9 SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES ORDINARIA ORDINARIAS S 9.1 Métodos de Euler y análisis de errores 9.2 Métodos de Runge-Kutta 9.3 Métodos multipasos 9.4 Ecuaciones y sistemas de orden superior 9.5 Problemas con valores en la frontera de segundo or den REPASO DEL CAPÍTULO 9
Aun cuando se pueda demostrar que la solución de una ecuación diferencial exista, no siempre es posible expresarla en forma explícita o implícita. En muchos casos tenemos que conformarnos con una aproximación de la solución. Si la solución existe, se representa por un conjunto de puntos en el plano cartesiano. En este capítulo continuamos investigando la idea básica de la sección 2.6, es decir, utilizar la ecuación diferencial para construir un algoritmo para aproximar las coordenadas y de los puntos de la curva solución real. Nuestro interés en este capítulo son principalmente los PVI
= , , ,
= . En la sección 4.9 vimos que los procedimientos
numéricos desarrollados para las ED de primer orden se generalizan de una manera natural para sistemas de ecuaciones de primer orden y por tanto se pueden aproximar soluciones de una ecuación de orden superior remodelándola como un sistema de ED de primer orden. El capítulo 9 concluye con un método para aproximar soluciones de problemas con valores en la frontera lineales de segundo orden.
9.1 MÉTODOS DE EULER Y ANÁLISIS DE ERRORES REPASO DE MATERIAL ● Sección 2.6
INTRODUCCIÓN En el capítulo 2 se examinó uno de los métodos numéricos más simples para aproximar soluciones de problemas con valores iniciales de primer orden Recuerde que la estructura del método de Euler fue la fórmula
+ = ℎ, ,
′= , , , = .
1 donde es la función obtenida de la ecuación diferencial = , ,. El uso recursivo de (1) para =0,1,2,... produce las ordenadas , , , , ,... de puntos en “rectas tangentes” sucesivas respecto a la curva solución en , , ,... = ℎ, donde ℎ es una constante y es el tamaño de paso entre y + . Los valores , , , … aproximan los valores de una solución
del PVI en ,,,...
Pero sin importar la ventaja que la ecuación (1) tenga en su simplicidad, se pierde en la severidad de sus aproximaciones.
UNA COMPARACIÓN En el problema 4 de los ejercicios 2.6 se pidió usar el método de Euler
1.5
para obtener el valor aproximado de para la solución del problema con valores iniciales − y resultados similares a . Se debe haber obtenido la solución analítica los que se presentan en las tablas 9.1 y 9.2.
=2,1 = 1
=
ℎ=0.1
En este caso, con un tamaño de paso , un error relativo de 16% en el cálculo de la aproximación a es totalmente inaceptable. A expensas de duplicar el número de cálculos, se obtiene cierta mejoría en la precisión al reducir a la mitad el tamaño de paso, es decir .
1.5
ℎ=0.05
ERRORES EN LOS MÉTODOS NUMÉRICOS Al elegir y usar un método numérico para la solución de un problema con valores iniciales, se debe estar consciente de las distintas fuentes de error. Para ciertas clases de cálculos, la acumulación de errores podría reducir la precisión de una aproximación al punto de hacer inútil el cálculo. Por otra parte, dependiendo del uso dado a una solución numérica, una precisión extrema podría no compensar el trabajo y la complicación adicionales. Una fuente de error que siempre está presente en los cálculos es el error de redondeo . Este error es resultado del hecho de que cualquier calculadora o computadora puede representar números usando sólo un número finito de dígitos. Suponga, por ejemplo, que se tiene una calculadora que usa aritmética base 10 y redondea a cuatro dígitos, de modo que se representa
en la calculadora como 0.3333 y se representa como 0.1111. Si con esta calculadora se calcula / para =0.3334, se obtiene 0.334 0.1111
0.33340.3333 = 1.
Sin embargo, con ayuda de un poco de álgebra, vemos que
por lo que cuando
19 13 13 1, = = 3 13 13 = 0.3334, / ≈0.33340.3333=0.6667.
Este ejemplo
muestra que los efectos del redondeo pueden ser bastante considerables a menos que se tenga cierto cuidado. Una manera de reducir el efecto del redondeo es reducir el número de cálculos. Otra técnica en una computadora es usar aritmética de doble precisión para comprobar los
resultados. En general, el error de redondeo es impredecible y dif ícil de analizar y se desprecia en el análisis siguiente, por lo que sólo nos dedicaremos a investigar el error introducido al usar una fórmula o algoritmo para aproximar los valores de la solución.
ERRORES DE TRUNCAMIENTO PARA EL MÉTODO DE EULER En la sucesión de valores
,,,.... generados de (1), usualmente el valor de no concuerda con la solución real en , en particular, , porque el algoritmo sólo da una aproximación de línea recta a la solución. Véase la figura 2.6.2. El error se llama error de truncamiento local, error de fórmula o error de discretización. Este ocurre en cada paso, es decir, si se supone que es precisa, entonces + tendrá error de truncamiento local. Para deducir una fórmula para el error de truncamiento local del método de Euler, se usa la fórmula de Taylor con residuo. Si una función tiene 1 derivadas que son continuas en un intervalo abierto que contiene a y a , entonces + + = 1! ⋯ ! 1! , donde es algún punto entre y . Al establecer = 1 , = y = + = ℎ, se obtiene ℎ ℎ + = 1! ′ 2! O ℎ ℎ + = ℎ, 1! ′ 2! . El método de Euler (1) es la última fórmula sin el último término; por tanto, el error truncamiento local en + 1 es
de
ℎ ′′ 2! , < < + . Usualmente se conoce el valor de (existe desde el punto de vista teórico) y por tanto no se puede calcular el error exacto, pero un límite superior en el valor absoluto del error es ℎ /2!, á |′′|. donde = < < + Al analizar los errores que surgen del uso de métodos numéricos, es útil usar la notación ℎ . Para definir este concepto, se denota con ℎ el error en un cálculo numérico dependiendo de ℎ. Entonces se dice que ℎ ) es de orden ℎ , denotado con ℎ , si existe una constante y un entero positivo tal que |ℎ| ≤ ℎ para ℎ suficientemente pequeña. Por lo que el error de truncamiento local para el método de Euler es ℎ . Se observa que, en general, si ℎ en un método numérico es del orden ℎ y ℎ se reduce a la mitad, el nuevo error es más o menos = ℎ/2 ; es decir, el error se redujo por un factor de 1/2. EJEMPLO 1 Límite para errores de truncamiento local Determine un límite superior para los errores de truncamiento local del método de Euler aplicado a .
= 2, 1 = 1
SOLUCIÓN De la solución truncamiento es
= − obtenemos =24 − ℎ − ℎ ′′ 2! = 24 2 ,
, por lo que el error de
ℎ
ℎ=0.1 se puede obtener un límite superior en por 1.1: −] 0.1 [. 2 41.1 2 =0.0422. De la tabla 9.1 se observa que el error después del primer paso es 0.0337, menor que el valor donde está entre y . En particular, para el error de truncamiento local para al reemplazar
dado por el límite. De igual forma, se puede obtener un límite para el error de truncamiento local de cualquiera de los cinco pasos que se muestran en la tabla 9.1 al reemplazar por (este valor de da el valor más grande de de cualquiera de los pasos y puede ser demasiado generoso para los primeros pasos). Al hacer esto se obtiene
′′
2 41.5[.−] 0.1
1.5
=0.1920 2 2 como un límite o cota superior para el error de truncamiento local en cada paso. ℎ
Observe que si se reduce a 0.05 en el ejemplo 1, entonces el límite de error es 0.0480, casi un cuarto del valor que se muestra en (2). Esto es de esperarse porque el error de truncamiento local . para el método de Euler es En el análisis anterior se supone que el valor de fue exacto en el cálculo de + pero no lo es porque contiene errores de truncamiento local de los pasos anteriores. El error total en + es una acumulación de errores en cada uno de los pasos previos. Este error total se llama error de truncamiento global . Un análisis completo del error de truncamiento global queda fuera del alcance de este libro, pero se puede mostrar que el error de truncamiento global para el método de Euler es ). Se espera que para el método de Euler, si el tamaño de paso es la mitad, el error será más o menos la mitad. Esto se confirma en las tablas 9.1 y 9.2 donde el error absoluto en con es 0.5625 y con es 0.3171, aproximadamente la mitad. En general, se puede demostrar que si un método para la solución numérica de una ecuación + , entonces el error de truncamiento global es diferencial tiene error de truncamiento local . En lo que resta de esta sección y en las siguientes, se estudian métodos mucho más precisos que el método de Euler.
ℎ
ℎ
ℎ=0.1
=1.50
ℎ=0.05
ℎ
ℎ
MÉTODO DE EULER MEJORADO El método numérico definido por la fórmula
+ = ℎ , 2+,+ , Donde
∗ = ℎ , , +
3 4 = = ℎ ,
se conoce comúnmente como el método de Euler mejorado. Para calcular + para de (3), se debe, en cada paso, usar primero el método de Euler (4) para obtener una ∗ . Por ejemplo, con estimación inicial + , usando (4) se obtiene ∗ y después, conociendo este valor, se usa (3) para obtener
0,1,2,...
=0
∗ , , = ℎ 2 , donde = ℎ. Estas ecuaciones se representan con facilidad. En la figura 9.1.1 se observa que = , y = ,∗ son pendientes de las rectas trazadas con la línea continua que pasan por los puntos , y ,∗ , respectivamente. Tomando un promedio de estas pendientes, es decir,
∗ , , = 2 , se obtiene la pendiente de las rectas paralelas inclinadas. Con el primer paso, más que avanzar a lo largo de la recta que pasa por con pendiente ) al punto con coordenada y ∗ obtenida por el método de Euler, se avanza a lo largo de la recta punteada de color rojo que pasa por con pendiente hasta llegar a . Al examinar la figura parece posible que sea una mejora de ∗ .
,
,
,
FIGURA 9.1.1 La pendiente de la recta roja punteada es el promedio de
y .
En general, el método de Euler mejorado es un ejemplo de un método de predicción∗ * 1 dado por (4) predice un valor de , mientras que el valor de corrección. El valor de + + 1 definido por la fórmula (3) corrige esta estimación.
EJEMPLO 2 Método de Euler mejorado Use el método de Euler mejorado para obtener el valor aproximado de y (1.5) para la solución del problema con valores iniciales . Compare los resultados para y .
= 2, 1 = 1
ℎ=0.1 ℎ=0.05 SOLUCIÓN Con =1, =1, , = 2 , = 0 y ℎ=0.1, primero se calcula (4): ∗ = 0.12 = 1 0.1211 =1.2. Se usa este último valor en (3) junto con =1ℎ=10.1=1.1: ∗ 2 2 211 21.11.2 =1.232. = 0.1 = 1 0.1 2 2 En las tablas 9.3 y 9.4, se presentan los valores comparativos de los cálculos para ℎ=0.1 y ℎ = 0.05, respectivamente.
Aquí es importante hacer una advertencia. No se pueden calcular primero todos los valores de ∗ ; y después sustituir sus valores en la fórmula (3). En otras palabras, no se pueden usar los datos de la tabla 9.1 para ayudar a construir los valores de la tabla 9.3. ¿Por qué no?
ERRORES DE TRUNCAMIENTO PARA EL MÉTODO DE EULER MEJORADO
. La deducción de este El error de truncamiento local para el método de Euler mejorado es resultado es similar a la deducción del error de truncamiento local para el método de Euler. , el error de Puesto que el error de truncamiento para el método de Euler mejorado es . Esto se puede ver en el ejemplo 2; cuando el tamaño de paso se truncamiento global es reduce a la mitad de a , el error absoluto en se reduce de 0.0394 a 0.0108, una reducción de aproximadamente
ℎ
ℎ
ℎ ℎ=0.1 ℎ=0.05
=1.50
1 1 (2) = 4. EJERCICIOS 9.1 En los problemas l a 10, use el método de Euler mejorado para obtener una aproximación de cuatro decimales del valor indicado. Primero use y después .
ℎ=0.1
. = 2 3 1, Solución:
1 =5; 1.5
ℎ=0.05
. = 4 2, Solución:
0 =2; 0.5
. = 1 ,
0 =0; 0.5
. = ,
0 =1; 0.5
Solución:
Solución:
. = − , Solución:
0 =0; 0.5
. = , Solución:
. = , Solución:
0 =0; 0.5
0 =0.5; 0.5
. = √ ,
0 =1; 0.5
. = √ ,
1 =1; 1.5
. = ,
0 =0.5; 0.5
Solución:
Solución:
Solución:
=1, 0 = 2. Use el método de Euler mejorado con ℎ=0.1 y ℎ=0.05 para obtener los valores aproximados de la solución en = 0.5. En cada paso compare el valor aproximado con el valor real de la solución analítica. 11. Considere el problema con valores iniciales Solución:
12. Aunque podría no ser evidente de la ecuación diferencial, su solución podría tener “un mal
= ,1 = 1
comportamiento” cerca de un punto en el que se desea aproximar . Los procedimientos numéricos podrían dar resultados bastante distintos cerca de este punto. Sea la solución del problema con valores iniciales .
1,1.4
a) Use un programa de solución numérica para trazar la solución en el intervalo . b) Con el tamaño de paso , compare los resultados obtenidos con el método de Euler con
ℎ=0.1
los del método de Euler mejorado en la aproximación de Solución:
1.4.
13. Considere el problema con valores iniciales
.
0.1
= 2, 0 = 1. La solución analítica es =
a) Aproxime con un paso y el método de Euler. b) Determine un límite para el error de truncamiento local en . c) Compare el error en con su límite de error. ) con dos pasos y el método de Euler. d) Aproxime e) Compruebe que el error de truncamiento global para el método de Euler es
0.1
los errores de los incisos a) y d). Solución:
ℎ al comparar
14. Repita el problema 13 con el método de Euler mejorado. Su error de truncamiento global es
ℎ.
Solución:
15. Repita el problema 13 con el problema con valores iniciales analítica es
Solución:
= 2 ,0 = 1. La solución
= 12 14 54 − .
16. Repita el problema 15 usando el método de Euler mejorado. Su error de truncamiento global
. es Solución:
ℎ
= 2 3 ,1 = 5. La solución analítica es = 19 23 389 −−. a) Encuentre una fórmula en la que intervengan y ℎ para el error de truncamiento local en el nésimo paso si se usa el método de Euler. b) Encuentre un límite para el error de truncamiento local en cada paso si se usa ℎ=0.1 para aproximar 1.5. c) Aproxime 1.5) con ℎ=0.1 y ℎ=0.05 con el método de Euler. Véase el problema 1 de los 17. Considere el problema con valores iniciales
ejercicios 2.6. d) Calcule los errores del inciso c) y compruebe que el error de t runcamiento global del método de Euler es Solución:
ℎ.
18. Repita el problema 17 usando el método de Euler mejorado que tiene un error de
. Véase el problema 1. Podría ser necesario conservar más de cuatro truncamiento global decimales para ver el efecto de reducir el orden del error. Solución:
ℎ
19. Repita el problema 17 para el problema con valores iniciales analítica es Solución:
= − ,0 = 0. La solución
=1. Aproxime 0.5. Véase el problema 5 en los ejercicios 2.6.
20. Repita el problema 19 con el método de Euler mejorado, que tiene un error de truncamiento
. Véase el problema 5. Podría ser necesario conservar más de cuatro decimales para global ver el efecto de reducir el orden de error. Solución:
ℎ
Problemas para analizar 21. Conteste la pregunta “¿Por qué no?” que sigue a los tres enunciados después del ejemplo 2 de la página 343. Solución:
