ESTADISTICA Y DISEÑOS EXPERIMENTALES

UNIVERSIDAD “GABRIEL

AUTONOMA RENE

MORENO”

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD UNIDAD DE POSTGRADO

Estadística Estadística y Principales Diseños Experimentales Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

Santa Cruz, Bolivia Septiembre 2011

INTRODUCCION El crecimiento constante de la población ha traído como consecuencia más requerimientos de alimentos, servicios, espacio, etc., y paralelo a ello una serie de alteraciones que están repercutiendo de forma negativa en la población y otras, en sí, en la vida misma en el planeta. Entre otras, lo anterior conlleva a la búsqueda de nuevas alternativas, al planteamiento de diferentes estrategias de manera que se busca darle respuestas a las progresivas necesidades de la sociedad., es decir, existe una búsqueda constante de nuevas verdades, mediante métodos claros y específicos, con el fin de crear nuevos hechos y principios en cualquier campo del conocimiento humano. A esto se le denomina INVESTIGACIÓN. La investigación comienza con la observación de un fenómeno que captura la atención del investigador (Todo investigador debe conocer el problema, enamorarse de problema y casarse con el problema), al cual el investigador trata de dar una explicación lo más acertada posible, determinar las relaciones con otros fenómenos, etc. El hecho de buscar explicaciones, relaciones de causalidad que existen entre los fenómenos en la naturaleza, en muchos casos es difícil lograrlo si no se está en condiciones que pueden ser con trolad tro lad as por el invest in vest iga dor. dor . Lo an teri or conll conllev evaa a tra trata tarr de de simu simular lar el fen fenóm ómeno eno en condiciones adecuadas, lo cual se logra mediante la EXPERIMENTACIÓN. La experimentación es instrumento de vital importancia para la investigación ya que por medio de ella, el investigador es capaz de simular un fenómeno de interés, lo que conduce a una investigación más rápida, efectiva, de menor riesgo, menor costo y con un rigor científico, científico, siempre siempre y cuando exista exista una previa y exhaustiva planificación pla nificación de la misma. Existen diferentes tipos de investigaciones que pueden generar conocimientos ya sean éstas básicas, aplicadas o bien de innovación tecnológica; independientemente del conocimiento que gener generee una una investigación o del prob lema que ésta resuelva , ésta tiene que someterse a una valoración científica. Para esto la estadística ofrece herramientas como los DISEÑOS

EXPERIMENTALES de los cuales el investigador se vale para demostrar sus conjeturas, aceptar o no una hipótesis, comparar resultados, emitir conclusiones etc., acerca del problema o fenómeno en estudio. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

Previo a la aplicación de los diseños experimentales, el investigador debe tener una base estadística que le permita o facilite la aplicación e interpretación de resultados al aplicar los diseños experimentales en la investigación. Es por ello que antes de desarrollar la parte de diseños, se exponen lo básico de Estadística Descriptiva y una parte de Estadística Inferencial como es hipótesis. "Las teorías basadas en ideologías carecen de experimentación, y por ello, no son ciencia, lo que no se demuestra con experimento es política. Lo que se demuestra con experimentación, es ciencia” (Robert Laughlin, Premio Nobel de Física 1998). "La verdadera ignorancia no es la ausencia de conocimientos, sino el hecho de rehusarse a adquirirlos" (Karl Popper)

Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris

Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

APUNTES SOBRE MÉTODOS ESTADISTICOS Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

Generalmente cuando se escucha la palabra Estadística inmediatamente se piensa en datos, cuadros, gráficos, etc. En verdad no es una idea equivocada, sino más bien, una idea popular de ésta, pero no es lo único y en la concepción de la Estadística Moderna tampoco el más importante. Las primeras técnicas estadísticas consistían principalmente en la organización, presentación gráfica y el cálculo de ciertas cantidades "sobresalientes de un grupo de datos. Esta parte de la disciplina es lo que, en la terminología moderna, se conoce como Estadística Descriptiva. La Estadística Descriptiva es la rama más antigua de la Estadística y tiene por objetivo, presentar información de una manera sencilla y estética y que al mismo tiempo, sea aprehensible al ojo humano, es decir, fácil de entender. Aunque su campo de acción se ha visto reducido, es indudable su utilidad. Para que la Estadística Descriptiva cumpla su cometido utiliza tres métodos, Métodos Tabulares, Métodos Gráficos y Métodos Numéricos. Supóngase ahora, que se está interesado en saber cuál es el ingreso promedio de las personas que tienen pensión en el mercado los Pozos, de Santa de la Sierra, Bolivia. Supóngase además, que este sector ha crecido de tal forma que se hace imposible estudiarlas en su totalidad. Por tal razón se deduce una muestra de esta población por cualquier mecanismo aleatorio y se realiza la toma de la información deseada y se obtiene un dato promedio cualquiera, por ejemplo, Bs 550. A través del método de razonamiento que conduce a una extensión de este resultado a la población de interés, se podría concluir que las personas que tiene pensiones en dicho mercado, tiene un ingreso promedio de Bs 550. El mismo hecho de que se está estudiando una fracción de la población, indica que se tiene una información incompleta y que es, lo comúnmente que pasa en la realidad; pero, ¿qué pasa si el azar proporcionó las personas con pensiones que venden más o bien que venden menos?. Si se da el primer caso se estaría sobreestimando y en el caso contrario subestimando el ingreso promedio de estas personas. En este momento surge una duda sobre la información que en Estadística Moderna se la conoce generalmente como Incertidumbre y que siempre estará presente en conclusiones que se deriven por medio del método inductivo. Ahora la pregunta que surge es la siguiente, ¿qué papel juega la Estadística en esto?. El papel de la Estadística en este proceso es cuantificar la incertidumbre y la rama de la estadística que se encarga de ello se le llama Estadística Inferencial que utiliza el método Probabilístico. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

En conclusión ya sea porque la se dispone de información incompleta, o debido a la propia variabilidad de la información (naturaleza), es muy común que se arribe a conclusiones a través del método inductivo, en el cual las mismas son inciertas. El conjunto de técnicas que permite realizar inducciones en las que el grado de incertidumbre es cuantificable, integran la rama de la Estadística conocida como Inferencia Estadística o Estadística Inductiva o Inferencial.

POBLACIÓN, ATRIBUTOS Y VARIABLES Se dice que los estadísticos extraen datos de las muestras y que esta información les sirve para hacer inferencia sobre la población que la muestra representa. Es así que, los términos, muestra y población se consideran relativos. El concepto de población va a variar de acuerdo al campo de la ciencia donde se aplique. Desde un punto de vista estadístico, población; es el conjunto de resultados potenciales de un experimento aleatorio, es decir, todos los valores que puede tomar una característica (variable). En palabras más sencillas se puede decir que población, es un conjunto de entes con características propias que los diferencian de otras. Con este concepto se puede tener una población de árboles, de sillas, de tizas, etc. Un aspecto importante a retomar es que desde el punto de vista estadístico una población es importante cuando se requiere verificar (medir) una característica (variable) en ella.

Atributos Supóngase el siguiente ejemplo. Se tiene en un aula de clase un grupo de 20 estudiantes y suponga además, que el estudiante de la primera fila es alto, color de piel blanca, cabello castaño, ojos claros, etc. Si a los 20 estudiantes se les considera como una población, se puede decir que los detalles antes mencionados corresponden a características propias de un miembro de esa población, o sea, son atribuciones propias del estudiante en particular. Con el ejemplo antes citado, se puede tratar de deducir un concepto de Atributo, diciendo que es una característica propia de cada elemento de una población.

Variable Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

Retomando el ejemplo anterior, supóngase ahora, que se les pregunta a los cinco primeros estudiante su estatura los cuales responden de la siguiente manera: 1.76, 1.69, 1.83, 1.72, 1.77 De hecho estas alturas corresponde a atributos de los cinco primeros estudiante. Si se observan los datos anteriores, se puede constatar que el atributo estatura cambia de un estudiante a otro. Con esta idea se puede plantear un concepto de variable. Variable es un atributo medible que cambia de un elemento a otro de la población, es decir, es toda característica que cambia y que está sujeta a medida o cuenta. Supóngase ahora, que los cincos primeros estudiantes poseen la misma altura, ejemplo, 1.73. Dado que el atributo altura en este caso no cambia, no se puede considerar como una variable, pero sí, es un atributo. De lo anterior se puede concluir, que una variable siempre será un atributo, pero un atributo no siempre es una variable. Las variables siempre se denotan por la letras mayúsculas del alfabeto y los valores que toman (observaciones) con letras minúsculas.

ELEMENTOS DE LAS VARIABLES Siempre que se desee constatar una variable en un elemento de la población de interés, ésta debe de poseer cuatro elementos: a.-

Nombre

b.-

Definición

c.-

Conjunto de categorías o valores que puede tomar la variable

d.-

Procedimiento que permita clasificarla

Nombre Cuando un investigador toma los datos correspondiente a una variable, éste tiene que saber el nombre de la variable, de lo contrario cómo va a tomar información de una variable si no sabe el nombre de ésta. En si el nombre está referido a cómo se conoce o se nombra la variable en el campo del conocimiento que corresponde.


Definición Viene a ser la esencia de la variable. Todo investigador tiene que definir la (s) variable (s) que va a estudiar. Este nombre es cómo se concibe la variable en el campo de la ciencia correspondiente, es decir, cómo se define. Si el concepto no existe, se debe construir el constructo por parte de investigador. Por ejemplo, supóngase que un investigador está tomando el peso a un grupo de niños, él toma los datos cuando los niños no han desayunado y sin ropa alguna. Este investigador tiene que reportar al momento de dar a conocer la información cómo lo hizo porque quizás otro investigador lo puede haber tomado con ropa y después de desayunar. Inclusive debe de especificar el equipo con el cual verificó el valor de la variable en los elementos de la población estudiados dado que pueden variar en precisión.

Conjunto de categorías o valores que puede tomar la variable No es más que el ser de la variable. Esta se refiere a las categorías convencionalmente admitida por la sociedad. Por ejemplo; si en un grupo de personas se mide la variable sexo, de hecho se refiere al sexo anatómico y no al comportamiento sexual, por lo tanto las categorías que puede tomar son masculino ó femenino o bien macho ó hembra. Si la variable es edad, entonces según el estadío donde se mida puede ser días, semanas, meses, años.

Procedimiento que permita clasificarla Este elemento de las variables en muchos casos es muy complejo, pero se soluciona en parte si existe una adecuada definición de la variable que el investigador desee medir. Si se retoma el ejemplo anterior donde se quiere medir la variable sexo en un grupo de personas. En este caso la variable se define como sexo anatómico de cada persona que componen al grupo. Ahora bien, el hecho de que una persona diga que es de sexo masculino no implica que no sea homosexual, pero no es la conducta sexual la que se está midiendo, sino el sexo anatómico. Por tal razón, aunque este elemento de la variable es complejo, con una definición clara de lo que se desea medir se resuelve. De acuerdo a los valores que puede tomar una variable, ésta se puede clasificar en:

Variables cualitativas: no se pueden medir numéricamente, representan características de las variables (categorías, por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo). Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales). Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar atendiendo a los valores que pueden tomar en discretas y continuas:

Discretas: Son todas aquellas que toman valores que se pueden contar, es decir, que se pueden enumerar (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3...., etc, pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45).

Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la velocidad de un vehículo puede ser 80.3 km/h, 94.57 km/h..., etc.

ESCALAS DE MEDICIÓN Medir una variable significa constatar la observación en los elementos de la población que es objeto de estudio, es decir, consiste en verificar que valor toma la variable en la unidad de análisis. Lo anterior implica que para medir una variable, ésta tiene que ser observable en el mundo real, manteniendo el principio fundamental de la construcción de una variable que consiste en que sus categorías deben de ser totalmente inclusivas y mutuamente excluyentes. En Estadística se definen cuatro niveles o escalas de medición las cuales son:

a.- Escala Nominal: En esta escala lo único que puede decirse de una observación es a cuál de un cierto número de categorías pertenece. En esta escala de medición la única relación que puede establecerse entre observaciones es la de igualdad y por lo tanto de desigualdad. Dos observaciones son iguales si están en la misma categoría (llamadas también clases) y diferente si no lo están. Como consecuencia de lo anterior, la única estadística válida para este tipo de datos es la frecuencia de cada clase. Ejemplo, supóngase que en grupo de personas se desea medir el estado de salud con respecto a una enfermedad en particular. En este caso la constatación de la variable (medición) en los miembros de la población debe de concluir en que están o no afectados por la enfermedad.

b.- Escala Ordinal: Las observaciones medidas en esta escala pueden ordenarse de menor a mayor, y en consecuencia no sólo se admiten las relación de igualdad, sino además la de Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

mayor qué y menor que. Muchos de los estudios realizados en las Ciencias Sociales producen observaciones que son medidas bajo esta escala, por lo difícil que es medir actitudes en los seres humanos. En esta escala además de calcularse frecuencias como en la escala nominal, se puede calcular una medida de tendencia central llamada Mediana. Un ejemplo clásico de esta escala es la jerarquización que existe en la iglesia y el ejército. Coronel > Teniente > Subteniente > Sargento > Cabo > Soldado

c.- Escala de Intervalo: Con observaciones en esta escala no sólo se pueden ordenarse las observaciones, sino que además puede definirse una unidad de distancia (puede ser arbitraria) entre ellas. La principal diferencia de esta escala con la de Proporciones es que en la escala de Intervalo el cero y la unidad de distancia son arbitrarios y, en particular, el cero no corresponde a una característica física de las unidades de medidas. Un ejemplo clásico en esta escala es la medición de la temperatura. Dado que los requisitos indispensables para efectuar sumas y productos son que existan ceros y una unidad de distancia, con las observaciones medidas bajo esta escala puede calcularse medidas de tendencia central como la media y de dispersión como la varianza. Por tal razón esta escala es más fuerte que la Nominal.

b.- Escala de Proporción o Razón: En esta escala las observaciones pueden ordenarse y existen un cero y una unidad de distancia que son inherentes al sistema, es decir, que no son arbitrarios. Ejemplos típicos de características medidas en esta escala el peso de un individuo, el rendimiento por hectárea de una planta, etc. Esta es la escala de medición más fuerte que existe y por lo tanto permite el cálculo de cualquier estadística.

ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Resulta de mucha importancia en el campo de la investigación, utilizar técnicas que permitan apreciar de una forma rápida y fácilmente aprehensible un tipo de información donde se resalten los aspectos más importantes. Estas técnicas o métodos deberán poseer características o propiedades que faciliten lo antes mencionado. Entre estas propiedades se pueden mencionar las siguientes:


1.

Que proporcionen la máxima cantidad de información contenida en los datos en forma rápida y fácil de visualizar.

2.

Que posean sencillez operativa

3.

Que permitan presentar los datos de una manera estética.

La Estadística Descriptiva, como se ha mencionado antes, tiene como propósito mostrar la información de forma sencilla, es decir, entendible. Para ello hace uso de tres métodos los cuales son: Métodos Tabulares y Gráficos y Métodos Numéricos. Entre los métodos tabulares están las Tablas de Frecuencias o Tablas de Distribución de Frecuencias.

NOTACIÓN DE SUMATORIA. PROPIEDADES Supóngase que la variable X, toma los valores de x1, x2, x3, ..., xn. Entonces, la suma de los valores xi de la variable X sería: x1 + x2+ x3 +... xn. Con el objeto de expresar esta suma de una manera más resumida, se hace uso de la letra



griega Sigma mayúscula ( ), la cual es el símbolo utilizado en matemáticas para indicar la suma, de tal manera que:

 

; donde:

i=1 se lee como la suma de i=1 a i=n de x, lo cual indica que la variable x toma valores para i=1, 2, 3, ..., n, o sea:

 ∑    “i” se llama índice de suma y es una variable que toma los valores 1, 2, 3, ..., n. La expresión i=1 indica en este caso que 1 es el valor inicial de i (no siempre el valor inicial comienza de 1). La n arriba del signo, indica el último valor de i. A xi se le llama sumando

Propiedades de la sumatoria Sean x1, x2,..., xn y y1, y2,..., yn dos conjuntos de datos, y “a” y “b” dos constantes arbitrarias. Entonces: 1. 2.

          


3. 4. 5.

         

La demostración de cada una de estas propiedades se deja como práctica para el estudiante.


METODOS TABULARES Tablas de Frecuencias Relativas y Absolutas Como una antesala de lo que son tablas de frecuencias relativas y absolutas se menciona a continuación las formas iniciales de presentación de información, sus ventajas y desventajas de tal manera que el estudiante comprenda la lógica de cada uno y por qué se usa una en vez de otra. Una de las primeras formas de presentación de información es el arreglo de los datos el cual es una de las formas más sencillas de presentar datos. Pone los valores en orden ascendente o descendente. Por ejemplo, a continuación se muestran las concentraciones de cloro en partes por millón (ppm) de 30 galones de agua tratada.

Concentraciones de cloro en ppm de 30 galones de agua tratada 15.6 16.0 16.8 16.0 16.3

16.2 15.7 16.4 15.4 16.4

15.8 16.0 15.2 15.7 16.6

15.8 16.2 15.9 15.9 15.6

15.8 16.1 15.9 16.0 15.6

16.3 16.8 15.9 16.3 16.9

Una forma sencilla de arreglar estos datos es presentarlos en orden ascendente o descendente. Si se arreglan de manera ascendente quedarían de la siguiente forma: 15.2 15.4 15.6 15.6 15.6

15.7 15.7 15.8 15.8 15.8

15.9 15.9 15.9 15.9 16.0

16.0 16.0 16.0 16.1 16.2

16.2 16.3 16.3 16.3 16.4

16.4 16.6 16.8 16.8 16.9

Este arreglo de datos ofrece varias ventajas sobre los datos originales o sin arreglar: 

Se pueden localizar rápidamente los valores mínimos y máximos en los datos. En el ejemplo, el valor mínimo es 15.2 y 16.9 el máximo.



Los datos se pueden dividir en secciones (clases)



Fácilmente se puede apreciar que valores se repiten más de una vez.


Un inconveniente de esta forma de presentación de información es que siempre se sigue manejando toda la masa de información y por lo tanto es muy tedioso emplearla en bases datos muy grandes. Esto quiere decir, que esta forma de presentación de información no tiene capacidad de síntesis, de aquí que es preferible presentarlos en Cuadro de distribución de

frecuencias. Al número de veces que se repite una observación dentro de una colección de datos se le llama

Frecuencia Absoluta (fi). La suma de éstas tiene que ser igual al tamaño de la colección de datos (∑fi = n), en este caso 18 + 12 = 30 (total de las observaciones). A la relación de cada frecuencia absoluta con respecto al total, se le llama Frecuencia Relativa (fr = fi/∑fi), la suma de esta tiene que ser igual a 1 o bien a 100 si se le expresa en porcentaje. Este tipo de arreglo es importante cuando la colección de datos es pequeña. Los datos anteriores arreglados en un cuadro de distribución de frecuencia se muestran a continuación:

xi 15.2 15.4 15.6 15.7 15.8 15.9 16.0 Total

fi 1 1 3 2 3 4 4 18

fr 3.33 3.33 10.00 6.67 10.00 13.33 13.33 60.00

xi 16.1 16.2 16.3 16.4 16.6 16.8 16.9 Total

fi 1 2 3 2 1 2 1 12

fr 3.33 6.67 10.00 6.67 3.33 6.67 3.33 40.00

Hay autores que consideran la siguiente forma de presentación de cuadros de frecuencia donde incluyen elementos que son propios de las Tablas de Frecuencias Absolutas y Relativas. Esto se muestra a continuación:


Variable

Frecuencias absolutas Acumulada Simple(fi) (Fia) f 1 f 1 f 2 f 1 + f 2 ... ... f n-1 f 1 + f 2 +…+ f n-1 f n ∑f i= n

xi X1 X2 ... Xn-1 Xn

Frecuencias relativas Simple (fr) Acumulada (Fra) f r1 = f 1 / ∑f i Fr1 f r2 = f 2 / ∑f i f r1 + f r2 ... ... f r-1 = f n-1 / ∑f i f r1 + f r2 +…+ fr -1 f rn = f n / ∑f i 1 ó 100

Veamos un ejemplo: Medimos la altura de los niños de una clase con instrumental de precisión y en condiciones adecuadas, escogiendo a todos sus componentes, 30 sujetos, y obtenemos los siguientes resultados (m):

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Estatura 1.25 1.28 1.27 1.21 1.22 1.29 1.30 1.24 1.27 1.29

Alumno 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Estatura 1.23 1.26 1.30 1.21 1.28 1.30 1.22 1.25 1.20 1.28

Alumno 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Estatura 1.21 1.29 1.26 1.22 1.28 1.27 1.26 1.23 1.22 1.21

Puesto que todas las tallas están comprendidas entre 1.20 y 1.30 m., podemos agruparlas por centímetros formando 11 grupos indicando cuántos niños presentan cada uno de los valores. Si presentamos esta información estructurada (agrupada) en un cuadro de frecuencias obtendríamos la siguiente:


Cuadro de frecuencia Observación 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30

Total

fi 1 4 4 2 1 2 3 3 4 3 3 30

Frecuencias Fia fr (%) 1 3.33 5 13.33 9 13.33 11 6.67 12 3.33 14 6.67 17 10.00 20 10.00 24 13.33 27 10.00 30 10.00 100

Fra 3.33 16.66 30.00 36.66 40.00 46.66 56.66 66.66 80.00 90.00 100.00

Si los valores que toma la variable son muy diversos y cada uno de ellos se repite muy pocas veces, entonces conviene agruparlos por intervalos mayores. ya que de otra manera obtendríamos una tabla de frecuencia muy extensa que aportaría muy poco valor a efectos de síntesis. Supongamos que ahora medimos la estatura de los habitantes de una vivienda (también 30 personas) y obtenemos los siguientes resultados (m):

Habitante Estatura Habitante Estatura Habitante Estatura 1 1.15 11 1.53 21 1.21 2 1.48 12 1.16 22 1.59 3 1.57 13 1.60 23 1.86 4 1.71 14 1.81 24 1.52 5 1.92 15 1.98 25 1.48 6 1.39 16 1.20 26 1.37 7 1.40 17 1.42 27 1.16 8 1.64 18 1.45 28 1.73 9 1.77 19 1.20 29 1.62 10 1.49 20 1.98 30 1.01 Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

Los datos son menos homogéneos (más dispersos) que en el caso de los niños de un grupo escolar (todos de la misma edad) y si presentáramos esta información en un cuadro de frecuencia obtendríamos 30 líneas (una para cada valor), cada uno de ellos con una frecuencia absoluta de 1 y con una frecuencia relativa del 3.3%. Esta tabla nos aportaría toda la información inicial, pero sería muy difícil de manejar si en vez de 30 personas fueran 300. 3000 o más: en definitiva, de escaso valor práctico. Lo que quiere decir lo anterior, es que si bien es cierto que los cuadros de frecuencias tienen más capacidad de resumir la información, esto no siempre se logra ya que depende de las características propias de la información. En lugar de ello, podríamos agrupar los datos por intervalos llamados también Tablas de Frecuencias Absolutas y Relativas, con lo que la información queda más resumida (se pierde por tanto algo de información), pero es más manejable e informativa. Una tabla de frecuencia absoluta y relativa no es más que la agrupación de una base de datos en subgrupos llamados clases o intervalos de clases. Cada intervalo de clase o clase posee dos elementos, Límite inferior y Límite superior. La semisuma de ambos origina un elemento más en una tabla de frecuencia absoluta y relativa denominado Punto medio de clase (PMC) o bien Marca de clase. El primer tropiezo que se afronta es decidir cuántas grupos o clases deberán establecerse y si éstas tendrán la misma anchura. Es recomendable en la práctica utilizar entre 5 y 20 clases inclusive hay autores que recomiendan hasta 25 clase, y normalmente conviene construirla de modo que todas las clases tengan la misma anchura. La anchura de clase recibe también el nombre de Intervalo de Clase o bien Amplitud de clase. Una manera de resolver este problema es utilizar la fórmula de Stirling (Sturge) K = 1 + 3.33*

log(n), donde k es el número de clases o intervalos que se deben construir. Para el caso en cuestión sería: k = 1 + 3.33*log10(30) = 5.87. Como se puede recordar que número de intervalos viene a ser una variable cuantitativa discreta, entonces tiene que tomar valores cerrados. De acuerdo a lo anterior y basado en leyes matemáticas se redondea al inmediato superior, es decir, 6. Hay autores que sugieren siempre esto. Un segundo problema que se afronta se refiere a la determinación del Ancho del Intervalo de Clase. Este problema se resuelve calculando primeramente la diferencia entre el mayor y el Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

menor valor numérico de los datos, llamado también Rango, Recorrido o Amplitud (A). En el caso del ejemplo es: A = 1.98 - 1.01 = 0.97. Esto indica que la suma de las amplitudes de clase de los intervalos de clase deberá cubrir al menos esta diferencia. Si 0.97 se divide entre 6, se obtiene un resultado de 0.16. Si se multiplica la anchura de clase ( Ac) determinada por el número de intervalos K = 6, (al resultado se le llama Rango Ideal) se tiene el siguiente resultado: 0.16*6 = 0.96. Si se recuerda la amplitud de los datos es de 0.97, por lo tanto esta anchura de clase (Ac) no es suficiente para cubrirla por tal razón, algunos autores recomiendan redondearlo al inmediato superior que en este caso sería de 0.17. Repitiendo el proceso, se tiene que 0.17*6 = 1.02. Un aspecto importante de señalar es que si bien es cierto que se pasa de 1.98 con 3 centésimas, cubre la amplitud de los datos. Por esto se dice que Ac*k = al menos debe ser igual a la amplitud de los datos, es decir, no importa si se pasa del valor máximo. Un tercer aspecto que hay que resolver es por donde iniciar la construcción de los intervalos de clases. Para el caso de variables cuantitativas continuas, se habla de una medida de desplazamiento (MD) que es igual al Rango ideal (RI) menos la Amplitud de los datos (A), donde RI es igual Ac * k, esto es:

MD = RI – A, entonces: MD = [(0.17*6) – 0.97]/2 =0.025, o aproximadamente 0.03. Este es el desplazamiento que debe tener el valor mínimo para iniciar la construcción de los intervalos. Al construir el primer intervalo, al valor mínimo le restamos el desplazamiento es decir, 1.01 – 0.03 = 0.98, éste es el límite inferior del primer intervalo de clase y su límite superior será 0.98 + Ac, es decir, 0.98 + 0.17 = 115, Para el caso del segundo intervalo de clase, su límite inferior es el límite superior del primer intervalo de clase o sea 115 y el límite superior será 1.15 + 0.17 = 1.32 y así sucesivamente hasta llegar al número de intervalos definidos. Esto es continuidad, ya que no existe ruptura entre intervalos. Entonces, para este tipo de variable (cuantitativa continua), los intervalos de clases son abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha. Luego se determina los Puntos Medios de Clase o Marcas de Clase en la segunda columna de la tabla, esto es: PMC = (Li + LS)/2. Posteriormente en una tercera columna se determinan las frecuencias absolutas, que en este caso se define como el número de observaciones que caben dentro del intervalo de clase. Para Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

que quepa una observación dentro de un intervalo de clase en este tipo de variable, éste tiene que ser mayor que el límite inferior o menor o igual que el límite superior. La tabla antes mencionada quedaría de la siguiente forma:

Intervalos de Clase 0.98 a 1.15 1.15 a 1.32 1.32 a 1.49 1.49 a 1.66 1.66 a 1.83 1.83 a 2.00

PMC 1.065 1.235 1.405 1.575 1.745 1.915

fi 2 5 8 7 4 4 30

fr 6.67 16.67 26.67 23.33 13.33 13.33 100

Fia 2 7 15 22 26 30

Fra 6.67 23.33 50.00 73.33 86.67 100

Para el caso de variables cuantitativas discretas, los intervalos de clases son cerrados por ambos lados.


METODOS GRAFICOS Dentro de las representaciones gráficas se pueden mencionar las siguientes: 

Diagrama de puntos



Pictogramas



Diagrama de barras sencillas, dobles, múltiples



Diagrama de sectores torta o pastel (pie)



Histogramas de frecuencias



Polígono de frecuencias absolutas ó relativas



Polígono de frecuencia acumulada por la izquierda (menor que) u ojiva



Gráficos de línea, etc.

Para efecto de este texto se desarrollarán los principales como son el Diagrama de Puntos por su relación con el Diagrama de dispersión, Histograma de frecuencia, Polígono de frecuencia, Ojiva y Diagrama de sectores.

Diagrama de Puntos Sirve para representar gráficamente cuadros de frecuencias en las cuales se consideran únicamente una variable y una cantidad asociada a cada valor de la misma (frecuencias). Existen dos tipos de diagramas de puntos cuya construcción se detalla enseguida. La construcción de los diagramas de puntos se realiza de la siguiente manera: 

El primer tipo de diagrama de puntos se construye colocando en el eje horizontal los valores de la variable y en el eje vertical las cantidades asociadas a éstos (frecuencias). Finalmente, para cada valor de la variable y cada cantidad asociada se dibuja puntos cuyas alturas corresponde a la magnitud de dicha cantidad.



Para construir el segundo tipo de diagrama de puntos se colocan en el eje horizontal los valores de la variable y sobre cada valor se dibuja tantos puntos como veces aparecen éstos.

Para ejemplificar el primer caso se retomará las alturas de los 30 habitantes que han sido mencionados anteriormente. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

En este caso se puede observar que los valores de la variable altura se encuentran en el eje horizontal y en el vertical, el número de habitantes, y el punto está compuesto por las coordenadas (altura, Número de habitantes con esa altura).

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Estatura (mt)

Histograma Se llama Histograma a la gráfica de barras verticales sin espaciamiento entre ellas, construida colocando en el eje vertical a las frecuencias absolutas ó relativas y el eje horizontal a los límites de clase de una tabla de frecuencias. Lo anterior implica que si los intervalos de clases son iguales, sobre cada clase se erigen rectángulos cuyas áreas son proporcionales a las frecuencias de clase. Las etapas que se deben de cubrir en la construcción de un histograma son: 

Colocar en el eje horizontal los límites de clases



Colocar en el eje vertical las frecuencias relativas o absolutas.



Erigir rectángulos cuya base son las clases y su altura las frecuencias que corresponde a cada clase

Para ejemplificar este método gráfico se tomará a la tabla de frecuencia absoluta y relativa y las frecuencias absolutas asociada a cada clase.


9

s a8 t u7 l o s b a6 s 5 a i c n4 e u c3 e r F2

1 0

Intervalos de clases

En este caso, dado que se utilizó la frecuencia absoluta para construir el histograma entonces el histograma toma el nombre de Histograma de Frecuencias Absolutas.

Polígono de Frecuencia Un polígono de frecuencia es una gráfica de líneas rectas que unen los puntos obtenidos al colocar en el eje horizontal a los valores medios (puntos medios) de clases y en el eje vertical a las frecuencias absolutas o relativas. Esto equivale a unir los puntos medios de la cara superior de los rectángulos de un histograma por medio de líneas rectas. Para cerrar el polígono se adiciona una clase tanto inferior como superior para que el polígono cierre. s a t u l o s b a s a i c n e u c e r F

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Puntos Medios de Clases


En este caso al igual que el histograma, el polígono retoma el nombre de la frecuencia que se ha utilizado para construir.

Polígono de Frecuencia Acumulada por la Izquierda o Ojiva Una Ojiva o Polígono de Frecuencia Acumulada es una gráfica construida con segmentos de líneas rectas que unen los puntos obtenidos al colocar en el eje horizontal a los límites superiores de clase y en el vertical a las frecuencias acumuladas absolutas o relativas. Al inicio en el eje horizontal se coloca el límite inferior de la primera clase y se le asigna una frecuencia acumulada de cero. Asimismo, por su naturaleza una ojiva es no decreciente. Retomando como ejemplo la misma tabla de frecuencia absoluta y relativa, se tomarán las frecuencias absolutas acumuladas por la izquierda o “menor que” de ésta.

Diagrama de Sectores (Torta o pastel) Este tipo de gráfico se utiliza para representar datos cualitativos y cuantitativos discretos. Su uso más frecuente es con el propósito de comparar ya sea las categorías que toma una variable cualitativa o los valores discretos de una variable cuantitativa respecto al total. Para construir este gráfico se utiliza una circunferencia, la cual se divide en sectores de tal manera que sus medidas angulares centrales y, por ende la superficie del sector circular sean proporcionales a las magnitudes de los valores de la variable que se trata de representar. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

Al total de las frecuencias (∑fi = n) le corresponde el círculo completo, es decir, los 3600 de la circunferencia y por regla de tres simple se determina el número de grados que le corresponde a cada categoría o valor discreto en particular. Ejemplo: Los datos que se muestran a continuación corresponden a la distribución de los docentes de una universidad en particular, respecto al lugar de realización de estudios de diplomados.

Lugar de realización del Diplomado Extranjero Universidad de Interés Otras universidades bolivianas Total

n 19 87 31 137

% 13.87 63.5 22.63 100

Tratando de representar estos datos en diagrama de sectores se tiene lo siguiente:

Número de grados para la categoría “Extranjero”. (19 x 3600) = = 49.9 = 50 137 De la manera que quedaría de la siguiente forma una vez que se hayan realizado las operaciones correspondientes:

Lugar de realización del Diplomado Extranjero Universidad de Interés Otras universidades bolivianas Total

n 19 87 31 137

De forma gráfica se vería de la siguiente forma:


Grados 50 229 81 360

Otras universidades bolivianas 23%

Extranjero 14%

Universidad de Interés 63%


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O POSICIÓN Como se pudo observar en la unidad anterior los histogramas o distribuciones de frecuencias presentan formas muy variadas, por lo que no es fácil de comparar dos conjuntos de datos mediante una inspección somera de los histogramas. Por otra parte, una tabla de frecuencia con 15 a 20 clases puede no ser una representación suficientemente concisa de los datos. Por estas razones y por su importancia en posteriores usos es necesario contar con cantidades que describan sucintamente (rápidamente) el conjunto de datos que se estudia. Son de interés cantidades que localicen el "centro" de las observaciones (o más bien de su distribución de frecuencias) y la dispersión o variabilidad de las mismas. A las medidas que localizan el "centro" de los datos se les llama "Medidas de Tendencia Central" y las que miden la variabilidad de las observaciones se les llama "Medidas de Dispersión". Dentro de las medidas de Tendencia Central se pueden mencionar las siguientes: Media o promedio Media ponderada Media Geométrica Media Armónica Media Cuadrática Mediana Moda Por el grado de aplicabilidad serán desarrollada la siguientes medidas de tendencia central: media aritmética, mediana y moda y, como un caso especial de la media aritmética, la media ponderada.

Media Aritmética También llamada media. Def: La media aritmética de n observaciones de la variable X se

  

denotará por , y se define como la suma de ellas dividida por "n".





Ejemplo: Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

Esto es:

Sean los siguientes datos x1=2, x2=12, x3=9, x4=10, x5=7. La media aritmética de estos datos es:

     

Desde un punto de vista geométrico, la media aritmética corresponde al punto de equilibrio de los datos. La media aritmética es la medida descriptiva de tendencia central más usada. Tiene la ventaja de ser fácil de calcular, además de poseer propiedades teóricas excelente desde el punto de vista de la estadística inferencia. Su principal desventaja es que, por ser el punto de equilibrio de los datos es muy sensible a la presencia de observaciones extremas. Por otro lado su cálculo se vuelve tedioso cuando la base de datos es muy grande. Otra desventaja es que no se puede calcular en datos que tienen intervalos de clases abiertos.

Cálculo de la Media Aritmética en Tablas de Frecuencias En muchas ocasiones se nos presenta el problema de estimar la media a partir de una tabla de frecuencias. Esto se da por dos razones: 

Ya se han presentado los datos en forma resumida y no se dispone de las observaciones originales.



Cuando se dispone de las observaciones originales, pero su número es tan grande que las operaciones aritméticas necesarias para el cálculo de la media requieren de mucho trabajo. Entonces el uso de una tabla de frecuencias simplifica considerablemente el trabajo. Se debe de recordar que cuando se tiene una tabla de frecuencias con k clases se da lo

siguiente:

 ∑   

En una clase se tienen fi observaciones (frecuencia absoluta), las cuales pueden tener cualquier valor entre el límite superior e inferior de esa clase. Para calcular de una manera aproximada la media, se supone que las observaciones se encuentran uniformemente distribuidas en el intervalo y, por lo tanto, el valor medio de clase (Punto medio de clase o Marca de Clase) es un valor representativo de esa clase. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

Con esta suposición el cálculo de la suma de las observaciones se simplifica de la siguiente manera:

       

Esta expresión representaría la suma aproximada de las observaciones; por lo tanto, la media aritmética se estimaría de la siguiente manera: Todo lo anterior es posible siempre y cuando no se tengan clases abierta en la tabla. Ejemplo: Para ejemplificar la media aritmética para datos tabulados se retomará la tabla de frecuencias absolutas y relativas que se ha expuesto anteriormente, la cual corresponde a la estatura de 30 personas. Se pide estimar la estatura promedio de estas personas. Es importante ver que lo que se ha solicitado es una estimación de la estatura y no una determinación ya que en datos lo único que se puede hacer es una estimación ya que la determinación se la realiza en los datos originales. Retomando la ecuación de estimación de la media aritmética se tiene lo siguiente:

Intervalos de Clase 0.98 a 1.15 1.15 a 1.32 1.32 a 1.49 1.49 a 1.66 1.66 a 1.83 1.83 a 2.00

PMC 1.065 1.235 1.405 1.575 1.745 1.915

fi PMC*fi 2 2.13 5 6.175 8 11.24 7 11.025 4 6.98 4 7.66 Total 45.21 Promedio 45.21/30 = 1.507

   La estimación proporcionó un valor de 1.507 m/persona. La determinación del promedio en la base de datos original, es de 1.513 m/persona. Siempre se observará una diferencia que es producida por el hecho de que en una tabla de frecuencia lo que se realiza es una estimación y no una determinación. Esta diferencia será cada vez menor si la medida de desplazamiento para construir la tabla sea pequeña. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

Propiedades de la Media Aritmética La media aritmética tiene muchas propiedades sin embargo, solo se expondrá una por la relevancia que tiene a nivel de inferencia y es la siguiente: 

La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números respecto a su media aritmética es cero, es decir:

   

. Esta es la razón por la cual le media se

la interpreta como el punto de equilibrio de una colección de datos numérica y además,

es por ello que en Estadística se le conoce como “el primer momento”. Mediana Es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra (un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores). No presentan el problema de estar influido por los valores extremos, pero en cambio no utiliza en su cálculo toda la información de la serie de datos (no pondera cada valor por el número de veces que se ha repetido).

La mediana (Me) de un conjunto de “n” números, ordenados de me nor a mayor, es el número central en el arreglo. Si n es un número non, sólo hay un valor central. Si n es un número par, hay dos valores centrales, y la mediana debe tomarse como la media de estos dos valores. Ejemplo... 1.- Sean la siguiente colección de datos: 27, 3.4, 3.2, 3.3, 3.1 El primer paso para determinar la Mediana en datos sin tabular es ordenar los datos en orden ascendente o descendente de tal forma que: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 27. Dado que n es un número non o impar (n=5), entonces sólo hay un valor central (3.3) y éste es el valor de la mediana. Me = 3.3 2.- Calcular la mediana para los siguientes datos y ordenados: 151, 152, 153, 158, 162, 167, 167, 167, 168, 173 En este caso n es par (n=10), por lo que hay dos valores centrales, que son 162 y 167. Entonces partiendo del concepto de Mediana, la Me es la media aritmética de estos dos valores ya que antes y después de ella, no existe más del 50% de los datos.


Me = (162 + 167)/2 = 164.5. Entonces cuando este sea el caso la Me, se puede determinar de la siguiente forma:

         

Cuando los datos son simétricos entre la mediana y la media aritmética no hay mucha diferencia; sin embargo, para datos no simétricos es mejor medida de tendencia central la mediana que la media.

Cálculo de la Mediana en datos tabulados Cuando los datos están agrupados en clases, es decir, cuando existe una tabla de distribución de frecuencias, para estimar la mediana se utiliza la siguiente ecuación:

   Donde:

Me = Mediana a = Límite inferior de la clase de la Mediana b = Límite superior de la clase de la Mediana c = Frecuencia relativa acumulada una clase antes de la clase de la Mediana d = Frecuencia relativa de la clase de la Mediana Como se puede observar todos los insumos requeridos para la determinación de la Me, están en la misma tabla. Como se ha verificado anteriormente, la mediana es aquella medida de tendencia central que antes y después de ella no existe más del 50% de la información, es decir, parte en dos la base de datos. A partir de esto es que se propuso partir la base de datos en cuatro partes y se le llamó cuartiles, luego en 10 parte y se les llamó deciles y luego en 100 partes y se les llamó percentiles. A todo esto se llaman Fractiles, los cuales no se desarrollan en el presente documento pero si se recomienda revisar cualquiera de la obras citadas al final de este documento para verificar esta información.

Moda La Moda (Mo) de un conjunto de datos es la observación o valor (si existe) que ocurre con mayor frecuencia. Si es un valor único se dice que la distribución de frecuencias es unimodal. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

Si se tienen dos o más valores con la misma frecuencia máxima se dice que la distribución es bimodal, trimodal, etc. Ejemplo: sean los siguientes datos las calificaciones de un examen: 10, 7, 8, 7, 9, 8, 7, 9. En este caso la calificación que más se repite es 7 ya tiene una frecuencia fi =3, por lo tanto la Mo es 7. Sean los siguientes datos: 10, 6, 7, 4, 13, 16, 18 Como se puede observar en estos datos todos tienen una frecuencia absoluta igual a 1, por lo tanto no tiene moda este conjunto de datos. Las distribuciones de este tipo se les llaman uniformes. Sean los datos: 4, 3, 4, 7, 2, 7, 5, 4, 7, 5, 9, 7, 4 Aquí se puede observar que los valores numéricos con mayor e igual frecuencia son los valores 4 y 7 por lo tanto la moda de estos datos es 4 y 7, o sea que una distribución bimodal. Cuando los datos se encuentran organizados en Cuadros de frecuencia, la Mo es el valor que tiene la mayor frecuencia absoluta. Ejemplo: Los datos que se muestran a continuación, corresponden a la estatura de 30 personas que conformaron una muestra. Según el cuadro de frecuencia donde se presenta esta información, existen 3 valores que tienen la mayor frecuencia absoluta. Estos son 1.21, 1.22 y 1.28 con fi = 4; por lo tanto existen 3 Modas. Éstas son: 1.21, 122 y 1.28 m, por lo tanto la distribución es trimodal.


Observación 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 Total

fi 1 4 4 2 1 2 3 3 4 3 3 30

Frecuencias fia fr (%) 1 3.33 5 13.33 9 13.33 11 6.67 12 3.33 14 6.67 17 10.00 20 10.00 24 13.33 27 10.00 30 10.00 100

Fra 3.33 16.66 30.00 36.66 40.00 46.66 56.66 66.66 80.00 90.00 100.00

Cuando la información se encuentra organizada en una tabla de frecuencias absoluta y relativa, la Mo se puede estimar a través de la siguiente ecuación:

       Donde:

Mo = Moda Licm = Límite inferior de la clase modal Acm = Amplitud de clase de la clase modal ficm =Frecuencia absoluta de la clase modal ficprem = Frecuencia absoluta de la clase postmodal ficpostm = Frecuencia absoluta de la clase postmodal Ejemplo: Sea la siguiente tabla de frecuencia absoluta y relativa correspondiente a la variable estatura de 30 personas. De hecho la variable estatura es una variable cuantitativa continua, además la tabla lo demuestra ya que entre los intervalos no existe ruptura, es decir, que el límite superior de la primera clase es el inferior de la siguiente clase. Es por ello que se dicen que son abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

Intervalos de Clase (0.98 a 1.15] (1.15 a 1.32] (1.32 a 1.49] (1.49 a 1.66] (1.66 a 1.83] (1.83 a 2.00]

PMC 1.065 1.235 1.405 1.575 1.745 1.915

fi 2 5 8 7 4 4

En este caso la clase modal sería aquella que tiene mayor frecuencia absoluta, esta es: (1.32 a 1.49] =8, entonces partiendo de la ecuación proporcionada anteriormente:

       Mo = 1.32 + 0.17 [(8 - 5)/((8 - 5) + (8 – 7)) = 1.4475

MEDIDAS DE DISPERSION Estas son las medidas que miden como se dispersan los datos, generalmente alrededor de una medida de tendencia central. Entre éstas se pueden mencionar las siguientes: Rango o Amplitud Desviación Media y Mediana Varianza y Desviación Típica Dispersión Relativa Generalmente las más utilizadas son: Varianza, Desviación típica y Dispersión relativa o Coeficiente de Variación y una que en los métodos tabulares ya se ha utilizado como es el Rango.

Rango La Amplitud, Rango o Recorrido de un conjunto de datos es la diferencia entre las observaciones de mayor y menor valor numérico en el mismo.

R = Valor máximo - Valor mínimo


Tiene la ventaja de ser fácil su determinación, pero no es una buena medida de dispersión ya que solo toma en cuenta dos valores de toda la colección y no idea de cómo es la variabilidad dentro de los datos.

Varianza La varianza retoma un nombre de acuerdo a dónde se determina. Si la determinación es en una

población se la llama Varianza Poblacional (σ²) y si es en una muestra se le llama Var ianza Muestral (s²). La Varianza Población o Variancia de una población finita de N elementos x1, x2, x3, ...xn; se define como la media aritmética del cuadrado de las desviaciones de las observaciones

respecto a su media μ; y se determina a través de la siguiente ecuación para varianza poblacional:

    

En caso de que sea muestral y para datos no organizados en una tabla de frecuencia absoluta y relativa, se determina de la siguiente forma:

             

Para datos tabulados, la varianza se determina de la siguiente manera:

Existe una fórmula de trabajo mucho más rápido para determinar la varianza muestral para datos no tabulados que resulta de desarrollar en trinomio cuadrado perfecto de la ecuación. Esta fórmula es:

       Ejemplo: Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

Sean los siguientes datos las estaturas de 30 estudiantes de un salón de clases

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Estatura 1.25 1.28 1.27 1.21 1.22 1.29 1.30 1.24 1.27 1.29

Alumno 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Estatura 1.23 1.26 1.30 1.21 1.28 1.30 1.22 1.25 1.20 1.28

Alumno 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Estatura 1.21 1.29 1.26 1.22 1.28 1.27 1.26 1.23 1.22 1.21

      

∑xi² = (1.25² + 1.28² + 1.27² +… 1.21²) = 47.1558 ∑xi = (1.25 + 1.28 + 1.27 +… 1.21) = 37.6

n = 30 S² =

(37.6)² 30

47.1558 30-1

S² = 0.00105 m² Dado que se determina o se estima la varianza se eleva al cuadrado las unidades originales de medición razón por la cual no se debe comparar con la media aritmética ya que ésta es medida en unidades lineales. Por esta razón, es que se propone una nueva medida de dispersión llamada Desviación Típica.

Desviación Típica No es más que la raíz cuadrada positiva de la varianza. En este sentido se puede hablar entonces desviación típica poblacional y muestral, entonces:

σ = √σ² Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

S = √S² Para el caso del ejemplo anterior, S = √0.00105 = 0.0324 m Este dato indica que los datos se dispersan en promedio 0.0324 m del promedio de la variable Estatura.

Coeficiente de Variación Todas las medidas de dispersión antes descritas son medidas de variación absoluta. Una medida de la dispersión relativa de los datos, que toma en cuenta su magnitud, está dada por el Coeficiente de Variación.

Coeficiente de Variación (C.V): Es una medida de dispersión relativa de un conjunto de datos, que se obtiene dividiendo la desviación estándar del conjunto datos entre su media aritmética.

   

Cuando se multiplica por 100 se expresa en porcentaje indicando tanto por uno que se alejan los datos de su media aritmética.

  

Ejemplificando con los datos anteriores se tendría: C.V = (0.0324/1.253)*100 = 2.586%, indicando con ello que por cada valor de la media los datos se dispersan en un 2.586% alrededor de ella. Ejemplo. Sean la siguiente tabla de frecuencia absoluta y relativa, las estaturas correspondientes a 30 estudiantes. La tabla es la siguiente:

Intervalos de Clase (0.98 a 1.15] (1.15 a 1.32] (1.32 a 1.49] (1.49 a 1.66] (1.66 a 1.83] (1.83 a 2.00]

PMC 1.065 1.235 1.405 1.575 1.745 1.915

Determine el Coeficiente de Variación de los datos. Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

fi 2 5 8 7 4 4

Nótese que solo piden CV, entonces necesitamos dos insumos, la desviación típica y la media aritmética de los mismos. Como se necesita S, entonces se necesita de S². Entonces realizando los cálculos necesarios en la misma tabla se obtienen todos los insumos para la estimación del Coeficiente de variación como se muestra a continuación. Note que lo que se hizo fue generar los componentes de las ecuaciones a determinar:

Intervalos de Clase (0.98 a 1.15] (1.15 a 1.32] (1.32 a 1.49] (1.49 a 1.66] (1.66 a 1.83] (1.83 a 2.00] Totales

PMC 1.065 1.235 1.405 1.575 1.745 1.915

fi 2 5 8 7 4 4 30

       S² =

69.9 -

(45.21)² 30 30-1

S² = 0.0609 S = 0.0780

          

45.21/30 = 1.507

C.V = (0.0078/1.507)*100 = 0.5176


PMC²fi PMCfi 2.2685 2.13 7.6261 6.175 15.792 11.24 17.364 11.03 12.18 6.98 14.669 7.66 69.9 45.21

DEFORMACION DE CURVAS UNIMODALES Una curva unimodal se puede deformar de dos maneras, respecto a un eje horizontal o bien respecto a un eje vertical. Cuando se trata de una deformación horizontal se habla de Asimetría y cuando se habla de deformación vertical se habla de Curtosis.

Asimetría (Deformación Horizontal) Asimetría es el grado de deformación horizontal que presente una curva unimodal respecto al eje horizontal. De acuerdo a ello se puede tener lo siguiente:

Asimetría Positiva: Se dice que una distribución de frecuencia unimodal presenta asimetría positiva o a la derecha, si tiene una ramificación más extendida hacia la derecha o hacia los valores grandes de una variable. Esto indica que la variable tiende a tomar valores mayores que su promedio y la relación que se establece entre las principales medidas de tendencia central es la siguiente:



Asimetría Negativa: Una distribución unimodal tiene asimetría negativa o hacia la izquierda, si tiene una ramificación más extendida hacia la izquierda indicando con ello que la variable tiende a tomar valores inferiores a su promedio. En este caso, la relación que se establece entre las principales medidas de tendencia central es la siguiente: La siguiente gráfica resume la asimetría negativa y positiva




Curva Simétrica: En este caso la variable se deforma proporcionalmente con respecto al eje horizontal y la relación que que se establece entre las principales medidas de tendencia central es la siguiente:



 Coeficiente de Asimetría La medida más usada para cuantificar la asimetría de la distribución de frecuencias de una variable X, recibe el nombre de coeficiente de asimetría y que desde el punto de vista de momento (tercer momento) tiene por ecuación:


      



La ecuación antes expuesta es para datos sin organizar o datos no tabulados. Aquí se puede observar que si existen observaciones muy grandes en relación a la media, el coeficiente de asimetría tendrá un valor positivo. Si existen observaciones muy pequeñas (menor que la media), el coeficiente de asimetría será negativo y, finalmente, si las observaciones están simétricamente distribuidas alrededor de la media, el coeficiente de asimetría tendrá el valor

de cero. Ejemplo. Sea los siguientes datos: 6.2, 7.9, 8.1, 8.5, 8.5, 8.9, 9.1, 10.8 Determine el CAs.

̅ 

= 8.5 s = 1.29 = 2.1388

xi 6.2 7.9 8.1 8.5 8.5 8.9 9.1 10.8



(xi -x) -2.3 -0.6 -0.4 0.0 0.0 0.4 0.6 2.3

(xi - x)³ -12.167 -0.216 -0.064 0.0 0.0 0.064 0.216 12.167

  = 0

Por lo tanto se puede decir que la distribución es simétrica, en este caso el promedio, la mediana y la moda coinciden en el mismo valor, lo cual puede ser verificado. Para datos organizados en una tabla de frecuencia absoluta y relativa el coeficiente de asimetría se estimar siempre y cuando la tabla no presente clases abierta, por la siguiente ecuación:


̅      Ejemplo:

Intervalos (20.5 a 25.5] (25.5 a 30.5] (30.5 a 35.5] (35.5 a 40.5] (40.5 a 45.5] (45.5 a 50.5] (50.5 a 55.5] (55.5 a 60.5] (60.5 a 65.5]

PMC 23 28 33 38 43 48 53 58 63

fi 3 42 21 7 3 2 2 2 1 83

PMC*fi 69 1176 693 266 129 96 106 116 63 2714

 ̅  *fi 1587 32928 22869 10108 5547 4608 5618 6728 3969 93962

fi -2736.99887 -4357.21344 0.5738588 1042.84987 3279.33151 7164.84635 16733.8331 32393.1814 27821.4455 81341.8493

Fia 3 45 66 73 76 78 80 82 83

Obteniendo la información necesaria de la tabla:

̅            √      

= 1.9309312; por lo tanto, la asimetría resultante es Positiva, esto quiere

decir que la

misma tabla.


, lo cual puede demostrarse con la información que proporciona la

Medidas de Curtosis (Deformación Vertical) Medidas de Curtosis o apuntamiento. Se entiende por Curtosis, la medida de deformación vertical de una distribución de frecuencias, es decir, la medida de apuntamiento o achatamiento de una distribución. La Curtosis mide cuan puntiaguda es una distribución en general por referencia a la normal. La forma de medir la Curtosis o apuntamiento puede ser en función de momentos o cuartiles. Curtosis en función de Momentos: En este caso el grado de apuntamiento está dado por:



      ; para datos sin organizar

En caso que los datos estén tabulados (organizados) y si la tabla no presente clases abiertas se puede estimar Curtosis desde el punto de vista de momento a través de la siguiente ecuación:

̅     

El coeficiente de Curtosis puede tomar uno de los siguientes valores, indicando con el tipo de deformación vertical de la curva unimodal. Estos son: Kur > 3: Este valor indica que la distribución es más apuntada que la normal y recibe el nombre de Leptocúrtica Kur = 3: En este caso la distribución es moderadamente apuntada y se llama Mesocúrtica (o apuntamiento normal) Kur < 3: Este indica que la distribución es menos apuntada que la normal, o sea achatada y se llama Platicúrtica


TEORIA DE PROBABILIDADES Experimento Aleatorio En Estadística, los conjuntos de interés son colecciones de observaciones obtenidas estudiando el comportamiento de un fenómeno, ya sea en estado natural o bien bajo control. Al proceso mediante el cual se obtiene observaciones se llama experimento. Los experimentos u operaciones reales o hipotéticas pueden dividirse en dos clases: 

Experimento Determinístico



Experimento no Determinístico

Un experimento es determinístico si su resultados están completamente determinados y puede describirse por una fórmula matemática llamada también modelo determinístico (no son de interés desde el punto de vista estadístico) Ejemplo... Supóngase que el experimento consiste en lanzar un objeto (piedra) al aire. De hecho ésta va a caer porque posee un peso y por la fuerza de gravedad que ejerce la tierra. De hecho se puede saber cuál es el tiempo que tardará en hacerlo. Este experimento se puede modelar por la ecuación de caída libre de los cuerpos. En este caso de hecho se sabe cuál será el resultado que se obtendrá. Otro ejemplo sería si se lanza una pelota al agua, ésta de hecho flotará, en caso de ser de hierro pues no flotará. Un experimento es no determinístico si los resultados del experimento no se pueden predecir con exactitud antes de realizar el experimento. Ejemplo... Supóngase que un experimento consiste en la aplicación de un sedante a una persona que tiene dolor de cabeza. Aquí los posibles resultados pueden ser {sanos, enfermos}. En este caso no se sabe a ciencia cierta cuál de estos dos resultados sucederá. Otro ejemplo sería el lanzamiento de un dado legal. Aquí los resultados posibles son: {1, 2, 3, 4, 5,6}. Se sabe cuáles son los posibles resultados, pero no se sabe cuál precisamente. En estos ejemplos se puede identificar lo siguiente:


.- Cada experimento se puede repetir indefinidamente sin cambiar esencialmente las condiciones. .- Cada experimento es no determinístico. .- Cada experimento tiene varios resultados posibles que pueden describirse con anterioridad con precisión (resultados a priori). Entonces a un experimento que presentas las tres características mencionadas anteriormente se llama experimentos aleatorio. En otras palabras, un Experimento Aleatorio es aquél cuyos resultados no pueden predecirse antes de su realización, y por lo tanto, están sujetos al azar.

Espacio Muestral y Sucesos Elementales Como se ha observado anteriormente, un experimento aleatorio tiene varios resultados posibles y que pueden ser escritos con precisión. Entonces: A todo los resultados posibles asociados a un experimento aleatorio ε, se le llama Espacio Muestral y se denotará por M y a cada resultado de un espacio muestral M se llamará suceso.

Ejemplo... Extraer un artículo defectuoso de un lote que contiene artículos defectuosos "D" y no defectuosos "N" M = {D, N} .- Lanzamiento de un dado legal M = {1, 2, 3, 4, 5,6} .- Lanzamiento de una moneda.... M = {C, S} .- Designación de un delegado de un grupo de 50 personas M = {A1,A2,....,A50} ... Ai = i-ésima persona Los experimentos aleatorios pueden ser simples o compuestos. Experimentos aleatorios simples son los que se han ejemplificado anteriormente. Un experimento aleatorio compuesto consiste en dos o más experimentos simples que puede ocurrir de forma sucesiva o bien de forma simultánea.


Considérese el caso de experimento aleatorio compuesto: aquellos en que los experimentos simples están unidos por la partícula gramatical "o" en el sentido excluyente y aquellos donde los experimentos simples están unidos por la partícula gramatical "y".

Experimentos compuestos unidos por la partícula "o" excluyente Un experimento compuesto ε, se dice que es una o -combinación de los experimentos ε1 y ε2 sí, sólo sí, el experimento ε ocurre, cuando el experimento ε1 ó ε2 ocurren (pero no ambos) .

Esto quiere decir que ocurren de forma sucesiva pero no al mismo tiempo. Ejemplo... Considérese el experimento  consistente en lanzar un dado o una moneda. Determine el espacio muestral del experimento. M1 = {1,2,3,4,5,6} ... lanzamiento del dado ε1 M2 = {C,S} ... lanzamiento de la moneda ε2. Por lo tanto, el espacio muestral asociado a ε, es la unión de M1 y M2. Es decir: M = M1 U M2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, C, S}

Experimentos compuestos unido por la partícula "y" Un experimento compuesto , se dice que es un y-combinación de los experimentos simples 1 y 2, sí y sólo sí, el experimento

ocurre, cuando el experimento

1 y 2 ocurre.

Lo

anterior trae como consecuencia que si el experimento compuesto ε es una y-combinación de los experimentos 1 y 2, el espacio muestral M asociado a , es el producto cartesiano de los espacios muestrales M1 y M2 correspondiente a 1 y 2, es decir: M = M1 x M2. Ejemplo... Se lanza una moneda tres veces. Determine el espacio muestral. Aquí se puede observar que el experimento  ocurre, si los tres experimentos simples ocurren... i = 1,2,3; i= i-ésimo lanzamiento de la moneda. Esto es:

M1 = {C,S} M2 = {C,S} M3 = {C,S} Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

 consiste en realizar el experimento ε1, luego ε2 y luego ε3. Por lo tanto: M = M1 x M2 x M3

M = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, CSC, SSC, SSS} que resulta del producto cartesiano de los espacio muestrales simples que conforman al experimento compuesto como se muestra a continuación:

M3

M1*M2

M2

C S CCC CCS M1 C S CC CC CS CSC CSS C CS SC SS SCC SCS S SC SSC SSS SS Otro ejemplo podría ser el experimento aleatorio compuesto consistente en el lanzamiento de una moneda y un dado al mismo tiempo.

M2 M1 C S

1 (C,1) (S,1)

2 (C,2) (S,2)

3 (C,3) (S,3)

4 (C,4) (S,4)

5 (C,5) (S,5)

6 (C,6) (S,6)

En muchos casos un diagrama, conocido con el nombre de Diagrama del Árbol, es más sugerente para la determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio compuesto. Ejemplo... Determine el espacio muestra M del experimento aleatorio compuesto consistente en el lanzamiento de tres monedas al mismo tiempo (2n) = 24 = 16


En este caso el espacio muestral se obtiene con los resultados que tiene cada rama del árbol, es decir, M= {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, CSC, SSC, SSS} Sucesos y Algebra de sucesos (α -Algebra de Borel)

Como se ha mencionado anteriormente, un suceso es un resultado de un experimento aleatorio. Si se ha definido al espacio muestral como todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, es decir, se puede concebir al espacio muestral como un conjunto universo. Si se ve desde este punto de vista, se puede hablar entonces de subconjunto y elementos de este conjunto universo llamado espacio muestral. Se llama Evento a cualquier subconjunto del espacio

muestral y se le denota por A, B, C, D, E, F, etc. Así, si A es un evento, entonces A  M, y se le llamará suceso a cada elemento de un espacio muestral y se le designa por w, x, y, etc. Esto es si x es un suceso, entonces x  M. Un evento con un sólo elemento es un evento elemental.


Ejemplo: considérese como experimento aleatorio al lanzamiento de un dado y al evento A como la ocurrencia de un número par. Determine el espacio muestral. M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6}; entonces se dice que A  M Dado que ya se ha identificado el espacio muestral como conjunto universal, los eventos como subconjunto del espacio muestral, se identificará también el conjunto vacío ( ) de la teoría de conjunto como el evento imposible, esto es, un evento que no se da o sea que no ocurre. Por ejemplo, lanzar dos dados simultáneamente, y sea el evento A: "obtener suma de 14". De hecho esto nunca va a suceder  A = {}.

Sub-evento: Dados dos eventos, A y B se dice que A está contenido en B o que A es sub-evento de B, si todo suceso favorable a A, es favorable a B. En otras palabras, si ocurre el evento A,  ocurre el evento B. Esto es: A  B, si wi  A  w  B M

A B Igualdad de Eventos: Se dice que dos eventos A y B son iguales si, A B y BA. Esto es: A = B = AB y BA.

Unión de Eventos: Dados dos eventos A y B, se llama unión de A con B y se denota por A B al evento formado por los sucesos que pertenecen a A ó a B ó, a ambos, es decir: AB = {wi M /wiA v wi B}.


M

M

AB

Intersección: Dados los eventos A y B, se llama intersección de A con B, al evento formado por todos los sucesos favorables a A y a B. Es decir, ambos eventos A y B ocurren. Esto es: AB = {w  M / wA  w  B}. M

AB

Complemento: Si A es un evento del espacio muestral M, se llama complemento de A, al evento formado por todos los sucesos que no pertenecen a A. Es decir, no ocurre el evento A. Esto es: Ac = M - A = {wi  M / wi  A}


M A

c

Ac

Eventos Mutuamente Excluyente y colectivamente exhaustivos (complementarios) Dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral, se dice que son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro. Es decir, que AB = 

Enfoques de Probabilidades Definir probabilidad estrictamente es un poco inadecuado. La formulación axiomática de la teoría de probabilidades requiere niveles de abstracción y competencia matemática fuertes. Sin embargo, hay autores que plantean enfoques a través de los cuales se puede abordar las probabilidades. Estos enfoques son: 1. Enfoque o Probabilidad Clásica (llamada también de Laplace o Apriori) 2. Enfoque desde el punto de vista de frecuencia relativa (llamada también A posteriori). 3. Probabilidad subjetiva

Enfoque Clásico o A priori: Llamado también Este definición se basa en el supuesto de que todos los resultados posibles de un experimento aleatorio son igualmente probable, es decir, cada suceso de un espacio muestral M, tienen la misma posibilidad de ocurrir. Según Laplace (1812) la probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos

(sucesos) favorables y el número total de casos (sucesos) posibles, siempre que nada obligue a creer que alguno de estos sucesos deban de tener preferencia a los demás, lo que hace que todos sean iguales. Esto es: Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

   

Observaciones: 1.-

La probabilidad de un evento cualquiera A está comprendido entre 0 y 1. En efecto nA y n son enteros positivos y 0  nA  1. Esto es:

0/n nA/n n/n ó 0 P[A] 1 2.-

P [A] = 0, si A es un evento imposible A = ;  nA = 0, luego P[A] = 0/n = 0

3.-

P [A] = 1, si A es el evento seguro (A = M), es decir A = M nA = n  P[A] = n/n = 1

4.- Puesto que todos los elementos de M = (w1, w2, ..., wn} son igualmente probables P[{wi}] = 1/n; i = 1, 2,3,..., n  P [M] = Σ P[wi] = 1

Si A es un evento de M  P [A] = Σ P [{wi}] wiεA Ejemplo..... Si se lanza una moneda tres veces. Calcular la probabilidad que ocurran: a.- Dos caras b.- Al menos dos caras c.- A lo más dos caras El espacio muestral de este experimento lo puede obtener a través de producto cartesiano o bien a través del diagrama del árbol. Determinando el espacio muestral: M = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS} a.- A = {CCS, CSC, SCC}  P[A] = 3/8 b.- B = {CCC, CCS, CSC, SCC}  P[B] = 4/8 = 1/2 c.- C = {CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}  P[C] = 7/8 Ejemplo Considérese el lanzamiento de dos dados. Calcular la probabilidad de: a.- Obtener suma 7 b.- Obtener suma 6 c.- Obtener suma mayor que 5 d.- Que el resultado del primer dado sea mayor que el resultado del segundo dado. A = {(w1,w2)  M / w1 + w2 = 7} Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris Mgs. En Educación Superior

B = {(wi,w2)  M / w1 + w2 = 6} C = {(w1,w2)  M / w1 + w2 > 5} D = {w1,w2)  M / w1 > w2}] Determinando el espacio muestral

a través del producto cartesiano de los dos espacios

muestrales simples de los experimentos que conforman este experimento compuesto se tendría lo siguiente:

M2 M1 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

P[A] = 6/36 = 1/6 (nA) = 6 P[B] = 5/36 (nA) = 5 P[C] = 26/36 (nA) = 26 P[D] = 15/36 (nA) = 15


4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

Probabilidad desde el punto de vista de Frecuencia Relativa (o A posteriori). Supóngase la siguiente pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la mitad o más de los estudiantes de Esta2 obtengan notas aprobatorias?. En este caso y en muchos más, no sirve de nada enumerar todos los resultados posibles. Como se puede observar esta pregunta no se puede responder utilizando la definición clásica de probabilidades, dado que se necesita mayor información. Esto conlleva a la interpretación de probabilidades en términos de vista de frecuencia relativa.

Si un experimento bien definido se repite n veces (n grande): sean nA < n el número de veces que el evento A ocurren los n ensayos, entonces la frecuencia relativa de veces que ocurre el evento A "nA/n", es la estimación de la probabilidad que el evento A ocurra, esto es: P[A] = nA/n Observación: 1.-

La frecuencia relativa de un evento, está comprendida entre 0 y 1 0 P[A]  1

2.

nA/n = 1, sí y sólo sí, el evento A ocurre en las n repeticiones de experimento. En particular nM/n = 1

Ejemplo.

Sexo Masculino Femenino Total

A 90 15 105

Partido Político B C D 80 65 35 20 5 10 100 70 45

E 37 3 40

F 13 2 15

Total 320 55 375

Determine las siguientes probabilidades: a. ¿Cuál es la probabilidad que un miembro seleccionado aleatoriamente b.- Sea una mujer? c.- Pertenezca al partido B? d.- Sea hombre miembro del partido C? Solución..... a.- P[Mujer] = 55/375

b.- P[B] = 100/375 c.- P[C] = (70)/375

Definición Subjetiva de Probabilidad Probabilidad desde el punto de vista subjetivo está relacionada con una presunción, creencia o como algunos autores le llaman corazonada, por lo tanto, puede variar de una persona a otra. Dado un experimento determinado, la probabilidad de un evento A es el grado de creencia asignado a la ocurrencia de este evento por un individuo particular, basado en toda la evidencia a su disposición con las siguientes exigencias: 1.- P[A] = 0, representa la certeza que el evento A, no ocurrirá 2.- P[A] = 1, representa la certeza que el evento A, sí ocurrirá

Principales Teoremas de Probabilidad: 1. O  P[A]  1, para cada evento A en M. 2. P[M] = 1 3. P[AUB] = P[A] + P[B]; siempre y cuando los eventos A y B ocurran por separado o de forma independiente. 4. P [AUB] = P[A] + P[B] – P[AB]; en este caso A y B no son eventos independientes, es decir, que ocurren al mismo tiempo. 5. Si A =  , entonces P[A] = 0 6. Eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos o complementarios. Sea A y B, dos eventos en el espacio muestral, se dice que son mutuamente excluyente si la ocurrencia de uno de ellos elimina la ocurrencia del otro y viceversa y son complementarios si la suma de sus probabilidades, es decir la unión de ambos, da como resultado la probabilidad del espacio muestral. Si dos eventos cumplen estos dos requisitos se dicen que forman una partición del espacio muestral M. 7. Sea A es un evento en M, entonces P[A´] = 1 – P[A]

Probabilidad Condicional (Dependencia de Eventos) Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

A menudo sucede que la ocurrencia de un evento depende de la ocurrencia de otro y es de frecuente interés obtener la probabilidad de un evento, donde dicho evento está condicionado a la ocurrencia de un subconjunto del espacio muestral (otro evento). Es decir, que se dice que el evento B ha ocurrido y se quiere saber la probabilidad que ocurra el evento A. Sea A y B dos eventos en el espacio muestral M si P [B]  0, se define la probabilidad condicional del evento A dado el evento B como:

       

;P



Es decir, la probabilidad condicional es una probabilidad calculada en un espacio muestral reducido, B; pues a partir de la información se sabe con probabilidad 1 que el evento B ya ocurrió. En la práctica se puede resolver este problema usando la definición, esto es calculando la P [AB] y P [B] con respecto al espacio muestral original, o bien considerando la probabilidad del evento A con respecto al espacio muestral reducido B, es decir, del evento que condiciona. Ejemplo... Una empresa tiene 300 trabajadores de los cuales 100 son casados y 30 son divorciados. En dicha empresa trabajan 200 hombres, 85 de los cuales son casados y 95 son solteros. Se toma un trabajador al azar: a. Si el trabajador seleccionado es soltero, ¿cuál es la probabilidad que sea mujer? b. Si el trabajador seleccionado es mujer, ¿cuál es la probabilidad que sea soltera? c. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer o esté casada?

Solución Lo primero que se tiene que hacer es extraer la información que proporciona el problema y ver cómo se puede completar la siguiente. Por otro lado se debe de partir del hecho que la información proporcionada se puede clasificar de acuerdo a dos criterios los cuales son: el sexo de los trabajadores y el estado civil de los mismos. En el caso del ejemplo se dispone de la siguiente información que se encuentra en el siguiente cuadro en forma cursiva. La restante se puede completar utilizando el concepto de complemento de evento.

Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

Sexo Femenino (A) Masculino (B) Total

Casado (C) 15 85 100

Estado Civil Soltero (D) Divorciado (E) 75 10 20 95 170 30

Total 100 200 300

Como se puede observar se está totalizando tanto por filas como por columnas, es decir, de acuerdo a los dos criterios de clasificación de la información. A esto se le llama probabilidades marginales y a la información del interior del cuadro se le llama probabilidad conjunta de los dos eventos (criterios de clasificación). Resolviendo el problema se tiene: a. Si el trabajador seleccionado es soltero, ¿cuál es la probabilidad que sea mujer?. En este caso el evento condicionante es que el trabajador sea soltero y el evento dependiente es que sea mujer. Los problemas de probabilidad de eventos dependientes se pueden resolver de dos manera: respecto al espacio muestral original y respecto al espacio muestral restringido del evento que condiciona. Para el primer caso:

   ( ⁄)           

Para el segundo caso, es decir, respecto al espacio muestral restringido del evento condiciónate se tendría que ver cuántas veces se repite el evento trabajador de sexo femenino y cuántas veces se repite el evento trabajador soltero. De acuerdo a esto se tiene que:

( ⁄)   =

Como se puede observar ambos resultados coinciden en el mismo resultado. b. Si el trabajador seleccionado es mujer, ¿cuál es la probabilidad que sea soltera? Esto tiende a confundir pensando que es el mismo del inciso a., sin embargo el evento condicionante es ahora que el trabajador sea Mujer. De acuerdo a esto se tiene:

(⁄ )   =


c. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer o esté casada?

                

Independencia de Sucesos En probabilidad condicional la ocurrencia de un evento condiciona la probabilidad de un segundo evento. Sin embargo, hay muchos casos donde los eventos están totalmente sin conexión, y la ocurrencia de uno de ellos no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro, en este caso se dice que son independientes. Sean A y B dos eventos y sea P [B]  0., A y B son eventos independientes si: a.- P[A/B] = P[A] Como consecuencia, si A y B son independientes y  P [A/B] = P[AB]/P[B] = P[A]  P[AB] = P[A]P[B] y viceversa

Dos eventos A y B son independientes si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones: .- P[A/B] = P[A] .- P[B/A] = P[B] .- P[AB] = P[A].P[B] Ejemplo... Un impulso eléctrico debe de pasar del punto I al II para producir una señal. Para llegar al punto II debe de pasar por dos componentes electrónicos (E1 y E2). La trayectoria del impulso se interrumpe si falla cualquiera de los dos componentes. La probabilidad de que el componente E1 no falle es 0.7 y la probabilidad que el componente E2 no falle es 0.8. Además, la probabilidad de que al menos uno no falle es 0.94. ¿Cuál es la probabilidad de que la señal se produzca? A = Componente E1 no falle = P[A] = 0.7 B = Componente E2 no falle = P[B] = 0.8 P [AUB] = 0.94 Para que se produzca el impulso eléctrico, ninguno de los componentes (E1 y E2) deben de fallar  la probabilidad solicitada es P[AB]. P[AUB] = P[A] + P[B] - P[AB] P [AB] = P[A] + P[B] - P[AUB] Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

= 0.7 + 0.8 - 0.94 = 0.56

Probabilidad Total Sean A1, A2,..., Ak, eventos que forman una partición del espacio muestral y Sea B un evento en el espacio muestral. Si P[A1], P[A2],..., P[Ak], P[B/A1], P[B/A2],..., P[B/Ak] son probabilidades conocidas y se está interesado en la ocurrencia del evento B. Para obtener esta probabilidad se hace uso del Teorema de Probabilidad Total que partiendo de las premisas anteriores se enuncia de la siguiente manera:

   +   ∑   * ⁄   

  [⁄ ]   [⁄ ]   *⁄ +

Ejemplo: Un profesor tiene tres secretarias con diferentes niveles de competencia. Las secretarias son S1, S2, S3. La secretaria S1 ha escrito el 20% de un trabajo, la secretaria S2 el 40% y la secretaria S3 el 40%. Hay un error ortográfico que irrita en especial al profesor, y éste ha calculado que S1 lo comete el 90% de las veces que tiene que escribir la palabra en cuestión, que S2 lo comete el 40% de las veces, y S3 nunca. ¿Cuál es la probabilidad de que el profesor encuentre el error mencionado? Obteniendo la información que proporciona el problema se tiene: P [S1] = 0.20; P [S2] = 0.40; P [S3] = 0.40; P [ [

⁄ ⁄

; entonces la probabilidad del error es:

P [E] = P [S1]* P [

+ P [S2]* P [

⁄

⁄ ⁄ ⁄ P [

P

+ P [S3]* P [

P [E] = ((0.20*0.90) + (0.40*0.40) + (0.40*0)) = 0.34

Lo anterior se puede facilitar si se usa un árbol de probabilidades como se muestra a continuación:


P [E/S1] = 0.90 P [S1] = 0.20 P [E’/S1] = 0.10 P [E/S2] = 0.60 P S2 = 0.40 P [E’/S2] = 0.40 P E/S3 = 0 P S3 = 0.40 P

E’/S2

=1

Supóngase ahora que el evento “B” ya ha ocurrido y se está interesado en saber a cuáles de los eventos que forman la partición del espacio muestra se ha debido su ocurrencia. En este caso se hace uso del Teorema de Bayes que partiendo también de las premisas anteriores se enuncia de la siguiente forma:

*⁄+     * *⁄ ⁄ ++

Como se puede observar, el denominador no es más que la probabilidad “B”, es decir, la probabilidad total. Ejemplo: Si el profesor encuentra el error mencionado en una página del trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que esa página la haya escrito secretaria S1?, ¿la secretaria S2?, ¿la secretaria S3?

[ ⁄]  [⁄]     [ ⁄]  [⁄]     [ ⁄]  [⁄]     Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

REGRESION Y CORRELACION LINEAL SIMPLE Regresión Lineal Simple En muchas áreas de la investigación científica, la variación en las mediciones de una variable en estudio es causada preponderantemente por otras variables relacionadas cuyas magnitudes cambian en el curso del experimento. La incorporación explícita de los datos de estas variables que influyen en el análisis estadístico, permite conocer la naturaleza de las relaciones y utilizar esta información para mejorar la descripción y las inferencias de las variables de interés primario. Al probar las relaciones entre variables es importante que el valor de la variable pueda ser predicha de las observaciones de otra variable o aún controladas y optimizadas manipulando los factores de influencia. El análisis de regresión es un conjunto de métodos estadísticos, que tratan con la formulación de modelos matemáticos que describen las relaciones entre variables y el uso de estas relaciones modeladas con el propósito de predecir e inferir.

Supuestos del modelo de Regresión Lineal Simple Al igual que en otros tipos de análisis estadísticos, el modelo de Regresión Lineal Simple se basa en ciertos supuestos que a continuación se detallan.

Supuesto 1. "Y" es una variable aleatoria cuya distribución probabilística depende de "X" Este supuesto quiere decir que para cualquier valor de "X", "Y" es una variable aleatoria con cierta distribución probabilística con media μy/x y σ²y/x. Note que esta suposición solamente implica que "Y" es una variable aleatoria que depende de "X", y no toma en cuenta la forma lineal. Por otra parte, significa que la variable X se mide sin error y fijada por el investigador.

Supuesto 2. Modelo de la línea recta Esta suposición requiere que la ecuación para μy/x sea una línea recta, es decir que μy/x = ß 0 + ß1Xi y, por lo tanto, que la ecuación de dependencia sea Y = ß 0 + ß1Xi + ε. Con esta

restricción, la línea que une a μy/x debe de ser una recta, por lo tanto se puede tener una de las siguientes situaciones:


Y

X

Puede ser que se tenga una relación positiva entre las variables X y Y, esto quiere decir que a medida que aumenta X, Y también aumenta. Otra situación que se puede dar es una relación inversa, es decir, que a medida que aumenta X, Y disminuye. En el último caso se recurre al hecho de que regresión también se entiende como la tangente inversa del ángulo de inclinación de una recta. En los dos primeros casos las rectas tienen pendiente y en el tercer caso, no hay pendiente lo cual indica que no existe regresión lineal entre ambas variables.

Supuesto 3. Homogeneidad de varianza Esta suposición es muy importante en el análisis de regresión. La varianza de la distribuciones de "Y" son idénticas para todos los valores de "X". En otras palabras, se

supone que σ²y/x1 = σ²y/x2 = σ²y/xn = σ², donde σ² es la varianza común (desconocida) para todas las distribuciones de "Y", independientemente del valor de "X". Esto quiere decir, que la media de "Y" se modifica con el valor de "X", pero la varianza se mantiene constante.

Supuesto 4. Independencia Los valores de "Y" deberán ser estadísticamente independiente. Un ejemplo donde se viola este supuesto es cuando se realizan mediciones de peso a un mismo individuo en un lapso menor a una hora.

Supuesto 5. Normalidad La distribución de "Y" para cualquier valor de "X" es normal. Esto equivale a suponer que

la variable aleatoria no observable ε es normal y su media es cero ya que "X" se toma como variable no aleatoria susceptible a ser manipulada por el investigador. Todos los supuestos anteriores se pueden resumir en los siguientes: 1. "Y" es una variable aleatoria cuya distribución probabilística depende del valor de "X". Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

2. La ecuación de regresión es una línea recta. 3. Homogeneidad de varianza. 4. Independencia de las observaciones lo que implica que los errores son independientes. 5. Normalidad. En la Figura 1 se muestran los supuestos de normalidad y homogeneidad de varianza.

Diagrama de Dispersión Este diagrama tiene por objetivo dar una idea de la posible relación existente entre la variable dependiente Y y la independiente X. Para realizar un diagrama de dispersión se coloca en el eje de las abscisas los valores correspondiente a la variable independiente X y en el eje de las ordenadas los valores de la variable dependiente Y. Luego se colocan puntos en la intersección de los valores de ambas variables. Un ejemplo de lo anterior se muestra en seguida. Los datos que se muestran a continuación corresponden a la producción en miles de millones de dólares de 10 empresas y sus costos de producción de las mismas en miles de millones de dólares. Para construir un diagrama de dispersión lo primero que se tiene que hacer es determinar quién es la variable dependiente y quién es la variable independiente, es decir, establecer la relación entre dichas variables. Esta relación debe ser lo más natural posible.


En el caso del problema, es de suponerse que a medida que aumenta la producción también se incrementarán los costos de producción por todo lo concerniente a ello (materia prima, horas hombres, gastos de energía, etc.). Entonces definimos a X, variable independiente, a la Producción y a Y, variable dependiente, a los costos de producción. De acuerdo a esto se tiene lo siguiente: Producción (X) (miles de millones de $us) 10 18 12 16 22 36 30 32 26 12

Costo (Y) (miles de millones $u) 3 5 4 5 8 12 10 14 12 3

El diagrama de dispersión quedaría de la siguiente forma: 16 ) s 14 u $ s e 12 n o l l i 10 m e d 8 s e l i 6 M ( o 4 t s o C 2

0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

Producción (Miles de Millones $us)

De acuerdo a la información que proporciona el diagrama de dispersión se puede observar que a medida que aumenta la producción de las industrias, aumentan los costos de producción de las mismas, es decir, se concluir que existe una relación positiva entre estas variables y además se puede ver que esta relación tiende a ser lineal.


Método de Mínimos Cuadrado Como lo plantea el supuesto 2 del modelo de regresión lineal simple, "Modelo de la Línea Recta", que de existir una relación entre X y Y, ésta debe ser una línea recta. Entonces a partir de muestra (x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn), de las variables "X" y "Y", se trata de obtener una ecuación que represente la relación entre dichas variables. El modelo del cual se habla es de una ecuación punto pendiente como sigue:

  

El problema de esta modelo es que sus componentes son parámetros y por lo tanto, son estados desconocidos de la naturaleza generalmente. Es por ello que es necesario obtener estimadores de ß0 y ß1 para estimar adecuadamente la recta de regresión μy/xi. El

estimador de μy/xi se denota por:

̂   

Para llegar a obtener estos estimadores se hace uso de la técnica propuesta por Carl Gauss (1777-1855). Este método se basa en la idea de obtener estimadores para los componentes del modelo que minimicen la suma de cuadrados de las distancias entre los valores

̂

observados (Yi) y los estimados ( ). Esto significa que se tiene que minimizar la suma de cuadrados de las longitudes de los segmentos de las líneas verticales que unen los datos observados con la recta estimada como se muestra en la Figura 3.

A la técnica antes mencionada se le denomina "Técnica de Mínimos Cuadrados". Usando notación matemática, el método de mínimo cuadrados consiste en encontrar los estimadores de ß0 y ß1. Al aplicar la técnica de mínimos cuadrados se llegan a obtener las ecuaciones de trabajo de

 

y 1^ (en este caso se ha omitido los procesos de derivación mediante el cual se llega a

obtener las fórmulas de trabajo). Estas ecuaciones son las siguientes:


            

;

. Donde:

Coeficiente de Regresión Intercepto de la recta de estimación

Ejemplo:

Retomando los datos que se utilizaron para construir el diagrama de dispersión y aclarando que “X” es Producción (miles de millones de $us) y “Y” Costos (miles de millones de $us) y haciendo uso de las ecuaciones derivadas a través de la técnica de mínimos cuadrados se tiene lo siguiente:

Totales Promedio

X 10 18 12 16 22 36 30 32 26 12 214 21.4

Y 3 5 4 5 8 12 10 14 12 3 76 7.6

XY 30 90 48 80 176 432 300 448 312 36 1952

X2 100 324 144 256 484 1296 900 1024 676 144 5348

Y2 9 25 16 25 64 144 100 196 144 9 732

          ;   = 0.423738, Coeficiente de regresión

     ̂  ;

ecuación de estimación quedaría de la siguiente manera:

; o bien se puede decir que:

Costos = 0.423738 (Producción) – 1.46798


; Intercepto, por lo tanto la

Un aspecto que no se debe olvidar es que el propósito de la Regresión Lineal Simple es el de predecir el comportamiento de una variable dependiente a través del conocimiento de una variable independiente, es por ello que se debe estar seguro que la ecuación de estimación sirve para este propósito (que existe regresión lineal simple). Por esta razón es que la ecuación de estimada debe ser sometida a un proceso de validación.

Validación de la Ecuación de Estimación Este proceso se puede realizar de dos maneras a saber: 

A través del Cálculo del Coeficiente de Determinación (R 2)



Por medio del Análisis de Varianza de la Regresión (ANARE)

Coeficiente de Determinación (R2) o Variabilidad (varianza explicada) El Coeficiente de Determinación, R2, indica el porcentaje de la variabilidad de “Y” que puede ser explicada o debida a “X”, es por ello que mientras más cerca esté del 100% es mucho mejor. Esto es debido a que se trata de predecir el comportamiento de “Y” a través del conocimiento de “X”, es por ello que es deseable que el mayor porcentaje de la variabilidad de la variable dependiente sea debida a “X”, a tal punto que hay autores que consideran que la ecuación es buena o sirve para predecir si R2 ≥ 70%. El coeficiente de Determinación se calcula a través de la siguiente ecuación:

               ⌈      ⌉

Para el caso del ejemplo anterior el R 2 es el siguiente:

        ⌈     ⌉ Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

Esta dato indica que del 100% de la variabilidad de Y (Costos), el 89.36% es debido a X (Producción), por lo tanto también se puede concluir que existe un 10.64% de variabilidad de Y (Costos) que no es debida a X (Producción), a esto se le conoce como variabilidad no explicada. En este caso se puede concluir también que la ecuación estimada sirve para predecir (existe regresión lineal simple.

Análisis de Varianza de la Regresión Lineal Simple (ANARE) De forma general se entienden por análisis de varianza a la partición de la variabilidad total en fuentes de variación conocidas que en el caso de regresión lineal son las siguientes: 

debida a la regresión



debida a otras causas (error)

Para tratar de ser un poco más explícito, estas dos fuentes de variación se derivan del modelo aditivo lineal de la regresión línea simple el cual es:

   

Esto tiene correspondencia con una tabla de varianza o salida de

varianza que para regresión lineal simple es la siguiente: FV Regresión

gl

Error

n-2

SCError

Total

n-1

SCTotales

1

SC SCRegresión

CM

Fc

         

Ft (α, glreg, glerr)

La primera columna encabezada por FV (Fuentes de variación) es donde se declara las fuentes de variación en las que se está partiendo la variabilidad total. Nótese que en esta tabla no se incluye el efecto de fuente de variación.



, ya que éste es una constante por lo tanto no es una

La segunda columna encabeza por “gl” (Grados de Libertad). De forma general grados de libertad es “n-1”, para el caso de la fuente de variación debida a regresión siempre es 1 ya que son dos los parámetros que se estiman, β0 y β1, por lo tanto, 2-1 = 1. Es por ello que para el ANARE de regresión lineal simple, esta fuente de variación siempre tiene 1 grado de libertad y los grados de libertad del error, siempre en este caso, son n-2. Por “n” se entiendo al conjunto de pares de datos “X” “Y”. Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

La tercera columna es la de Suma de Cuadrados (SC) que vienen a ser los componentes de las varianza a estimar cuyas ecuaciones de trabajo son las siguientes:

     ∑ 

    ∑    La cuarta columna es para los Cuadrados Medios (CM) que viene a ser las estimaciones propiamente dichas de las varianza de cada una de las fuentes de variación. Estas resultan de dividir las sumas de cuadrados de éstas entre sus grados de libertad.

La quinta columna denominada como “Fc” se refiere a los “F” calculados que resultan de dividir el cuadrado medio de regresión entre el cuadrado medio del error, es decir, de la variabilidad no debida a la regresión. Es por ello que el error se considera como un término de comparación entre la variabilidad debida a regresión y el mismo. Si el cuadrado medio del error es mayor que el cuadrado medio de regresión, el resultado que se obtendrá será pequeño y posi blemente menor que el valor de la siguiente columna “Ft” o “F” de tabla,

valor que se extrae de una tabla de “F” con un nivel de significancia, grados de libertad de regresión y los grados de libertad del error. Para entender mejor lo anterior se debe de partir del juego de hipótesis que se prueba en un ANARE. Este es:

Ho: β1 = 0 Ha: β1  0 La hipótesis nula (Ho) asume el efecto de igual o nulidad de efecto y es la hipótesis que se somete a prueba. Partiendo del hecho de que asume el efecto de nulidad, en este caso indica que no existe regresión lineal simple, y asume que la relación entre X y Y es una línea recta sin pendiente, es por ello que es igual a cero. Por hipótesis alternativa se entiende aquella que contradice a la hipótesis nula y que es aceptada una vez que se rechaza la hipótesis nula. Es por ello que está como β1  0 ya que una igualdad se contradice con una desigualdad. Esto significa que la recta tiene pendiente, es decir, que existe regresión lineal simple.


Ahora bien, todo el ANARE se hace para realizar la prueba de hipótesis de que si existe o no regresión lineal simple. Se entiende como prueba de hipótesis al proceso a través del cual se prueba la plausibilidad de una hipótesis. Al realizar la prueba de hipótesis se debe llegar una decisión de aceptar o rechazar Ho. ¿Cuándo no se rechaza Ho?, cuando el Fc  Ft y se rechaza cuando el Fc  Ft. A lo anterior se le llama Regla de Decisión la cual es la siguiente: No Rechazo de Ho si Fc  Ft Rechazo de Ho si Fc  Ft Si la hipótesis nula no se rechaza significa que no existe regresión lineal simple, por lo tanto la ecuación estimada no sirve para predecir, si se rechaza Ho, inmediatamente se acepta la hipótesis alternativa la que indica que sí existe regresión lineal simple.

Un aspecto que todavía no se ha aclarado es “Nivel de Significancia, α, ” entendido como la probabilidad de tomar una decisión equivocada (conocido también como Error Tipo I) es

por ello que los valores del α son pequeños  0.1. Haciendo el ANARE a un α = 0.01 se tiene lo siguiente:

            = 154.4

Vaciando esta información en la tabla de ANARE se tiene lo siguiente y obteniendo el valor de F de la tabla correspondiente a: 0.01, 1 y 8 se tiene que este es: 11.26 FV Regresión Error Total

gl 1 8 9

SC 137.6897 16.4310 154.4

CM 137.6897 2.053875

Fc 67.0389

Ft 11.26

De los resultados de la tabla se puede observar que el “Fc” es mayor que el “Ft” lo cual indica que existe suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula, es decir, que existe regresión lineal simple y por lo tanto se dice que la ecuación estimada sirve para predecir el comportamiento de Costos (Y) a través del conocimiento de Producción (X). Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

Cuando se realiza un análisis de varianza de la regresión se debe emitir una conclusión que podría ser la siguiente:

“De acuerdo al análisis de varianza realizado se concluye con un 99% de confiabilidad, (1 – 0.01)*100, que existe regresión lineal simple.” Una vez que se ha comprobado que la ecuación estimada es buena (hay regresión lineal) el siguiente paso sería interpretar los componentes de la recta de estimación.

Interpretación de los Componentes de la Ecuación de Estimación Cuando se hacer una interpretación, ésta debe ser aplicada al problema en cuestión. En el caso del ejemplo que se ha venido desarrollando sería el siguiente:



1:

Este es el coeficiente de regresión que indica la cantidad de cambios que experimenta

“Y” por un cambio en “X”. En este caso indica que por Un mil millones de dólares que se incremente la producción, los costos se incrementarán en 0.423738 miles de millones de dólares. Esto porque la pendiente encontrada fue positiva, si hubiera sido



negativa, se diría que disminuiría esa cantidad. 0:

No siempre tienen interpretación aplicada al problema, es decir, una interpretación lógica, es por ello que comúnmente se le interpreta desde el punto de vista matemático como el punto donde la recta d e estimación corta al eje de las ordenadas cuando “X”



toma el valor de cero. En el caso del ejemplo, 0 =-1.46798, esto estaría indicando que cuando la producción es cero, los costos son de -1.46798 miles de millones de dólares. Como se ve esta interpretación carece de lógica lo cual hace que se interprete como se ha mencionado anteriormente. Existen casos donde si existe interpretación lógica como lo muestra el trabajo de investigación realizado por Martínez (1995) donde ajustó pesos de becerros al nacimiento.

Dibujo de la Recta de Estimación Cualquier recta se define por dos puntos y en el caso de la recta de regresión lineal simple, ésta pasa por dos puntos obligados cuyas coordenadas son:

     y(

0). La recta de

estimación debe dibujarse dentro del área de exploración, es decir, el área determinada por el diagrama de dispersión que donde se tiene información de ambas variables.


Para el caso del ejemplo que se ha venido tratando la gráfica de la recta de estimación sería como se muestra a continuación. 16 y = 0.4237x - 1.468 R² = 0.8936

14 ) s u $ e 12 d s e n 10 o l l i m 8 e d s e l i 6 m ( o 4 t s o C 2 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

Producción (miles de millones de $us)

Regresión no Lineal Este tipo de regresión no es objeto de desarrollo del presente documento ya que se consideran para cursos superiores de estadística lo que se trata es dejar plasmado que una relación entre dos variables no siempre es una línea recta, ésta puede ser logarítmica, exponencial o bien cuadrática o cúbica. Uno de los criterios para definir el ajuste de modelo es el R² y además el Cuadrado Medio del Error del análisis de varianza. En estos casos el diagrama de dispersión es importante para determinar esas posibles relaciones.

Regresión Múltiple No siempre la dependencia en caso de existir se pueda deber a una sola variable, puede ser

que “Y” como variable dependiente se vea afectada por más de una variable independiente, en este caso se habla de regresión lineal múltiple, aspecto que no se desarrolla en este documento.


Correlación Lineal Simple Así como existen técnicas que cuantifican los cambios de una variable dependiente por un único cambio de la variable independiente, existen técnicas que cuantifican la asociación lineal entre dos variables, esta técnica es llamada Correlación Lineal Simple que se exprese como el coeficiente de correlación (r). Este coeficiente indica el sentido de la asociación como también la magnitud de ésta, partiendo del hecho que el coeficiente de correlación

lineal simple toma valores en el rango de: r es 0≤ r ≤ 1. Entre más se acerca a 1 el valor de r mayor es la asociación entre dichas variables. De acuerdo a lo anterior algunos autores han determinado lo siguiente rangos: -1 ≤ r < -0.8

Asociación

fuerte

y 0 ≤ r < 0.4

débil

y 0.4 ≤ r < Asociación débil y positiva

No hay asociación

negativa -0.8 ≤ r < - Asociación 0.4

negativa

0.8

-0.4 ≤ r ≤ 0

No hay asociación

0.8 ≤ r ≤ 1

Asociación

fuerte

y

positiva El coeficiente de Correlación Lineal Simple se determina a través de la siguiente ecuación:

         , que para el caso del ejemplo sería el siguiente:     = 0.9452           Este valor indica que existe una asociación fuerte y positiva entre estas variables, es decir, entre la producción y los costos de esas empresas.


Diferencias entre Regresión Lineal Simple y Correlación Lineal Simple Se pueden llegar a establecer las siguientes diferencias: Regresión Lineal Simple Mide la cantidad de cambios en “Y” por un único cambio en “X”. Existe una variable dependiente y otra independiente β1 puede tomar cualquier valor en la recta numérica


Correlación Lineal Simple Mide asociación lineal entre dos variables Es indistinto x, y ó y, x El coeficiente de correlación toma valores en el intervalo -1 ≤ r≤1

DISEÑOS EXPERIMENTALES


1. ASPECTOS GENERALES DE LA EXPERIMENTACIÓN Antes de ingresar al análisis de los principales diseños experimentales, es necesario establecer el acervo correspondiente en este campo de la Estadística llamado Diseños Experimentales que facilite el proceso de aprendizaje que aunado a las bases estadísticas anteriores conlleven al usuario a un mejor uso el presente material. Es por ello que a continuación se detalla lo siguiente:

1.1. Experimento: Es todo proceso que consiste en la ejecución de un acto o prueba una o más veces, cuyo resultado en cada prueba depende del azar y que genera información tanto cualitativa como cuantitativa según sea el caso. En sí viene a ser aquel proceso intencionado provocado por el investigador con el fin de estudiar su origen, esencia e interrelación con otros procesos o fenómenos.

1.2. Tratamiento: Es todo elemento o sujeto sometido a estudio o ensayo de comparación. Viene a ser el conjunto de condiciones experimentales que el investigador impone a las unidades experimentales. Ejemplo: efecto de dosis desparasitante, tipo de desparasitante, niveles de fertilización, metodologías de polinización, etc.

1.3. Unidad Experimental: Por unidad experimental (unidad de análisis porque es la que proporciona información al investigador) se entiende aquella a la cual se le aplica un tratamiento, en sí, es el material o lugar sobre el cual se aplican los tratamientos. Este término se utiliza para representar al conjunto de material experimental al cual se le aplica un tratamiento. Su tamaño depende mucho del tipo de material experimental que se utilice y muchas veces de la esperanza de vida en el caso de usar seres vivos. Cuando se experimenta con aves, la unidad experimental puede estar constituida por un grupo de ellas; sin embargo, cuando se puede experimentar con animales cuya esperanza de vida sea mayor, puede ser que uno solo de ellos pueda ser considerado como una unidad experimental.

1.4. Factor: Es un tratamiento que genera más tratamientos que en los diseños experimentales se conocen como niveles del factor. Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

1.5. Error Experimental: Es la variación aleatoria (no explicada) ajena al control razonable del investigador. Este término no es sinónimo de error, si no que forma parte de las características propias e innatas de la unidad experimental. Este error no se puede evitar pero si se puede reducir usando las repeticiones necesarias, usando unidades experimentales los más homogéneamente posible y manejándolas de manera uniforme, de manera que si se observa una diferencia entre los tratamientos estudiados, se deba a una bondad de los mismos y no a consecuencias de un manejo no adecuado de las unidades experimentales. Tiene la función de ser un comparador entre la variación provocada (explicada o debida a los tratamientos) y la variación aleatoria o no explicada en el análisis de varianza.

1.6. Testigo El testigo es el tratamiento de comparación adicional, que no debe faltar en un experimento; la elección del tratamiento testigo es de gran importancia en cualquier investigación, éste se constituye como referencial del experimento y sirve para la comparación de los tratamientos en prueba.

1.7. Diseños Experimentales: Es un método científico de investigación que consiste en hacer operaciones prácticas destinadas a demostrar, comprobar o descubrir fenómenos o principios básicos. Tiene como propósito proporcionar la máxima cantidad de información a un costo mínimo. Diseñar un experimento es planificarlo, qué es lo que se pretende experimentar, es planearlo de modo que se tenga la secuencia completa de pasos tomados de antemano para asegurar que la información que se obtendrá permita un análisis objetivo que conduzca a deducciones (demostración de hipótesis) válidas con respecto al problema de investigación previamente establecido.

1.8. Principios Básicos de la Experimentación: Los principios básicos de la experimentación agrícola son tres: Repetición, Azarización y Control Local.

1.8.1. Repetición. Es la reproducción del experimento básico llamado también réplica y solamente a través de ella se pueden obtener conclusiones de un fenómeno. Tiene dos funciones: Proporcionar una estimación del error experimental y brindar una medición más


precisa de los efectos de los tratamientos, es decir, que hace posible la prueba de significancia a través de la regularidad estadística.

1.8.2. Azarización. En sí no es más que utilización del azar, es decir, la casualidad. En diseños experimentales está referida a la asignación de los tratamientos a las unidades experimentales de modo que todas tengan la misma posibilidad de recibir un tratamiento. Tiene la como función hacer válida la prueba de significancia.

1.8.3. Control Local. Es la cantidad de balanceo, bloqueo o agrupamiento de las unidades experimentales que se emplean en el diseño adoptado. Tiene la función de hacer más eficiente el diseño experimental, es decir, hacer más sensitiva la prueba de significancia reduciendo con ello la magnitud del error. Los criterios de agrupamiento van a depender del tipo de ciencia donde se esté experimentando. En el caso de los experimentos agrícolas un criterio de bloqueo puede ser la pendiente de suelo que puede conllevar a una gradiente de humedad o fertilización, dirección del viento, etc.

1.9. Exigencias de la Experimentación: Las exigencias de la experimentación son: Tipicidad, Uniformidad, Grado de Precisión, Control efectivo de las medidas y observaciones.

1.9.1. Tipicidad. Llamado también representatividad, hace mención que no se pueden extrapolar resultados a condiciones diferentes a las que se originaron.

1.9.2. Uniformidad. Indica que todas las unidades experimentales deben ser tratadas uniformemente y que la única diferencia entre ellos sea los tratamientos que se están evaluando en ellas. Esto evita tener resultados enmascarados en los experimentos.

1.9.3. Grado de precisión. Un experimento bien planeado debe permitir al investigador medir diferencias en los tratamientos con el grado de precisión esperado evitando para ello comete errores al montar el ensayo y en su misma ejecución. Esto debe ser una tarea de primer orden por parte del investigador. Es por ello que se debe tener especial cuidado en la conducción y manejo del experimento.

1.9.4. Control efectivo de las medidas y observaciones. Es necesario hacer anotaciones de las manifestaciones de las unidades experimentales que permitan explicar ciertos aspectos del experimento.


1.10. Análisis de Varianza Análisis de Varianza conocido también como ANDEVA o ANOVA, es la partición de la variabilidad total en fuentes de variación conocida, fuentes de variación que se declaran en un modelo aditivo lineal por lo tanto, una salida de varianza se corresponde con un modelo aditivo lineal. De forma general los diseños experimentales como tal se dividen en dos grupos: diseños experimentales simples y diseños experimentales complejos. Entre los diseños experimentales simples se tiene al Diseño Completamente al Azar, Diseño en Bloques Completamente al Azar, Diseño Cuadrado Latino principalmente, a éstos también se les conoce como diseños clásicos.

2. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA) O DISEÑO CON UN SOLO CRITERIO DE CLASIFICACIÓN Este diseño es el más simple de todos; en él se asigna al azar los tratamientos a grupos de unidades experimentales previamente determinadas. Asimismo, todas las variables, excepto las que están en estudio se mantienen constantes.

2.1. ¿Cuándo utilizar este Diseño? Este diseño se utiliza cuando las unidades experimentales son homogéneas, o sea, que la única diferencia que existe son los tratamientos que se aplican a las unidades experimentales. Este diseño se usa cuando se estudia dos o más tratamientos bajo las siguientes condiciones: 

Lugar y unidades experimentales muy uniformes (suelo homogéneo, en laboratorios, invernaderos, galpones, etc.), donde no hay heterogeneidad necesaria de absorber.



Cuando sea probable que una parte del experimento se pierda.



Cuando se tiene un experimento pequeño y donde la mayor precisión de otras distribuciones no compensan la pérdida de grados de libertad en el error.

Este tipo de diseño proporciona el máximo número de grados de libertad para la estimación del error experimental; además, no requiere estimar datos faltantes, es decir, puede analizarse con diferente número de repeticiones por tratamiento (diseño desbalanceado). Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

2.2. Modelo Aditivo Lineal del DCA El concepto de modelo lineal es una réplica de algo; así como un edificio puede ser representado en una maqueta. Debe evitarse el error de creer que el modelo lineal es el mundo real; ya que sólo es una abstracción de una realidad que existe en la mente del hombre con el objetivo de ayudarse en el análisis de los procesos naturales que afectan por diversos factores a fuentes de variación y que dichos modelos son de naturaleza transitoria y son susceptibles a mejorarse. La consideración básica para un diseño Completamente al Azar es que las observaciones pueden representarse por medio del modelo estadístico lineal que es el siguiente:

   Donde:

Yij = Variable Respuesta

μ = Efecto común a todas las observaciones Ti = Efecto del i-ésimo tratamiento, i = 1, 2, 3.., t tratamientos Eij = Erro experimental o error del modelo

2.3. Supuesto del Análisis de Varianza Todos los análisis estadísticos se basan en supuestos y en caso del análisis de varianza son: Homogeneidad de Varianza, Normalidad, Aditividad y Linealidad del Modelo, e Independencia.

2.3.1. Homogeneidad de Varianza: Las varianzas de las diferentes medías deben ser homogéneas. Por lo general, en el análisis de varianza, se utiliza un promedio de “n” varianza (CME) para obtener la mejor estimación de la varianza común. Pero, si las varianzas dentro de los tratamientos fuesen de hecho distintas, no se tendría justificación para combinarlas, ya que el promediar varianzas de tratamientos mayores y menores podría proporcionar resultados engañosos. La diferencia entre dos tratamientos con varianzas grandes puede ser considerada significativa cuando en realidad ésta puede haber ocurrido por casualidad. Por otra parte, la diferencia entre dos tratamientos con varianzas pequeñas puede ser declarada no significativa cuando en verdad lo es.


Existen muchas técnicas para probar homogeneidad de varianza, como la prueba de Bartlett, Prueba de F, propuesta por R.A. Fischer. Por la rapidez de esta última prueba se propone la misma para efecto del curso, lo cual no desmerece ninguna otra prueba. La prueba de F propuesta por Fischer se basa en lo siguiente:

         

La prueba de hipótesis que se emplea es la siguiente: Ho: Ha:



La regla de decisión es la siguiente: No Rechazo de Ho si Fc  F (m-1, n-1)gl. Esto quiere decir que las varianzas son homogéneas. RHo si Fc > F (m-1, n-1)gl, lo cual indica que las varianza no son homogéneas. Box (S/F; citado por Calzada Benza, 1970) mencionó que si la razón entre la varianza mayor y la varianza menor es menor de cuatro, se puede considerar que hay suficiente homogeneidad de varianza, siendo éste posiblemente un criterio más rápido para probar homogeneidad de varianza.

2.3.2. Normalidad: Los términos del error son aleatorios, independientes y normalmente distribuidos. Este supuesto es de gran importancia ya que cuando los datos no se distribuyen normalmente los coeficientes de variación son muy elevados. Cuando los datos de una variable no presentan normalidad, existen algunas tipos de transformaciones en dependencia de la característica de los datos de la variable en cuestión que la hacen normal. En verdad este supuesto va más allá de lo planteado, ya que a la distribución normal se le conoce también como la Ley Normal de los Errores y plantea que errores pequeños tienen alta probabilidad de ocurrencia en contra posición a los errores grandes respecto a la media que tienen baja probabilidad de ocurrencia. Para probar normalidad también existen varias técnicas entre las que se pueden mencionar la prueba de Shapiro-Wilk y la de Lilliefors. Si el lector está interesado en profundizar sobre estas pruebas se le sugiere consultar a Ramírez y López (1993; Métodos Estadísticos no Paramétricos) Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

2.3.3. Aditividad y Linealidad del Modelo: Lo anterior se cumple en el modelo aditivo lineal ya que todos los efectos se suman y son lineales porque cada uno de los elementos del modelo lineal, están a la potencia "1".

2.3.4. Independencia: Este supuesto implica que los términos del error son aleatorios, no correlacionados (independientes) normalmente distribuidos; además, de las varianzas y las medias de las distintas muestras.

2.4. Análisis de varianza para este Diseño El análisis de varianza consiste en la partición de la variación total en fuentes de variación conocidas y la que no es conocida se atribuye al error. El análisis de varianza separa parte de la varianza causada por efectos accidentales, no sistemáticos (error experimental o simplemente error) de los causados por efectos sistemáticos conocidos (tratamientos). Antes de mostrar la tabla de análisis de varianza para este diseño se muestra a continuación un cuadro de concentración de información (Cuadro 1) y posteriormente las ecuaciones trabajo para el mismo.

Cuadro 1. Concentración de los datos para un Diseño Completamente al Azar con “ i” tratamiento y “ j” repeticiones. TRATAMIENTOS 1 2 3 …i ΣY .j

1

REPETICIONES 2 3

Y 11

Y 12

Y 13

Y 21 Y 31 Y i1 Y .1

Y 22 Y 32 Y i2 Y .2

Y 23 Y 33 Y i3 Y .3

…j Y 1j Y 2j Y 3j Y ij Y .j

ΣY i.

Y 1 . Y 2 . Y 3 . Y .i Y..

El modelo lineal para este diseño tiene solo dos fuentes de variación y es el siguiente:

   

Las fuentes de variación son las debidas a los tratamientos y las no debidas a los tratamientos. La media poblacional µ no se considera como fuente de variación ya que se considera como el efecto común a todas las observaciones y es por eso que cuando se calcula las sumas de cuadrados se le resta el factor de corrección que no es más que la media o efecto común de manera que solo Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

queda la variación debida a la fuente de variación en cuestión. El modelo aditivo de un Diseño Completamente al Azar se correspon de con las salidas de varianza que se mue stran en los Cuadro 2 y 3.

Cuadro 2. Salida de varianza para un Diseño Completamente al Azar con igual número de repeticiones (diseño balanceado).

F.V

Tratamiento

gl t-1

Error

Total

SCTRAT. t(r-1)

tr-1

                SC

CM

Fc

Ft

SCError

SCTotales

Donde: F.V = Fuente de variación gl = Grados de libertad SC = Suma de Cuadrados CM = Cuadrado Medio Fc = “F” calculado Ft ( , grados de libertad de tratamientos, grados de libertad del error) = “F” tabulado que se encuentra en la tabla de “F” a un nivel de significancia “ ” (probabilidad de error tipo I), grados de libertad de los tratamientos y grados de libertad del error En caso de que los tratamientos tengan diferentes número de repeticiones (diseño desbalanceado) la salida de varianza es la siguiente:

Cuadro 3. Salida de varianza para un Diseño Completamente al Azar con igual número de repeticiones (diseño desbalanceado).

FV

Tratamiento Total

gl t-1

Error

SCTRAT. n-t

n-1

               SC

SCError

SCTotales


CM

Fc

Ft

2.4.1. Ecuaciones de trabajo

                 

; Factor de corrección si el experimento es balanceado ; Factor de corrección si el experimento es desbalanceado ; Suma de cuadrados totales

; Suma de cuadrado de tratamiento si el experimento es balanceado ; Suma de cuadrados si el experimento es desbalanceado ; Suma de cuadrados del error

2.4.1. Prueba de Hipótesis en el Análisis de Varianza de un Diseño Completamente al Azar En el análisis de varianza de este diseño se prueba el siguiente juego de hipótesis estadísticas: Ho: µ 1 = µ 2 = µ 3 =… µi (T 1 = T 2 = T 3 = …T i). Esto es lo mismo que: Ho: µ 1 - µ 2 - µ 3 -… µi = 0 (T 1 - T 2 - T 3 - …T i = 0). Ha: µ 1 - µ 2 - µ 3 -… µi  0 (T 1  T 2 T 3  …T i).

La hipótesis nula asume el efecto de igual, es decir, que los tratamiento ejercen el mismo efecto sobre la variable respuesta. Esta es la hipótesis que se somete a prueba y, la hipótesis alternativa, en su esencia, es la que contradice a la hipótesis nula. Dado que la hipótesis nula es la que se somete a prueba, entonces puede ser aceptada o rechazada, si no es rechazada significa que no existe la suficiente evidencia experimental para hacerlo, en caso de rechazarse, de inmediato se acepta la hipótesis alternativa. Para saber cuándo aceptar o rechazar la hipótesis nula se toma en cuenta la siguiente regla de decisión: 

No Rechazo de Ho (NRHo) si Fc  Ft (F de tablas)



Rechazo de Ho (Rho) si Fc > Ft (F de tablas),es decir, que Ha es verdadera


2.5. Interpretación de Resultados Para una mejor ilustración de la interpretación de los resultados de un análisis en este diseño, se muestra a continuación el siguiente ejemplo: Los datos que se muestran a continuación corresponden a un estudio donde se experimentaron con cinco variedades de tomate industrial bajo un diseño completamente al azar con cuatro repeticiones donde la variable respuesta, entre otras, fue el peso del jugo de tomate en gramos. Se está interesado en verificar si existen diferencias estadísticas a un α =0.05 entre las variedades de tomates evaluadas. La información obtenida fue la siguiente:

Cuadro 4. Peso de jugo (gramos) de tomate obtenido de cinco variedades de tomate industrial. Variedades Martí Topacio Estela VF-134 UC - 82

1 656.3 784.4 924.5 534.4 640.7

Repeticiones 2 3 718.4 586.6 713.4 915.8 822.8 824.2 685.1 567.2 658.8 532.7

4 746.2 629.6 978.5 655.5 614.4

Adaptado de Pedroza (1998)

En el mismo cuadro de información se pueden incluir los totales de tratamiento como también sus varianzas por cada uno de ellos como se muestra en el Cuadro 5.

Cuadro 5. Peso de jugo (gramos) de tomate obtenido de cinco variedades de tomate industrial con sus totales y varianzas por tratamiento. Variedades UC - 82 Martí VF-134 Estela Topacio

1 640.7 656.3 534.4 924.5 784.4

Repeticiones 2 3 658.8 532.7 718.4 586.6 685.1 567.2 822.8 824.2 713.4 915.8

4 614.4 746.2 655.5 978.5 629.6

ƩYi.

S²i

2446.6 2707.5 2442.2 3550.0 3043.2

3102.56 5034.40 5085.42 5947.66 14680.72

Revisando el supuesto de homogeneidad de varianza y tomando en cuenta lo propuesto por R. A. Fischer, se relaciona la varianza mayor con la varianza menor, en este caso varianza del tratamiento correspondiente a la variedad Topacio y la del tratamiento de la variedad UC-82. Probando Entonces: Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

    

= 4.7318, (F 0.05 , 3 ,3 =9.277 ) lo cual hace que no se rechace la hipótesis de

igualdad de varianza lo cual indica que las varianzas de los tratamientos (variedades) son iguales estadísticamente.

      Comenzando a realizar el análisis de varianza y partiendo del hecho que   , se tiene lo siguiente:

   

. Este no es más que una estimación de µ elevada al cuadrado,

es por ello que µ no se declara como fuente de variación en la salida de varianza de los modelos aditivos lineales, además se debe recordar que varianza desde el punto de variable aleatoria es: E (X-µ)² que es lo mismos que: E (X) ² - µ².

                        

Es importante recordar que ninguna de estas sumas de cuadrados puede ser negativas por ser componentes de varianza y recuerde que varianza no es más que el promedio de las desviaciones al cuadrado de una variable respecto a su media y por otra parte, ninguna suma de cuadrados puede ser mayor que la suma de cuadrados totales. Además se puede observar que la Suma de Cuadrados del Error se obtiene por diferencia entre la Suma de Cuadrados Totales y la de Tratamiento. Esto es producto de la aplicación misma de lo que es análisis de varianza. Una vez obtenidas las sumas de cuadrados correspondientes, el siguiente paso es construir la tabla de análisis de varianza (salida de varianza) la cual queda como se muestra en el Cuadro 6 una vez que se han determinado los cuadrados medios, el “Fc” F calculado y el

“Ft” F de tabla. Además, es recomendable que esta tabla vaya acompañada del Coeficiente de Variación (C.V ) el cual se define como la relación entre la raíz cuadrada del Cuadrado Medio del Error y el Promedio de la Variable respuesta o en estudio.

√    √     


Cuadro 6. Salida de varianza para los datos del Cuadro 4. FV Variedades Error Total

gl 3 16 19

SC CM 218983.21 72994.4033 101552.267 6347.01672 320535.477

Fc Ft (0.05, 3, 16) 11.50058 3.05556828

C.V. = 11.60%

Si se toma en cuenta el juego de hipótesis de este diseño y la regla de decisión se puede

concluir que se rechaza la hipótesis ya que el “Fc” es mayor que el “Ft”. A manera de conclusión se puede decir lo siguiente: Con un 95% de confiabilidad se concluye que al menos unos de los tratamientos (variedades de tomates) evaluados ejercen un efecto distinto (P ˂ 0.05) sobre la variable respuesta (peso del jugo de tomate). Ahora la pregunta es: ¿Cuál es ( o son) ese (esos) tratamiento (s) que hizo (hicieron) rechazar la hipótesis nula?. Esta interrogante no la responde el análisis de varianza ya que éste solo prueba si existe o no efecto de la variable independiente sobre la dependiente. Es por ello que se deben hacer otros análisis para responder esta interrogante. Para responder a estas interrogantes existen dos técnicas principalmente que son las pruebas a priori o Contrastes Ortogonales y las pruebas a posteriore u obligadas por los datos llamadas también Pruebas de Rangos Múltiples o Separación de Medias. Estas últimas por el grado de uso que tienen en las investigaciones de índole experimental son las que se desarrollan a continuación.

2.6. Pruebas obligadas por los Datos o de Rangos Múltiples Cuando el análisis de varianza de un experimento reporta diferencias significativas y son más de dos tratamiento, es necesario saber quién “produjo el ruido en la prueba de hipótesis” que provocó que la hipótesis nula sea rechazada. Para este fin, existen las llamadas pruebas de Rangos Múltiples. Entre estas pruebas están: 

Diferencia Mínima Significativa (DMS) (LSD)



Método de Duncan



Método de Student-Newman-Keuls (SNK)



Método de Tukey (Diferencia Significativa Honesta)



Método de Scheffé.


Cada uno de estos procedimientos de comparación de medias está basado en un c on ju nt o de su po si ci on e s, y so n usualmente efectivos para fines específicos. En cualquiera de los casos la hipótesis nula supone la igualdad de las medias y la alternativa lo contrario y se utilizan siempre y cuando en el análisis de varianza se rechace la hipótesis nula. Lo anterior indica que la prueba de hipótesis que se hace es la siguiente: Ho: Ha:

||  |  |  

La hipótesis nula, que es la que se prueba, asume el efecto de igualdad de los promedios a comparar, es por ello que la diferencia es igual a cero y por lo tanto, la hipótesis alternativa contradice la hipótesis nula con una desigualdad. Dado que para realizar una separación de medias lo primero que se hace una vez obtenidos los promedios es ordenarlos a éstos de forma descendente por lo tanto la regla de decisión se puede establecer de la siguiente forma: NRHo = RHo: Si

| |         | | 



2.6.1. Diferencia Mínima Significativa (DMS) Esta prueba solo debe usarse para comparar medias adyacentes en un arreglo ordenado, medias por orden de magnitud (de mayor a menor). Cuando DMS se usa indiscriminadamente para probar todas las diferencias posibles entre las diversas medias, ciertas diferencias serán significativas, pero no al nivel de significancia que se ha elegido. El número posible de comparaciones de medias tomadas de dos en dos a la vez es igual a

. Los especialistas hacen mención que este método es adecuado para comparar un tratamiento estándar (testigo) con otros tratamientos.

Esta prueba utiliza un solo comparador y su fórmula es la siguiente:

    

, donde:

DMS = Es el valor crítico de la prueba t /2 = Valor tabular de “t” de student para los grados de libertad del error obtenido a un  /2.

r = número de repeticiones Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

2.6.2. Método de Duncan Esta prueba es ampliamente utilizada entre las diversas pruebas de Rangos Múltiples. Su método es de naturaleza secuencial, lo que quiere decir, que utiliza un nuevo valor “estudentizado”, para cada una de las comparaciones de medias adyacentes ordenadas por magnitud en orden descendente. Esta prueba incluye el cálculo de las diferencias significativas mínima entre las medias de tratamiento cuando éstas se encuentran dispuestas en orden de magnitud. La fórmula es la siguiente:

      

Donde:

Es el valor extraído de una tabla especial de rango “estudentizado”, con los grados de libertad del error y con la disposición relativa de las medias en el arreglo.

CMError = r =

Cuadrado Medio del Error

Número de repeticiones.

2.6.3. Método de Student-Newman-Keuls (SNK) Es una prueba de carácter secuencial, es decir, que utiliza un nuevo valor “estudentizado” para cada comparación. Para el cálculo de esta prueba se requiere determinar la diferencia mínima significativa entre las medias del tratamiento cuando éstas se encuentran dispuestas en orden de magnitud. Su fórmula es la siguiente:

  

;

Donde: q

= Valor obtenido de tablas especiales de rango “estudentizado”, para los grados de

libertad del error y con la disposición relativa de las medias en el arreglo CMError = Cuadrado medio del error r = número de repeticiones


2.6.4. Método de Tukey Este método es un procedimiento basado en el rango “estudentizado ”, pero no es secuencial, ya que utiliza un sólo comparador de “q” ordinario. Sin embargo, el método de Tukey es útil en situaciones en que se desea hacer un primer énfasis en el uso del experimento con un total para determinar la significancia de los pares de medias. Esta prueba sólo es exacta cuando los grupos tienen igual número de elementos y para medias que no han sido ajustadas por covarianza. Esta prueba se define de la siguiente manera:

    

Donde: q =

Valor obtenido de tablas especiales de rango “estudentizados”, para los grados de

libertad del error y con la disposición relativa de las medias en el arreglo CMError = Cuadrado medio del error r = número de repeticiones

2.6.5. Método de Scheffé Se considera un método bastante general que utiliza la distribución de “F” de Snedecor. El método de Scheffé puede aplicarse para probar hipótesis generales de que una función lineal de las medias poblacionales es igual a cero. En contraste con las comparaciones múltiples basadas en rangos estudentizados, el método de Scheffé es un método exacto para medias provenientes de medias de igual o desigual tamaño y para medias que han sido ajustadas por covarianza. Para el cálculo se requiere determinar la mínima diferencia significativa entre las medias de los tratamientos cuando éstos se encuentran ordenados en orden de magnitud. Su valor crítico se determina a través de la siguiente expresión:

      Donde:

t = Número de tratamientos F =

Valor que se obtiene de la distribución de “F” de Snedecor con t-1 y los grados de

libertad del error. Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

CError =

Cuadrado medio del error, y ri, rj representan el número de observaciones usadas

para calcular cada media muestra



De forma general para realizar una comparación o separación de medias una vez que se ha realizado el análisis de varianza y se ha verificado que existe un rechazo de la hipótesis nula, se debe seguir el siguiente procedimiento: 

Obtener los promedios de las fuentes de variación de interés (tratamiento, factor)



Ordenar los promedios de forma descendente



Seleccionar la prueba de rangos múltiples a usar



Determinar el valor crítico de la prueba de seleccionada



Establecer las comparaciones a realizar según la prueba seleccionada



Determinar las diferencias de medias de acuerdo a las comparaciones establecidas



Contrastar las diferencias de medias con el valor crítico de la prueba



Establecer el rango de mérito



Emitir conclusiones según el rango de mérito

Ejemplo. A continuación se aplican todas las pruebas de rangos múltiples antes expuestas de manera que se pueda realizar una comparación entre éstas. Los promedios por tratamiento son los que se muestran en el Cuadro 7.

Cuadro 7. Medias por tratamientos y Medias ordenadas por magnitud descendente. Variedades UC - 82 Martí VF-134 Estela Topacio

Totales 2446.6 2707.5 2442.2 3550.0 3043.2

Promedios Variedades 611.65 Estela 676.88 Topacio 610.55 Martí 887.50 UC - 82 760.80 VF-134

Promedios Ordenados 887.50 760.80 676.88 611.65 610.55

Aplicando DMS a un nivel de significancia  = 0.05 que es el mismo nivel de significancia que se utilizó para el análisis de varianza, además de la siguiente información: CMError = 6347.01672 r=4 t /2(16) = 2.1199


    Por lo tanto el valor crítico de la prueba es de

.

A continuación se presentan en el Cuadro 8 las comparaciones a realizar, las diferencias entre las medias y el resultado de comparar estas diferencias con el valor crítico de la prueba de DMS.

Cuadro 8. Resultado de la prueba de DMS para los tratamientos estudiados. Comparaciones Estela versus Topacio Estela versus Martí Estela versus UC-82 Estela versus VF-134 Topacio versus Martí Topacio versus UC-82 Topacio versus VF-134 Martí versus UC-82 Martí versus VF-134 UC-82 versus VF-134

Diferencias de Medias 126.70 210.63 275.85 276.95 83.93 149.15 150.25 65.23 66.33 1.10

Comparación según DMS * * * * ns * * ns ns ns

ns = No significativo * = significativo

Las comparaciones se pueden resumir de acuerdo al siguiente rango de mérito

Variedades Estela Topacio Martí UC - 82 VF-134

Comparación según DMS a b bc c c

Promedios con literales distintas son estadísticamente diferentes según el método de DMS (P ˂ 0.01).

Interpretando los resultados de la separación o comparación de medias según DMS se puede decir que la variedad que presentó mejor comportamiento respecto al peso de jugo fue Estela con un promedio de 887.50 gramos, promedio que fue diferente (P < 0.05) estadísticamente a las demás variedades evaluadas. Topacio presentó comportamiento estadísticamente igual (P > 0.05) a Martí pero distinto (P < 0.05) a UC-82 y VF-134; estas tres últimas se comportaron de igual manera (P > 0.05).


Aplicando el método de Duncan Para realizar la prueba de Duncan lo primero que se debe hacer es obtener los valores



estudentizados (

extraídos de la tabla de Duncan con los grado de libertad del error y

con la disposición relativa de las medias, en este caso, con 5, 4, 3 y 2. Los valores de la tabla de Duncan y al aplicar su ecuación, se muestran en el Cuadro 9.

 

, se tienen los resultados que

Cuadro 9. Valores estudentizado extraído de la tabla de Duncan y valores críticos de la prueba según el número de medias a comparar. Medias a comparar R(0.05, 16) RMS

Número de Medias 3 4 3.15 3.23 125.48 128.66

2 3 119.50

5 3.3 131.45

Aquí se puede ver el efecto secuencial de Duncan ya que utiliza un comparador distinto según el número de medias a comparar. Los resultados de aplicar la prueba son los siguientes:

Cuadro 10. Contrastación de las diferencias entre medias adyacentes con los valores críticos de Duncan. Variedades/Promedios Estela Topacio Martí UC - 82 VF-134

887.50 760.80 676.88 611.65 610.55

Estela Topacio

Martí

887.50

676.88

760.80

0 126.70 ns 210.63* 0 83.93ns 0



UC - 82 VF-134 Valores Críticos de 611.65 610.55 Duncan 275.85* 276.95* 149.15* 150.25* 65.23 ns 66.33 ns 0 1.10 ns 0

131.45 128.66 125.48 119.50

Lo anterior se resume en el siguiente rango de mérito:


Comparación según Duncan a ab bc c c

Promedios con literales distintas son estadísticamente diferentes según el método de Duncan (P ˂ 0.0 5).

Como se puede observar, en este caso los resultados obtenidos son un poco diferentes a los obtenidos con DMS, en este caso, Estela ejerce el mismo comportamiento que Topacio, por lo demás, la interpretación es la misma.

Aplicando la prueba de SNK: Al igual que la prueba de Duncan, SNK es una prueba secuencial lo que indica que utiliza un valor diferente para cada comparación de acuerdo al número de medias a comparar. Los valores q y valores críticos de SNK al aplicar la ecuación, muestran en el Cuadro 11.

  

, se

Cuadro 11. Valores estudentizados de la tabla de SNK de acuerdo al número de medias adyacentes a comparar y valores críticos de la prueba de SNK. Medias a comparar q(0.05, 16) RMS

2 3 119.50

Número de Medias 3 4 3.65 4.05 145.39 161.33

5 4.33 172.48

Los resultados al aplicar la prueba de rangos múltiples de SNK se resumen en el Cuadro 12.

Cuadro 12. Resultados de la comparación de medias según el método de SNK. Estela Topacio Variedades/Promedios 887.50 760.80 Estela Topacio Martí UC - 82 VF-134

887.50 760.80 676.88 611.65 610.55

Martí UC - 82 676.88 611.65

0 126.70 ns 210.63* 275.85* 0 83.93 ns 149.15 ns 0 65.23 ns 0

ns = No significativo * = significativo Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

VF-134 Valores Críticos 610.55 de SNK 276.95* 172.48 150.25 ns 161.33 66.33 ns 145.39 1.10 ns 119.50 0

Lo anterior se resume en el siguiente rango de mérito.


Comparación según SNK a ab b b b

Promedios con literales distintas son diferentes según el método de SNK (P ˂ 0.05)

En este caso, los resultados de aplicación del método de SNK varían con respecto a Duncan y por ende con DMS, la interpretación es la misma.

Aplicando el Método de Tukey Tukey no es un método secuencial, es decir, que utiliza un solo valor estudentizado para obtener el valor crítico de prueba, utiliza la misma tabla que SNK pero con el número máximo de medias a comparar. Aplicando ahora el método de Tukey o Diferencia Honesta Mínima se tiene lo siguiente:

       q(0,05, 5, 16) = 4.33

Los resultados de contrastar la diferencia de medias ordenadas con el valor crítico de la prueba de Tukey se muestra en el Cuadro 13.


Cuadro 13. Resultados de la aplicación de la prueba de Tukey a los promedios de los tratamientos estudiados. Comparaciones

Diferencias de Medias

Estela versus Topacio Estela versus Martí Estela versus UC-82 Estela versus VF-134 Topacio versus Martí Topacio versus UC-82 Topacio versus VF-134 Martí versus UC-82 Martí versus VF-134 UC-82 versus VF-134

126.7 210.625 275.85 276.95 83.925 149.15 150.25 65.225 66.325 1.1

Resultados de la comparación según Tukey ns * * * ns ns ns ns ns ns


Resumiendo los resultados del Cuadro 13 en un rango de mérito se tiene lo siguiente:


Comparación según Tukey a ab b b b

Promedios con literales distintas son estadísticamente diferentes según el método de Tukey (P ˂ 0.0 5).

Aplicando el Método de Scheffé La prueba de Scheffé al igual que Tukey no es una prueba secuencial por lo tanto solo

utiliza un valor de “F” de Snedecor que se extrae un nivel de significancia “ ”, para el caso del ejemplo  = 0.05, con los grado de libertad de tratamientos y los del error experimental, que

son

los

mismos

del

ANDEVA.

       

Aplicando

ecuación

de

Scheffé,

, se obtiene los resultados que se muestran en el

Cuadro 14 siguiente: F(0.05, 4, 16)

la

=


        Cuadro 14. Resultados de la aplicación de la prueba de Scheffé a los promedios de los tratamientos estudiados. Comparaciones Estela versus Topacio Estela versus Martí Estela versus UC-82 Estela versus VF-134 Topacio versus Martí Topacio versus UC-82 Topacio versus VF-134 Martí versus UC-82 Martí versus VF-134 UC-82 versus VF-134

Diferencias de Medias 126.7 210.625 275.85 276.95 83.925 149.15 150.25 65.225 66.325 1.1

Resultados de la comparación según Scheffé ns * * * ns ns ns ns ns ns


Resumiendo los resultados del Cuadro 14 en un rango de mérito se tiene lo siguiente:


Comparación según Scheffé a ab b b b

Promedios con literales distintas son estadísticamente diferentes según el método de

Scheffé (P ˂ 0.05).

2.7. ¿Cuándo, Porqué y Cuál Prueba de Rangos Múltiples Utilizar? Todas las pruebas de rangos múltiples o separación o comparación de medias se utilizan siempre y cuando en el análisis de varianza se rechace la hipótesis ya que este análisis solo detecta si existe efecto o no de los tratamientos sometidos a consideración pero no indica cuál o cuáles son los tratamientos responsables de este rechazo. Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

En el Cuadro 15 se resumen los resultados obtenidos por cada una de las pruebas de separación de medias aplicados con el mismo experimento.

Cuadro 15. Resumen de los resultados obtenidos al aplicar las pruebas de rangos múltiples de DMS, Duncan, SNK, Tukey y Scheffé. Variedades Estela Topacio Martí UC - 82 VF-134

DMS a b bc c c

Prueba de Rangos Múltiples Duncan SNK Tukey a a a ab ab ab bc b b c b b c b b

Scheffé a ab b b b

Promedios con literales distintas son estadísticamente diferentes (P ˂ 0.0 5).

Según Martínez Garza (1994) el método de Scheffé es más riguroso para detectar diferencias significativas y esto se demuestra con los resultados expuestos en el Cuadro 15, (aunque en este caso coincide tanto con SNK y Tukey debido al número de medias que se compararon, es decir, que si hubieran sido más medias estos resultados probablemente serían distintos) es por ello que se recomienda usarlo a un  = 0.1. Por otra parte se ha podido observar que tanto SNK como Tukey tiende a no detectar diferencias estadística donde DMS y Duncan lo han hecho con diferencias mayores. Una discusión más fundamentada sobre las separaciones de medias puede encontrarse en

Steel y Torrie (1992) en su obra “Bioestadística: Principios y Procedimientos pero sí se puede deducir que para experimentos en fases exploratorias es recomendable usar pruebas que no sean tan rigurosas como es DMS, Duncan e inclusive SNK, sin embargo, si este no es el caso y los promedios no han sido corregidos por efecto de covariable, es recomendable Tukey y si se requiere una prueba más rigurosa sin importar si el experimento es balanceado o no, si los promedios ha sido corregido o no por covariable, es recomendable usar Scheffé.


3. DISEÑO EN BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR (BCA) O CON DOS CRITERIOS DE CLASIFICACIÓN No siempre el material experimental es homogéneo limitando en este caso el uso del Diseño Completamente al Azar (DCA). En estos casos es recomendable usar el Diseño en Bloques Completamente al Azar.

3.1. ¿Cuándo utilizar este diseño? Este diseño se utiliza cuando el material experimental presenta un factor de “estorbo” que no es de interés estudiar pero que sí puede afectar los resultados conllevando a conclusiones erradas o bien los llamados efectos enmascarados. Tiene como principio maximizar la variabilidad entre bloques y minimizar la variabilidad interbloque o variabilidad interna. Esto se logra ya que las unidades experimentales dentro de cada bloque son homogéneas pero son heterogéneas entre bloques. Si se habla de un diseño en Bloques Completamente al Azar, deben existir tantas unidades experimentales dentro de cada bloque como tratamientos se tenga, de manera que cada tratamiento tenga una repetición en cada bloque (principio de bloqueo). Esto al mismo tiempo se vuelve una desventaja para este diseño ya que si se pierde una unidad experimental o más, se rompe el principio de bloqueo ya que los tratamientos no tendrían el mismo número de repeticiones dentro de cada bloque. Es por ello que en este caso para analizar este diseño se deben estimar los datos perdidos conllevando a pérdidas de grados de libertad en el error y por ende a un aumento del cuadrado medio del error.

3.2. Modelo Aditivo Lineal de un BCA El modelo aditivo lineal para este diseño es el siguiente:

    Donde:

Yij = Variable respuesta

= Efecto común a todas las observaciones

Bj = Efecto de la j-ésima repetición; j = 1, 2, 3,...r repeticiones Ti = Efecto del j-ésimo tratamiento; i = 1, 2, 3, …i, tratamiento Eij = Error experimental


3.3. Análisis de Varianza para un BCA Antes de exponer la salida de varianza y las ecuaciones de trabajo, se presenta un cuadro de concentración o vaciamiento de información.

Cuadro 16. Concentración de los datos para un Diseño en Bloques Completamente al Azar (BCA). TRATAMIENTOS

BLOQUES 2 3

1

1 2 3

Y 11 Y 21

Y 12 Y 22

Y 13 Y 23

Y 31

Y 32

Y 33

…i ΣY .j

Y i1 Y .1

Y i2 Y .2

Y i3 Y .3

ΣY i.

…j Y 1j Y 2j Y 3j Y ij Y .j

Y 1 . Y 2 . Y 3 . Y .i Y..

La salida de varianza de este diseño y de acuerdo a su modelo aditivo lineal es el siguiente:

Cuadro 17. Salida de varianza para un diseño en Bloques Completamente al Azar.

F.V

gl

Bloque

Tratamiento

Error

Total

r-1 t-1

SCBloque

SCTRAT.

(t-1)(r-1) tr-1

SC

Fc

Ft

CMBloque

CMTRAT.

SCError

                   CM

CMError

SCTotales

En este diseño se prueban dos juegos de hipótesis uno para bloques y otros para tratamientos. Estas hipótesis son las siguientes: 

Para tratamiento

Ho: µ 1 - µ 2 - µ 3 -… µ i = 0 (T 1 - T 2 - T 3 - …T i = 0) Ha: µ 1 - µ 2 - µ 3 -… µ i  0(T 1 - T 2 - T 3 - …T i  0).



Para Bloques

Ho: Bµ 1 - Bµ 2 - Bµ 3 -… Bµ j = 0 (B1 - B2 - B3 - …Bj = 0) Ha: Bµ 1 - Bµ 2 - Bµ 3 -… Bµ j

 0

(B1 - B2 - B3  … Bj  0).

Las ecuaciones de trabajo para realizar el análisis de varianza de este diseño son las Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

siguientes:

   ∑     ∑       ∑    ; Factor de Corrección

Ejemplo:

Se llevó a cabo un experimento bajo un arreglo en bloques completamente al azar donde se probaron el efecto siete tratamientos en el rendimiento (tn/ha) de una variedad de caña de azúcar. Realice el análisis de varianza correspondiente a un  = 0.05 con la siguiente información:

Cuadro 18. Rendimiento (tn/ha) en una variedad de caña de azúcar sometida al efecto de siete tratamientos. Tratamientos 1 2 3 4 5 6 7 ƩY.j

I 63.08 44.38 58.65 52.31 52.31 49.45 50.72 370.9

II 51.99 49.77 52.31 59.28 53.89 32.65 57.06 356.95

III 43.43 40.29 41.84 46.28 47.55 34.55 42.80 296.74

ƩYi.

158.5 134.44 152.8 157.87 153.75 116.65 150.58 1024.59

Adaptado de Guzmán (2009)

Aplicando las ecuaciones de trabajo se tiene lo siguiente:

                    63.08² + 51.99² +…42.80²) -


= 1234.124

                  Cuadro 19. Salida de varianza para el ejemplo de Diseños en Bloques Completamente a Azar. FV Bloques Tratamientos Error Total

gl 2 6 12 20

SC 443.7882 472.8412 317.4946 1234.124

CM Fc Ft (0.05) 221.8941 8.3866913 3.88529383 78.8068667 2.9785779 2.99612038 26.4578833

Interpretación de Resultados Es necesario recalcar que en un diseño de bloques completamente al azar la variable que se está bloqueando no es de interés estudiar, en este caso, se está interesado en el efecto que ejercen los tratamientos en el rendimiento de la variedad de caña de azúcar. Cuando se establece un diseño en bloques completamente al azar, es necesario estar seguro que en verdad el factor de estorbo existe, caso contrario se pierde grados de libertad en el error, lo cual hace que las diferencias dentro de los tratamientos (error experimental) sean mayores con las consecuencias que corresponden ya que se aumenta en el cuadrado medio del error. Para el caso del ejemplo, se puede verificar en la salida de varianza que existe diferencias significativas (P  0.05) en bloques lo cual indica, que el investigador tenía razón en realizar el bloqueo en el sentido que lo hizo, no hay más interpretación que se le pueda dar, excepto cuando este bloqueo tiene o representa características de interés que se pueden utilizar en subsiguientes investigaciones. Por otra parte, este mismo análisis indica que los tratamientos estudiados ejercieron el mismo efecto (P > 0.05) en el comportamiento de la variable respuesta, en este caso, el rendimiento, es decir que no existen elementos de convicción para decir lo contrario. Si se observa esta conclusión está basada en la prueba de hipótesis correspondiente a los tratamientos y dado que se rechazó la hipótesis nula en el análisis de varianza, entonces se está interpretando lo que significa la hipótesis alternativa. Dado que el análisis de varianza no reportó diferencias significativas para tratamientos, no Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

se debe aplicar una prueba de rangos múltiples ya que no hubo rechazo de la hipótesis nula. En caso de que existan parcelas perdidas en un experimento conducido bajo un arreglo de bloques completamente al azar se debe tomar la decisión de estimarla o no. Si son todas las repeticiones de un tratamiento no hay necesidad de estimar ya que se sigue conservando el principio de bloqueo, caso contrario se debería estimar teniendo en cuenta que por cada parcela estimada se pierde un grado de libertad en el error y de hecho se aumenta el cuadrado medio del error. Uno de los métodos más comunes para estimar una parcela perdida es el propuesto por Yates que se define de la siguiente forma: Yij = Dato perdido

  

; donde:

r = número de repeticiones (bloques)

   

= Total del bloque con la parcela o dato faltante

T = número de tratamientos = Total del tratamiento con la parcela o dato faltante

4. DISEÑO CUADRADO LATINO (DCL) Anteriormente se han analizado los casos de los diseños Completamente al Azar donde el material experimental tiene que ser homogéneo y Bloques al Azar, donde el material experimental presenta un factor sistemático o de estorbo. Sin embargo, en la investigación se presentan casos donde el material experimental presenta dos tipos de efectos no sistemáticos o sea dos factores de estorbo, que no son de interés en la investigación pero pueden afectar los resultados del experimento. Además, imposibilita el uso de los diseños antes mencionados.

4.1. ¿Cuándo Utilizar este Diseño? El diseño Cuadrado Latino, es considerado como una variante del diseño Bloques al Azar. Este diseño es de gran utilidad cuando el material experimental presenta dos efectos de estorbo. Permite controlar dos efectos sistemáticos que afectan al material experimental, además del efecto de tratamiento que es el de interés estudiar. Tiene la característica de controlar los efectos de estorbo a través de hileras y columna, o sea un doble bloqueo. Para que los efectos de las hileras y las columnas no se confundan con el de los Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

tratamientos, éstos se ubican de tal forma que un tratamiento no se repite en la misma columna y la misma hilera. Por esta razón, la cantidad de tratamiento coincide con el mismo número de filas y columnas. La principal restricción de este diseño es que el número de repeticiones es igual al número de tratamiento, si este último es considerable el número de repeticiones requerido se vuelve impracticable. Son pocos usados los Cuadros Latinos 12 x 12, mientras que el tamaño más común es desde 5 x 5 hasta 8 X 8. Este diseño presenta hasta cierto punto la misma des ven ta ja que los Bloq ue s al Azar de que , el er ro r experimental por unidad, se aumente con el tamaño del cuadro, principalmente en diseños agronómicos donde principal fuente de variación es el suelo.

4.2. Modelo Aditivo Lineal de para un DCL El modelo aditivo lineal para este diseño es el siguiente: Yij(k) = µ + Hi + Cj + Tk(ij) + Eijk

Donde: Yij (k) = Variable µ

respuesta


Hi = Efecto de la i - ésima hilera i = 1, 2, 3 ,... i hileras Cj = Efecto de la j-ésima columna j = 1, 2, 3,… j columnas Tk (ij) = Efecto del k-ésimo tratamiento en la i-ésima hilera y j-ésima columna k = 1, 2, 3,… k tratamientos. Ejk = Error del modelo

En este diseño se prueban hipótesis para columnas, hileras y tratamiento de la misma forma que se ha hecho anteriormente, es decir, la hipótesis nula asume el efecto de igualdad en caso y la alternativa su contradicción.

4.3. Análisis de Varianza para un diseño Cuadrado Latino DCL Al igual que los casos anteriores, antes de exponer la salida de varianza, se muestra un cuadro de concentración de información, que es de donde obtiene como tal al análisis de varianza que se debe corresponder con el modelo aditivo lineal.


Cuadro 20. Cuadro de vaciamiento de información para un diseño Cuadrado Latino. Columnas

Hileras

C1 Y11 Y21 Y31 Yi1 Y.1

H1 H2 H3 … Hi ΣY.j

C2 Y12 Y22 Y32 Yi2 Y.2

C3 Y13 Y23 Y33 Yi3 Y.3

… Cj

Y1j Y2j Y3j Yij Y. j

ΣYi.

Y1. Y2. Y3. Yi. Y..

Los tratamientos están entre las hileras y las columnas bajo las características que se han mencionado anteriormente, es por ello que hay que hacer un resumen de los tratamientos en otro cuadrado como se muestra a continuación.

Cuadro 21. Resumen de la información de los tratamientos extraído de un diseño Cuadrado Latino. Tratamiento T1 T2 T3 … Tk

Repeticiones R2 R3 Y12 Y13 Y22 Y23 Y32 Y33 Yi2 Yi3 Y..2 Y..3

R1 Y11 Y21 Y31 Yi1 Y..1

… Rj

Y1j Y2j Y3j Yij Y.. j

ΣYi.

Y1. Y2. Y3. Y..k Y…

La salida de varianza para un DCL es la siguiente:

Cuadro 22. Salida de varianza para un diseño Cuadrado Latino

FV

gl

Hileras

t-1

Columnas

t-1

Tratamiento

t-1

Error

Total

                      CM

Fc

SCHileras CMHileras

SCColumn CMColumn SCTRAT.

(t-1)(t-2) t²-1

SC

CMTRAT.

SCError

CMError

SCTotales

Las ecuaciones de trabajo para el análisis de varianza de este diseño son las siguientes:

     


Ft

∑     ∑       ∑       ∑    Ejemplo: Se estudia la eficacia de cuatro fármacos diferentes (F1, F2, F3 y F4) en el tratamiento de una enfermedad, para ello, se observa el número de días que tardan en curar los enfermos tratados con estos fármacos. Se considera que el factor edad y el factor peso pueden influir en el experimento, por ello, se controlan estos factores y se consideran cuatro niveles de edad (E1, E2, E3 y E4) y cuatro de peso (P1, P2, P3 y P4). Los resultados del experimento diseñado según la técnica del cuadrado latino se reportan en el Cuadro 23. ¿Qué conclusiones se deducen del experimento a un nivel de significancia del 5% ?”

Cuadro 23. Efecto de cuatro fármacos en los días para una curar una enfermedad en pacientes de cuatro grupos etáreos y cuatro tipos de peso. Peso P1 P2 P3 P4

E1 10.0 F1 8.0 F2 7.0 F3 6.0 F4

Grupo Etáreo E2 E3 9.5 F2 7.0 F4 10.0 F1 8.5 F3 6.5 F4 7.0 F1 5.0 F3 6.0 F2

E4 11.5 F3 9.0 F4 8.0 F2 9.0 F1

Lo primero que se debe hacer es resumir la información para columnas, hileras tratamiento. La de hileras y columnas sería la siguiente:


Peso P1 P2 P3 P4 ΣY.j.

E1 10.0 8.0 7.0 6.0 31.0

Grupo Etáreo E2 E3 9.5 7.0 10.0 8.5 6.5 7.0 5.0 6.0 31.0 28.5

E4 11.5 9.0 8.0 9.0 37.5

ΣYi..

38.0 35.5 28.5 26.0 128.0

y la de tratamiento quedaría de la siguiente forma:

Fármaco 1 2 3 (Tratamiento) F1 10.0 10.0 7.0 F2 8.0 9.5 6.0 F3 7.0 5.0 8.5 F4 6.0 6.5 7.0 Con esta información se puede realizar el análisis de varianza

4

ΣY..k

9.0 8.0 11.5 9.0

36.0 31.5 32.0 28.5

            ∑                 ∑              ∑              ∑                       Resumiendo lo anterior en la salida de varianza correspondiente a este diseño se tiene lo siguiente:


Cuadro 24. Salida de varianza para el diseño Cuadrado Latino del ejemplo. F.V Peso (Hileras) Grupo Etáreo (Columnas) Fármaco (Tratamiento) Error Total

gl 3 3 3 6 15

SC 24.125 11.125 7.125 4.625 47.0

CM FC 8.0416667 10.432432 3.7083333 4.8108108 2.375 3.0810811 0.7708333

Ft (0.05) 4.757 4.757 4.757

De acuerdo al análisis de varianza realizado se concluye al 95% de confiabilidad que existe efecto significativo del peso en los días que tardan los enfermos en curarse, de igual manera lo hicieron los grupos etáreos estudiados. Al revisar el efecto de los fármacos (tratamiento) se observó que éstos ejercieron el mismo efecto en los días para curarse por lo tanto es indistinto usar uno o el otro. En este caso, al igual que en los bloques, si existe efecto de hileras o columnas se concluye nada más que era necesario bloquear en ese sentido. Si se encuentra efecto de tratamiento, se debe aplicar alguna prueba de rangos múltiples.


5. DISEÑOS FACTORIALES Como se mencionó en un principio, todos los diseños hasta ahora desarrollados son diseños simples donde solo se ha analizado el efecto de tratamiento. Sin embargo, se presentan situaciones donde la interrogante a investigar se encuentra supeditada por varios factores controlables, por ejemplo: 

El efecto de diferentes niveles de un tipo de fertilización sobre el comportamiento agronómico de diferentes materiales vegetales de un rubro.



El efecto de diferentes materiales vegetales en diferentes ambientes, etc.

En la parte introductoria de este documento se mencionó que un factor es un tratamiento que genera más tratamiento (niveles de un factor). Puede ser que el comportamiento agronómico de un material vegetal se vea influenciado por algún de nivel de fertilización en conjunto con un medio determinado. Si bien es cierto que en algunos casos se pueden estudiar por separados tales efectos, el tiempo que se requiere para obtener la repuesta es mayor y además muchas veces se necesita aplicar ambos factores para ver el comportamiento de las interacciones de los niveles de éstos. Es por ello que una de las ventajas de este tipo de diseño es que además de estudiar los efectos principales, se pueden estudiar las interacciones de los niveles de los factores reduciendo el tiempo de experimentación y además proporcionando conclusiones más concretas en el estudio. Los diseños factoriales se dividen en diseños factoriales simples y diseños factoriales complejo. Estos pueden ejecutarse en cualquiera de los diseños simples o clásicos hasta ahora desarrollado, es decir, que se pueden tener diseños factoriales en un diseño completamente al azar, en bloques completamente al azar y en cuadrado latino. De igual forma se puede hacer en los diseños factoriales complejos, todo depende de las características del material experimental que se utilice en el experimento. A continuación se desarrollan diseños factoriales simples en arreglos completamente al azar y en bloques completamente al azar.


5.1. ¿Cuándo utilizar diseños factoriales simples en un arreglo completamente al azar? De cuando utilizar estos diseño se ha expuesto anteriormente por lo tanto solo se desarrolla lo de completamente al azar. Los diseños factoriales simples en arreglo completamente al azar se utilizan cuando se está interesado estudiar al mismo tiempo el efecto de dos o más factores a un mismo rigor y el material experimental a usar es homogéneo, es decir, que las unidades experimentales no presentan factor de estorbo alguna que pueda afectar los resultados del experimento. De forma general los diseños factoriales simples se puede clasificar de acuerdo al número de factores que se estudien o bien de acuerdo a que si se estudian todos los niveles de los factores (factoriales completos) o se estudian cierto niveles de éstos (factoriales incompletos). En función del número de factores que se estudien, los diseños factoriales pueden ser bifactoriales, trifactoriales, etc. Generalmente es recomendable hasta tres por el efecto de interpretación. Para el análisis de experimentos factoriales se analizan primero los efectos principales (factores individuales) y posteriormente las interacciones de los mismos. Hay autores que mencionan que en caso de existir efecto de las interacciones no tiene sentido estudiar los factores por separados ya que para ver el efecto en la variable respuesta se requiere de las interacciones de los niveles de los factores en estudio.

5.2. Arreglo combinatorio Como se ha mencionado anteriormente, un factor es una clase de tratamiento que genera más tratamiento llamados niveles. Un nivel se refiere a los diferentes tratamientos dentro de un factor y arreglo combinatorio se refiere a la combinación de los niveles de los factores en estudio. Suponga que se tiene un factor A con tres niveles (a1, a2, a3) y un factor B con cuatro niveles (b1, b2, b3, b4). En este caso se tiene un experimento bifactorial 3 x 4. El arreglo combinatorio de estos dos factores sería el que se muestra en el Cuadro 25.


Cuadro 25. Arreglo combinatorio de un diseño bifactorial 3 x 4.

Factor A a1 a2 a3

Factor B b1 a1b1 a2b1 a3b1

b2 a1b2 a2b2 a3b2

b3 a1b3 a2b3 a3b3

b4 a1b4 a2b4 a3b4

5.3. Modelo aditivo lineal Para representar un experimento factorial se utiliza un modelo lineal que tome en consideración la suma de una constante general común a todas las observaciones más los efectos principales de los factores a estudiar así como los efectos secundarios (interacciones) adicionándole finalmente un efecto aleatorio o error experimental. Además se tiene que considerar en el modelo la forma de asignación de los tratamientos definidos (interacciones) a las unidades experimentales. Esto quiere decir, que si el material experimental es homogéneo, se hará en un arreglo completamente al azar, si hay un factor de estorbo, entonces se hará en bloques completamente al azar, etc. Es importante mencionar que en este tipo de experimentos factoriales, todos los factores se estudian bajo un mismo rigor, cosa que no ocurre en los experimentos factoriales complejos ya que en éstos se sacrifica precisión en uno de los factores para estudiar con mayor precisión el otro. Supóngase que en el ejemplo de arreglo combinatorio expuesto líneas arriba, se lleva a cabo en un diseño o arreglo completamente al azar, entonces su modelo aditivo lineal sería el siguiente:

      Yijk = Variable respuesta

µ = Efecto común a todas las observaciones Ai = Efecto del i-ésimo nivel del factor A: i = a1, a2, a3 niveles del factor A Bj = Efecto del j-ésimo nivel del factor B: j = b1, b2, b3, b4 niveles del factor B (A*B)ij = Interacción del i-ésimo nivel del factor A con el j-ésimo nivel del factor B Eijk = Error del modelo


En este diseño se prueban hipótesis tanto para el factor A, factor B y para las interacciones de los nieve, bajo la misma tipología desarrollada en este documento (hipótesis nula e hipótesis alternativa). En caso de rechazo de la hipótesis nula, se debe hacer prueba de rangos múltiples según sea el caso Un cuadro de vaciamiento de información para un diseño bifactorial un arreglo completamente al azar se muestra a continuación.

Cuadro 26. Cuadro de vaciamiento de información para un diseño bifactorial en un arreglo completamente al azar. Factor A

a1

a2

a3

ai

Factor B b1 b2 b3 bj b1 b2 b3 bj b1 b2 b3 bj b1 b2 b3 …bj

1 Y111 Y121 Y131 Y1j1 Y211 Y221 Y231 Y2j1 Y311 Y321 Y331 Y3j1 Yi11 Yi21 Yi31 Yij1

Repeticiones 2 3 Y112 Y113 Y122 Y123 Y132 Y133 Y1j2 Y1j3 Y212 Y213 Y222 Y223 Y232 Y233 Y2j2 Y2j3 Y312 Y313 Y322 Y323 Y332 Y333 Y3j2 Y3j3 Yi12 Yi13 Yi22 Yi23 Yi32 Yi33 Yij2 Yij3

…k

Y11k Y12k Y13k Y1jk Y21k Y22k Y23k Y2jk Y31k Y32k Y33k Y3jk Yi1k Yi2k Yi3k Yijk

ΣYij.

Y11. Y12. Y13. Y1j. Y21. Y22. Y23. Y2i. Y31. Y32. Y33. Y3j. Yi1. Yi2. Yi3. Yij.

De este cuadro se extrae la información de los efectos principales y secundarios (interacciones) como se muestra en el Cuadro 27.


Cuadro 27. Información de los efectos principales y de las interacciones entre los mismos. Factor A a1 a2 a3 …ai ΣY.j.

b1 Y11. Y21. Y31. Yi1. Y.1.

b2 Y12. Y22. Y32. Yi2. Y.2.

Factor B b3 Y13. Y23. Y33. Yi3. Y.3.

b4 Y14. Y24. Y34. Yi4. Y.4.

ΣYi..

…bj

Y1.. Y2.. Y3.. Yi..

Y1j. Y2j. Y3j. Yij. Y.j.

Y…

Las ecuaciones de trabajo son las siguientes:

                                         

La salida de varianza de acuerdo al modelo aditivo lineal sería la que se muestra en el Cuadro 28.

Cuadro 28. Salida de varianza para un diseño bifactorial en un arreglo completamente al azar. F.V

gl

SC

Factor A

a-1

SCA

Factor B

b-1

SCB

A*B

(a-1)(b-1)

SCAB

Error

ab(r-1)

SCError

Total

abr-1

SCTotales

              CM


Fc

Ft F(,glA, gl Error) F(,glB, gl Error) F(,glAB, gl Error)

Si el diseño bifactorial se hubiera llevado a cabo en arreglo en bloques completamente al azar el modelo aditivo lineal es el siguiente:

      Yijk = Variable respuesta

µ = Efecto común a todas las observaciones Ai = Efecto del i-ésimo nivel del factor A: i = a1, a2, a3 niveles del factor A Bj = Efecto del j-ésimo nivel del factor B: j = b1, b2, b3, b4 niveles del factor B (A*B)ij = Interacción del i-ésimo nivel del factor A con el j-ésimo nivel del factor B

αk = Efecto de k-ésimo bloque: k = 1, 2, 3,… bloques Eijk = Error del modelo Y la salida de varianza sería la que se muestra en el Cuadro 29.

Cuadro 29. Salida de varianza para un diseño bifactorial en un arreglo de bloques completamente al azar. F.V

gl

SC

Bloque

k-1

SCBloques

Factor A

a-1

SCA

Factor B

b-1

SCB

A*B

(a-1)(b-1)

SCAB

Error

(ab-1)(r-1)

SCError

Total

abr-1

SCTotales

                   CM

Fc

Ft F(, glbloque, gl Error F(,glA, gl Error) F(,glB, gl Error) F(,glAB, gl Error)

En este caso se adicionaría una hipótesis más que sería la de bloque y si hubiera un rechazo de Ho, la interpretación sería la misma que se ha mencionado anteriormente. Ejemplo Un médico está interesado en determinar si tanto el estado nutricional como la edad (grupo etáreo) de la madre tiene efecto sobre el peso del recién nacido. Los estados nutricionales de su interés fueron: Normal, Sobrepeso y Obesa, y los grupos etáreos fueron: menores a 15 años, 15 a 18 años, 19 a 30 años y mayores a 30 años. Seleccionó de forma aleatoria cuatro madres para cada combinación de los niveles de los dos factores, estado nutricional y grupo Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

etáreo). Los pesos obtenidos en gramos fueron los que se reportan en el Cuadro 30. En este caso se tiene un experimento bifactorial, Estado Nutricional y Grupo Etáreo, cada uno con tres y cuatro niveles, respectivamente. Esto hace que se tenga un bifactorial 3 x 4 (esto vendría a ser un factorial completo asimétrico, asimétrico por no tienen el mismo número de niveles y completo por se estudian todos los niveles que han sido propuestos por el investigador. Por otra parte se tiene cuatro repeticiones por tratamiento (combinación), entonces viene a ser un bifactorial 3 x 4 con 4 repeticiones, haciendo un total de 48 unidades experimentales como se muestra en el Cuadro 30. Para los datos del Cuadro 30 realice lo siguiente: a. Proponga y describa un modelo aditivo lineal para el experimento. b. Proponga los juegos de hipótesis a probar. c. Realice el análisis de varianza correspondiente de acuerdo al modelo aditivo lineal propuesto en el inciso a., a una significancia del 1%. Realice conclusiones. d. Si existe rechazo de Ho en cualquiera de los factores como en las interacciones de los mismos, realice la prueba de rangos múltiples de Tukey al 99% de confiabilidad. Emita conclusiones

Cuadro 30. Pesos de los recién nacidos de acuerdo al estado nutricional de la madre y al grupo etáreo de las mismas. Estado Nutricional Grupo Etáreo

Normal

Con sobrepeso

Obesa

Menor de 15 15 a 18 19 a 30 Mayor a 30 Menor de 15 15 a 18 19 a 30 Mayor a 30 Menor de 15 15 a 18 19 a 30 Mayor a 30

1 1800 2000 3000 3100 2100 2500 2700 2900 3000 3100 2800 2800


Repeticiones 2 3 1900 1700 2400 2900 2800 2900 3300 2600 1800 1900 2900 3200 2900 3100 2600 3200 2800 2400 3300 2900 2500 3200 3100 3400

4 2000 3000 3200 2800 2200 2900 3500 2700 2500 3400 3100 3500

Dado que este experimento fue realizado en un arreglo completamente al azar no es necesario totalizar las columnas por lo tanto se procede a continuación a obtener la información de las interacciones de los niveles de los factores estudiados. Para ello es necesario totalizar en fila las interacciones como se muestra en el Cuadro 31 posteriormente hacer en cuadro de las interacciones que conllevaran a los totales de los efectos principales como se reporta en el Cuadro 32, estos totales se muestran tanto en la suma de las hileras como de las columnas de acuerdo a como se dispongan los factores (totales marginales) y los valores de las interacciones están dentro del cuadro.

Cuadro 31. Datos del experimento con las interacciones totalizadas. Estado Nutricional

Grupo Etáreo Menor de 15 15 a 18 Normal 19 a 30 Mayor a 30 Menor de 15 15 a 18 Con sobrepeso 19 a 30 Mayor a 30 Menor de 15 15 a 18 Obesa 19 a 30 Mayor a 30

1 1800 2000 3000 3100 2100 2500 2700 2900 3000 3100 2800 2800

Repeticiones 2 3 1900 1700 2400 2900 2800 2900 3300 2600 1800 1900 2900 3200 2900 3100 2600 3200 2800 2400 3300 2900 2500 3200 3100 3400

4 2000 3000 3200 2800 2200 2900 3500 2700 2500 3400 3100 3500

ΣYij.

7400 10300 11900 11800 8000 11500 12200 11400 10700 12700 11600 12800

Cuadro 32. Efectos principales e interacciones de los factores Estado Nutricional y Grupo Etáreo. Estado Nutricional Normal Con sobrepeso Obesa ΣY.j.

Grupo Etáreo (años) Menor de 15 15 a 18 19 a 30 7400 10300 11900 8000 11500 12200 10700 12700 11600 26100 34500 35700


Mayor a 30 11800 11400 12800 36000

ΣYi..

41400 43100 47800 132300

Desarrollando las actividades solicitadas para el ejemplo se tiene lo siguiente:

a. Modelo aditivo lineal

    

Yijk = Variable respuesta (peso de los recién nacidos) µ


Ni = Efecto del i-ésimo estado nutricional; i = Normal, Con sobrepeso y Obesa Gj = Efecto del j-ésimo grupo etáreo; menores de 15, 15 a 18, 19 a 30 y mayores a 30 años (N*E)ij

= Efecto de la interacción del i-ésimo nivel del factor Estado Nutricional con el j-

ésimo nivel del factor Grupo Etáreo Eijk = Error del modelo

b. Juego de Hipótesis Como existen dos factores y sus interacciones, las hipótesis son las siguientes: Para el factor Estado Nutricional: Ho: µNormal- µSobre peso- µObesa = 0 Ha: µNormal- µSobre peso- µObesa

 0

Para el factor Grupo Etáreo: Ho: µmenores de 15 - µ15 a 18 - µ 19 a 30 - µmayores 30 años = 0 Ha: µmenores de 15 - µ15 a 18 - µ 19 a 30 - µmayores 30 años

 0

Para las interacciones: Ho: µa1b1 - µa1b2 - µa1b3 - µa1b4 - … µa3b4 = 0 Ha: µa1b1 - µa1b2 - µa1b3 - µa1b4 - … µa3b4  0

c. Análisis de varianza

                                                  


                                      

Con estos cálculos se construye la salida o tabla de varianza como se muestra en el Cuadro 33.

Cuadro 33. Salida de varianza para el diseño bifactorial en un DCA del ejemplo. F.V Estado Nutricional Grupo Etáreo Interacción Error Total

gl 2 3 6 36 47

SC 1373750 5510625 1196250 2957500 11038125

CM Fc 686875 8.3609467 1836875 22.359256 199375 2.4268808 82152.778

Ft (0.01) 5.248 4.377 3.351

De acuerdo a los resultados del análisis de varianza se puede concluir con 99% de confiabilidad que el peso de los recién nacidos se ve afectado por el Estado Nutricional y por el Grupo Etáreo de las madres, es decir, que ejercen efectos significativos (P < 0.01) en el peso de los recién nacidos, no así las interacciones de los niveles estudiados ya que ésta resultó ser no significativa. Esto indica que los factores estudiados ejercen efectos aditivos o bien que actúan de forma independiente en la variable respuesta.

d. Separación de media de Tukey al 99% de confiabilidad Cuando se dan este tipo de resultados hay que determinar el nivel o niveles de cada factor que provocaron el rechazo de la hipótesis nula en el análisis de varianza. Para ello hay que hacer los ajustes necesarios como se muestra en el Cuadro 34.


Cuadro 34. Ajuste de los efectos principales y secundarios para la separación de medias. Efecto

Total

A

ΣYi..

B

ΣY.j.

AB

ΣYij.

Promedio

   

Ajuste

         

Aplicando estos ajustes para los efectos principales se tiene lo siguiente:

Estado Nutricional Normal Con sobrepeso Obesa

Totales 41400 43100 47800

Promedio 2587.5 2693.75 2987.5

Aplicando Tukey para el factor Estado Nutricional se tiene lo siguiente:

             

Ordenando los promedios de los niveles del factor Estado Nutricional y estableciendo las comparaciones correspondiente se tiene lo siguiente:

Estado Nutricional Obesa Con sobrepeso Normal

Promedio 2987.5 2693.75 2587.5

Comparaciones Obesa-Sobrepeso Obesa- Normal Sobrepeso - Normal

Diferencias Resultado a 293.75 ns ab 400 * b 106.25 ns

En este caso se puede decir que de los niveles del factor Estado Nutricional, solo el nivel Obesa ejerció un efecto distinto (P <0.01) en el peso de los recién nacidos. Los ajustes para los niveles del factor Grupo Etáreo son los siguientes: Por Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris. Mgs. En Educación Superior

ESTADISTICA Y DISEÑOS EXPERIMENTALES

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