Rustom_Probabilidad y Estadistica

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Antonio Antonio Rustom J . ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA, DESCRIPTIVA, PROBABILIDAD PROBAB ILIDAD E INFERENCIA. INFERENCIA. Una visi vi sión ón con cept ual y aplicada.

R esponsable esponsable edición: edición: Pedro P edro Calandra Calandra B. Diseño de portada: Claudia Rustom S. Compilac ompilación: ión: Denisse Denisse E spinoza A. Derechos Derechos Reservados eservados Se autoriza la reproducción parcial de la información aquí contenida, siempre y cuando se cite esta publicación como fuente. Inscripción Nº: 223.022 del Registro de Propiedad Intelectual ISBN: 978-956-19-0790-4 Departamento de Economía Agraria













































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ESTADISTICA DESCRIPTIVA, PROBABILIDAD E INFERENCIA Una visión c onceptual onc eptual y apli aplicada cada

ANTONIO A NTONIO RUSTOM J.

REVISORES RE VISORES DE CONTENID CONTENIDO CLAUDIO CLAUDIO FER F ERNÁN NÁND DEZ L. ALBERTO MANSILLA MANSILLA M.













































4













































5

INDICE Prólogo

7

Unidad Uni dad 1

ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIV DESCRIPTIVA A 1 Introducción 2 Término Término s estadísticos básicos 3 Tipos de variables 4 Descrip Descrip ción de variables 5 Otros tipo s de gráfico s

9 9 11 11 12 26

Unidad 2

PROBAB PROBAB ILIDAD 1 Modelos matemáticos 2 Espacio muestral y eventos 3 Frecuencia relativa, la prob abilidad y sus prop iedades 4 Probabilid ad en espacio muestral fini to equipro rable 5 Probabilid ad condi cion al 6 Teorema Teorema de la prob abilidad total y teorema de Bayes

31 31 26 36 40 43 50

Unidad Uni dad 3

DISTRIBUCION DISTRIBUCIONES ES DE PROBABILIDAD PROBAB ILIDAD 1 Introduc ción 2 Distribu ción de variable aleatori aleatori a 3 Valores Valores característico característico s de variables aleatori aleatori as 4 Nociones sobre distr ibuc iones de variables aleatori aleatori as bidimensionales

55 55 55 62

Unidad Uni dad 4

DISTRIBUCION DISTRIBUCIONES ES DE PROBABILIDAD PROBAB ILIDAD NOTABLES NOTABL ES 1 Introduc ción 2 Distribu ción Normal 3 Distribu ción Uniforme 4 Distribu ción Exponencial 5 Distribución de Bernoulli 6 Distribución Binomial 7 Distribu ción de Poisson 8 Distribu ción de Pascal Pascal

75 75 76 81 83 84 84 88 92

Unidad Uni dad 5

DISTRIBUCION DISTRIBUCIONES ES DE PROBABILIDAD PROBAB ILIDAD EN EL MUESTRO MUESTRO DE POBLACIONES 1 Introduc ción 2 Población, muestra y tipos de muestreo

95

68

95 95













































6

Unidad Uni dad 6

Uni dad 7

INFERENCI INFERENCIA A ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA PARA MEIAS Y VARIANZAS 1 Introduc ción 2 Estimación de parámetros 3 Contraste de hipó tesis estadísticas estadísticas 4 Comentarios sobre intervalos de confianza conf ianza y pruebas de hipótesis TEOREMA TEOREMA CENTRAL CENTRAL DEL LIMITE E INFERENCI INFERENCIAS AS PARA PROPORCIONES 1 Muestras de tamaño pequeño pequeñ o 2 Teorema del Límit e Central 3 Proporc ión Poblacional 4 Intervalos de Confianza para Proporc iones 5 Contraste de hipó tesis para prop orci ones 6 Contraste de hipó tesis para dos o más prop orci ones

109 109 109 109 114 127 131 131 131 132 132 134 134 136 139

Ejercicios y prob lemas a resolver

145 145

Bibliografía

181

An exo An exo An exo An exo An exo An exo

1 2 3 4 5 6

Ár ea baj o la l a curv cu rv a no rmal rm al están es tán dar Funci Fun ción ón de Distr Dis trib ibuc ució ión n Acu A cumu mulat lativ iva a Bino Bi nomi mial al Funci Fun ción ón de Distr Dis trib ibuc ució ión n Acu A cumu mulat lativ iva a de Poiss Poi sson on Percen tiles ti les de la dis d istr trib ibuc ució ión n ji-c j i-cuad uadrad rada a de Pearson Pears on Perc entil ent il es de d e la d istr is tr ib uc ió n t de St ud ent Percen tiles ti les de la dis d istr trib ibuc ució ión n de d e Fisher-Sned Fish er-Snedeco ecorr

183 185 187 189 191 193















































7

PROLOGO Este libro va dirigido a alumnos que estudian agronomía y es el resultado de las experiencias en mi docencia en las carreras de Ingeniería Agronómica, Ingeniería Forestal y Medicina Veterinaria principalmente en la Universidad de Chile y en la Universidad Santo Tomás, y fundamentalmente por mi labor como profesor consultor de alumnos tesistas y de mi interrelación interrelac ión con investigadores en aspectos metodológicos estadísticos de sus anteproyectos y proyectos. El desarrollo de los contenidos hace mucho énfasis en lo conceptual con ejemplos y problemas orientados a las áreas mencionados. En éste, las demostraciones de teoremas o propiedades se han limitado a aquellas que cumplan con ser un reforzamiento de lo conceptual para que no sean un distractor de lo esencial que es el concepto. El libro sigue un orden lógico, en el cual primero se hace una revisión de los elementos de estadística descriptiva que, a parte de servir sus propios fines de describir datos, permite introducir aquellos conceptos fundamentales de la estadística como son la media aritmética, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación, amén de otros, como los relacionados a los percentiles, con gran importancia estadística y cultural. Las unidades de probabilidad cumplen con ser un respaldo para la fundamentación en el desarrollo de las unidades posteriores, principalmente de las distribuciones de probabilidad notables y comportamiento de las muestras aleatorias. Las unidades esenciales del libro, para aquellos que manejan las nociones ya mencionadas, son las de distribución Normal, distribuciones en el muestreo de poblaciones, la estimación y pruebas de hipótesis para los parámetros: media aritmética, varianza y proporción. El libro incluye, además, un conjunto de ejercicios y problemas propuestos, con temática orientada a las ciencias silvoagropecuarias, la mayoría de los cuales se resuelven utilizando como referencia los ejemplos desarrollados en el texto. Con frecuencia algunos alumnos consultan por qué los problemas no incluyen las respuestas, pregunta que considero que refleja que tales alumnos todavía no se compenetran













































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Mi mayor muestra de gratitud y amistad al Profesor Claudio Fernández por su disposición para leer el libro y aportar con sus sugerencias para mejorar el original. Al Profesor Alberto Mansilla, mi entrañable amigo, por su importante influencia para despertar en mí el interés por la Estadística, y en relación a este libro, por mostrarme una forma didáctica de presentación de la teoría de probabilidades. A la Facultad de Ciencias Agronómicas por hacer posible la publicación de este libro, al Jefe de Biblioteca, Profesor Pedro Calandra, por su responsabilidad responsabili dad en la edición, y especialmente a Denisse Espinoza por su paciencia y dedicación para llevarla a cabo. Principalmente mis agradecimientos a Eliana, mi esposa, cuya paciencia para soportarme sentado durante horas frente al computador, me sirvieron de estímulo para seguir adelante y concluir el texto. Antonio Rustom J

Santiago, 2012













































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1. ESTADISTICA DESCRIPTIVA 1.1 Introducción.

Se postula que "quien tiene la información tiene el poder" . Posiblemente de ahí las grandes inversiones de los países, principalmente los desarrollados, en generar conocimientos a través de investigaciones de las más diferentes disciplinas. Hoy en día la generación de información y su recopilación ha adquirido gran volumen y se requiere de instrumentos que sean capaces de procesarla en volumen volumen y rapidez. rapidez. La información siempre, y con mayor mayor razón hoy en día, es importante para la toma de decisiones las que deben ser oportunas y óptimas. Con mala o insuficiente información posiblemente la decisión sea mala , por muy bueno que sea el procesamiento de ésta. Por el contrario, por muy buena que sea la información si el procesamiento es malo seguramente también la decisión sea equivocada. En consecuencia, un sólido respaldo para una acertada toma de decisiones, contempla ambas aspectos: información buena y suficiente, procesamiento correcto. La Estadística es una disciplina que proporciona la metodología, fundada en la Matemática, para obtener, recopilar, procesar, resumir y presentar datos referentes a un estudio de interés, transformándolos en estadísticas con el fin de interpretarlas para obtener conclusiones, dando garantía de idoneidad en los procedimientos. También propone metodologías que permita deducir características poblacionales a partir de muestras de ella. ella. Actualmente la Estadística está tan difundida y sus méritos tan aceptados que prácticamente no existe actividad que no la utilice de una u otra manera, a tal punto que cualquier investigación que genere datos y no la utilice en la forma adecuada para su análisis, científicamente válidas . Por dato corre el riesgo que sus conclusiones no sean consideradas científicamente se entenderá un valor que mida en un individuo una característica, que puede ser una cualidad o una cantidad . Por ejemplo: color de pelo "rubio" ; calificación "regular" ; rendimiento "72 qq/ha" . Cada uno de ellos, rubio, regular, 72 es un dato. Abuso y mal uso de la estadística.













































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Es cierto, como se expresó más arriba, que personas sin escrúpulos se sirven de ella para sus propios fines cuando no tienen otros argumentos para respaldar sus posiciones. A continuación algunos ejemplos. 1) La atención hospitalaria es mala y como prueba está que el porcentaje de enfermos fallecidos en los hospitales es muy superior al porcentaje de enfermos fallecidos en sus casas. Es obvio que el porcentaje de fallecidos sea más alto en los hospitales, independiente de la calidad de la atención. 2) El 33% de las alumnas de un curso de ingeniería se casó con profesores de la universidad. Lo cual resulta cierto, pero no se dijo que el curso tenía solamente tres alumnas. 3) Según una estadística se producen más accidentes en el centro de Santiago a 35 km/h que a 65 km/h. La razón es que en el centro la causa de los accidentes es por la congestión vehicular, causa también de la baja velocidad. En otros casos se debe a un mal uso o interpretación de ella, como lo ilustran los siguientes ejemplos. 1) La producción industrial en el año 1963 está al mismo nivel que en 1950, ya que como se puede apreciar entre 1950 y 1958 ésta disminuyó un 30%, mientras que entre 1958 y 1963 aumentó un 30%. La razón de esta mala conclusión está en que las bases de cálculo de ambos porcentajes es distinta. Así, si en 1950 la producción es 100, en 1958 será 70 y por tanto en 1963 será 91, es decir, 9% menor que en 1950. 2) Un diario publicaba "los compositores encuentran inconcebible que más del 100% de lo recaudado por el Departamento Departamento de Derecho de Autor se destine a pagar al personal que trabaja en el servicio, y el resto a cancelar derechos a los autores del país". Aquí está muy expresada la idea, porque si lo recaudado es 100% no hay resto para cancelar a los autores. 3) Un estudio reveló una alta correlación entre el peso de un niño de básica y su rapidez de lectura, deduciéndose que los niños gordos tienen mayor rapidez de lectura que los flacos. En este caso la alta correlación es verdadera , pero la deducción es mala, por que, en primer lugar asocian peso con "gordura", en circunstancia que el peso está altamente













































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iii) medidas que resumen la información, como media o promedio, moda, mediana, desviación estándar, coeficiente de variación , etc. De esta manera una gran cantidad de datos pueden ser mostrados en forma "resumida" y susceptibles de ser interpretados. 2º Hacer inferencias. Corresponde a la obtención de conclusiones acerca de las características de una población a partir de una muestra de ésta. 1.2. Términos estadísticos básicos.

Por Universo se entenderá el conjunto de individuos objeto de nuestro interés o estudio. La especificación del universo, en general, no es trivial, pues es necesario que no haya ambigüedad respecto a quien forma parte o no forma parte de este conjunto. Por Población se entenderá el conjunto de datos de una característica medida en cada individuo del universo. Así, asociado a un mismo universo se podrán tener varias poblaciones. Para distinguir una población de otra denominaremos variable a cada una de estas características, por ejemplo, la variable peso, la variable altura, la variable sexo, la variable estado civil, etc. En consecuencia, los diferentes valores que toma una característica se denomina variable. Por muestra se entiende cualquier subconjunto de la población . Existen distintas formas de elegir una muestra. Las dos más opuestas son: las muestras dirigidas donde la selección de los individuos de la población se efectúa al gusto del investigador ; las muestras aleatorias , que son las que tienen validez estadística y son aquellas donde los individuos son seleccionados mediante un procedimiento regido por el azar, por ejemplo, a través de números aleatorios . Por parámetro se entenderá cualquier valor característico de una población , por ejemplo, el peso promedio, la altura máxima o el estado civil más frecuente. Este valor es constante . Por estadígrafo o estadístico se entenderá un valor característico obtenido a partir de una muestra . Esta cantidad es variable , puesto que depende de la muestra, ya que de una población se puede elegir un conjunto "muy grande" de muestras cada una con un valor característico distinto.















































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Variable nominal , es aquella cuyos valores son nombres o códigos sin una relación de orden intrínseco entre ellos. Ejemplos son: sexo ; estado civil ; nacionalidad ; religión ; raza o color de piel. Variable ordinal , corresponde a aquella cuyos valores son nombres o códigos , pero con una relación de orden intrínseco entre ellos, es decir, sus valores conllevan un ordenamiento de mejor a peor o de mayor a menor. Por ejemplo: la calificación ( excelente , bueno , regular , malo); el grado en las F.F.A.A.( General , Coronel , Capitán , ....) ; la calidad ( extra , primera , segunda , ...) o nivel de infestación (sana , leve , moderada , ....). Variable discreta , usualmente es aquella que solo toma valores enteros. Por ejemplo: número de hijos por familia ; número de elementos defectuosos en una partida de repuestos o número de insectos por hoja. Variable continua , son las de mayor jerarquía matemática, y corresponden a aquellas que pueden asumir cualquier valor real dentro de un cierto rango. Por ejemplo:estatura ; peso ; edad ; rendimiento de un cultivo o el tiempo que demora un corredor en los 100 m. 1.4 Descripción de variables.

En general, cualquiera sea el tipo de la variable a resumir, existen tres formas de realizarla: 1°Por 1°Por medio de tablas de frecuencias, que corresponde a una tabla forma da por columnas, donde en la primera columna se anotan los diferentes valores de la variable (clases o categorías ) y en las siguientes columnas los diversos tipos de frecuencia. Por frecuencia absoluta se entiende el número de individuos que pertenece a una misma clase .













































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donde fi : es la frecuencia absoluta ; N: tamaño de la población y expresada en porcentaje, hi =100‡ fi /N .

la frecuencia relativa,

En el cuadro 4.1 se muestra un ejemplo de este tipo de variable. R a za fi hi (%) Pastor Alemán 38 31,7 Doberman 12 10,0 Labrador 3 2,5 Pekinés 44 36,7 Poodle 23 19,1 TOTAL 120 100,0 Cuadro 4.1. Perros atendidos en una clínica Veterinaria, por raza.

2º A través de gráficos de los los cuales los más conocidos conocidos y utilizados son: Los de barra simple que se usan para representar tanto frecuencias absolutas , como frecuencias relativas. Se dibujan como barras rectangulares de altura proporcional a la frecuencia y todos de igual base. Las barras van separadas porque representan categorías y no valores numéricos en el eje \ . La figura 4.1 es la representación gráfica del cuadro 4.1.













































14

Los de barras agrupadas sirven para representar frecuencias absolutas o relativas, cuando existen subdivisiones dentro de cada categoría, como se ilustra en el cuadro 4.2. Raza Pastor Alemán Doberman Labrador Pekinés

fi 38 12 3 44

hi (%) 31,7 10,0 2,5 36 7

<1 14 1 2 28

1-2 10 7 0 9

3-4 14 4 1 7













































15

Los gráficos de barras compuestas o subdivididas en los cuales cada barra corresponde al 100% de una clase y cada subdivisión es proporcional al porcentaje que representa cada subcategoría. La misma información de la figura 4.3 se presenta en forma de barras subdivididas en la figura 4.4.













































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por medio de segmentos rectilíneos. Tienen la ventaja de permitir la superposición en paralelo de dos o más líneas lo que facilita la comparación de otros fenómenos asociados al mismo período. En la realidad es una representación de una variable continua como el tiempo. Un ejemplo se muestra en la figura 4.5 donde se representa la evolución del Indice Bursátil Agroindustrial en los años 2004, 2005 y 2006.

Los pictogramas son dibujos cuyas figuras se relacionan al fenómeno que se está















































17

Ejemplos 4.1

a) En una evaluación por nivel de daño por pudrición en racimos de uva estos se calificaron como sano (S), leve (L), moderado (M) y grave (G). Esta es una escala ordinal, porque sano es el menor nivel de daño y grave el mayor. En la inspección de 7 racimos se determinaron los siguientes niveles para cada uno: S , S , L , M , G , L , S. Para encontrar la mediana es necesario ordenar los datos en uno de los dos sentidos, sea: S S S L L M G. El valor que ocupa la posición central es L que se ubica en el cuarto lugar, por lo tanto Me = leve . Nótese que a la izquierda hay 3 valores S, menores a L, y a la derecha hay 3 valores, una L igual a la mediana y los otros M y G mayores a la mediana L. En este mismo ejemplo la moda es S. b) Si en la misma situación anterior el número de racimos evaluados fuera un número par, entonces, resultarían dos valores medianos, iguales o distintos. Por ejemplo en 10 racimos los niveles, ya ordenados, resultaron: S S S S S L L L M G. Los dos valores que ocupan las posiciones centrales, 5ª y 6ª ubicación, son S y L respectivamente, por lo tanto una mediana es S y la otra es L. A la izquierda de S hay 4 valores iguales a S y a la derecha de L hay 4 valores,













































18

! ! N

P" :

\3 œ R ‡. , esta propiedad es una consecuencia directa de la definición.

i=1

N

P# :

desvíos, respecto a la media, de un (\3  .Ñ œ ! , que establece que la suma de los desvíos,

i=1

conjunto N de datos es siempre igual a cero . Se llama desvío a la diferencia (\3  .Ñ e indica cuantas unidades está el valor Xi por sobre o por bajo la media del grupo, dependiendo si es positiva o negativa respectivamente. P$ : ]3 œ \3  5 Ê .] œ .\  5 , esta propiedad dice que si a cada uno de los datos de un grupo se le suma una cantidad constante k, entonces, el promedio de los nuevos datos es igual al promedio original aumentado en la cantidad k. P% : ]3 œ 5 ‡\3 Ê . ] œ 5 ‡.\ , es decir, si cada dato de un conjunto es amplificado por una constante k, entonces el nuevo promedio es k veces el promedio original.













































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Medidas de dispersión. Estas tienen por objetivo dar una cuantificación de la heterogeneidad de los datos, es decir, dar una medida de qué tan parecido o disímiles son los datos de una población entre si. El Rango es una manera sencilla de hacerlo midiendo cuán repartidos están los datos y se define por R œ Xmax  X min . Para calcular el rango es necesario, por tanto, identificar los valores extremos de los datos. Su desventaja es que al considerar sólo los valores extremos y no los datos restantes resulta una medida poco eficiente. La Varianza, 5 2 , es otra forma de medir la variabilidad de los datos. Su construcción se realiza sobre la base de los desvíos respecto a la media aritmética y cuya definición es

! N

i

! N

2

X

i

. Se puede demostrar que 52 œ i=1N œ i=1 N  .2 , la que resulta ser una forma más práctica para su cálculo.La varianza es una medida que se complementa muy bien con la 5

2

ÐX .Ñ2













































20

\3 5 8 12 20 22

]3 œ \3  % 9 12 16 24 26

!\ œ '( à !\ œ """( !] œ )( à !] œ "($$ !Z œ #!" à !Z œ "!!&$ 3

3

3

# 3

# 3

# 3

Z3 œ $‡\3 15 24 36 60 66 #

œ %$ß )% )%.

Ê

.\

œ "$ß % à

Ê

.]

œ

Ê

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œ $‡.\ œ %!ß # à

.\ 

5\

% œ "(ß % à #

5Z

#

5]

# œ 5\ œ %$ß )%.

# œ $*%ß &' œ *‡5\ &' .

Observación. Una notación utilizada universalmente consiste en resumir una información cuantitativa en la forma . „ 5













































21

Descripción de Variables cuantitativas discretas para datos agrupados. En este caso las tablas son similares a las de variables cualitativas, pero pueden incluir, además, frecuencias acumuladas: En la primera columna, ahora se indican los diferentes valores Xi que asume la variable en estudio estudio y en las las siguientes columnas columnas la frecuencia fi que representa las veces que se repite el valor Xi , la frecuencia acumulada Fi es la suma parcial expresión porcentual porcentual de de las fi , por ejemplo F$ = f" +f# +f $ , Fi = f "+f #+f $+f %+...+f i , y Hi es la expresión Fi o si se prefiere es la suma parcial de las hi , como lo muestra el ejemplo del cuadro 4.3. n°lesiones/hoja (X i) 0 1 2 3 4

fi h i(% (%) F i H i(% (%) 128 32,0 128 32,0 100 25,0 228 57,0 52 13,0 280 70,0 20 5,0 300 75,0 40 10,0 340 85,0















































22

La Media aritmética se calcula calcula utilizando la frecuencia fi , ya que este número indica las

! l

fi X i

veces que se repite el valor Xi , como lo indica la siguiente siguiente expresión . œ i œ"N . Entre las medidas de dispersión, la Varianza se obtiene igualmente que la media, ponderando ponderando los desvíos desvíos de los datos por la frecuencia frecuencia f . Su expresión expresión es















































23

Producción(kg/árbol) 60 Ÿ X  75 75 Ÿ X < 90 90 Ÿ X  10 105 105 Ÿ X  120 120 Ÿ X 135

Frecuencia 45 60 70 110 90















































24















































25

Se llama intervalo percentil k al intervalo "i" tal que L3  k% y L3" Ÿ k% o en palabras "el valor en el cual se supera por primera vez el k%" acumulado de las observaciones. La fórmula para determinar la percentila k , está dada por: Pk = Li-1 + Li-1 : límite inferior del intervalo percentil k

k‡N 100

 Fi-1 ‡ci fi

,donde















































26

Producción(kg/árbol) 60 Ÿ X  75 75 Ÿ X < 9 0 90 Ÿ X  105 105 Ÿ X  120 120 Ÿ X 135

Xi 67 , 5 82 , 5 97, 5 112 , 5 127 5

fi 45 60 70 110 90

hi (% (%) 9, 0 12 , 0 14, 0 22, 0 18 0

Fi 45 105 175 285 375

Hi (% (%) 9, 0 21 2 1,0 35,0 57,0 75 0











































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































62

Como ejemplos del cálculo de probabilidades utilizando la función de distribución acumulativa J , se utilizarán los mismos casos del ejemplo 2.3. b), de modo que sirvan de comparación. - T Ð  "# Ÿ \ Ÿ "# Ñ œ J Ð "# Ñ  J Ð- "# Ñ œ Ð ("# + *) Ñ  Ð- (1# + )* Ñ œ "Î$' Ð!  )* Ñ œ )Î* )Î* - T Ð\  !Ñ œ JÐ!Ñ œ Ð! - T Ð\   "Ñ œ "  T Ð\ Ÿ  "Ñ œ "  JÐ  "Ñ œ "  Ð -*"  )* Ñ œ #Î* - T Ð  1 Ÿ \ Ÿ $# Ñ œ J Ð $# Ñ  J Ð -"Ñ œ "  Ð -*"  )* Ñ œ 1  (Î* œ #Î* , pues $Î# está en el intervalo B  ", así que J Ð $# Ñ œ ", como se ve en la figura 2.5. 3.3 Valores característicos de variables aleatorias.

Son valores que permiten resumir mediante un número ciertas características de una variable aleatoria. Muchas veces este valor característico coincide con el parámetro de la distribución. Los dos más importantes se refieren al valor valor espera esperado do o espera esperanz nza a mat matemá emátic tica a y el otro a la varianza. Valor esperado de una variable aleatoria. Definiciones.

! B ‡p ÐB Ñ . 2. Se llam llama a valor esperado de una una vari variabl able e alea aleato toria ria conti continu nua a al númer número o I [\ ] = ' B‡f ÐBÑ. B . 3. Para cualquier función L de la variable aleatoria \ , I [L Ð\ Ñ ] œ ! L ÐB Ñ‡:ÐB Ñ si \ es variable aleatoria discreta, o I [L Ð\ Ñ ] œ ' L ÐB Ñ‡f ÐBÑ .B variable aleatoria continua. . B si \ es va 1. Se llam llama a valor esperado de una una vari variabl able e alea aleato toria ria disc discre reta ta al númer número o I [\ ] =

3

3

B3 −VX

_ _

3

3

B3 −VX

_ _

Ejemplos 3.1

e

f

a) Sea Sea \ : punt puntos os obte obteni nido dos s al lanz lanzar ar un dado dado ("le ("lega gal" l")) con con :ÐB3 Ñ = "' a B3 − "ß #ß $ß %ß &ß ' , entonces I [\ ] ="‡ "'  #‡ "'  $‡ "'  4‡ "'  &‡ '"  '‡ "' = "' ‡("+#+ $+ %+ &+ ') œ $ß &

ÚÝÝ b Sea \ variable aleatoria discreta con :ÐB Ñ œ Û ÝÝ Ü )

I [\] =!‡

3

% $&

 "‡

") $&

 #‡

"# $&

 $‡

" $&

œ

* (

% $& ") $& "# $& " $&

si si si si

B3 œ ! B3 œ " B3 œ # B3 œ $

, luego













































63

ÚÝÝ Ý ÛÝ ÝÝ Ü

c) Sea \ À suma de puntos al lanzar dos veces un dado legal, entonces la distribución de \ "Î$' si B3 œ # ß "# #Î$' si B3 œ $ ß "" $Î$' si B3 œ % ß "! es :ÐB3 Ñ œ %Î$' si B3 œ & ß * &Î$' si B3 œ ' ß ) 'Î$' si B3 œ ( La distribución especifica que la probabilidad de obtener una suma de # puntos es "Î$' igual a la probabilidad de obtener "# puntos o que obtener & o * puntos tienen ambas la misma probabilidad de %Î$' . Entonces el número esperado de puntos obtenidos es I [\] œ #‡ $"'  $‡ $#'  ÞÞÞÞ  "!‡ $$'  ""‡ $#'  "#‡ $"' œ #$&'# œ 7 Observación. De los tres ejemplos anteriores, especialmente en el a), es posible deducir que el valor esperado de una distribución es equivalente al "promedio" de los valores que esta variable aleatoria puede tomar, pero no como promedio simple de sus valores, sino como un promedio ponderado por su probabilidad :ÐB3 Ñ . Esto es equivalente a pensar que en una tabla de frecuencia de variable discreta,

! 0 ‡X 3

.

œ

R

3

œ

!

0 3 R ‡X3

œ

! 2 ‡X , 3

3

pues 23 œ 03 ÎR es la

frecuencia relativa y ésta equivale a una probabilidad empírica . En este sentido, en los tres ejemplos, se puede interpretar que si se observa la variable aleatoria un número "infinito" de veces, entonces el promedio de los valores obtenidos es su valor esperado. Ejemplos 3.2

a) Sea \ variable aleatoria continua con f ÐBÑ ÐBÑ œ

si ! Ÿ B Ÿ " œ #B! para otros valores

En la figura 3.1 se aprecia que la gráfica de esta distribución está representada por el segment segmento o que une los puntos puntos (!ß !Ñ y Ð"ß #Ñ y por el eje S\ en el resto resto de los reales reales.. De esta esta manera asigna probabilidades mayores a valores en intervalos cercanos a 1 y probabilidades pequeñas a intervalos cercanos al cero. _ " La interpretación de I [\ ] œ -_ B‡f ÐBÑ . B œ ! B‡#B . B œ #Î$ , es que si se observa un número muy grande de veces el valor de la variable su "promedio" es #Î$ , lo cual es consis consisten tente te porque porque sus sus valore valores s son más más cercano cercanos s al 1 que al cero, cero, dentr dentro o del interv intervalo alo [!ß " ].

'

'













































64

b) Sea la funció función n de distribu distribución ción de \ # B Î$ si  # Ÿ B Ÿ " f ÐBÑ ÐBÑ œ ! para para otr otros os val valor ores es , ento entonc nces es

'

1

#

œ . B œ ' 1

3

B I [\] œ -2 B‡ B$ -2 $ . B œ  &Î% , o sea, su valor "promedio" es - &Î%, valor consistente, porque de acuerdo al ejemplo 2.3 b) esta variable aleatoria toma valores negativos con una probabilidad de )Î*Þ

Propiedades del valor esperado. Las propiedades que se exponen a continuación son equivalentes a las establecidas para la media poblacional en la unidad de descriptiva. 1º I [5 ] œ 5 . El valor esperado de una constante es igual a la constante. La propiedad es trivial, pues corresponde a la misma propiedad del promedio. 2º I [ -\ multipli ca a la - \ ] œ - ‡ I [ \ ] . La propiedad establece que la constante que multiplica variable aleatoria multiplica al valor esperado.

$º I [- \ „ 5 ] œ - ‡I [ \ ] „ 5 . Esta corresponde a la propiedad de linealidad del valor esperado e incluye a las dos primeras como casos especiales. Demostración. Por facilidad en la demostración demostrac ión se considerará a \ como variable aleatoria continua, pero como la integral y la sumatoria tienen las mismas propiedades a utilizar en la demostración, también es válida para las variables aleatorias discretas.













































65

I [-\ „ 5] œ

'

_ ÐBÑ .B .B _ - B‡0 ÐB

'

œ -‡

_ ÐBÑ . B _ B‡0 ÐB

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_ ÐBÑ .B .B _ 5 ‡0 ÐB

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„ 5‡

_ ÐBÑ . B _ 0 ÐB

œ - ‡I [x] „ 5 , pues la primera integral es el valor esperado de \ y la segunda es igual a uno por definición. 4º Sea Sean n \ e ] vari variab able les s alea aleato tori rias as cual cuales esqui quiera era,, ento entonc nces es I [\ „ ] ] œ I [\ ] „ I [] ] ‡] ] Á I [\ ] ‡I ‡I [] ] , salvo &º Sean \ e ] variables aleatorias cualesquiera, entonces I [\ ‡] que \ e ] sean variables aleatorias independientes.

Estas dos últimas últimas propiedades se demuestran en la sección 4.3, ejemplo 4.2 y en la consecuencia 3 de variables aleatorias independientes. Ejemplos 3.3

Como ejemplos se mostrarán algunas aplicaciones del valor esperado. a) Una compañía aseguradora desea ofrecer un seguro agrícola anual para la producción de cerezas por un monto de 2500 UF. La compañía compañía estima estima que puede tener que pagar el monto total con probabilidad 0,02 , el 50% del total con probabilidad 0,06 y un 25% del monto con probabilidad 0,1. ¿ Cuánto debe ser la prima anual que la compañía debe cobrar si desea tener una utilidad promedio de 50 UF anual por cada uno de estos seguros?

ÚÝ ÛÝ Ü

Sea X: la pérdida anual por cada siniestro de la compañía, cuya distribución de probalidad es !ß !# !# si B3 œ #&!! !ß !' !' si B3 œ "#&! ÐB3 Ñ œ p ÐB !ß "! "! si B3 œ '#& !ß )# si B3 œ ! Por lo tanto I [\ ] = #&!!‡!ß !#+ "# "#&!‡!ß !'+ '# '#&‡!ß " = ")(ß & UF , es el monto promedio anual que debería pagar la compañía por cada seguro. Si desea tener una ganancia de 50 UF, entonces debería cobrar 237,5 UF, que corresponde a la pérdida más la utilidad esperada.

ÚÝ ÛÝ Ü

b) La función :ÐB3 Ñ representa la distribución de probabilidad de calidad de un productor de "Î' si B3 œ ", es decir primera si B3 œ #, es dec decir segu segund nda a . "Î# repollos :ÐB3 Ñ œ si B3 œ $, es decir tercera "Î% desecho o "Î"# si B3 œ % , si es desech Si la ganancia por unidad está dada según la función g(x) = 18x# -144x+281, calcular la la ganancia promedio del productor por cada unidad. Forma 1.













































66

3º Sustituyendo Sustituyendo estos valores donde corresponde se obtiene una ganancia promedio por unidad de $ 60,5. Forma 2. 1º Se obtiene la distribución distribución de probabilidad de la ganancia. Los valores de gi se obtienen sustituyendo los valores valores 1, 2, 3 y 4 de B3 , respectivamente, respectivamente, en la función ganancia, obteniéndose: "Î' si 13 œ "&& "Î# si 13 œ '& p (13 Ñ œ "Î% si 13 œ "" "Î"# si 13 œ  ( 2º Se calcula I [K] œ "&& ‡ "'  '& ‡ "#  "" ‡ "%  Ð-(Ñ ‡ ""# œ $ 60,5 , coincidente con el resultado anterior.

ÚÝ ÛÝ Ü

c) La variable aleatoria \ representa el peso (en kg) de pollos broiler de un productor, cuya distribución está dada por: $ Ð3B  B# Ñ si " Ÿ B Ÿ $ . f ÐBÑ œ 10 en otro caso ! Si el productor tiene una ganancia de 0,01 UF por cada pollo que pese entre 1 y 1,5 kg , de 0,02 UF UF por cada pollo que pese entre 1,5 kg y 2,5 kg y de 0,015 UF cuando pesa más de 2,5 kg. ¿ Cuál será su ganancia total al vender su producción de 5000 pollos ?

œ

De la función de distribución del peso de los pollos se establece que y que T Ð# T Ð" Ð" Ÿ \ Ÿ "ß &Ñ & Ñ œ "$Î%! , que T Ð" Ð"ß & Ÿ \ Ÿ #ß &Ñ & Ñ œ #$Î%! Ð#ß & Ÿ \ Ÿ $Ñ œ %Î%!, luego la distribución de probabilidad de la ganancia queda establecida por "$Î%! si 13 œ !ß !" ! "! !#! , en consecuencia la ganancia promedio por pollo es p Ð13 Ñ œ #$Î%! si 13 œ !ß !# %Î%! si 13 œ !ß !" ! "& I [K] œ !ß !" !"!‡ 4"$! + !ß !# !#!‡ 4#$! +!ß !" !"&‡ 44! œ 0,01625 UF, po lo tanto, la ganancia total se obtiene multiplicando la ganancia promedio por unidad por el total de pollos vendidos, resultando una ganancia de 81,25 UF. Observe que la distribución de la variable ganancia es discreta.

Ú ÛÜ

Varianza de una variable aleatoria. Definición.

Se llama varianza de una variable aleatoria a I [\  I [ X]]# . Observación. La definición establece que la varianza es un promedio de desvíos al cuadrado . Por la















































67

Proposición. Z [\ ] œ I [\ # ]  (I [\ ] )#

Demostración. Sea I [ \ ] œ ., entonces Z [\] œ I [\  .]# , por cuadrado de binomio

œ I [\ #  # .\  .# ], usando propiedades œ I [ \# ]  # .‡I [ \]  .# œ I [\# ]  # . .  .# œ I[\ #]  .# œ I [\# ]  (I [\]) ] )# Ejemplos 3.3

e

f

a) Del ejemplo 3.1 a) se tiene que que :ÐB3 Ñ = "' a B3 − "ß #ß $ß %ß &ß ' y que que I [\ ] œ $ß & , " " entonces Z [\ ] œ I [\ # ]  ÐI [ \])# Ê I[ \ #] œ "# ‡ '  ##‡ '  ÞÞÞÞ  &#‡ "'  '#‡ "' œ *"Î', ( # luego Z [\ ] œ *" '  Ð # Ñ œ $&Î"#.

ÚÝÝ b) Del Del ejem ejempl plo o 3.1 3.1 b), :ÐB Ñ œ Û ÝÝ Ü 3

I [\ # ] œ !# ‡ $%&  "# ‡ $"&)  ## ‡ $"&#

c) Del ejemplo 3.2 a), f ÐBÑ œ

I [\ # ] œ

' B ‡#B .B.B œ " # !

" #

' B ‡ " -2

#

B# $

si B3 œ ! si B3 œ " y I [\ ] = *( . Como Como si B3 œ # si B3 œ $ " #  $ ‡ $& œ "&Î( Ê Z [ \] œ "(&  Ð (* Ñ# œ #%Î%*.

!ŸBŸ" œ #B! ensi otro caso

Ê Z [\ ] œ

" #

y I [\] œ #Î$ , luego

 Ð #$ Ñ# œ "Î").

œ

B# Î$ si  # Ÿ B Ÿ " y I [\ ] œ  ! para otros valores & # . B œ ""Î& Ê Z [\ ] œ "" &  Ð  4 Ñ œ &"Î)!.

ÐBÑ œ d) Del ejemplo ejemplo 3.2 b), b), f ÐBÑ I [\ # ] œ

% $& ") $& "# $& " $&

É

&" &"

& %

de donde













































68

Demostración. Z [-\ „ 5] œ I Ð-\ „5Ñ#  ÐI Ð-\„5ÑÑ Ð-\„5ÑÑ# œ IÐ-# \ # „ #-5\  5# Ñ  Ð-IÐ\Ñ Ð-IÐ\Ñ „ 5Ñ# œ - # I Ð\ # Ñ „ #-5 #-5 IÐ\Ñ IÐ\Ñ  5#  Ð-#ÐIÐ\Ñ ÐIÐ\ÑÑÑ# „ #- 5 I Ð\Ñ  5 # Ñ pues 5 # y los dobles productos se anulan œ - # I Ð\# Ñ  - # ÐI Ð\ ÑÑ# , œ - # ÐIÐ\#Ñ  ÐIÐ\ÑÑ ÐIÐ\ÑÑ# Ñ œ - # ‡Z Ð\Ñ Ð\Ñ Esta demostración sirve para validar las dos propiedades anteriores que resultan como casos particulares de ésta. 4° Sean \ e ] variables aleatorias independientes , entonces Z [\ „ ] ] œ Z [\ ]  Z [] ] . Esta es una propiedad importante en estadística, porque establece que al tener dos variables aleatorias independientes la varianza de su suma o diferencia es siempre igual a la suma de sus varianzas, cuya demostración es el ejemplo 4.3. c) de la sección 3.4. 3.4 Nociones sobre distribuciones de variables aleatorias bidimensionales.

En muchas situaciones interesa considerar simultáneamente dos o más características en un mismo individuo, como por ejemplo, su altura y su peso ; su edad, años de educación y su ingreso mensual. Para tal efecto es necesario desarrollar algunos conceptos. Definiciones.

1. El par Ð\ ß ] Ñ recibe el nombre de variable aleatoria bidimensional o vector aleatorio si y solo si \ e ] son variables aleatorias unidimensionales. p p Notación: X œ Ð\ ß ] Ñ ; X : W Ä d# ; R p es su recorrido. X p 2. El vector aleatorio X es discreto si su recorrido es un conjunto finito o infinito numerable.

p 3. En X vector aleatorio discreto, una función función p(B3 , C4 ) que le asigne asigne probabi probabilid lidade ades s a los elementos elementos (B3 , C4 Ñ de VpX , denominada denominada función función de probabilidad probabilidad puntual conjunta conjunta ó de cuantía cuantía conjunta, debe satisfacer las siguientes condiciones: p 1º :(B3 ß C4 )  0 , a ÐB3 ß C4 Ñ − V\ 2º

!!

: (B ß C ) œ "













































69

8. Se llama covarianza de \ e ] a G 9@Ð\ ß ] Ñ œ I [\ ‡] ]  I [ \] ‡I [ ] ] . G9@Ð\ß ] Ñ  ! La covarianza es una medida del grado de asociación entre dos variables. Si Si G9@Ð\ß la asociación entre las variables es directa, en cambio si G9@Ð\ß G9@Ð\ß ] Ñ  ! la asociación es inversa. El inconveniente de la covarianza es que su unidad de medida depende de las de las variables y que puede tomar cualquier valor real lo que dificulta una interpretación más fina. Similar a lo que ocurre en estadística descriptiva, donde el coeficiente de variación facilita la interpretación de la variabilidad, en este caso se establece el coeficiente de correlación entre dos variables aleatorias. 9. Se llam llama a coefi coefici cien ente te de corr correl elac ació ión n entre entre X e Y al núme número ro adim adimen ensi sion onal al rho rho (3 ) que se calcula como la covarianza entre las variables, dividida por la raíz del producto de sus varianzas, así: 3 œ G9@Ð\ß] ÑÎ Z [\ ]‡Z [] ] , -1 Ÿ 3 Ÿ 1, es decir, es un valor acotado.

È

10. Si ^ es una función L de dos variables aleatorias, ^ œ L Ð\ ß ] Ñ , entonces, según la distribución sea discreta o continua

I [^ ] œ

! ! L ÐB ß C Ñ‡ :(B ß C ) 3

4

3

4

ó

I [ ^] œ

p ÐB3 ßC4 Ñ − V\

' '

_ _ _ _

L ÐB ß CÑ‡f ÐB ß C Ñ . E

Ejemplos 4.1

a) La siguiente tabla de doble entrada define una función de probabilidad conjunta :(B3 ß C4 ) para un vector aleatorio discreto B3 ÏC4 " $ & Total

! !ß !& !& !ß "! "! !ß "& "& !ß $! $!

# !ß !$ !$ !ß "# "# !ß #& #& !ß %! %!

4

!ß !( !( !ß !& !& !ß !) !) !ß #! #!

' !ß !& !& !ß !$ !$ !ß !# !# !ß "! "!

Total !ß #! #! !ß $! $! !ß &! &! "ß !! !!

Ð\ = $ ß ] = !Ñ œ :(B# ß C" Ñ œ !ß "! "! Según la tabla T Ð\

T Ð\ Ð\ = 1 ] = 4 Ñ œ :( B1 ß C3 Ñ œ !ß !( !(













































70

' ' ' ' ' ' _

_

Sea ^ œ #\  ] , entonces I [^ ] œ _ _ Ð#B  CÑ ‡f ÐB ß C Ñ . E " # BC œ ! ! Ð#B  CÑ‡ÐB#  $ Ñ . C . B " # œ ! ! Ð#B$  &$ B# C  "$ BC #Ñ . C . B œ #$Î*. Significa que el valor esperado de dos veces la variable aleatoria X más la variable aleatoria Y es 23 / 9. Distribuciones marginales. En la tabla tabla que defin define e la la dist distrib ribuc ució ión n conj conjun unta ta : (B3 ß C4 ) los los total totales es por por fila fila,, se llam llama a distribución marginal de \ . Los totales de columnas, se llama distribución marginal de ] Þ Las distribuciones marginales corresponden a distribuciones unidimensionales de las variables aleatorias aleatorias \ e ] por separado, separado, las que se deducen deducen de la distribució distribución n conjunta. conjunta. Así del ejemplo 4.1 a), la última columna y la última fila respectivamente son las distribuciones marginales

Ú !ß #! si :ÐB Ñ œ Û !ß $! si Ü !ß &! si

ÚÝ !ß $! !ß %! : (C Ñ œ Û ÝÜ !!ßß #"!!

si C4 œ ! si C4 œ # 3 4 si C4 œ % si C4 œ ' Las distribuciones marginales se pueden utilizar como cualquier distribución unidimensional, lo que se ilustra en los siguientes ejemplos.

B3 œ " B3 œ $ B3 œ &

T Ð\ Ð\ œ $Ñ œ !ß $! $! à T Ð] Ð]  !Ñ œ T Ð ] = #Ñ  T Ð] Ð ] = 4Ñ  T Ð] Ð ] = 'Ñ œ !ß ( ! I [\ ] œ "‡!ß #!  $‡!ß $! $!  &‡!ß &! œ $ß ' y análogamente I [] ] œ #ß #Þ #Þ # # # # y V [] ] œ $ß &' Z [\ ] œ Ð" ‡!ß #! #!  $ ‡!ß $! $!  & ‡!ß &! &!Ñ  Ð$ß 'Ñ 'Ñ œ #ß %% %% &' Considerando que (del ejercicio 4.1 a)) se obtiene que I [\ ‡‡] ] ] œ (ß # G9@Ð\ß G9@Ð\ß ] Ñ œ (ß#  $ß'‡# $ß'‡#ßß # œ  !ß(# , con un coeficiente de correlación 3 œ  !ß (#Î #ß %%‡$ß &' œ  !ß #%%.

È

La función g ÐBÑß obtenida obtenida integrando integrando f ÐB ß C Ñ respecto respecto a C en todo su recorrido recorridoß se llama _ función de ditstribución marginal de \ , luego g ÐBÑ œ _f Ð B ß C Ñ . CÞ La función h ÐCÑß obtenida integrando integrando f ÐB ß C Ñ respecto a B en todo su recorridoß _ se llama función de ditstribución ditstri bución marginal de ] , luego h ÐC Ñ œ _f ÐB ß C Ñ . BÞ

'

'

Para la función de densidad conjunta del ejemplo 4.1 b), las funciones marginales













































71

Ejemplo 4.2

\„] ] œ I [ \] „ I [] ] Se demostrará la propiedad que I [\„ Sea ^ œ \„]

' ' ÐB„CÑ‡ .B ' ' B‡f ÐCÑB‡ßf CÐBßÑ .CCÑ.C . B „ ' ' C ‡f ÐB ß C Ñ . C . B œ ' B .B .B‡Ð' f ÐB ß CÑ .C .C Ñ „ ' C .C .C‡Ð' f ÐB ß CÑ . BÑ œ ' B . B‡g ÐBÑ „ ' C .C . C ‡h ÐCÑ

Ê I [ \ „] ] œ œ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _

_ _

œ I [\] „ I [ ] ]

_ _

_ _

_ _

Variables aleatorias independientes. Un caso importante en estadística es aquel en que dos variables aleatorias son independientes, lo cual se establece en la siguiente Definición.

Se dice que dos variables aleatorias son independientes si y solo si su distribución conjunta es igual al producto de sus distribuciones marginales y sus rangos no dependen una de la otra. Consecuencias. 1. Si Ð\ ß ] Ñ es un vect vector or alea aleato tori rio o disc discre reto to,, \ e ] inde indepe pend ndie ient ntes es Í :ÐB3 ß C4 Ñ œ :ÐB3 Ñ‡:ÐC4 Ñ vector or alea aleato tori rio o cont contin inuo uo,, \ e ] indep indepen endi dien ente tes s Í fÐB ß C Ñ œ gÐB Ñ‡h ÐC Ñ #Þ Si Ð\ ß ] Ñ es un vect 3. \ e ] independientes Ê I [\ ‡] ] œ I [\ ] ‡I [] ] Ê G 9@Ð\ ß ] Ñ œ !. Demostración.

' ' ' ' ' ' _

_

, por definición I [\‡] ] œ _ _ BC‡f ÐBß CÑ.E _ _ œ _ _ BC ‡g ÐB)‡h ( C Ñ . C . B , por ser \ e ] independientes _ _ œ _ B‡g ÐBÑ . B‡Ð _ C ‡h ( C Ñ . C Ñ _ _ œ Ð _ C ‡h ( C Ñ .C .CÑ‡Ð _ B‡g ÐBÑ.BÑ œ I [] ]‡ I [\] P l t t G9@Ð\ß G9@Ð\ß ] Ñ œ I [\‡ \‡] ] ] I [] ] I [\] !

' '















































72

b) Sea

ÐBß CÑ œ f ÐBß

œ

1 # 18 BC

si 0 Ÿ B Ÿ # ß 0 Ÿ C Ÿ $ : Þ9 Þ@

!

, la distribución conjunta de dos

variables \ e ] Þ Sus funciones de distribución marginales son g ÐBÑ œ '

$ 1 # ! 18 BC

hÐCÑ œ '

# 1 # ! 18 BC

.C œ

.B œ

" #B

" # *C

si ! Ÿ B Ÿ # ß luego g ÐBÑ œ

" #B

!ŸBŸ# œ ! parasi otros valores

si ! Ÿ C Ÿ $ , luego h ÐC Ñ œ

" # *C

!ŸCŸ$ œ ! parasi otros valores

Los valores esperados de \ e ] son respectivamente

I [\] œ

' B‡Ð BÑ .B.B œ %Î$ # !

" #

;

Si ^ œ \ ‡] , entonces I [\ ‡] ] œ œ

I [] ] œ

' C‡Ð C Ñ .C.C œ *Î% $ !

" # *

' ' BC‡Ð BC Ñ .C .B.B ' B .B œ $ # $ ! ! # * # ! )

" ")

#

Se puede establecer que \ e ] son variables aleatorias independientes, pues fÐB ß C Ñ œ

1 # 18 BC

œ Ð "# BÑ‡Ð "* C # Ñ œ gÐB Ñ‡ Ñ‡h Ð CÑ CÑ y G 9@ 9@Ð\ ß ] Ñ œ $  %$ ‡ *% œ !Þ

c) Se demostrará que si \ e

] son variables aleatorias independientes, entonces













































73

b) Con la distribución conjunta de variables aleatorias discretas del ejemplo 4.3 a) se obtiene que: I [ \] œ "ß * I [ ] ] œ %ß ( Z [\ ] œ Ð"# ‡! ‡!ß $+## ‡! ‡!ß &+ $# ‡! ‡!ß #Ñ  Ð"ß *Ñ # œ !ß %* Z [] ] œ Ð%# ‡! ‡!ß $+&# ‡! ‡!ß (Ñ  Ð%ß (Ñ# œ !ß #". A partir de los cuales, utilizando propiedades, se calcula:. I [#  $\  ] ] œ #  $‡I [ \]  I [ ] ] œ "ß ! Z [\  ] ] œ Z [\ ]  Z [] ] œ !ß %* %*  !ß #" #" œ !ß (! (! , porque \ e ] son variables aleatorias independientes. Z [\  ] ] œ Z [\]  Z [] ] œ !ß (! (! , por la misma razón anterior. También: Z [  \  $]  #] œ Z [ÐÐ- \Ñ  $] Ñ  #] œ Z [ Ð - \Ñ  $] ] œ Z [ Ð - \)]  Z [ $] ] œ Ð -"Ñ# ‡Z ‡Z [\ ]  Ð$Ñ# ‡Z ‡Z [] ] œ !ß%*  *‡!ß ‡!ß #" œ #ß$)













































74

.













































75

4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD NOTABLES 4.1 Introducción. El diagrama de la figura 1.1 establece las dos formas de describir el comportamiento de una población, empirica o teoricamente, la primera de las cuales requiere realizar una observación exhaustiva de la población, es decir, un censo.













































76

discretas, la distribución de Poisson y la distribución Binomial negativa, todas con aplicaciones en el ámbito agronómico.

4.2 Distribución Normal. Es la distribución que aparece con mayor frecuencia en el comportamiento de fenómenos reales, en especial en el área de las ciencias naturales. Johann Carl Friedrich Gauss genio matemático , físico y astrónomo, de nacionalidad alemana, fue el que mayormente contribuyó a su formulación y aplicación en diferentes áreas del saber como por ejemplo en su aplicación a la teoría de los errores, de importancia en ingeniería. Es una distribución de variable aleatoria continua cuya función matemática, función función de B. # " densidad de probabilidad, es 0 ÐBÑ œ " # / # Ð 5 Ñ à - _ Ÿ B Ÿ _ , cuya gráfica corresponde a

È #

15

una curva en forma de campana denominada Campana de Gauss , que como se puede apreciar depende de los parámetros . y 52, que corresponden correspo nden a su valor esperado y varianza respectivamente. varianza respectivamente. Notación: \ œ R (. , 52 ) Características Características de la distribución normal. 1°la 1°la curva tiene forma acampanada, acampanada, asintótica al e je \ hacia - _ y +_. E Ell áre área a tot total al ence encerra rrada da por ésta y \ es igual a 1, como corresponde a toda función de distribución distribuci ón de probabilidad. 2º la curva tiene un máximo en . y es simétrica simétric a respecto a la recta x = .. Luego, en esta















































77

como la distribución es simétrica, la mitad, o sea, el 2,28% produce más de 24 litros, lo que impl implic ica a que que 68 son son las las vaca vacas s que que esta estarí rían an en esa esa cond condic ició ión. n.













































78

- T Ð^ Ÿ "ß "ß #Ñ œ 9Ð"ß Ð"ß #Ñ œ !ß )) ))%* %* - T Ð^  - !ß '&Ñ œ 9Ð- !ß '&Ñ œ !ß #&()

Ð!ß & Ÿ ^ Ÿ !ß )# )#Ñ œ 9Ð!ß Ð!ß )# )#ÑÑ  9Ð!ß Ð!ß &Ñ œ !ß (* (*$*  !ß '* '*"& œ !ß "! "!#% -T Ð! )#Ñ œ 9Ð!ß Ð!ß )#Ñ  9Ð- !ß&Ñ œ !ß (* (*$*  !ß $! $!)& œ !ß %) %)&% - T Ð-!ß & Ÿ ^ Ÿ !ß )# (Ñ œ 9Ð- !ß(Ñ  9Ð- "ß#Ñ œ !ß #% #%#!  !ß "" ""&" œ !ß "# "#'* - T Ð-"ß # Ÿ ^ Ÿ -!ß (Ñ "ß %& %&ÑÑ œ "  9Ð"ß Ð"ß %& %&ÑÑ œ "  !ß *# *#'& '& œ !ß !($& - T Ð^  "ß %&Ñ œ "  T Ð^ Ÿ "ß - T Ð^  - !ß '&Ñ œ "  T Ð^  - !ß '&Ñ œ "  !ß #&() œ !ß (%##













































79

Por definición T Ð+ Ÿ \ Ÿ ,Ñ œ sustitución D œ

B. 5

' È , +

B. " I \ T Ð  Ð 5 Ñ# Î#Ñ #15 #

. B , al realizar en la integral la

se deduce que . B œ 5 . D y que los límites de integración de la integral

transformada transfor mada son respectivamente respectivam ente D" œ

' È ' È ' È

T Ð+ Ÿ \ Ÿ ,Ñ œ œ

+.

œ

, + D# D" 5 D# D"

5

y D# œ

, . 5

. Entonces

B. " I \T Ð  Ð 5 Ñ# Î#Ñ # #15 " I \T Ð  D # Î#Ñ 5 .D .D #1 " I \T Ð  D # Î#Ñ .D .D #1

.B

œ T ÐD" Ÿ ^ Ÿ D#Ñ + . , . œ T Ð 5 Ÿ ^ Ÿ 5 Ñ. œ 9Ð

, . 5

Ñ  9Ð +5 . Ñ.

Ejemplos 2.3 a) Para ilustrar el uso del teorema en el cálculo de probabilidades, considérese la variable













































80

Valores percentiles de la distribución normal típica. Los valores percentiles de distribuciones de probabilidad son de gran importancia en estadística. En el caso de la distribución normal el valor percentil consiste en obtener el valor de a tal que T Ð^ Ÿ a Ñ œ !, !  !  " . Conceptualmente Conceptualmente esta situación es la inversa de la Ð^ Ÿ aÑ œ 9Ða Ñ, desarrollada en la sección anterior. Es decir, si la distribución distribuc ión tabulada es T Ð^ " entonces T Ð^ Ÿ aÑ œ ! implica 9ÐaÑ œ !, luego a œ 9 Ð!Ñ es la inversa de la función de distribución acumulativa normal. Notación. Se utilizará la notación percentil D! œ 9" Ð!Ñ Los valores percentiles D! se obtienen de la misma tabla, función acumulativa de la normal estándar, usándola en forma inversa.

Ejemplos 2.4













































81

Valores percentiles notables de la distribución normal típica. Ciertos valores percentiles de la distribución normal típica tienen uso frecuente en inferencia y por esta razón se denominarán valores notables, los cuales se resumen en la siguiente tabla. ! !ß "! "! !ß !& !& !ß !# !#& !ß !" !"

D! - "ß #) #) - "ß '4& - "ß *' *' - #ß $$ $$

D"-! "ß #) #) "ß '4& "ß *' *' #ß $$ $$

Cuadro 2.1. Valores percentiles notables de la distribución Z

También se pueden calcular valores percentiles de distribuciones normales cualesquiera y para ello se debe realizar el proceso de tipificación tal como en el cálculo de probabilidades.















































82

distribución distribuci ón uniforme uniform e de parámetros parámetr os a y b si su función de distribución distribuci ón de " si a Ÿ B Ÿ b es de la forma f ÐBÑ œ ba . ! para otros valores

œ

Notación: \ œ Unif (a , b)

probabilidad















































83

espera de menos de 8 minutos es de 16/30, pues su llegada debe ser entre 7:37 y 7:45 o 7:52 y 8:00, que corresponde a dos intervalos de longitud 8.

4.4 Distribución Exponencial















































84















































85

enfermas entre las n seleccionadas seleccionadas tiene distribución binomial. Es condición en estos casos que la selección sea una tras otra y con sustitución , sustitución , al ser finitas las poblaciones definidas, pero si el número de individuos, semillas o plantas, es muy grande la sustitución es irrelevante. Considérese el caso de un vivero en el cual T Ðenferma) œ p, T Ðsana Ñ œ "  p œ q y del















































86

Por ejemplo el valor \ = 4, donde \ es el número de plantas enfermas al examinar 10 plantas al azar, puede ocurrir de varias maneras, como por ejemplo, Ð I ß I ß I ß I ß W ß W ß W ß W ß W ß W Ñ = Ð"ß "ß "ß "ß !ß ! ß !ß !ß !ß !Ñ ó ÐI ß W ß W ß I ß W ß W ß W ß I ß I ß W Ñ = Ð"ß ! ß !!ßß " ß !!ßß ! ß !!ßß " ß ""ßß ! Ñ, que corresponden a una sucesión de 10 variables Bernoulli, cuya suma es el valor de \ igual a 4.











































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































122

Ejemplo 3.5. Se desea probar, al nivel del 5%, si una nueva variedad de trigo tiene mayor rendimiento que la variedad tradicional, actualmente en uso, cuyo rendimiento promedio se sabe es de 72 qq/ha con una desviación típica de 12 qq/ha. Con esta descripción se debe plantear la prueba a realizar, es decir, establecer los pasos 1 a 4 del esquema propuesto. 1) H! À . œ 72 versus H ": .  72 2) Se fijará un nivel de significación del 5% ( ! = 0,05 ) 3) El El es estadígrafo de prueba, bajo la hipótesis H !, es es Z œ

q X.! 5 # Î8

È

œ R Ð!ß "Ñ, suponiendo

que los rendimientos se distribuyen normales, lo que habitualmente es verdadero, y por ser conocida la varianza poblacional. 4) La región crítica es unilateral derecha porque la hipótesis alternativa lo es, luego RC = { z c / z c  z 0,95 œ "ß '%&} 5) Con el objetivo de realizar la prueba planteada, se siembran 10 parcelas experimentales de 10x10 m con con semilla de de la nueva nueva variedad, variedad, obteniéndo obteniéndose se una producción para cada una de 89,4 ; 92,8 ; 82,6 ; 96,2 ; 106,4 ; 86,0 ; 69,0 ; 77,5 ; 96,2 ; 80,9 qq/ha. q )(ß((# œ 4,14 y como este valor A partir de los datos se calcula que X = 87,7 y z - = "%%Î"!

È

pertenece a la RC , pues 4,14 > 1,645, entonces la decisión es rechazar H !Þ 6) Basado en la evidencia proporcionada por la muestra aleatoria es posible concluir que la nueva variedad tiene un rendimiento superior a la tradicional, al nivel del 5%. Observación. En la conclusión es importante dejar constancia del nivel de significación de la prueba, porque es posible que la decisión de rechazar la hipótesis nula sea incorrecta, es decir, se puede estar cometiendo el error tipo I, cuyo valor máximo es el valor de !. Sin embargo en el ejemplo 3.5 , el verdadero valor del error tipo I, de haberse cometido, es mucho menor al 5%, debido a que z c = 4,14 es bastante mayor que el valor crítico 1,645, valor límite de la región de rechazo, lo que indica que el z c está muy al interior de la región crítica, lo que otorga mayor seguridad en no estar cometiendo un error en la decisión tomada.

Caso 2. Varianza poblacional 5 # desconocida. Las hipótesis son las mismas del caso 1, en consecuencia sigue el paso siguiente: 3°En esta situación el estadígrafo de prueba, bajo la hipótesis H !, es t œ q por lo cual de la muestra se debe debe obtener obtener tanto el valor valor de X como de S #.

4° Las region regiones es críticas críticas

n t

q X.! S# Î8

È

œ >Ð8  "Ñ,

q sulta de lo s cálculos cálculos al sustitui sustituirr X y S # en el













































123

Note que en ambos casos la región crítica bilateral es el complemento del intervalo de confianza, pues corresponde a la parte externa de éste.

Ejemplo 3.6. Un productor de pollos Broiler afirma que los pollos que produce cumplen con una norma sanitaria que establece que la cantidad de hormonas que estos contengan no debe superar los 19 nanogramos. Un inspector sanitario decide probar tal afirmación sobre la base de 10 pollos. El siguiente es el planteamiento de la prueba a realizar por el inspector, puesto que éste debe probar, probar, hipótesis H ", que el productor productor no cumple cumple la norma. 1) H! À . œ 19 versus H ": .  19 2) El inspector decide fijar un nivel de significación del 5% ( ! = 0,05 0,05 ) 3) El estadígrafo de prueba, bajo la hipótesis H !, es t œ poblacional es desconocida y asumiendo que normales.

q X.! S# Î"!

È

œ >Ð*Ñ, pues la varianza

los contenidos de hormonas se distribuyen

4) La región crítica es unilateral izquierda como la hipótesis hi pótesis alternativa alternati va , por lo l o tanto tant o RC = { = { t c / t c  >0,95 Ð*Ñ œ "ß )$ ) $$" } Þ 5) Para verificar la afirmación del productor el inspector sanitario toma una muestra aleatoria de 10 pollos pollos del productor, productor, obteniendo obteniendo los siguientes siguientes contenidos de de hormona ß en nanogramos, nanogramos, en cada pollo: 18 ; 22 ; 2 21 1 ; 19 , 18 ; 17 ; 1 19 9 ; 20 ; 22 ; 2 20. 0. De estos valores se se obtiene obtiene que q 19,619 # X = 19,6, 19,6, S = 2,94 y t - = #ß*4Î"! = 1,10 , que al no pertene pertenecer cer a la RC implica implica la decisión decisión de

È

aceptar aceptar H!, o sea, no rechaz rechazarla arla.. 6) La conclusión que obtiene el inspector es que la evidencia muestral no permite establecer que el productor no cumpla la norma. Observaciones. Con la decisión tomada por el inspector, el error susceptible de haberse cometido es el error tipo II, cuyo nivel no está explícito, pero está directamente vinculado al tamaño de la muestra y como la muestra es relativamente pequeña puede corresponder a una alta probabilidad. El valor de " puede calcularse a posteriori y en él se podría buscar una explicación de por qué la prueba no fue capaz de rechazar rechazar H !. En este caso es irrelevante informar del valor !.

Prueba de hipótesis para las medias de dos poblaciones normales. Sean las poblaciones X" œ R Ð." ß 5"# Ñ, de #

la cual se toma una m.a.s. tamaño n "

y













































124

Ú ÛÜ

Es fácil deducir que las hipótesis anteriores se pueden replantear así: .2  .1 Á ! H! À .2  .1 œ ! versus H" : .2  .1  ! , con tres casos a considerar Þ .2  .1  !

Caso 1. Varianza poblacionales 5"# y 5 ## conocidas. Este es un caso poco usual, pero se tratará porque servirá de apoyo en la explicación de los casos 2 y 3. Las hipótesis nula y alternativa son comunes a los tres casos. 3° A partir de muestras aleatorias independientes de X " œ R Ð.", 5"#) y X2 œ R Ð.2, 52#) q q de tama tamañ ño 8" y 8# res respec pectiv tivame men nte, te, el estima timad dor de ( .# - .") es ÐX #  X ") cuy cuya 5"# Î8"

distribución es N Ð.# - ." ,



5## Î8#Ñ

Zœ

y

q q ÐX# X" )Ð.# ." Ñ

É

5"# Î8"  5## Î8#

œ R Ð!ß "Ñ, según lo

establecido en la construcción del Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales. En consecuencia c om omo bajo H ! À .#  ." œ !, el estadígrafo d e p prrueba e s: s: Zœ

É

q q X# X"

5"# Î8"  5## Î8#

œ R Ð!ß "Ñ .

4°Las regiones críticas asociadas son las mismas d el Caso 1, para la media de una población normal con varianza conocida, esto es RC = { z c / z c   z"!Î# o z c  z"! Î # } región crítica bilateral RC = { z c / z c  z "! } región crítica unilateral derecha RC = { z c / z c   z "! } región crítica unilateral izquierda

Caso 2. Varianzas poblacionales 5"# y 5 ## desconocidas e iguales. 3°Este es el caso más usual, en donde 5 #, es la vari anza común a ambas poblaciones, correspondiente correspondient e al supuesto de ho homo moge gene neid idad ad de vari varian anza zas s u ho homo moce ceda dast stic icid idad ad y el estadígrafo a utilizar es t œ

q q ÐX# X") Ð.# ." Ñ

É S Ð"/8 "Î8 ) œ >( 8 + 8 - #), tal como se utilizó anteriormente para # p

"

"

#

#

construir el Intervalo de Confianza para la diferencia de dos medias y que bajo H ! adopta la forma t =

q q X# X"

É S Ð"/8 "Î8 ) # p

"

#

œ >(8" +8#- #), donde se recordará que S p# œ

Ð8""ÑW"#Ð8 #"ÑW ## . 8"8##

4° Las regiones regiones críticas asociada son: RC = { = { t c / t c  ->"!Î# (8" +8# -#) o t c  >"! Î#( 8"+ 8#- #) × región bilateral RC = { = { t c / > c  >"! ( 8" +8 #- #) } región unilateral derecha RC = { = { t c / t c   >"! (8" + 8#-#) } región unilateral izquierda

Ejemplo 3.7.













































125

establecer, al nivel del 5 %, que el parasitismo afecta la capacidad física de caballos para competencias ? El planteamiento de la prueba se efectúa en los pasos 1 a 4, para lo cual es necesario hacer algunos alcances. El rendimiento de ambas poblaciones se asume normal y se establece en términos de la media ., así la población 1 será la de caballos desparasitados desparasitados ( con tratamiento) y la población 2 la de caballos sin desparasitar (sin tratamiento). Entonces lo que se quiere probar es que el rendimiento promedio de la población 2 es menor que el de la población 1. 1) En consecuencia las hipótesis serán H ! À .2 œ .1 versus H ": .2  .1 2) Se utilizará ! = 0,05 3) Como se trata de dos poblaciones con varianzas no conocidas, ya que la información del promedio y la varianza proviene de muestras, el estadígrafo de prueba es t=

q q X# X"

É S Ð"/8 "Î8 ) # p

"

œ >(8" +8# - #) con

#

Sp# œ

Ð8""ÑW"#Ð8 #"ÑW ## 8"8##

*($} , unilateral izquierda 4) La región crítica es RC = { t c / t c   >!ß*& Ð$!Ñ œ  "ß ' *( 5) Según el enunciado los valores de la media y varianza muestrales son: q q con con trat tratam amie ient nto o X " = $#ß % , S#" = "! , n " = "# ; sin sin trat tratam amie ient nto o X 2 = #*ß * , S 2# = "& , n 2 = #*ß*$#ß4 #!, de donde S p# œ ""‡"!"*‡"& œ "$ß # y t c œ "$ß#Ð"Î"#"Î#!Ñ œ - "ß )) − RC Ê rechazar H ! Þ $!

È

6) Se puede concluir, a un nivel del 5%, que en base a la evidencia muestral el parasitismo parasitism o disminuye la capacidad física física de caballos caballos para competencias. competencias. Una forma más general de la prueba para comparar dos medias consiste en plantearse las hipótesis de que las diferencias diferenc ias entre las dos medias es una cantidad d , no necesariamente necesariament e igual a 0. Replanteando las hipótesis y el estadígrafo, queda en los siguientes términos: .2  .1 Á d 1º H! À .2  .1 œ d versus H": .2  .1  d , d − d .2  .1  d 3º t œ

q q ÐX#X" )Ð.# ." Ñ

Ú ÛÜ

É S Ð"/8 "Î8 ) œ >(8 + 8 -#), que bajo # p

"

"

#

H ! queda t œ

#

q q ( X# X" )d

É S Ð"/8 "Î8 ) œ >( 8 + 8 - #). # p

"

"

#

#

4º En el resto se procede igual al caso 2.

Caso 3. Varianzas poblacionales 5"# y 5 ## desconocidas y distintas. Corresponde al caso de heterogeneidad de varianza y es un caso en el cual no existe un estadígrafo de prueba con distribución exacta conocida y en consecuencia se debe recurrir a aproximaciones, alguna de las cuales se incluyen en los programas estadísticos computacionales. Uno de las aproximaciones más conocidas es el procedimiento de SmithSatterth Satterthwait waite. e. Otro procedim procedimient iento o

(1)

consiste consiste en calcular calcular >w œ

q q X# X"

É S Î8 S Î8 # "

"

# #

#

tal que:













































126

i) >w tiene distribución aproximada t Ð8  "Ñ, si 8"= 8# o ii) se compara >w con el valor crítico >‡ œ ww" t""ww##t# , donde t " = t Ð8"- ") y t # = t Ð8#- "Ñ, con ponderadores w "= W"#/ 8" y w #= W##/ 8 #, si 8" Á 8# . Prueba de hipótesis para la igualdad de dos varianzas poblacionales. Corresponde a la prueba para la homogeneidad o igualdad de dos varianzas. 1°Las 1°Las hipótesis son L! À 5"# œ 5## versus

L" À 5"# Á 5##.

2°Se 2°Se elige ! de 5% o de 10%, según se cuente con un a tabla … que tenga o no el percentil "  !Î#. 3° El estadígrafo a utilizar es J œ

W"# Î5"# W## Î5##

œ …Ð7 Ð7  " ß 8  "Ñ, deducido deducido en la un idad de

distribuciones distribuciones muestrales, el que bajo la hipótesis H !, pues al ser iguales 5"# y 5## se "Ñ, donde (n " -") y (n #-1) son los cancelan, toma la forma J œ S #" ÎS ## œ …Ð8"  " ß 8#  "Ñ # # grados grados de libertad libertad de S " y S # respecti respectivame vamente. nte. Generalmente las tablas de la distribución distribuc ión … están resumidas para los valores percentiles superiores, razón por la cual la prueba es conveniente realizarla en los siguientes términos: Se calcula la razón F œ

S#7 W 8#

œ …Ð7ß 8Ñ ubicando en el numerador la varianza muestral

mayor y en el denominador la menor, de modo que la razón sea mayor que 1. 4° La región crítica es RC œ{ Fc Î Fc  …"!Î# Ð7ß8Ñ } , siendo Fc el valor muest ral del estadígrafo estadígrafo que resulta de sustituir los valores valores respectivos respectivos de S #.

Ejemplo 3.8. Una situación que se debe establecer previamente cuando las varianzas poblacionales son desconocidas es si estas son homogéneas, para de esa manera discriminar si la prueba se refiere al caso 2 o al caso 3. Esta prueba debe realizarse a-priori a la comparación de medias, pero en beneficio del desarrollo conceptual de la unidad se efectuará en este caso a-posteriori con los datos del ejemplo 3.7 en cuyo enunciado se establece que S #" œ "! y S ## œ "&. El desarrollo es el siguiente: 1) L! À 5"# œ 5## versus L" À 5"# Á 5## 2) ! = 0,10 , pues se utilizará una tabla del 95% de la distribución distribuci ón …. 3) el el estadígrafo estadígrafo es F œ

S2# S1#

La varianza de la muestra 2 va en el numerador, œ …Ð19 , 11 Ñ. La

porque es la mayor. 4) La región crítica es bilateral, pero RC œ { F- Î F-  …0,95 Ð"* ß ""Ñ = #ß '' '' }, por limitaciones de la tabla utilizada. 5)

Jc œ "&Î"! œ "ß & Â RC Ê aceptar H!















































127

6.4 Comentarios sobre intervalos de confianza y pruebas de hipótesis. En esta sección se analizarán algunas situaciones complementarias en relación a la estimación mediante intervalos de confianza, respecto a las pruebas de hipótesis y en particular al planteamiento de la hipótesis alternativa alternati va cuando se docima la media de una población, debido a que a veces se deben tener en cuenta ciertas consideraciones en relación al error tipo I. Precisión , confianza y tamaño de muestra en intervalos de confianza. Se llama error de muestreo a la diferencia diferenci a d entre el valor muestral de un estimador y el del parámetro parámetro al cual estima. estima. En términos términos estadís estadístico: tico: d œ l s muestreo es )  ) |. El error de muestreo función del tamaño muestral, de la varianza y del valor percentil de la distribución distribuc ión de s ). En el # caso del intervalo de confianza para . con varianza conocida d = z "!Î# È 5 Î8 y cuando la varianza poblacional no es conocida d = >"!Î# Ð8  "ÑÈ S# Î8. En otros términos el error de muestreo es igual a la mitad de la amplitud del intervalo de confianza. Se llama precisión de una estimación, al grado de aproximación aproximaci ón del valor muestral del estimador respecto al valor poblacional. Se mide en términos del error de muestreo, de modo que a menor tamaño del error de muestreo existe mayor precisión. Precisión no se debe confundir con exactitud , que cuando ésta se refiere refier e a un cálculo depende del número de decimales o del instrumento de cálculo, o cuando se trata de una medición depende del instrumento instrument o con que se realiza la medición, ya que tiene que ver con la aproximación del valor calculado respecto a su valor real. La precisión es un término más estadístico y la exactitud es más ingenieril. La precisión y el grado de confianza de un intervalo están relacionados a través del tamaño de la muestra, pues para una misma muestra a mayor grado de confianza se tiene una menor precisión y viceversa. La única forma de mantener la precisión aumentando el nivel de confianza o viceversa, consiste en aumentar el tamaño de la muestra. Algunos ejemplos ayudarán a conceptualizarlos.

Ejemplo 4.1.













































128

È

que d = 3, D!ß*(& = 1,9 1,96, 6, luego, luego, 3 = 1,9 1,96 6 ‡ 144 În , despe despejan jando do 8 se obtie obtiene ne 61,47 61,47,, pero pero como como n tiene que ser un número natural se aproxima siempre hacia arriba, lo que implica n = 62. La población, el parámetro, las hipótesis a contrastar y el tamaño de muestra en una prueba de hipótesis para una población. Cuando se desea realizar una inferencia es importante tener claridad cual es la población y el o los parámetro de ella que se está investigando a partir de muestras aleatorias. Es frecuente que el concepto que se tiene de la población sea algo difuso y resulta que es un aspecto muy importante, porque las conclusiones se refieren a ella y sólo a ella y la muestra tiene que ser un subconjunto que la represente, luego la población debe estar definida en términos bien precisos. Respecto a las hipótesis, un error frecuente es plantearlas para los estadígrafos en circunstancias que estos son variables aleatorias y por lo tanto la probabilidad de que ocurra un valor puntual es cero. Las hipótesis siempre se plantean para los parámetros parámetro s y la hipótesis nula siempre es una hipótesis simple, pues el valor del parámetro especificado especific ado en ésta determina la distribución del estadígrafo de prueba que debe ser exacta. El planteamiento de la hipótesis alternativa para un parámetro algunas veces puede generar dudas, pues depende de a cual decisión errónea se le quiere dar mayor protección, es decir, el planteamiento formal de una hipótesis está influida por la estructura de la probabilidad de una conclusión errada. El análisis de ciertos casos ayudarán a desarrollar esta idea.

Caso 1. Si un investigador desea probar que tomar café aumenta el riesgo de cáncer riesgo de cáncer gástrico gástrico, las hipótesis a contrastar son: tomar café aumenta el riesgo versus tomar café no aumenta el riesgo de cáncer gástrico. El punto es cuál debe ser la hipótesis nula y cuál la alternativa. Si se considera que lo conservador es considerar que tomar café no produce daño gástrico, entonces H! : tomar café no aumenta el riesgo de cáncer gástrico H" : tomar café aumenta aumenta el riesgo de cáncer gástrico Se evaluará la consecuencia de tomar cada una de las posibles decisiones erróneas: i) si se acepta H! cuando la hipótesis alternativa es la verdadera, se está cometiendo el error tipo II, de probabilidad probabilidad " y como la conclusión será que no hay riesgo al tomar café, la consecuencia del error es grave, porque se está poniendo en riesgo la salud en términos de un error que por lo general tiene tiene valores valores de probabilidad probabilidad más alto que el tipo I. Es decir decir al elegir













































129

con un tamaño muestral suficiente para tener un nivel de significación del 1% y un error tipo II de probabilidad " œ 0,15. Se analizará cual es la consecuencia de cada una de las dos decisiones erróneas. i) si se acepta H! cuando la hipótesis alternativa es la correcta, correct a, se está cometiendo el error tipo II cuya probabilidad es del 15% y decidiendo que la evidencia muestral no es suficiente para contradecir la afirmación de la Compañía, luego se estarían aceptando cigarrillos con exceso de nicotina, lo que sería muy perjudicial para la salud de los fumadores y con un alto nivel de riesgo. ii) si se rechaza H! siendo siendo H! verdade verdadera, ra, es decir, decir, H " falsa, falsa, se está cometien cometiendo do el error tipo I cuya probabilidad es del 1% y decidiendo erróneamente que los cigarrillos exceden los 2,5 mg de nicotina. En esta situación se está perjudicando a la Compañía con un nivel de riesgo del 1% muy inferior al 15% de riesgo que corre la salud de los fumadores. Como evidentemente la salud de las personas es mucho más importante que el daño económico de la Compañía, el error tipo I debe proteger al consumidor y en consecuencia las hipótesis deben ser H ! À . œ #ß & versus H ": .  #ß &. Ahora el fabricante se verá perjudicado con con una probabilidad probabilidad del 15% al aceptar aceptar H !, pero la Compañía Compañía tiene una solución solución para esta situación, la cual consiste en financiar un análisis de los contenidos de nicotina en los cigarrillos cigarri llos en una muestra mucho mayor, con lo cual se consigue disminuir el valor de " .

Caso 3. Una agroindustria establece como norma de calidad que la fruta que envien los productores debe contener un porcentaje de frutos con daños por insectos de a lo más 6%. Si la partida contiene un porcentaje mayor será rechazada. La decisión se tomará tomar á en base a una muestra muestr a de tamaño suficiente para par a tener ! œ s iendo el valor del parámetro parámetr o a probar una proporción o porcentaje P. La &% y " œ "&%, siendo hipótesis alternativa a plantearse tiene dos posibilidades, proteger preferentemente a la agroindustria o proteger al productor. Si se considera como norma que se debe proteger al más débil las hipótesis deben ser H !: P œ !ß !' versus H ": P  !ß !'. De esta manera al rechaza rechazarr H ! cuando cuando H" es falsa, falsa, se está cometie cometiendo ndo el el error tipo tipo I, qu que e conduce conduce a rechaz rechazar ar la partida cuando ésta cumple la norma, pero la probabilidad de este error es de sólo 5%. Por el cont contra rari rio o si la hipó hipóte tesi sis s alte altern rnat ativ iva a fuer fuera a H ": P  !ß!', al acep acepta tarr H !cuan cuando do ésta ésta es fals falsa a el error cometido es el tipo II, luego hay una probabilidad del 15% de rechazar una partida que cumple la norma, en vez del 5% anterior. En este caso la atención hay que ponerla en si la hipótesis alternativa debe plantear la aceptación o el rechazo de la partida de fruta, según cuál decisión errónea sea más grave.













































130 q \ #ß& 8

(1) Ê T Ð !ß&Î

È



O #ß& Ñ !ß&Î 8

È

O #ß& Ñ 8

È

œ !ß !" Ê 9Ð !ß&Î

œ !ß !"

q \ #ß3 8

Ê 9Ð

#ß3 Ñ œ !ß "& Ê 9 Ð È  !Oß&ÎÈ#ß38 Ñ œ !ß "& Ê "  9Ð !Oß&ÎÈ 8 ÐO #ß&ÑÈ 8 ÐO #ß&ÑÈ 8 Ð$Ñ Ê œ 9 Ð!ß !"Ñ Ê œ  #ß $$ Ð&Ñ

(2) Ê T Ð !ß&Î

È

ÐO#ß ÐO#ß&Ñ &Ñ 8 Ñ !ß&

È

œ !ß !" Ð$Ñ

ÐO#ß ÐO#ß$Ñ $Ñ 8 Ñ !ß&

œ !ß )& Ð%Ñ

"

!ß&

ÐO #ß$Ñ

È8

!ß&

È 8

ÐO #ß$Ñ

Ð%Ñ Ê œ 9 " Ð!ß )&Ñ Ê œ "ß !% Ð'Ñ !ß& !ß& El sistema de ecuaciones (5) y (6) tiene dos incógnitas que son K y n. Para Par a eliminar n, se O#ß& divide miembro a miembro (5)/(6), se obteniéndose obteniéndose O#ß$ œ  #ß #% , luego O œ 2,36.

È 8

Ð#ß$' Ð#ß$'#ß$ #ß$ÑÑ

Sust Sustit ituy uyen endo do K en (6) (6) Ê œ "ß !% !% Ê !ß "# "# !ß& se debe analizar una muestra de 76 cigarrillos o más.

È 8 œ "ß !%!% Ê 8 œ ('. En cons consec ecue uenc ncia ia

Observación. El tamaño de muestra depende de las condiciones: de variabilidad poblacional reflejada en el valor de la desviación típica; del nivel de significación requerido; del valor de la potencia ("  "Ñ dese desead ada a y de la dife difere renc ncia ia,, d œ ."  .!, que que se esta establ blec ece e a part partir ir de los los valo valore res s de las las medias en las hipótesis alternativa y nula respectivamente. Para esta última condición es necesario que la hipótesis alternativa sea una hipótesis simple y como en general las hipótesis alternativas son compuestas hay un tamaño de muestra asociado a cada valor de la diferencia d.













































131

7. TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE LIM ITE E INFERENCIAS INFERENCIAS PARA PROPORCIONES. 7.1 Muestras de tamaño pequeño. Para muestras de tamaño pequeño las inferencias deben realizarse con la distribución exacta del estadígrafo de prueba, esto es, si la distribución poblacional es normal utilizando la distribución normal normal de la media muestral, si la distribución distribución poblacional poblacional es es binomial con la distribución binomial del estadígrafo, si la distribución poblacional es Poisson con la distribución Poisson del estadígrafo y así en otros casos. En la unidad anterior la metodología para las inferencias inferenci as se basan en el supuesto de normalidad poblacional, para de esta manera obtener estadígrafos o variables pivotales con distribución distribuci ón normal o > de Student o ;#. Hay muchos casos en los cuales la normalidad poblacional no se cumple y en consecuencia se debe proceder con la distribución exacta, lo que trae algún grado de complicación por que las tablas de esas distribuciones son menos completas que la de la distribución normal típica. El siguiente es un ejemplo de este tipo. Se sabe que un tipo de vacuna contra el distemper es alérgica en un 40% de los casos. Un laboratorio promueve una nueva vacuna tan efectiva como la anterior, aunque algo más cara, que es menos alérgica que la en uso. Para tal efecto se inoculan 20 perros para decidir sobre la afirmación del laboratorio. Las hipótesis son H ! À T œ !ß %! versus H ": T  !ß %! y sea \ número de caninos de la muestra que presentan alergia producida por la vacuna, cuyos valores posibles son !ß "ß #ß ÞÞÞÞÞß "*ß #!, en consecuencia la distribución distribuci ón es \ œ F 38Ð#!ß !ß %!Ñ, luego uego la regl regla a de decisi cisió ón debe dise iseñarse rse para para una RC œ { XÎ X  K}, donde Kes u n núme mero ro natural . La cuestión es ¿cómo se determina el valor de K ?. La respuesta está en la !ß !" !"'! '! y distribución distribuci ón acumulativa de la binomial anterior, donde se observa que T Ð\ Ÿ $ Ñ œ !ß TÐ\ Ÿ %Ñ œ !ß!&"! , de modo que para un nivel de significación del 5%, la última probabilidad da aproximadamente ese valor y en consecuencia K = & , pues recuérdese que ! œ ProbÖ \  &Î P œ !ß %! %!×= 0,051. Para establecer el valor de " es necesario fijar un valor alternativo simple para P Þ Suponga Supongamos mos que H ": P œ !ß#!, entonces entonces:: " œ ProbÖ\  &Î P œ !ß #! #!× œ 1  ProbÖ\ Ÿ %ÎP œ ! ß #! #!× œ 1  0,6296 œ 0,3704, es decir, el error tipo II es aproximadamente aproximadament e del 37%.















































132

Consecuencias. Del Teorema anterior se deduce que: 1)

q X. Ä 5 # În

È

R Ð!ß "Ñ cuando n Ä _.

2) Cuando n es suficientemente grande , lo que para la mayoría de los casos ocurre si n  $!, se puede hacer uso de que

q X. ¸ 5 # În

È

RÐ!ß"Ñ. Esta es una consecuencia importante, porque

establece que basta tener muestras de tamaño mayor a 30 para que la distribución de la media muestral sea prácticamente normal , independientemente independientement e de cual sea la distribución distribuc ión poblacional.

7.3 Proporción Poblacional. Sea E una característica característ ica de interés a estudiar en la población, la que inducirá una partición de ésta en dos subconjuntos: el de los individuos que poseen la característica y el de los individuos que no la poseen. Así en una población finita de tamaño N la proporción T de A T œ #N Þ Según la ley de los grandes individuos que la poseen queda determinado por #A números conceptualment e es la probabilidad de A, P(A). Esta lim T œ lim N œ : , que conceptualmente R NÄ_

N Ä_

probabilidad : œ TÐEÑ se denominará en adelante proporción poblacional en poblaciones infinitas y se designará simplemente por T .

s œ X , que corresponde a la proporción El estimador de la proporción T se define como T n muestral, donde X es el número de individuos en la muestra que presentan la característica caracter ística A cuya probabilidad de ocurrencia es p, en consecuencia la distribución distribuc ión de la variable aleatoria X













































133













































134

7.4 Intervalos de Confianza para Proporciones. El desarrollo sigue un esquema similar al utilizado para intervalos de confianza para la media de distribuciones normales. Intervalo de confianza para una proporción. El estadígrafo

Zœ

s T T

È TUÎ8 ¸ R Ð! ß "Ñ,

ProbÐ  D"!Î# Ÿ ^ Ÿ D"! Î#) œ "  !

se se utilizará como variable pi pivotal y dado qu que

Ê Prob Ð  D " ! Î# Ÿ

s T T

È T UÎn Ÿ D "! Î#) ¸ "  !

, pero

ahora la probabilidad del intervalo es sólo aproximada. Despejando T en la desigualdad s  D"!Î# T UÎn Ÿ T Ÿ T s  D"! Î# T UÎn) ¸ "  ! . Sin anterior se establece que ProbÐT s Ñ œ T UÎn no es conocida, por lo cual embargo, como es T lo que se está estimando la Z ÐT s Î n , pero aunque Ts T debería tener s œ TÐ" s T s ÑÎn œ T sU se debe utilizar su estimador Zs ÐTÑ

È

È

s n s UÎ É Ts s

aproximadamente aproximadament e una distribución distribuc ión > de Student por estar utilizando una varianza estimada, >Ð8  "Ñ ¸ R Ð! ß "Ñ , luego por doble aproximación resulta que si n es grande >Ð8

s  D"!Î# ProbÐT

ÉTs Us În Ÿ T Ÿ Ts  D

"! Î#

s  D"!Î# ÐT

É Ts Us În

) ¸ "  ! , de donde

s Î8 Ÿ T Ÿ T s D ÉTs UUÎ

"! Î#

s Î8 ) É Ts UUÎ

Inte Interv rval alo o del del 100( 100(1 1  !Ñ % apr aprox oxim imad ado o de de con confi fian anza za para para T













































135

Intervalo de confianza para la diferencia entre la proporción de dos poblaciones. La estimación se obtendrá a partir de muestras aleatorias independientes tamaño n" y n# de cada pob poblaci lación ón respectiv respectivamen amente, te, y se desea desea estimar estimar ( T# - T"), mediante mediante ÐTs# - Ts " Ñ cuyos cuyos valores característicos son: T#  T " i) IÐT IÐTs#  Ts" Ñ œ IÐTs# Ñ  IÐTs" Ñ œ T# U#  T"U" , cuyo estimador está dado por ii) Z ÐTs#  Ts" Ñ œ Z ÐTs# Ñ  Z ÐTs" Ñ œ n n s# s ( Ts#  Ts " Ñ œ Ts # U V n# Ð Ts#Ts " Ñ ÐT ÐT# T" Ñ

Ê

s U s T # # n#





#

s " s " U T . n "

"

Si los tamaños muestrales n" y n # son grandes, entonces

¸ RÐ!ß "Ñ. El estadígrafo anterior corresponde a la variable pivotal a utilizar

s U s T " " n "

para obtener el intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones. El interv intervalo alo de proba probabil bilida idad d (1  !Ñ al sustitu sustituir ir la varia variabl ble e pivota pivotall es como como antes antes Prob Ð  D"

!

Î#

Ÿ

Ð Ts#Ts " Ñ ÐT ÐT# T" Ñ

Ê

s U s T # # n#



Ÿ D"

Î#)

s# s #U T 8#

s" s "U T 8"

!

s U s T " "

¸ "  ! , que al de despeja < T#  T" s e obtiene

n "

s " Ñ  D "(ÐTs#  T

Î#

!

Ê



s "Ñ  D"- Î# Ÿ T#  T" Ÿ ÐTs#  T !

Ê

s# s #U T 8#



s" s "U T 8" )

Inte Interv rval alo o del del 100( 100(1 1  !Ñ % apro aproxi xima mado do de conf confia ianz nza a para para T#  T"

Ejemplo 4.2













































136

7.5 Contraste de hipótesis para proporciones. El esquema es similar al de las pruebas de hipótesis para las medias poblacionales. Prueba de hipótesis para la proporción de una población. Es el caso en el cual la característica característ ica A produce dos subpoblaciones y se requiere probar que porcentaje representa la subpoblación con la característica caracter ística E respecto al total Þ T Á T ! hipótesis bilateral T  T! hipótesis unilateral derecha , ! Ÿ T! Ÿ " 1°Las hipótesis son H ! À T œ T ! vs. H ": T  T ! hipótesis uni lateral izquierda 2° el nivel de significación signifi cación se determina con los criterios criteri os habituales

Ú Û Ü

3°en 3°en e esta sta situación, situación, con n sufientemente grande, el estadígrafo estadígrafo de prueba, bajo la hipótesis H! , es

Zœ

s T ! T

È T U Î8 ¸ R Ð! ß "Ñ. !

!

4°la 4°la región crítica corresponde corresponde a la de una una distri bución normal típica, típica, con un z c que resulta s de los cálculos al sustituir T en el estadígrafo indicado en el paso anterior. RC = { z c / z c   z"!Î# o z c  z"! Î # } región crítica bilateral RC = { z c / z c  z "! } región crítica unilateral derecha RC = { z c / z c   z "! } región crítica unilateral izquierda

Ejemplo 5.1.















































137

Observaciones. 1) Una cuestión a plantearse es calcular el valor de la potencia de la prueba anterior que no permite rechazar rechazar H! . El siguiente planteamiento planteamiento resuelve resuelve esta situación: situación: !ß% K !ß% s  KÎ P œ !ß %Ñ ! œ ProbÐrech H! / H! verdadera ) Ê !ß !& œ Prob(T % Ñ Ê 9Ð !ß!%"% Ñ œ !ß *&

Ê "

!ß% K !ß% !ß!%"%

œ "ß '% '%& Ê K œ !ß %') %').

œ ProbÐaceptar tar

H! /

H! fal falsa

)

œ

!ß%#* K !ß%#*

s Ÿ KÎ P œ !ß %#*Ñ œ 9Ð ProbÐT Ñ, È !ß%#*‡!ß&("Î"%! !ß%#*‡!ß&("Î"%! !ß!$*

!ß%')!ß%#* sustituyendo el valor de K se obtiene " œ 9( È !ß%#*‡!ß&("Î"%! Ñ œ 9Ð !ß!%") Ñ œ 9Ð!ß *$Ñ œ !ß )#$) ,

luego "  " œ !ß "('#, es decir, la potencia es 17,6%, lo que es un valor muy bajo. 2) La otra forma de enfocar el problema, como se ha planteado antes, consiste en calcular el tamaño n suficiente suficient e para ! del 5% y una potencia del 80%. El planteamiento implica s  KÎ P œ rech L! Î L! verdaderaÑ Ê !ß !& œ Prob(T !ß %Ñ (1) ! œ ProbÐ re %Ñ













































138

obteniéndose como estadígrafo de prueba

Ð Ts# Ts" Ñ ÐT# T T" Ñ

É Ts

sÐ "  " Ñ U 8" 8 #

œ

Ð Ts# Ts" Ñ

É Ts

s Ð "  " Ñ U 8" 8 #

¸ R Ð!ß Ð!ß "Ñ ,

porqu porque e bajo bajo H ! T# - T" œ !. 4) Las regiones críticas asociadas son las mismas de los casos anteriores de distribuciones distribuc iones normales. RC = { z c / z c   z"!Î# o z c  z"! Î # } región crítica bilateral RC = { z c / z c  z "! } región crítica unilateral derecha RC = { z c / z c   z "! } región crítica unilateral izquierda

Ejemplo 5.2 Resultados observados con un nuevo medicamento utilizado para aliviar la tensión nerviosa llevan a pensar que éste es mejor que el que se prescribe comúnmente. Para probar la efectividad del nuevo medicamento, a un grupo de 100 adultos se les administra el













































139

un valor mucho más alejado del valor crítico. Sin embargo al nivel del 5% lo que corresponde es rechaz rechazar ar H!, pero en en esta forma erróne errónea a aún se aceptar aceptaría ía H !. 2) Es posible que las hipótesis se planteen correctamente cambiando el orden de los parámetros, en cuyo caso el orden de los estimadores en el estadigrafo también debe ser cambiado, pues en este caso la RC cambia. Si en e n el ejemplo, las hipótesis se plantearan plant earan equival equivalente entemente mente H !: T1 œ T2 vs. H ": T1  T2 , en el cual el signo signo de la desigual desigualdad dad deb debe e cambiarse, el estadígrafo ahora debe ser como en la observación anterior y la región crít crític ica a será será RC = { z c / z c  - z 0,99 = - #ß $$ } del del tipo tipo unil unilat ater eral al izqu izquie ierd rda. a. El valo valorr calc calcul ulad ado o cor corre rect cto o ser será á zc = - 1,7 1,78 8 Â RC , al al niv nivel el del del 1%, 1%, pero pero al 5% si perte pertene nece cerí ría a a la regi región ón crítica, tal como sucede con el planteamiento original. Esta situación es totalmente simétrica a la desarrollada en el ejemplo. 3) En el caso de una hipótesis alternativa bilateral las dos observaciones anteriores no tienen efecto.













































140

El estadígrafo estadígraf o de prueba, para valores de n suficientemente suficient emente grande y valores de o 3  %, #

es D œ

5

! Ð o ee Ñ

3œ"

3

3

3

#

, cuya distribución distribuci ón es aproximadamente aproximadament e ji cuadrada con ( k - 1 ) grados de

libertad, cuya notación es ;# Ð5  "Ñ. 4°La 4°La región crítica es del tipo unilateral derecha , lo que es usual para pruebas basadas basadas en la distribución ji cuadrada, pues se rechazará si las diferencias entre lo observado y lo esperado # Ð5  "Ñ × son grandes, luego RC œ Ö D# Î D#  ;" . !

Ejemplos 6.1 a) Se asegura que una mezcla de semillas para césped contiene tres variedades de pasto, lolium perenne, lawn grass y festuca rubra en proporciones de 20% , 50% y 30% respectivamente. Se desea corroborar tal información para lo cual se hace el siguiente planteamiento:













































141

1)Las hipótesis H ! À T" œ *Î"', T2 œ $Î"' , T$ œ $Î"' , T% œ "Î"' versus H ": b T3 Á T3! , dond donde e las las clas clases es 1 , 2, 3 y 4 repr repres esen enta tan n resp respec ecti tiva vame ment nte e a los los tipo tipos s RA , Ra , rA y ra ra. 2) Se pro proc cederá co con != 0, 0,05. #

3) El estadígrafo es D œ

%

! Ð o ee Ñ

3œ"

3

3

3

#

¸ ;# Ð$Ñ.

)"&×. 4) La región crítica es RC œ Ö D# ÎD#  ;#!ß*& Ð$Ñ œ (ß )" 5) La tabla resume la información

Fenotipo o 3 e 3

RA #)# #(!

Ra )! *!

rA *& *!

ra #$ $!

Total %)! %)!

Ê D# œ $ß&' Â RC Ê aceptar H! Þ 6) Los datos muestrales obtenidos no entregan evidencia suficiente que permitan refutar la Ley de Mendel.















































142

Prueba de Independencia. Consiste en determinar si existe o no asociación entre las categorías de dos variables cualitativas cualitativas A y B , cuya estructura corresponde a una clasificación cruzada, denominada denominada tabla de contingencia, con a categorías de A y b categorías de B lo que involucra a x b celdas o casillas. En esta tabla distinguen dos distribuciones, distribuc iones, las de filas o categorías de A las de















































143

Ejemplo 6.2 En una encuesta a 500 productores de trigo se les consultó sobre su superficie sembrada y la tecnología empleada en su predio. Posteriormente fueron clasificados en tres categorías de















































144

que consiste en que el estadígrafo sea

2

2 Ð I o  e I !ß&Ñ2 34 34

D œ !! #

3=1 4=1

e 34

¸ ;# Ð"Ñ . Esta correción

es conservadora, pues el valor calculado corregido es menor que el sin corregir, lo que trae como consecuencia que en los casos en que el valor sin corregir está rechazando al límite la hipótesis nula, con el valor corregido puede que ésta no se rechace.















































145

EJERCICIOS Y PROBLEMAS A RESOLVER I. ESTADISTICA DESCRIPTIVA















































146

c) Construya otro gráfico que permita la comparación adecuada entre las comunas y responda ¿ en cuál comuna se consume más uva y en cuál se consume más pera ?. No se deje guiar por los valores absolutos. 4. En una encuesta a 600 productores de trigo se les consultó sobre la superficie sembrada y la tecnología empleada en su predio. Posteriormente fueron clasificados en tres categorías de











































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































182













































183

An exo 1













































184













































185

An exo 2













































186















































187

An exo 3













































188













































189

Anex A nex o 4













































190













































191

An exo 5















































192













































193

Anex A nex o 6













































194













































195













































196















































Rustom_Probabilidad y Estadistica

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