Fuente: Fundamentals of of Fluid Fluid Mechanics, B. R. Munson, et al (Capítulo 9) ‐Boundary layer characteristics. 9.2.6 Effects of of pressure pressure gradient
Hasta ahora nos habíamos centrado en el flujo a lo largo de una placa plana en la que la presión era constante a lo largo del fluido. En general, cuando un fluido pasa por un objeto diferente de una placa plana, el campo de presiones no es uniforme.
Figura 1. Como se puede ver en la figura 1, si el número de Reynolds es elevado, se forma una capa límite relativamente delgada a lo largo de la superficie. En estas capas, la componente del gradiente de presión en la dirección de las líneas de corriente (a lo largo de la superficie del cuerpo) no es nula, aunque el gradiente de presión normal a la superficie es muy pequeño. Por tanto, si midiéramos la presión al movernos a través de la capa límite (desde el cuerpo hasta el límite de ésta), encontraríamos que la presión permanece esencialmente constante. Sin embargo, la presión varía a lo largo de la superficie del cuerpo, si éste es curvado. La variación de la velocidad de la corriente libre en el límite de la capa límite viene vinculada al gradiente de presiones en esta dirección. Las características del flujo (tanto dentro como fuera de la capa límite) son a menudo altamente dependientes de los efectos del gradiente de presión en el fluido dentro de la capa límite.
Figura 2. En una placa plana paralela al flujo aguas arriba, la velocidad aguas arriba (lejos previa a la placa) y la velocidad de la corriente libre (en el borde de la capa límite) son iguales. Esto es una consecuencia del espesor despreciable de la placa. Para cuerpos de espesor no nulo estas dos velocidades son diferentes. Esto se puede ver en el flujo que
pasa por un cili dro de diámetro D. L velocidad y presión s n U y po, r espectivamente. Si el fluido fuera complet mente no viscoso μ= , el núme o de Re s ría infinito y las líneas de corrie te serían simétricas. ( véase la fi ura 3)
Figura 3‐ Flujo ideal alrededor de un cilindro circular. a) líneas de corri nte para el flujo si no e istieran efectos viscoso , b) distribu ción de pre iones en la superficie del cilind o, c) velocidad de la corriente libre n la superfi ie del cilindro
La v locidad del fluido a lo largo de l superficie variaría desde cero e la parte f ontal y trasera del cilindro (puntos A y F so puntos d remanso) a una velo idad máxi a de valo 2U en la parte superior e inferior del cilindro (punto C). La presió en la sup rficie del ilindro sería simétric en relaci n al plan
medio vertical, alca zando un valor
2
2
máximo de po+ U /2 (presión de remanso) en A y F y un mí nimo de va lor po‐3ρU /2 en la p rte superi r e inferio . La distribución de p esión y de velocidad e muestra en la figura 3. Estas características se pued n obtener del análisis del flujo p tencial. En l
figura 4 se muest a una co parativa
ntre los resultados teóricos (Ec. de
Bernouilli) y los resultados experimentales. Como se puede ver sólo e la parte f ontal hay oncordan ia entre el flujo pote cial y los resultados experiment les. Debid a la capa límite viscosa que s desarrolla en el cilindro, el flujo principal se separa de la superficie del cilindro, lo que explic la gran diferencia e tre la sol ción teóri a sin fricción y los re ultados ex erimental s aguas abajo del cili dro.
Fig.4 Además, si calculáramos la fuerza en dirección horizontal (D: resistencia) y en dirección vertical (L: sustentación) la teoría potencial nos diría que ambas son nulas. A priori, pensando que la distribución de presiones es simétrica alrededor del cilindro, no sería un resultado sorprendente. Sin embargo, la experiencia nos dice que hay una resistencia significativa en un cilindro cuando está inmerso en un fluido en movimiento. Esta discrepancia se conoce como la paradoja de D´Alembert. D´Alembert (1717‐1783), un matemático y filósofo francés, fue el primero en demostrar que la resistencia en cuerpos inmersos en fluidos no viscosos es cero. Pero, no fue hasta principios del siglo XX cuando se pudo entender el papel que desempeñaba la viscosidad en el movimiento estacionario y se pudo explicar la paradoja de D´Alembert. Por otra parte, como hemos mencionado, los resultados experimentales predecían que si existía una resistencia. Y dado que no existe ningún fluido puramente no viscoso, la explicación a la resistencia observada tenía que recaer en los efectos viscosos. Curiosamente, si hiciéramos un experimento para medir la resistencia de un objeto (por ejemplo, nuestro cilindro) con diferentes fluidos y fuéramos disminuyendo el valor de la viscosidad de éstos, mediríamos una resistencia finita y además, esencialmente independiente del valor de μ. Esto nos lleva a la paradoja de D´Alembert: la resistencia de un objeto en un fluido no viscoso es nula, pero la resistencia de un objeto en un fluido con una viscosidad extremadamente pequeña (pero no nula) no es cero. Tratemos de explicar qué es lo que pasa… Volvemos a la figura 3, a la distribución de presiones de la figura 3b que se impone en la capa límite sobre la superficie del cilindro. La variación de presión a través de la capa límite es despreciable, por lo que la presión dentro de la capa límite es la que se obtiene de la teoría de flujo ideal (no viscoso). Esta distribución de presiones a lo largo
del cilindro es tal que el fluido estacionario en A (donde U=0 para θ=0 º) se acelera hasta su máxima velocidad en C, (donde U=2U para θ=90º) y se decelera hasta F (donde U=0 para θ=180 º). Esto se debe a un balance entre la presión y los efectos inerciales; los efectos viscosos no aparecen en el flujo ideal externo a la capa límite. Físicamente, si no hubiera efectos viscosos, una partícula viajaría de A a F sin pérdida de energía. Se produciría un intercambio entre energía cinética y de presión, pero no habría pérdidas energéticas. De A a C habría un gradiente favorable de presión (disminuye la presión) y de C a F habría una gradiente de presión adverso (aumenta la presión). Consideremos una partícula dentro de la capa límite (Fig.5). En su intento de ir de A a F, experimenta la misma distribución de presiones que las partículas en la corriente libre inmediatamente fuera de la capa límite (campo de presiones en flujo ideal). Sin embargo, por los efectos viscosos existentes, la partícula en la capa límite experimenta una pérdida de energía al fluir. Esta pérdida hace que la partícula no tenga suficiente energía para poder ir de C a F y alcanzar F. El déficit de energía cinética se ve en el detalle del perfil de velocidades de C. Por la fricción, el fluido de la capa límite no puede viajar de A a F (este mismo razonamiento también se puede hacer con el análisis de momentos). Esta situación se puede ver con una analogía un ciclista que quiere ir a través de un valle de una colina a otra colina…Si no hubiera fricción, el ciclista empezaría con una velocidad nula y podría llegar a la misma altura desde la que partió. Pero debido a la fricción (resistencia de rodadura, resistencia aerodinámica, etc) le provoca una pérdida de energía ( y momento), lo que hace imposible al ciclista que alcance la altura de la que partió sin suministrar energía adicional (Ej: pedalear). Pero en la capa límite el fluido no puede realizar ningún suministro energético. Por tanto, el fluido llega contrarrestando esa presión creciente hasta donde puede, ese punto límite al que llega se le denomina punto de separación. En la figura 5b) se pueden ver los perfiles de velocidad en los diferentes puntos representativos. En el punto de separación (D), el gradiente de velocidades en la pared y el esfuerzo cortante en la pared son cero. Más allá de esta localización (de D a E) hay un flujo reverso en la capa límite. Como se ve en la figura 4, debido a la separación de la capa límite, la presión media en la parte trasera del cilindro es considerablemente menor que en la parte frontal. Por tanto, se desarrolla una resistencia de presión considerable aunque (por la baja viscosidad) la resistencia debida al esfuerzo cortante sea bastante pequeña. Esto permite explicar la paradoja de D´Alembert. No importa lo pequeña que sea la viscosidad, dado que no es nula, la capa límite se separará y ocasionará una resistencia, que mayoritariamente, es independiente del valor de la viscosidad.
a)
etalle del pu to D
Figura 5‐ Car cterísticas d e la capa lí ite en un cilindro circul r. ) localización de la separación de la capa límite, b) perfiles de velocidad en diferent s localizaciones del cilindro, c) distribución de presiones en la supe ficie para fl jo ideal y fl jo en lla capa límite
La l calización del punto de separación, la an hura de la estela tra s el objeto, y la distribución de la presión n la super icie depen e de la na uraleza de l flujo en la capa límite. Si comp ramos una capa límit laminar y una turbulenta, se ob serva que la CLT tien más ener ía cinética y moment asociado ado que:
El perfil de velocidades es m s parecido al perfil u iforme id al (más “lleno”‐ menos déficit)
Puede
aber una energía as ociada considerable
ebida a l
rotación y los
componentes aleatorios de la elocidad Por anto la CL puede llegar más lejos sin despr nderse. Lo q e hay que recalcar e que no ti ne nada que ver la e tructura d l flujo que pasa alre edor de u cilindro circular si es viscoso o o viscoso, independi ntemente de lo peq eña que s a la viscosidad (siempre que no ea nula). Esto se deb a la separación de la capa límit .
Pero estos conceptos también se aplican a otros cuerpos de diferente forma. El flujo que pasa a través de un perfil con un ángulo de ataque de 0º (ángulo formado el flujo aguas arriba y el eje del objeto) y 5º se muestra en la figura 6. En la porción frontal, la presión decrece en la dirección del flujo (gradiente de presión favorable), en la siguiente porción la presión aumenta en la dirección del flujo (gradiente adverso de presión). Los perfiles de velocidad de la CL en localizaciones representativas son similares a los mencionados para el cilindro. Si el gradiente de presión adverso no es excesivo (el cuerpo no es “grueso”, por así decirlo), el fluido en la capa límite puede fluir en la región en la que se incrementa ligeramente la presión (de C a F‐ borde de salida) sin separarse de la superficie. Sin embargo, se el gradiente de presión es muy adverso, figura 6b), la CL se separará de la superficie. Esa situación puede conllevar a una pérdida catastrófica de sustentación a “entrar en pérdidas” como ya veremos posteriormente. Los cuerpos esbeltos se diseñan para eliminar o por lo menos reducir los efectos de la separación, mientras que los cuerpos no esbeltos tienen una gran resistencia por la baja presión en la zona de la estela (región de separación). A pesar de que la capa límite puede ser muy estrecha, puede alterar de manera apreciable el campo fluido al completo debido a la separación de la CL.
Fig.6
