CAPÍTULO 1: ESPACIOS VECTORIALES Definición Un cuerpo (no alabeado) cuyos elementos (escalares) se representan por letras griegas. Un grupo abeliano de elementos (vectores) notados con letras latinas. Se define un espacio vectorial sobre el cuerpo si se define una aplicación de en tal que a todo par ( ) , haga corresponder un elemento cumpliendo las siguientes propiedades -
Distributividad con respecto a la adición de : ( Distributividad respecto a la adición de : Asociatividad de los elementos : , siendo el elemento neutro de . Siendo la operación de Siendo y las operaciones de
(
) )
(
)
(
)
Ejemplo 1 Dado el conjunto
*(
)
Se definen las leyes siguientes: - 1. , tal que - 2. , tal que si Comprobar que (
) (
) (
( ) (
)
(
)
)
) es un espacio vectorial sobre
1. Es inmediato comprobar que: o es una ley de composición interna, que cumple las propiedades asociativa y conmutativa. o ( ) es el elemento neutro o ( ) es el opuesto o simétrico de ( ) o Por tanto ( ) tiene estructura de grupo abeliano. 2. Si y
són números reales se cumplen las siguientes propiedades:
a)
( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) Por tanto [ ( )] ( ) ( ) Con esto se verifica la asociatividad respecto al producto de escalares
b)
) ( )] ( ) ( ( ) ( [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )] ( ) Por tanto [( ( ) Con esto se verifica la distributividad respecto a la suma de factores
c) (
) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) Por tanto ( ( ) Con esto se comprueba la distributividad con respecto a la suma de escalares
) ( ) ( d) Es evidente que: ( ) Por tanto, ( ) cumple las cuatro propiedades de la ley externa y como ( ( ) tiene estructura de espacio vectorial.
))
) )
) era grupo abeliano
Dependencia e independencia lineal
Linealmente dependientes:
Linealmente independientes
Dado los vectores existen escalares tal que
Si los números son todos nulos que hacen que la suma de vectores sea ̅ .
no todos nulos ̅(
)
Ejemplo 2 (
Comprobar si son linealmente dependientes: (
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
{
Para ser linealmente dependientes ha de cumplir que:
( (
) )
Al ser diferentes de cero son linealmente dependientes
Combinación lineal o dependencia lineal Si el vector
se puede obtener a partir de
:
Ejemplo
Dado los siguientes vectores ( (
(
El siguiente vector es combinación de los anteriores )
)
( )
)
(
) (
( )
)
Subespacio vectorial es un subespacio vectorial o una variedad lineal del espacio sobre el cuerpo si: es un subconjunto de . también es un espacio vectorial - Por tanto si y son vectores de , es decir, se cumple que (siendo o o
:
Como consecuencia: - El elemento neutro de pertenece a . - El opuesto de cualquier vector de pertenece a : o Si un subespacio vectorial contiene los vectores
, también contiene a todos los vectores de la forma
Ejemplo 4
Determinar
e
para que el vector (
Para que (
)
pertenezca a la variedad lineal engendrada por (
)y(
pertenezca a la variedad lineal ha de: )
(
)
(
)
Por tanto
) Buscamos
Por tanto
(
) para que pertenezca.
Base y dimensión Sistema generador: - Si los vectores de un espacio vectorial, - se puede obtener como combinación lineal de los vectores , - se dice que éstos constituyen un sistema generador de dicho espacio vectorial. Base de un espacio vectorial: Si los vectores del sistema generador de
son linealmente independientes.
Dimensión: El número de elementos de que consta cualquier base de un espacio vectorial. Ejemplo 5 Pero siendo ( obtiene
Los dos siguientes vectores ( (
) )
( (
Son linealmente independientes debido a que no se puede cumplir la igualdad (
)
(
)
) un vector de dicho espacio se ) ( ) (
)
(
) )
{ Por tanto (
) es base de dicho espacio
CAPÍTULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES 2.2 Tipos de matrices ( )
Un único elemento Matriz de dimensiones ( Vector fila o Matriz Fila
)
Matriz de dimensiones ( ) Vector columna o Matriz Columna
(
) (
(
+
(
.
Matriz cero
Matriz simétrica (
)
)
Matriz hemisimétrica
/
(
+
(
+
Matriz simétrica diagonal (los elementos fuera de la diagonal son nulos)
(
+
Matriz escalar (los elementos de la diagonal son iguales)
(
+
Matriz unidad (los elementos de la diagonal son iguales a 1) Matriz triangular (matriz cuadrada con los elementos situados a un lado de la diagonal nulos)
.
(
/
+
+
2.3 a 2.5 Operaciones con matrices y varias .
Suma de Matrices
/
(
Producto de un escalar por una matriz
.
*
(
/
(
(
Producto de matrices
*
+
*
(
*
(
+
(
+
(
+
Matriz idempotente ( ( (
) (
)
) (
(
) (
(
)
(
)
(
)
(
) )
( (
)
(
)
(
)
(
) ( ) ) (
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
)
Matriz nipotente (
+
(
+
= índice de nilpotencia
. Producto de Kronecker
(
/ ( (
(
)
) )
( (
) * )
(
)
Transposición de matrices
.
/
(
+
2.6 Determinantes | | | |
|
|
|
|
Propiedades de los determinantes: -
El valor de un determinante no varía si se cambian filas por columnas. Si se cambian entre sí dos líneas (filas o columnas) paralelas, varia el signo del determinante. Si en un determinante dos líneas paralelas son iguales, el determinante es nulo. Si se multiplica o divide todos los elementos de una línea por un número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número. Si dos líneas paralelas de un determinante son proporcionales, el determinante es nulo.
2.7 y 2.8 Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea y producto de determinantes Menor complementario de un elemento (
| |
|
| |
|
|
|
) Adjunto
(
|
)
| |
Desarrollo de determinantes por adjuntos de una fila
(
)
|
|
(
(
)
|
|
)
(
|
|
)
|
|
|
(
(
)
|
)
|
|
|
| | (
)
Funciona igual que en matrices | | | |
Producto de determinantes
En caso de ser cuadrada | | | |
|
|
|
:
|
2.9 Suma de determinantes
Dos determinantes del mismo orden Son sumables si todas las columnas son iguales menos una
|
| |
|
)|
|
|
|
|
| | |
Si una línea de un determinante es combinación lineal de otras paralelas multiplicadas por un número cualquiera, el determinante es nulo
|
(
| | En un determinante se puede sumar a una línea otras multiplicadas por un número sin que se altere el determinante
|
|
| |
|
2.10 Aplicaciones al desarrollo de determinantes Si una línea de un determinante, existe algún cero, al desarrollar por los elementos de dicha línea no hay que calcular el adjunto del elemento nulo: - Por tanto es interesante introducir ceros en los determinantes. - Si existe un 1 o -1 es fácil reducir a ceros todos los elementos de su fila o su columna, salvo dicho elemento 1. Ejemplo A la siguiente matriz, tomando como pivote el 1 de la primera fila para convertir en 0 los elementos de la segunda columna
|
|
(
Se multiplica la primera fila por 3
)
(
(
Se suma a la segunda fila (buscando de resultado 0 en la segunda columna)
)
)
(
)
(
)
(
Se multiplica la primera fila por 4
)
(
(
Se suma a la tercera fila (buscando de resultado 0 en la segunda columna)
)
)
(
)
(
)
(
Se suma a la cuarta fila (buscando el 0 en la segunda columna)
)
(
)
(
Obtenemos finalmente la siguiente matriz, donde el determinante es el mismo
|
)
|
|
|
| | Así que si desarrollamos el determinante por los adjuntos de la segunda columna, se obtiene
(
)
|
|
Ejemplo, en caso de no existir el 1
|
De la siguiente matriz (
Se multiplica la segunda fila por -2 Se suma a la primera fila Con lo que ya obtenemos la matriz con el número 1, luego se procederá a operar como el ejemplo anterior
(
|
)
)
( ) |
(
) |
(
)
Determinante de Vandermonde
|
De la siguiente matriz
(
Multiplicamos primera fila por –
)
)
)
(
)
( (
Multiplicamos segunda fila por–
)
)
(
(
y la sumamos a la tercera
) )
(
)
(
)
( Multiplicamos tercera fila por – y la sumamos a la cuarta
)
(
)
(
)
(
)
(
)
|
La matriz resultante será
|
|
Pivotando con el 1, equivale a
|
| ( (
Que extrayendo factores comunes es
(
) )
( (
)(
Con lo que obtenemos un nuevo determinante de Vandermonde
) )
)(
(
)
(
)
De la matriz resultante, pivotamos con el 1
|
Que extrayendo factores comunes es
|
(
)
(
)
(
|
)
(
)(
| )
(
)(
)| ) |
|
(
(
( (
)|
|
Multiplicamos 1ª por – y le sumamos la segunda
El resultado será los factores del 1º determinante Vandermonde por los del 2º el determinante del último.
(
(
y la sumamos a la segunda
Multiplicamos 2ª por – y le sumamos la tercera
|
)
)
|
|
(
)(
)|
)(
)(
) (
|
)
2.11 Dependencia Lineal de Vectores Si en una matriz una línea es combinación lineal de otras paralelas, todos los menores que se pueden formar con las siguientes son nulos.
( En la siguiente matriz, la tercera fila es combinación lineal de las dos primeras.
,
(
La primera por 3 más la segunda por -2.
)
(
( )
)
(
)
( Entonces, todos los menores que se pueden formar con las tres primeras filas serán nulos
|
)
|
|
|
|
|
Si en una matriz existe un menor no nulo de orden , y orlándole con los elementos de la fila y con cada una de las columnas de la matriz resultan todos estos menores (de orden ) nulos, se puede concluir que la fila es combinación lineal de las filas pertenecientes al menor dado. Verificar que en la matriz siguiente la tercera fila es combinación lineal de las dos primeras
(
+
El menor no nulo es de orden 2 formado por elementos de las dos primeras filas
Orlándole con elementos de la tercera fila y las sucesivas columnas se obtienen los menores
Al ser los menores no nulos
|
|
|
|
(
)
Comprobar si el siguiente vector es combinación lineal
|
(
(
|
+
|
Se comprueba si el menor de orden 2 es nulo |
) )
(
Se forma la matriz de dichos vectores
Que al ser ambos menores nulos
|
La tercera fila es combinación lineal de las dos primeras
Según los vectores
Orlando dicho menor con la tercera fila y columnas sucesivas
|
|
|
|
|
La tercera fila es combinación lineal de las dos primeras, o que el vector depende linealmente de los y .
2.12 y 2.13 Rango de una matriz y Obtención del rango de una matriz Si en una matriz hay algún menor no nulo de orden se llama rango o característica de dicha matriz. -
y son nulos todos los menores de orden
, el número
Si a simple vista se observa que una línea es comb. lineal de otras, se suprime sin que altere el rango. Se forma un menor de segundo orden no nulo, entonces, el rango será por lo menos 2. Se orla el referido menor de segundo orden con las filas y columnas, si alguno fuera distinto de 0 el rango será por lo menos 3. Se orla el menor no nulo de tercer orden con filas y columnas, si alguno fuera distinto de 0 el rango será por lo menos 4. Se continúa el proceso hasta agotar las líneas y columnas.
(
Hallar el rango de la siguiente matriz
Se observa que la tercera fila se puede obtener como suma de las dos primeras, por tanto, se suprime sin alterar el rango.
(
+
|
Se busca si hay un menor de orden 2 no nulo
Orlando el menor de orden 2 de todas las formas posibles
,
|
El rango como mínimo es ( ) |
|
|
|
.
|
|
Todos los determinantes son nulos por lo que el rango sigue siendo ( )
Hallar el rango de la siguiente matriz ( |
El menor de orden 2 no nulo es
) |
El rango como mínimo es ( ) | Orlando el menor de orden 2 de todas la formas posibles
|
|
|
|
. |
Hay algún determinante no nulo, por lo que el rango como mínimo es ( ) . Pero al no haber más columnas el rango será 3.
2.13.1 Transformaciones que conservan el rango de una matriz
Multiplicar todos los elementos de una fila o columna por un número distinto de cero
(
+
(
Sumar a una fila o columna una combinación lineal de las restantes
Suprimir una fila o columna cuyos elementos son 0
Intercambiar dos filas o dos columnas
+
(
+
+
(
(
+
+
+
(
(
Suprimir una fila o columna que sea combinación lineal de otras
(
(
)
.
+
/
(
+
2.13.2 Aplicaciones del cálculo del rango de una matriz a los espacios vectoriales Linealmente independiente | |
( )
Dependencia lineal Linealmente dependiente | |
( )
Los siguiente vectores forman una base en el espacio vectorial (
)
(
)
|
|
)
(
*|
(
|
Formación de una base
(
(
|
)
|
)
Los siguientes vectores no forman una base en el espacio vectorial
| |
(
)
|
( |
)
(
)
(
)
*|
(
(
)
|
|
|
En el espacio vectorial , hallar la dimensión del subespacio vectorial engendrado por los siguientes vectores: ( Dimensión subespacio vectorial engendrado por el conjunto de vectores
)
(
)
(
)
(
)
( (
(
)
+
)
Es el número máximo de vectores linealmente depend. o rango de la matriz.
. (
|
)
|
( )
/
2.14 Matriz inversa
(
| |
+
| |
| |
| |
| |
| |
| |
(| |
| |
| |)
Matriz inversa regular (cuadrada y no singular)
| | (
| |
+ |
|
|
(
| |
(
|
)
|
(
(
) ( )
(
)
|
) (
Propiedades
)
+
) cuando | |
2.14.1 Matriz inversa generalizada (MP Moore Penrose
(
)
( )
Propiedades
(
)
Para hallar la MP inversa, hay tres casos 1. Si 2. Si 3. Si ( ) siendo
( ) ............................................................................. ( ) ............................................................................ ), descomponer en y ambas del mismo rango .....................................................
( y
Ejemplo 1 .
/ Como ( ) (
)
(
tomaremos el caso 1 0.
(
/.
/1
)
.
.
/ /.
)
.
/
/
.
/
Ejemplo 2 . Como ( ) (
y
)
/(
)
(
tomaremos el caso 2
[.
(
/
(
+]
.
/
+(
)
(
,
, (
)
Comprobamos que
.
/
( (
,
.
/
) Ejemplo 3 (
Vemos que | | (
+
+
y que el ( ) .
(
/ se hallan
); por lo que y
y se multiplican.
(
) (
)
2.14.2 El operador vec Sea la siguiente matriz .
Que designaremos los vectores columnas
.
/
/
.
(
El operador vec la convierte en vector columna
(
2.15 Matrices ortogonales (
Matriz cuadrada
(
+ (
+
(
)(
)
(
+
(
+
2 1. 2. 3. 4. 5.
( (
) obtenemos:
)
o sea, los vectores fila o columna son de módulo unidad. o sea, los vectores de 2 filas o columnas son ortogonales. | | | | | | | | | | por lo que el determ. . ( ) su transpuesta igual a su inversa ( ) ( ) Por lo que
√
√
√
√
√
( (
√
√
√
*
(
√
√ √
* *
√
√
√ )
* (
√
√
(√ La siguiente matriz es ortogonal
)
)
)
Por la igualdad de matrices
De lo que obtenemos
,
(
Propiedades
/
( (
√
√
√
√
( √
√ )
√
*
√
*
√
(
√
√
Y así sucesivamente hasta encontrar la matriz (
+
√
*
2.16 Aplicaciones lineales Operaciones vectoriales (suma de vectores y producto de un escalar por un vector). Proposición 1. Caracterización. Que es una aplicación lineal y que no lo es
Si es un espacio vectorial, la aplicación definida por ( ) es lineal ya que para cualquier
Sean y dos espacios vectoriales sobre una aplicación se llama aplicación lineal u homomorfismo si se cumple 1. ( 2. (
) )
Una aplicación de escalares (
( ) ( ) ( ) (
(
)
( ( )
es lineal si para cada par y vectores se cumple: )
( )
)
( (
( ( )
)
( )
)
una aplicación lineal y ( )
(
(
( )
)
) ( )
) (
)
(
no se cumple ya que
Sea
)
Si es un espacio vectorial y es un vector fijo la aplicación definida por ( ) no es lineal ya que no se cumple
( )
Propiedades de las aplicaciones lineales, dependencia e independencia lineal
(
( )
(
)
)
:
)
Si * +; es un sistema de vectores linealmente dependientes existirán escalares no todos nulos que: Entonces * ( ) ( ) ( )+ es un sistema de vectores linealmente dependientes existirán escalares no todos nulos que: ( )
( )
( )
Si * +; es un sistema de vectores linealmente independientes no existirán escalares no todos nulos que: (
)
Entonces * ( ) ( ) ( )+ no es cierto en general que sea sistema de vectores linealmente independientes ( )
( )
Aplicación lineal inyectiva o monomorfismo
Entonces *
Sea
y además * ( ) ( ) (
una aplicación lineal inyectiva
Por tanto ( )
( )
+ son linealmente independientes, ( )
)+ son lin.indep. de
Imagen y núcleo de una aplicación lineal. Clasificación ( )
( )
( )
*
+
( ) ( ) Imagen de f es el conjunto de vectores imagen de algún vector
( )
que son
( )+ y *
Sea *
+ tal que
( )
( )
(
) ( ) es un subespacio vectorial
luego ( )
( )
*
)+
( ) ( ) Núcleo de f es el conjunto de vectores transforman en vector de
que se
* + ( )+ tal que
Sea *
( ) (
)
y entonces
espacios vectoriales, aplicaciones lineales es aplicación lineal
(
)
( ) es un subespacio vectorial
luego
Si
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
Para que
sea aplicación lineal ha de cumplir que
(
)
( )
( )
(
)
( )
Por tanto (
)
, ( ( ( ))
(
)(
)( (
)
, ( )
))
(
( )
( )-
)( )
(
)
( )
Y por tanto ( ,
)
( )-
(
)( , ( )-
)
, ( (
))
( )
)
Matriz asociada a una aplicación lineal Si
y
Entonces Al ser
( )
( )
una base de
( )
( )
se tendrá:
( ) ( ) Sea
dos espacios vectoriales finitos
Sea
*
Si las coordenadas del vector ( ) base son ( ) se tendrá
+ una base de
*
Sea
( )
+ una base de
respecto a la
Consideramos aplicación lineal
Este conjunto de ecuaciones se puede resumir en una única ecuación matricial ( +
(
+( +
Matriz asociada a un cambio de base Sean
y
y
espacios vectoriales Si la matriz asociada de
una aplicación lineal *
+y
*
(
+ son dos bases
de
respecto a
La matriz asociada respecto
y
es
+ y
será
donde ( * bases de donde
+y
*
+ son dos
+
(
+(
+
Dimensiones de la imagen y el núcleo de una aplicación lineal Sean
y
y
espacios vectoriales una aplicación lineal
*
+ una base de
tiene coordenadas ( se tiene
Entonces si respecto de ( )
( )
)
( )
( )
Por tanto la imagen de cualquier vector de es una combinación lineal de los vectores ( ) ( ) ( ) Sean y
y
espacios vectoriales una aplicación lineal
Si la matriz asociada a la aplicación lineal * +y * de las bases
( ) está engendrado por entonces el subespacio los vectores imágenes de cualquier
(
respecto a + es
+
Luego una base de ( ) será un conjunto de vectores columna de la matriz linealmente independientes en número igual al rango. Por tanto, la dimensión del subespacio de , ( ) es igual al rango de la matriz asociada a la aplicación .
Ecuaciones paramétricas es el conjunto de ecuaciones escalares
Sean y
y
espacios vectoriales una aplicación lineal
Si la matriz asociada a la aplicación lineal * +y * de las bases
el núcleo de la aplicación es el subespacio de los vectores tales que ( )
(
respecto a + es
+
El núcleo está formado por los vectores tal que las coordenadas ( ) respecto a B cumple: (
+( +
Si el rango de la matriz es igual a única solución ( ) entonces ( )
( +
el sistema tiene una
* +
Si el rango de la matriz es igual a entonces existe un menor de orden no nulo y todos los menores de orden son cero
Por tanto si
una aplicación lineal, entonces: ( )
(
( ))
(
( ))
Así que: -
Si ( ) Si ( )
-
Si
entonces entonces ( ( ) entonces {
( ), por tanto es Epimorfismo , ( )por tanto es Monomorfismo ( )) , } por tanto es Isomorfismo , ( )-
CAPÍTULO 3: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es combinación lineal de otras varias, si resulta de sumarlas miembro a miembro, previamente multiplicadas por números cualesquiera.
Multiplicamos la primera por 2 y la segunda por -1.
Por lo que la ecuación
es combinación lineal de las otras dos.
3.3 Sistema Cramer
Sean las siguientes ecuaciones
{
{ |
|
Se pueden escribir como (
)
( )
Sistema cramer al ser matriz determinante diferente de 0.
( )
cuadrada
con
Si es matriz cuadrada (los cocientes) y el determinante es diferente de 0 será sistema cramer |
La solución del sistema cramer se obtiene mediante la inversión de la matriz de los cocientes.
|
( )
(
)
( )
( )
|
|
(
(
(
)
) (
)
)
(
(
)
)
( )
La solución del sistema cramer se obtiene mediante la siguiente fórmula: ∑
|
|
Dividir el determinante de la matriz sin la columna de las incógnitas entre el determinante de los cocientes
{
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4 Sistemas de
ecuaciones con
incógnitas. Teorema de Rouché-Froebenius
Si un sistema no es de Cramer conviene estudiar su compatibilidad mediante este Teorema.
La condición necesaria para que un sistema sea compatible es que sean iguales los rangos de las matrices
y
{
( Por tanto, si
)
(
es el número de incognitas:
) Sistema incompatible Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminado
Ejemplo de sistema compatible indeterminado 1.- Se comprueba si el sistema es compatible {
(
)
|
|
(
|
)
|
Al no existir más filas 2.- Por tanto el sistema a resolver será {
3.- Se resuelve por sistema cramer |
|
|
|
|
|
|
|
Al ser el número de incógnitas superior a los rangos igualados de las matrices el sistema será compatible indeterminado:
Ejemplo de sistema incompatible 1.- Se comprueba si el sistema es compatible {
|
|
El sistema no es de Cramer, ya que |
|
|
|
Por lo que es un sistema incompatible
Ejemplo de sistema compatible determinado 1.- Se comprueba si el sistema es compatible {
(
)
(
)
Al ser los rangos iguales a las incógnitas el sistema es compatible determinado 2.- Debido a que el rango es 2 nos debemos de quedar con dos ecuaciones que serán las que se han utilizado para calcular el rango. Por tanto el sistema a resolver será { 3.- Se resuelve por sistema Cramer | |
|
| |
|
3.5 Sistemas homogéneos
Sistema lineal donde todos sus términos son nulos.
{
Solución trivial cuando que será solución única si
Ejemplo de más soluciones que la trivial
Ejemplo donde la única solución es trivial {
{
1.- Comprobamos el rango de los cocientes | |
|
|
|
| |
|
2.- Resolvemos por sistema cramer en el que - Tomamos las dos primeras ecuaciones. - Pasamos al segundo miembro. { |
|
1.- Comprobamos el rango de los cocientes
|
|
|
|
|
|
Cómo el rango es igual al número de incógnitas, la única solución es la trivial.
3.6 Discusión de un sistema Clasificar un sistema según los distintos valores del parámetro .
Discutir y resolver el sistema según los valores de {
1.- Primero se forman las matrices
y (
|
|
)
(
)
|
|
{
2A.- Sistema compatible determinado Resolución por Regla de Cramer |
|
2B.- Sistema compatible indeterminado Resolver tomando las dos primeras ecuaciones y pasando al segundo término {
| |
|
|
|
|
3.7 Aplicaciones del modelo Input-Output Esquema matemático que pone de manifiesto las relaciones entre los sectores económicos de un país. En una región se dispone de la siguiente información de las cuentas nacionales
Sectores
Inputs primarios
Agrario Industrial Servicios Salarios Excedente bruto explotación Impuestos indirectos producc. Input total
Sectores Industrial 40 60 10 60 20 10 200
Agrario 10 30 5 40 10 5 100
Servicios 0 60 100 90 40 10 300
Demanda final Output Consumo Inversión Total 30 20 100 5 45 200 130 55 300
El gobierno decide aumentar la actuación pública incrementando en cinco unidades la demanda final. Se sabe que las unidades adicionales se van a demandar en un solo sector. El objetivo es maximizar la producción total de la región. Por tanto, ¿a qué sectores debe demandarlas? Se puede sintetizar el cuadro indicado en Sectores Industrial 40 60 10 90 200
Agrario 10 30 5 55 100
Agrario Industrial Servicios Inputs Primarios Input total
Demanda Final 50 50 185
Servicios 0 60 100 140 300
1.- El método de las relaciones intersectoriales queda definido por la matriz
[ [
]
[
]
[
Output Final 100 200 300
de coeficientes técnicos:
]
[
]
]
2.- La matriz inversa de Leontief será: [ -
]
[
]
[
Siendo el vector de incrementos de la demanda final. Siendo el vector de incremento de los outputs totales. A partir de la matriz de Leontief es inmediato analizar las distintas posibilidades:
]
[
]
3.- Las tres alternativas son las siguientes: Si se demanda al sector agrario 5 Si se demanda al sector industrial 5 Si se demanda al sector servicio unidades mas unidades mas s 5 unidades mas [
]
[ ]
[
]
[
][ ]
[
]
[
][ ]
[
]
CAPÍTULO 4: DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Interesa diagonalizar a una matriz dada ya que con éstas la operatoria se simplifica notoriamente. 4.2.1 Matrices equivalentes Dos matrices equidimensionales De dimensiones
y
Son equivalentes si
Existen dos matrices No singulares De dimensiones
(
)y
(
y
Tales que
y
.
)
Son equivalentes ya que existen las matrices cuadradas (
)y
Tales que (
) (
(
)
, en efecto
) (
)
(
) (
)
(
)
Propiedades matrices equivalentes Reflexiva
Si
Simétrica
Si
Transitiva
Sea
e
son matrices unitarias de orden
es equivalente a , también y
............................................
es equivalente a
........................... (
entonces .................. ( )
Tiene el mismo rango
y
(
)
[ (
)]
(
)
)
(
) (
( )
4.2.2 Matrices congruentes Dos matrices y de orden . son congruentes si existe una matriz
o
que
Dos matrices cuadradas (
)
(
)
Son congruentes ya que existe matriz regular (
)
(
) (
) ( (
) )
(
) (
)
)
4.2.3 Matrices semejantes Dos matrices cuadradas y son semejantes si existe una matriz también cuadrada y no singular que (también tienen igual rango) Si
y
son semejantes, también lo són
y
Dos matrices cuadradas (
)
(
)
Son semejantes ya que existe matriz regular (
)
( (
) (
) (
) ( )
(
) )
4.3 Ecuación característica
(
) |
Ecuación característica de dicha matriz a la ecuación en que resulta de desarrollar el determinante ( es la matriz unidad de orden )
|
( (
)
|
|
)
(
)
(
)
El desarrollo del determinante de esta matriz igualado a 0 es la ecuación característica |
|
Si son semejantes, existe una matriz regular
tal que
De la que la ecuación característica se hallaría Si dos matrices y son semejantes, ambas tienen la misma ecuación característica Que también podría escribirse
Aunque el teorema no es recícropo, si dos matrices tienen la misma ecuación característica no se puede afirmar que sean semejantes.
Tomando determinantes |
|
|
Y como | ||
|
|
|
|
| ||
||
|
, por tanto |
|
|
|
Comprobamos que las siguientes matrices semejantes tienen la misma ecuación característica ( | |
)
| |
(
|
)
|
|
|
Comprobamos que las siguientes matrices tienen la misma ecuación característica pero no son semejantes ( |
|
)
( |
) |
4.4 Diagonalización de matrices Una matriz cuadrada es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal , esto es, si existe una matriz regular que:
donde
suele denominarse matriz de paso
No todas las matrices son diagonalizables, por eso hay que conocer las condiciones necesarias y suficientes para que lo sea. Pero antes hay que obtener los valores y vectores propios.
4.5 Valores y vectores propios de una matriz cuadrada
donde es un escalar que se denomina valor propio, autovalor o raíz característica de . El vector ( ) es un vector propio o autovector de la matriz si
Siendo la matriz unidad Por tanto se puede escribir ̅
(
)
Los valores propios son las raíces de la ecuación característica | | Buscando el valor de
) (
)
se obtiene (
{ , por tanto (
Como
(
|
|
) ̅ , con lo que obtenemos
)
(
) (
{
) (
)
El sistema resulta compatible sólo para los valores propios hallados Si
Si
Si
{ {
{
Restando ambas ecuaciones: Entonces Por tanto
{
Substituyendo en la 2ª ecuación Luego el vector característico es: (
) o en general (
{
Por tanto
Por tanto
Luego el vector característico es:
Luego el vector característico es
(
)
También lo son los paralelos, p.e.: (
Entonces
)
)
En general
( ) En general
(
)
(
)
Casos particulares, Matriz diagonal y Matriz triangular Los elementos de la diagonal principal de una matriz diagonal son sus valores propios. Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de su diagonal principal.
(
)
|
|
(
)
| (
|
(
)(
)(
)
(
)
) (
)(
Los valores propios son
)(
)(
)
4.6 Condición necesaria y suficiente para que una matriz sea diagonalizable es diagonalizable si existe una matriz regular tal que Entonces y son matrices semejantes luego tienen la misma ecuación característica por tanto tienen los mismos valores propios
donde
es una matriz diagonal
Por tanto, ahora hay que determinar que condiciones ha de cumplir una matriz para ser diagonalizable y como hallar la matriz .
(
Una matriz de orden es diagonalizable si dicha matriz admite un conjunto de vectores propios esto es que
)
Donde (
)
(
)(
(
)
(
)
)
Por otra parte Si
(
es invertible, se debe cumplir
)
Por tanto (
)
(
)
Esto es Los vectores
son autovectores de
La matriz tiene inversa sólo si | | , que equivale a decir que los autovectores son linealmente independientes
(
)
La ecuación característica es |
| que admite las raíces Los vectores propios se obtienen de {
(
) (
Para
) Para
{
{
que se reduce a una única ecuación
que se reduce a una única ecuación
un vector propio es el (
un vector propio es el (
)
)
Los autovectores se suelen expresar como vectores unitarios, para lo cual basta dividir sus coordenadas por su módulo Modulo de
(
) es
)
√(
√
Modulo de
Por lo que el vector será
(
) es
√(
(
) )
(
)
√
Por lo que el vector será √
√
(√ )
( √ ) (√
Por lo que la matriz será
√
√
√ √
(
Hallando la matriz inversa
) √
√
√
)
Calculando √ √ (
√
√ (
√ )
) √ (√
√
√
√ √
√ )
(
La matriz es diagonalizable si y solo si para todo autovalor de la multiplicidad de en la ecuación característica.
√
√ ) (√
√
)
la dimensión del subespacio
La dimensión del espacio asociado al valor propio se calcula hallando la diferencia entre de la matriz ) y el rango de la matriz ( )
(
coincide con es el orden
(
Estudiar si es diagonalizable la matriz (
Si
)
)
estudiamos su rango es (
Su ecuación característica es
)
( ) Como que coincide con el orden de multiplicidad de la raíz la matriz será diagonalizable:
Que admite las raíces
)(
( Estudiar si es diagonalizable la matriz (
)
(
)
) Si
estudiaremos su rango
Su ecuación característica es
(
Que admite las raíces
)
|
( ) Como que no coincide con el orden de multiplicidad de la raíz, la matriz no es diagonalizable
4.7 Diagonalización de las matrices simétricas Si una matriz
es simétrica todos sus valores propios son reales.
Se supone que un valor propio es complejo, entonces le corresponderá un vector Pero como la matriz si
tal que
es de elementos reales
es su ecuación característica,
también lo será
, complejo conjugado de
por lo que le corresponderá un vector propio Premultiplicando
por
Premultiplicando Siendo
tal que
se tiene
por
se tiene
matriz simetrica (
)
(
Por tanto se puede escribir
(
) Que proporciona
Los valores propios son |
|
|
|
|
)
( )
A dos valores propios distintos (
) de una matriz simétrica
corresponden vectores propios ortogonales
A partir de Se obtienen premultiplicando por
y ( )
Transponiendo la primera
( )
(
Teniendo en cuenta la segunda Y al ser El producto escalar de los vectores
y
es nulo, luego los vectores son ortogonales.
)
Diagonalizar la matriz (
)
En primer lugar se halla la ecuación característica |
(
|
) (
)
Que proporciona las raíces: Los autovalores se obtienen a partir de ( (
{
Para
) )
Para
Para
{
{
El autovector es (
)
El auto vector es (
El vector normalizado es ( Por lo que la matriz
{
√
)
√
)
El vector normalizado (
√
El autovector es ( √
√
)
)
El vector normalizado (
√
√
√
será √
√
√
√
√
(√
√
√ )
√
√
√ √
√
√
(√
√ √ )
√
Finalmente se calcula
√ (√
√
(
√
√
√
√
√
(√
√
√ )
)
√ )
√
√
(
)
En las matrices simétricas, se verifica que si su polinomio característico se descompone en la forma siguiente: | Donde los
|
(
)
(
son los órdenes de multiplicidad de las raíces
Se verifica que el subespacio asociado al autovalor Por tanto, toda matriz simétrica es diagonalizable.
)
(
)
(autovalores) cumpliéndose
tiene dimensión
)
4.8 Resumen de los casos que se pueden presentar una diagonalización La matriz es simétrica, en este caso siempre es diagonalizable La matriz no es simétrica Si los autovalores son todos distintos:
La matriz es diagonalizable Se compara el valor que toma para cada (
Si existen autovalores con orden de multiplicidad mayor o igual que dos
con el orden de multiplicidad (
Si
) de
)
(
Si
:
es diagonalizable
)
no es diagonalizable
4.9 Traza de una matriz (
Sea
) una matriz
Su traza será la suma de los elementos de la diagonal principal ( )
(
)
( )
∑
Propiedades de la traza (
) (
( ) )
( )
( )
( (
( ) (
(
)
(
( ) )
(
)
) (
(
)
) (
(
)
(
)
Si
( )
( )
(
(
)
(
y
son semejantes
) )
|
|
) ∑
Si
)
La diagonal de la matriz no varía al transponerla.
autovalores
( )
)
( ( )
)
(
) )
(
( ) ( )
( )
CAPÍTULO 5: FORMAS CUADRÁTICAS 5.2 Formas lineales Una forma lineal sobre un cuerpo en las variables donde son elementos del cuerpo es un polinomio de la forma siguiente:
∑
Si se tienen formas lineales de variables
(
Se puede formar la matriz asociada a ellas
,
Si ( ) existe dependencia lineal entre las formas y se pueden encontrar escalares (elementos de ) tales que Si ( ) Si
son formas linealmente independientes, por lo que no existen dichos
escalares.
, caso en que existe dependencia, se puede afirmar que existen formas linealmente independientes
Se forma la matriz ( Determinar si son linealmente dependientes
+
Se obtiene su rango (ver que la 4ª columna se puede suprimir al ser diferencia entre la 1ª y la 3ª). |
|
|
|
( )
Al ser el rango 2 solamente existen dos formas linealmente independientes, la 1ª y la 2ª por lo que la tercera es dependiente con la siguiente relación
5.3 Formas bilineales Se denomina forma bilineal a una expresión lineal y homogénea en cada uno de los conjuntos de variables La expresión (
*
+
*
+
Es una forma bilineal donde
)
(
La expresión general de una forma bilineal es
(
)
(
)
) ∑
O bien en forma matricial siguiente donde la matriz es la matriz de la forma bilineal y ( ) es el rango de la forma bilineal
Escribir en la forma matricial la forma bilineal (
(
)
(
)(
(
)
∑
+( +
(
)(
+( +
)
Forma canónica es cuando solamente tiene términos en . ∑ La matriz de una forma bilineal canónica es una matriz diagonal
Forma canónica en forma bilineal (
)
Forma canónica en matriz (
)
(
)(
+( +
5.4 Formas Cuadráticas
Es un polinomio homogéneo de segundo grado: Para escribir la forma cuadrática en la forma matricial donde es la matriz de dicha forma se procede:
( )
∑∑
Los elementos (diagonal principal) son iguales a (coeficientes de los términos
)
Los elementos simétricos respecto la diagonal principal iguales entre sí e iguales a ⁄ .
y
son
( )
Los elementos de la diagonal principal son los coeficientes de
(las
elevadas al cuadrado):
Los elementos simétricos son iguales entre sí
Y estos elementos simétricos son iguales a (
)
(
)
La forma cuadrática es (
La forma cuadrática en forma canónica ( )
+
(
+
Escrita matricialmente es ( )
(
)(
+( +
5.4.1 Reducción de una forma cuadrática a su forma canónica. Método de lagrange El método consiste en reducir la forma cuadrática a una suma de cuadrados. ( )
1. Se toman en
los términos que contengan a (
Recordando el cuadrado de una suma: Haciendo
: )
:
Sustituyendo en ( ): Y operando queda
2. Con la nueva
se toman ahora los
: (
Reducimos la expresión ,(
Seguimos reduciendo
) )
-
Hacemos Sustituyendo en Y operando queda
3. Con la nueva
se toman ahora los
y se sustituyen por
quedando la forma cuadrática definitiva
5.4.2 Transformaciones de una forma cuadrática (
)
(
)
( (
Que es una forma cuadrática en
Sea la forma cuadrática ( ) efectuando la transformación
) (
De matriz
) )
Se realiza la transformación de Lagrange (ver 5.4.1):
Que la escribimos en forma matricial ( +
(
)
(
+( +
Transponiendo sería (
)(
+
Sustituyendo en la forma dada, escrita matricialmente (recordemos el punto 5.4) (
)(
+( +
Obtenemos (
(
)
(
)(
) [(
+(
+
+(
(
+(
)(
+] (
+
Reducida una forma cuadrática de orden a su forma canónica, designando por ( ) al número de elementos distintos de cero de su diagonal y por ( ) al número de elementos estrictamente positivos de dicha diagonal se cumple: Si una matriz se ha reducido a la forma canónica mediante dos transformaciones diferentes, tanto como son los mismos. En consecuencia, la diferencia signatura
(
), diferencia entre elementos positivos y negativos, se denomina
+
5.4.3 Discriminante de una forma cuadrática Si se efectua la transformación lineal .............................. ( ) tendremos que ........................................... por lo que el discriminante será ....................................... | | | | y que por propiedades conocidas ..................................... | | y como | | siempre es positivo, el signo del discriminante se mantendrá constante
Se llama discriminante de la forma cuadrática al determinante | |.
(
)(
)(
)
Mediante transformación
Se ha reducido a la forma canónica
(
)
( (
,
)
Por la invariancia del signo del discriminante |
||
|
||
(
)
Teniendo en cuenta la transformación efectuada anteriormente, si se supone que (
)(
(
)(
,(
,
,(
,
Y de aquí |
|
|
|
(
)
Y reiterando el proceso |
|
|
|
( |
Donde |
||
||
|
Se llama menor principal
|
||
) |
( )
| (
|
|
|
(
)
)
| son los menores principales de la matriz A.
de la matriz
al formado por las
primeras filas y las
primeras columnas
Los menores principales son | |
En la matriz (
+
|
|
| |
| | |
|
|
|
Y sus signos |
|
|
|
|
|
5.4.4 Formas cuadráticas definidas, semidefinidas y no definidas Si escrita en forma canónica todos los coeficientes estrictamente positivos
Forma cuadrática definida positiva
son
( ) La forma cuadrática tomará estrictamente un valor positivo para cualquier sistema de valores que se den a las variables (no todos cero)
Por tanto ( )
Si escrita en forma canónica todos los coeficientes estrictamente negativos
Forma cuadrática definida negativa
( ) La forma cuadrática tomará estrictamente un valor negativo para cualquier sistema de valores que se den a las variables (no todos cero)
Por tanto
(
Diagonalizar y clasificar la forma cuadrática
)
Diagonalizando por el método Lagrange (
) (
)
[.
/
( [.
]
) /
]
Por tanto la forma cuadrática, en su forma canónica es
Al ser todos los coeficientes positivos la forma es definida positiva.
son
Forma cuadrática semidefinida positiva (negativa)
Si escrita en forma canónica los coeficientes son positivos (negativos) pero algunos son cero ( )
La forma cuadrática tomará un valor positivo (negativo) o nulo para cualquier sistema de valores que se den a las variables (no todos cero)
Por tanto Semidefinida positiva
y
Semidefinida negativa
y
Diagonalizar y clasificar la forma cuadrática
(
)
Diagonalizando (
Como los coeficientes son Escrita en forma matricial
Forma cuadrática no definida
)
En esta forma (
)(
+(
+
Si escrita en forma canónica entre los coeficientes existen positivos y negativos ( ) Diagonalizando obtenemos
Sea la forma cuadrática Al existir términos positivos y negativos, la forma es no definida.
Cuando solo interesa clasificar la forma cuadrática se utilizará el método del discriminante según el punto 5.3.3 Para una forma definida positiva se verifica
( )
( |
Por tanto se tendrá (
Clasificar la forma cuadrática
)
|
|
( |
) |
|
)
Se escribe la matriz de la forma
(
)
Se calculan los menores principales |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Como todos los menores principales son estrictamente positivos, la forma cuadrática es definida positiva.
Para una forma definida negativa se verifica
( )
( |
Por tanto se tendrá
|
(
|
|
)
(
)
|
|(
) ( )
Clasificar la forma cuadrática en forma matricial
)
(
+
Se calculan los menores principales |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Como todos los menores son no nulos y además alternadamente positivos y negativos, la forma cuadrática es definida negativa.
( ) Para una forma semidefinida positiva se verifica
(
)
(
)
Por tanto se tendrá
(
Clasificar la forma cuadrática
|
|
|
|
|
|
)
La matriz correspondiente es (
)
(
)(
+( +
Formando los menores principales |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Como algunos de los menores principales es 0 y otros son positivos, se trata de forma semidefinida positiva. ( ) Para una forma semidefinida negativa se verifica
(
)
(
)
Por tanto se tendrá |
|
|
|
|
(
)
|(
)
Clasificar la forma cuadrática en forma matricial (
)
(
|
|
)(
+( +
Formando los menores principales |
|
|
|
|
|
|
|
Al seguir la secuencia de positivos y negativos, y hay algunos nulos, se trata de forma semidefinida negativa.
La secuencia de signos no es la misma ó no es alternada, incluyendo o no valores nulos.
Forma no definida donde se verifica que (
Clasificar la forma cuadrática
) (
Obtenemos
Los menores principales son Como la secuencia de signos es
|
|
+
|
|
|
la forma es no definida.
|
|
|
|
|
5.5 Las cónicas 0 es el centro es un punto genérico de la circunferencia la longitud del radio
Se tiene por definición ̅̅̅̅ Se tiene
( (
) las coordenadas del centro ) las coordenadas del punto genérico
̅̅̅̅
)
√(
(
)
Elevando al cuadrado (
)
(
)
Operando la expresión anterior obtenemos Comparando con la expresión general de un polinomio de segundo grado con dos variables se aprecia que
Los coeficientes de
e
son iguales
No tiene termino en
La ecuación siguiente Representa una circunferencia:
Ya que no tiene término en Los coeficientes de e son iguales.
Como los coeficientes de e son iguales se podrá dividir entre ellos.
Que indica que siempre que e sean la unidad:
√ - La abscisa del centro es la mitad del coeficiente de cambiado de signo. - La ordenada del centro es la mitad del coeficiente de cambiado de signo. - Hallados y , la tercera permite hallar el radio.
En la ecuación
(
(
Abscisa
Las coordenadas del centro son )
)
Ordenada √
La longitud del radio es
(
√
)
En la ecuación Como los coeficientes de y de la unidad, se divide por ellos Las coordenadas del centro son ( ⁄ La longitud del radio es
⁄ )
no son
Abscisa
(
)
Ordenada
(
)
√
√( ⁄ )
( ⁄ )
(
⁄
)
5.2.2 Coordenadas homogéneas Si en el plano cartesiano, a cada punto ( ) se le hace corresponder ( de forma que
)
Por tanto, se han introducido en el plano las coordenadas homogéneas
Sea la circunferencia de ecuación ( *
Escrita en coordenadas homogéneas
( *
Operando resulta Si
La ecuación en homogéneas resulta igual a la original A cada par
le corresponderá un punto que se aleja indefinidamente
Si ( X,Y)
Si
Se encuentran los puntos en el infinito de la curva representada por dicha ecuación. Los puntos de la curva se alejan indefinidamente.
Sea la curva de ecuación ( *
Escrita en coordenadas homogéneas
Y haciendo
( *
Proporciona las direcciones en que los puntos de la curva se alejan indefinidamente.
y 8
6
Gráficamente seria: Siendo las curvas cuando Siendo las líneas cuando
4
2
x
0 -14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2
-4
-6
-8
Sea la circunferencia de ecuación Escrita en coordenadas homogéneas Y haciendo
Que indica que la circunferencia no tiene puntos del infinito reales. y 4
Gráficamente sería con se dibuja una circunferencia no se dibuja ninguna gráfica
3
2
1
x
0 -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 -1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
7
5.5.3 Cónicas
Es toda curva cuya ecuación adopta la forma general
Recordar: (
) son la mitad de los coeficientes de (
Escrita en forma homogénea
Que es una forma cuadrática que expresada matricialmente
(
)(
+( )
(
)(
+( +
Como se puede apreciar la circunferencia es una cónica que y . Clasificación de las cónicas por puntos en el infinito Género hipérbola
Cónica con dos puntos en el infinito
Género parábola
Un punto en el infinito
Género elipse
Ningún punto en el infinito
Si ( *
Dividendo por Haciendo
se obtendrán las direcciones infinitas
Ecuación de segundo grado que si es positiva, nula o negativa proporcionará dos, una o ninguna raíz real para |
Empleando el determinante de la ecuación
|
{
Clasificar Como |
y 1
|
0,5
x
0 -1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
La cónica es del género elipse.
1,5
-0,5
-1
Clasificar Como |
y 4
3
2
1
x
0 -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 -1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
7
La cónica es del género parábola
|
)
5.5.4 Invariantes de una cónica Dada una cónica escrita en forma matricial donde cónica
(
)y
es la matriz de la
(
Se verifica que en cualquier cambio de sistema de referencia (traslación o rotación) los escalares siguientes no sufren variación.
| |
+
|
|
Son invariantes y se conocen por invariante proyectivo, afín y métrico Un cambio de coordenadas ( ) a las coordenadas ( ) mediante una traslación del origen ( al nuevo origen ( ) y una rotación de ejes de ángulo se obtiene mediante
)
Entonces la ecuación de la cónica
(
)
(
)(
+
se transformará en
(
)(
+ (
)( +
Designando (
+ (
)
Y como |
|
|
|
Resulta | |
| |
Por tanto, el determinante de la nueva matriz es igual al de la original, así que dicho determinante es invariante en cualquier cambio de coordenadas
5.5.5 Cónicas en forma canónica Elipse Una ecuación de la forma Representa una elipse si
| |
|
|
|
|
Luego es una cónica no degenerada Si
es negativo se trata de una elipse real.
Si
es positivo se trata de una elipse imaginaria.
Donde no existe ningún par de números reales ( ) que verifique dicha ecuación, luego es una elipse imaginaria
Si , la ecuación se descompone en el producto de dos rectas imaginarias que se cortan en un punto real
(√
) (√
√ | |
Se trata de una cónica degenerada donde
)
√
|
|
En una elpise real
Dividiendo por el término independiente
En general
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de distancias de un punto genérico a dos puntos fijos llamados focos ( ) sea constante (igual a ) Se observa que
y
R
2
1
0,5
F1
N -3,5
F2
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
-1
-1,5
-2
Donde
, semieje mayor , semieje menor , semidistancia focal
M
0 -3
-0,5
Cumpliendose que
P
1,5
S
0,5
1
1,5
2
2,5
3
x 3,5
Hipérbola Una ecuación de la forma Representa una hipérbola si
| |
no son nulos tienen signos distintos Si
|
|
|
|
Es cónica no degenerada.
resulta una cónica degenerada, que es el producto de dos rectas reales que no se cortan.
, o bien (
La siguiente curva de ecuación
)(
)
se descompone en las rectas reales Observar que para esta cónica y
| |
4
3
|
|
2
1
x
0 -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1
Por lo que es cónica degenerada (dos rectas que se cortan)
-2
-3
-4
Si tendremos una cónica que degenera en dos rectas paralelas (reales o imaginarias.
En una hipérbola no degenerada Dividendo por el término independiente se obtiene y 15
10
5
x
0 -30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
-5
-10
-15
Y en general
1
0,5
F2 -3,5
-3
N -2,5
-2
-1,5
-1
0
-0,5
-1,5
-2
F1
M
0 -0,5
-1
Las rectas y son las asíntotas de la hipérbola y tienen por ecuación
r1
2
1,5
Se observa que Cumpliéndose que
y
r2
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que su diferencia de distancias a dos fijos llamados focos ( ) es constante.
0,5
1
1,5
2
2,5
3
x 3,5
Parábola Una ecuación de la forma | |
Representa una parábola si
|
|
no son nulos Es cónica no degenerada Si
la parábola degenera en una recta doble
La ecuación de la forma indicada puede escribirse O la forma reducida La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto fijo (el foco ) y de una recta llamada (línea puntos)
y 4
3
2
1
V0
D -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
F 0
1
2
3
x 4
5
6
7
-1
El vértice de la parábola es el punto que coincide con el origen.
-2
-3
-4
5.5.6 Clasificación de las cónicas en forma canónica
igual signo que y mismo signo
Género elipse
distinto signo que
Elipse imaginaria
y
y
Elipse real Elipse degenerada Hipérbola
y distinto signo
Género hipérbola
y no nulas
Parábola Una recta doble
Hipérbola degenerada
5.5.7 Reducción de la ecuación de una cónica a su forma canónica - Se clasifica la cónica distinguiendo si es o no degenerada. - Se iguala los respectivos invariantes de las dos ecuaciones. - Se obtienen los coeficientes buscados. Clasificar y escribir la ecuación canónica de la ecuación cónica Se forman los invariantes | |
|
|
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|
Se trata de una cónica no degenerada por ser | | del género parábola ya que luego su ecuación canónica será Cuyos invariantes serán |
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|
|
e igualando invariante proyectivo ...................... invariante métrico .......................... de donde ........................................
;
luego la ecuación buscada es .......... de donde ........................................ y el valor de
es .............................
Clasificar y escribir la ecuación canónica de la ecuación cónica Formando los invariantes | |
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|
Es una curva del género elipse ya que Elipse degenerada debido a que Luego su ecuación canónica será
|
|
| |
Cuyos invariantes son | Igualando a la ecuación dada donde
y
(o viceversa)
Luego la ecuación buscada es
|
|
|
