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Método de las componentes simétricas: Este método, está basado en el teorema de Fortescue que permite analizar fallas asimétricas en sistemas trifásicos, pero puede ser usado para resolver cualquier sistema cuyas condiciones sean asimétricas en un momento. Los casos en los que se usa este método, regularmente son: Falla monofásica a tierra Falla Bifásica a tierra Falla bifásica Pérdida de un conductor
Componentes Simétricas Fortescue estableció que " Cualquier sistema
asimétrico de n vectores, puede ser descompuesto en n sistemas simétricos con n vectores, cada uno“. Para el caso de los sistemas trifásicos podemos
descomponer el sistema en tres conjuntos de tres vectores cada uno y de esta forma tendremos tres componentes simétricas. Si tomamos el ejemplo de la representación de las tensiones de fase, tenemos…
Componente de secuencia 0 Consiste en tres fasores de magnitudes iguales y desplazamiento de fase “0”.
𝑉𝑎0
𝑉𝑏0
𝑉𝑐0
Componente de secuencia “positiva” Consta de tres fasores de magnitudes iguales y desplazamiento de fases ±120𝑜 y con secuencia positiva 𝑉𝑐0
𝑉𝑎0
𝑉𝑏0
Componente de secuencia “negativa” Consta de tres fasores de magnitudes iguales y desplazamiento de fases ±120𝑜 y con secuencia negativa. 𝑉𝑏0
𝑉𝑎0
𝑉𝑐0
Representación de las fases Ahora como tenemos tres sistemas trifásicos, podemos simplificar trabajar únicamente con las componentes de secuencia positiva de la fase “a” y el sistema estaría presentado por: 𝑉𝑎 1 1 𝑉𝑏 = 1 𝑎2 𝑉𝑐 1 𝑎
𝑉𝑎0 1 𝑎 . 𝑉𝑎1 𝑎2 𝑉𝑎2
en donde 𝑎 = 1∠1200
Representación de fases Dado que únicamente vamos a trabajar con las secuencias de fase de Va podemos simplificar retirando el subíndice a y reemplazamos 𝑉𝑎0 , 𝑉𝑎1 𝑦 𝑉𝑎2 𝑐𝑜𝑛 𝑉0 , 𝑉1 𝑦 𝑉2 respectivamente, con lo que tenemos 𝑉𝑎 1 1 𝑉𝑏 = 1 𝑎2 𝑉𝑐 1 𝑎
𝑉0 1 𝑎 . 𝑉1 𝑎2 𝑉2
en donde 𝑎 = 1∠1200
Representación de fases … para representar la anterior expresión de manera
mas compacta podemos nombrar vectores 𝑉𝑝 , 𝑉𝑠 y la matiz A como sigue 𝑉𝑎 𝑉𝑝 = 𝑉𝑏 𝑉𝑐 Quedando
𝑉0 𝑉𝑠 = 𝑉1 𝑉2 𝑉𝑝 =A𝑉𝑠
1 1 𝐴 = 1 𝑎2 1 𝑎
1 𝑎 𝑎2
Representación de las componentes simétricas De manera inversa tenemos que 𝑉𝑠 =A−1 . 𝑉𝑝 En donde 𝐴−1
1 1 1 = 1 𝑎 3 1 𝑎2
1 𝑎2 𝑎
Representación de las componentes simétricas Ahora podemos representar 𝑉𝑠 =A−1 . 𝑉𝑝 como tres ecuaciones separadas 1 𝑉0 = 𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 + 𝑉𝑐 3 1 𝑉1 = 𝑉𝑎 + 𝑎2 𝑉𝑏 + 𝑎𝑉𝑐 3 1 𝑉2 = 𝑉𝑎 + 𝑎𝑉𝑏 + 𝑎2 𝑉𝑐 3 y se puede observar que si el sistema es balanceado 𝑉0 = 0
Representación de las componentes simétricas De igual manera pueden ser representadas las componentes de secuencia para las corrientes de fase 1 𝐼0 = 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 3 1 𝐼1 = 𝐼𝑎 + 𝑎2 𝐼𝑏 + 𝑎𝐼𝑐 3 1 𝐼1 = 𝐼𝑎 + 𝑎𝐼𝑏 + 𝑎2 𝐼𝑐 3 … y sabiendo que la corriente a neutro es 𝐼𝑛 = 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 Deducimos que 𝐼𝑛 = 3𝐼0
Redes de secuencia de impedancias de cargas Tomemos como base el sistema balanceado de la siguiente figura
Redes de secuencia de impedancias de cargas … deduciendo la tensión de fase Va tenemos que 𝑉𝑎 = 𝑍𝑌 𝐼𝑎 + 𝑍𝑛 𝐼𝑛 Y como sabemos que 𝐼𝑛 = 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 𝑉𝑎 = (𝑍𝑌 + 𝑍𝑛 )𝐼𝑎 +𝑍𝑛 𝐼𝑏 +𝑍𝑛 𝐼𝑐
Redes de secuencia de impedancias de cargas de igual manera podemos deducir 𝑉𝑏 y 𝑉𝑐 , obteniendo la matriz de impedancia de fase (𝑍𝑌 + 𝑍𝑛 ) 𝑍𝑛 𝑍𝑝 = 𝑍𝑛
𝑍𝑛 (𝑍𝑌 + 𝑍𝑛 ) 𝑍𝑛
𝑍𝑛 𝑍𝑛 (𝑍𝑌 + 𝑍𝑛 )
de esta manera podemos decir que 𝑉𝑝 = 𝑍𝑝 𝐼𝑝 ↔ A𝑉𝑠 =𝑍𝑝 𝐴𝐼𝑠 Y despejando 𝑉𝑠 =(𝐴−1 𝑍𝑝 𝐴)𝐼𝑠
Redes de secuencia de impedancias de cargas Y en forma matricial (𝐴−1 𝑍𝑝 𝐴) será 1 1 −1 (𝐴 𝑍𝑝 𝐴) = 1 3 1
1 𝑎 𝑎2
1 𝑎2 𝑎
(𝑍𝑌 + 𝑍𝑛 ) 𝑍𝑛 𝑍𝑛
(𝐴−1 𝑍𝑝 𝐴) = 𝑍𝑠 =
𝑍𝑛 𝑍𝑛 1 1 (𝑍𝑌 + 𝑍𝑛 ) 𝑍𝑛 1 𝑎2 𝑍𝑛 (𝑍𝑌 + 𝑍𝑛 ) 1 𝑎
(𝑍𝑌 + 3𝑍𝑛 )
0 0
0 𝑍𝑌
0
0 0 𝑍𝑌
1 𝑎 𝑎2
Redes de secuencia de impedancias de cargas … y de esta manera podemos describir las componentes de secuencia de la impedancia 𝑍0 = 𝑍𝑌 + 3𝑍𝑛 𝑍1 = 𝑍𝑌
𝑍2 = 𝑍𝑌
Redes de secuencia de impedancias de cargas Para el caso de carga en delta tenemos
𝑍∆ 𝑍0 = +∞ 3 𝑍∆ 𝑍1 = 3 𝑍∆ 𝑍2 = 3
Redes de secuencia de impedancias de cargas
Redes de secuencia de impedancias serie
Redes de secuencia de impedancias serie Para el caso de las impedancias serie debemos considerar también las impedancias mutuas y podemos expresar de forma matricial: 𝑉𝑎 − 𝑉𝑎′ 𝑍𝑎𝑎 𝑍𝑎𝑏 𝑍𝑎𝑐 𝐼𝑎 𝑉𝑏 − 𝑉𝑏′ = 𝑍𝑎𝑏 𝑍𝑏𝑏 𝑍𝑏𝑐 𝐼𝑏 𝑍𝑎𝑐 𝑍𝑏𝑐 𝑍𝑐𝑐 𝐼𝑐 𝑉𝑐 − 𝑉𝑐′ Si operamos de igual forma como en el caso de la impedancia de carga, 𝑉𝑠 − 𝑉𝑠′ = 𝑍𝑠 𝐼𝑠 , 𝑐𝑜𝑛 𝑍𝑠 = 𝐴−1 𝑍𝑝 𝐴 En donde 𝑍𝑝 es la matriz de impedancias de fase para la red serie
Redes de secuencia de impedancias serie y bajo la condición de que 𝑍𝑎𝑎 = 𝑍𝑏𝑏 = 𝑍𝑐𝑐 𝑍𝑎𝑐 = 𝑍𝑎𝑏 = 𝑍𝑏𝑐 obtenemos que 𝑍0 = 𝑍𝑎𝑎 + 2𝑍𝑎𝑏
𝑉0 − 𝑉0′ = 𝑍0 𝐼0
𝑍1 = 𝑍𝑎𝑎 − 𝑍𝑎𝑏
𝑉1 − 𝑉1′ = 𝑍1 𝐼1
𝑍2 = 𝑍𝑎𝑎 − 𝑍𝑎𝑏
𝑉2 − 𝑉2′ = 𝑍2 𝐼2
Redes de secuencia de impedancias serie
Redes de secuencia de máquinas rotativas
Redes de secuencia de máquinas rotativas Para este caso tenemos 𝑍𝑔 + 𝑍𝑛 𝑉𝑎 𝐸𝑎 𝑍𝑛 𝑉𝑏 = 𝐸𝑏 − 𝑉𝑐 𝐸𝑐 𝑍𝑛
Aplicaciones Como se mencionó inicialmente, el método permite el análisis de las fallas asimétricas especialmente, que son: Falla monofásica a tierra Falla Bifásica a tierra Falla bifásica Pérdida de un conductor Cabe recordar que el método también nos permite el análisis de fallas simétricas
Falla monofásica a tierra Ya que la falla ocurre en una falla podemos deducir que: 𝑉𝑎 = 0 𝐼𝑏 = 𝐼𝑐 = 0 𝑉𝑎 = 𝑉0 + 𝑉1 + 𝑉2 = 0 𝐼𝑎 = 𝐼0 + 𝐼1 + 𝐼2 = 𝐼𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎 𝐼𝑏 = 𝐼0 + 𝑎2 𝐼1 + 𝑎𝐼2 = 0 𝐼𝑐 = 𝐼0 + 𝑎𝐼1 + 𝑎2 𝐼2 = 0 De donde deducimos que: 𝐼0 = 𝐼2 = 𝐼3
Falla monofásica a tierra
Cortocircuito bifásico aislado de tierra Deducimos que:
𝐼𝑎 = 0 𝐼𝑐 = −𝐼𝑏 𝑉𝑏𝑔 − 𝑉𝑐𝑔 = 𝑍𝑓 𝐼𝑏
Cortocircuito bifásico aislado de tierra De las que obtenemos:
𝐼0 = 0 𝐼1 = −𝐼2 𝑉1 − 𝑉2 = 𝑍𝑓 𝐼1
Cortocircuito bifásico a tierra Deducimos que: 𝐼𝑎 = 0 𝑉𝑏𝑔 = 𝑉𝑐𝑔 = 𝑍𝑓 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐
Cortocircuito bifásico a tierra Y obtenemos:
𝐼0 + 𝐼1 + 𝐼2 = 0 𝑉0 − 𝑉1 = 3𝑍𝑓 𝐼1 𝑉1 = 𝑉2
Pérdida de una fase de alimentación Deducimos que:
𝐼𝑎 = 0 𝐼𝑏 = −𝐼𝑐
Pérdida de una fase de alimentación Y obtenemos que
