UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL “PROYECTO ACADÉMICO ACADÉMICO DE FIN DE SEMESTRE”
Título:
Sistemas de ecuaciones lineales
Carrera:
Industrial en procesos de Automatización
Área Académica: Académica:
Análisis Matemático Matemático
Línea de Investigación:
ro!ecto Integrador de Sa"eres
Ciclo Académico ! aralelo:
Segundo #
%$ Alumnos participantes: participantes:
$elezaca &uamán &uamán 'ar(in Ale)ander Ale)ander *errera &ua!a+uil ,icente 'avid Méndez 'íaz Ángel -icardo Minc.ala /ara /e0erson 1duardo ilco 2u3ez C.ristian Ale)ander Torres Tipán 1dison 4avier ,illagómez &arcía 'ennis 'aniel
Módulo ! 'ocente:
Alge"ra Lineal Ing5 1din &arcés
1. 2.
PP YY
INDICE DE CONTENIDOS 1.1 TÍTULO…………………………………………………………………….. 3 1.2 OBJETIVOS 1.2.1 Objetivo Gene!"……………………………………….. 3 1.2.2 Objetivo# E#$e%&'i%o#…………………………………. 3 1.3 (ES)*EN…………………………………………………………………. 1.+ P,L,B(,S CL,VE……………………………………………………… 1.- INT(ODUCCIN…………………………………………………………. 1./ *,TE(I,LES Y *ETODOLOGÍ,……………………………………... 1.0 (ESULT,DOS Y DICUSIN…………………………………………… 1. CONCLUSIONES……………………………………………………….. 1. (EE(ENCI,S BIBLIOG(,IC,S………………………………….. 1.14 ,NE5OS…………………………………………………………..
I.1 T&t6"o
,PLIC,CION DE SISTE*, DE ECU,CIONES EN (ESOLUCION DE P(OBLE*,S (EE(ENTE , L, INGENIE(I, INDUST(I,L.
I.2 Objetivo#
I.2.1
Gene!"
Conocer la importancia de los sistemas de ecuaciones lineales aplicada en la ingeniería industrial5 I.2.2 •
•
•
E#$e%&'i%o#
1studiar las técnicas de resolución ! el análisis de los sistemas de ecuaciones aplicadas a la Ingeniería como .erramientas 0undamentales5 Comprender6 analizar ! plantear los conceptos de las ecuaciones6 para poder resolver los pro"lemas +ue se presentan en ingeniería5 Compro"ar el resultado de cada pro"lema con di0erentes métodos de resolución5
I.3 (e#67en 1n el presente pro!ecto se detalla la resolución paso a paso de sistemas de ecuaciones lineales en los cuales se aplica diversos metodos de resolucion para los sistemas de ecuaciones planteados tales como Crammer 6 &auss6 &auus7 /ordan6 los e8ercicios planteados son: 9 ;na compa3ía minera e)trae mineral de dos minas6 el cual contiene
para la mina 1l 9< de ní+uel ! =< de co"re6 para la mina II el =< de ní+uel ! >< de co"re5 ?@ué cantidad de mineral se de"erá e)traer de cada mina para o"tener toneladas de ní+uel ! B toneladas de co"re = 1n una 0á"rica de ropa se producen tres estilos de camisas +ue
llamaremos 96 =6D cada prenda pasa por el proceso de cortado6 cosido6 planc.ado6 ! empa+uetado5 Las camisas se ela"oran por lote5 ara producir un lote del tipo 9 se necesitan DE min5 ara cortarlas6 E min56 para coserlas ! >Emin5 ara planc.arlas ! empa+uetarlas5 ara el tipo =6 >E min para cortar6 >E min para coser ! >E min5 ara planc.ar ! empa+uetar5 ara el tipo D6 F> min para cortar6 E min para coser ! 9> min para planc.ar ! empa+uetar5 ?Cuántos lotes se pueden producir si
se tra"a8an G .oras en cortar6 G en coser ! G .oras en planc.ar ! empa+uetar D Tres compuesto se com"inan para 0ormar tres tipos de 0ertilizantes5 ;na
unidad del 0ertilizante del tipo I re+uerido 9E Hg del compuesto A6 DE Hg del compuesto $6 ! FE Hg del compuesto C5 una unidad del tipo II re+uiere =E Hg del A6 DE Hg del $6 ! >E Hg del C5 ;na unidad del tipo III re+uiere >E Hg del C5 Si .a! disponi"les 9FEE Hg del A6 9=EE Hg del $ ! D=EE del C5 ?Cuántas unidades de los tres tipos de 0ertilizantes se pueden producir si se usa todo material +uímico disponi"le
I.+ P!"!b!# %"!ve8 E%6!%i9n 6n%i9n I.- Into:6%%i9n Los primeros intentos para resolver pro"lemas 0ísicos mediante el cálculo di0erencial a 0inales del siglo 4,II llevaron gradualmente a crear una nueva rama de las matemáticas6 a sa"er6 las ecuaciones di0erenciales5 A lo largo del tiempo se .a demostrado +ue la dinámica de muc.os sistemas sean mecánicos6 electrónicos6 térmicos6 económicos6 "iológicos6 etc56 se descri"en en estos términos5 ;na vez o"tenido el modelo matemático de un sistema6 se utilizan diversos recursos analíticos para estudiarlos ! sintetizarlos5 1n el centro del álge"ra lineal6 ! en gran parte de la matemática aplicada6 se .alla el
pro"lema
de
la
solución
de
sistemas
de
ecuaciones
lineales5
1studiaremos las técnicas de resolución ! el análisis de los sistemas de ecuaciones lineales como .erramientas 0undamentales para comprender los conceptos del álge"ra lineal ! plantear muc.os de los pro"lemas +ue se presentan en ingeniería ! otras ciencias5 or e8emplo: el análisis de circuitos eléctricos6 las estructuras de redes ! sus posi"les 0lu8os en el área de transporte6 de comunicaciones6 económicas6 las cargas +ue pueden soportar distintas estructuras6 el "alanceo de reacciones +uímicas6 etc5 1n matemática para resolver un pro"lema es importante la solución de un pro"lema de ecuaciones5 1l siguiente tra"a8o trata de la aplicación ! utilidad de las ecuaciones para la resolución de pro"lemas con modelos matemáticos relacionados a la ingeniería6 especí0icamente a la ingeniería industrial6 en la cual veremos la aplicación de las mismas para el análisis ! dise3o del comportamiento de sistemas dinámicos5
I./ *!tei!"e# ; *eto:o"o<&! E%6!%i9n "ine!" %on n in%9
)i son las incógnitas6 i J 96=65556n5
•
ai8 son los coe0icientes6 i J 96=65556m 8 J 96=65556n5
•
"i son los términos independientes6 i J 96=65556m5
•
m6 n
•
•
•
•
N
m O n6 ón 6 m J n6 ón 6 m P n5
Q"sérvese +ue el nKmero de ecuaciones no tiene por +ué ser igual al nKmero de incógnitas5 ai8 ! " i
5
Cuando n toma un valor "a8o6 es usual designar a las incógnitas con las letras )6 !6 z6 t6 555 Cuando "i J E para todo i6 el sistema se llama .omogéneo5 Solución de un sistema: 1s cada con8unto de valores +ue satis0ace a todas las ecuaciones5 C"!#i'i%!%i9n :e #i#te7!# Atendiendo al nKmero de sus soluciones:
•
In%o7$!tib"e: no tiene solución5
•
Co7$!tib"e: tiene solución5
•
Co7$!tib"e :ete7in!:o: solución Knica5
•
Co7$!tib"e in:ete7in!:o: in0initas soluciones5 Si#te7!# e#%!"on!:o#8 Son a+uellos en +ue cada ecuación tiene una incógnita menos +ue la anterior5 Si#te7!# e=6iv!"ente# Son a+uellos +ue tienen la misma solución6 aun+ue tengan distinto nKmero de ecuaciones5 Q"tenemos sistemas e+uivalentes por: 1liminación de ecuaciones dependientes5 Si:
•
Todos los coe0icientes son ceros5
•
'os 0ilas son iguales5
•
;na 0ila es proporcional a otra5
•
;na 0ila es com"inación lineal de otras5 T!n#'o7!%ione#8 Se pueden realizar las siguientes trans0ormaciones:
•
Cam"iar el orden de las ecuaciones del sistema5
•
Cam"iar el orden de las incógnitas en la ecuación 5
•
Multiplicar los dos miem"ros de una ecuación por un nKmero distinto de cero5
•
Sustituir una ecuación del sistema por una com"inación lineal de ella ! de las restantes siempre +ue el coe0iciente de la ecuación sustituida sea distinto de cero5 (e<"! :e C!7e Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones segKn la regla de Cramer son los siguientes: 1. *allar la matriz ampliada A b) asociada al sistema de ecuaciones6 esto es: +ue la primera columna esté 0ormada por las entradas de los coe0icientes de la primera incógnita de las ecuacionesN +ue la segunda columna la 0ormen las de la segunda incógnita6 ! así .asta llegar a la Kltima columna6 +ue estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones5 2. Calcular el determinante de A5 35 Aplicar la regla de Cramer6 +ue consiste en: a) ir
sustitu!endo la primera columna del det A por los términos independientesN b) dividir el resultado de este determinante entre el det A para .allar el valor
de la primera incógnitaN
c) continuar sustitu!endo los términos independientes en las distintas columnas
para .allar el resto de las incógnitas5 Ejemplo:
Sea el sistema de ecuaciones lineales 0ormado por dos ecuaciones con dos incógnitas:
1ncontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer5 1mpezaremos con el primer paso6 +ue consiste en .allar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:
1l segundo paso es calcular el determinante de A5 Así pues:
R el tercero ! Kltimo paso consiste en calcular las incógnitas:
*>to:o :e G!6## 1l método de &auss consiste en trans0ormar un sistema de ecuaciones en otro e+uivalente de 0orma +ue éste sea escalonado5 ara 0acilitar el cálculo vamos a trans0ormar el sistema en una matriz6 en la +ue pondremos los coe0icientes de las varia"les ! los términos independientes separados por una recta5
Teoe7! :e (o6%?>@Abeni6#
Consideremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas6 cu!a e)presión general es la siguiente:
Sean A la matriz del sistema ! A la matriz ampliada del sistema con los términos independientes5
•
•
•
Si rango A J rango A J n nKmero de incógnitas6 el sistema es %o7$!tib"e :ete7in!:o tiene una Knica solución5 Si rango A J rango A P n nKmero de incógnitas6 el sistema es %o7$!tib"e in:ete7in!:o tiene in0initas soluciones5 Si rango A rango A6 el sistema es in%o7$!tib"e no tiene solución5
;n caso particular es el de los sistemas .omogéneos6 es decir6 a+uellos en los +ue todos los términos independientes son nulos5 ues6 en este caso6 las matrices A ! A son seme8antes a e0ectos del cálculo del rango6 dado +ue la matriz A es la matriz A a la +ue se le a3ade una columna de ceros6 +ue podemos suprimir para calcular el rango5 or lo tanto6 siempre se cumple +ue el rango A J rango A5 1sto +uiere decir +ue todos los sistemas .omogéneos son siempre compati"les5 Se cumple: Si rango A J n nKmero de incógnitas6 el sistema es compati"le determinado5 Tiene una Knica solución6 +ue se conoce con el nom"re de solución trivial5 1s a+uella en la +ue todas las incógnitas son nulas E 5 Si rango A P n nKmero de incógnitas6 el sistema es compati"le indeterminado tiene in0initas soluciones5 ;na vez realizada la Udiscusión o identi0icación del sistemaU6 aplicaremos alguno de los métodos +ue desarrollaremos en los epígra0es posteriores5 2o o"stante6 es preciso tener en cuenta las siguientes o"servaciones: •
•
Si el sistema es compati"le determinado6 el valor comKn de los rangos indica el nKmero de ecuaciones principales6 es decir6 a+uellas +ue no dependen de las restantes5 Si el sistema es compati"le indeterminado6 rango A J rango A J H P n el valor comKn de los rangos H indica tanto el nKmero de ecuaciones independientes o principales6 como el nKmero de incógnitas principales5
Las restantes incógnitas no principales n 7 H las pasaremos al segundo miem"ro 0ormando un Knico término 8unto al término independiente5 Siguiendo este procedimiento o"tendremos un sistema de H ecuaciones lineales con H incógnitas principales6 al +ue aplicaremos uno de los procedimientos +ue estudiaremos en los siguientes apartados: -egla de Cramer6 Método de &auss o6 por la matriz inversaV9W5
Di#%6#i9n :e #i#te7!# 'iscutir un sistema es determinar si tiene solución !6 caso de tenerla6 sa"er si ésta es Knica5 1s decir6 determinar si es compati"le o incompati"le6 ! en caso de ser compati"le6 si es determinado o indeterminado5 (e#o"6%i9n :e $ob"e7!# asos a seguir: • • • • •
Leer ! comprender el enunciado5 Anotar los datos utilizando: es+uemas6 di"u8os6 diagramas de ár"ol555 1legir una notación +ue nos permita relacionar las distintas varia"les5 lantear ! resolver el sistema5 Compro"ar la solución5
,$"i%!%i9n :e "!# e%6!%ione# "ine!"e# en "!# :i'eente# :i#%i$"in!# ; en "! in< de co"re5 ?@ué cantidad de mineral se de"erá e)traer de cada mina para o"tener toneladas de ní+uel ! B toneladas de co"re Solución: ?Cuál es el pro"lema ?@ué se "usca @ueremos sa"er el nKmero de toneladas de mineral +ue .a! +ue e)traer de cada mina6 asignemos literales a esos nKmeros5 Sean ) el nKmero de toneladas +ue se e)trae de la mina I5R el nKmero de toneladas +ue se e)trae de la mina II5 1sta"lezcamos a.ora relaciones alge"raicas entre las literales5?Cuánto se o"tiene de ní+uel de la mina I E5E9)5 ?R de la mina II E5E= ! luego5 E5E9)E5E=!J Análogamente para el co"re tenemos: E5E=)E5E>!JB Así6 para sa"er cuántas toneladas .a! +ue e)traer de cada mina de"emos resolver el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: E5E9)E5E=!J E5E=)E5E>!JB Eje%i%io 28 1n una 0á"rica de ropa se producen tres estilos de camisas +ue llamaremos 96 =6D cada prenda pasa por el proceso de cortado6 cosido6 planc.ado6 ! empa+uetado5
Las camisas se ela"oran por lote5 ara producir un lote del tipo 9 se necesitan DE min5 ara cortarlas6 E min56 para coserlas ! >Emin5 ara planc.arlas ! empa+uetarlas5 ara el tipo =6 >E min para cortar6 >E min para coser ! >E min5 ara planc.ar ! empa+uetar5 ara el tipo D6 F> min para cortar6 E min para coser ! 9> min para planc.ar ! empa+uetar5 ?Cuántos lotes se pueden producir si se tra"a8an G .oras en cortar6 G en coser ! G .oras en planc.ar ! empa+uetar Solución: @ueremos sa"er cuántos lotes de cada tipo de camisa se pueden producir6 asignemos literales5 Sea 4 el nKmero de lotes de camisas del tipo 9 +ue se puede producir5 Sea ! el nKmero de lotes de camisas del tipo = +ue se puede producir5 Sea X el nKmero de lotes de camisas del tipo D +ue se puede producir5 1sta"lezcamos relaciones alge"raicas entre las varia"les5 1l nKmero de minutos +ue se emplean en cortar una camisa del tipo 9 es DE46 del tipo = es >E !6 ! del tipo D es de F>z5 1l nKmero total de min5 @ue se emplea en cortar todas las camisetas es: DF)>E!F>z R tiene +ue ser igual a GEmin5 @ue son las oc.os .oras +ue se tra"a8an en cortar DF)>E!F>zJGE Análogamente en coser se tiene E)>E!EzJGE 1n planc.ar ! empa+uetar tenemos: >E>E9>zJGE Luego si +ueremos resolver el pro"lema .a! +ue solucionar el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: DE)>E!F>zJGE E)>E!EzJGE >E)>E!9>zJGE
Eje%i%io 38 Tres compuesto se com"inan para 0ormar tres tipos de 0ertilizantes5 ;na unidad del 0ertilizante del tipo I re+uerido 9E Hg del compuesto A6 DE Hg del compuesto $6 ! FE Hg del compuesto C5 una unidad del tipo II re+uiere =E Hg del A6 DE Hg del $6 ! >E Hg del C5 ;na unidad del tipo III re+uiere >E Hg del C5 Si .a! disponi"les 9FEE Hg del A6 9=EE Hg del $ ! D=EE del C5 ?Cuántas unidades de los tres tipos de 0ertilizantes se pueden producir si se usa todo material +uímico disponi"le Solución: @ueremos sa"er cuántas unidades de cada tipo de 0ertilizante se pueden producir6 asignemos literales5 Sea ) el nKmero de unidades del 0ertilizante del tipo I5 Sea ! el nKmero de unidades del 0ertilizante del tipo II5 Sea z el nKmero de unidades del 0ertilizante del III5 1sta"lezcamos relaciones alge"raicas entre las varia"les5 La cantidad de Hilogramos del compuesto A +ue contiene el 0ertilizante del tipo I es 9E)6 del tipo II es =E!6 ! del tipo III es >Ez5 1l nKmero total de Hilogramos del compuesto A es: 9E)=E!>Ez R tiene +ue ser igual a 9FEE Hg +ue son los Hilogramos disponi"les del compuesto A5 9E)=E!>EzJ9FEE Análogamente para el compuesto $ se tiene DE)DE!J9=EE ara el compuesto C se tiene FE)>E!>EzJD=EE Así6 para sa"er cuántas unidades de cada tipo de 0ertilizante se puede producir6 .a! +ue resolver el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas5 9E)=E!>EzJ9FEE DE)DE!J9=EE FE)>E!>EzJD=EE
I.0 Con%"6#ione# •
•
•
La aplicación de las ecuaciones es mu! utilizada en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de 0enómenos 0ísicos5 Su uso es comKn tanto en ciencias aplicadas6 como en ciencias 0undamentales5 La resolución de sistemas de ecuaciones lineales apareció como una parte importante en cual+uier campo de la ciencia ! de la ingeniería6 como por e8emplo6 la resolución de "alances de materia en un sistema5 Los ingenieros industriales se en0ocan en los sistemas de producción5 La ingeniería industrial se centra en la U manera U en +ue esos productos ! servicios se .acen6 usando los mismos acercamientos +ue otros ingenieros aplican en el desarrollo del producto o del servicio6 ! para el mismo propósito5 1n general6 la ingeniería es la aplicación de la ciencia ! de las matemáticas al desarrollo de los productos ! de los servicios Ktiles a la .umanidad5
I. (e'een%i!# bib"io<'i%!# V9W A5 ena6 Y'escartes Dd6Z =EEF5 V1n líneaW5 Availa"le: .ttp:[[recursostic5educacion5es[descartes[(e"[materiales\didacticos[sistemas\de \ecuaciones\lineales\="cnt[discusion\por\el\teorema\de\rouc.e5.tm5 V]ltimo acceso: D Agosto =E9>W5
I. ,neo#
CODIIC,CIN P(OG(,*,
