REVISÃO DE MATEMÁTICA DO ENSINO FUNDAMENTAL 1.1 OPERAÇÕES FUNDAMENTA FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS INTEIROS 343 1.2 Adição: 343 + 57 + 57 400 So! o" To#!$ 1.% S"&#'!ção:
5 407 Mi(")(do
5407 - 258
- 258 S"&#'!)(do 5 149 R)*#o+ ),-)**o o" di)')(ç!
1./ 1./ M"$#i0$i-!ç !çãão:
327 . 32
!#o')*
327 , 32
1 !#o': M"$#i0$i-!(do 2 !#o': M"$#i0$i-!do'
654 981 10464
P'od"#o
1. Di3i*ão: 5 247 : 32 Di3id)(do4D)
Fo'! d) !0')*)(#!ção: 327 × 32 327.32 *327 )*32)
5247 32 di3i*o'4d5 163 7"o-i)(#)475 6 32 204 Fo'! d) !0')*)(#!ção: 192 5247 ÷ 32 127 5247 : 32 96 5247 + 32 31 ')*#o4'5
D 8 d . 7 9 ' 1.DIVISI;ILIDADE 1.C!'!-#)')* d) di3i*i&i$id!d) !i* -o"(*: Um número é divisível por: • 2 #$ndo or p$r. 1
• % #$ndo $ som$ de ses $l,$rismos der m número divisível por 3. '&. 78 912 som$ndo 7+8+9+1+2(27 #e é divisível por 3 • #$ndo !ermin$r em 0 o 5. '&. 105 e 200 • #$ndo or divisível $o mesmo !empo por 2 e 3. '&. 18 • 1? #$ndo !ermin$r em 0. 1.@NÚMEROS PRIMOS 1.1? D)i(iç=)*: Um número rimo é !odo $#ele #e s é divisível por si e pel$ nid$de. '&. 5"23"43. os /!em-se os n rimos $!r$vés do d o / ' '''. '''. 1.111 R) 1. R)' '! ! 0!'! 0!'! ')-o ')-o(B (B)-) )-)'' *) *) " " ( 0'i 0'io: o: os ivide-se o número" s;essiv$men!e" pelos n primos $ p$r!ir do n< 2 e n$ ordem ;res;en!e" $!é o!er-se m #o;ien!e i,$l o menor #e o divisor. e $ divis%o sempre dei&$r res!o" o n< é primo. '&emplo: erii;$r se o n< 101 é primo. or 2" 3" 5 e 11 verii;$mos #e n%o é divisível" pel$ $pli;$=%o dire!$ dos ;$r$;!eres de divisiilid$de> en!%o" v$mos dividi-lo s;essiv$men!e por 7"13"17" e!;... 101 7
1.12 1. 12
1.1% 1.1%
101 13
07 14 m$s 14?7 ;on!in$ $ dividir 91 91 31 28 3 D)-o D) -o0 0o* o*iç ição ão d) d) " ( ) ) !# !#o' o')* )* 0'i 0'io o*: *: '&emplo: e;omponA$ o n< 120
7 10
;omo 7@13 o n< é primo
120 2 3 3 60 2 2 !emos #e: 120 ( 2 .3.5 30 2 15 3 5 5 1 N) N)'o 'o** 0'i 0'io* o* )(#' )(#')) *i *i:: %o dois o m$is números #e" de;ompos!os em $!ores primos n%o possem $!ores ;omns. '&emplo: erii#e se 24 e 35 s%o primos en!re si 24 2 12 2 6 2
3
2
3
!emos #e: 24 ( 2 .3
2
3 3 1
os
2≠3≠5≠7 en!%o os n s%o primos en!re si.
35 5 3 7 7 2 !emos #e: 35 ( 5.7 1 1.1/ MMC 1.1 D)i(iç=)*: Bínimo Búl!iplo omm é o menor número #e é divisível por dois o m$is números $o mesmo !empo.
1.1
O&#)(ção do -: C o prod!o dos $!ores ;omns e n%o ;omns" ;om os m$iores e&poen!es.'&emplo: ;A$r o BB*20" 30"45" 60) 20 2 10 2 5 5 1
30 2 15 3 5 5 1
45 3 15 3 5 5 1
60 30 15 5 1
2 2 3 5
2
20 ( 2 .5 30 ( 2.3.5 2 45 ( 3 .5 2 60 ( 2 .3.5
2
2
lo,o o BB é 2 .3 .5 ( 180
OU 20"30"45"60 2 10"15"45"30 2 5"15"45"15 3 5" 5"15" 5 3 5" 5" 5" 5 5 1" 1" 1" 1 180 1.1< FRAÇÃO 1.1> F'!ção o'di('i!: '&. : a)
3 4
lo,o o BB é 2.2.3.3.5 ( 180
onde o % é o nmer$dor e o / é o denomin$dor
Dr$=%o prpri$ é $ #e !em o nmer$dor menor #e o denomin$dor
2 5
3
b)
Dr$=%o imprpri$ é $ #e !em o nmer$dor m$ior #e o denomin$dor
c)
úmero mis!o é $ #e !em m$ p$r!e in!eir$ e o!r$ r$;ionEri$
2
1 3
o
7 6 2
5 3
O&*)'3!ção: e o denomin$dor d$ r$=%o é 10" 100" 1000 e!;." el$ é ;A$m$d$ de F'!ção d)-i!$ 1.1@ T'!(*o'!ção d) '!ção i0'0'i! ) ( i*#o ) 3i-)63)'*!: 15 1 erE o denomin$dor =2 15 < !5 7 7 erE o número in!eiro 14 2 1 erE o nmer$dor ivide-se o nmer$dor *15) pelo denomin$dor *7). onserv$ o denomin$dor *7). / #o;ien!e serE o n< in!eiro *2). / res!o serE o novo nmer$dor *1). &5 úmero mis!o em r$=%o imprpri$: 1. $r$ $;A$r o novo nmer$dor: ml!ipli;$2 3 × 5 + 2 17 = 3 = se o n< in!eiro *3) pelo denomin$dor*5) e 5 5 5 som$ $o nmer$dor*2). 1.2? O0)'!ç=)* -o F'!ç=)*: $) Bl!ipli;$=%o * ml!ipli;$ nmer$dor ;om nmer$dor e ml!ipli;$ denomin$dor ;om denomin$dor). '&emplos: 2 3
2× 3 7
5
2× 5
7
3× 7
× = 3 5
2 1 3
=
10
3 5 5
21
6 5 15
= × = =1
×5 = × = 7
1 5
=2
1
1 7 7 3 11 3 33 1 × = =8 2 ×3 = 4 4 1 4 4 2 1 5 7 35 8 1 ×2 = × = =3 3 3 3 3 9 9
) ivis%o *m$n!ém $ 1F r$=%o !ro;$ o sin$l p$r$ ml!ipli;$=%o e inver!e $ 2F r$=%o depois ml!ipli;$ nmer$dor ;om nmer$dor e ml!ipli;$ denomin$dor ;om denomin$dor) 2 5
3
2
7
14
7
5
3
15
÷ = × =
4
1 2 1 2 3 6 = ÷ = × = =6 3 1 3 1 1 1 2 = 2 ÷ 1 = 2 ÷ 1 = 2 × 5 = 10 = 10 1 5 1 5 1 1 1 5 2 2 3 2 1 2 ÷3 = ÷ = × = 7 7 1 7 3 21 1 11 3 11 1 11 2 ÷3 = ÷ = × = 5 5 1 5 3 15 2 3 = 2÷5 = 2× 1 = 2 5 3 1 3 5 15 ;) om$ e !r$=%o * e os denomin$dores s%o i,$is e&e;!$ $ oper$=%o nos nmer$dores. e os denomin$dores s%o dieren!es ;$l;l$ o m.m.;. p$r$ $ssemelA$r $s r$=Ges depois e&e;!$ $ oper$=%o nos nmer$dores) 2÷
'&.1:
1.21
5 2
1
4
2
2
− = =2
3
'&.2:
4
3
+
1 12
1
−
2 3
=
9 + 1− 8
4
12
=
2 12
=
1 6
Si0$ii-!ção d) F'!ç=)*: '&emplo: 60 60 ÷ 2 30 30 ÷ 2 15 15 ÷ 3 5 = = = = = = 72 72 ÷ 2 36 36 ÷ 2 18 18 ÷ 3 6
1.22 NÚMEROS DECIMAIS 1.2% D)i(ição: é o número #e !em vír,l$. '&.: 7"854 1.2/ O0)'!ç=)* -o ()'o* d)-i!i*: !5 ADIÇÃO onsidere $ se,in!e $di=%o: 1"28 + 2"6 + 0"038 r$nsorm$ndo em r$=Ges de;im$is" !emos: M#odo 0'#i-o 1<) ,$l$mos o números de ;$s$s de;im$is" ;om o $;rés;imo de Heros> 2<) olo;$mos vír,l$ de$i&o de vír,l$> 3<) 'e!$mos $ $di=%o" ;olo;$ndo $ vír,l$ n$ som$ $linA$d$ ;om $s dem$is. '&emplos: 1"28 + 2"6 + 0"038 35"4 + 0"75 + 47 6"14 + 1"8 + 0"007
5
&5 SU;TRAÇÃO onsidere $ se,in!e s!r$=%o: 3"97 - 2"013 r$nsorm$ndo em r$=%o de;im$is" !emos:
M#odo 0'#i-o 1<) ,$l$mos o números de ;$s$s de;im$is" ;om o $;rés;imo de Heros> 2<) olo;$mos vír,l$ de$i&o de vír,l$> 3<) 'e!$mos $ s!r$=%o" ;olo;$ndo $ vír,l$ n$ dieren=$" $linA$d$ ;om $s dem$is. '&emplos: 3"97 - 2"013 17"2 - 5"146 9 - 0"987
-5 MUTIPLICAÇÃO onsidere $ se,in!e ml!ipli;$=%o: 3"49 I 2"5 r$nsorm$ndo em r$=%o de;im$l !emos M#odo 0'#i-o Bl!ipli;$mos os dois números de;im$is ;omo se ossem n$!r$is. olo;$mos $ vír,l$ no resl!$do de modo #e o número de ;$s$s de;im$is do prod!o seJ$ i,$l K som$ dos números de ;$s$s de;im$is do $!ores. '&emplos: 3"49 I 2"5 1"842 I 0"013
Observação:
6
1. $ ml!ipli;$=%o de m ()'o (!#"'!$ 0o' " ()'o d)-i!$" !iliH$mos o mé!odo prE!i;o d$ ml!ipli;$=%o. esse ;$so o número de ;$s$s de;im$is do prod!o é i,$l $o número de ;$s$s de;im$is do $!or de;im$l. '&emplo: 5 I 0"/2% ( 2"11 2. $r$ se ml!ipli;$r m número de;im$l por 10" 100" 1.000" ..." $s!$ deslo;$r $ vír,l$ 0!'! ! di')i#! m$" d$s" !rLs" ..." ;$s$s de;im$is. '&emplos:
3. /s números de;im$is podem ser !r$nsorm$dos em por;en!$,ens. '&emplos 0"05 (
( 5M 1"17 (
( 117M 5"8 ( 5"80 (
( 580M
d5 DIVISÃO 1: Di3i*ão ),!#! onsidere $ se,in!e divis%o: 1"4 : 0"05
r$nsorm$ndo em r$=Ges de;im$is" !emos: M#odo 0'#i-o 1<) ,$l$mos o números de ;$s$s de;im$is" ;om o $;rés;imo de Heros> 2<) primimos $s vír,l$s> 3<) 'e!$mos $ divis%o. '&emplos: 'e!$ndo $ divis%o • 1"4 : 0"05 ,$l$mos $s ;$s$ de;im$is: 1"4? primindo $s vír,l$s: 140 No,o" o #o;ien!e de 1"4 por 0"05 é 28.
: 0"05 : 5
7
6 : 0"015 ,$l$mos $s ;$s$s de;im$is 6"000 : 0"015 primindo $s vír,l$s 6.000 : 15 No,o" o #o;ien!e de 6 por 0"015 é 400. •
'e!$ndo $ divis%o
'e!$ndo $ divis%o 4"096 : 1"6 ,$l$mos $s ;$s$s de;im$is primindo $s vír,l$s
•
4"096 : 1"600 4.096 : 1.600
/serve #e n$ divis%o $;im$ o #o;ien!e in!eiro é 2 e o res!o ;orresponde $ 896 nid$des. odemos prosse,ir $ divis%o de!ermin$ndo $ p$r!e de;im$l do #o;ien!e. $r$ $ de!ermin$=%o dos dé;imos" ;olo;$mos m$ vír,l$ no #o;ien!e e $;res;en!$mos m Hero res!o" m$ veH #e 896 nid$des ;orresponde $ 8.960 dé;imos.
on!in$mos $ divis%o p$r$ de!ermin$r os ;en!ésimos $;res;en!$ndo o!ro Hero $o novo res!o" m$ veH #e 960 dé;imos ;orrespondem $ 9600 ;en!ésimos. / #o;ien!e 2"56 é e&$!o" pois o res!o é nlo. No,o" o #o;ien!e de 4"096 por 1"6 é 2"56. • 0"73 : 5
'e!$ndo $ divis%o
,$l$mos $s ;$s$s de;im$is 0"73 : 5"00 primindo $s vír,l$s 73 : 500 odemos prosse,ir $ divis%o" ;olo;$ndo m$ vír,l$ no #o;ien!e e $;res;en!$mos m G)'o K direi!$ do !rLs. ssim: on!in$mos $ divis%o" o!emos:
No,o" o #o;ien!e de 0"73 por 5 é 0"146. 'm $l,m$s divisGes" o $;rés;imo de m Hero $o res!o $ind$ n%o !orn$ possível $ divis%o. esse ;$so" devemos ;olo;$r m Hero no #o;ien!e e $;res;en!$r m$is m Hero $o res!o. '&emplos: 8
•
2"346 : 2"3 erii#e 460 *dé;imos) é inerior $o divisor *2.300). olo;$mos" en!%o" m Hero no #o;ien!e e $;res;en!$mos m$is m Hero $o res!o.
No,o" o #o;ien!e de 2"346 por 2"3 é 1"02.
O&*)'3!ção: $r$ se dividir m número de;im$l por 10" 100" 1.000" $s!$ deslo;$r $ vír,l$ 0!'! ! )*7")'d! m$" d$s" !rLs" ..." ;$s$s de;im$is. '&emplos:
•
73"452 : 24 é i,$l $: 73452 : 24000 73452 72000 1452
73452 72000 14520
24000 3" )(o' 7") 2/??? )(#ão !-')*-)(#! "
73452 24000 72000 3"060 145200 144000 12000 )(o' 7") 2/??? )(#ão !-')*-)(#! "
73452 72000 145200 144000
24000 3
24000 3"0
73452 24000 72000 3"0605 145200 144000 120000 120000
9
1.2 Co(3)'*ão d) ( d)-i!$ ) '!ção d)-i!$ ) d) '!ção d)-i!$ ) ( d)-i!$: 5 0"5 = 2 '&.1:
2"15
10 215
=
0"037
= 2 : 5 = 0,4
'&.2:
100 37
=
5 14 5
= 2,8
1000
1.2 H)'!#'iG ) DGi!* 0)'idi-!*: $) '&emplo de díHim$ peridi;$ simples ;Jo período é 3. C simples por#e o período vem lo,o $ps $ vír,l$. epresen!$=%o: 0"333... ( 0"*3) ( 0"O3P(0"3 ) '&emplo de díHim$ peridi;$ ;ompos!$ ;Jo período é 15 e ;J$ $ p$r!e n%o peridi;$ é 3. C ;ompos!$ por#e o período n%o vem lo,o $ps $ vír,l$. epresen!$=%o: 0"3151515... ( 0"3*15) (0"3O15P ( 0"315 Qer$!riH de m$ díHim$ é $ r$=%o ordinEri$ irred!ível #e dE ori,em K díHim$. ;) Qer$!riH de m$ díHim$ peridi;$ simples é m$ r$=%o ordinEri$ #e !em p$r$ nmer$dor m período e p$r$ denomin$dor" !$n!os noves #$n!os s%o os $l,$rismos do período. 0" [ 7]
=
7 9
0" [15] =
15 99
=
5 33
d) Qer$!riH de m$ díHim$ peridi;$ ;ompos!$ é $ r$=%o ordinEri$ ;Jo nmer$dor é $ p$r!e n%o peridi;$" se,id$ de m período" menos $ p$r!e n%o-peridi;$" e ;Jo denomin$dor é m n< orm$do de !$n!os noves #$n!os orem os $l,$rismos do período" se,idos de !$n!os Heros #$n!os orem os $l,$rismos d$ p$r!e n%operidi;$. 53 − 5 48 8 = = 0"53333... = 90 90 15 1.2< EJPRESSÕES ARITMKTICAS 1.2> R)'!* 0!'! ')*o$"ção d!* ),0')**=)*4 *)7(-i! d!* o0)'!ç=)*5: 1< $Her $s divisGes 2< $Her $s ml!ipli;$=Ges 3< $Her $s som$s e s!r$=Ges 10
'&.: % , 2 9 1? : % 8 % , 2 9 2 % 8 9 2 % 8 1.2@ R)'!* 0!'! ')*o$"ção d!* ),0')**=)* 7"!(do Bo"3)' 0!'(#)*i*+ -o$-B)#)* ) -B!3)*. eve se resolver sempre de den!ro p$r$ or$ is!o é: { 5 − [ 3 × 2 − (12 − 10 ÷ 2 + 1) ÷ 2]} = 1< os p$rLn!esis '&.: { 5 − [ 3 × 2 − (12 − 5 + 1) ÷ 2]} = 2< os ;ol;Ae!es { 5 − [ 3 × 2 − 8 ÷ 2]} = 3< $s ;A$ves { 5 − [ 6 − 4]} = { 5 − 2} = 3
1.%? POTNCIAS 1.%1 D)i(ição: o!Ln;i$ de m número é o prod!o de $!ores i,$is $ esse número. '&emplo: H'!" o" ),0o)(#) d! 0o#(-i! %
2 82 , 2 , 2 8 > ;!*) d! 0o#(-i! 2
%
2
%
E,)0$o*:% 8%,% 8@ 8,, 812 1 81,1,1,1,1 81 ! 8!,! * 8*,*,* 1 1 O&*.: 1F R$ndo o e&poen!e or 1 n%o se es;reve. '&.: 2 82 % 8% 2F / e&poen!e 2 é ;A$m$do de #$dr$do 3F / e&poen!e 3 é ;A$m$do de ;o 1.%2 E,0o)(#) G)'o: R$ndo o e&poen!e or S'/ o número serE 1. 0
5 '&.: 2 81 % 81 , 81 6 ?
?
?
=1
1.%% E,0o)(#) ()!#i3o * odo n< elev$do $ e&poen!e ne,$!ivo é i,$l $ m$ r$=%o #e !em p$r$ nmer$dor $ nid$de e p$r$ denomin$dor o prprio n< ;om e&poen!e posi!ivo 3 −2
=
1 3
$−1
2
2
3
1.%/
1
$
=
1 $
−2
E,)0$o*: 2 = 1 = 3 2
1
2 = 1 = 32 = 9 3 2 2 22 4 3
−1
3
=
O0)'!ç=)* -o 0o#(-i!*: $) Bl!ipli;$=%o de po!Ln;i$s de mesm$ $se ×5 = 5 + = 5 + x × x = x = x + 1 1 1 1 × = = 2 2 2 2 5
4
3
4
3
2
4 3
4 3 3
7
7
2 3
Co(*)'3!6*) ! &!*) )5 *o!6*) o* ),0o)(#)* − + − − 5 × 5 3 = 5 5 ( 3) = 5 4 3 = 5 2 −1 × x 3 = x −1+3 = x 2 x
5
−2
−3
− 2 + ( −3)
1 × 1 = 1 2 2 2
−5
1 = 2
11
)
Bl!ipli;$=%o de po!Ln;i$s semelA$n!es M"$#i0$i-!6*) !* &!*)* ) d6*) !o ')*"$#!do o ),0o)(#)
32 × 5 2 × 7 2 ;)
= ( 3 × 5 × 7 ) 2 = 105 2
ivis%o de po!Ln;i$s de mesm$ $se Co(*)'3!6*) ! &!*) ) *"&#'!)6*) o* ),0o)(#)*
÷ 5 3 = 55 − 3 = 5 2 1 3 1− 3 = x − 2 x ÷ x = x −1 2 3 2 −3 1 1 1 1 ÷ = = = 2 2 2 2 2 5 3 5 ( 3) 5 3 8 5 ÷ 5− = 5 − − = 5 + = 5 3 −1 −1−3 = x −4 x ÷ x = x 55
−2
−3
1
−2−( −3)
1
1
÷ = 2 2 2 d)
− 2 +3
1
= 2
1
1
1
= = 2 2
ivis%o de po!Ln;i$s semelA$n!es Di3id)6*) !* &!*)* ) d6*) !o ')*"$#!do o ),0o)(#)
6 3 ÷ 23 e)
= ( 6 ÷ 2) 3 = 33 = 27
o!Ln;i$ de po!Ln;i$ Co(*)'3!6*) ! &!*) ) "$#i0$i-!6*) o* ),0o)(#)*
(5 ) = 5 3
2
)
×
2 3
= 5 = 3125 6
o!Ln;i$ de r$=%o ordinEri$ E$)3!6*) -!d! #)'o4 (")'!do' ) d)(oi(!do' Q 0o#(-i!5 3
4 = 7
,)
4
3
7
3
2
a = a 2 2 b b
o!Ln;i$ de prod!o E$)3!6*) -!d! !#o' Q 0o#(-i!
( 5 × 7 × 3) 2 = 52 × 7 2 × 32
( a × b × c ) = (a ) × (b ) × c = a × × b × × c = a b c 2
A)
3
3
2 3
3 3
3
2 3
3 3
3
6
9
3
o!Ln;i$ de n< de;im$l T'!(*o'! o ( d)-i!$ ) '!ção d)-i!$ ) )$)3!6*) -!d! #)'o Q 0o#(-i!
12
5
7 7 ( 0,07) = = 100 100 5
5
1.%
5
Po#(-i! d) o'd) *"0)'io':
2 2
32
2
5 31
=
2
=
3×3
2
2
=
2
9
× × × × 31 1 1 1 1
=
2
2
31
=
2
2
3
=
2
2×2× 2
=
2
1.% RADICAIS 1.%< D)i(iç=)*: $) r$di;$l é m$ oper$=%o m$!emE!i;$ #e $H o so do se,in!e sin$l ;A$m$do de r$di;$l
8
#e é
5
12 '&emplo: ) r$di;$ndo é o n< o $ e&press%o $l,éri;$ #e i;$ den!ro do sin$l de r$di;$l. o e&emplo é o n<12. ;) Tndi;e o ,r$ é o n< o $ e&press%o $l,éri;$ #e i;$ $;im$ e K es#erd$ do sin$l de r$di;$l. o e&emplo é o n<5 d) $iH é o resl!$do de m r$di;$l e) $iH #$dr$d$ é o resl!$do de m r$di;$l ;Jo índi;e é dois. / índi;e 2 n%o $p$re;e no r$di;$l. '&emplo: 2 81 = 81 = 9 ) $iH ;úi;$ é o resl!$do de m r$di;$l ;Jo índi;e é !rLs. '&emplo: 3 81 = 3 1.%> R!iG 7"!d'!d!: ;A$r $ r$iH #$dr$d$ de m n< é o!er o!ro n< #e elev$do $o #$dr$do" seJ$ i,$l $o primeiro. '&emplos: 1 = 1 por#e 1
=1 4 = 2 por#e 2 2 = 4 9 = 3 por#e 3 2 = 9
= 4 por#e 4 2 = 16 81 = 9 por#e 9 2 = 81 100 = 10 por#e 10 2 = 100
2
1.%@
16
R!iG 7"!d'!d! d) '!ç=)* o'di('i!*: $) 1< ;$so: /s dois !ermos s%o #$dr$dos. '&!r$í-se $ r$iH do nmer$dor e $ do denomin$dor. '&emplo: 36 81
36
=
81
=
6 9
=
2 3
) 2< ;$so: o denomin$dor é #$dr$do. 5 49
=
5 49
=
5 7 13
;) 3< ;$so: / denomin$dor n%o é #$dr$do. s!i!ir $ r$=%o por o!r$ e#iv$len!e ;Jo denomin$dor é #$dr$do e re;$i no 2< ;$so. '&emplo: 5 12
1./?
×3 = 12 × 3 5
=
15
15
=
36
36
15
=
6
T'!(*o'!ção d) '!di-!i* ) 0o#(-i! ) 3i-)63)'*!: odo r$di;$l é !r$nsormEvel nm$ po!Ln;i$ de e&poen!e r$;ionErio ;J$ $se é $ prpri$ $se do r$di;$ndo> o nmer$dor do e&poen!e r$;ionErio é o e&poen!e do r$di;$ndo" e o denomin$dor é o índi;e do r$di;$l. '&emplos: 7 3
5
7
=5
3
27
2
4
9
=
9
4
2
1 3
=3
=3
27
1
4
1./1
2
4
=
=
3
2
22
2
25
× 81 × 32 =
2
3
= 5 ×3 3
3
3
1
&3
3
5
2
23
=
8
=
=
2
3
5
2
3
3
2
3
1
4
5
×3 ×2 = 5 ×3 ×2 = 4
3
3
1
×2 ×2 = 5 ×3
2
3
1
&3 3
2
×2 ×2 = 1
3
2
= 3 &2 × 5 × 3 × 2 = 3 × 2 × 5 × 3 = = 6 × 25 × 3 = 6 × 75 Si0$ii-!ção o" ')d"ção d) '!di-!i* d) )*o (di-): 1
1
3
3
3
3
3
2
3
$s!$ !r$nsorm$r em po!Ln;i$ re!r$nsorm$r em r$di;$l. 6
2
12
1./%
=3
P!**!) d) " !#o' 0!'! o'! o" 0!'! d)(#'o do '!di-!$: e;ompomos em $!ores primos o ;oei;ien!e do r$di;$ndo> depois" !r$nsorm$mos o r$di;$l em po!Ln;i$s de e&poen!es r$;ionErios> desdor$mos os e&poen!es" s$ndo $s re,r$s d$ po!en;i$=%o e in$lmen!e" re!r$nsorm$mos $s po!Ln;i$s de e&poen!es r$;ionErios em r$di;$l. '&emplo: 3
1./2
33
de e&poen!e r$;ionErio" simplii;$r o e&poen!e e
3
2
=
16 81
2
=
1
6
=
2
12
16
12
81
3
=
=
8
o
12
16
12
81
22
12
4
=
= 12 2 4 = 3
2 3
26 4 12 4 12
=
64
=
2 3
1 3 1 3
=
8 1 3
2 = = 3 3
2 3
So! ) S"&#'!ção d) '!di-!i*: B/'V /'B/ /B ' U 'B'NW' *s%o os #e possem o mesmo índi;e e o mesmo r$di;$ndo" s dierem nos ;oei;ien!es).'&emplos: a) b)
− 2 + 2 − 2 2 = / 2 − < 2 = −% 2 2/% − :< + 2 12 = % % − %× % + 2×2 = @ % − 1 % + / % = −2 % %
2
2
%
=
14
1.//
M"$#i0$i-!ção d) '!di-!i*: B/'V /'B/ BUNN ' B'B/ T'. onserv$-se o índi;e e ml!ipli;$m-se os r$di;$ndos. 3
2
×3
=3
3
2×3
=3
6
R$ndo os índi;es orem dieren!es" redHimos $o mesmo índi;e e re;$i no ;$so $;im$. 1
1./
1./
3
2× 3
3
(
3
)
=
1
2
3
= 2 × 3 = 2 × 3 6 = 6 22 × 6 3 3 = = 6 2 2 × 3 3 = 6 4 × 27 = 6 108 Po#)(-i!ção d) '!di-!i*: $r$ elev$r m r$di;$l $ m$ po!Ln;i$" elev$-se somen!e o r$di;$ndo. '&emplo: 3
6
2
3
3
=
3×
3
=
3
3
P'od"#o* (o#3)i* d) ),0')**=)* i''!-io(!i*: REHRA: o 7"!d'!do do 1+ !i* 2 3)G)* o 1 0)$o 2 + !i* o 7"!d'!do do 2
(2 + 2 )
2
= 22 + 2 × 2 ×
( 2)
2+
2
= 4+4
2 +2= 6+4 2
REHRA: o 7"!d'!do do 1+ )(o* 2 3)G)* o 1 0)$o 2 + !i* o 7"!d'!do do 2
(2 −
2
)
2
= 22 − 2 × 2 ×
+(
2
2
)
2
= 4−4
2
+2=6−4
2
REHRA: o 7"!d'!do do 1 )(o* o 7"!d'!do do 2
(2 1./<
2
&5
-5
3
6
=
2
−
3
2
+
3
=
=
2
−
(
2
)
4
=
−
2
=
2
4
−
6
=
4 4
2
3
3
6
=
(2 − (2 +
3 −
2
+
3
3
6
4 27
)( − 3 )( 2 −
3 2
=
7
−
4
) 3)
3
3
1
= 6
27
(2 −
=
( 2) =
4
7
−
2
4
−
3
(
)
2
3
)
2
=
3
R!di-i!ção d) '!di-!i* 'Q: onserv$-se o r$di;$ndo e ml!ipli;$m-se os índi;es. '&emplos: 4
3
1./@
)
2
−
2
Di3i*ão d) '!di-!i*: 'Q: podemos dividir r$di;$is de mesmo índi;e. onserv$-se o índi;e e dividemse os r$di;$ndos. '&emplos: !5 6 15 ÷ 6 3 = 6 15 ÷ 3 = 6 5 3
1./>
) (2
2
+
2
2
9 27
=
=3
8
2
9 2 × 27
= 6 (3 2 ) × 33 = 6 2
3 4 × 33
=6
37
= 3×6
3
= 36
3
R!-io(!$iG!ção do* d)(oi(!do')* 1 -!*o: / denomin$dor é m r$di;$l. Bl!ipli#e o nmer$dor e o denomin$dor pelo r$di;$l. '&emplo: 15
3
3
=
2
2
2
=
2
3
2
(
)
2
2
=
3
2 2
2 -!*o: / denomin$dor é m r$di;$l de ,r$ sperior $ 2. Bl!ipli#e o nmer$dor e o denomin$dor por m r$di;$l !$l #e !enA$ o índi;e i,$l $o r$di;$l d$do" e ;Jo r$di;$ndo seJ$ ;ons!i!ído d$ mesm$ $se do r$di;$ndo primi!ivo" elev$do $ m e&poen!e i,$l $ dieren=$ en!re o índi;e e o e&poen!e do r$di;$ndo ini;i$l. '&emplo: 2 5
2
=
32
5
5
33
5
33
×
32
2 .5 3 3
=
5
=
2 .5 3 3 3
3 2.3 3
% -!*o: / denomin$dor é m$ e&press%o irr$;ion$l. Bl!ipli#e o nmer$dor e o denomin$dor pel$ e&press%o ;onJ,$d$ do denomin$dor. '&emplo: 1 3−
2
=
+ 3+
1 3−
×3
2
2 2
=
3+ 32
2
−(
2
)
2
=
3+ 2 9−2
=
3+ 2 7
1.? NÚMEROS RELATIVOS 1.1 D)i(iç=)* $) úmero rel$!ivo é m n< $ri!mé!i;o" pre;edido do sin$l*+) o do sin$l *-). 3>−5>+
+
3 7
5 >+ 3 2> e!;.
>−
) $lor $sol!o o mdlo de m número rel$!ivo é o prprio número sem o sin$l +
3
=
3>
−
5
=
5>
+
3 7
=
3 7
>
5
−
=
5>
+
3
2
=
3
2
;) úmeros simé!ri;os s%o números rel$!ivos de mesmo v$lor $sol!o" m$is sin$is dieren!es +
3 e
−
3>
+
2 7
e
−
2 7
>
+
8 e
−
8
1.2 R)'! do* *i(!i* os 1F) $ $di=%o o s!r$=%o de n rel$!ivos. os os om$-se !odos os n posi!ivos e ;olo;$ o sin$l +> som$-se !odos os n ne,$!ivos e ;olo;$ o sin$l - " depois s!r$i-se os resl!$dos ;om o n< m$ior menos o n< menor" e in$lmen!e ;olo;$ o sin$l do n< m$ior.
+ 5 − 2 = +3 − 7 + 2 = −5 − 8 + 3 − 1 = −9 + 3 = −6 + 15 − 2 + 2 − 10 = +17 − 12 = +5 os
2F) $ ml!ipli;$=%o de doi* n " d$ ivis%o e d$ Dr$=%o /rdinEri$. SINAIS IHUAIS R)*"$#!do 495 SINAIS DIFERENTES R)*"$#!do 465 '&emplos:
16
( + 3 ) × ( − 2) = −6 ( − 3 ) × ( + 2) = −6 ( + 20 ) ÷ ( − 5 ) = −4 ( − 20 ) ÷ ( + 5 ) = −4
( + 3 ) × ( + 2 ) = +6 ( − 3 ) × ( − 2 ) = +6 ( + 20 ) ÷ ( + 5 ) = +4 ( − 20 ) ÷ ( − 5 ) = +4 +
20 4 20
+
= +5
+ −
−
4
20
5
= −
4 20
− −
= +5
+
5
= −
4
os
3F) $ ml!ipli;$=%o de 3'io* n rel$!ivos. Co(#!6*) o* !#o')* ()!#i3o*. S) ! -o(#!) d)' 0!' o ')*"$#!do *)' 495 ) *) o' 0!' o ')*"$#!do *)' 465. D)0oi* "$#i0$i-!6*) o* 3!$o')* !&*o$"#o*. ( − 1) ( + 2) ( − 1) ( + 5) ( − 3) = −30 *s%o 3 os n os #e s%o ne,$!ivos" e o n<3 é imp$r
lo,o o sin$l serE ne,$!ivo e 1.2.1.5.3(30) ( − 1) ( + 2) ( − 1) ( − 5) ( − 3) = +30 *s%o 4 os nos #e s%o ne,$!ivos" e o n<4 é p$r
lo,o o sin$l serE posi!ivo e 1.2.1.5.3(30) os
4F) $ po!en;i$=%o de n rel$!ivos o* Po#(-i! d) ( ')$!#i3o* 495*)' *)0') POSITIVA *) o ),0o)(#) o' MPAR
( + 2) 3
( + 2) 2
8>
= +
o*
Po#(-i! d) ( ')$!#i3o* 465 *)' *)0'): POSITIVA *) o ),0o)(#) o' PAR ( − 2) 2 = +4
4
= +
*)' *)0') NEHATIVA ( − 2) 3 = −8 1.% EJPRESSÕES ALHK;RICAS 1./ D)i(iç=)* $) '&press%o $l,éri;$ *') é m$ reni%o de le!r$s" o le!r$s e números" li,$dos por 2
sin$is de oper$=%o. '&emplo:
$ 0
− $0 + $ 0 + 1 2
2
$ 2
) BonXmio é $ ' m$is simples" s possi m !ermo. '&emplo: ;) om$ $l,éri;$ de !ermos semelA$n!es é o nome #e se dE" em El,er$ Ks oper$=Ges de som$ e s!r$=%o" ei!$s siml!$ne$men!e. '&emplo:
− $0 + $
2
0
2
+ 1 + 2$0 + 8 = $
2
0
2
+ $0 + 9
/serve #e #$ndo e&is!ir m sin$l ne,$!ivo $n!es do p$rLn!esis o sin$l dos !ermos den!ro do p$rLn!esis md$. − *$ + $22 ) + 1 + 2$ + 8 = −$ − $2 2 + 1 + 2$ + 8 = −$22 + $ + 9 d) olinXmio *.) é $ som$ $l,éri;$ de 2 o m$is monXmios" os #$is denomin$-se !ermos do polinXmio. Um dos !ermos !$mém pode ser m número. '&emplo: s
+
v!
;
s + v!
+
$! 2 ; 2
2
+
2!
17
e) /rden$r olinXmio é dispor !odos os ses !ermos de !$l orm$ #e os e&poen!es de m$ mesm$ le!r$ desse polinXmio ;res=$m o de;res=$m * ordem ;res;en!e o de;res;en!e). '&emplo: olo#e em ordem ;res;en!e * orden$!riH !) $! 2 $! 2 − v! = s − v! + s+ 2 2
5! − 6 + 8! 2
= −6 + 5! + 8! 2
) omple!$r m polinXmio. R$ndo $s po!en;i$s de de!ermin$d$ le!r$ de m polinXmio*desde $ de e&poen!e m$is $i&o $!é $ de e&poen!e m$is elev$do) n%o os se,em $ ordem n$!r$l dos n in!eiros" diH-se #e o polinXmio es!E /BN'/. '&emplo:
5! 4
2! 2
−
+
2
=
1. E,)0$o* )7"!ç=)* 1 '!": !5 2#6>8? &5 2#6>92#8? 2t − 8 = 0
2t + 2t − 8 = 0
2t = 8
4t = 8
8
t =
2
=
4
d5 62#9>8?
− 2t + 8 = 0 − 2t = −8( − 1) 2t = 8 t
8
= =4 2
.2
t
5! 4
+
t
= =2
t =
2t
2
t t
2
−8 = 0 =8
=
=
8 2 4
=4 = ±2
12 4
=
− 2t + 8 − 2t + 4 = 0 − 2t − 2t = −8 − 4 − 4t = −12( − 1) 4t = 12
t
=
12 4
2t = 0 t
=3 2
2# 8?
2t
=0
2
0
2
0 2
=0
− 4 = 0 ⇒ t = 4
0
= =0 2
-5
−8 = 0 2t ( t − 4 ) = 0
t
2
5 2#8?
2t 2
2t = 0 ⇒ t =
+
3
5 62#9>62#9/8?
E,)0$o* )7"!ç=)* 2 '!": 2 2 !5 2# >8? &5 2# >8? 2t
0!
4t = 12
4
2
+
4t − 12 = 0
4
8
2! 2
2t + 2t − 8 − 4 = 0
8
− 2t + 8 − 2t = 0 − 2t − 2t = −8 − 4t = −8( − 1) 4t = 8
−
-5 2#92#6>6/8?
= =2
)562#9>62#8?
0! 3
t
= =0 2
18
2
d5 # #98? t
2
− t + : = ?
a = 1, b = -5, c = 6 ∆ = b t =
2
− / ac = 5
− b ±
∆
=
2
(
+1
−1 2
1
=
±1
2×1
=
2 t =
)
− − ±
2a t =
− / × 1 × : = 2 − 2/ = 1
:
2
=%
2 =
/
=2
2
1 TRANSFORMAÇÕES: 1.1 6 M)did!* d) Co0'i)(#o4(o SI 8 MS5: & 10Y $) [m m
& 10Z ) m ;m
\ 10] Y
& 10Y ;) m mm
& 10] Z
$) 1 0" )
B 0 0
0 1 1 0" ;) 1 0" 1.2 6 M)did!* d) Á')!4(o SI 8 MS5: / &10 &10 2 2 2 2 $) [m m ) m ;m - 6/ &10 &10 2
d! 0 0
2
2
2
& 10] Y d
-
0 0 0 0
L)&')6*) 7"): ?+?1 8 11?? )
0 1 0 0
11?? 8 11? )
0 1
&10 2 mm 6 &10
2
;) m 2
B d! d $) 1 0 0 0 0 0 0 0" 0 0 0 0 0 1
2
-
2
19
)
1 0" 1 0"
;)
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1
1.% 6 M)did!* d) Vo$") 4(o SI 8 MS5: @ % &10 &10 % % % % $) [m m ) m dm -9 -% &10 &10 %
%
B
%
@
&10 % % ;) m mm -9 &10 %
d!
%
d
$)
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
)
0" 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
%
-
%
0" 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
;)
0" 0 0 0 0 0 0 0 0 1 O"#'!* M)did!* d) Vo$") % 6% % 1l *m li!ro) ( 1 dm ( 10 m & 10Y $) [l l
) l
\ 10] Y $)
$ 1 0"
& 10Z ;l
& 10Y ;) l ml
& 10] Z B$ 0 0
) ;)
d!$ 0 0
$ 0 1 1 0" 1 0"
& 10] Y d$
0 0 0 0
-$
0 1 0 0
$
L)&')6*) 7"): ?+?1 8 11?? )
0 1
11?? 8 11? )
1./ 6 M)did!* d) M!**!: 20
& 10Y $) [, ,
) ,
\ 10] Y
& 10Z ;,
& 10Y ;) , m,
& 10] Z
$) 1 0" )
B 0 0
d! 0 0
;)
0 1 1 0" 1 0"
1. 6 M)did!* d) T)0o 1di$ ( 24A ( 1.440min ( 1A ( 60min ( 3.600s 1min ( 60s & 24 & 60 $) di$ Aor$ ) Aor$ min : 24 : 60
& 10] Y d
0 0 0 0
-
0 1 0 0
L)&')6*) 7"): ?+?1 8 11?? )
0 1
11?? 8 11? )
86.400s
& 60 ;) min s : 60
/ * $do!$r %? di!* / !(o $do!$r % di!* 2 6 Co(3)'*ão d) U(id!d)* 4* 0!'! 3)$o-id!d)5 $r$ se p$ss$r de Km/h p$r$ m/s
: %+ [m A
di3id)6*) por %+ ms $r$ se p$ss$r de
, %+
m/s
p$r$ Km/h
% 6 E$))(#o* d) T'io(o)#'i! $!e!o opos!o
Wi o!ens$
θ
$!e!o $dJ$;en!e 2
2
( +
21
( !,θ ( senθ ( ;os θ
!,θ ( senθ ( ;osθ (
/ Á')!*
e!^n,lo
ri^n,lo
r$péHio &1
A
l1 l2
A8 $1 , $2
A8 B , &
ír;lo
B &2 A8 &1 9 &2 , B
R$dr$do
r
Nos$n,o D
l
2 A8 π . r
l 2 A 8 $ , $8$
d
A8
. d
Vo$")* ilindro
o
r
$r$lelepípedo
a
A $
a
;
a
= π . r
2
.A
= $
3
= $ .0 . ;
EJERCCIOS DE REVISÃO DE MATEMÁTICA 15 E)#") !* o0)'!ç=)* &5 70 : 1"4 !5 17 : 8
-5 48 : 2"4
d5 3"24 : 0"3
)5 78"92 : 1"3
5 1"06 : 34 W5 19"44 : 5"4
B5 4"98 : 0"09 5 30"118 : 8"14
i5 34"7 : 3"1 (5 0"0096 : 0"16
5 0"76 : 3"2 o5 16"687 : 4"51
5 34"7 : 3"1 $5 0"0072 : 0"18
22
05 264 : 75
75 78"92 : 1"3
'5 1"06 : 34
*5 34"7 : 3"1
25 R)*o$3!:
5 + 1 ÷ 2 − 0,1 = !5 9 3 9 1 2 1 1 &5 3 − 2 3 + 3 ÷ 2 − 4 × 12 + 2 3−
-5
( a × b × c) × b (a ×b × c ) × a
d5
{[ ( ) ] }
2
2 3
)5 2
+
2 3
0
−1
−
2
2
3
−1
3 $5 4
o5 05 75
t
5m x
2
m
−2
2
2 a
2
= 3 −1
+:
%
x
= 2a + 2
4
× 35 × 5−3
1 0
−3 = 0
2
2
esp.:
2 × × 22 7
− 8t = 0
2
2 4 × 32 × 5 6
5
5 ivid$ o ;o de a (5
3
× 3− ×1
0
W5
3
3
6
236
esp.:
( × 3 × 5) ÷ ( 3 × 5 × 2)
5 2
2
3
96 3 esp.:
( × 3× 5 )
i5 2
1
esp.:
3 2
2
2
esp.:0
2
3
45
esp.:2
8
( − 2) × ( + 3) − ( − 2) 3 ÷ ( − 1) 2 + ( − 2) 3 2 3 2 5 [ ( 2 ) ] B5 (3 ) 2
c
esp.:
1584 0
2
2
a b
esp.:
5
3
45 1 1 6
=1
5 9
3 2
2
−3
esp.:
47
4
3
3
esp.:
3 1
2
×b×c
3
pelo #$dr$do de a
3
esp.:
9
esp.:
5
×b ×c 2
1 3
esp.:
c
7
b
esp.: !1(0 e !2(8 esp.: m (0 e m ( 1
2
3 5
esp.: &1(0 e &2(6 esp.: $1(0 e $2( 1
1 5 23
*5 ( x − 5) × ( x + 3) = 0 #5 "5
5b
− 20 = 0
2
esp.: 1(+2 e 2(-2 5
4t 2 − 25 = 0 2
35
esp.: &1(5 e &2(-3
t
− t − 6 = 0
esp.: !1(3 e !2(-2 1
− 13t + 1 = 0
2
X5
36t
,5
( t − 2) 2 + ( t + 3) 2 = 15
Y5
5 x
G5 2t
4
1
e !2(
9
esp.: !1( e !2( esp.: &1(0 e &2(0
− 19 = t +
2
esp.: !1(
=0
2
5
esp.: !1( + 2 e !2( − 2
1 − t 2
esp.: !1( 3 e !2(
2
− 13 5
%5 C!$-"$) ) Si0$ii7"): !5
'
2
=
3
d5 )5
3
2
−1
−
2
4$ 8$
2
2
− 2n
× 2n+1
÷
3
1
esp.: ' =
2n+ 4 − 2 × 2n 2 × 2n + 3
&5 ' = -5
n+ 2
+
2
2
+1
esp.: ' =
=
esp.:
− 6$0 = − 180
esp.:
2
& + 2 & −1 − & − 2 & −1
2 7 8
1 7 $ 2$ + 3
esp.:2
=
/5 R)*o$3!: !5 3 8$ − 5 2$ + 2 32$ − 128$ =
esp.: 2$
&5
esp.: 2( $ − )
4$
2
−
8$
+
4
2
=
5 Z")*#=)* d) 3)*#i&"$!': !5 *UDN ) / v$lor d$ e&press%o * 0"012 + 1"5 ) : 16"8 é &5 *D$;. /Je!ivo - ) / v$lor de 315 : 0"0045 é : -5 *UD ) implii;$ndo $ e&press%o * 0"012 + 1"5 ) : 16"8 " o!ém-se : ?,?:/
d5 *D$;. /s_$ldo rH - ) / v$lor de ?,??> é: ?,2 × ?,< − / × ?,?1 é : )5 *B[ - ) / v$lor de ?, × ?,2 24
25
