácil descubrir qué es lo que está oculto en la numeración hablada y qué es lo que está oculto en la numeración escrita, aceptar que los uno no coincide siempre con la numeración hablada que resulta pertinente aplicar a la numeración escrita y cuáles no, descubrir que los principios que rigen la numeración escrita no son directamente trasladables a la numeración hablada.
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¿Cómo llegan los niños a encontrar una solución que les permitan superar el conflicto planteado? Las escrituras que se corresponden con la numeración hablada entran en contradicción con las hipótesis vinculadas a la cantidad de cifras de las notaciones numéricas. Tomar conciencia de este conflicto y elaborar herramientas para superarlo parecen ser pasos necesarios para progresar hacia la notación convencional. Es una opción didáctica tener en cuenta lo que los chicos producen, las preguntas que hacen, los problemas que plantean y los conflictos que deben superar. Es también una decisión didáctica tomar en consideración la naturaleza del objeto de conocimiento y valorar las conceptualizaciones de los chicos a l a luz de la propiedad del sistema de numeración. Tal como lo señala Lerner (1996) “ La construcción de regularidades es concebida como una bisagra necesaria entre el uso y la comprensión: por una parte, detectar regularidades es posible solo a partir del uso y, una vez establecidas, ellas permiten lograr una eficacia creciente en el manejo de la numeración escrita; por otra parte, las regularidades constituyen una fuente de problemas que pueden llevar a desentrañar la naturaleza profunda del sistema.” Según afirman los niños, un número es mayor que otro “porque tiene más cifras” o “porque el primero es el que manda”.
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Queremos aclarar que decidimos con la Profesora Juncosa, M. E. no extraer del marco todo lo
correspondiente al paso de la numeración hablada a la escrita, tema no correspondiente al propósito de la investigación llevada a cabo por Terigi, F., ya que es algo que no podemos dejar de lado ante tal situación.
Justamente la posicionalidad es la responsable de la relación cantidad de cifras-valor del número; de ella depende también la validez de “el primero es el que manda”. El sistema posicional es al mismo tiempo menos transparente y más económico que un sistema aditivo. Es menos transparente porque el valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa, y porque esa posición es el único rastro de la presencia de una potencia de base. Y más económico porque, justamente como consecuencia de la posicionalidad, una cantidad finita de diez símbolo, es suficiente para anotar cualquier número. En la numeración escrita el recorrido que se pretende es el uso de la reflexión y de la reflexión a la búsqueda de regularidades del sistema posicional. La cuatro actividades básicas operar, ordenar, producir e interpretar, constituyen ejes alrededor de los cuales se organizan las situaciones didácticas. La comparación de números pone a los niños frente a situaciones en la cual la demanda en menor o mayor esfuerzo tratar de realizar un ordenamiento correcto, el cual, habilita momentos de discusión que propician aprendizaje. En síntesis, todos los chicos tienen oportunidad de buscar una respuesta, de crecer en el trabajo cooperativo y poder realizar una adquisición del contenido. La búsqueda de regularidades cobran especial importancia, además de los criterios para ordenar números, son “leyes” como “los dieces” van con dos, los “cienes” van con tres; “después del nueve viene el cero y el otro número pa sa al siguiente”; “hay diez número (de dos cifras) que empiezan con uno, diez que empiezan con dos”. Establecer regularidades cumple un doble objetivo: hacer posible plantear problemas dirigidos a explicar la organización del sistema y permitir generar avances en el uso de la numeración escrita. Detectar regularidades es necesario, no sólo para avanzar en la comprensión del sistema; es también imprescindible para lograr un uso adecuado de la notación convencional. Si se pretende lograr que los chicos adquieran herramientas a partir de las cuales puedan autocriticar las escrituras basadas en la numeración hablada, hay que garantizar la circulación de información referida a las regularidades. Una vez establecidas las regularidades para este intervalo, se podrá propiciar su generalización a través del uso de soportes que contengan números mayores. Una vez establecida la regularidad, será posible comenzar a preguntarse por su significado.
Secuencia didáctica - “Sistema de numeración”
1°, 2° y 3° grado: 10 alumnos divididos en 3 grupos. Trabajamos con el castillo del 0 al 100 0
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99
90 100
¿Qué números están tapados en este cuadro?............................................................... ¿Cuál es el número que sigue a 27?.............. ¿Cuál es el número que sigue a 39?............... ¿Cuál es el número que sigue a 79?............... ¿Cuál es el número anterior a 41?.............. ¿Cuál es el número anterior a 30?.............. Adivinanzas que se reparten por cada grupo: - Soy menor que 50 pero mayor que 33, una de mis cifras es 2...……………. - Está entre 19 y el 26 y termina en 4……………….. - Mis cifras son 2 y 5 pero soy mayor que 40? ............ ¿Los números de las adivinanzas son iguales? ¿Cuál es más grande? ¿Por qué?
Para reflexionar en el grupo y comunicar la producción al momento del plenario. ¿Los números que aparecen escritos en la primera fila son iguales que en la segunda? ¿Cuáles cambian? ¿Cuáles se mantienen? ¿En la fila 8 qué cifra se mantienen y cuáles cambian? ¿Luego del 89 cuál sigue? ¿En la 3° columna qué es lo que cambia y qué es lo que se mantiene constante? ¿Dónde ubicarían el 105? ¿Es más grande o más chico que el 15? ¿por qué? ¿Entra en el castillo el 230? ¿por qué?
1°,2° y 3°. Trabajamos con el castillo del 0 al 500. 0
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25
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95
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105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
330
340
350
360
370
290
195
200
205
210
430
440
450
460
470
240
245
250
255
260
265
270
275
280
285
290
295
300
305
310
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320
325
330
335
340
345
350
355
360
365
370
375
380
385
390
395
400
405
410
415
420
425
430
435
440
445
450
455
460
465
470
475
480
485
490
495
500
¿Qué números aparecen tapados en este cuadro?.................................................................... ¿Cómo te diste cuenta? ¿Cuál es el número que sigue a 100?............... ¿Cuál es el número que sigue a 540?.............. ¿Cuál es el número que sigue a 280?............. ¿Cuáles son los 3 números anteriores a 610?..................................... Adivinanzas: - Está entre el 610 y 660, pero es mayor que 640. …………………. - Estoy en la fila de los que empiezan con 5, y además entre mis cifras tengo un 6….. ¿Los números de las adivinanzas son iguales? ¿Cuál es más grande? ¿Por qué?
Para reflexionar… ¿Los números que aparecen escritos en la segunda fila son iguales que en la tercera? ¿Cuáles cambian? ¿Cuáles se mantienen? ¿Los números que aparecen en la fila 7 son todos iguales? ¿Cuáles cambian? ¿En la 3° columna que números se repiten? ¿Cuál es el mayor de estos números? ¿Por qué? Si tengo el 610 y el 660 ¿cuál es el mayor? ¿Por qué?
Jugamos con las cartitas con mazos distintos del 0 al 9 Para esta actividad lúdica se utilizarán dos mazos de cartas confeccionados por nosotros. Un mazo tendrá cartas con números del 0 al 9 y el otro contendrá prendas.
Se colocan todas las cartas con números mezcladas y boca abajo, y por otro lado el mazo con prendas. Cuando se da la orden cada jugador debe dar vuelta 4 cartas con números y sacar una del mazo con prendas por jugada . Con la ayuda de una hoja borrador este deberá escribir todos los números posibles de armar con esas cartas, utilizándolas a todas. Luego de armar todos los números posibles deberá resolver lo pedido por la prenda. Por ej. “Ordenar de mayor a menor” ”Armar tres números diferentes” “Armar el numero mas pequeño”” gana el que este mas cerca de 1.000”. Todo quedará registrado en la hoja borrador por un secretario.
Armamos el castillo gigante todos los cursos juntos Se dividen grupos a cada una se le entrega un cuarto del castillo sobre el que trabajarán. Allí completarán los números que faltan para luego armar colaborativamente un único castillo a partir del que se hará una puesta en común acerca de las estrategias para completarlo que ha utilizado cada grupo. Por Ej.: 0
10
100
30 120
210 320 400
440
Una vez armado quedaría de la siguiente manera: 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
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150
160
170
180
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200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
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670
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690
700
710
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730
740
750
760
770
780
790
800
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830
840
850
860
870
880
890
900
910
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930
940
950
960
970
980
990
1000
El rompecabezas tiene piezas diferentes donde los niños deben completar, algunos recortes serán iguales pero la ubicación de números será incorrecta para ello los integrantes del grupo
deberán estar atento al armar el mismo o si se descubren fallas una vez armado generar instancias de debate en el mismo donde ellos deben argumentar sobre lo correcto incorrecto.
Actividad integradora : Se les repartirán a los alumnos una c arta con números , y se les pedirá que miren la carta y que luego digan el número que tiene la misma. Luego se les preguntara que quien tiene el número más grande de los que se nombraron y se le pedirá que digan porque es el más grande, y se tratara de fomentar la discusión entre los alumnos a través de pregunta como las siguientes: ¿Cuántas cifra tiene tu número? ¿Qué número será mayor el que tiene más o menos cifras? ¿Pero si tienen la misma cantidad de cifra como se cual es mayor? ¿Y si empiezan con la misma cifra? ¿Y si tienen las misma centena, decena y unidad? A continuación se les entregara otra carta y deberán compararla con la que tenían antes y justificar cual de las dos en más grande.
Actividad final “Perinolas mágicas”: componer y comparar números Materiales: 3 perinolas y una tabla para registrar los valores obtenidos por cada alumno. Desarrollo: En cada tiro se gira una perinola. Cada una tiene una denominación con un respectivo valor: perinola “súper mágica” vale 100 puntos, ”mágica” vale 10 puntos y la tercer perinola que será “común” vale un punto. En su turno, cada jugador lanza las 3 perinolas; cuando ve qué números salieron, decide cuál perinola será “súper mágica”, cuál “mágica” y cuál “común”. A continuación, escribirá el puntaje obtenido en una tabla como la que se presenta más abajo. Luego, le toca el turno al jugador siguiente, quien hace girar las perinolas, y así sucesivamente. Al término de cada vuelta, gana el jugador que haya obtenido el mayor puntaje. Para ello un jugador controla la jugada y registra los datos en la siguiente tabla: Jugador
Perinola
Perinola
Perinola
súper mágica
mágica
común
Total
Espacio para usar si necesitan hacer cálculos
Bilbliogafría. -
Lerner, D.; Sadovsky P. y Wolman S. (1994) “El sistema de numeración: un problema didáctico”, en Parra C. y Saiz I. (comps.) Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires. Paidós.
-
Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología. (2006). NAP. Serie de Cuadernos para el Aula. Primer Ciclo. Matemática 2. Buenos Aires
-
Quaranta M. en Panizza (comp.) (2003) Enseñar matemática en el Nivel Inicial y primer ciclo de EGB: Análisis y Propuestas. Editorial Paidós.
-
Parra, C. y Saiz, I. (2007) Nuevo hacer matemática 2. Primer ciclo. Buenos Aires. Estrada.
