Diseño de Eje

Diseño avanzado de elementos de maquina

3MM3

Hernández Galán Víctor

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Tecnologías Avanzadas

Diseño Avanzado de elementos de Maquina

Prof. Brito Martínez Emilio Nicéforo

Diseño de eje de transmisión

•

Hernández Galán Víctor •

3MM3 Fecha de Entrega: 6 de Junio del 2016 •

•

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PROBLEMA: 2 Del siguiente eje:

Ilustración 1. Diagrama del eje a resolver.

Encontrar el diámetro de cada sección del eje dados los siguientes datos: • • • • •

-La polea “A” recibe 10 hp de abajo. -El engrane “C” transmite 6 hp al engrane con el que embona debajo del. -El eje gira a 200 rpm. -Utilizar acero extruido en frio AISI 1117. La rueda dentada de cadena “D” transmite 4 hp a un eje que está arriba.

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DESARROLLO: -Datos:

Potencia A=10 hp Potencia C=6 hp Potencia D=4 hp

Par Torsional:

   

=

= 3150 = =

∗    ∗ ∗ ∗ 

63000

=

63000

63000

= =

∗ ∗ ∗

63000 10 200

63000 6 200

63000 4 200

= 1890

 ∗  ∗

= 1260

Analizando el punto “C”, Engrane recto: -Datos:

Diámetro : 20° FD



: 10 pulg

- Fuerza Tangencial:

 ∗  ∗  ∗ =

2

=

2 (1890 10

)

= 378.0



- Fuerza Radial:

Angulo de presión: 20° FD

   =

tan( ) = 378

 ∗

tan(20°) = 137.58

 3


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Analizando el punto “D”, Catarina:

La fuerza flexionante total sobre el eje que sostiene la rueda catarina es igual a la tensión en el lado tenso de la cadena.

  ∗  ∗ =

2

=

=

2

∗  ∗ 

2 (1260

)

6

= 420



Analizando el punto “A”, Polea-Banda:

La ecuación para transmisiones con banda es:

 ∗  ∗  ∗ =

3

=

3 (3150 20

)

= 472.5



Diagrama por torsión

Ilustración 2. Diagrama del momento de torsión en el eje.

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Diagrama de fuerzas Plano Vertical

Ilustración 3. Diagrama de cuerpo libre del plano vertical.

Para encontrar los valores de las reacciones en el punto “B” y “E” se utiliza suma de momentos. Con respecto al punto “B”

Σ   −  Σ −  − =

=

(16) +

(6) +

(16) +

20

Con respecto al punto “E”

=

=

     −  − −  −  

(6) +

(14)

(4)

(14)

(4) +

20

(20) +

(6)

=

(6) = 0

519.024

(20) + (26)

(26) = 0

= 433.94

Entonces, el diagrama de fuerza cortante para el plano vertical es:

Ilustración 4. Diagrama de fuerza cortante vertical.

Utilizando las cargas conocidas, se utiliza el programa MDSolid para comprobar estos resultados. El diagrama que arroja el programa es: 5


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Ilustración 5. Diagrama del programa de simulación.

Utilizando el método de integración gráfica, el diagrama de momento flexionante es:

Ilustración 6. Diagrama de momento flexionante obtenido.

El diagrama del programa da:

Ilustración 7. Diagrama de momento flexionante de la simulación.

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Plano Horizontal

Ilustración 8. Diagrama de cuerpo libre del plano horizontal.

Nuevamente las reacciones se encuentran por suma de momentos: Con respecto al punto “B”

Σℎ − ℎ ℎ   Σℎ  −ℎ ℎ   =

=

Con respecto al punto “E”

=

=

(6) +

(6)

20

= 113.4

(14)

(14)

20

(20) = 0

(20) = 0

= 264.6

Con los datos, el diagrama de fuerza cortante y momento flexionante es:

Ilustración 9. Diagrama de fuerza cortante y momento flexionante.

Usando nuevamente el programa para comprobar los resultados, los diagramas son:

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Ilustración 10. Diagrama de fuerza y momento.

Ya teniendo las componentes de las fuerzas y momentos en el eje, se obtienen los resultantes para poder posteriormente encontrar el diámetro de cada sección de eje. La siguiente tabla muestra los resultantes: Fuerza

Horizontal

Vertical

Resultante

A B C D E

0 264.6 113.4 113.4 113.4

-472.5 -38.556 99.023 519.023 -519.023

472.5 267.39 150.54 531.26 531.26

Tabla de reacciones

Momento

Horizontal

Vertical

Resultante

A B C D E

0 0 1587.6 1134 0

0 2835 3066.36 2076.12 0

0 2835 3452.97 2365.63 0

Tabla de Momento flector

Torque Punto Torsión [lb plg] A B C D E

3150 3150 1260 1260 0

Tabla de momento torsional

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Antes continuar debemos revisar las propiedades del acero AISI 1020 extruido en frio.

Propiedades Mecánicas Las propiedades mecánicas del acero al carbón AISI 1117 se encuentran en la siguiente tabla Properties

Metric

Imperial

Tensile strength Su

475 MPa

68900 psi

Yield strength Sy

400 MPa

58000 psi

Bulk modulus (typical for steel)

140 GPa

20300 ksi

Shear modulus (typical for steel)

80.0 GPa

11600 ksi

190-210 GPa

27557-30458 ksi

0.27-0.30

0.27-0.30

Elongation at break (in 50 mm)

15%

15%

Reduction of area

40%

40%

Hardness, Brinell

137

137

Hardness, Knoop (converted from Brinell hardness)

156

156

75

75

143

143

Elastic modulus Poisson's ratio

Hardness, Rockwell B (converted from Brinell hardness) Hardness, Vickers (converted from Brinell hardness)

  = 68.9 = 58

El código ASME define una tensión de corte permisible (la más pequeña) de los valores siguientes:

 ∗   ∗  = 0.18 = 0.3

= 12.402

i

= 17.4

Si hay concentración de tensiones debido a un acuerdo o una chavetera, la norma dice que hay que disminuir en un 25% la tensión de corte permisible.

 

= 0.135 = 0.225

∗ ∗

 

= 9.3015

= 13.05

i

Dado que el primer resultado es menor ese es el que se usara.

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CALCULO DEL EJE POR RESISTENCIA (ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO) Ahora calculamos los diámetros con la siguiente formula.

 

=

Factor de choque y fatiga, aplicado al momento flector.

=

Factor de choque y fatiga, aplicado al momento de

De tablas obtenemos: (Carga repentina (choques fuertes)) =2 = 1.5

Para puntos de apoyo donde MR=0 En el extremo donde Mflector=0 Se calcula el área con la siguiente formula

   ∗   =

V= 531.26 lb



= 9.3015



i

=

 2   �   =

=

4

4

=

= 0.2697

Diámetros obtenidos por la ecuación del esfuerzo cortante máximo Puntos

Diámetro (in)

A B C D E

1.3728 1.5928 1.5768 1.4077 0.2697

Tabla 1. Diámetros calculados

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El diámetro máximo resulto ser el de la sección “B”, cuyo diámetro comercial más cercano es 2’’. Por lo que reduciendo este diámetro un 15% en todo el eje, los nuevos diámetros son: Puntos

Diámetro (in)

A B C D E

1.7 2 1.7 1.445 1.2282

CÁLCULO DEL EJE POR RIGIDEZ El valor permisible es de 0.25° por pulgada para ejes de transmisión.

Se hizo el uso de MATLAB para calcular la deformación angular del eje en cada tramo. Tramo A-B t het a1=+( 10. 19*TA*L1) / ( G*( dA) ^4) ;

Tramo B-C t het a2=+( 10. 19*TB*L2) / ( G*( dB) ^4) ;

Tramo C-D t het a3=- ( 10. 19*TC*L3) / ( G*( dC) ^4) ;

Tramo D-E t het a4=- ( 10. 19*TD*L4) / ( G*( dD) ^4) ;

Tabla de Deformaciones angulares por cada tramo Tramo A-B B-C D-E E-F

Deformación (θ) [°]

0.1139 (suministro) 0.0595 (suministro) -0.0759 -0.0582

A continuación se suma las deformaciones conservando el signo. Esto da como resultado la deformación total a lo largo del eje.

Total = 0.0392 °/in

Este valor no excede del valor 0.25º/in, por lo que se encuentra dentro de rango. 11


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CÁLCULO DEL EJE POR RIGIDEZ LATERAL:

Haciendo uso de la herramienta “MATLAB”, se graficaron y se encontraros las áreas, al utilizar el método de la viga conjugada para la rigidez lateral, resultantes de cada plano de la viga son los siguientes:

Ilustración 11. Diagrama del plano vertical.

Ilustración 12. Diagrama del plano horizontal.

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Analizando las gráficas con los puntos obtenidos se obtiene el área resultante de la figura. Para el plano vertical el área, que se interpreta como la rigidez lateral vertical, da de: Deformación Vertical=0.00158 in

Para el plano horizontal: Deformación Horizontal=0.00112 in Por lo tanto la deformación en la viga total es:

√

2

2

0.00158 + 0.00112 = 0.00193 in

La deformación en la viga total es: 0.00193 in

Valor que es menor a las 5 milésimas establecidas.

CODIGOS USADOS EN MATLAB PARA EL CÁLCULO DEL EJE Diametros.m cl c cl ear al l %Pr obl ema de cl ase SU=68. 9e3; SY=58e3; E=20300e3; G=11600e3; %% SU2=0. 135*SU; SY2=0. 225*SY; % SU2=0. 18*SU; % SY2=0. 3*SY; TDP=mi n(SU2,SY2) %% CALCULO POR RESI STENCI A kb=2; kt =1. 5; %MOMENTOS MA=0; MB=2835; MC=3452. 97; MD=2365. 63; ME=0; %TORQUE TA=3150; TB=3150; TC=1260; TD=1260; TE=0;

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dA=( (16/(pi * TDP))*sqrt (((MA*kb)^2)+(( TA*kt )^2)) dB=( (16/(pi * TDP))*sqrt (((MB*kb)^2)+(( TB*kt )^2)) dC=( (16/(pi * TDP))*sqrt (((MC*kb)^2)+(( TC*kt )^2)) dD=( (16/(pi * TDP))*sqrt (((MD*kb)^2)+(( TD*kt )^2)) dE=( (16/(pi * TDP))*sqrt (((ME*kb)^2)+(( TE*kt )^2)) %% En l os ext r emos ( Rodami ent os) a=113. 4; b=-519. 023; V=sqrt ((a^2)+(b^2)) di ame=sqrt ((4*V)/(pi * TDP)) %% CALCULO POR RI GI DEZ %% Se def i nen l os nuevos di amet r os L1=6; L2=6; L3=10; L4=4; dA2=1. 7; dB2=2; dC2=1. 7; dD2=1. 445; dE2=1. 2282; %% r ad=57. 2957795; t het a1=(10. 19* TA*L1)/(G*(dA2)^4); t het a2=(10. 19* TB*L2)/(G*(dB2)^4); t het a3=-(10. 19* TC*L3)/(G*(dC2)^4); t het a4=-(10. 19* TD*L4)/(G*(dD2)^4); angul o1=t het a1*r ad angul o2=t het a2*r ad angul o3=t het a3*r ad angul o4=t het a4*r ad Tot =angul o1+angul o2+angul o3+angul o4


)^(1/3) )^(1/3) )^(1/3) )^(1/3) )^(1/3)

Vigasconjugadas.m cl c cl ose al l ; Col or =[' r ' , ' b' , ' c' , ' k' ]; F =[0,264. 6,113. 4,113. 4,113. 4]; D=[1. 7,2,1. 7,1. 445]; L =[6,6,10,4]; E=29007. 5e3; I =( pi .*( D.^4))./64; n=si ze(L ,2); n2=(2*n); Li = 0; M=zeros (1,n2); P=M; k=1; for m=2:n+1 Li =L (m-1)+Li ; M((2*(m))-2)=(F (k)*Li )/(E*I ( m-1)); P((2*(m))-2)=Li ; end Li = 0; for m=1:n-1

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Li =L (m)+Li ; M((2*m)+1)=(F(k)*Li )/( E*I ( m+1)); P((2*m)+1)=Li ; end

pl ot (P,M,Col or (k)); gr i d on; hol d on; Li = 0; M=zeros (1,n2); k=2; for m=2:n Li =L (m)+Li ; M(4+2*(m-2))=(F(k)*Li )/( E*I ( m)); end Li = 0; for m=2:n-1 Li =L (m)+Li ; M((2*m)+1)=(F(k)*Li )/( E*I ( m+1)); end pl ot (P,M,Col or (k)); gr i d on; hol d on;

Li = 0; M=zeros (1,n2); k=3; for m=3:n Li =L (m)+Li ; M(6+2*(m-3))=(F(k)*Li )/( E*I ( m)); end Li = 0; for m=3:n-1 Li =L (m)+Li ; M((2*m)+1)=(F(k)*Li )/( E*I ( m+1)); end pl ot (P,M,Col or (k)); gr i d on; hol d on;

Li = 4; M=zeros (1,n2); k=4; M(8)=(F(k)*Li )/( E*I ( 4)); pl ot (P,M,Col or (k)); gr i d on; %axi s( [ 0 26 - 20e- 4 5e- 4] ) ; axi s ([0 26 -5e- 4 1e- 3]); set (gca,' xt i ck' ,[6,12,22,26])

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