4.5 COEFICIENTES INDETERMINA INDETERMINADOS: DOS: MÉTODO DEL ANULADOR REPASO DE MATERIAL ●
Repaso de teoremas 4.1.6 y 4.1.7 (sección 4.1).
INTRODUCCIÓN En la sección 4.1 vimos que una ecuación diferencial de n-ésimo orden se puede escribir como
+ −−+ ⋯+ +=, 1 donde = , = 0,1,.. ,1,..., .,. Cuando es adecuado, la ecuación (1) también se escribe como =, donde denota el operador diferencial o polinomial, lineal de n-ésimo orden + −− +⋯+ + . 1 La notación de operador no sólo es una abreviatura útil, sino que en un nivel muy práctico la aplicación de operadores diferenciales permite justificar las reglas un poco abrumadoras para determinar la forma de solución particular presentada en la sección anterior. En esta sección no hay reglas especiales; la forma de se deduce casi de manera automática una vez que se encuentra un operador diferencial lineal adecuado que anula a en (1). Antes de investigar cómo se realiza esto, es necesario analizar dos conceptos.
, = 0,1,.. ,1,..., ., son constantes reales, un operador diferencial lineal (1) se puede factorizar siempre el polinomio característico + −− + ⋯+ + sea factorizable. En otras palabras, si es una raíz de la FACTORIZACIÓN DE OPERADORES Cuando los coeficientes
ecuación auxiliar
+ −− +⋯ + + = 0, entonces = , donde la expresión polinomial es un operador diferencial lineal de orden 1. Por ejemplo, si se trata a como una cantidad algebraica, entonces el operador +5+6 se puede factorizar como +2+3 o como +3+2. Así si una función = tiene una segunda derivada, entonces +5+6 = + 2 + 3=+3+2. Esto muestra una propiedad general: Los factores de un operador diferencial con coeficientes constantes conmutan. conmutan.
+ 4 +4=0 se escribe como +5+6=0 + 2 + 2=0 + 2 = 0
Una ecuación diferencial tal como
OPERADOR ANULADOR Si L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y es una función suficientemente derivable tal que
( ()=0, =0
entonces se dice que es un anulador de la función. Por ejemplo, anula una función constante puesto que . El operador diferencial anula la función puesto que la primera y la segunda derivada de son y , respectivamente. De manera similar, etcétera. etcétera.
=
1 0
= = 0,
El operador diferencial
anula cada una de las funciones 1,,,...,− .
3
Como una consecuencia inmediata de (3) y el hecho de que la derivación se puede hacer término a término, un polinomio
+ + +⋯+ −−
4 se anula al encontrar un operador que aniquile la potencia más alta de .
Las funciones que se anulan por un operador diferencial lineal de n-ésimo orden son simplemente aquellas funciones que se obtienen de la solución general de la ecuación diferencial homogénea .
= 0
El operador diferencial
anula cada una de las funciones , , ,...,−. 5
Para ver esto, observe que la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea . Puesto que es una raíz de multiplicidad la solución general es
= 0
, = + + + . .. +−.
= 0 es
6
EJEMPLO 1 Operadores anuladores Encuentre un operador diferencial que anule la función dada.
1 5 + 8
−
4 10 SOLUCIÓN a) De (3) se sabe que = 0, así de (4) se tiene que 15 + 8 = 0. b) De (5), con = 3 y =1, vemos que + 3− = 0. c) De (5) y (6), con = 2 y = 2, se tiene que 24 10 = 0. Cuando y , > 0 son números reales, la fórmula cuadrática revela que [ 2+ + ] = 0 tiene raíces complejas + +, , ambas de multiplicidad . Del análisis al final de la sección 4.3, se tiene el siguiente resultado.
[ 2+ + ]n anula cada una de las funciones , , , , , . . . , − , (7) − , , , , , . . . , ,
El operador diferencial
EJEMPLO 2 Operador anulador Encuentre un operador diferencial que anule
5− 2 2 9− 2.
− 2 y − 2 muestra que =1 y = 2. Por tanto, de la ecuación (7) se concluye que +2+5 anulará cualquier función que sea combinación lineal de estas funciones tales como 5 − 2 9 − 2. Cuando = 0 y = 1, un caso especial de (7) es cos = 0. + { 8 Por ejemplo + 16 anulará cualquier combinación lineal de 4 y 4 . Con frecuencia estamos interesados en anular la suma de dos o más funciones. Como acabamos de ver en los ejemplos 1 y 2, si es un operador diferencial lineal tal que = 0 y = 0, entonces anulará la combinación lineal + . Esta es una consecuencia directa del teorema 4.1.2. Supongamos ahora que y son operadores diferenciales lineales con coeficientes constantes tales que anula a y anula a , pero ≠ 0 y ≠ 0. Entonces el producto de los operadores diferenciales anula la suma + . Esto se puede demostrar fácilmente, usando la linealidad y el hecho de que = : + = + = + = [] + [] = 0. SOLUCIÓN La inspección de las funciones
anula a 7 y de (8) que + 16 anula a 4. Por tanto 16 anulará la combinación lineal 7 + 6 4.
Por ejemplo, sabemos de (3) que el producto de operadores
NOTA El operador diferencial que anula una función no es único. Vimos en el inciso b) del
+3 +3 3 +3
ejemplo 1 que anula a − pero también a los operadores diferenciales de orden superior siempre y cuando sea uno de los factores del operador. Por ejemplo y todos anulan a − . (Compruebe esto.) Como algo natural, cuando se busca un anulador diferencial para una función , se quiere que el operador de mínimo orden posible haga el trabajo.
3+1,
=
COEFICIENTES INDETERMINADOS Lo anterior lleva al punto del análisis previo. Suponga que
= es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y que la entrada consiste en sumas y productos fi nitos de las funciones listadas en (3), (5) y (7), es decir, es una combinación lineal de funciones de la f orma
, , , , , donde es un entero no negativo y y son números reales. Ahora se sabe que una función tal como puede ser anulada por un operador diferencial de menor orden, que es producto de los operadores , y 2+ + . Al aplicar a ambos lados de la ecuación = se obtiene = () = 0. Al resolver la ecuación homogénea de orden superior = 0, se descubre la forma de una solución particular para la ecuación original no homogénea =. Entonces sustituimos esta forma supuesta en = para encontrar una solución particular explícita. Este procedimiento para determinar , llamado método de los coeficientes indeterminados, se ilustra a continuación en varios ejemplos.
Antes de proceder, recuerde que la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea es donde es la función complementaria, es decir, la solución general de la ecuación homogénea asociada . La solución general de cada ecuación se define en el intervalo .
= = +
=
= 0 ∞,∞
EJEMPLO 3 Solución general usando coeficientes indeterminados Resuelva
+ 3 +2=4.
9
+ 3 +2=0. Entonces, de la ecuación auxiliar +3+2= + 1 + 2 = 0 se encuentra = 1 y = 2 y SOLUCIÓN Paso 1. Primero, resolvemos la ecuación homogénea así, la función complementaria es
= − + − . Paso 2. Ahora, puesto que
4 se anula con el operador diferencial , se ve que +3+
2=4 es lo mismo que +3+2=0.
10
La ecuación auxiliar de la ecuación de quinto orden en (10),
+3+2 =0 + 1 + 2 = 0, tiene raíces = = =0, =1, y = 2. Así que su solución general debe ser = + + + − + − 11 Los términos del cuadro sombreado en (11) constituyen la función complementaria de la ecuación original (9). Se puede argumentar que una solución particular , de (9) también debe satisfacer la ecuación (10). Esto significa que los términos restantes en (11) deben tener la forma básica de :
=++,
12 donde, por conveniencia, hemos remplazado , y por , y , respectivamente. Para que (12) sea una solución particular de (9), es necesario encontrar coeficientes específicos , y . Derivando la ecuación (12), se tiene que
= + 2,
= 2,
y sustituyendo esto en la ecuación (9) se obtiene
+ 3 + 2 =2+3+6+2+2+2 = 4. Como se supone que la última ecuación es una identidad los coeficientes de potencias semejantes de deben ser iguales:
2 = 4, 2 + 6 = 0, 2 + 3 + 2 = 0. 13 Resolviendo las ecuaciones de (13) se obtiene = 7, = 6 y = 2. Por tanto =76+ 2. Paso 3. La solución general de la ecuación en (9) es = + o = − + − +76+2. Es decir
EJEMPLO 4 Solución general usando coeficientes indeterminados Resuelva
3 = 8 + 4 .
14
SOLUCIÓN Paso 1. La ecuación auxiliar para la ecuación homogénea asociada
3 = 0 es
3= 3 = 0, y por tanto, = + . Paso 2. Ahora, puesto que 3 = 0 y + 1 = 0, se aplica el operador diferencial 3 + 1 a ambos lados de la ecuación (14): 3 + 1 3=0. 15 La ecuación auxiliar de (15) es:
3 + 1 3 = 0 Así
3 + 1 = 0.
= + + + cos+.
Una vez que se excluye la combinación lineal de términos dentro del cuadro que corresponde a se obtiene la forma de :
= + + . en (14) y simplificando, se obtiene 3 =3 + 3 + 3 = 8 + 4 . Igualando los coeficientes se obtiene que 3=8,3=0 y 3 = 4. Se encuentra que = , = , y = y por tanto, = 83 + 65 25 Sustituyendo
Paso 3. Entonces la solución general de (14) es
= + + 83 + 65 25 EJEMPLO 5 Solución general usando coeficientes indeterminados
16 SOLUCIÓN La función complementaria es = + . Ahora al comparar y con las funciones del primer renglón de (7), vemos que = 0 y = 1 y así + 1 es un Resuelva
+ = .
anulador para el miembro derecho de la ecuación en (16). Aplicando este operador a la ecuación diferencial se obtiene
+ 1 + 1 = 0
+ 1 =0.
son raíces complejas de multiplicidad 3 de la última ecuación auxiliar, se
Puesto que y concluye que
= + + + + + . Sustituyendo
= + + + en (16) y simplificando:
+ = 4 4 + 2+2 + 2+2 = cos . Igualando los coeficientes se obtienen las ecuaciones 4 = 1,4 = 0, 2 + 2 = 1, y 2+ 2=0, de las que encontramos = , = , = 0 y = . . Por tanto la solución general de (16) es
= + + 14 12 + 14 . EJEMPLO 6 Forma de una solución particular Determine la forma de una solución particular para
2 +=10− .
17 SOLUCIÓN La función complementaria de la ecuación dada es = + . Ahora de (7), con = 2, = 1 y = 1, se sabe que +4+5− = 0. Aplicando el operador +4+5 a (17), se obtiene +4+5 2+1 =0. 18 Puesto que las raíces de la ecuación auxiliar de (18) son 2,2+,1 y 1, vemos de = + + − cos+− sen que una solución particular de (17) se puede encontrar con la forma
= − cos+ − sen. EJEMPLO 7 Forma de una solución particular Determine la forma de una solución particular para
4 +4′=5 6+43 .
19
SOLUCIÓN Observe que
5 6 =0, 23 =0 5 = 0. Por tanto, 2 5 aplicado a (19), se obtiene 2 5 4 + 4 = 0 2 5=0. Las raíces de la ecuación auxiliar para la última ecuación diferencial son Por tanto,
0,0,0,0,2,2,2,2,2 y 5.
= + + + + + + + + + . 20 Debido a que la combinación lineal + + corresponde a la función complementaria de (19), los términos restantes en (20) dan la forma de una solución particular de la ecuación diferencial:
=+ + + + + + . RESUMEN DEL MÉTODO Por conveniencia se resume el método de coeficientes indeterminados como sigue.
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR
=
consiste en , senos y
La ecuación diferencial tiene coeficientes constantes y la función sumas y productos finitos de constantes, polinomios, funciones exponenciales cosenos. i ) Encuentre la función complementaria para la ecuación homogénea .
= 0
ii ) Opere ambos lados de la ecuación no homogénea que anula la función
.
= con un operador diferencial
iii ) Determine la solución general de la ecuación diferencial homogénea de orden superior
= 0.
iv ) Elimine de la solución del paso iii ) los términos que se duplican en la solución complementaria encontrada en el paso i ). Forme una combinación lineal de los términos restantes. Esta es la forma de una solución particular de
=. v ) Sustituya encontrada en el paso iv ) en =. Iguale los coeficientes de las distintas funciones en cada lado de la igualdad y resuelva el sistema resultante de ecuaciones para determinar los coeficientes desconocidos de . vi ) Con la solución particular encontrada en el paso v ), forme la solución general = + de la ecuación diferencial dada.
COMENTARIOS El método de coeficientes indeterminados no es aplicable a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables ni tampoco es aplicable a ecuaciones lineales con coeficientes constantes cuando es una función tal que
=ln, = 1 , =tan, =−, etcétera. Las ecuaciones diferenciales en las que la entrada es una función de esta última clase se consideran en la siguiente sección.
EJERCICIOS 4.5
=, donde es un .
En los problemas 1 a 10 escriba la ecuación diferencial en la forma operador diferencial lineal con coeficientes constantes. Si es posible, factorice
. 9 4 = Solución:
. 5= 2 Solución:
. 4 12=6 Solución:
. 2 3 2=1 Solución:
. +10 +25 = Solución:
. + 4 = cos2 Solución:
. + 2 13 +10=− Solución:
. + 4 + 3 = cos3 Solución:
. + 8 = 4 Solución:
. 8 +16= 2 Solución:
En los problemas 11 a 14 compruebe que el operador diferencial anula las funciones indicadas.
. ; =10 2
Solución:
. 2 1; = 4 / Solución:
. 2 + 5; = + 3− Solución:
. + 64; = 2cos8 5 8 Solución:
En los problemas 15 a 26 determine el operador diferencial lineal que anula la función dada.
. 1+62 Solución:
. 15 Solución:
. 1+7 Solución:
. +3 Solución:
.cos2 Solución:
. 1+ Solución:
. 13+9 4 Solución:
. 8 + 10cos5 Solución:
. − +2 Solución:
. 2 Solución:
. 3+ cos2 Solución:
. − cos Solución:
En los problemas 27 a 34 determine las funciones linealmente independientes que anulan el operador diferencial dado.
.
Solución:
. + 4 Solución:
. 62+3 Solución:
. 936 Solución:
. + 5 Solución:
. 6+10 Solución:
. 10 +25 Solución:
. 57 Solución:
En los problemas 35 a 64 resuelva la ecuación diferencial dada usando coeficientes indeterminados.
. 9=54 Solución:
. 2 7 +5=29 Solución:
. + = 3 Solución:
. + 2 +′=10 Solución:
. + 4 +4=2+6 Solución:
. + 3 =45 Solución:
. + = 8 Solución:
. 2 + = +4 Solución:
. 12= Solución:
. + 2 +2=5 Solución:
. 2 3=4 9 Solución:
. + 6 +8=3 − + 2 Solución:
. + 25 = 6 Solución:
. + 4 = 4cos + 3 8 Solución:
. + 6 +9= Solución:
. + 3 10= + 1 Solución:
. = + 5 Solución:
. + 2 + = − Solución:
. 2 +5= Solución:
. + + 14 = 3 cos3 Solución:
. + 25 = 20 5 Solución:
. + = 4cos Solución:
. + + = Solución:
. +4= Solución:
. + 8 =6 +9+2 Solución:
. + = − + 7 Solución:
. 3 + 3 = +16 Solución:
. 2 3 3 +2= + − Solución:
. 2 + = + 1 Solución:
. 4 = 5 Solución:
En los problemas 65 a 72 resuelva el problema con valores iniciales.
. 64=16, 0 = 1, 0 = 0 Solución:
. +′=, 0 = 1, 0 = 0 Solución:
. 5 =2, 0 = 0, 0 = 2 Solución:
. + 5 6=10, 0 = 1, 0 = 1 Solución:
. + = 8cos2 4 , 2 = 1, 2 = 0 Solución:
. 2 + = +5, 0 = 2, 0 = 2, 0 = 1 Solución:
. 4 +8=, 0 = 2, 0 = 4 Solución:
. = + , 0 = 0, 0 =0, 0 =0, 0 = 0 Solución:
Problemas para analizar
es un operador diferencial lineal que se factoriza pero que tiene coeficientes variables. ¿Conmutan los factores de ? Defienda su respuesta. 73. Suponga que Solución:
