ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE MÓVIL 1. EL GIROSCOPIO El giróscopo giróscopo o giroscopio giroscopio es un dispositiv dispositivo o mecánico mecánico formado esencialm esencialmente ente por un cuerpo con simetría de rotación que gira alrededor de su ej eje e de simetría.. Cuando se somete el giróscopo a un momento de fuerza que simetría fuerza que tiende a camb ambiar la orie rientaci ación del eje de rotaci ación su comporta rtamiento es aparentemente paradójico ya que el eje de rotación, en lugar de cambiar de dirección como lo haría un cuerpo que no girase, cambia de orientación en una dirección perpendicular a la dirección intuitiva!.
El efecto girosc!ico
Cuando se empuja el lado derecho hacia abajo, este, en lugar de bajar, se mueve hacia el observador.
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Cuando se da un golpecito en la e"tremidad de la barra horizontal se comu comuni nica ca a las las masas masas una una velo veloci cidad dad hori horizo zont ntal al perp perpen endi dicu cula larr a sus sus velocidades tangenciales. #ista desde arriba del dibujo de izquierda. $as velocidades de la masa de arriba están dibujadas en trazos continuos y las de la masa de abajo en punteado
En un giróscopo no se trata de dos masas puntuales sino de masas distribuidas sobre todo el disco o el cilindro, pero eso no cambia el fondo de la e"plicación. % cuan cuando do,, en luga lugarr de darl darle e un impu impuls lso o a un giró girósc scop opo, o, se le apli aplica ca un
momento, se puede considerar este momento como una sucesión de cortos impulsos. Cada una de ellos a&ade a las masas una ín'ma velocidad perpendicular a sus velocidades. Eso hace que la velocidad cambie de dirección sin cambiar de módulo (ovimientos del giróscopo
)e acuerdo con la mecánica del sólido rígido, además de la rotación alrededor de su eje de simetría, un giróscopo presenta en general dos movimientos principales* la precesión y la nutación. Este hecho se deduce directamente de las ecuaciones de Euler . +ara entender cuantitativamente el movimiento de un giróscopo, podemos utilizar la segunda ley de e-ton para la rotación. dL T neto dt =
unto con las relaciones T neto =r∙Mg
% L I S ω s =
)onde I es el momento de inercia y respecto a su eje de spin.
ω es la velocidad angular de la rueda
En un giroscopio debemos tener en cuenta que el cambio en el momento angular de la rueda debe darse en la dirección del momento de la fuerza que act/a sobre la rueda. $a velocidad angular de precesión puede calcularse de la siguiente manera* En un peque&o intervalo de tiempo momento angular tiene modulo
dt
, el cambio e"perimentado por el
dL *
dL= rdt = MgDdt
En donde MgD es el modulo del momento respecto al punto donde pivota. El ángulo θ barrido por el eje en su movimiento es* dθ
=
dL dt MgD L L =
% por lo tanto la velocidad angular de precesión es* ω P
=
dθ MgD dt L =
MgD I S ωs
=
". EL MOVIMIENTO DEL TROMPO#
0i el eje de rotación del trompo, z , forma un cierto ángulo ∅ con la vertical, como ocurre generalmente, dicho eje se mueve en el espacio generando una Z . Este super'cie cónica de revolución en torno al eje vertical 'jo movimiento del eje de rotación recibe el nombre de precesión de la peonza y el eje Z es el eje de precesión. 1eneralmente, el ángulo
∅
varía periódicamente durante el movimiento de
precesión de la peonza, de modo que el eje de rotación oscila acercándose y alejándose del eje de precesión 2decimos que el trompo cabecea34 a este movimiento se le llama nutación y al ángulo ∅ se le llama ángulo de nutación. 0e utilizara dos referenciales para describir el movimiento del trompo. 5no de ellos es el referencial 'jo XYZ , con origen en el punto 6 2estacionario3 del eje de rotación del trompo. El otro referencial es el referencial móvil
xyz , cuyo
origen es tambi7n el punto 6 2estacionario3. Coincidirá el eje z con el eje de rotación del trompo4 el eje x lo elegimos de modo que permanezca siempre horizontal, contenido en el plano
XY . El ángulo
φ
que forma en cada
instante el eje x con el eje X recibe el nombre de ángulo de precesión. En consecuencia, el eje ejes
z
y
y estará siempre contenido en el plano de'nido por los
Z , formando un ángulo
∅
con el plano 8%. 6bs7rvese que el
referencial xyz no es solidario con el trompo y no es arrastrado por la rotación de 7ste, sino que presenta una rotación con respecto al referencial 'jo XYZ con una cierta velocidad angular llamada velocidad angular de precesión. Como al aplicar la ecuación del movimiento de rotación del sólido rígido, M =d L / d t , tanto el momento e"terno
( M ) como el momento angular ( L)
deben estar referidos a un mismo punto 'jo en un referencial inercial 2o al C( del cuerpo3, tomaremos el punto 6 como origen o centro de reducción.
Mo$i%ie&to 'e !recesi&
+uesto que el trompo está girando, con una velocidad angular intrínseca
ω ,
alrededor del eje principal de inercia z , su momento angular será paralelo a la velocidad angular 2o sea, será paralelo al eje z 3, y viene dado por* L I zz ω =
+or otra parte, el momento e"terno que act/a sobre el trompo se debe al peso m g que act/a en el centro de gravedad
G y es igual al producto vectorial*
M OG×mg =
)e modo que el momento e"terno M resulta ser perpendicular al eje de rotación. El módulo del momento aplicado es* M mgh sin ∅ =
0iendo h =OG la distancia entre el punto estacionario del trompo 2el e"tremo de su p/a3 y el centro de gravedad del mismo. $a dirección de
M es la del
eje x . Como el momento e"terno aplicado al trompo no es nulo, el momento angular no permanecerá constante. )urante un intervalo de tiempo in'nitesimal d t el cambio in'nitesimal e"perimentado por el momento angular vale
dL Mdt =
)e modo que el cambio
d L en el momento angular tiene siempre la misma
dirección que el momento aplicado M 2del mismo modo que el cambio en la cantidad de movimiento tiene siempre la misma dirección que la fuerza3. Como el momento M es perpendicular al momento angular L , el cambio d L en el momento angular tambi7n es perpendicular a L . +or consiguiente, el vector momento angular cambia de dirección, pero su módulo permanece constante. aturalmente, puesto que el momento angular tiene siempre la dirección del eje de rotación 7ste cambiará tambi7n su orientación en el espacio en el transcurso del tiempo. L describe una circunferencia, de radio,
El e"tremo del momento angular Lsn ∅ alrededor del eje 'jo
un desplazamiento angular
Z y en un tiempo
d t
dicho radio e"perimenta
d! . $a velocidad angular de precesión
"
se
de'ne como la velocidad angular con la que gira el eje z en torno al eje 'jo Z . Esto es "
=
d! dt
% está representado por un vector situado sobre eje
Z#
+uesto que L es un vector de módulo constante que precesa alrededor del eje Z con una velocidad angular manera* M
=
dL dt
=
" , podemos escribirlo de la siguiente
" ×ω
6bteni7ndose para el módulo del momento M ="L sin ∅
E"presión de la que se despejara
" para tener*
"
=
M Lsn ∅
=
mgh mgh L I zz ω =
)onde se ha sustituido las primeras dos e"presiones para el momento angular y el momento, respectivamente. $a velocidad angular de precesión, " , resulta ser inversamente proporcional al momento angular
( L)
o a la
velocidad angular intrínseca 2 ω 3, de modo que si 7ste o 7sta es grande, aqu7lla será peque&a.
(. EL MOVIMIENTO DE PRECESIÓN LA TIERRA#
)&g*lo 'e Precesi&. El movimiento de precesión de los equinoccios, es debido al movimiento de precesión de la 9ierra causado por el momento de fuerza ejercido por el sistema 9ierra:0ol en función de la inclinación del eje de rotación terrestre con respecto al 0ol 2alrededor de ;<,=<>3. $a inclinación del eje terrestre varía con una frecuencia incierta, ya que depende 2entre otras causas3 de los movimientos tel/ricos. En febrero del ;?@?, se registró una variación del eje terrestre de A centímetros apro"imadamente, por causa del terremoto de A,A> Bichter que afectó a Chile. En tanto que el maremoto y consecuente tsunami que azotó al sudeste asiático en el a&o ;??=, desplazó @,A centímetros al eje terrestre.
)ebido a lo anterior, la duración de una vuelta completa de precesión nunca es e"acta4 no obstante, los cientí'cos la han estimado en un rango apro"imado de entre ;D ?? y ;D ?? a&os. F este ciclo se le denomina a&o platónico. $a nutación de la 9ierra es la oscilación periódica del polo alrededor de su posición media en la esfera celeste, debido a las fuerzas e"ternas de atracción gravitatoria entre la $una y el 0ol con la 9ierra. Esta oscilación es similar al movimiento de una peonza 2trompo3 cuando pierde fuerza y está a punto de caerse. $a 9ierra se desplaza unos nueve segundos de arco cada @A,G a&os, lo que supone que en una vuelta completa de precesión, la 9ierra habrá realizado @
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