Resumen Algebra Binmat

ALGEBRA POTENCIACIÓN

I.

              ∈ ℝ ) = MM EM ∶∶∶  AO          ∈ ℤ AOP        A ∈ ℝ

DEFINICIONES 1)

2)

3)

II.

∀∈∈ ℛ C =  ∀∈∈ ℛ∧  ∈ ℤ         =  ) = E .∙)F∙#GH489  ∙ … ∙∙   ≥ 2 ∀∈∈ ℛ − )0 ∧ ∈ ℤ  = ) ∀∈∈ ℛ3∧∧ ∙,)=∈ℤ3) ∀∈∈ ℛ −30 ∧ ,3) ∈ ℤ ) =  ∀∈∈ ℛ ∧(3*,)=∈ ℤ3∙)  ∧  (∈ℛ∙ , *)∈=ℤ) ∙ ) ∧∧  ∈ ℛℛ,))  ≠ 0,0, ∈ ℤ KKL = )

TEOREMAS

1) PRODUCTO DE BASES IGUALES

2) COCIENTE DE BASES IGUALES

3) POTENCIA DE UNA POTENCIA

4) POTENCIA DE UN PRODUCTO

5) POTENCIA DE UN COCIENTE

OBSERV.

Los teoremas hasta aquí mostrados se extienden para cualquier exponente real.

III. PROPIEDAD

3 $ = 3\ = " = P

Prof. Widman Gutiérrez R.

RADICACIÓN

!  ∶ íOOBV  P  ∈ ℤ  √  = QQ  ∶ AO Q ∶∶ BVBWPVO V   O Q∈∈ℝℝ ∀,, ∈∈√ ℛ=∧ ⟺∈ ℤ = ) ∀∈∈ℛ ∧  ∈ℤ    =  √  = Y Z)   ≥ 2 :√ √ , √ ∈ ℝ √  ∙ √ = √ ∙  √  =   √   √ 3 = √ 3 = 3) % √  = %∙√  %  ! " $√ # = %∙∙$√ ()"* )"*+#+# %  ;    %    ;    !  !   . 3456 #7…89 √  = √        !  ! √ √ … = ;√              %  ÷ ! " ÷ $√ # = %∙∙$√ ()"* )"*+#+#    %

I. DEFINICIONES 1)

2)

II. TEOREMAS

1) RAIZ DE UN PRODUCTO

2) RAIZ DE UN COCIENTE

3) POTENCIA DE UNA RAIZ

4) RAIZ DE UNA RAIZ

III. PROPIEDADES 1)

2)

3)

4)

5)

% ?;?; % ?;%;

 .  ÷  ÷ ! ÷ …÷ √  = > √ √  ABAB  3456#789   

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ALGEBRA

6)

 ÷ ! ÷ √ ÷ … = √             ∀z ={00∧⟹∧  ≠= p ∀z , z ∈ ℝ −   = ⟹  =0

  

?;

Donde:

II.

ECUACIONES EXPONENCIAL

I.

TEOREMA

II.

PROPIEDAD

(^A`QQab` Qab`cdae* cdae*∙∙ (fg* = ^AB ^AB Qab` Qab`cdae cdae √   ∈ ℤ, a ∧ h ∈ ℚ % a  ± √ h   ∧  ∈ ℤ,a ∧ h ∈ ℚ

 a a−  a √  a√ − √ √ hh

III.

 k±  k! ± √ l

TRANSFORMACIÓN DEL RADICAL DOBLE DE LA FORMA POR FÓRMULA

EN RADICALES SIMPLES

 a 2 b ±  a−  a −2 b  a ± √ h =  a

Donde:

b = √an − hn

 a a√ √ − √ √ hh v v v v

Donde:

;

 ∙ p = d∧d ∧    p = o

CASOS DE RACIONALIZACIÓN RACIONALIZACIÓN I.

Para denominador MONOMIO

q a√ 3rsfgfgt = a ,  ∈ ℤ   ;

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FR

 a avv√ √ nn − a avv√ √ ∙∙ vv√ √ hh  vv√ √ hhnn

 a a−  a  h  a − h

E.RACIONAL

I.

II.

III.

∀ℤ ∧  ≥2  w  a√ )Z− √ hx)n(uQ*uQ* = a − h  )Z fg =  a√    a√  √ h  ⋯  √ h ∀ℤ∧AB w  a√ )Z− √ hx)n(uQ*uQ* = a  h  )Z fg =  a√  −  a√  √ h  ⋯  √ h ∀ℤ∧AB  w  a√ )Z √ hx)n(uQ*uQ* = a − h  )Z fg =  a√    a√  √ h  ⋯  √ h EL POLINOMIO FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO EN LA VARIABLE X

REGLA PRÁCTICA

;

E.RACIONAL

CASOS ESPECIALES

(Número racional)

! o ± 2√ d = √ ± ! p   p

 a a−  a− − h  a − h

 a a  a− √  a√ − √ √ hh FR

Para denominador BINOMIO índice 3

E.IRRACIONAL

RADICAL SIMPLE: Número irracional de la forma

RADICAL DOBLE: Número irracional de la forma

Para denominador BINOMIO índice 2

E.IRRACIONAL

RACIONALIZACIÓN FACTOR RACIONALIZANTE (FR)

uQ =  a√ )3

M(* = C)  Z)Z  n)n  )Z  ) bO} bO}  P        ∶          …   C ZZ n ) sMC:tbC:O}•BVO •BVOPVMMB=PA ∈ ℕ ):bO}P`VAVV(~`* Donde:

;

(CP)

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ALGEBRA I. PROPIEDADES

∑~`bO} ( * V  M  = M(  * M(* = M(0* o•BVO(pp*Q=‰ŒpOŠ2= •Q(•Qp‹(*=‹p‰ ( * •BVO Q     Œ O O  V  p = •Q( •Q p =  •BVOaOOVo = •a(•a(o* =    = 00

6) POLINOMIOS IDÉNTICOS

M(  * ≡ (  * OV: M(* ≡    P ( *   ≡       PA :=    =   P = 

1) 2)

II. GRADO DE POLINOMIOS

III. POLINOMIOS ESPECIALES

1) POLINOMIO HOMOGENEO

M(pp* ≡  pn − np M(* ≡ Ž  ‰ −  M(* ≡ ‰  ZC − n

Es homogéneo de grado 3(grado de homogeneidad)

2) POLINOMIO ORDENADO

Ordenado en forma DECRECIENTE Ordenado en forma forma CRECIENTE

3) POLINOMIO COMPLETO

M(* ≡ n     d°VVéBéBO = •a •a   M(* ≡ 2n −  ℤ0 M ( * ≡ 0 M(=*0≡∧ = 0 ∧P=P0

Es completo de 2° grado, tiene 3 términos

PROPIEDAD

4) POLINOMIO PRIMITIVO EN X

Está definido en Además: MCD(2;-3;10)=1 MCD(2;-3;10)=1

5) POLINOMIO IDENTICAMENTE NULO No tiene rado definido

PROPIEDAD Se cumple:

OBS.

Polinomio constante de grado cero es cualquier número real distinto de cero Polinomio Mónico es literal de la forma P(x) definida en Z y de coeficiente principal uno.

Prof. Widman Gutiérrez R.

PRODUCTOS NOTABLES I. CUADRADO DE UN BINOMIO

n (( − **nn == nn 2 n −2 ∀  ∈  ℤ ( − *n3n3 = ( − *n3n3 ((  **nn − (( −− **nn == 2(n  n* (  *( − * = n − n (  P*P*n = n  n  Pn  22  2P2P 2 2PP ((−** ==−nn nn− (( − ** ==  −  ( ( *     −( −( − * n*  −  == (( − **((nn −    n * (    P* =     P  (  *(  P*(  P* n  (   *     ( * ( *       =  (  *(  *(  P* = ( ( PPPP*P**nPP 1) 2)

OBSERVACIÓN:

II. EQUIVALENCIA DE LEGENDRE 1) 2)

III. PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA

IV. CUADRADO DE UN TRINOMIO

V. CUBO DE UN BINOMIO

VI. EQUIVALENCIA DE CAUCHY

VII. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

VIII. TRINOMIO AL CUBO

IX. EQUIVALENCIA DE STEVEN

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ALGEBRA X. EQUIVALENCIA DE ARGAN’D

(n    n*(n −   n* = ‰  nn  ‰ ((nn nPn*(n*n(n pnp*n≡(Wn*≡p*p*n  (p−* p−*n n ((W−P* * W−P  p*n PW*(nW−Pp* W−Pp(p−* p− n*  (    P*P*(n  n  Pn − −P P−−P P* =  ,  ∧P ∧ P     P = 0 (nnPP* PPn =*n2=((**nP(P*PP**n  (P*P*n     P = P ‰  ‰  P‰ = 2 (n  n  Pn*n ‹  ‹  P‹ = P( P(  P  P* ,  ∧P n  nn  PPnn == P P P⇒ P ⟹ P==00∨ ∨= P ==P (* = V(* ∙ (* Q(* V(*(* (*Q(* ”–—˜( ™ * ≥ ”–—˜( — * (•BVO ( * •BVO( •BVO•BVO( * = (•BVO( •BVO  −•BVO(V* * Q < •BVO( V * •BVO(Q*3z3z = •BVO( •BVO(V* − 

XI. EQUIVALENCIA DE LAGRANGE

METODOS PARA EFECTUAR UNA DIVISIÓN ENTRE POLINOMIOS MÉTODO DE HORNER

Z‰  Znn  PZnnPVnZ  Z (V(** ≡≡ nZn‰  nZPnPZn  VZ  Z

XII. EQUIVALENCIA DE GAUSS

XIII.

EQUIVALENCIA CONDICIONAL

Si los números

números reales tenemos:

Zona 1

n Pn

ZONA

DESCRIPCIÓN

1

Coeficientes del polinomio DIVIDENDO (de izquierda a derecha)

2

Coeficientes del polinomio DIVISOR (de arriba hacia abajo), el 1er coeficiente con su signo y los siguientes con signo cambiado

3

Coeficientes del polinomio COCIENTE

4

Coeficiente del polinomio RESIDUO

Si:

Si:

Z Z PZ VZ Z

Zona 2

verifican:

IMPLICANCIAS NOTABLES

Siendo

n

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Donde:

: es el dividendo : es el divisor : es el cociente : es el residuo residuo o resto resto

I. PROPIEDADES REFERIDAS AL GRADO

REGLA GENERALIZADA DE RUFFINI

Z‰  Z PZn  VZ  Z (V(** ≡≡ Z‰ →Z  PZ=n0 VZ=− −Z

1 2 3

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ALGEBRA

ZONA

CASOS DE LOS COCIENTES NOTABLES

DESCRIPCIÓN

1

Coeficientes del polinomio DIVIDENDO (de izquierda a derecha)

2

Término independiente con su signo cambiado del DIVISOR.

3 4

Coeficientes del polinomio COCIENTE

I.

=

II.

Coeficiente del polinomio RESIDUO

=

TEOREMA DEL RESTO

M(*  →  Q   O = M( −    * ™— Q ™›—› Q’ = Q Q(* = 0 M(* = V(* ∙(* ((žž* ÷–*(ž∧(ž–*→Ÿ*g(ž* ≡ ¡ (ž* ÷ (ž  Ÿ* → g(ž* ≡ ¡ (eOž*B÷Pís(AžBOPO –*(ž Ÿé*t→PgA(ž* = ¡

Propuesto por René Descartes

RESTOS ESPECIALES

DIVISIONES ESPECIALES

División inicial:

: cociente : residuo

División final:

:cociente : residuo

DIVISIBILIDAD ENTRE POLINOMIOS Siendo

, tenemos:

TEOREMA

Siendo:

P.E.S.I.

Entonces: “

”

TEOREMA DEL FACTOR

(–* = ¡∴↔ ((žž*−≡–*(ž£¤−¥–¦*§∙ –¨©«(ž˜*—£(ž* COCIENTES NOTABLES

Divisiones exactas, de la forma:

žž±¬¦±¬¦ ¦ ∈ ℕ¦ ≥ ,

Prof. Widman Gutiérrez R.

∀¦¦ ∈¦ℕ¦ ≥ žž¬¬ ž¦®  ž¦-¬  ž¦¯¬- ⋯¬¦® ∀¦¦ ∈¦ℕ¦ = ²– žž¬¬ ž¦® − ž¦-¬  ž¦¯¬- −⋯¬¦® ∀¦¦ ∈¦ℕ¦ = ²– žž¬¬ ž¦® − ž¦-¬  ž¦¯¬- −⋯−¬¦®

III.

=

PROPIEDADES

Si la división origina un cociente notable, se verifica

¦ = ¦ = Ÿ²

žž±¬¦±¬¦

FÓRMULA DEL TÉRMINO DE LUGAR “k” ( COCIENTE NOTABLE

žž±¬¦±¬¦ ¦ ∈ ℕ¦ ≥ ³ › = (¤´¦˜*ž¦›¬›® ³¦› ž¬

³›

) EN UN

,

: término de lugar k : número de términos del C.N. : primer termino del divisor : segundo término del divisor

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS NÚMERO DE FACTORES PRIMOS Y NÚMERO DE FACTORES DE UN POLINOMIO Sea P  un polinomio totalmente factorizado:

 ≡ kµ⋕∙ lf¶ ∙ ·¸ ⋕ f–¨© (µ  ®*(¶  ®*(¸  ®*

N. de factores primos: N. de factores: =

= cantidad de bases

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ALGEBRA MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN I.

IV. VARIOS 1. DIVISORES BINÓMICOS

FACTOR COMÚN:

Cero de un polinomio

1. FACTOR COMUN MONOMIO menor exponente

®-žº¬¯ − ¯ž-¬» ≡ ¯ž-¬¯w¼ž¯ − ¬¯x 2. FACTOR COMÚN POLINOMIO

ž¼(ž-  ¬* − ¬¯(ž-  ¬* ≡ (ž-  ¬*(ž¼ − ¬¯* 3. AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

“PBOVM(* ↔ M(* = 0 MbQ = ± ¿6À6¿69H489À69H4895875Gé43687#H8F6)H6#)6858+8)56 )G8+46)8)G8#6+7588)z8Á)(zÁ*(z* Posibles ceros racionales (PCR)

TEOREMA DEL FACTOR Si



, entonces “ ” es un cero del

M(*

M(* = 0 ↔ ( − *}POBVM(*

Se usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 a más términos por lo general se encuentran luego de agrupar

II. PARA BINOMIOS

=

2. ASPA DOBLE Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

1. DIFERENCIA DE CUADRADOS

 a2  a2  hp p  bp2 p2    ^pp  u

–- − Ÿ-¦ ≡ (–  Ÿ¦*(– − Ÿ¦*

Ejemplo

2. DIFERENCIA DE CUBOS

–¯ − Ÿ¯¦ ≡ (– − Ÿ¦*(–-  –Ÿ¦  Ÿ-¦* –¯  Ÿ¯¦ ≡ (–  Ÿ¦*(–- − –Ÿ¦  Ÿ-¦*

∴ ( (  pp *(   2pp *

3. SUMA DE CUBOS

MÁXIMO COMÚN DIVISOR(MCD) Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

III. PARA TRINOMIOS 1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

–- ±-–ŸŸ- ≡ (– ± Ÿ*(žž¬¬* = –ž-  Ÿž¬¦  ¨-¦ ––®-žž ¨¨®-¬¬¦¦ –(ž®ž¬¬∙ ¨*-=ž(–¬¦ž–- ¨∙ ¨¬®ž¦*(¬–¦ ž=Ÿž¨¬¬¦¦* ® ® - -

2. ASPA SIMPLE

Prof. Widman Gutiérrez R.

MCD:

Producto de factores primos considerados con su menor exponente

comunes

MCM: Producto de factores primos comunes y no comunes considerados con su mayor exponente.

TEOREMA Siendo A y B polinomios, se cumple:

a ∙ h ≡ ob( ob(a,a,h*∙* ∙ obo( obo(a,a,h* Página 6