Algebra Lineal Basica (Uned)

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ERRATAS DETECTADAS LA PRIMERA EDICIÓN DEL LIBRO "ÁLGEBRA LINEAL BÁSICA". Ya están corregidas las erratas en este libro Debe decir ............................................. .

Pág

Renglón

Dice

9

8

AU

11

3

22

último

:l algún A¡

-.¡;

23

7

:l algún A,

-.¡;

26

18

Si U¡

Si U¡

38

12

¡.iii +flu

flU+flV

(f + g)(x) + f(x) + g(x)

(f + g)(x)

44 45

último

49

20

(A(flf))(x)

°

°

= A(flf)(x) + A¡((X)

:l algún A¡

-.¡;

:l algún A¡

-.¡;

° °

= f(x) + g(x)

(A(flf))(x) = A(¡()(X) = A¡((X)

Página 50, renglones 12 y último; página 51, renglones 3, 9,16,23 Y página.52, renglones 2 y 10, hay que cambiar el dato 40 por 10 56

= x3

x2

2

X3 ;X2

x2 56

<=>

18 Y 20

1

x2

=a

x2 x4

60 Süs'iituir

1

<=>

1

x3

1

=a

1 1 1

x4

1

e -parrato-completo a pa

XI x2

Ir na TIñea 14 poteT1>átTaf<5: Pero de entre los CInCO vectotes (jd sisfelJ1a de

generadores, hay cuatro independientes como puede comprobar el lector por cualquiera de los procedimientos que conoce. En R

4

el único subespacio de dimensión cuatro es R

Por tanto, A + B = R

4

,

4

cuyas ecuaciones paramétricas son: X¡

•

= a;x2 = p;x3 = 8;x4 = r .

63

14

Einstein

Eisenstein

67

8

M nxn

Mnxm

70

3

=

77

19

{f((U¡), ... , f((uq)}

77

20

A¡f((U¡) + ... + Aqf((uq) =

98

penúltimo

f(O,I)

103

18

108

4

122

penúltimo

f(O,l,O)

6,8 Y 19

11) (O 1 1°

O° 1) (110

19

G)

G)

123

123

Áf(u) + f.1f(V) + f.1f(v)

= (2, O)

y f(1, O)

= (1,1)

=

Áf(u) + f.1f(v)

{f(u¡), ... ,f(uq)}

°

= (O, O) ;

A¡f(U¡)+···+\f(uq) = f(l, O)

= (2, O)

f(O,l,O)

y f(O,I)

° = (O, O)

= (0,1)

L

;

123

16

~

¡(Xl +X2 -X3 = O)

~ ¡(Xl

157

8

F;

~F;

F;

~-F;

162

Penúltimo

F2

~F;

F2

~F;

180

5

X

180

6

180

8

Tras

181

211

3

X4

cambios,

-1 -1

10

1 1

los

°

O =-x3 -x 3

O -1

últimos

X

1

-1 1

cálculos

del

ejercIcIO

3.8

quedarían:

= - x 3 + X4 + x 3 = X4 = 81 ~ X = ±3 .

a=l/j'

4

206

°

l+x

X4 .x4

l+x = _x _x

=

+

los

3

+ X2 - X3 )

a*l/j'

[2 1 -1 : -IJ

[2 1 -1 : -IJ

O 1 -3 : -7 1 O -2 : O

O 1 -3 : -7

O

° -2 : °

8 Sustituir "Para toda matriz regular A" por "Para toda matriz regular A, que se pueda triangularizar por el

método de Gauss sin intercambio de filas"

214

Último

O,OOlxl + XI = 10

215

3y5

XI

240

5

primer grado

O,OOlxl +x2 =10

+ 0,001x2 = 10

+0,0001x2 =1010

XI

de grado menor o igual que 1

266

4,5 Y 12

278

11

{aRb

283

último

A=P-IAP

A = P-IAP

284

3

A=P-IAP

A = p-IAP

289

5

~pm

~p[~J

301

5 Y6

307

14

323

penúltimo

22

12 bRa

O

O

m

m Además f es una forma

326

19

f(~,e)

338

7

f (( XI' XI , xJ

339

1,2 Y3

aRb~bRa

~a=b

Además f no es una forma bilineal

=

En algunos elementos deA faltan comas A'

f(~,~)

=

f((xl' x 2 ' x3 ),

= [

f(e;,e;)

f(e;,e;)

f(e;,e;)

f(e;,e;)

f(e;,e;)

f(e;,e;)

~

,,'

346

Último

semi definida

indefinida

365

24

... dimensiones n x ( n + m)

.. dimensiones m x ( n + m)

365

25

... vector de n componentes.

... vector de m componentes.

367

10

n

368

11

¿al

¿a;

;=1

;=¡

m k

k

8

397

22

2x¡ - x 2 S;;

397

9

fila (1,1,0,1,0,0,0,0,0,1)

398

10

2x¡ - x 2 + x 4

2x¡ + x 2 S;;

=8

8

fila (1,1,0,-1,0,0,0,0,0,1)

2x¡ + x 2 + x 4

=8

j

~~G- ~"1,>t) ~~~

.D1~k' -cD -RJ)M 5 61 (,1 )

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Algebra (Lineal Básica) Ana M a Díaz Hernández Vicente Bargueño Fariñas Carlos Romera Carrión Luis Manuel Ruiz Virumbrale s Luis Tejero Escribano --~-'

BIBLIOTECA DE CA í~~PUS DEL ACTUR ~". - r, ·,' (" ' ;"'! "')~ ue f·J , ",'~.Jn:; ~ r.: . ¡;::" .

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SANZ y TORRES

ÁLGEBRA (LINEAL BÁSICA) No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los editores y autores.

© Ana Mª Díaz Hernández Vicente Bargueño Fariñas Carlos Romera Carrión Luis Manuel Ruiz Virumbrales Luis Tejero Escribano

© EDITORIAL SANZ y TORRES, S.L. Pinos Alta, 49 - 28029 Madrid Teléfs.: 902400415 - 91 3148782 www.sanzytorres.com [email protected] librerí[email protected] ISBN: 84-88667-91 -4 84-88667-93-0 (Obra completa) Depósito legal: M-37.703-2002 Compuesto por FER Fotocomposición, S.A. CI Bocángel, 45. 28028 Madrid Impreso por Edigrafos. CI Volta, 2. Polígono Industrial San Marcos 28906 Getafe (Madrid)

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- - - -

-

-

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LECTURA

IDlIBOLOS Para todo Existe No existe Pertenece N o pertenece X E

Al

El conjunto de los elementos x, tales que x pertenece al conjunto A Contenido No contenido Conjunto vacío

B

A unión B: Conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B

B

A intersección B: Conjunto de todos los elementos que pertenecen a la vez al conjunto A y al conjunto B

El elemento :x es un vector La norma del vector :x El conjunto de los números naturales El conjunto de los números enteros El conjunto de los números racionales El conjunto de los números reales La matriz identidad Suma directa

_"' .... "GO ...............................................................................'..........................

xv

Capítulo 1 ESPACIOS VECTORIALES ODUCCIÓN ................................................................. .......................... . EPE PEANO (1858-1932) ........................................................................ GRAMA ........................................... ................................................... El e pacio vectorial real ([R", +, [R) .. :.............................. ........ .... ............... .. Definición de vector u de [Rn ...................................................................... .. - Operaciones con vectores: suma ............................................................ . Definición de suma de vectores de [Rn...................... .. ................ ........ ........ .. Propiedades de la suma de los vectores de [Rn........ .. ............ ............ .......... . - Multiplicación de vectores por un escalar .............................................. . Definición de multiplicación de vectores de [Rn por un escalar .................. . Propiedades de la multiplicación de vectores de [Rn por un escalar ........ .... . La estructura algebraica de espacio vectorial ............................................ .. Definición de estructura algebraica .......................................................... .. Definición de grupo .................................................................................... . Definición de espacio vectorial .................................................................. . Consecuencias ............................................................................................. . ubespacios vectoriales ................................................................................ Definición de espacio vectorial .................................................................. . Teorema: Caracterización de sub espacio vectorial .................................... . Teorema: Otra caracterización de subespacio vectorial ............................ . . . , de com b'lnaClon ., l lnea ' 1.............................................................. .. D eJ·h.nlClon

VII

1 3 5 6 6 7 8 8 8 9 9 12 12 13 14 16 18 18 19 20 21

Índice general

Definición de sistema de generadores de un espacio vectorial ....:. ............. Definición de vectores linealmente dependientes ................................... ..... Caracterización de vectores linealmente dependientes ........................ ....... Definición de vectores linalmente independientes..... .................. ................ 1.4. Transformaciones en un sistema de generadores. Espacios vectoriales finitos. Bases ....... .... ................ .. ........... ......... ...... .................. ....................... Teoremafundamental de la independencia lineal. ....................................... Definición de base. ....................................................................................... Teorema de existencia de la base .... .................... ......... ......... ....................... Teorema de la dimensión.. ........... ..................................... ............................ Definición de dimensión de un espacio vectorial. ............. .......................... Consecuencias.............................................................................................. Definición de coordenadas de un vector. ..................................................... 1.5. Dimensión de los subespacios de un espacio vectorial finito ...................... Proposición. La intersección de subespacios es sub espacio ........ ........... .... Proposición. La unión de sub espacios puede no ser subespacio. ................ Definición de suma de subespacios ............................................................. Proposición. La suma de subespacios es subespacio .............. .................... Teorema (fórmula de Grassmann) ............................................................... Definición de suma directa de subespacios .................... ............................. Caracterización 1 de la suma directa. ................................................... ....... Caracterización II de la suma directa ......................................................... Definición y existencia de subespacio suplementario .......................... ....... Consecuencias......... ..................................................................................... EJERCICIOS ............................................................................................. .......

21 22 22 23 26 28 29 31 32 32 33 34 36 36 37 38 38 39 40

41 41 42 43 43

Capítulo 2 APLICACIONES LINEALES INTRODUCCIÓN ................................................................ ............................ SYLVESTER (1814-1897) ................................................................................. ORGANIGRAMA.............................................................................................. 2.1 . Aplicaciones lineales..... ........... ........................ ............................... ............. Definición de aplicación lineal ........................ ............................................ Consecuencias. ............................................................................................. 2.2. Subespacios distinguidos: núcleo e imagen ................................................. Definición de imagen de una aplicación lineal ...................................... ..... Definición de núcleo de una aplicación lineal ............................................

VIII

63 65 67 68 70 72 74 74 75

índice general

plicaciones lienales y matrices ................................................................. . 80 atriz asociada a una aplicación lineal .................................................... . 82 espacios vectoriales (L(V,W), +,IR) y (Mrnxn , +IR) ................................. . 86 mposición de aplicaciones lineales y producto de matrices ................... . 92 Definición de producto de matrices ........................................................... .. 93 álculo del producto de matrices .............................................................. .. 93 gebras de endomorfismos y matrices cuadradas ..................................... . 98 triz asociada a un cambio de base en V. Matriz asociada a una aplica' 0 lineal cuando cambian las bases .......................................................... . 103 raciones elementales en una matriz. Matriz elemental.. ....................... . 109 efinición de ni.atriz elemental .............. ......... ............................................. 115 ••• • •••••••••••• • • •••••••••• • • • ••• •• • • • • • • • • • •• •• •• •• ••••• • ••• • ••••••••••••••••• ••• • • •• • ••••••••••••• 118

. .~>'"' J.'"'J.V.::l

Capítulo 3

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA ............................................................................................ 133

HY (1789-1879) ....................................................................................... 135 GRAMA ........................................................ ........... ........................... terminante de una matriz cuadrada......... ............................. .................... J i ·c·o · ' .......................................................................... .
137 138 138 140 142 143 144 144 144 145 148 150 151 159 166 168 172

IX

Índice general

Capítulo 4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INTRODUCCIÓN ............................................................................................ ADA AUGUSTA LOVELACE (1815-1852) ..................................................... ORGANIGRAMA .............................................................................................. 4.1. Sistemas de ecuaciones lineales .............................. ............... ......... ............. Definición de sistema de ecuaciones lineales .............................................. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales .......................... Un sistema de ecuaciones lineales es la expresión analítica de una aplicación lineal ......... .... .................................................................................... Cálculo del original de un vector en una aplicación lineal.................. ....... Cálculo del núcleo de una aplicación lineal............ .................................... 4.2. Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales.......... ............................... Teorema de Rouché Frobenius ..................................................................... Sistemas lineales homogéneos ..................................................................... 4.3. Cálculo de soluciones. .................................................................................. Definición de sistema de Cramer....... .......................................................... Regla de Cramer .......................................................................................... Método de Gauss .......................................................................................... 4.4. Otro método de resolución. La factorización LU.... ..................................... Obtención de la matriz L......... .................... ................................................. Resolución de sistemas mediante factorización LU..................................... Posibles errores en el cálculo de sistemas por ordenador. Matrices mal condicionadas .............................................................................................. EJERCICIOS .....................................................................................................

183 185 187 188 188 189 190 191 192 195 195 198 200 200 201 205 209 209 213 214 216

Capítulo 5 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES V ESPACIO EUCLíDEO INTRODUCCIÓN ........ .................................................................................... EUCLIDES ......................................................................................................... ORGANIGRAMA... ........................................................................................... 5.1. Producto escalar de vectores y espacio euclídeo ......................................... Definición de producto escalar de dos vectores .......................................... Definición de espacio vectorial euclídeo ..................................................... 5.2. Norma de un vector y ángulo entre dos vectores .........................................

231 235 237 238 239 239 242

x

--

--

-

-

--

índice general

Definición de norma de un vector ................................................................ Definición de vector unitario ....... ................................................................ Propiedades de la norma.. ........................................................................... Definición de coseno del ángulo entre dos vectores .................................... Definición de ortogonalidad ............ .. ...... .................................... .. ...... ........ resión del producto escalar en una base dada.............. .......................... . temas ortogonales y ortonormales de vectores... ..................................... Definición de sistema ortogonal.................... .............................................. Definición de sistema normado ................................................................... Definición de sistema ortonormado ............................................................. tétodo de ortortormalización de Gram-Schmidt ....... ................................. Definición de matriz ortogonal......................................... ........................... Producto escalar en un espacio vectorial con una base ortonormal. ........ ..... Base ortonormal incompleta ......................................... ............................... ubespacios ortogonales ................................................... :..........................

lelos .....................................................................................................

242 243 244 245 246 249 253 253 254 254 255 260 262 263 265 266

Capítulo 6 MATRICES SEMEJANTES

/

ODUCCIÓN ............................................................................................ R CAYLEY (1821-1895) ...................................................................... GRAMA .............................................................................................. Matrices semejantes .......... ............................................ ............................... Definición de matrices equivalentes ............................................ ................ Definición de matrices congruentes............................................................. Definición de matrices semejantes............................................................... Definición de matriz diagonalizable ........... .... ............................................. Diagonalización ............................................................. .............................. ruores propios y vectores propios. ............................................................. Definición de vector propio de un endomorfismo de v................................ Consecuencia ............................................................................................... Definición de valor propio asociado a un vector propio............. ................ Definición de ecuación característica de una matriz .................................. Diagonalización de matrices .................... :................................................... Condición suficiente de diagonalización ..................................................... Condición necesaria y suficiente de diagonalización ..................................

273 275 277 278 279 281 282 283 284 285 285 286 286 287 294 294 296

XI

índice general

6.4. Diagonalización de endomorfismos simétricos ........................................... 299 EJERCICIOS ..................................................................................................... 305

Capítulo 7 FORMAS BILlNEALES INTRODUCCIÓN ............................................................................................ GAUSS (1777-1855) .......................................................................................... . ORGANIGRAMA .................................................................................... ......... . 7.1. Formas bilineales ........................................................................................ . Definición de aplicación bilineal ........................... , .................................... . Definición de forma bilineal ...................... ................................................. . Definición de formas bilineales simétricas ................................................. . Definición de formas bilineales antisimétricas ........................................... . 7.2. Formas cuadráticas ...................................................................................... . Definición de forma cuadrática .................................................................. . Rango de una forma cuadrática ................................................................. . Definición de forma cuadrática canónica .................................................. . Teorema de Sylvester .................................................................................... Definición de signatura .................................. ............... ............................... Formas cuadráticas definidas y semidefinidas positivas ............................. Formas cuadráticas definidas y semidefinidas negativas .......................... . Reducción a laforma de Jacobi .................................................................. . Conclusión: Criterio de Sylvester ............................................................... . / d e znvarzan ' . tes ............................................................................ . De'¡;· J znz'c'zon Clasificación de formas cuadráticas por invariantes .................................. EJERCICIOS .................................................................................................... .

317 319 321 322 322 323 327 328 330 330 331 331

332 333 333 334 335 336 336 337 337

Capítulo 8 EL PROBLEMA DE LA PROGRAMACiÓN LINEAL INTRODUCCIÓN ............................................................................................ GEORGE DANTZIG ........................................................................................ ORGANIGRAMA .............................................................................................. 8 ..1 . El problema de la programación lineal ........................ ....... ........... ..............

XII

347 349 351 352

índice general

,+;· · ' dfi ., o b·Ijetlvo · .................................................................... . 354 e unClon DeJ,nlClon

,+; . . , d . . D eJ .nlClon e restriCCiones ...................................... :'...................................

Definición de solución factible ................................................................... . Definición de conjunto factible ................................................................... . ,+; . . , d i · ' , . .................................................................... . D eJ.nlClon e so UClon optlma Resolución geométrica del problema de la programación lineal ................ . E presión matricial del problema general de n variables ........................... . Definición de variables de holgura ........... .................................................. . Expresión matricial del problema de programación lineal ........................ . . . , di ·' baSlca ' . ..................................................................... . D eJ,+;.nlClon e so UClon Conju.n~~s conve.xo~ ......::.....: ...................................................................... . DefinzclOn de combmaclOn lmeal convexa ................................................ .. Definición de segmento ............................................................................... . '+; . . , d . O eJ.nlClon e conjunto convexo ........................................................ :.... ..... . ,+; . . , d ,. D eJ,nlClon e vertlce .................................................................................... Propiedades de los conjuntos convexos ..................................................... .. Teorema fundamental de la programación lineal ........................................ . goritmo simplex ...................................................................................... .

354 355 355 356 358 364

364 365 367 368 368 369 369 371 371 375 379 CIClOS .................................................................................................... . 388

XIII

En la declaración del Año Mundial de las Matemáticas, que fue el año 2000, se a que <<.. .las Matemáticas constituyen un pilar fundamental de la cultura, no por ser el lenguaje de la Ciencia , sino por lo que suponen como bagaje necesa~Ta entender el mundo en que vivimos ...». El mundo en que vivimos es básicamente tecnológico, y como tal, necesitado de latemáticas, y de entre las disciplinas matemáticas, el Álgebra es herramienta de meludible para el estudio de otras muchas materias que forman el diseño curricu1estudiante de Informática. te equipo de autores aborda la confección de un texto moderno para expliuna ciencia antigua, que tiene la doble faceta de ciencia autónoma y herratao

Para conseguir nuestro objetivo primordial: «que sea un texto útil al estudiante Informática », lo hemos dotado de las siguientes características: texto completo está desarrollado en dos soportes diferentes: papel se han confeccionado dos tomos, el primero son las Unidades Didáctidichas, contienen teoría, problemas, gráficos, aplicaciones, etc. criterio para la distribución el contenido en capítulos es la homogeneidad objeto de estudio, independientemente de su longitud. Dicho objeto de estudio, se indica brevemente en la introducción que le precede . • En cada capítulo hemos incluido un diagrama de flujo que permite al lector ver rápidamente que objetivo se persigue en él, así como el discurso lógico que fija las directrices seguidas para conseguirlo.

xv

)

Prólogo

.....

• Hemos incorporado, en la medida de lo posible, aplicaciones que alienten al estudio del Álgebra por su carácter instrumental. El egundo tomo contiene: otas útiles para trabajar con DERIVE. • Introducción a las herramientas de DERIVE necesarias en cada capítulo a través de ejemplos. • Ejercicios y problemas propuestos en exámenes de Álgebra (Informática Gestión y Sistemas) resueltos. • Lo mismos ejercicios y problemas resueltos paso a paso con DERIVE. • Glosario de términos algebraicos utilizados en el texto .

~

C. D: Es un soporte familiar para el estudiante de Informática, y con él, tanto de acercar los contenidos plasmados en el papel a su ámbito natural, de incluir posibilidades de actuación interactiva que en papel, no existen.

. GllJIIC)S

Madrid, agosto 2002. Ana Díaz Hernández Coordinadora,

XVI

ESPACIOS VECTORIALES

aDUCCióN

El concepto de vector como segmento dirigido en el plano o en el espacio para representar fuerzas , velocidades o aceleraciones, se remonta a Aristóteles, quien también conocía algunas de sus propiedades algebraicas. El desarrollo de la Geometría Analítica a partir del siglo XVII lleva a los fí icos a la interpretación de los vectores como parejas o ternas de números ( us coordenadas) y a investigar cómo se traducen las operaciones vectoriale en estos términos (composición de vectores, dilataciones, rotaciones, producto escalar, producto vectorial, etc.). El desarrollo y formalización completa de estas ideas no se lleva a cabo, sin embargo, hasta bien entrado el siglo XIX. El estudio de los sistemas de ecuaciones propició, de modo natural, el pao del plano y el espacio ordinario al espacio de n dimensiones (como conjunto de entes determinados por n coordenadas, o bien directamente como co~ junto de n-uplas), que puede adivinarse ya en Gauss y aparece claramente en los matemáticos de la siguiente generación. En todo caso, Cayley y Grassmano manejan libremente en 1846 las propiedades algebraicas del espacio ndimensional: subespacios, generadores, dimensión, suma, intersección, así como las fórmulas del cambio de coordenadas. En el último tercio del siglo XIX aparece la noción de estructura y toma carta de naturaleza el método axiomático.

1

1 Espaciós vectoriales

Los vectores son utilizados en la forma actual desde 1888, cuando Peano (1858-1932) definió los espacios vectoriales axiomáticamente. Antes hay gran cantidad de precursores, citaremos entre ellos a Descartes (1596-1650) que habla de coordenadas, Gauss (1777-1855) que utiliza la suma de vectores de IKf , Hamilton (1805-1865) que describe cómo operar con pares de números reales, y Grassman (1809-1877), quien sin utilizar la nomenclatura actual obtiene resultados importantes.

2

Giusepe Peano (1858-1932)

USEPE PEANO (1858-1932) Matemático y lógico italiano, influyó activamente en el tratamiento axiomático de Hilbert de la geometría plana y los trabajos de Whitehead y Russel obre lógica matemática. Es uno de los creadores del método axiomático. Dio en el año 1888 la definición axiomática de los espacios vectoriales (de dimensión finita o no) sobre 1 números reales. También dio la definición de aplicación lineal entre espaios vectoriales. Sus postulados sobre los enteros positivos han hecho que generaciones enteras de estudiantes se pregunten si el álgebra moderna no es alguna especie de onspiración encaminada a hacer que lo obvio resulte oscuro. En 1890, sorprendió al mundo de las matemáticas con su notable construci.ón de una curva continua en el plano que llena completamente el cuadrado O ~x~l,O~y~1.

Desgraciadamente para un hombre que atribuía tanto valor a la lógica, su prueba de 1886 del teorema de existencia para soluciones de y =f (x, y) (teorema de Peano) fue inadecuada y no se encontró una prueba satisfactoria sino hasta varios años después. I

3

\

Organigrama

CAPÍTULO 1 Espacios vectoriales V sobre IR

Subespacios vectoriales

Generación de subespacios vectoriales

Bases

Teorema fundamental de existencia

Teoremas

5

1 Espacios vectoriales

1.1 El espacio vectorial real ( ~n. +. ~ )

Algunos espacios vectoriales son conocidos por todos los estudiantes, así ocurre cuando hablamos de IR, IR' , o 1R 3 , y en general de IR", por ello, comenzaremos el capítulo haciendo un breve repaso de los elementos de dichos espacios, o sea, vectores en la recta, en el plano o en e l espacio.

1. 1. 1 Definición de vector ü de IR n Los vectores fila u que forman los espac ios IR" son Il-uplas (// J. //, ..... u,,) de números reales 1/, . donde cada !l , (coordenada i del vector) es UD escalar.

Las n- upl as se pueden escribir en coLumnas, y entonces hablaremos de vec-

UJ)

tores coLumna del mismo espacio vectorial IR":

';' .

(

ti"

Nuestra familiaridad con Los espacios vectoriales IR, IR' Y 1R 3, se debe a que modelizan fielmente el espacio en que vivimos, siendo cada uno de ellos apto para describir la posic ión de un punto cuando se ha fijado un sistema de referencia (s istema de coordenadas con un origen). En estas condiciones , los vectores se pueden representar geométricamente uniendo mediante una fl echa el origen de coordenadas O con el punto UJ en IR, (0,0) con (I/),u, ) en IR' , y 3 (0,0,0) con (I/ ), U" U3) en 1R , y reciben e l nombre de vectores fijos. En física, es muy útil el uso de los vectores de 1R4 = 1R3 X IR, porque aLañadir a los de 1R 3 una cuarta coordenada, permiten situar el tiempo (una vez fijado un origen para 1/,). Los espacios vectoriales IR" juegan un papel importante en el mundo empresariaL, ya que, sus vectores permiten almacenar datos ordenados, gestionar-

6

1. 1. El espacio vectorial real (lR

n

,

+, IR)

los, Y extraer resultados, de forma eficiente. Aunque este es el principal uso que hacen las empresas de los sistemas informáticos, también es muy frecuenIe_ hacer un modelo abstracto, introducir distintos juegos de datos reales y pre\er los posibles resultados antes de tomar decisiones.

El vector de IR' (día, mes, año, vendedor, producto, porcentaje, destino) puede dar información de la fecha en que se realiza una operación de venta, el \'Clldedor que la realiza, qué producto vende, qué tanto por ciento lleva, y en qué ciudad se ha producido. Hay que observar que, las variables de este vector deben ser escalares para que el vector pertenezca a IR', pero un vector puede ser definido de forma que variables pertenezcan a conjuntos distintos de IR. Para hacer la gestión de los datos es necesario operar con ellos, y las operaiones más frecuentes son las que se pueden hacer con los vectores.

IONES CON VECTORES: SUMA Los conceptos que se pueden modelizar mediante elementos de IR, IR' y IR', como distancias, fuerzas, velocidades, etc., se pueden sumar, y además, podemos representar gráficamente dichas sumas (recordemos la regla del paralelogramo),

1.1.2 La velocidaey-eal de un barco se puede expresar mediante un vector, dicho ecwr resulta de sumar el vector velocidad que lleva la máquina y otros vectovelocidad ajenos al barco, como pueda ser la velocidad de una corriente delerminada. La suma de vectores sirve para modelizar la velocidad real o corregida, y llevar el rumbo y la velocidad deseados. R, IR' y IR', son casos particulares de IR"; de forma general , definimos analtúcamente la suma de vectores de IR" a través de la suma de sus coordenadas, que son escalares.

7


1. 1.2 Definición de suma de vectores de IR: n Vector u + v suma de los vectores u = (U, .II, .... , 11, ) y V = ( VI> V" ... , v,,) de ~" es la imagen en la aplicación:

Cuando sumamos dos vectores cualesquiera U, v E ~" asignamos al par (u,v), otro vector u + v del mismo conjunto ~" al que llamamos vector suma que se obtiene sumando las coordenadas de u y v que ocupan el mismo lugar.

1.1.3 Propiedades de la suma de los vectores de IR: n

La suma de vectores de l . Asociativa:

~"

tiene las propiedades:

(u + v) + w = u + (v + i1')

2. Conmutaüva: ¡¡ + v = v + u

3. Existe un vector neutro OE~" , que verifica u + O= u, s iendo 0= (0,0,...,0) 4. Cada vector u = (l/" u" , ..,11") E ~" tiene un vector simétrico, - u = (-11 ,,-11, ... . ,- u") E ~", tal que, u + (-u) = O

MULTIPLICAC IÓN DE VECTORES POR UN ESCAL AR En R ~' y ~3 , tiene sentido hablar de tamaños, la posibilidad de hacer más grande o más pequeño al go que se puede representar con un vector, se modeliza en álgebra multiplicando dicho vector por un escalar.

8

1.1. El espacio vectorial real (IR

n ,

+, IR)

Si llamamos A al escalar, AU representa una dilatación o una contracción de > 1 o lA 1< 1). Además si A < O, el sentido de AU es el opuesto al de u. Se utilizan indistintamente las expresiones escalar por vector (AU) o vector por escalar (UA) , y su definición es la misma.

Ji (según que lA I

Definición de multiplicación de vectores de [Rn por un escalar r 1,11. producto del escalar A E IR por el vector ¡¡ = (l/ " 11" . . . , 11,,) de IR" es la en en la aplicación:

~ AU = (A.II" A/J" ... , All,,)

Al multiplicar cualquier vector u E IR" por un escalar A E IR, asignamos al par (u, A) otro vector AU E IR", por tanto, no es una operación interna entre vectores de un conjunto, sino una operación externa que involucra elementos de dos conjuntos diferentes: IR" (vectores) y de IR (escalares).

1.5 Propiedades de la multiplicación de vectores de [Rn por un escalar nu ltiplicación de vectores de IR" por un escalar tiene las propiedades: t' lributiva de escalares respecto a vecto res: A(U + v) = AU + Xi' I>lributiva de vectores respecto a escalares: (A. + fl) ¡¡ = AU + flU -\,ociativa : CAfl) ¡¡ = }.(¡.JU) .' iste el escalar unidad. 1, que cumple ¡¡¡ = ¡¡

9


~

Hemos

enunciado las propiedades que tienen las operaciones con los vectores de IR", pero alguna de las cosas que hemos dicho podría no ser correcta, aunque lo parezca. Para tener la celteza de que alguna proposición que enunciamos es cierta, necesita ser demostrada. En cada demostración se pueden utilizar ax iomas (verdades evidentes) , u otras verdades demostradas con anterioridad, es el método lógico-deductivo utilizado desde los griegos. Un enunciado y su demostración forman un teorema o una proposición.

1.1.6 Teorema En (IR", + IR) se verifica: a) La operación de sumar vectores de IR" tiene las propiedades 11.I.3J b) La operación de mult iplicar vectores de IR" por esca lares tiene las propiedades

1l.l.5J Demostración: a) La operac ión de sumar vectores de IR" tiene las propiedades [1.1.3] porque las tiene la suma de los escalares que forman las n-uplas. b) Para demostrar que la operación de multiplicar vectores de IR" por escalares cumple las propiedades [1.1.5J , hay que ir comprobando cada una de las igualdades. Vamos a hacerlo con una de ellas, con las demás, se hace de la misma manera.

r s O

Una forma de demostrar la veracidad de una igualdad es, desarrollar los miembros de manera que se llegue en ambos al mismo resultado.

Vamos a utilizar esta técnica para demostrar la propiedad distributiva de vectores respecto a escalares. Queremos demostrar que: (A. + Ii)u = A.U + liU.

10

1. 1. El espacio vectorial real (lR

n

,

+, IR)

DesarroUamos el primer miembro aplicando la definición [1.1.4]:

(A + Il )u = (A + 11)(11.\, U" .. . , u,,) = «A + Il)u¡, (A + 11)11." ... , (A + Il)u,,) = = (Au¡1'llu\, AU, + IlU" ... , AU" + 1111.,,) Desarrollamos el segundo miembro aplicando la defini ción [1.1.4] a cada uno de los dos sumandos: AU + Ilu = A(u¡, u, ,... , u,,) + Il(u¡, u, ,... ,u,,) = = (Au¡, AU, ,... , AU,,) + (;¡u" IlUz ,... , Ilu,,)

Si utilizamos la definición [1 .1.2J para sumar los vectores resultimtes, comprobamos que es lo que queríamos demostrar. Es muy fácil repetir este procedimiento para cada una de las propiedades, cuando lo hayamos hecho podremos decir que hemos demostrado el teorema [1.1.6].

11


1.2 La estructura algebraica de espacio vectorial

.A

Es muy frecuente que, al realizar una determinada operación en un conjunto y otra operación en otro conjunto, ambas operaciones tengan las mismas propiedades. La razón es que tienen una estructura común. La importancia que tiene el estudio de las estructuras radica en que es mucho más eficiente analizar de una sola vez las propiedades que derivan de una estructura abstracta y aplicarlas a los conjuntos concretos que la tienen, independientemente del tipo de elementos que forman los conjuntos y de la operación que se haya definido en eUos. Las estructuras se utilizan en Informática con mucha frecuencia, por ejemplo, al hacer un programa se asigna a cada variable la estructura a que pertenece (INTEGER, REAL, CHARACTER, LOGICAL, .. .).

1.2.1 Definición de estructura algebraica (A.*.o.... ) es una estructura algebraica <=> A es un conjunto en el que hay definidas una o más operac iones: *. 0....

Ejemplo 1.2.1 (1I\l' , +) es una estructura algebraica. Los elementos con que se opera son vectores suma de vectores.

E

1I\l' , y la operación "+" es la

Ejemplo 1.2.2 Si A = {1 ,2,5} Y i.a operación "." asigna a (a, b) e l resto de ah / 3, (A,-), es una estructura algebraica.

12

1.2. La estructura algebraica de espacio vectorial

Cuando la operación se realiza en un conjunto finito, se pueden dar los resultados de la

o peración entre todos sus elementos, es decir, puede tabu lar:

l

2

5

1

1

l

I

2

2

1

2

5

2

1

2

Hay algunas estructuras que se repiten con frecuencia, incluso formando parte de otras; este es el caso de los grupos.

Definición de grupo lene estructura de grupo'" La operación * en e l conjunto A (no vacío) tiepropiedades : .oeiativa: (a * b) * e = a * (h * e), V a. /J, e E A ,te un elemento ncutro e E A, que veri fica a * e = a, Va E A . E rI. :la' E A que verifica a * u ' = e: ,,' es el elemento simétrico o inverso de a un grupo conmutativo si además tiene la propiedad conmutativa V a. b E A '.eri fica a * h = b * a

l1li'\'11 01 0

1.2.3

(IR", +) tiene estructura algebraica de grupo. La operación + en IR", cumple las propiedades: asociativa, ex iste un vector neutro y todo vector tiene un simétrico, como hemos visto en [1 .1.6]. Se suele llamar opuesto de a al elemento simétrico para la operación de sumar, y se representa como -a. El estudio de las propiedades de (IR", +, IR) se ha ido incorporando a las matemáticas desde el sig lo XlX, y ha sido tan significati vo, que ha dado nombre a la estructura algebraica que tiene: espacio vectoriaL

13


Hay muchos conjuntos que tienen las mi smas propiedades, es decir, la mi sma e,\lUC\Ul'a que óefmimos oe ~orm a general.

1.2.3. Definición de espacio vectorial (V, * , · IR) tiene estructura de espacio vecto rial sobre IR "" (V, *) es grupo conmu tati vo y (V, *, · IR) tiene las propiedades : Di stributiva de las escalares respecto a los vectores: iI. • (Ti * \') = iI. • Ti * iI. • \'

Di stributiva de los vectores respecto a la suma de escalares: (i1. +¡¡ ) · ¡¡ =i1. · Ti *¡¡ · Ti Asociativa respecto al producto de escalares: (i1.¡¡) • Ti = iI. • (¡¡ • Ti) Existe un escalar unidad. I E IR, que verifica I • ¡¡ = Ti Los elementos de cualquier conjunto con estructura de espacio vectori al se llaman vectores y normalmente se representan con una barra sobre una letra latina. Los elementos de IR se llaman escalares y se suelen representar con una letra griega minúscula. El lugar de IR puede ser ocupado por un cuerpo dife rente, el de los complejos, o cualquier otro cuerpo IK, entonces (V, *, · IK) es un espac io vectorial sobre IK. En este curso, si no decimos lo contrario, nos referiremos siempre a (V, *, · IR) y omitiremos el símbolo " ." para la ley de composición externa que indicaremos mediante una sinlple yustaposición.

Ejemplo 1.2.4 El conjunto de polinomios de grado menor o igual que 2 con coeficientes reales y una variable (P,(x), +, IR) es un espacio vectorial sobre IR. La operación interna es la suma de polinomios y la operación extellla es la multiplicación de un polinomio por un escalar. Los polinomios son los vectores y los números reales los escalares.

14


Ambas operaciones nos resultan familiares, las utilizamos con frecuencia y conocemos sus propiedades.

1.2.5 EJ conj unto de polinomios de grado 2 con coeficientes reales y una variable (P2(X) , +, IR) no es un espacio vectorial sobre IR. La suma de dos polinomios de grado 2, puede no ser un polinomio de grado 2. Por ejemplo: (x' + 2x - l) + ( - x' + x + 3) = 3x + 2; 3x + 2 "P,(x), ya que, de grado 1. En el mismo conjunto se pueden definir distintas operaciones y según las propiedades que verifiguen, tendrán una estructura diferente.

_~ . .... v

1.2.6 . ." ., . . { (UI' u,) + (VI , v,) = (u, + V" u, + V2) . SI en ( .. , +, .. ) defLmmos , sIendo A/l = (AU " u,)

= (UI' u,), ji = (v" v, ) E IR' , A E IR, entonces (IR' , +, IR) no es un espacio vectorial. Veamos que no tiene la propiedad (A + l1 )u = AU + l1u:

Ü

(A + l1 }ü = ((A + l1 )u" 11,) = (AU I + l1u " 11, ) AU + l1u = (AU " u, ) + (PU l, lI,) = (AU , + I1UI , 2u,)

Los resultados obtenidos en ambos miembros son diferentes, es decir, CA. + l1 )u ;qu + 11". Hay propiedades que se deducen directamente de la defmición de espacio vectorial, y es más eficiente demostrarlas una sola vez de forma general, que comprobar su veracidad para cada caso concreto. Algunas de las más utili zadas son las siguientes:

15


1.2.4. Consecuencias

En cualquier espacio vectorial (V,

*. IR) se veri fica:

l. Aa = a 2. Ou=O

3. (- A)U = A(-U) = -(AU) 4. SiAu=O =>A = OÓU=O 5. Si AU = J1u. u;t => A = J1 6. SiAu = A\'. A ;t o => u = l'

o

Demostraciones: _ { =AU+ AO _ _ l. A (Ji + O) = => AO = O = A¡¡

Para obtener AU + AO hemos aplicado la propiedad distributiva de los vectores respecto a la suma de escalares y para obtener AU hemos realizado primero la suma de vectores.

2. (A

+ O)u = {

= AU + Ou =>

=AU

_ Ou = O

3. a = { = H + A)U = (-A)U + AU => (-A)U = -(AU) = A(-¡¡ + u) = A(-U) + AU => A(-U)= - (AU)

4. En AU = O, puede ocurrir A = O6 A ;t O; si A;t O, 3X l E

r\w) = {

16

=rl(a)=a (A- 1A)U = l u =

_ =>

u

U=

o

R


. Si AU =pu => AU - pu = (A - p)u = 0, como u # 0, aplicando la propiedad 4 => A - p = O => A = 11 . 6. Si AU = AV => AU - AV =A(U - v) =0, como A # O, aplicando la propiedad 4 =>

u- V =

° u= =>

V.

17


1.3. Subespacios vectoriales

En el organi grama de este capítulo, después de saber qué es un espacio vectorial , nos hacemos la pregunta : ¿Hay subconjuntos de un espacio vectori al V que sean a su vez espacios vectoriales? La respuesta siempre es sí. Cualquier espacio vectorial V tiene, al menos, dos subconjuntos que con las mismas operac iones tienen también estructura de espacio vectorial; son el elemento neutro (O), y el mismo conj unto V se llaman subespacios impro pios. Si algún otro subconjunto de Ves espacio vectorial, diremos que es un subespacio propio de V

1.3.1. Definición de subespacio vectorial

U es un subespacio vectorial del espacio (V *, de V y (U , *, ~) es espacio vectorial

~)

*'* U es subconjunto no vacío

A

Para ver si un subconj un to U de Ves un subespac io, O no , se puede ir comprobando que verifi ca todas y cada una de las propiedades que definen un espacio vectori al, o bien, buscar una carac teri zac ión, es decir, un a o va-

rias condiciones equi valentes, el símbolo que se utili za para la eq ui va lencia es

*'*.

Con

*'* debemos entender: Tener las propiedades

~

Cumplir la caracteri zac ión y

Cumplir la caracterización

18

~

Tener las propiedades

1.3. Sub espacios vectoriales

Teorema: Caracterización de subespacio vectorial

'¡fU. v E

V

=>

U

*V E V

{ '¡fuE V, '¡f,lEIR

Y siendo U un =>

,luE V

no vacío de V. Demostración: Es evidente; por ser (V, *. IR) espacio. se veri fica /i _ v E V y,lu E U. =) Para los elementos de V se cump len automáticamente las propiedades la multiplicación por elementos de IR, ya que los elementos de V lo son bién de V Lo mismo ocurre con las propiedades asociativa y conmutativa de (V, _). El vector neutro Opertence a U. En efecto, '¡f/i E V, Ou = OE V. Para cada elemento /i de V, hay un simétrico -u que también pertenece a l: '
1.3.1 El conjunto de soluciones de la ecuación al-X' +X3 = O, es un subespacio ecto rial de (IR J , +, IR) . El conjunto de soluciones de la ecuación dada es S = { (SI, S, . SJ)(2sl - S2 +sJ = = O}, que es un subconjunto no vacío de 1R3 Comprobemos que se cumple [I.3.2]: (SI, S2,

=

SJ) E S .. 2Sl - S , + S3 O; (I¡, (" (3) E S .. 211 - 1, + 13 + (ti. 1, . 1,) E S porque 2(.~ 1 + t i) - (s, + t, ) + (sJ + ~ J) = = (2s l - S, + sJ) + (211- (2 + ( 3) = O ,l(s¡, S2, S3) E S porque ,l(2s l - S, + S3) = O

=O;

(SI, S, . S3)

19


Ejemplo 1.3.2

u = {(u \, U2, 1I, )/U\ =

I ) no es subespacio de IR'.

Es un subconjunto no vacío, en el que la suma de dos elementos de U como (1,2,3) Y (1, O, O) es (2, 2, 3) que no pertenece a U porque su primera coordenada es l . En este ejemplo es ev idente que U no puede ser espac io vectorial, ya que O= (O, O, O) $ U, pero el elemento neutro debe pertenecer a U porque U es un grupo. La dos condiciones que caracterizan los subespacios se pueden agrupar en una sola.

*

1.3.3. Teorema : otra caracterización de subespacio vectorial U (subconjunto no vacío de V) es subespacio vectorial de V .,. Vii, v E U. VA, j.1 , E IR => AIi * ¡LV E U

Ambas caracterizaciones son equivalentes: Demostración: Por cumplirse [1.3,2.], podemos afirmar que Vu, v E U; VA, j.1 E IR => =>AU' j.1V E U. <=) Si en{l.3.3.], hacemosVu, vEU;A = 1, j.1= I => U,V E U. Si en [1.3.3], hacemos Vu, v E U; VA E 1R,j.1 = O=> AIi E U. En [1.3.3] hemos utili zado un tipo especial de expresiones: las que son de la forma AU , j.1V E U; son muy importantes y reciben el nombre de combinaciones lineales =»

20


3.4. Definición de combinación lineal

una combinación lineal o depende linealmente de los vectores de 5 . Ti l

* A,Ti, * ... * A"Ti" ; 5 =

{Ti¡, Ti, .. ... Ti,, }

e

e

\1

espac io vectorial \1; Al. A, ...., A" E IR

El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los elementos de 5, recibe diversos nombres, como envolvente lineal de 5, o clausura de 5 y e representa generalmente como (5). Los múltiples colores de la pantalla de un monitor se definen como combinación lineal de los colores primarios rojo, verde y azul.

Definición de sistema de generadores de un espacio vectorial

n sistema de generadores de U o U está generado por 5 "" U = (5)

IIjIIrrlp lo 1.3 .3

Cualquier vector de la forma v = Al (1, 0, 1) + A, (2, 0,1) es combinación lineal de los vectores de 5 = { ( 1, 0, 1), (2, 0, I) } e IR 3 5 es el sistema de genedores de (5). El subespacio de IR' generado por 5 es (5) = {(A l + 2.:\" 0, Al + A,)lA¡, A, E IR ). Gráficamente, vemos que, cualqu ier vector del plano que contiene los vectores dados, es una combinación lineal de ellos. Dicho plano es el subespacio más pequeño que los contiene.

21


Ejemplo 1.3.4 Compruébese que S' = {( 1, O, 1), (3, O, 2) I genera el mismo subespacio de

1R3 que el generado por S del ejemplo anterior. La ecuación del plano generado por S es x, = O. La ecuación del plano generado por S' es x, = O. (S), = (S') se forman con todas las combinaciones lineales de dos vectores del plano x, = O. Ambos sistemas de vectores son sistemas equi valentes porque generan el mismo subespacio. Consecnencia:

Para ge/lerar U/I sllbespacio /lO hay U/I sistema único.

1.3.6. Definición de vectores linealmente dependientes S

= {Ul. u, ..... upl e \/ es un sistema linealmente dependiente o ligado *"

*" Al menos uno de los ¡¡, E S depe nde linealmente de los otros vectores de S

1.3.7. Caracterización de vectores linealmente dependientes

s = {¡¡" u, .... , ¡¡I' I e Ves un si stema linealmente dependiente + A,¡¡, + ... + AI'¡¡P: Al , A, ..... Al' E IR '" '3 algún Al O

*

22

*"

Si O= Al¡¡l +


Demostración Si S = I¡¡" ¡¡, ,..., ¡¡p} es un sistema linealmente dependiente, la defi nición [1.3.6] nos asegura que, al menos uno de los Ui E S depende linealmente de los otros vecto res de S. Podemos suponer sin pérdida de generalidad (bastaría reordenar) que es ¡¡, el vector que depende linealmente de los otros, entonces, U, = A.o¡¡, +...+Apup, y por tanto O= - 1¡¡, + A.ou, +...+ Ap¡¡p (A, O). = ) Si O= A,U, + A.o¡¡, +.. .+ ApUp; A" A2 ,... , Al' E ~ => 3 algún A, O. Podemos suponer sin pérdida de generalidad (bastaría reordenar) que es A, O como A, E ~, 3 A,', O=A'tA,' u , + A, A, ' ¡¡, +...+ ApA,' ¡¡p; ¡¡, =J12U, +...+ J1 pu p. =»

*

* *

3 .8. Definición de vectores linealmente independientes ¡¡" ¡¡, .... , ¡¡I' } e l' es un sistema linealmente independiente o libre <=>

=A,¡¡, + A,¡¡, + ... + A¡,up; A,. A,... .. Ap E ~

=>

A,

=A2 = ... =Al' = O

Compruébese que, de entre los siguientes conjuntos de vectores, son libres o linealmente independientes B y C: A

= {( I, 2, O), (O, O, O), (4, S, 6)} ;

B = l (l, O, O, O), (0. 1, O, O), (O, 0, 1, O), (O, O, O, I) };

C = {(l,4, 7), (S - 3, 4)}

=>

A+ 4y= O 2A + Sy = O => A = O; Y { 6y = O

= O;

23


La igualdad es cierta Vf.l Ligado.

E

IR

=>

A es un sistema linealmente dependiente o

Si Opertenece a un sistema de generadores, éste es linealmente dependiente.

A

Los vectores deberían escribirse verticalmente para distinguirlos de los puntos, pero está admitido que se escriban también horizontalmente por comodidad, nosotros lo haremos indi stintamente depend iendo de la situación, cuando haga falta especificar más, haremos la precisión correspondiente.

B es la base canónica o estándar de 1R4

(1) (s) (0)°°

c) A 4 +f.l -3 = 7 4

=> {

A=Sf.l =0 O => A=O;f.l=O; 4A3f.l = 7.1 +4,/= 0

=>

e es un sistema libre.

1.3.9. Proposición Si S = Iu" u" ..., ul' } es un s istema linealmente independiente e V, y v <$ (S), Yv E E V, entonces, S U Iv } es un sistema linealmente independiente e v Demostración: => ) Si O= A,u, + A2u, + ... + Ap¡¡p+ f.lv; tiene que ser f.l = O, porque si f.l # O, se podría escribir v como combinación lineal de los elementos de S, yeso va contra la hipótesis de que v <$ (S). Todos los A son O porque si no, iríamos contra la hipótesis de que S = lulo ¡¡" ... , ¡¡p} es un sistema linealmente independiente.

24


Por tanto, O= A,u, + A,u, + ." + Apup+ jiv => A, = A, = ... = Ap = 11 = O, que es la condición necesaria para poder decir que S U {ji} es un sistema libre contenido en V Se pueden escribir más proposiciones relati vas a la dependencia e independencia lineal, pero son consecuencia directa de lo que ya hemos aprendido, y se demuestran utilizando las mismas técnicas .


1.4. Transformaciones en un sistema de generadores. Espacios vectoriales finitos. Bases

En 1.3 hemos visto que los espacios vectoriales se pueden generar mediante las combinaciones lineales de un sistema de generadores cualquiera, pero en general. es más inreresanres considerar los sistemas de generadores linealmente independientes. Las proposiciones siguientes expresan propiedades relacionadas con la dependencia y la independencia lineal de los vectores Ui, que forman el sistema de generadores G = ¡u" u" ... , l/p I de un espacio vectorial, V. Además de la importancia intrínseca que tienen las propiedades que vamos a enunciar, tienen un valor añadido porque serán utilizadas en las demostraciones de teoremas posteriores. La proposición siguiente expresa que, la cantidad de vectores de un sistema de generadores ligado, se puede reducir sin que varíe el espacio vectorial generado.

1.4. 1. Proposición

Si u, E G es combinación lineal de vectores de G, (G = de 11). entonces, e l e.pac io generado por G - {Ui I es 11

¡u" u, ..... I/p ) generador

Demostración: Supongamos sin perder generalidad que u, = J1'u" + ... + Jliip' Si v E V. v = + A,2U2 + ... + Ápu p = íiiJhü2 + + J.1 pTip ) + Al fi2 + ... + ApUp = riU2+ ... + Ypu¡,. Es decir, cualquier vector de 11 se puede generar prescindiendo de los vectores de G que dependan linealmente de otros vectores de G.

= AIU[

26

o ••

4. Transformaciones en un sistema de generadores

P""P" U 1.4.1

°

En el sistema e = 1(0. 1), (3, O), (0, 2)}, el vector (0, 2) =2 (0, 1) + (3, O). El espacio que genera e es el mismo que genera e, = e - 1(0, 2) } = 1(0, 1), 3. O) }, ambos generan ~'. Obsérvese que cualquier vector de ~' se puede expresar con los vectores de G, pero no de fonna única. Los colores de la pantalla de un monitor se pueden definir como una combinación lineal de rojo, azu l y verde, pero no se pueden definir con ninguna mbi nación lineal de rojo, azul y morado, porque el morado depende linealmente de rojo y azul. La proposición siguiente expresa que se puede sustituir un vector del sistema de generadores e, por cualquier combinación lineal de los vectores de e donde intervenga dicho vector con coefi ciente no nulo.

Proposición e

es combinación lineal de vectores i/, de e. (e = IU,. i/, .... , ¡¡p) generador de lOces. al sustituir un ¡¡, (con coeficiente", en la combinación lineal que sa ,,) por" en e. el sistema obtenido e, sigue siendo generador de ji

°

Demostración: Sea v = A,¡¡, + A,¡¡, + .. . + Apup, y supongamos que es A, '" 0, entonces, ¡¡, =

=

,-,- ,-,,-

/1.1 V -1\. 1 fVl U2 -

0'_ -

,-',/\"pu". -

/1.-1

Cualquier vector x E V verifica x = Il'¡¡" Il' ¡¡' , + .. . + Il"¡¡,, = fl ,(A,'v - A,'A.,¡¡, - ... - A,'Xpi/p) + Il' ¡¡' + ... + IIp¡¡p = y,v + y,¡¡, + ... + Yp¡¡p·

_molo 1.4.2 Sea e = I ( 1,0, O), (O, 1, O)} generador del plano de ~3, z = O. V=2(1 , 0, O) + 0(0, 1, O) = (2, 0,.2) ¡wede sustituir a ( 1, 0, O) en e = I( l , 0, O), (0, 1, O)}, obteniendo e, = 1(2, 0, O), (O, 1, O) }, generador del mismo plano z =O.

27


Sin embargo, (2, 0, O) no puede sustituir a (0, 1, O) porque el sistema e 2 = = 1( 1, 0, O), (2, 0, O) I no genera el plano z = 0, sino la recta y = O; z = O. El teorema siguiente expresa que el número de vectores de un sistema generador libre es menor o igual al de cualquier otro sistema generador.

1.4.3. Teorema fundamental de la independencia lineal Si / = 11'" 1'" ....1', 1 es sistema libre de generadores de Vy sistema generador de \ : entonces, /¡ :; p

e = Iu" u" ... ,upl un

Demostración:

e

=> ) V; son vectores de un sistema libre de V, es generador de V, por tanto V, = A,u, + Á,Uz + ... + Apup con algún Ai '" 0, supongamos A, '" 0, utilizando la proposición anterior podemos asegurar que e, = Iv" U2 ,... , ¡¡pi es generador de V

(Observemos que hemos sustituido un vector del sistema de generadores por un vector del sistema libre). Por ser e, = {v" ¡¡2 ,... , ¡¡pI generador de V y V2 vector de un sistema libre de V, V2 = JI ,v" Jl2¡¡2 + ... + Jip¡¡p con algún Jli '" 0, supongamos Jl2 '" 0, utilizando la proposición anterior podemos asegurar que e 2 = {v" ¡¡2 ,.. ., up I es generador de V Este proceso 10 podemos repetir, como máximo, p veces, obteniendo p = = {v" V2, ... , vp), si P < h todavía quedan vectores {Vi.', Vi. 2, .. ., V, } de /, que se pueden expresar como combinaciones lineales de ep = {v" V2, ... , vp ), que es un sistema generador, la suposición de que p < h nos ha llevado a una contradicción, porque / = {v" V2,.. ., v, } es un sistema libre, como consecuencia, la suposición era falsa y p ~ h.

e

A

Para hacer esta demostración, hemos utilizado una forma de razonar muy frecuente, es la reducción al absurdo. Consiste en suponer que es cierto 10 contrario a aquello que queremos demostrar (queremos demostrar que p ~ h y suponemos que p < fI ), seguir el razonamiento lógico, y llegar a una contradic-

28

1.4. Transformaciones en un sistema de generadores

ción con la hipótesis (concluimos que I = {VI, V2 , ... , V, } no es libre, en contra de la hipótesis de que partimos). Al repetir el proceso de sustituc ión de un vector del sistema de generadores, por un vector del sistema libre, hemos sustituido parcialmente los vectores de un sistema de generadores por los de un sistema libre cualquiera, sin que varíe el espacio generado.

4 4. Definición 1E·
En lo sucesivo, si no decimos lo contrario, nos referiremos a este tipo de espacIOs. Un espacio vectorial finito puede tener infinitos elementos, sólo es necesario que tenga un sistema generador finito. En el ejemplo 1.3.4 vimos que un espacio vectorial se puede generar a partir de distintos sistemas de generadores. Entre ellos, hay algunos que presentan ventajas indudables, por ejemplo, que cualquier vector sea una combinación lineal única de los vectores del sistema de generadores, o que contengan el menor número posible de vectores, los sistemas de generadores que cumplen esta condición reciben el nombre de bases .

4.5. Definición de base

-Ih e2, .. ., e, } es base del espacio vectorial

V ... B es sistema libre que ge-

Es muy frecuente y útil utilizar la siguiente defini ción de base:

29


1.4.6. Otra definición de base

**

B = Ie,. e, ,...• e. } es base del espacio vectorial V cualquier " E V. se puede expresar de manera única como combinación lineal de los elementos de B.

1.4.7. Equivalencia entre las dos definiciones

**

B es sistema libre que genera V cualquier v E V. se puede expresar de manera única como combinación lineal de los elementos de B.

Demostración => ) Como v E V. y B es sistema generador de V => ji = ,1"e, + A."e2 + ... + ,1,,,e,,. Si la expresión de v no fuera única, v = fIl e! + Jhe2 + ... + J..1. nen. Restando miembro a miembro las dos expres iones, se obtiene: ¡¡ = (,1" - 11,)e, + (,1,2 - 112)e2 + ... + (,l. - 11.)e,,; por ser B un sistema libre, 0=,1" - 11, = A." - 112 = ... = ,1,,, - 11,,; por tanto.,1" = 11,; A." = 112; .. . ; ,1,,, = 11,,· => ) Cualquier ji E V. se puede expresar como combinación lineal de los elementos de B . Por tanto. B genera V. ¡¡ E V se puede expresar como combinación lineal de los elementos de B. ¡¡ = ,1, ,e, + A."e, + ... + ,1,,,e.; dado que de ¡¡ = De, + De2 + ... + De. Y los vectores se pueden ex presar de manera única. O =,1" =,1,2 = ... = ,l•• es dec ir. B es un sistema libre.

Ejemplo 1.4.2 El ejemplo más sencillo de base en [J;l. es la base canónica: B = 1(1. O. .... O), (O. l . .... O) . ..., (O, O, ... , l) }.

30


Cualquier vector x = (x,. x, ..... x") de IR" es combinación lineal de los elementos de B, (x" x, • ...• x") =x, ( l . O•... • O) +x, (O. l •.. .• O) + ... +X" (O. O, ...• 1). luego B genera IR". Si x , (1. O•... • O) + x, (O. l . .... O) + ... + x" (O. O• ...• 1) = (O. O• ...• O) => x, = = x, = ... = x" = O. por tanto. B es libre => B generador y libre. es base.

Consecuencia:

La segunda definición de base IIOS permite decir que, x= (x/, X 2, .. . , x,,) se puede expresar de forma lÍnica mediante los coeficientes X¡, X2, .. " XII' respecto a la base canónica, dichos coeficientes reciben el nombre de coordenadas del vector x respecto a la base dada. Las relaciones que ex isten entre las distintas bases de un espacio vectori al dan lugar a diversos teoremas que reciben el nombre genérico de teoremas de la base,

4 8. Teorema de existencia de la base 'luier espacio vectorial finito V"" TI tiene base Demostración Sea G = I¡¡l. il, •...• ilp} un sistema finito de generadores de V"" TI. Si sus vectores son independientes. G es base y está demostrado el teorema. Si sus vectores no son independientes. es porque alguno depende linealmente de otros. es decir. se cumple la hipótesis de la proposición [1.4.11. y por tanto. es cierta la conclusión de dicha proposic ión: Se genera el mi smo V sustituyendo G por G,. (G, se ha obtenido quitando en G los vectores que no son in dependientes). El nuevo sistema de generadores linealmente independientes. G" es una base.

31


1.4.9. Teorema de la dimensión Todas las bases de un espacio vectorial V tienen el mismo número de elementos Demostración SeaB= {elo e2•...• e" 1 una base de Vy seaB' = {e'l. e'2 •...• e'ml otra base de V. B es sistema libre de generadores. B' es sistema de generadores. por [1 .4.3J => => n ~ m. Además. B' es sistema libre de generadores. B es sistema de generadores. por [1.4.3J => ni::; /l. Por tanto. ni = /l. Todas las bases de un espacio tienen el mismo número de elementos. que recibe el nombre de dimensión del espacio.

1.4.10. Definición de dimensión de un espacio vectorial Dimensión de un espacio vectorial V", {O 1, finito . Dim V. es el número de vectores de cualquiera de sus bases

Ejemplo 1.4.3 La base canónica de U;¡' es {(l. O. O). (O. l . O). (O. O. I)}. tiene tres elementos. los vectores (l . O. O), (O, l . O). (O. O. 1), portanto. cualquier base de U;¡' tiene tres elementos y tres es la dimensión del espacio vectorial u;¡3 Si el espacio es V = O. por convenio se toma Dim V = O.

32


4. 11. Consecuencias 1. Si Dim V = n => No puede haber en V más de i/ldependientes.

/l

vectores linealme/lte

Demostración: B=

{e" e, ,... , e. } es base, por tanto, es sistema de generadores}

S=

{v" v" ... , vp } es un conjunto de vectores linealmente

n

=> p ':;'

independientes Hemos utilizado [1 .4.3].

2. Si Dim V = n => En cualquier sistema de generadores de V /lO puede haber menos de n vectores. Demostración: B=

{el , e" ..., e. } Sus vectores ei son linealmente independientes } (es base)

=> I! ':;'

P

G = {¡¡" ¡¡" .. .,¡¡,, } es sistema de generadores

3. Si Dim V = /l => Cualquier conju/lto S de n vectores linealmente i/ldependientes forma U/la base. Demostración: Recordemos que en la proposición [1.4.3], habíamos concluido que, los vectores de un sistema de generadores pueden ser sustituidos parcialmente por los de un sistema libre cualquiera. Por tanto, los n vectores linealmente independientes de S, pueden sustituir a los n. vectores de cualquier base (son generadores), y el resultado sigue siendo generador y linealmente independiente, es decir, es otra base.

33


4. Si Dim V = /1

=>

Cualquier cOl1jU/lto de /1 gel1eradores forma ulla base.

Demostración: Si G = {u" u, ,..., u, } es sistema de generadores de V, y en G hay un sistema G' con p vectores l. i. (p ~ 11), entonces, el espacio que genera G' también es V, por tanto, G' es base de V. Como la dimensión de Ves 11, el número de vectores de G' es 11 ::::) P = ". => G = G' es base de V.

5. Si Dim V = 11 => Todo cOlljullto de vectores S = {v" v, ,..., vpl de V COII P < /1, lillealmellte illdepe/ldie/lte, se puede completar con p - /1 vectores de V hasta con vertirse e/l base (Teorema de la base i/lcompleta). Demostración: Por [I.4.8J podemos afirm ar que en V existe una base de dimensión /l. En B hay al menos un vector que no pertenece a (S), porque si no, S generaría una base de V y como consecuencia V, y esto no es posible porque p < /1 como sabemos por [1.4.11-1]. Formemos S' añadiendo a S el vector encontrado en B. Si 11 = P + I => S' es la base buscada porque es un sistema de 11 vectores linealmente independientes en un espacio de dimensión /l. Si 11 > P + I => Partiendo del sistema generador S' que tiene p + I vectores, obtenemos S" con p + 2 vectores repitiendo lodos los pasos que hemos dadO para S. Será necesario repetir este proceso n - p veces.

1.4.12. Definición de coordenadas de un vector

x, .... , x, ) son las coordenadas dexE Vrespecloa la baseB= {e" e, ..... e,, } {::::} x=x¡el +X'1eZ + ... +.xnen

(x "

34

**


plo 1.4.4

Cuando decimos que las coordenadas de un vector de ~2 respecto a la base canónica B = [( 1, O), (O, 1) 1son (2, 3), estamos expresando que (2, 3) =2(1, O) + +3(0,1). Si hubiéramos tomado B' = [(2, O), (0,1) 1como base de ~2 , el mi smo veclor se expresaría como 1(2, O) + 3(0, 1), Y diríamos que sus coordenadas respecto a B' son (1 , 3).

35


1.5. Dimensión de los subespacios de un espacio vectorial finito

Los subespacios vectoriales son a su vez espacios vectoriales, y por tanto, tienen dimensión. Vamos a estudiar la relación que existe entre la dimensión de distintos subespacios de un espacio vectorial V de dimensión n.

1.5.1. Proposición. La intersección de subespacios es subespacio La intersección de subespacios Vi con i = 1, ....

11

de V. es un subespacio de V

Demostración:

n

Si U, V E 1= 1 Vi

=> AV

+ /1U E r'\ V" ya que todos los Vi son subespacios de V. ,::1

Además, la intersección no es vacía porque Opertenece a todos los V i. Hemos demostrado que la intersección de subespacios cumple la cond.ición necesaria y suficiente para ser un subespacio.

1.5.2. Teorema El conjunto (S) es el menor de todos los subespac ios de V que contienen S Demostración: Es claro que es el menor, porque para ser subespacio que contenga S debe contener todas las combinaciones Lineales de los elementos de S, es decir, debe

36

1.5. Dimensión de los subespacios de un espacio ...

contener (S), Y (S) es espacio vectorial porque su definición evidencia que se cumple [1.1.3].

Proposición. La unión de subespacios puede no ser subespacio lión de subespacios U, de V, puede no ser un subespacio de l' Demostración: Es suficiente encontrar un ejemplo en el que la unión de subespacios no sea un subespacio, eso es lo que haremos en el ejemplo siguiente.

1.5.1

Sean los subespacios del espacio IR', U , = eje de las y, U, = eje de las x, si U , U U, fuera espacio, -'.(0, 1) + /1(1, O) = (-'., /1) debería pertenecer a U , U U" porque (O, 1), (I , O) pertenecen a U , U U, Y -'., /1, E IR, pero, es evidente que (-'., Jl) El' U , U U, porque si -'. '" O YJl '" O (-'., /1) no está en ningún eje.

Es importante observar que, para comprobar que una afirmación es cierta, no es suficiente verificarla en un caso particular o ejemplo, hay que hacer una demostración, es decir, ver que la afirmación es cierta para todos los casos. Sin embargo, para ver que una afi rmación no es correcta, es suficiente que no lo sea, al menos, en un caso, y por tanto, vale con encontrar un ejemplo que no verifique la afirmación . Dicho ejemplo se llama contrae jemplo . Sabemos que U , U U, es el conjunto más pequeño que contiene U , y U" pero con frecuencia es interesante utilizar, no el conjunto mínimo, sino el

37


subespacio mínimo de V, que contiene U, y U" ese subespacio se llama subespacio suma.

1.5.4. Definición de suma de subespacios Suma de los subespacios U, y U,. de l' es el conj unto U , + U, : U,+U, = (ü, + Ü, /ü, E U ,. Ü, E U, )

1.5.5. Proposición. La suma de subespacios es subespacio La suma de subespacios de Ves un subespacio de V

Demostración: Sean Ü, v E U = UI _ { _

v=

+

\/ 1 +

VI

+ U2, entonces

[[21 U ¡ E VI, U 2 E U2 _ _ _ => \/ 2/ VI E VI. \/ 2 E U2

A.Ü

Ilü

= A.(ü, + ü, ) + 11 (v, + v,) =

= (A.Ü, + Ilv,) + (A.lt, + Ilv,) E U, + U,.

Ejemplo 1.5.2 Dados los subespacios V, = { (a, [3, O) ) e IR' y V, = {(O, A., ¡t) ) e 1I\l' , (U, es el plano z = O: (plano XY) y U, es el plano x = O; (plano YZ)).

38

1. 5. Dimensión de los subespacios de un espacio .. .

Los vectores que forman U, + U, son de la forma (a, todos los vectores de IR'-

f3 + A, 11), es decir, son

La descomposición de un vector IR' en suma de uno del plano z = O Y otro del plano x = O no es única.

plo 1.5.3 (2, S, 3) = (2, O, O) + (O, S, 3)

= (2, 2, O) + (O, 3, 3) = (2, 1, O) + (O, 4, 3) = ...

La dimensión de los subespacios está relacionada con la dimensión del subespacio suma mediante la expresión conocida como fórmula de dimensión o fó rmula de Grassmann.

5.6. Teorema (fórmula de Grassmann) ('-, + U, ) + Dim (U,

n U,) = Dim U , + Dim U,

Demostración:

Si Bo = (e" e, ,... , ep } es base de U, n U,), sabemos que se puede ampliar hasta conseguir una base B, = (e" e" ... , ep, u, ,... , u,} de U" y por otra parte, se puede ampli ar hasta conseguir otra base B, = (e" e, ,... , el" v, ,... , v., } de U, . Podemos construir B = Iel, e2,.. ., ep , u] ,... , ur l VI, .. ., vs }, y demostraremos que es base de U, + U,. Para que B sea base hace falta que sea un sistema libre y que genere U, + U,.

B genera U I + U2 : Vu E U, + Uz, u = u, + u" u, E U" u, E U, Como B, es base de U, y B, es base de U" u, se puede escribir como combinación lineal de B, = (e" e2,... , ep , u, ,... , u,}, y U2como combinación lineal de los elementos de B2= (e" e, ,... , ep , v, ,... , v, }, por tanto, u se puede escribir como combinación lineal de los elementos de '8.

39


B es un sistema libre: Sea \Vo + \V, + \V, = 0, una combinación lineal de los vectores \VO = A,e, +",+ + Apep, WI = a¡u¡ + ... + a rUn W2 = /3¡v¡ + + f3svs; podemos escribir Wo + w¡ = = -\V" como \VO + \V, depende linealmente de B, Y \V, depende linealmente de B, se deduce que, \Vo + \V, E U, n U" y como consecuencia, se puede expresar como combinación lineal de vectores de Bo: \Vo + \V, = Ole, +." +opep. Si formamos la combinación \Vo + \V, + \V, = Ole, + ". +opep+ p,v, + ". + p,v,= = 0, hemos tomado un vector de U, n U2, y otro de U2 , es decir, un vector generado por B2, que es un sistema libre por ser base" O, = ". = op= p, = ". = p, = O. Por ser p, = " . = p, = O la expresión \Vo + \V, + \V2 = 0, se transforma en \VO + + w¡ = O~ A.le] + + A.pep+ G¡u¡ + + a;iir = O~ Al = = A.p= al = ... = a , = 0, con lo que hemos demostrado que B es un sistema libre. Como antes habíamos demostrado que B es un sistema generador podemos afi rmar que B es base de U, + U2 • Para que la descomposición de un vector sea única debemos movernos en una clase especial de sumas: las sumas di rectas, de ellas hablaremos muy pronto. o,,

o ••

o ••

o ••

1.5.7. Definición de suma directa de subespacios

Suma de directa de los subespacios U, y U" de Ves el conjunto U, t±l U2 = {ji = = u, + u, / u, E V" U, E U, }. tal que la descomposición de cada vector Ti es única.

Ejemplo 1.5.4 Dados los subespacios V, = { (a,

p, O) } e

es el plano z = O; (plano Xl') y U2 es la recta

IR' y U2 = {(O, O, JI) }

[x= O;

e

IR' (U,

(eje 2)), los vectores que

LY =O

form an U, + V, son de la forma (a, p, JI), es decir, son todos los vectores de IR' .

40

1.5. Dimensión de los subespacios de un espacio .. .

La descomposición de un vector de [J;l3 en suma de uno del plano XY y otro del eje Z es única. Así (2, 5, 3) = (2, 5, O) + (O, 0, 3), siendo (2, 5, O) E plano z = y (O, 0, 3) E E

°

{x= o y =O

5 8. Caracterización I de la suma directa

V, es suma de directa de los subespacios V , + V, ~ TI

-=0. 'd TlE V, i±l V ,

=TI , + TI, = O => TI , =

Demostración ¡¡ = ¡¡, + TI, = O+ 0, como la descomposición de TI es única, ¡¡, = ¡¡, = O. <=) Supongamos que se verifica la segunda condición. Si la descomposición no fuera única, ti = u] + U2 = li'l + [j'2 ::) (U'l - UI) + (U'2f - U2) = O: : ;. Uf] - U1 = U'2 - U2 = O=> ü ] = UI ; li.'2 = U2, es decir, la descomposición es única, que es una contradicción con la hipótesis. => )

Otra forma de ver que una suma es directa es comprobar que la intersección de los dos subespacios es {O).

5.9. Caracterización 11 de la suma directa

V, es suma de dilecta de los subespacios V,

y V,

~

TI

E

V , n V,

=>

TI =

° 41


Demostración: =» ¡¡ E U, n U, => ti E U, Yti E U, ; U, . U, son espacios vectoriales -Ti E U,. Como (¡¡) + (- ¡¡) = O. aplicando [1.5.8.J => Ti =O. <=) Ahora. la hipótesis es ¡¡ E U, n U, => ti = O. Sea Ti = ti, + Ti, = O. un vector de U, + U,. ti , E U" Ti, E U,. U[ E U h como u[:;;: - U2 ~ - U2 E V I. ~ U2 E V I _ U2

e

U2• como U 2 =

- U I ~ -U1 E V I. =>

ni E U2.

Por tanto. los vectores Ti" ti, . son de U, n U,. cuyo único vector es O. Hemos demostrado que la suma es suma directa.

1.5. 10. Definición y existencia de subespacio suplementario Dado un subespacio fi nito U" exiqe un subespacio U,. tal que \1 = U, (B U, U, es el slIbespacio slIplemel/ftlrio de U,

Demostración de la ex istencia de U, : Si Ie" e, ..... ep ) es base de U,. y le" e, ..... ep • ela l •... • e,, }es base de \l. entonces podemos construir U, = (ep • , ••• •• e,,). que cumple la condición requerida.

ro

Una buena fonna de demostrar que un conjunto existe. es constru irlo. eso lo que hemos hecho para demostrar que ex iste U,.

En el ejemplo 1.5.4. e l complementari o del plano XY (Subespacio U,) es el eje Z (Subespacio U,). Es ev idente que si U, y U, son suplementarios. sus dimensiones están re lacionadas por la expresión: DimU, + DimU, = Dim \!.

42

Ejercicios

Consecuencias Si V, es el subespacio suplementario de V, en V, se deducen las siguientes consecuencias de fomla inmed iata al aplicar la definición de subespacio suplementari o dada en {1 .5.1O): 1. ReLaciólI entre Las dimellsiolles de subespacios supLementarios:

Dim V, + Dim V, = Dim V Demostración: Como Dim (VI

n V , ) = 0, el resultado es consecuencia directa de [1.5.6.].

2. Caracterización de subespacio supLemelltario de UII subespacio:

U I + U,

= V Y U I n V, =O

Demostración: La primera afinmación es consecuencia de la definición de suma directa y la segunda de la caracterización Il de suma directa. 3. Si B = (el, ez ,..., e.J es base deLespacio V .. V = (e,)

8J tez) 8J ... 8J

8J te.). Demostración: Es consecuencia inmediata de las defUliciones de base y suma directa.

cicio 1.1 Demuéstrese que el conjunto de funciones operaciones:

~

: IR

--+

IR con las siguientes

43

(j + g)(x) + f(x) + g(x), siendo j, g E ~. 2. Multiplicación por escalares, defini da como (Aj)(X) = Af(x), siendo A E E R f E ~ , es un espacio vectorial sobre lIt

Solución: Tenemos que demostrar que las funciones tienen una serie de propiedades; para ello, sabiendo que dos funciones son iguales si sus imágenes son iguales para cada elemento del dominio de defini ción, trasladamos las comprobaciones al campo de las imágenes, cuyas propiedades conocemos por ser números reales. (~, +) es grupo conmutativo. La operación + en el conjunto ~ verifica todas las pro-

piedades necesarias: • Asociati va: (j + g) + h = f + (g + h), Vj, g, h E ~ . Primer miembro (!f+ g) + " )(x) = (j + g)(x) = j(x) + g(x) + h(x)

Segundo miembro

+ " (x) =

• Propiedad conmutativa :Vj, g

(j+(g + " »(x) = j(x) = jlx) + g(x) + h(x)

E ~

Primer miembro (j + g)(x) = f(x) + (g)(x)

+ (g + h)(x) =

se veri fi caf + g = g + f Segundo miembro

(g + j)(x) = g(x) + j(x)

• Ex iste un elemento neutro: O E ~ , que veri ficaf + O = f, Vf E ~ La función O es la función nula, es decir, O(x) = O, 'Ix E IR Primer miembro (j + o)(x)

44

=f(x) + O(x) =j(x) + O =f(x)

Segundo miembro j(x)

Ejercicios

• Existe un e lemento simétrico para cada elemento del conjunto: :J(-IJ E ~ definido como (-IJ(x) =-f(x), que verifica f + (-IJ = O Primer miembro fJ)(x)

Vf E

~,

Segundo miembro

=j(x) + (-IJ(x) =O

O

- Rl tiene las propiedades: • Distributi va de escalares respecto a elementos de

Primer miembro ~)(.r)

" r)

= ).(j(x) + g(x) =

+ ).(g(x))

~:

).lf + g) = V + ).g

Segundo miembro

W + ).g)(x) = ().j)(.r) + ().g)(x) = = ).j(x)

+ ).g(x)

• Distributiva de elementos de ~ respecto a escaleres: (). + /1)f = ).f + /1f

Primer miembro - .u lj)(x) = (). + p )f(x) = . r)

+ /11(x)

Segundo miembro

W + pIJ(x) = ().IJ(x) + (¡lIJ(x) = =).1(x) + pf(x)

• Asociativa respecto al producto de escalares : ()./1)f= ).(¡lIJ

Primer mjembro

Segundo miembro

_. ,f)(.r) = (Ap)1(X) = Ap1(X)

= ).(/1IJ(x) + Apf(x)

45


• Existe un escalar unidad, 1, que verifica 1/=/ Primer miembro ( Ij)(x) = I/(x) =/(x)

Segundo miembro Jtx)

Podemos decir que las funciones son vectores por ser elementos de un espacio vectorial, y los elementos de IR son los escalares.

Ejercicio 1.2 (A, *, IR) es una estructura algebraica, tal que, en el conjunto A = Ix I x son dígitos impares I se han defmido las siguientes operaciones :

* es una operación, tal que, a * b = e, siendo e la cifra de las unidades de l producto ab. 2. Multiplicación estándar por elementos de IR. l.

Se pide hacer la tabla de (A, *) y comprobar si (A, *, IR) es, o no es, espacio vectorial. Solución: • (A, *) no es grupo, porque no tiene alguna de las propiedades necesarias.

*

I

3

5

7

9

I

I

3

5

7

9

3

3

9

5

I

7

5

5

5

5

5

5

7

7

l

5

9

3

9 9 7

5

3

I

46

-

Es ley de composición interna: (1 * b E A, V a, b E A Es asociati va por serlo el producto de números enteros Es conmutativa a * b = b * a, Va, b E A Existe e lemento neutro: l E A; I * (1 = (1, V a E A No todos los elementos de A tienen simétrico Poseen simétrico 1, 3,7,9. No tiene simétrico 5

Ejercicios

• (A , *, IR) no es un espacio vectorial, ya que no es grupo.

• Observación: En la tabl a se pueden ver algunas de las propiedades, por ejemplo: Es ley de composición interna: No aparece ningún número di stinto a los elementos de A. Es conmutati va: La tabla es simétrica. Existe elemento neutro: 1 E A ; La l' fi la y la primera columna, correspondientes a la multipl icación por 1, permanecen invariables. Poseen simétrico 1, 3,7, 9. No tiene simétrico 5: En cada fil a (no hace falla especificar columna porque es simétrica) hay un l , excepto en las correspondientes a 5.

1.3 Si en el conjunto IR' se definen las operaciones:

(x" x,) + (y " y, ) = (X I + y" x, + y, ) .<.(x" x, ) = (.<.' x " A.x, )

no tiene estructura de espacio vectorial. ¿Por qué? Solución: (IR', +): Hemos visto en teoría que (IR' , +) es un grupo conmutati vo. (La operación de sumar estándar en IR' es la que hemos definido.) (IR', +, IR) : Veamos las propiedades que tiene esta operación de multiplicar calar por vector. 1: No cumple la distributiva de los vectores respecto a los esca lares: {A + ¡i)u =.<.u

* ¡iu:

47


Ya podemos afumar que no es un espacio vecto rial, puesto que, no cumple una de las condiciones necesarias. Aunque no es necesario, vamos a ver si tiene el resto de las propiedades, o no. 2: Sí cumple la distributiva de los escalares respecto a los vectores: ,,(U: * v) = ,,¡¡ * "v: " ((x ,, x,) + (y" y, )) =,,(x, + y" x, + y, ) = (,,' (x, + y,) , ,,(x, + y,)) 2 2 2 2 " (x,, x, ) + "(y, , y, ) = (" x, + A.x, ) + (A y, + AY,) = (A x , + "y" A.x, + AY,)

3: Sí cumple la asociati va: (A,u)¡¡ = ,,(¡¡¡¡):

A(¡¡(X" x, )) =A(¡¡'x ,, ,ux,) = ("',u' x,, ",ux,) (",u)(x " x,) = ((Ap)'x" A,ux,) 4: También verifica la ex istencia de un escalar unidad, 1, tal que Iü = ¡¡: I (x" x,) = (I 'x" Ix, ) = (x"x,)

IR' con las operaciones estándar tiene estructura de espacio vectorial, pero no la tiene con las operaciones que hemos definido en este ejercicio. Hemos comprobado, por tanto, que la estructura algebraica de un conjunto depende de l conj unto y de la operación u operaciones que se defman en él.

Ejercicio 1.4 Sea (IR' , +, IR) el espacio vectorial real estándar de d imensión tres. Se pide decidir cuáles de los siguientes subconj untos son subespacios vectoriales suyos:

48

1. V, = {(x" x"

X 3) /

2. V, = {(x" x"

X3) /

x, + x, + x, = I } x, + x, + X3 = O}

Ejercicios

3. V 3 = {(X"X2 ,X3) / X,. + X2 ~ 11 4. V,= {(X"X2,X, )/X,X, = I I 5. V, = {(x" x" O) / x; + xi ~ 1 I Solución: La condición necesaria y sufic iente para que V sea subespacio vectorial es: Vu, \1 E V , VA, 11, E ~ => AU + 11\1 E V. Veamos qué subespacios la verifican . 1. Si X, Y E V, => X + Ay = (x, + AY" x, + AY" x, + AY,); (x , + AY,) + (x, + AY,) + (x, + AY3) =(x, + x, + X3) + A(y, + Y2 + Y3) = 1 + lA

Como 1 + A no tiene por qué ser 1 => V , no es subespacio vectorial. 2. Si X, Y E V, => X + Ay = (x , + AY" x, + AY" x, + AY3); (t, + AY,) + (x, + AY,) + (X3 + AY3) = (x, + x, + X3) + A(y, + y, + Y3) = O+ DA. = O Como x + Ay E V, => V , es subespacio vectorial.

3. Si x, y E V 3 => X + Ay = (x , + AY" x, + AY" x, + AY,); (x, + AY,) + (x, + AY,) = (x, + x, ) + A(y, + y,), que no tiene por qué verificar la condición que caracteriza a este subconjunto, como ocurre en el ejemplo siguiente: (-1, 0, 1) + 5(0, 1, 2) = (- 1, 5,11 )

x, y E V,

=>

V 3 no es un subespacio vectorial.

X + Ay = (x, + AY" x, + AY" x, + AY,); Ax,y, + Ax2Y' + A' y,y, = I + Ax,y, + AX2Y' + A' Como I + AX,y, + Ax2Y' + A' no tiene por qué ser 1 => V, no es subespacio

4. Si

=>

(x , + AY,) + (x, + AY,) vectorial .

5. Si x, y E V , => X + Ay = (x, + AY" x, + AY" X3 + AY3); (x, + AY,)' + (x, + AY,)' = x; + 2AX,y , + A' y; + x¡ + 2AX2Y' + A' y¡ Como la expresión anterior no tiene por qué ser ~ 1, Vx, y E V, => V , no es ubespacio vectori al.

49


• En los conj untos .V" V" no haCÍa falta haber hecho nada más que observar que (O, O, O) no pertenece a ellos para aftnmar que no son espacios vectoriales. • (O, O, O) sí pertenece a V 3 , V s, que tampoco son subespacios. • La no pertenencia del Oal subconj unto garantiza que no es subespacio vectoriaJ, pero su pertenencia no garantiza que lo sea.

Ejercicio 1.5

En un almacén se dispone de tres tipos diferentes de abonos A, B, C, envasados en pastillas de 300 gramos. Cada pastilla contiene fósforo, potasio, nitrógeno, calcio y hierro. Las cantidades en gramos de cada componente por pastilla, según la clase, son: 100,90,60 de fósforo, 50, 50, 50 de potasio, 100, 105, 120 de nitrógeno, 50, 45 , 30 de calcio y O, 10,40 de hierro. a) Un agricultor necesita para un cultivo determinado, una mezcla que contenga 500 de fósforo, 100 de potasio, 500 de nitrógeno, 2.500 de calcio y 150 de hierro. ¿Se puede conseguir con los productos que hay en el almacén sin romper las pastillas? ¿Y rompiéndolas? b) La ex igencia de otro cu lti vo es una mezcla sum inistrada en bloques, tales que, cada uno contenga 290 g de fósforo, 150 g de potasio, 10 g de hierro y no importa la cantidad de nitrógeno y calcio. ¿Es posible hacer el compuesto pedido con los productos A, B, C? c) DetenmJnese la cantidad de cada componente por bloq ue de compuesto, el peso de cada bloque y la cantidad de pastillas de A, B, C que intervienen en él.

P

K

N

Ca

Fe

Abono A

100

50

100

50

O

Abono B

90

50

105

45

10

AbonoC

60

50

120

30

40

50

Ejercicios

Solución: a) Las cantidades de cada elemento en los distintos compuestos básicos se pueden representar mediante los vectores 11 = (100, 50, 100, 50, O); Y, = (90, 50, 105,45, 10); e = (60, 50, 120, 30, 40) . La mezcla pedida debe fonnarse tomando una cantidad de cada compuesto , B, e, es decir, para que se pueda formar debe haber una combinación lineal de los vectores dados. La habrá si existen coeficientes reales a, [3, y que verifiquen la igualdad: (500, LOO, 500, 2.500, 150) = a ( 100, 50, LOO, 50, O) + [3 (90, 50, LOS , 45 , LO) + + y (60, 50, 120, 30, 40) . Para que dos vectores sean iguales, lo deben ser todos sus componentes, por tanto, el sistema siguiente debe tener solución. 500 = LOOa + 90[3 + 60y; 100 = 50a + 50[3 + SOy; 500 = looa + 105[3 + 120y; 2.500 = 50a + 45[3 + 30y; 150 = Oa + LO[3 + 40y; El sistema no tiene solución porque looa + 90[3 + 60y = 2(50a + 45[3 + 30y), mientras que 500 # 2 x 2500 (2.' Y 4.' ecuaciones). No se puede fonnar el abono pedido, ni partiendo ni sin partir las pastillas. b) Igual que en el apartado a), será posible hacer la mezcla si existen coeficientes reales a, [3, y que verifiquen la igualdad: (290, 150, l/3, 1/4, 10) = a ( 100, 50, 100, 50, O) + [3 (90, 50, LOS , 45 , LO) + 120, 30, 40).

+ y (60, 50,

Es decir, si tiene solución e l sistema siguiente: 290 = 100a + 90[3 + 60 y; 150 = 50a + 50[3 + SOy; " 3 = LOOa + L05fJ + 120y;

51


114 = 50a + 45{3 +30y; 10 = Da + 10{3 + 40r;

El sistema formado por las ecuaciones 1' ,2 ' Y 5 .. tiene como solución a = 2, {3= 1, r= O. Para que tenga solución el sistema formado por las cinco ecuaciones, los valores a = 2, {3 = 1, r = O deben ser solución también de las ecuaciones 3' y 4 ", Y por tanto, 11, = 305, l/, = 145. Como consecuencia, se puede formar la mezcla porque el vector (290, 150, "3, 11,, 10) es combinación lineal de los vectores ( 100, 50, LOO, 50, O), (90, 50, 105, 45 , 10), (60, 50,120,30,40). c) Los valores", = 305 , 114 = 145 , indican las cantidades de nitrógeno y calcio que lleva cada bloque, e l vector que indica la cantidad de cada com ponente por bloque de compuesto que se va a suministrar al agricultor es: (290, 150,305 , 145 , 10), siendo el peso de cada bloq ue 290 + 150 + 305 + 145 + + 10 = 900 g. Los coeficientes a = 2, {3 = 1, r = O, indican el número de pastillas de tipo A, B, C respectivamente que hay que tomar para formar cada bloque del compuesto pedido. El peso del bloque también lo podíamos haber calcul ado sabiendo que cada bloque se forma con dos pastillas del tipo A y una pastilla del tipo B, de 300 g de peso cada una, es decir, 3 x 300 = 900 g.

Ejercicio 1.6

Sea V = lf: IR -+ IR l. Se pide determinar si el conjunto W = IJ(x) = e" ; g(x) = 3 = x ; h(x) = x 1es libre, o ligado. Solución: Sea ",e" + {3x' + rx = O, esta igualdad debe ser cierta para todos los va lores dex. Para cada uno de ellos obtendremos una ecuación:

52

Ejercicios

Si x = o => A= O Si x = I => f3 + r= O Si x = 2 => 8f3 + 2r = o Del sistema de ecuaciones formado por f3 + r = O Y 8f3 + 2r = O, se deduce que f3 = r = O, es decir, es un sistema libre o linealmente independiente.

cicio 1.7

Si P, es el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor que 3. Se pide: a) Decidir razonadamente si {x', x' + x, x + t} es una base de dicho espacio vectorial. b) Calcular las coordenadas de 5/ + 3x + l respecto a la base {J, .,) + x, x + + I ¡. e) Encontrar una base del espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual que 3, que contenga a la base dada. d) Calcu lar las coordenadas de 5x' + 3x + I respecto a la base encontrada en el apartado anterior. Solución: a) Cualquier base B del conjunto P, {ax' + bx + e I a, b, e E IR } debe ser un sistema libre de vectores de P" tal que, todo polinomio de grado meoor o igual que tres, se pueda escribir como combinaci ón lineal de los vectores de B. Vamos a comprobar si {x', x' + x, x + I } cumple estas dos condiciones : a l ) {x', x' + x, x + I } es un sistema libre:

aJ +{J(x' +x) + 8(x+ 1) =0 un sistema libre. a2)

=>

a= 0,{J =0, 8 = 0

=>

{x2 ,x' + x,x+ 1} es

{J, x' + x, x + l } es un sistema generador de P, :

53


Cualquier elemento de P, es de la forma al + bx + e; para que {x', x' + x, x + + l } sea generador la ecuación (Lt' + bx + e = a! + f3(x2 + x) + o(x + 1) debe tener oluciones reales para a, 13, o. En efecto, (Lt' + bx + e =al + f3(x' + x) + o(x + 1) =x'{a + fJ) + x(f3 + O) + + o => a = a - b + e; => 13 = b - e; o = e; a, 13, o existen y son reales para cualquier polinomio de P2, porque existen y son reales, a, b, c. b) En 5x' + 3x + 1, los coeficientes son: a = 5; b = 3; e = 1 => a=5 - 3 + l =3 ; 13=3 - 1 =2; c = l => 5x' +3x+ l =3x'+2(x' +x)+ + I(x+ 1). Las coordenadas de 5 X2 + 3x + 1 respecto a la base dada son (3, 2, 1). c) Para que {x', x' + x, x + 1} sea base de P" nos falta añadir x' ; el conjunto {x' , x', x' + x , x + 1) puede generar P" y los vectores que lo forman son un conjunto de vectores linealmente independientes. Hemos añadido x' , pero hay otras muchas posibilidades como por ejemplo, x' -x', x' - x' + x, x' + 1, .. . d) El polinomio 5x' + 3x + 1 también pertenece a P" por tanto, se puede expresar como combinación lineal de los elementos de cualquiera de sus bases. En particular, 5x' + 3x + 1 = ax' + f3x' + o(x' + x) + r(x + 1) = ax' + (f3 + + O)x' + (o + r)x + r => a = O, 13 = 3, 0= 2, r = 1. Las coordenadas de 5x' + 3x + 1 respecto a la base {x', x', x' + x , x + 1) son (0,3,2, 1).

Ejercicio 1.8

Sea S = {(2, -1,2,3), (1, 3, 2, 1)}

e lit. Se pide:

a) Escribir unas ecuaciones paramétricas de (S); b) Determinar si el vector (11 , -2, 12, 16) pertenece a (S), y si es así, encontrar la combinación lineal que lo genera; c) Determinar el valor de los parámetros ni. y n para que el vector ü = (1, m, 4, n) pertenezca al subespacio de lit generado por los vectores, v = (2, - 1, 2, 3) yw = ( 1, 3, 2,1).

54

(

Ejercicios

Solución: a) Ecuaciones paramétricas:

(S) = (A(2, -1, 2, 3) + /1(1 , 3, 2,1) I A,/1

4

E

III )

=> {

X,

= 2A +/1

X2 X,

= - A + 3/1 = II + 2/1

x4=3A+/1

b) Para que (11, -2, 12, 16) pertenezca a (S), deben existir soluciones en el sistema formado por las ecuaciones paramétricas:

~

II =ll+/1 -2 = -A + 3/1 12=ll+2/1 16=3A+/1

Los valores de A, /1 obtenidos como solución de las dos primeras ecuaciones son A = 5, /1 = 1; que convierten en identidades las dos últimas ecuaciones, por tanto, (11 , -2, 12, 16) E (S), Y la combinación lineal que lo genera es : ( 11 , -2, 12, 16) = 5(2, - 1, 2,3) + 1(1 ,3,2, 1). c) Del mismo modo que en el apartado anterior, para que (1, ni, 4, n) pertenezca a (S), deben existir soluciones en el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones paramétricas:

l=ll+/1 =-A + 3/1 4 { = 2.<. + 2/1 n=3A+/1 ni

Los valores de A, /1 obtenidos con solución de las ecuaciones primera y tercera son A = - 1, /1 = 3; que al ser sustituidos en las dos ecuaciones restantes, proporcionan los valores de los parámetros ni = lO, n = O.

55


Ejercicio 1.9

Sean L, = I (x" x" X 3, x,) } E IR' X 2 = X 3 = x, }, 0, = I (X lo x" X 3, x,) } E E IR' / x, = X2 = X 3 = x,}, Lo = I (x" X 2, X 3, x,) } E IR' / X 2 = 2x4 , X4 = 2x3 } subespacios vectoriales de IR'. Se pide: a) Una base y unas ecuaciones paramétricas de L , n L 2 , 0, n L 3, L , n L3. b) Indicar cuáles de las siguientes sumas son directas y dar sus ecuaciones. L I + 0" 0, + L 3y L I + L3. Solución: Los vectores de L I n 0, pertenecen a L , ya 0" por tanto, deben verificar las ecuaciones de ambos.

Cualquier vector que cumpla las condiciones XI = X 3

también cumple •

{ X2 = X4

{

X, =X2 X2 = X 3,

es evidente que,

X 3 =X4

,es decir, L I n L 2 => L , n 0, = L I'

XI = X 2

Las ecuaciones cartesianas de LIo son:

.

X2 {

= X3

X 3 =X4

a xX I = a

, .

Unas ecuaClOnes parametncas son: {

x~ : a X4 - a

( xX 2 )

(1)

~4

1

~~~ = a

Una base de L I n 0, está formada por el vector (1, 1, 1, 1). L I + 0, no es suma directa porque L I n 0, O. Cálculo de L I + 0,:

*

56

l 1

Ejercicios

Conocemos una base de L" siguiendo el mismo proceso encontramos una base de L,:

Los vectores (1, 0, 1, O) Y (O, 1, 0, 1) son generadores de L, y son I;nealmente independientes, por tanto, son una base de L" Cualquier vector v de L , + L, es suma de un vector v, E L , Y un vector de v, E E L,; v, está generado por los vectores de una base de L" y v, por los vectores de una base de L"

Los tres vectores generadores no son linealmente independientes, ( 1, 1, 1, 1) = ( 1, 0, 1, O) + (O, 1, 0, 1), portanto ( 1, 1, 1, 1) se puede elimillar del sistema de generado res de L, + L, sin que varíe el subespacio generado, que es L" como ya sabíamos porque L , e L" ' B uscamos l os vectores que ven'f'lean las ecuacIOnes

{x, =x, y {X 2X4 x:,=2\:3 X2

=

X4

=

la única solución posible del sistema formado por las cuatro ecuaciones es el vector (O, 0, 0, O), por tanto, L, n L, es el subespacio impropio de [J;l' : O, lo, + L, es suma directa porque L, n L, = O, Cálcu lo de L 2 (B L,: Base de L, = { ( 1, 0, 1, O), (O, 1, 0, I) } Base de L, = {(I , 0, 0, O), (0, 4, 1, 2)} Si v E lo, + L, => v = v, + v, / v, E L, Y v, EL"

57


Los cuatro vectores que fonnan el sistema generador son linealmente independientes, por tanto, son base de lit => Lz G:l L3 = ~4. Cualquier vector de ~4 se puede obtener como suma de un vector de Lz y otro de L3.

t

¡ = X2

L¡ n 0, está fonnado por los vectores que verifican las ecuaciones X2 = X3 Y X 3 = X4

X2 = 2~4 { X4 = 2 <3 => L¡ n 0, {(O, O, O, O)} => L¡ + 0, es suma directa. Cálcu.lo de L¡ G:l L 3: Base deL¡ = {( I , 1, 1, I) } Base de 0, = { ( 1, O, O, O), (O, 4, 1, 2) ) Si v E L¡ G:l L3 => V = V¡ + V3 / V¡ E L¡ Y V3 EL-,.

= a + f3 x2=a+48 .. " ' que elLm lX3 = a + u x4=a +28

Xl

. . Unas ecuacIones paramétncas de L¡ G:l L3 son: {

nando los parámetros dan lugar a las ecuaciones cartesinas X2 + 2<3 - 3X4 = O.

58

Ejercicios

E¡ercicio 1.10 Sean A = {(l,2, 1, 1),(-1,0, 1, 0),(2,2,0, I)} yB= {(x"x"x" x4) e lR'/ /2x 1 - 2x2 + 2x, - x, = O). Se pide: a) Obtener una base, la dimensión y ecuaciones de ambos subespacios de IR'. b) Determinar si A + B es suma directa, y escribir sus ecuaciones paramétricas. c) Obtener el conjunto complementario de A en IR' . Solución: a) El sistema {(I , 2, 1, 1), (-1, 0, 1, O), (2, 2, O, I )} no es libre, ya que:

(1,2, 1, 1) - (- 1, 0,1, O) = (2, 2, 0,1 ); al quitar el vector depend.iente queda el sistema {(I, 2, 1,1), (- 1, 0, 1, O)} , que es independiente y forma una base del subespacio A, cuya dimensión es dos.

Las ecuaciones paramétricas son:

{XI + X,- 2x, = O

sianas

X2 -

2x, = O

El subespacio B de IR' cuyas ecuaciones cartesianas son: 2x 1 - 2<2 + 2x, - x, = O tiene por ecuaciones paramétricas:

XIx, = fJa X

-8

{ x: : 2a - 2fJ + 28

.,.

x, ) ( XI X

x:

= a

(

I ) +fJ (O)Ol +8

O

O

2

-2

(1, O, O, 2), (O, 1, O, -2), (O, O, 1, 2) son un sistema libre, por tanto una base de B, y la dimensión de este subespacio es tres .

59


b) A + B no puede ser directa porque A y B son subespacios de [J;l4, si la suma fuera directa, la dimensión de A n B sería O, y como A + B también es un subespacio de [J;l4, el mayor valor que puede tener su dimensión es cuatro, y no podría cumplirse la igualdad : Dim (A + B) + Dim (A nB) = Dim A + Dim B. A + B es subespacio de [J;l4, Vii E A + B

=>

Pero de entre los cinco vectores del sistema de generadores, hay sólo tres independientes como puede comprobar el lector por cualquiera de los procedimientos que conoce.

que son las ecuaciones paramétricas de A + B. c) Para encontrar el subespacio suplementario de A, basta con: Ampliar la base {e l , 2, 1, 1), (- 1, 0, 1, 0) 1 deA hasta obtener una base de [J;l4, lo conseguimos con dos vectores independientes de ellos, por ejemplo: {(O, O, 1, O), (O, O, O, 1) 1; el subespacio generado por {(O, O, 1, O), (O, O, O, 1) 1es el suplementario de A.

.

, .

XIx, ) (

Sus ecuacIOnes parametncas son: x; = a X4

60

O (O)

( O)

l + PO'" O 1

{XI'~3x,

=O :

a

X4-P

Ejercicios

Sus ecuaciones cartesianas son:

[ ti = 00 "\:t2=

Aunque al tenninar el capítulo uno el lector dispone de herramientas para ver la dependencia e independencia lineal, después de estudiar los capítu los dos y tres, le resultarán más fácil hacerlo, por lo que se recomienda una revisión cuando haya leído dichos capítulos.

61

2 APLICACIONES LINEALES

ODUCCIÓN Aunque los cambios de coordenadas cartesianas conducen a cálculos idénticos a los de la teoría de transformaciones lineales, éstas aparecen más claramente (bajo el nombre de sustitución lineal) en los trabajos sobre clasificación y reducción de fonnas cuadráticas de coeficientes enteros, de dos variables en Lagrange y de tres variables en Gauss. Gauss para representar la sustitución lineal, utiliza por primera vez una notación matricial que designa con un único símbolo S, hace notar también que i después de una sustitución S se realiza otra U, el efecto es el mismo que realizar una sustitución cuya tabla de coefi cientes es precisamente la correspondiente a lo que después se llamaría el producto de las matrices de U y S.

SU y USo Es Cayley, en 1855, quien al estudiar el comportamiento de los invariantes bajo transformaciones lineales, introduce la notación matricial para representar las transformaciones con toda generalidad al objeto de simplificar la notación.

El nombre de matriz para designar una tabla rectangular de números, se debe a la fért il imaginación de Sylvester, llama así a una tabla "oblonga de ele-

63

2 Aplicaciones lineales

mentos porque es la madre de la que se pueden extraer tablas cuadradas para hacer sus determinantes". En 1858 publica A Memoir on lhe Theory of Malr;ces, que se considera el trabajo definitivo que dio origen a la teoría de matrices. En él se define la adición y el producto por escalares. La definición de producto de matrices está motivada (como en el caso de Gauss) por su interpretación como representación analítica de una transformación lineal y la imposición de que la matriz producto represente la transformación composición. Cayley prueba todas las propiedades algebraicas de las operaciones con matrices. Define e l polinomio característico de una matriz cuadrada A como y enuncia e l llamado Teorema de Hamilton-Cayley, aunque sólo lo demuestra para n = 2 Y n = 3.

64

Sy/vester (1814-1897)

Empe.r.ó-&l1ll ~ CQIIIIU"'endtiCOté$¡ h~¡~ 1m dlfídlPb,w't de~.~oilid hnpll:ll..,éüipi é"sa. ~

1M,

S~j~~paraque sigu.~W~

dun lQs1atetra;Jlilij¡f¡JeilRplls6 a emigrar a EE.UU.

.¡....

~.aHt~iei1cuiíti'6 a gusto, volvió a lnglaterra ~~aUa ~ apliClllk lkl!Ide su.abajo como actuario de sag

abjadl'Cl6este rrabajo'para dedicarse a la abogacía.. actillida.lq.o

al: , ®i)arparadeclillar5e ala u,atemática pura. Ifá l1!.S&cenoció a Cayley y su relación cri staliz6 ea la ~":lá lieOlÍa de invariaa&es algebraicos Y de las matrices, mieolrlIs era catedIátiOG anWoolwidl (Inglaterra). En IS76 fue como catedrático a la prestigiosa Universidad de.Jebn Ho,. ¡iIei.ns de IbIItimore (Estados Unidos). Nlí4e!endió la belleza de la abstracción malemática y provocó _~ .-q\lltillil en la enseñanza de Ias r I r 'litas. ,tii~itada vida puede I'CSIIIIlinre ea sus propias palabras: "amo f«lI~.mi ocupación".

65

Organigrama

CAPÍTULO 2 Aplicaciones lineales

1

I

Los subespacios núcleo/imagen I Determinación de una a. l.,f, de Ven W

Matriz asociada a f cuando se fijan las bases en V y en W

I

1

Ven

M nx n

W

1

1

Composición de aplicaciones lineales

Producto de matrices M nxlI x M mx h

I

I

El anillo de aplicaciones Lineales de Ven V

Cálculo matricial en

I

I

Distintas expresiones del endomorfismo identidad

Matriz asociada a un cambio de base en V

I

I

Cambio de base en VyW

Matriz asociada a una aplicación f cuando cambian las bases en VyW

M II XII

1

Matrices elementales

67


2.1 Aplicaciones lineales

Al definir una aplicación entre dos espacios vectoriales, estamos utilizando muchos conceptos simultáneamente. Vamos a analizarlos sobre un ejemplo concreto.

Ejemplo 2.1.1 "Seaf: (M, +, Iffi)

--7

(Iffi', +, Iffi) una aplicación definida como:

a" a 12 ) ( a21 O

---t ( all

+ G1 2, GI 2 - al[. a 21, O)" .

Tenemos: • Estructura algebraica inicial : (M, +, Iffi) es el espacio vectorial de las matrices de la forma

(~:~ ~2 )

,entre las que hay definida la opera-

ción de suma estándar, y la operación de multiplicar estándar por un escalar. • Estructura algebraica final: (1ffi4, +, Iffi) es el espacio vectorial de los vectores de Iffi', entre los que hay definida la operación de suma estándar y la operación de multiplicar estándar por una escalar. • Una aplicación f que transforma cada matriz ( all al2 ) E M en el vector a.... O (a"

+ al2, a l2 -a", a2l, O) E 1ffi4

~I

Es evidente quefes aplicación, porque para cada original la imagen es única. • Además, es una aplicación especial que conserva la suma:

68

2.1. Aplicaciones lineales

f

b" b 12 ) ( b21 o = (b" + b ,2 , b '2 - b" , b2lo O)

f

(

+ b 12 a12+ b12 ) O = (a" + b" + a'2+ b ,2, a'2+ b ' 2 -a" - b", a" + bOl, O) a" + b21

a ll

12 f ( a" a21 aO ) +f (b" bOl b12) O = (a" + a,2, a'2-a", a2" O) + (b" + b ,2, b 12 -h" , b21 , O)

aO,, )+f (b" b,, )=f (( aa21" aO12 ) + (b" b b O b O

12

21

))

21

• También conserva el producto por escalares:

a" aI2)) f (A( a21 O = f (Aa" Aa21 Aa12) O = (Aa" + Aa ,2, Aa l2 -Aa", Aa2" O)

aI2 )) =Af( a" a12)

a" a" O

a21 O

Podemos decir que, "Mediante la aplicación f , la imagen de la suma de matrices es la suma de las imágenes de dichas matrices, y la imagen del producto de una matriz por un escalar, es el escalar por la imagen de la matriz", Las aplicaciones que, como ésta, tienen la propiedad de conservar la estructura de espacio vectorial porque la imagen de la suma es la suma de las imágenes , y la imagen del producto de un original por un escalar, es el escalar por la imagen del original, son de un tipo especial y reciben el nombre de apl icaciones lineales o transformaciones lineales

69


2.1. 1. Definición de aplicación lineal f: \f --+ W es una aplicac ión lineal enlre los espacios vectoriales \', W. si se verifi.. \;fu. \' E V; \;fA . .u E IR ca: f(AU + fin = AI(Til + .uf(\') +

Las aplicaciones, lineales o no, se usan continuamente en Informática, citaremos algunos ejemplos claros: • Cada dirección en la memoria se considera como un vector y se le asigna su posición mediante una aplicación no lineal. • En una base de datos se relacionan (se establece una aplicación) varios elementos de diversos campos (conjuntos sobre los que se define la aplicación). • En la programación orientada a objetos, los conjuntos y subconjuntos son las clases y las aplicaciones la relación entre clases. De entre las aplicaciones lineales, algunas nos resultan conocidas, es el caso geométrico de las proyecc iones que se ilustra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 2.1.2. 3

3

Compruébese que f, : 1R --+ 1R / f,(x" X2, X3) = (x" X2, O) es una aplicación lineal. Veamos que verifica la cond.iciónf ,(ílX + JlY) = J.!,(x) + .uf,(y). En efecto, al desarrollar ambos miembros obtenemos el mismo resultado. f,(A(X" X2, X3) + Jl(y ' , Y2, Y3)) = f,(M, + JlY" M2+ JlY2, M3+ JlY3) = (M, + JlY" M2 + JlY2, O). f ,(A(X" X2, X3)) + f ,(Jl(y ,, Y2, Y3)) = f,(M" M2, M3) + f,(Jly" JlY2, JlY3) = (M" M2, O) + (Jly" JlY2, O) = (M, + JlY', M2 + JlY2, O).

La imagen de (2, 3, 7) esf,(2, 3, 7) = (2, 3, O), y geométricamente la identificamos con la proyección o sombra del vector (2, 3, 7) sobre el plano X3 = O.

70

2. 1. Aplicaciones lineales

Para!, : [J;l3 -+ [J;l3 / ! ,(X ¡, x" X3) = (X¡, o, X3) se hace exactamente igual, y es un pequeño ejercicio para que el lector compruebe si ha entendido la definición de aplicación lineal. Esta aplicac' ón es la proyección sobre el plano y = O. Sabemos que si V = V¡ El:> V 2 , cualquier vector de V se puede escribir de forma única como v = + " " siendo E Vio '" E V , . Las aplicaciones PI: V -+ V¡ / p ¡ (v) = Yp,: V -+ V, / p,(v) ="" se llaman proyecciones de V sobre los subespacios V¡ y V, .

"¡

"¡

"¡

Ejemplo 2.1.3

La aplicación!: [J;l -+ [J;l / fix) = sen x no es una aplicación lineal. No conserva la suma: x-+ f(x) = sen x

y -+ fu) = sen y x + y -+ sen (x + y) = sen x cos y + sen y cos x., sen x + sen y

Tampoco conserva el producto por escalares :

11:

11:

2

2~

sen( lO.- )" 10.sen(-);

// 11:

:/

sen( IO.- ) = sen(511:) = sen(1I:) = O

2

~ 1: 10.sen(-) = 10.1 = 10 2

La aplicación i : V -+ V que transforma cada vector" E V en el mismo vector ", se ll ama apl icac ión identidad , y es ev idente que es una aplicación lineal. La aplicación O : V -+ W que transforma cada vector" E V, en el vector OE E W, se llama aplicación nula , y también es evidente que es una aplicación lineal.

71


2.1.2. Consecuencias 1. Para cualquier aplicación lineal f

: V -+ W, se verifica que f (O) = O

Demostración: Sabemos que 0

= Ov, por serf

una aplicación linealj(O) = 0j(V)

2. Para cualquier aplicación lineal f : V

-+

=O

W, se verifica que f (- v) =

= -f(V) ·

.Demostración: j(v) + j(- v)

=j(v + (-v» =j(0) = O=> j(-v) = - j(v)

3. Si dos vectores son linealmente dependientes, sus imágenes mediante una aplicación lineal también lo son. Demostración: Sea {U ¡, U2} un sistema ligado => Si A¡U¡ + ,<,U2 = O hay algún A¡ # O j(A¡U¡ + A2U2) =f (O) =O j(A¡U¡ + ,<,U2) =A¡{(ü¡) + A,j(U2) =O con algún A¡ # O, por tanto (f(U¡),j(U2)} es un sistema ligado.

4. Si dos vectores son linealmente independientes, sus imágenes mediante una aplicación lineal pueden no serlo. Demostración: Seaf: 1R2 -+ IR / j(x¡, X2) = X¡ una aplicación lineal (es muy fácil comprobarlo), {(2, 1), ( 1, 3)} es un sistema libre en 1R2 j(2, 1) = 2;j( 1, 3) = l {2, I } es un sistema ligado en IR.

72

2.1. Aplicaciones lineales

s.

La composición de dos aplicaciones lineales es una aplicación lineal.

Demostración: Sean f y g tales que V ~ W ~ Y, si ambas son aplicaciones lineales, podemos escribir:

=

=

(g o j)(Xii + liv) g(f(}.li + Illi)) g(}.f(li) + Ilf(li)) = }.(g(f(li)) + Il(g(f(li)) = }.(g o j)(li) + Il(g o j)(li)

=

La igualdad anterior muestra que (g o j) es una aplicación lineal .

73


2.2. Subespacios distinguidos: núcleo e imagen

En cualquier aplicación entre espacios vectoriales hay dos subespacios que tienen un interés especial: núcleo e imagen de la aplicación. La imagen está constituida por todos los vectores de W que tiene un original en V.

2.2.1. Definición de imagen de una aplicación lineal La imagen de la aplicación linealf: 1'---+ W &e defi ne como: lm (f) = t W E W. tales que:J\' E V que verillca W =f (\')}

1m (f)

W

V

2.2.2. Proposición

La imagen de una aplicación li neal f : V ---+ W es un subespacio de W

74


Demostración: Vamos a comprobar que 1m(/) verifica la condición que caracteriza un subes pacio. Aplicando la definición de imagen , si w" W2 E 1m(/) => 3VI, V2 E V, tales que!\v¡) =WI,j\V,) =W2, por tanto, j\vl + v,) =j\VI) + (v, ) = WI + W" como VI + + v, E V por ser V un espacio vectorial => WI + W, E 1m(/) . También se verifica \fA E IR,j\AV) =AflV) =AW, como AW E 1m(/) porque AV E E V => 1m(/) es un subespacio de W. El otro subespacio importante es el subconjunto de V cuyos elementos se transforman e n el vector neutro de W .

. Definición de núcleo de una aplicación lineal

~o

'1

de la ap licac ión linea lf: l' -+ IV e, el conj unto

=Iv E \ ~ tales q ue.f(¡') =OE IV}

Nuc (/)

W

v 75


2.2.4. Proposición El núcleo de una aplicación lineal f: V --7 W es un subespacio de V Demostración: Vamos a comprobar que Nuc(f) verifica la condición que caracteriza un subespacio. Si V" V, E Nuc(f) => f(VI + v,) = f(VI) + f(v,) por ser f una aplicación lineal; como f(VI) + f(v,) =O+ O =O E W => VI + v, E Nuc(f).

E

También se verifIca: 'itA E 1J\Ii, Vv E Nuc(f) Nuc(f), por tanto, Nuc(f) es un subespacio de V

=>

f(AV)

= Af(v) = O=> Av E

Ejemplo 2.2.1 "Seaf(M, +, IJ\Ii) --7 (1J\Ii', +,IJ\Ii) la aplicación lineal definida como --7 (all

(a ll a'l

+ al ' , a l, -al " a, ,, O) en el ejemplo 2. 1.1 "

La imagen de la aplicación lineal estará formada por el subconjunto de 1J\Ii' , cuyos elementos sean de la forma (x" x" x" x, ) = (all + al' , al2 -a 11 , a, ,, O). XI = all + al, } X2 X3

x,

= = =

a1 2 -

al ]

a 21

=>

lm(f)

= I (XI, x"

Xl,

x,)

E

1J\Ii'/ x,

= O}

O

El núcleo de la aplicación lineal estará formado por el subconjunto de M cuya imagen sea (O, O, O, O) = OE 1J\Ii', es decir, los elementos que cumPlan f (

76

(~;:

:;11 a~,) = (all + a l2, al2 -all , a,,, O) = (O, O, O, O)

a¿,)

E

M


'1

es de dimensión finita (dim V = 11). entonces. se ve rifica: \luc (j) + dim 1m (j) = dim V

Demostración: El núcleo es un subespacio vectori al de V (Ves un espacio finito). por tanto. tiene una base finita. LJamenos B a esta base. los vectores de B son linealmente independ ientes. y se pueden completar con otro sistema de vectores li nealmente independ ientes hasta obtener una base {'el. e,. .... ep • u" .... uq } de V Hemos tomado B como base del núcleo. cuya dimensión es p. Nos falta ver que {fiu,) •... •f(uq)} es una base de la imagen de! Veamos primero que es generador. Por la tercera conclusión de [2.1.21. sabemos que si {e ,. e, • ...• ep• u, • ...• uq} es generador de V => I!(e ,).f(e,) •... •f(ep).f(u,) • ...• f((uq)} es generador def(V). Como Be Nuc(j). f(e,) = ... =f(e,,) = O. y {fi(u,) • ... • f((uq) } genera f(V) . q ue es lm(j). •... •f((uq) } son linealmente independientes: Veamos ahora que Si + ... + A.JC(Uq) = O. por ser f una aplicación lineal f(A, u, + ... + + AqUq) = O. es decir A,U, + ... + AqUq E Nuc(j). y por tanto. se puede expresar como combinación de los vectores de un a de sus bases. por ejemplo de B. A,U, + ... + AqUq = a,e, + ... + apep = O. podemos escribir a ,e, + ... + apep + A,U, + ... + AqUq = O. de donde se deduce necesariamente que a, = ... = ap = A, = ... = Aq = O por ser {e" e2 • ...• ep• u,• ... • uq} base de V. Por tanto. AJ(U,) + .. . + AJ(Uq) = O =>A, = ... = Aq = O => {fiu ,)•. ..•f(uq) } es un conjunto libre. y la dimensión de la imagen defes q. Hemos demostrado que p + q = 11.

77


• Ala dimensión de la imagen de/ se la llama Rango de la aplicación lineal: rglf).

Ejemplo 2.2.2

En el ejemplo 2.2. 1 se verifica dim Nuclf) + dim lmlf) = dim V. En efecto: La dimensión de M = {(

+ G I2

~:', G~')} es tres porque (~;: G O') = (¿ ~) + Gil

(~ ¿) + (~ ~) y {( ¿~),( ~ ¿),(~ ~ ~ es un sistema libre, es deG2I

cir, es una base de M formada por tres elementos. dim Nuc lf) = O, porque Nuc lf) = (~

~)

dim 1m lf) = 3, porque: Imlf)

= {(x"

(x" x"

x"

X 3,

X 3, X4) E

ihl' / X4

=O} = {(x"

x"

X 3,

O)

E

ihl

4 }

O) = x, (1, O, O, O) + x, (O, 1, O, O) + X 3 (O, O, 1, O)

como { {(l , O, O, O), (O, 1, O, O), (O, O, 1, O) I es un sistema libre

junto es una base de lmlf)

e

=

este CQn-

ihl' formada por tres elementos.

A

Ya conocemos la importancia de las demostraciones en matemáticas, pero además de su valor intrínseco, a lo largo de ellas, se utilizan y demuestran propiedades importantes que tienen valor fuera de dicha demostración. Como parte de la demostración anterior ha quedado demostrada la propiedad expresada en la proposición siguiente:

78


2.2.6. Proposición

aplicación linealf : \1-. W conserva la independencia lineal si e l núcleo de la Icación lineal es { O}

.1

La parte de la demostración anterior que demuestra esta proposición es: "Debernos comprobar que {u" ... , uq } linealmente independientes ~ lf(u ,), ... , f(u q)} son linealmente independientes si el núcleo de la aplicación lineal es {O}; .1,U, + ... + .1qUq = O ~ f(.1 ,U, + ... + .1qUq) = .1J{u,) + ... + + .1J(uq) = f(O) = O. Corno .1, = ... = .1q = O porque {u" ... u q } son linealmente independientes ~ f (u,), ...,f (uq) son linealmente independientes." ~

79


2.3. Aplicaciones lineales y matrices

fi

Determinar una aplicación /: V ---7 We s dar un procedimiento que pennita calcular las imágenes de los elementos de V. Hay distintos procedimientos para determinar una aplicación: • Si el conj unto tiene un número finito de elementos (no es lo mismo que de dimensión finita), se pueden dar las imágenes de todos y cada uno de ellos. • Se puede dar una ley de formación que pemuta asignar a cada elemento de V un elemento de W, de modo que/verifica las condiciones dadas en [2.1.1J como hemos hecho en 2.2 . • Si la aplicación es lineal, no es necesario dar esa ley de formación ni las imágenes de todos los elementos, es suficiente dar las imágenes de los vectores de una base, porque por ser lineal, con ello quedan determinadas las imágenes de todos los vectores de V, es dec ir, queda determinada la aplicación. Las imágenes de los elementos de V son elementos de W, y vienen dados respecto a una base de W, que hay que fijar prev iamente.

2.3.1. Teorema Si V, W son dos espacios vectoriales sobre IR; B = {e" e" .... e,, ) es una base de V y S = {W" w" ... , W,, ) un subconjunto de W, entonces, existe una aplicación lineal única/ : V ---7 W , tal que,f(e,) = w, ,f(e,) = w" ....f(e") = W"

Demostración: Como hemos hecho en otras ocasiones para demostrar que algo existe, lo construimos. Queremos demostrar que existe una aplicación lineal /: V ---7 W, vamos a construirla:

80


Cuando se fija la base B en V. cualquier vector x E V. se puede escribir dando sus coordenadas respecto a la base: x = (x¡. x, • .... x,). es decir. x = x¡e¡ + +X2 ez + +x,;e". Construimos de la siguiente manera la imagen de cada elemento de la aplicación: o •

•

j(x) = j(x¡e¡ + x,e, + ... + x,e, ) = x¡j(e¡) + x,f(e,) + ... + xJ(e,) = = x¡w ¡ + x,w , + ... + x,w , => La aplicaciónf existe.

Como las coordenadas (x¡, x, • ... • x,) de un vector x son únicas respecto a una base B => la aplicación f es única. Para ver que es lineal debemos comprobar que la aplicación construida así. verifica las condiciones dadas en (2.J.J]: j(Xi

+ liy) = ).j(x) + J.lfl.Y); 'Vx. y

E V; 'V),. J.l E

IR

En efecto.

+ J.lYJ = j(M¡ + J.ly¡)e ¡ + ... + (M, + J.ly,)e,) = = [(M¡ + J.ly¡)w¡ + ... + (M, + J.ly,)w,l = = (M¡W¡ + ... + M,W,) + (uy¡w¡ + ... + J.ly,w,) = = (M¡j\e ¡) + ... + MJ(e,)) + (uyJ\i! ¡) + ... + J.lyJ(e,)) = =)'(x¡j\e¡) + ... + xJ(en)) + J.l(y¡j\e ¡) + ... + yJ(e,)) = = ).j(x¡e¡ + ... + x,e,) + J.lj(y¡e¡ + ... + y,e,) = ).j(x) + J.lfl.Y)

j(Xi

=>

La aplicación f es lineal.

2.3.1 Seaf: IR' -7IR J / j(l. O) = ( l. 2, 1);j(0. 1) = (1. 1, O) una aplicación lineal. Determínense unas ecuaciones de dicha aplicación. Solución: B= {(l. O). (O. l)} es una base de IR'. {(l. 2. 1). (l . l . O)} e IR • (no es base) (x¡, x,) = x¡(I. O) + x, (O. 1); por ser f lineal podemos escribir: J

81


y, = x, +x, =>

y, = 2x, + x, son unas ecuaciones de la aplicación lineal dada, que

{ Y3 = x , permiten calcular la imagen (y" y" Y3) de cualquier elemento (x" x, ) de 1I\l'.

Ejemplo 2.3.2

¿Se puede determinar alguna aplicación lineal f: 1I\l' ~ 1I\l', tal que,.I(2, 3) = (O, l);.I(-2, - 3) = ( l , O)? Solución: No puede haber una aplicación lineal que cumpla las condiciones dadas, ya que, si fuera lineal, debería cumplirse: .1(-2, -3) = j [-(2, 3)] = - 11\2, 3) = = -( 1, O), mientras que, en el enunciado aparece.l(-2, - 3) = (1, O). Una aplicación lineal se puede determinar dando sus ecuaciones, como hemos hecho en el ejemplo anterior, pero también se puede hacer dando una matriz que va asociada a cada aplicación lineal cuando hemos fijado una base en el conjunto V y otra en el conjunto W.

2.3.2. Matriz asociada a una aplicación lineal

Si \ . W son dos espacios vectoriales sobre R B = ¡¡'l. e, . ... , e" I es una base de V. S = {u ,. u,. .... uml una base de W y f una aplicaci ón lineal dc \ en W. Se Uama matriz asociada a la aplicación Iinealfrespecto a las bases B y S, al conjunto A de elementos ordenados en una tabla rectangular de /Jl filas y 11 columnas

82


J
.

~ I end o

f

f{e'l) :;;;: al2lil + CI!lTil + ... + am~Üm /(71,,) == al l1ul + a2f¡Ti1 + ... + c.J"",lI m

Observemos que las columnas de la matriz A son las coordenadas de los vectores de f(B) respecto a la base S de W. El concepto de matriz ha surgido aquí de forma natural asociado a las aplicaciones lineales para cuyo estudio son una herramienta indispensable, y veremos su estructura algebraica a partir de la de las aplicaciones lineales, pero las matrices existen independientemente de las aplicaciones y forman una clase de objetos matemáticos estudiados con anterioridad por el lector en distintos momentos. En Informática las matrices son una herramienta utilizada con mucha frecuencia desde cosas tan elementales como representar la posición de los pixels en la pantalla como un elemento de una matriz de 800 col umnas y 640 flia (o 1024 X 800, ... ) donde el color en cada uno es el valor del elemento en esa poición, hasta los Arrays uti lizados para dimensionar variables, donde los subíndices del mismo indican la pos ición del elemento. Utilizar los conoc imientos anteriores de matrices, nos permite expresar la aplicación de una forma más cómoda, es su expre~ i ón analítica : Sif(xl , x" ... , x,,) = (Y" y" ... , y,,), la aplicación construida en [2.3.2J se puede expresar:

YI ) (all (-~~ - ~~:I Y2

a 21

aa 2/1 l,, )

(XI)

. ..

..\2 .. .

a mI/

Xn

{::}

Y = AX

.....\0102.3.3

Escríbanse las ecuaciones matriciales de la aplicación dada en el ejemplo 2.3. 1.

83


Solución: 1) ( ) 1 ~~

'* {Y' = xa,, ++x,x, (ecuaciones obtenidas

O

y,:

Y3 - X,

en el ejemplo 2.3. 1).

2.3.3. Proposición Si B es una base de V, sU imagen.f\B) mediante la aplicación linealfes un sistema generador de.f\V)

Demostración: Cualquier elemento de fl.V) tiene un original en V => se puede escribir como combinación lineal de los elementos de fl.B).

fl.x) =fl.x ,e, + x,e, + ... + x,en)

=x,fl.e,) + xW,) + ... + xJ(e,)

2.3.4. Definición Rango de una matriz es el rango de la aplicación lineal asociada denotada rg (A)

2.3.5. Teorema El rango de una matriz es el número de vectores columna linealmente independientes que hay en ella

84


Demostración:

Si f(B) es la imagen de una base de V, es un sistema generador def(V), por tanto, la dimensión de f(V) será el número de vectores linealmente independientes que haya enf(B). Las columnas de la matriz A son los vectores de f(B), por tanto, el número de vectores linealmente independientes que hay en f(B) será el número de veclores columna linealmente independientes que hay en A. El rango de la aplicación lineal se puede definir como la dimensi6n de imagen o el rango de la matriz asociada.

SI/.

Ejemplo 2.3.4

En la aplicación del ejemplo 2.3. 1, la dimensión del subespacio imagen es 2, porque

(

~;

) =

X,

(~

)

+ X,

(l ),

es decir

(~ ) y ( l)generan la imagen; además, co-

mo son linealmente independientes, son base de Im (f) y su dimensión es 2.

85


2.4. los espacios vectoriales (L( V, W), +, 1Ri ) Y (Mmxn ,+, 1Ri) Llamaremos L(Y; W) el conjunto de todas las aplicaciones lineales posibles entre dos espacios vectoriales sobre lRi : V de dimensión 11, y W de dimensión /1/ . Estamos acostumbrados a sumar aplicaciones, multiplicar aplicaciones por escalares y componer dos aplicaciones. En este apartado vamos a ir viendo las propiedades que tienen las operaciones citadas, y como consecuencia, la estructura algebraica que tiene L(V, W) con las distintas operaciones definidas con sus elementos.

2.4. 1. Teorema (L(\. W).

+. IRiJ es un espacio vectorial sobre lRi

Demostración: Si I y g pertenecen a (L(Y; W). +), la suma de aplicaciones se defin e como: !J + g)(v) = f(v) + g(v)

La suma es una aplicación lineal: !J + g)(av , + {Jv, ) = f(av, + {Jv,) + g(av, + {Jv,) = f(av ,) +f({Jv, ) + g(aV,) + + g({Jv,) =!J + g)(av,) + !J + g)({Jv,) = a!J + g)(v.) + f3!J + g)(v,)

Es evidente que, tiene las propiedades conmutati vas, asociati va, existencia de neutro (la función nula, tal que 0(\1) = 0, ';Iv E V), y elemento opuesto de 1: -1, tal que (-.fJ(Ti) = -f(Ti) . Por tanto, (L(Y; W), +) es un gr upo con m utativo.

86

2.4. Los espacios vectoriales (L(V, W), + IR) Y (Mmxn ,+, IR)

El producto de una aplicación lineal por un escalar se define como: (Af)(V) = Aj(V), siendo f E L (Y, W) YA E IR.

El producto de escalar por aplicación lineal es aplicación lineal: (Af)(av, + {IV, ) = Af(av, + {IV, ) = A[f(av,) + j(fJV2)] = A[aj(V,) + jJj(v, )] = = aAf(v ,) + jJAj(V,) = a(Af)(v ,) + a(Af)(v, )

Es claro que esta operación tiene las propiedades que sirvieron para definir un espacio vectorial en [1 .2.2]: l. 2. 3. 4.

Distributiva de escalares respecto a aplicaciones: A(f + g) = Af + Ag. Distributiva de aplicaciones respecto a escalares: (A + ¡¡.)! =).f + pI Asociati va: (Ap )! = ).,(¡¡.f). Existe e l escalar unidad, 1, que cumple lf = I

Hemos demostrado que (L (Y, W), +, IR) es un espacio vectorial sobre IR. Por ser (L (Y, W) , +, IR) un espac io vectorial, las aplicaciones lineales de l espacio vectorial V (cuyos elementos son los vectores de V) en el espacio vectorial W (cuyos elementos son los vectores de W) son vectores. Sea f E L (Y, W) , recordemos que dim(V) = n y dim(W) = m, y que si fijamos una base en V y otra en W , cada aplicación f: V -) W lleva asociada una matriz de orden ni x 11. Representaremos por Mm"" el conjunto de todas las matrices de orden ni x 11. Recordemos que, una ap licación tal que su inversa también es apli cación, es una biyección o cOlTespondencia biyectiva. Este es e l caso de la correspondencia que existe entre las aplicaciones lineales y las matrices, cada aplicación lineal de L (Y, W) lleva asociada una matriz única de Mm~" y cada matriz de MmX. determina una aplicación lineal única de L(V, W). g

L (Y, W)

87


La correspondencia biyectiva existe entre el objeto de estud.io L(V, W) Y la herramienta utilizada, M"",,,, nos induce a analizar la estructura de ambos conjuntos simultáneamente.

2.4.2. Teorema (Mm",,, +. IR) es un espacio veclOrial sobre IR

Demostración:

Mmx" x Mmxll

~

Mmrn : Operación de sumar matrices de orden

In X 11.

Si A = (aij) es la matriz asociada afA : V ---7 W y B = (b'j) es la matriz asociada af. : V ---7 W, llamaremos matriz suma A + B a la matriz asociada a la aplicación f A+ f . : V ---7 W Basta ver la definición de suma de aplicaciones para establecer que A + B = = (aij + b,). La expres ión analítica de f A + fB es y = (A + B)X Por la correspondencia biyectiva existente entre L(V, W) Y M_ , tal que conserva la operación de sumar, podemos asegurar que (M"""" +) tiene las mismas propiedades que (L(V, W), +), es decir, es un grupo conmutativo. M mXn x IR - - 7 M mXn por un escalar A E IR .

:

O per ación de multiplicar una matriz A

E

M mXn ,

Si A = (aij) es la matriz asoc iada afA : V ---7 W, la operación de multiplicar la matriz A E Mn ",,,, por el escalar A E IR, da como resultado la matriz AA E MmXn , que es la matriz asociada a AfA. Uti lizando la definición de aplicación por escalar => AA = (Aa,). Por la correspondencia biyectiva existente entre L(V, W) Y Mm",,, tal que conserva la operación de mu ltiplicar por escalares, podemos asegurar que am-

88


bos conjuntos tienen las mismas propiedades al multipLicar sus elementos por un escalar: l. 2. 3. 4.

Distri butiva de escalares respecto a matrices: A(A + 8 ) = AA + AB Distri buti va de matrices respecto a escalares: (A + ¡.t)A = AA + ¡.tA Asociativa: (A¡.t)A = A(¡.tA) Existe el escalar unidad, 1, que cum ple LA = A

La aplicación f: L (V, W) --. M """" que asocia a cada apLicación Lineal una matriz, es una aplicación biyecti va que transforma la suma de aplicaciones en suma de matrices, y al producto de escalar por aplicación en escalar por matri z, es decir, conserva las operaciones del espacio vectorial. Una apLicación biyectiva que conserva la estruc tura de espacio vectorial recibe el nombre de isomorfismo entre los espacios vectoriales. Hemos demostrado que el conjunto (Mm",,, +, IR) es un espacio vectorial isomor fo a (L(V, W), +, IR).

Ejemplo 2 .4 .1 1

2

Dadas las aplicaciones lineales asociadas a las matrices A = ( O - S

-3 4)

l -1 Y

. , ana 1JIJca ' · de las ap l·IcaclO. B= ( 3 2 -SO - 62 -- 31 ) ,se PI·d e esta blecer la expreslOn nes lineales asociadasfA.!B, la aplicac iónfA+ 2f8' Y la matriz correspondiente a esta aplicación. Solución: 1 2 ( O- S

-3 4) 1- 1

es la matriz de la aplicación LinealfA : IR' -.IR' , cuya expresión es:

89


(~ -~ _~

=;)

es la matriz de la aplicación linealfB : lit --7 ~', cuya expresión es:

- 5X2 + 6X3 - Ix, (y,y, )=(32 - O5 -26 --31 )( ;:X3 ) .,. {y,Y2 =3x, 2y, + OX2 - a 3- 3X4 =

X4 fA : ~4 --7 ~'I (x" X2, X3, X4) fB : ~

4

--7 ~

2

fM2B : ~4 --7

--7

( Ix, + a , - 3X3 + 4X4, OX , - 5X2 + IX3 - IX4)

I (x" X" X3, x,) --7 (3x, - 5X2 + 6X3 - Ix" a, + OX2 - a 3- 3X4) ~2 I (x" X2, X3, X4) --7 (7x , - 8X2 + 9X3 + a4, 4x, - 5X2 - 3X3 - 7X4)

(3-56 - 1) (7-892) . .. 1 2-34) ( 0 - 5 1 - 1 + 2 2 0 - 2 -3 = 4 - 5 - 3 - 7 es la matriz de la aplIcaC ión lineal fA+2B '

2.4.3. Teorema

I Dim(L(\. W), +. ~) =dim(Mn~n. +. 1Il;) =

ni X 11

Demostraci ón: Para saber la dimensión de (Mmx., +, ~), es suficiente conocer el número de elementos de una de sus bases.

90


{E'j' i = l, ..., m,j = l , ... , /11 es una base si cada Eij es la matriz de orden m x x n que tiene O todos los elementos, excepto el que ocupa la fila i, columna j , que vale 1. La base así construida es la base canónica y tiene m X 11 matrices E'j' y por tan to, la dimensión de (Mm"", +, IHI) es m x /l.. La dimensión de (L (V, W), +, IHI) es también m X 11 por ser isomorfo a (Mil/xli) +, IR:) .

Ejemplo 2.4.2 La base canónica de M"" es:

~(lOO OO O) ' (OOO 10) 1)' (00 0) (O 00) (00 o)il . L O' (OOO OO I O O ' O I O ' O O I IJ' tiene 6 matrices linealmente indepedientes.

91


2.5. Composición de aplicaciones lineales y producto de matrices A veces hay que realizar una serie sucesiva de transformaciones a un elemento de un conjunto inicial , de manera que el transformado mediante una aplicación es el elemento a transformar mediante la siguiente aplicación; ese proceso es e l de componer apl icaciones. Si V, W, U son tres espacios vectoriales reales, g y f son las siguientes aplicaciones lineales, se puede construir la aplicación lineal f o g (se lee g compuesta conJ), de modo que, la imagen mediante la aplicación sucesiva de g y f a cualquier vector de V, dé el mi smo resultado que la aplicación de f o g a dicho vector.

y = g(X) • Obsérvese que se escriben en orden inverso a como se aplican. La forma de multiplicar matrices parecería artificiosa si no fuera la expresión analítica de la composición de aplicaciones; vamos a ver por qué está definida de esa extraña manera.

2.5.1. Teorema La composición de dos aplicaciones lineales es una aplicación lineal

92

2.5. Composición de aplicaciones lineales y producto ...

Demostración: Si g y f son las aplicaciones del gráfico anterior. por ser lineales podemos escribir:

Jo

=

=

=

g(AV, + jiV,) j[g(AV, + jiV,)] f (Ag(V,) + jig(v,)) Aj(g(V,)) + jij(g\v,)) = = A(j o g)(v,) + ji(j o g)(v,). quedando demostrado que f o g es lineal. Si dim(V) = n. dim(W) = p y B es la matriz asociada a la aplicación lineal

respecto a las bases canónicas. g : V -7 W "" B E Mpxn • Si dim(W) = P. dirn(U) = m y A es la matriz asociada a la aplicación lineal. respecto a las bases canónicas.!: W -7 U "" A E Mrnxp' Como dim(V) = n, dim(U) = m la matriz asociada a la aplicación lineal. respecto a las bases canónicas.! o g : V -7 U será de orden m x n. En estas condiciones definimos el producto de matrices como la matriz de la aplicación composición.

2.5.2. Definición de producto de matrices ,u¡ es la matriz asociada a f o g : l' -7 U. siendo A la matriz asociada a f: W -7 U B la mauiz asociada a g : V -7 W

2.5.3. Cálculo del producto de matrices La aplicación lineal g : V ne por ecuaciones:

-7 W,

cuya matriz asociada es B = (b ij ) M pxn , tie-

, (y" y, • ... , Yp) h=l •...• p .

=g (x"

x" ...• x,); Cada Yh

=bhlx, + bh7.X,'+ ... + bh,x, =Lbhjxj; J=I

93

,1


La aplicación lineal f : W tiene por ecuaciones:

~

U, cuya matriz asociada es A = (aU)

E

Mn.xp,

p

(z"

Z" ... ,

Zm)

=fu"

... , m

Y2, ..., Yp) ; Cada Z; =adY' + a,1J!2 + ... + a;pYp =h:::\ ¿a;hYh; i

Las ecuaciones de la aplicación IUleal f es AB = (Cu) E M _ , tendrá por ecuaciones: (Z" z" ... , zm) p

Cada Z;

=fu" Y2, .. ., Yp) =fIg(x" p

n

n

=h=¿a;h.Yh =h=1 ¿a;h ( ¿ b;¡,X) = ¿ 1 j= l

o

= 1,

g : V ~ U, cuya matriz asociada

X2, ..., x n ) ] =f o g(x" X2, ... , x n ) l'

( ¿a;"bhj)Xj para i

j= \ 11=1

= 1, ... , m

En Informática el uso de expresiones de este tipo equivale al uso de bucles (De i = 1, ..., m; For i = 1, ..., m), son válidos también para expresar flujos condicionales (i está entre 1 y m, con i '" j ) o para flujos repetitivos (i está entre m y 11).

A

Uti lizar el símbolo L simpl ifica la escritura de una suma, aunque puede hacer más difícil la interpretación de la expresión, por ello, vamos aclarar su significado. Al escribir la matriz asociada a la aplicac ión lineal que tiene estas ecuaciones, se obtiene una matri z tal que, el elemento que ocupa la fi la i, columna j : C;j de AB = (Cu) E M mx", se ha obtenido haciendo la siguiente manipulación: " Primer elemento de la fila i de la matriz A por primer elemento de la columnaj de la matriz B, más segundo e lemento de la fija i de la matriz A por segundo elemento de la columna j de la matriz B, más ... , más elemento p -esimo de la fila i de la matriz A por elemento p -esimo de la colunma j de la matriz B". Todo este proceso se puede escribir con la siguiente expresión: p

e = (Cij) E M,nXn, siendo cij = ail bl} + a,'2b2j + ... + a¡pb¡,j = k-L1aik b .

kj ;

i = 1, 2 .. .

m;} = 1, ,." n..

94

•

2.5. Composición de aplicaciones lineales y producto .. .

Esta es la fonna en que el estudiante ha visto siempre el producto de matrices, Abusando del lenguaje, se dice que se obtiene el elemento do la fila i de A por la columnaj de 8,

c ij

multiplican-

x x Fi laideA

Qi2

.. . .. . .. . ..... .

Columna } de B • Obsérvese que para poder componer aplicaciones, el espacio final de la primera transformación que se aplica, debe ser e l inicial de la segunda transformación, que en lenguaje de matrices equi vale a decir "sólo se pueden multiplicar dos matrices cuyos órdenes son m X p YP X 1/" ,

2.5,4. Teorema

,.:omposic ión de dos aplicaciones lineales verifica: 'io es conmu tati va: f o g puede ser 1'- g "f - Ex iste la aplicac ión identidad: ¡ of= f \ sociati va: if o g) " h = f o (g " /) Di stributiva respecto a la suma por la izquierda: h ,, (f + g) = h of + /¡ " g Distributi va respecto a la Suma por la derecha: if + g) o h = f o /¡ + g" h Asociati va con escal[U'es )jf o g) = (A./) o g = f o (A.g)

95

2 Aplicaciones lineales <

Demostraciones:

)l?:

El fundamento de estas sencillas demostraciones es comprobar si la imagen de cualquier vector de V mediante las aplicaciones que haya ambos lados del signo "=" es la misma o distinta.

l. Cuando se busca demostrar que la igualdad no es cierta, es suficiente en buscar un contraejemplo, es lo que hacemos en este caso: Definimos las funciones f : IR' -7 IR' como j(XI, x, ) = (XI + X" X, - x,), y g : IR' -7 IR' como g(XI, x,) = (x" x,), al componer ambas funciones en orden distinto se obtiene:

(XI, x,) -7 (XI + X" x, - x, ) -7 (XI + X" X, + x,) => (g o j) (X" x,) = (XI + X" X, + x,)

IR' --'.. '-

-7)

IR'

- "'_-7)

IR'

(X" x,) -7 (XI, x ,) -7 (2):, , O) => (f o g) (XI , x,) = (2):,, O)

Por tanto, (g o f) # (f o g).

v

2. i es la aplicación identidad definida en 2.1 como i(V) = Vv. 3 . [(f o g) o h](x) (f o g)(h(x» j(g(h(x») [f o (g o h)](x) = j[(g o h)(x)] = g(h(x))) 4. [h o (f + g)](x) = h«(f + g)(x)) = h«(f(x) + g(x» = h(f(x» + h(g(x» (h o f + h o g)(x) = (h o j)(x) + (h o g)(x) = h(f(x» + h(g(x»

=

=

5. Es idéntica a la 2. 6. [A.(f o g)] (x) = A.(f o g)(x) = A.(f(g(x» = A.j(g(x» [(A.j) o g ](x)

96

=(A.j)g(x) =A..f(g(x»

2.5. Composición de aplicaciones lineales y producto ...

2.5.5. Teorema El producto de matrices verifica: l . No es conmutativo: AB puede ser BA _. Existe la matriz identidad: J E M,x. tal que 1.A = A Y I E Mp,,<, tal que I . B = B Asociativa: (AB )C = A(BC) ~ . Distributiva respecto a la suma por la izquierda: A(B + C) = AB + AC ~ . Di stributiva respecto a la suma por la derecha : (A + B)C = AC + BC Asociativa con escal ares ,t(AB) = (,tA)B =A(,tB)

*

Para las matrices no es necesario hacer las demostraciones de las propiedades correspondientes, ya que, el producto de matrices es la matriz asociada a la composición .

97


2.6. Álgebras de endomorfismos y matrices cuadradas

En 2.4 estudiamos el conjunto de todas las aplicaciones lineales posibles entre dos espacios vectoriales sobre [R : V de dimensión n y W de dimensión m, lo llamamos L(V, W), y vimos que tenía estructura de espacio vectorial. Si nos ceñimos a las aplicaciones lineales de Ven sí mismo, estamos ante un caso particular de lo estudiado en 2.4, las aplicaciones lineales de un espacio vectori al en sí mismo, se Uaman endomorfismos

A

Naturalmente, en e l caso particular se verifican todas las propiedades que se verifi caban en el general , pero a veces, su singularidad puede conferirle alguna propiedad más. La primera particularidad que tienen es que la matri z asociada a un endomorfi smo es cuadrada. Si f: V ---7 V, la matriz asociada tendrá las n columnas (cada una formada por la imagen de un vector de una base de V). expresadas en la misma u otra base de V, y, por tanto, cada columna tendrá I! coordenadas, que dan lugar a 11 fLlas.

f L(V, V)

M m.1:II

['

Ejemplo 2.6.1 f: [R2 ---7 [R21!(X" X2) = (2x" O) es un endomorfismo de [R2, la matriz asociada af respecto a la base canónica de [R2, (O, 1) = (2, O) Yf (l, O) = (O, O); (2, O) Y(O, O) tienen 2 coordenadas por ser vectores de [R2

98


Respecto a la suma de aplicaciones , los endomorfi smos no presentan nin guna particularidad, y como consecuencia, (L(Y, V) , +) es un grupo conmutativo. Respecto al producto de aplicaciones lineales por escalares, tampoco ocurre nada especial en los endomorflsmos, teniendo la misma estructura de espacio vectorial que tenía (L(Y, W) , +, ~) .

2.6. 1. Teorema L \ . q. +.

~)

es un subespacio vectorial de (L(\ . Ir). +.

~)

Demostración: Es ev idente, ya que, (L(Y, V), +, ~) e (L(Y, w), +, ~) Y (L(Y, V), +, ~) es espacio vectorial. La particularidad más significativa del conjunto de endomorfismos de Ves que se pueden componer siempre porque e l conjunto final de la primera aplicación es el conjunto inicial de la segunda.

2. 6.2. Teorema composición de dos endomorrimos velitica: Asociativa:
99


Demostración: Verifica las propiedades 1, 2, 3, 4 porque los endomorfismos de V son un caso particular de L(V, W) como hemos dicho anteriormente. Para poder afmnar la 5 es suficiente con encontrar un contraejemplo como el siguiente:

f A (XI , x,) = (XI + 2>:" 3xI + 4x,);f.(x" x,) =(x" XI) f.!flo(x" x,» = (3xl + 4X2, XI + 2>:,) fA!f.(.t " X2» = (X2 + 2>:" 3x, + 4xl)

*

Para ver que la 6 es cierta, es suficiente construir la aplicación i de los gráficos siguientes:

i(x) =

x

Cuando en un conjunto hay defInidas dos operaciones, de modo que, respecto a una de ellas es grupo conmutativo, la segunda es asociativa y es distributiva respecto a la primera, tenemos la estructura algebraica llamada anillo. Podemos recopilar las propiedades que hemos visto en el siguiente teorema:

100


2.6.3. Teorema conjunto de endomorli smos de \ es un anillo no conmutativo con elemento ,IlrO

el conjunto L(Y, V) hay definidas dos operaciones: +, , V). +) es un grupo conmutativo \ \'), o) verifica la propiedad asociativa

o

distributiva respecto a + por la derecha y por la izquierda ) es conmutativa 'Iemento neutro

El conjunto de endomorfi smos de V tiene estructura de ani llo considerando las operaciones +, o, y estructura de espacio vectorial considerando las operaciones +, y multiplicación por escalares, además verifica la condición de asociati vidad con escalares. Esta estructura tan compleja se llama álgebra. El hecho de que los endomorfismos de un espacio vectorial se puedan componer siempre, nos permite multiplicar siempre sus matrices asociadas. Si A es la matriz asociada afA y B es la matriz asociada af., siempre es posible hacer AB, que es la matriz asociada afA o f •.

V

J,

)V

J,

)V

X --- fn(x) ---Mi.(x))

plo 2.6.2

En el contraejemplo que pusimos anteriormente para la no conmutatividad, establecimos los siguientes endomorfismos de IR' : f A(x" x, ) = (x, + 2x" 3x, + 4x, );f.(x" x, ) = (x" x,).

La composiciónf. o f A es:

101


¡,

¡,

IR' - - - t ) IR' -----=--'---7) IR' (X i>

x,) ---7 (x, + 2x" 3x, + 4x, ) ---7 (3x, + 4x" x, + 2x, )

Las matrices asociadas afA y f8 son A

=

(j ;)

y B

= (~

6) respecto a las

bases canónicas. Su producto es siempre posible, porque siempre es posible componer los endomorfi smos en este caso la matriz asociada af8 o fA es:

Hemos estudiado el conjunto de endomorflsmos, cada uno de ellos lleva asociada una matriz cuadrada. En el conjunto M n",,, (matrices cuadradas de orden 11), están definidas las operaciones de sumar, multiplicar matrices por escalare y multiplicar matrices por matrices con las propiedades que se derivan del isomorfismo L(V, V) (

f

) Mnxn

¡-' Por ello, podemos asegurar que Mnx., tiene estructura de álgebra, y como consecuencia, (M nxn, +,.) es un anillo.

102

2.7. Matriz asociada a un cambio de base en V. Matriz...

2.7. Matriz asociada a un cambio de base en V. Matriz asociada a una aplicación lineal cuando cambian las bases

Recordemos que fij ada una base B = {e" e" ... , e,, }, cualquier vector x E V, se puede expresar en función de los vectores de dicha base x = x,e, + x,e, + ... + + x"e" y llamamos coordenadas del vector :X respecto a la base dada a los coeficientes X¡, X2, .. " X II ' Elegir una base diferente B' = {e' " e'" ... , e',, } en V, significa que el vector x E V se puede expresar de la forma l: :::: Xle'! + X'2e'2 + + :t'/le'n, y sus coordenadas respecto a la nueva base son: XI! X2, XII' El número de coordenadas respecto a las dos bases en el mismo, porque todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos, su dimensión, pero las coordenadas podrán ser distintas respecto a una base y a otra. Establezcamos el endomorfi smo identidad, de modo que, la imagen de cao• •

o ."

(\1; B')

) (\1; B)

Las imágenes de los vectores de B' mediante el endomorfismo i vienen dadas por las expresiones siguientes:

-Ce' ,) = e' , = q"e, + q2le, + ... + q",e"

{

i(~~~) ~.e/~.~ :.1.2~1..+ ~~2~~ .+ :: : ~. :n~~n ; i(e'n) :::: e'n = qlne¡ + q2ne2 +

o ••

+ qnnen

... q,,, )

q" q~,

Q=

(

q",

... q", CJn2

o • •

(j ,,,,

La matriz Q es la matriz asociada a i, se llama matri z del cambio de base Las columnas de Q son las coordenadas de los vectores de la base B' respecto a B.

103


Las ecuaciones de la aplicación identidad que penniten pasar de las coordenadas de un vector respecto a la base B' a las coordenadas respecto a la base B se llaman ecuaciones de cambio de base , y son:

Ejemplo 2.7.1. Siendo B' = le'¡ = (1 , O, O, - 1), e'z= (O, 1,2, O), e'3= ( 1, - 1, 2, -2), e'4 = (O, O, 1, - I) } y B la base canónica, detennínense la matriz de cambio de base en ~4 , las ecuaciones del cambio de base que penniten pasar de las coordenadas respecto a B' a las coordenadas respecto a B , y la imagen respecto a B del vector (1, -3, 4, - 5)8'. Solución: (V, B') - - - ' " 7 ) (Y, B) vectores de B' respecto a B' (1 , O, O, 0) -(0, 1, O, O) (O, O, 1, O) (O, O, 0, 1)

Matriz Q del cambio de base: Q = (

vectores de B' respecto a B (l, O, O, - 1) ) (O, 1,2, O) ) ( 1, - 1, 2, -2) ) (O, O, 1,-1)

-'"7)

~ ? -\ ~) 2

- 1

104

2

1

° -2 - 1

2.7. Matriz asociada a un cambio de base en V. Matriz...

Ecuaciones del cambio de base:

X, =x', + x', XIX2) = (1°°I - 11 ° 0)(x'x'21) .,. X2 = x', -x', 2x', +2x', +x'4 2 2 1 x', {x,X4 ==-X',-2X', (X4X, - °J ° -X'4 -2 - 1 x'4 El vector conocido es x = (1, -3, 4, -5)8', para calcular X debemos hacer la sustitución de ( 1, -3, 4, - 5)8' en la expresión anterior:

XI ) (1°°1 - 1 1 ° -3.,. {XI x, =5 =-7 0) (1) 1 4 = -3 ° 2 2 (X4 - 1 ° -2 - 1 - 5 X4 =-4 X,

_

X,

-

X,

Comprobemos que (1, - 3, 4, -5)8' = (5, -7, -3, -4).:

x = ( 1, -3, 4, -5)8' = (1 , 0, 0, - 1) -3(0, 1,2, O) + 4(1, - 1, 2, - 2) -

x= (5, - 7, - 3, -4)8 = 5( 1, 0, 0, O) -7(0, 1, 0, O) -

5(0, 0, J, - 1) 3(0, 0, 1, O) -4(0, 0, 0, 1)

De la misma manera que hemos actuado para expresar en base B los vecto· res que están en base B', podemos repetir el proceso y obtener en base B' los vectores que están en base B.

(V, B)

) (V, B')

Cada vector de B pertenece a V, y su imagen mediante el endomorfismo i establecido, es el mismo vector expresado como combinación lineal de los vectores de la base B' de V:

:(~I) ~I Pll~:' P21~:2

t

P"'~:"

= = + + .. . + ¡(e2) == e2 == Pl 2e l + P22e2 + + pn2en; o • •

o ••

o ••

o • •

o • •

o ••

o ••

o • •

o ••

o •••••

iCen) ell = PII;e'¡ + P2ne'2 + ',- + PIUre'"

Pll P12 ,.. PI " ) P = P21 P22 ,.. p", ( o..

• ..

o ••

o ••

P nl Pn2 ... Pnll

105


La matriz P también es una matriz de cambio de base. Las ecuaciones de este cambio de base son: x' = PI Es evidente que, si tenemos un vector expresado respecto a B', pasamos mediante Q a su expres ión respecto a B, y la imagen obtenida la expresamos respecto a B' utilizando P, el resultado es el vector original. Si utilizamos iQ para representar la identidad cuando es Q la matriz del cambio de base en V, podemos escribir: (Y, B')

IQ

)

(V, B) __i,--p--» (V, B')

)x=Qx'---~)X'= Px= PQx'

X'

La expresión X' = PI = P QX', demuestra que las matrices de cambio de base tienen inversa porque son matrices cuadradas, tales que PQ = 1 .

. - 1

Y por tanto, I Q = I p e

.

lp

**{~: ~~,',

. - 1

= IQ

.

En [2.3.2] vimos que " Si V, W son dos espacios vectoriales sobre IR, B es una base de V, S una base de W y f: V --7 Wes una aplicación lineal, la aplicación f lieva asociada una matriz A". ¿Cómo varía esa matriz si en V hacemos un cambio de la base B por la base B' , y en W cambiamos la base S por la base S'? Los cam bios producidos se ven en el diagrama siguiente:

(V, B)

fA

x i'Q (V, B') Xl

) (W, S) !(X) ." . I p.j,

fA-

ilp

) (W, S') (j(x))'

Para expresar la imagen de los vectores de (V, B') mediante la aplicación linealf en (W, S'), tenemos que hacer la composición de aplicaciones ¡p' o fA o iQ•

106

2 7. Matriz asociada a un cambio de base en V. Matriz...

La matriz asociada a la aplicación lineal al cambiar las bases es P-'AQ si Q es la matriz del cambio de base B' por B en V y P es la matriz de cambio de S' por S en W. La expres ión A' = p-' AQ es la fórmula de ca mbio de la matriz A asociada a una a plicación lineal cuando cambian a mbas bases.

e mplo 2.7.2

1R 3 es la aplicación lineal tal que,j( 1, 2) = (1, O, 1) Y1(0, 1) = (2, 1, O). Los vectores (l , 2), (O, l) están referidos a una base B = {elo e, l e IR', B' = = {e, + e" e, - e2l es otra base de IR'; los vectores ( 1, O, 1), (2, 1, O) están referidos a una base S = {5lo S2, 53l e 1R 3, S' = {s, + S3, S, - S2, s, l es otra base de 1R 3. Se pide la matriz asociada a la aplicación lineal respecto a las base B e 1R2 y 3 S e 1R • Se pide la matriz asociada a la aplicación lineal respecto a las bases B e IR' y S e 1R3 , la matriz asociada a la aplicación lineal respecto a las bases B' e IR' y S' e IR" y la imagen respecto a S' de un vector cuyas coordenadas /: IR'

---7

respecto a B' son (2, 3) . Soluc ión: 1(0, 1) = 1(Oe, H , ) = /(e,) = (2, 1, O); 1( 1,2) =1( 1e, + 2e2) = I}(e,) + 21(e2) "'" "'" 1(e,) = 1( 1,2) - 2f(e,) = (l , O, 1) -2(2, 1, O) = (-3, -2, 1)

I (IR', B) ---7 (1R 3, S) lleva asociada la matriz A = La matriz del cambio de la base B' es Q =

-f 2)b (-3

= {e, + e" e, - e, l a la base B = {e" e2l

U_~).

I I La matri z del cambio de base de S' a S es P = 0 - 1 (

1 O

n.

Necesitamos la

matri z de l cambio de la base S = {s" S2, s3l a la base S' = {s, + s" s, - s" S2 },

107


que es p-', S en funci6n de las de S':

=>

OO 1) (1 1 - 1

p-' = 1 O - 1

La matriz asociada a la aplicaci6n lineal referida a las bases B' y S' es

1 10)-'(-32) O1)(-32 1) A' =(0-11 -2l O1 (: _:)= (O10-1 -21 O1)(:- :)= (1-2-6 1 OO 1 1- 1 -3 - 9 (j(2, 3» ,. =

(-~ J) m = (-2~ ).

-3 -9

-33

Si no hubiéramos utilizado la f6rmula encontrada, los pasos seguidos serían: 1. Expresar x

=(2, 3) respecto a B : x =Qx;

2. Calcular la imagen por1 de (5, 1) respecto a S : j(x) = Ax;

-3 2) (-n= (-1 1(5,-1)= (-;¿ -I~7) 3. Ex presar j(:y = (-17, - 11 , 5) respecto a S' : P-'I.f(X);

1)(-17) ( 5) 0-1 -11 = -22 . (00 1 1- 1 5 -33 1

108

2.8. Operaciones elementales en una matriz

2"S. Operaciones elementales en una matriz. Matriz elemental

Sabemos que una matriz A E M"Xn está asociada a un endomorfismo de V cuando se han fijado unas bases; decimos que son matrices equivalentes todas las matrices que representan el mismo endomorfismo aunque cambiemos las bases en V. Las sucesivas operaciones que permiten el paso de una matriz a otra equivalente se llaman operaciones elementales en las fiJ as o en las columnas, según donde se efectúen. Dichas operaciones son: 1. Permutación, o intercambio entre filas. 2. Sustitución de una fila por su suma con una combinación lineal de otras. 3. Multiplicación de una fi la por un escalar.

Ejemplo 2.S.1

1 -2

I)

(1O-21-11) (2

La matriz A = O I 3 es equivalente a la matriz B = porque ( 2 -2 I O I 3 se puede pasar de una a otra mediante las siguientes operaciones elementales en las filas.

1 -2

1) (1 -21) (1O -22 - 1)1 r (1Ol-2 -11)(2 O 1 3 O 1 3

A = O 1 3 rOl 3 r ( 2 -2 1 O 2- 1 F, ~F, -2F,

F, HF,

F, ~

=B

1/2F,

Obsérvese que todas las matrices que se van obteniendo en pasos intermedios son equivalentes.

109


De entre las matrices equivalentes a una matriz dada, algunas son especialmente interesantes, porque es más fác il trabajar con ellas que con la original. Esto ocurre con las matrices escalonadas por fi las. A = (aij) es una matriz esca lonada por fil as (también lJamadaforma canónica de H ermite) cuando: 1. El e lemento a" = 1 (aunque muchos autores admiten la misma definición im poniendo sólo que a" '" O). 2. Cada f,la, excepto la primera, se inicia con una sucesión de ceros. 3. La sucesión de ceros que inicia cada fi la tiene algún cero más que la que inicia la fila anterior. 4. El primer elemento distinto de cero de cada fija, si lo hay, es un uno (o distinto de cero si sólo se pide que a" '" O) Y se llama cabecera de fi la. 5. Las filas cuyos elementos son todos ceros, si las hay, son las últimas. 6. En cada columna, los elementos que quedan por debajo del que sirve de cabecera de fil a, son ceros.

De fo rma intuitiva podemos resumir todas estas condiciones dibujando la fo rm a que ha de tener una matriz escalonada: De orden dos: ( 1 a 12 ); a22 puede ser O ó l . O a 22 1 al2 al ) ) De orden tres: O a22 a23 ; ( O O a33

2.8.1. Teorema Toda matril se puede transformar en otra equivalente escalonada por filas mcdiante transformacioncs elementales.

110


Una vez más, para ver que algo es posible es suficiente hacerlo; vamos a construir el algoritmo que pernlite esta transformación. l . Conseguir que el primer elemento de la primera columna sea distinto de O. Para ello, si all = O, se intercambia la fila uno con alguna cuyo primer elemento sea distinto de O. 2. Convertir e l pivote en uno. Se sustituye la fila que contiene el elemento elegido en el paso anterior por ella misma dividida por dicho elemento. Llamaremos pivore al primer elemento distinto de cero (queda situado en la cabecera de la fil a) . 3. Hacer que sean ceros todos los elementos de la columna del pivote que quedan por debajo de él. Se consigue sustituyendo la fi la en cuestión por ell a misma menos su coeficiente multiplicado por la fi la del pivote. 4. Se repite el procedinliento partiendo de la fi la siguiente.

Ejemplo 2.8.2

Dada la matriz: A =

2-1 O) 6 ~ i ,para encontrar una matriz equivalente de ( -3

5 I

forma escalonada, procederemos de la siguiente manera: 1. Tomamos all = 2 como elemento a transformar en elemento pivote. 2. Para que el pivote sea 1, hacemos la sustitución F , -7 1/2 F ,. 3. Para que queden ceros en la columna del pivote por debajo de é l, hacemos las sustituciones: F, -7 F, - 3F , Y F4 -7 F, + 3F,. 4. Volvemos a comenzar el ciclo tomando como elemento para convertir en pivote G" = 7/2.

Las transformaciones a aplicar son: F,

-7

2nF,; F,

-7

F, -7 F,; F,

-7

F,

-7/2 F,.

111


~0-~7~ )-,2>(0 ~ -1~ ~ )-,>\~ -~~ 7207

A=(

-3 5 1

-3

5

o

1

O) (1-1(2 O) (1 - 1(2 O ) 1-,>0 12n-,>0 12n

2072000 7(2 1 O 7(2 l O O O

La matriz última es escalonada como queríamos. El uso de matrices escalonadas pennite obtener algunas conclusiones fácil mente, por ejemplo, el cálculo del número de vectores linealmente independientes que forman sus vectores filas y sus vectores columnas. Si A = (a;j) es una matriz de orden m X n, puede ser considerada como un conjunto de m vectores fila o como un conjunto de n vectores columna. De A se puede obtener una matriz escalonada B con un número r de fil as no nulas: all a'2

a21 a22

A

... a," ... a 2n

=

a • • • • O b • • O O O O e • • ... ... .. . ...... -'> O O O O O ... r • O O O O O ... O O ... ... O O O O O ... O O • ••

ami a m2 · · ·

...

amI!

o •

•

•

=B

• •

El símbolo "." expresa cualquier escalar, y debe entenderse que hay r fil as (o escalones) no nulas, con tantos pivotes: a, b, ..., r, como "escalones". La relación que hay entre las fi las linealmente independientes, las columnas linealmente independientes y el número de escalones viene dada por el teorema siguiente:

2.8.2. Teorema El número de vectores fila de una matriz A que son linealmente independientes coincide con el de columnas linealmente independientes y es igual al número de filas no nulas de su matri z escalonada

112


El teorema enunciado se puede desglosar en dos afirmaciones que demostraremos sucesivamente. Esta técnica también es empleada a menudo en programación, cuando un problema se divide en subproblemas que son resueltos mediante subrutinas. 1. El nlÍmero de vectores fila de una matriz, A, que son linealmente in-

dependientes coincide con elnlÍmero de filas no nulas de su matriz escalonada, r.

Demostración: Los vectores fila de B se han obtenido mediante operaciones elementales realizadas en los vectores fil a de A, y estas operaciones que consisten en cambiar el orden de los vectores, multiplicar los vectores por escalares y sustituir un vector por él más una combinación lineal de los otros, no modifican el número de vectores linealmente independientes según vimos en el capítulo uno. Por tanto, el número de vectores fila linealmente independientes que hay en B, es igual a r .

2. ElnlÍmero de vectores columna de una matriz A que son linealmmte independimtes coincide con elnlÍmero de columnas no nulas, r, de su matriz escalonada. Demostración: Para hacer esta demostración suponemos que el lector recuerda la teoría relativa a sistemas de ecuaciones que vio en cursos anteriores. Si no fuera así, puede saltar las demostraciones y volver a e Uas cuando haya estudi ado el capítulo cuatro. Sean el, e" ... , en los vectores columna de la matriz A correspondiente a las r columnas que contienen los pivotes en B ; para ver que son linealmente independientes, de la expresión: A¡e¡ + A,e, + ... + A.c, = Ose debe deducir A¡ = ít, =

= ... = A, = O. La expresión A¡e¡ + A,e, + ... + A.c, = Oexpresada componente a componente es un sistema de ecuaciones lineal homogéneo equivalente al planteado con las columnas correspondientes de la matri z escalonada B, ya que las opera-

113


ciones que se han hecho son las operaciones e lementales, y en el sistema 8 es ev idente que la única solución es la trivial: Al = A2 = ... = A, = O. Además, no puede haber r + 1 vectores columnas de A que sean independientes, ya que la matriz escalonada 8 , tiene solo r fijas no nulas, pasmamos el vector columna C>"+I detrás del signo igual, A>"+I actuaría de parámetro, y como consecuencia, en el sistema de ecuaciones anterior habría infinitas soluciones para A,.

Ejemplo 2.8 .3

2 - 1 0)

En el ejemplo 2.8.2 la matriz A =

(

¿~

~

se puede considerar como el

-3 5 1 conjunto de vectores fila: F = {(2, - 1, O), (3 , 2, 1), (O, 7, 2), (-3, 5, 1) 1, o el conjunto de vectores columna e = {(2, 3, 0, - 3), (- 1, 2, 7, 5), (O, 1, 2, 1) l. De la matriz A se pasa a la 8 mediante transformaciones elementales, y por tanto, podemos afirmar que, el número de vectores linealmente independientes de F es igual al número de vectores linealmente independientes de e, igual al número de escalones de 8 , igual a dos. Si la matriz A es cuadrada, puede obtenerse como matriz escalonada por filas una matriz triangular superior, aunque algún elemento de la diagonal puede ser cero. Además, si todas las fi las son linealmente independientes, la diagonal principal de la escalonada tendrá todos los elementos di stintos de cero. En este último caso, se puede seguir transfomlando la matriz obtenida hasta llegar mediante operaciones elementales en sus fil as, a una matriz diagonal y posteriormente a la matriz unidad /.

2.8.3. Teorema Si el rango de los vectores fil a de una matriz cuadrada A es igual al orden de la matriz, entonces, se puede transformar A en la matri z unidad mediante operaciones elementales en sus fi las

114


Para demostrar este teorema es suficiente construir el algoritmo que permi te el paso de una a otra, de la mi sma manera que se hizo en el teorema anterior. Las operaciones elementales que hemos visto, se pueden realizar mu lti plicando la matriz dada por una matriz de una forma determ inada, las matrices que sirven para expresar el cambio se llaman matrices e lementales.

8.4. Definición de matriz elemental llama matriz e lementa l a la matriz cuadrada que se obtiene de la matriz unid ad efectuar una so la operación elemental en las filas (o co lumnas)

~ E

Mm"" Y E

Iquiera

=>

E

Mm"'" es una matriz elemental y T es una operación elemental

I

T

)E

A -'..1"_-» EA {

EA E Mm" es la matriz que se obtiene de A med iante la misma operac ión elemental que permite obtener E desde l . Demostración: Se puede hacer comprobando que es cielta la afirmación para cada una de las operaciones elementales al construir la matri z elemental correspondi ente. Demostrar por casos, sería equi valente en lnfonn ática a la verifi cación de un programa con condicionantes.

115


l. Supongamos que T es la operación e lemental " intercambio de filas", y E la matriz elemental que se obtiene de 1 al intercambiar dos fijas, si elegimo las filas 1 y 2 no restamos generalidad al resultado (podíamos haber elegido

cualquier otro par).

a" al2 ... a,. ) ( O l ... O) A = a.~~ a~~. ....'. a~.~ ,E = ,I.. ~. :~: .~. ( O O 1 a mi G m2

EA =

o ••

Gmn

o..

(~.

que es la matriz que se deduce de A al efectuar en e lla la misma operación e lemental en las fi las que habíamos efectuado en E. 2. Supongamos que T es la operación elemental " multiplicar una fij a por un escalar A", si la fi la multiplicada es la dos, por ejemplo, la matriz elemental E obtenida desde 1 es:

1 O ... O) E = ~. ~...... ~. => ( OO

I

( 1 O... O) (all

EA

= ~.~.

:::?

O O ... 1

a~~

al2 ... a,,, ) ( all a" ... a,.)

a22 ::: a.",

a mi Gm2 ' "

G,nn

= A.a.~ ~ Aa" a mI

Om2

::: A.a.~ o. ,

G mn

3. Si T representa la operación elemental sustituir una fi la (elijamos la uno) por ella misma más una combinación lineal de otras (elijamos A veces la dos, por ejemplo), la matriz elemental E obtenida desde 1 al efectuar esa operación elemental es

E= (

~. ~ ~ ) . .:..

O O ... J

116


l A ...

~ EA =

(

°)(

O I

o..

O

o• •

'"

o..

o• •

O O o..]

(t" al2 ... a 21 o ••

a l" )

o. .

ami am2

=

(a " + Aa" al2 + Aa" ... a, ,, + Aa,,,) a 21

a 22

o..

o.,

o.,

o. .

...

o..

o•.

amll

ami

(1m2

0 22 ... a 2n

O"

a 2n O"

amI!

Ejemplo 2 .8 .4 La matriz unidad I se convierte en la matriz elemental E mediante la

siguiente operación elemental en las fil as: I =

100) (100) 1° O 1 O = E. (°001 111 ~

Cada operación elemental en las fi las de I t.iene, por tanto, su matriz elemental correspondiente. En el ejemplo, E es la matriz elemental correspondiente a la operación elemental "Sustituir la fi la tres por la fi la tres más la fi la uno más la fi la dos".

Si se realizan las operaciones elementales en las columnas se obtiene IUI resultado análogo, pero el producto es AE en vez de EA .

2..8.6. Teorema

M".x", es una matriz elemental y E' E M"""" es la matri z elemental de la ope'Ión inversa entonces, ambas son regulares y E' = [';' FE

117


Demostración: Es evidente. sólo hay que observar la forma de los tres tipos de matrices elementales. cada uno de ellos corresponde a una operación elemental realizada en las fil as de la matriz unidad.

2.8.7. Teorema

I A E Mm~" tiene inversa.,. rg(A) =

/1

Demostración: Si A tiene inversa. es equivalente a la matriz unidad del mismo orden; los vectores fil a independientes que hay en / son I! (ya que el rango no varía por la aplicación de operaciones elementales) => En A también hay /1 vectores fil a independientes. <=) Si el rango de A es n => en A hay n fi las independientes => A se puede transformar en la matriz unidad mediante operaciones elementales => A tiene => )

mversa.

Además es muy fácil el cálculo de dicha in versa: Sean E" E, • ...• En las matrices elementales correspondientes a cada operación elemental que llevan a la matriz A hasta la unidad / => En... E, · E, . A = / . multiplicando a la derecha por A- I ambos lados de la igualdad => En ... E, · E, . = A-l.

EJERCICIOS

Ejercicio 2.1

Determínese si!: ~' ~ ~'I j(X,. x,. x,) = (X I - 2x, . x, + X3) es una transformación lineal.

118

Ejercicios

Solución: Conserva la suma: f(x + y) = f(X) + (y) : (x,. X2. x,) ---7 (x, - 2t2. X2 + x,) (Y,. Y2. y,) ---7 (y, - 2Y2. Y2 + y,) (x, + y,. x, + Y2. x, + Y3) ---7 (x, + y, X2 + x,) + (y, - 2Y2. Y, + y,)

a2 - 2Y2. X2 + Y2 + X, + y,) = (x, -

a 2.

Conserva el producto por un escalar: f(XX) = Af(X): A(X" X2. x,) = (AX" Ax2. Ax,) ---7 (Ax, - 2Ax2• AX2 + Ax,) (x" X2. x,) ---7 (x, - a 2. X2 + x,) ; A(X, -a2. x, + x,) = (Ax, - 2Ax2. Ax, + Ax,)

Por conservar la suma y el producto es una transformación lineal.

Ejercicio 2.2 Determínese si! : [J;l' ---7 [J;l3 I f(x ,. X2. x,) = (a" x, + X2. O) es una aplicación lineal. y si lo es. estúdiense su núcleo y su imagen. Solución: Es una aplicación o transformación del espacio vectorial [J;l' en sí mismo. Las aplicaciones lineales de un espacio vectorial en sí mismo se llaman endomorlismos. Conserva la suma:f(x + y) = f(x) + f(Y)

(x" X2. x,) ---7 (2t" x, + x,. O) (y, . Y2. y,) ---7 (2y" y, + Y2. O) (x, + y" x, + Y2. X, + y,) ---7 (a , + 2y,. x, + X2 + y, + Y2. O) = (a" x, + X2. O) + + (2y,. y, + Y2. O) Conserva el producto por un escalar: f(XX) = J.f(x)

(x" X2. x,) (a,. x, + X2. O) A(a" x, + X2. O) = (2Ax" AX, + Ax2. O) A(X" X2. x,) = (Ax" Ax2. Ax,) ---7 (2Ax,. Ax, + AX2. O)

119


Observación: estas dos condiciones se podían haber comprobado a la vez utilizando la caracterización de aplicaciones lineales. • Por conservar la suma y el producto, la tra nsformaci ón es lineal.

• •

•

El núcleo es ['(O, O, O) = [(x" x" x,)/(2x" x, + X2, O) = (O, O, O) 1 2x,

x,

=O}

=> Xl

=-

X2

=O

+X2 =0

•

Un subespacio vectorial se puede determinar nediante sus ecuaciones cartes ianas, paramétricas o mediante una base.

• . di ' 1 • Las ecuacIones cartesoanas e nuc eo son:

de

[t, L + x,X2 == OO Ejercicic X '=O

• Las ecuaciones para métricas del núcleo son: x, = O { x, =A

pid de I

Ya hemos encontrado unas ecuaciones, determi nemos una base:

aSOI

• El vector (O, O, J) es un sistema generador del núcleo; por ser sólo uno, es independiente => [(O, O, J) 1 es una base del núcleo. • El núcleo tiene dimensión 1 (recordemos que es el número de elementos de sus bases = número de parámetros en las ecuaciones paramétricas). 1m(/)

= [flx"

x" x, ) = (2x" x,

+ X2, O) 1 )

120

Ejercicios

• Los vectores (2, 1, O) Y (O, 1, O) generan la imagen de f y son linealmente independientes, por tanto B = {(2, 1, O), (O, 1, O)} es una base de Im(f). • La dimensión de la imagen es 2 • Unas ecuaciones paramétricas de la imagen son:

• Las ecuaciones cartesianas de la imagen son: x, = O Comprobamos que se cumple la relación entre las dimensiones del núcleo, de la imagen y del espacio origen IR' : dim(IR' ) = dim Nuc(f) + dim Im(f).

Ejercicio 2.3

Sif : IR'

IR' / 1(3, 1) = ( 1, 2);1(- 1, O) = ( 1, 1) es una aplicación li neal. Se pide: a) Determinar la matriz asociada af tomando la base canónica como base de IR' . b) Las ecuaciones de la aplicación. c) La imagen de (2, 4). --7

Solución: a) La base canónica de IR' es B = { ( 1, O), (O, I) }, para calcular la matri z asociada af hay que calcular 1( 1, O) Y1(0, 1):

(1 , O) = x(3, I) + y(- I , O)

[ 1 =3x -y

=> ~ = x

=> x =O;y =- 1

Por ser f lineal, se verifica: 1( 1, O) =j[O(3, 1)-1(-1, 0)] = 01(3, 1)- 11(- 1, 0) =0(1,2) - 1(1 , 1) =(- 1, - 1)

[ O= 3x - y=>

(O, 1) = x(3, I) + y(- I , O) => l l = x

x=1; y = 3

121


Por ser f lineal, se verifica: 1(0, 1) = fIl(3, 1) + 3(-1, O)] = 11(3, 1) + 31(-1, O) = 1( l , 2) + 3( 1, 1) = (4, 5) Matriz asociada a J: ( - 1 4) -1 5 b) Ecuaciones de la aplicación:

+ 4X2 (YYI)2 =(-1- l 4)5 (XX2I) {YIY2 ==-X, -X, + 5X2 =>

c) La imagen de (2, 4) se puede calcular utilizando la definición de aplicación lineal y las imágenes de los elementos de la base. (2, 4) = 2( 1, 0) +4(0, 1). Por serf lineal, se verifica: fI2(1, O) + 4(0, 1)] = 21(1, O) + 41(0, 1) = 2(- l, - 1) + 4(4, 5) = (14, 18) También podíamos haber uti lizado las ecuaciones de la aplicación :

Y,

= -X, + 4X2 Y2 = -X, + 5X2

=>

{YIy, == -- 22 ++ 4.4 = 14 5.4 = 18

o podíamos haber determinado 1(2,4) a partir de la matriz:

f( ~ ) (=:~) (~ ) =

= ( :: )

Ejercicio 2.4

Sif: IR' ~ 1R' ¡1(I, 0, O) = O) = (1,1);1(0, 0, 1) = (1, O) es una aplicación lineal . Se pide: a) Determinar la matriz asociada aftomando las ba-

122

Ejercicios

ses canónicas de [J;l3 y [J;l2 b) Determinar las ecuaciones de la imagen del subespacio x, + x, - X 3 = O. Solución: a) Matriz asociada af: Es la matriz cuyas columnas son las imágenes de la base dada en [J;l3:

A=

1 1)

110

Las ecuaciones de la aplicación son: (

~;) = ( ~

I 1) (X')

1 O

X,

X3

b) Unas ecuaciones paramétricas del subespacio x, + X ,

"t'

x, := /1A. X3 -

A. + /1

'"

- X3

= O son:

(x,) I ) + /1 (OI ) X2 = A. ( O X3

1

I

{(1,0, 1),(0, 1, 1)) es una base dex , + X, -X3=0, portanto Ifl l , O, 1),.1(0, 1, 1) es un sistema de generadores de .l(x, + x, - X 3 = O),

=>

x, -

X3

= O) está generado por (J, 1)

Unas ecuaciones paramétricas de .l(x, + x, -

X3

= O) son:

(~; ) = A. ( T) '"

",Ix, = U I¿' = A.

Unas ecuaciones paramétricas son: x, = 2x2 •

123


Ejercicio 2.5

Determínese las condiciones que deben cumplir dos matrices de igual tamaño para que su producto sea una matriz simétrica. Solución: Tienen igual tamaño Se pueden multiplicar matrices de orden m

} X

p YP X m

=>

m=p=n

• La primera condición es que sean cuadradas. Si plirse

e = A.,,,,B.,," = (Cij) E M.,,", para que el producto sea simétrico debe cum cij

=

Cj ¡

siendo

c ¡j

=

•

:¿ a¡,h'j r= 1

y

cji

=

•

:¿ a j ,h,¡ para r- l

todos los valores de i, j.

• Luego la segunda condición es que se verifique que, la fi la i de A por la columna} de B sea igual a la fila} de A por la columna i de B.

Recordemos la forma de multiplicar matrices: X X

Fila i de A

a il

a i2

....... . .......

a jn

b"j Columna} de B

124

Ejercicios

Ejercicio 2.6

Seaf : IR' ~ IR' una aplicación lineal tal que .fl:x¡, x" x, ) = (x, - x" x, + x,), y sea g : IR' ~ IR', una aplicación lineal tal que g(x" x, ) = (x, + x" x, - X 2, 2<, + + 3x,). Se pide detenninar las ecuaciones de las aplicaciones f o g y g o f, y comprobar, mediante las matrices asociadas a ambas aplicaciones respecto a las bases canónicas, que el producto de matrices no es conmutativo. Solución: En este caso se pueden real izar f o g y g o f:

g of fog Ecuaciones de g o f

.fl:x" x" x,) =(x , - x" x, + x,) = (y" y,) g(j(x" x" x,» =g(y" y,) = (y, + y" y, - y" 2y, + 3y,) = =(x , - x, + X 2 + x" x¡ - x, - (x, + x,), 2(x, - x,) + 3(x, + x,» = (x, + X" x, - x, - a 3, 2<, + 3x, + x,)

=

Ecuaciones de f o g:

g(x" x, ) =(x, + x" x, - X" 2<¡ + 3x, ) = (y" y" y,) .fl:g(x" x,» =f(y" y" y,) = (y , - y" y, + y, ) = (x , + x, - (2<, + 3x,), x , - x, + + a, + 3x, ) = (-x , - 2<" 3x, + a ,) Es evidente que las aplicaciones g o f: IR' ~ IR' ~ IR' Yf o g: IR' ~ IR' e imagen.

~ IR'

no pueden coincidir al tener distintos los conjuntos original

125


Matriz asociada af: el , 0, O) -7 ( 1, O)

1) ' porque (O, 1, O) -7 (O, 1) A = (O ] ]1 - O { (0, 0, 1) -7 (- 1, 1) Matriz asoc iada a g:

_ B-

(1 , O) -7 ( 1, 1, 2) ( ~I -j1), porque ~(0, 1) -7(1 , - 1,3)

Matriz asociada a g o f:

BA = ( : _ : ) 2

3

Expresión analítica de g

(1 °-1) ° 11

Y2

X2

Expresión analítica de

I °-])(:2 _3:)=(-1 -2), 3 2

f

o

g

I)=(-I3 -2)(XI) (Y Y2 2

011

Como ya sabíamos, A B

f

YI ) (1 I 1) (XI) (Y 3 = 2I - 31 - 2I X3

=( : 2

Matriz asociada af o g:

AB=(

o

X2

* B Aporque f g * g o

o

f

Ejercicio 2.7

Consideramos en 1I\l3 las bases: B = {( I, 2, 3), (3, 4, O), ( 1, 1, O) } y B' = {( 1, 1, O), (0, 1, 1), ( 1, 0, l)}. Se pide encontrar las matrices de cambio de base, comprobar que son inversas, escri bir las ecuaciones del cambio de base, y cal-

126

Ejercicios

cular las coordenadas de un vector en la base B sabiendo que en S ' sus coordenadas son (2, 1, 1). Solución: • Coordenadas de B' respecto a B:

+ {3(3, 4, O) + y( 1, 1, O) = ( 1, 1, O)

=>

a( I,2,3) +13(3,4, 0) + y( l, 1, 0) = (0, 1, 1) a ( I,2,3) +13(3, 4 , 0) +y( I , 1, 0) =(1 , 0, 1)

=>

a = 1/3; 13=2/3; y= - 7/3

=>

a= 1/3; f3=-4/3;y= 14/3

a( 1, 2, 3)

a = O;

13 = O;

Y= 1

Por tanto:

(IR', B') -7 (IR' , B) ( 1, 1, O) -7 (O, 0, 1) (0, 1, 1) -7 ( 1/3, 2/3 , -7/3) ( 1, 0, 1) -7( 1/3 , -4/3, 14/3) • Matriz para pasar de las coordenadas de un vector respecto a S' a las coordenadas respecto a B:

Q=

°° (

1/3 1/3 ) 2/3 -4/3 1 - 7/3 14/3

• Coordenadas de S respecto a B':

a(l, 1, 0) + 13(0 , 1, 1) + y( I ,O, 1) = ( 1,2, 3) => a = O; 13 =2; y= 1 a(l, 1,0) + 13(0,1, 1)+ y( I , O, 1)=(3, 4, 0) =>a = 7/2; 13= 1/2; y= - 1/2 a( l , 1,0) + 13(0, 1, 1) + y(l , O, 1)=( 1, 1, 0) =>a= 1, 13=0; y =O • Matriz para pasar de las coordenadas de un vector respecto a S a las coordenadas respecto a B':

127


O 7/2 1 ) P = 2 1/2 O ( 1 - 1/2 O • Las matrices Q y P son inversas:

QP =

O 1/3 1/3) (O O 2/3 -4/3 2

7/2 1/2 I - 1/2

( 1 - 7/3 14/3

b

?)=

O7/2 1)(OO 2/3 1/3 ID) -4/3 = PQ ( I - 7/3 14/3

= 2 1/2 O I - 1/2 O

• Ecuaciones del cambio de base: Las ecuaciones que permiten pasar de las coordenadas de un vector respecto a la base B' a las coordenadas respecto a la base B son:

XI) (O 2/3 1/3 1/3) (x'I) -4/3 ~, *" x = QX' (x,x, = O1 -7/3 14/3 X,

Las ecuaciones que permiten pasar de las coordenadas de un vector respecto a la base B a las coordenadas respecto a la base B' son:

x'I) (O 7/2 1)(XI) 1/2 O x, *" X =Q-IX (x',x', = 2I -1/2 O X,

Para calcular las coordenadas de un vector en la base B conociéndolas en la otra, aplicaremos las ecuaciones oportunas, que en este caso son:

128

Ejercicios

X') = (oo 2/3 1/3 -4/3 1/3)(2) x, 1 ( x, 1 -7/3 14/3 1

=>

(x,) x, = (2/3 - 2/3 ) x,

13/3

Para cambiar de coordenadas un solo vector no está justificado el esfuerzo de calcular las ecuaciones del cambio. Lo haríamos directamente: a(l,2, 3) +¡J(3, 4, O)+y(I, I, O)= 2(l , 1,0) + 1(0,1 , 1) + 1( 1, 0, 1) => a=

= 2/3; ¡J = - 2/3;

r = 13/3

Ejercicio 2.8

Dada la matriz A = ( (

31)

2 O ,se pide: a) Encontrar una matriz equiva1 3

lente escalonada por filas. b) Transformar la matriz obtenida en la matriz identidad mediante operaciones elementales. Solución: a)

1 31 11) ~ ( O 1 31 1) A= 131) 1 2 O ~ (131) O - 1 - 1 ~ (O 1 ~ (131) O 1 1 ( 1- 1 3 O -4 2 1 -4 2 OO6 OO 1

F, -7 F, - F , F, -7F, - F ,

F, -7 - F,

F, -7 F, + 4F,

F, -7 1/6 F,

129


b)

131) 1 31 I1) ---) ( O 1 30) O 1 1 ---) ( O I O ---) (100) O 1 O =f ( 006 001 001 001

I

I

F, -7 1/6 F,

I

F, -7 F , - F, F, -7 F, - F,

F , -7 F , -3F,

Ejercicio 2.9

Demuéstrese que cuando se verifica a' + b' + e' = I con a. b, e E

a' ab ae )

las potencias de la matriz a.b b' b~ son iguales a ella misma. ( ae be e Solución:

a' ab ae)" (a' ab ae )

Queremos probar que ab b' b~ = ab b' be ,V 11 E IR

(

ae be e

ae be e'

Las tres etapas del método de inducción son: • Comprobar que es cierto para n = l .

a' ab ae) (a' ab ae)

Es ev idente que ab b' b~ = ab 1/ b~ ( ae be e ae be e

130

,

~

R todas

Ejercicios

• Suponer que es cierto para

(

ti -

l.

a' ab ae )'_1 (a' ab ae ) ab b' be = ab b' be ac be

(?

ac be e2

• Comprobar que también es cierto para n.

(:::~ :~)~I(;~ :~ :~) ae be e'

ae be e'

= (::

:~ :~) 1:: :~ :~) =

ae be e'

~e

be e'

a4 + a' b' + a' e' a'b + ab' + abe' a3e + ab'e + ae3) ' = a b + ab + abe- a' b' + b' + b'e' a' be + b'e + be' = ( a'e + ab' e + ae' a' be + b'e + be' a 2c2 + b2c2 + c4

,

,

a'(a' + b' + e') = ab(a' + b' + e') ( , ae(a + b-' + e-)

,

ab(a' + b' + e' ) ae(a' + b' + e'») (a' ab ae) b'(a' + b' + e') ae(a' + b' + e') = ab b' be be(a' + b' + e') e' (a' + b' + e') ae be e'

Cuando una matriz A tiene la propiedad A' = A se llama idempotente

Ejercicio 2.10 Demúestrese que si A es una matriz que veri fi ca la relación A' - A - 1 = O, entonces existe A- 1 Solución: A' - A - I = O => I =A' -A=A (A-I)

=>

A-1=A - 1

Existe y vale A - l .

131

,

l'

3 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

RODUCCIÓN Los determinantes aparecen en Matemáticas en relación con los problemas de eliminación y resolución de sistemas lineales. En 1693, Leibniz usó un conj unto sistemático de índices para designar los coeficientes de un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas. Por un proceso de eliminación, obtuvo una expresión (la resultante del sistema, que no es más que el determinante de los coefi cientes), cuya anulación era condición necesaria y suficiente para que el sistema tuviera solución. La búsqueda de fórmulas explícitas de resolución de sistemas lineales, ini ciada por MacLaurin en 1729 parece ser el origen más directo de la teoría de determinantes. Vandermonde, en una Memoria aparecida en 1772, fue el primero en dar una exposición sistemática y detallada de la teoría. Demuestra las propiedades generales de los determinantes, como el hecho de que son funciones multilineales alternadas de sus filas y de sus columnas, la igualdad de un determinante y su transpuesto y también la regla para desarrollar un determinante por una fi la o columna. Como la mayor parte de los algebristas de la época. Vandermonde se contenta con verificar las propiedades para valores pequeños de n. El nombre de determinante se debe a Cauchy, quien también introdujo el uso de dobles subíndices y la disposición de los elementos en un cuadrado de n' puntos (las líneas verticales fueron introducidas posteriormente por Cay-

133

3 Determinante de una matriz cuadrada

ley). Como en muchos otros temas, es Cauchy quien establece la teoría general , dando demostraciones rigurosas y completas. Establece también la fórm ula general que da el producto de dos determinantes como otro determinante así como las relaciones entre los determinantes formados con los menores de distintos órdenes de un determinante dado. A partir del trabajo de Cauchy, los detenn inantes van a convertirse en una herramienta bás ica en todos los problemas de Álgebra Lineal, y su estudio fue objeto preferente de atención de los matemáticos del siglo XlX.

134

Cauchy (1789-1879)

CAUCHY (1789-1879) Cauchy nació el 2 1 de agosto de 1789 en un París convulso por la Revolución Francesa y las revueltas populares. La ejecución de rey en 1793 en la guillotina, los cambios impulsados por Robespierre que también termina en la guillotina y la llegada de Napoleón, propician una época de organización del estado y de estabilidad para los científicos. En 18 14, Napoleón abdica y se instaura en Francia, de nuevo, la monarquía en la persona de Luis xvrn. Las contrarreformas que inicia el rey, producen un gran descontento popular. Napoleón se hace con el poder de nuevo. Las monarquías europeas forman un ejército y derrotan a Napoleón en Waterloo. En este período, desarrolla Cauchy su actividad, que a grandes rasgos es la siguiente: En 1805 entró en la Escuela Politécnica de París donde se formó. A lo largo de su vida fue coherente con sus ideas políticas y religiosas, así, cuando en 1830 fue requerido para que jurase lealtad al nuevo régimen se negó a hacerlo y perdió los puestos académicos que tenía. Su brillantez como científi co no le acompañaba como docente y cuando daba clases, sus alumnos se quejaban de que no podían entenderlas. Entre otros alumnos, tuvo al nieto de Carlos X, pero dadas las limitaciones de uno como alumno y de otro como profesor, el resultado no fue bueno y Cauchy regresó a París en 1838, volvió a la Academia pero no a la enseñanza, porque se negó a jurar lealtad al régimen. Regresó a su puesto en la Universidad en l848, cuando Luis Felipe fue derrocado. Murió: 23 de mayo de 1857 en Sceaux (París-Francia). Con 789 trabajos distribuidos en 27 volúmenes, es uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su nombre aparece ligado a gran cantidad de campos: teoría de funciones complejas, series, ecuaciones, ~o lución de ecuaciones diferenciales, creó la teoría de las funciones analíticas, desarrolló la teoría de determinantes. Graciau.B,~Lanáli si s infinitesimal adquiere bases .ólidas, adoptando métodos rigurosos que el mismo describe: "He tratado de dar a los métodos todo el rigor que se ex ige en geometría, sin acudir jamás a los argumentos tomados de la generalidad del álgebra ..."

135

Organigrama

CAPÍTULO 3 \1atriz cuadrada . de M"""

Endomorfismo de un e.v. de ~3dimen s ión n

n vectores de

Determinante de una matriz eMIIXIl

Determinante de un endomorfismo de un e.v. de dimensión n

Determinante de tl vectores de ~"

,,

,,, Cálculo de !determinantes ,,

, ,,, ,,

,, ,,

,,

~1atriz

inversa

Rango de una matriz

~"

,,

Endomorfismo inverso

Rango de un endomorfismo

Rango de un sistema de vectores

137


3.1 . Determinante de una matriz cuadrada

Hasta aquí hemos estado trabajando con vectores y matrices, y las herramientas de que hemos dispuesto para su estudio han sido poco eficientes. En este capítulo vamos a utili zar los determinantes como herramienta que facilita muchas de las tareas cuyo estudio hasta ahora ha sido poco ágil, como la dependencia e independencia lineal, el rango de una matriz, el cálculo de la matriz inversa, etc. Vamos a estudiar el determinante de la matriz asociada a un endomorfismo, por ello, es conveniente repasar con detenimiento [2.6J antes de seguir adelante. Dos conjuntos formados por los mismos elementos, pero ordenado de forma diferente, decimos que son dos permutaciones o sustit uciones diferentes del mismo conjunto.

3.1.1. Definición de permutación a es una pennutación de S = { 1, 2 . ... , 11) '" a es una aplicación biyectiva de S ~ S

La imagen de cada elemento i

E

S es o(i)

E

S.

Es frecuente expresar la permutación de la siguiente manera:

( 1

2

...

I! )

J.. J.. ... J.. , 0( 1)0(2) ... 0(1l)

o simplemente

(~I) ~I) ::: aZll))'

Dos elementos están en inversión cuando el orden en que figuran es distinto del de la permutación principal (1 ,2, .. ., 11) Una permutación se ll ama par si tiene un número par de inversiones, e impar si tiene un número impar de inversiones. A las permutaciones pares se les asigna el signo +, y a las perm utaciones impares se les as igna el signo-.

138

3.1. Determinante de una matriz cuadrada

Ejemplo 3.1 .1

Si (J es una permutación de S = {l, 2, 3 }, en el gráfico siguiente se detallan todas las permutaciones posibles, así, como, el número de inversiones, el tipo de permutación y el signo.

Original ~ Imagen --? N.o de inversiones --? Tipo de permutación Signo

1,2, 3

~

1,2,3

O

Par

1, 2,3

~

1, 3. 2

1

Impar

1,2,3

~

LL3

+

Impar

~

1,2,3 --..J4 2, U

i"--

1, 2, 3 --..J4 U , 2

2

Par

+

2

Par

+

3

Impar

.L"--..

1,2, 3 --..J4 3,2.....1

El número de permutaciones que se puede hacer con un conjunto de 3 elementos es 3! = 3.2.1 . Si el conjunto S tiene n elementos, el número de permutaciones es n! = = 1I.(n- 1)00 . 3.2.1. Recibe el nombre de determinante la aplicación que asigna a cada matriz el escalar obtenido de la form a siguiente: La imagen de una matri z cuadrada A = (aul E M,xn es el escalar obtenido al sumar algebraicamente II! sumandos, tales que: Cada sumando es el producto de n factores. Cada factor es un elemento de la matriz perteneciente a una fila distinta del conjunto {1 , 2, oo. , II}, (colocadas en el orden natural), y a una columna di stinta perteneciente al conjunto {o( 1), 0(2), oo. , o(n)}. Cada sumando estará afectado del signo + o -, según que la permutación de las columnas 0( 1), 0(2), oo ., 0(11), sea par o impar.

139


La aplicación deftnida da lugar a la siguiente deftnición:

3.1.2. Definición de determinante de una matriz Determinante de una matriz A es la aplicación :

M"""

del)

A = (a,})

lI\l

del

) det(A)

= lA l ='"~ (si8"o o-)al"",o'0(2) ' " a"",,,1

Con el fin de aclarar los pasos dados, vamos a analizar detenidamente el proceso para una matriz de orden 2.

M2X1

de l )

lI\l del)

lA l = \

a" a,,\ a 2 1 a 22

Como n. =2, el número de sumandos es: 2!

=2.1 =2.

Cada sumando debe tener 2 factores:

En el sumando a"a22, el factor a" es de la fija 1, columna 1; el factor a22 es de la fLla 2 columna 2. En el sumando a"a21, el factor a" es de la fi la 1, columna 2; el factor a 21 de la fila 2 columna 1.

140

3. 1. Determinante de una matriz cuadrada

El sumando a"a22 lleva signo más porque una vez colocados sus factores de modo que las fIJas estén en el orden natural (1 , 2), la permutación que representa las columnas (1, 2) no presentan ninguna inversión. El sumando a 12 a 21 lleva signo menos porque una vez colocados sus factores de modo que las filas estén en el orden natural (1, 2), la permutación que representa las columnas (2, 1) presenta un número impar de inversiones (1). En los órdenes pequeños estamos acostumbrados a utilizar la defmición dada, aunque en general, no decimos que es la definición, sino que utilizamos la "Regla de Sarrus".

MM

det

lTll

)"

I

del ) lA I = a" a 21

a l] G I2

del ) I A I =

al3

a 21 0 22 a 23

=

G3\ 0 32 a 33

El determinante de orden 4 tiene 4!

=24 sumandos, el de orden 5 tiene 5! =

= 120 sumandos, y para matrices de órdenes superiores, el número de suman-

dos n! es muy elevado, de modo que, aunque la definición iJldica un algoritmo de fácil programación para resolver en ordenador, cuando n sea grande se necesita un ordenador muy potente y mucho tiempo. Por ello, es conveniente recurrir a otros procedimientos de cálculo derivados de las propiedades de los determinantes. La form a de algunas matrices permite el cálculo sencillo de sus determinantes medi ante la utilización directa de la defini ción.

Consecuencias

1. El detemlinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal.

141


Al utilizar la defmi ción encontramos que el único sumando que no contiene un factor cero es el prod ucto de los elementos de la diagonal.

o o

a" O O a",

2. E l determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de la diagonal principal.

Sale como consecuencia de lo anterior. 3. El determinante de la matriz unidad es 1: 1/ 1 = 1.

La matriz 1 es un caso particular de las matrices diagonales. Sabemos que cada matriz corresponde a un endomorfismo. Si A = (a;) es la matriz asociada al endomorfismo J : V -7 V, llamaremos detenninante del endormorfi smo al determinante de la matriz asociada A.

3.1.4. Definición de determinante de un endomorfismo Detelminante de un endomorfismof: V -7 V .,. IJI ciada af

= 1A l. siendo A la matriz aso-

También vimos en [2.3] que si! : V -7 V, la matriz asociada A tiene 11 columnas, cada columna es la imagen de un vector de una base de V, expresada en la misma u otra base de V, y por tanto, cada columna tendrá n coordenadas, que dan lugar a n filas. Se llama determinante de un conjunto de n vectores de 11 coordenadas cada uno al detenninante de la matriz que forman.

142

3.1. Determinante de una matriz cuadrada

3.1.5. Definición de determinante de un conjunto de vectores de ~" Delenllinante de

{x" x" ... , x") =

lA 1, siendo A la matriz cuyas columnas son x"

-__ ""xn

Ejemplo 3.1 .2 En el ejemplo 2.6. 1, habíamos defmido el enfomorfismo de ~2,f: ~' ~ ~2 / f(x" x,) = (2x" O), calcul ado la matriz A asociada al respecto a la base canónica de ~2, cuyas columnas son las imágenes de la base canónica {(l , O), (O, 1) 1,f(0, 1) = (2, O) Yf( 1, O) = (O, O). El detenninanle de f, el detenninante de A y el detenninante de los vectores columna tienen la misma expresión: 1I1 = 1Al =

16 g1= o.

143


3.2. Cálculo de determinantes

Hemos visto que la definición de determinante de una matriz hace muy largo su cálculo si la matri z es de un orden elevado, vamos a dedicar esta secci y la siguiente al estudio de las propiedades que permiten desarrollar procedImientos efi cientes, tanto para el cálculo manual, como para su incorporación programas de ordenador. Cuando elegimos los elementos que forman la intersección de algunas fil y algunas columnas de una matriz, sin variar la disposición en que estaban, hemos formado una submatriz de la matriz dada. Si la submatri z es cuadrada, se puede calcular su determinante, y ese determinante se llama menor.

3.2.1. Definición de menor

Menor de una matri z A E M"xn es el determinante de cualquier submatri z cuadrada suya B.

3.2.2 . Definición de menor complementario

Menor complementario de la submatriz B de una matriz A E M"xn es el determ inante de la submatriz cuadrada de A que resulta de el iminar en A las filas y columnas a las que pertenece B. Se designa por aBo

144


3.2.3. Definición de adjunto dJunto o cofactor de la submatriz B de una matriz A E M,,,,, es el menor de B afeco del signo correspondiente, se designa por A B y su valor es: AB = (_1)'" + 'iJ aB .

En la definición anterior 2.i es la suma de los subíndices que indican las filas, 2.j la suma de los indices que indican las columnas, que contiene la submatriz B en la matriz A E M,,,,,. Cuando la submatriz B elegida está fonnada por un solo elemento, estamos ante un caso particular de los conceptos anteriores, y las definiciones de menor, menor complementario y adjunto no varían.

plo 3.2.1

Sea la matriz A =

2-1 3~ ~3) 1 -i ( 1

E

M,x4, la submatriz B = ( \

i ) está fonna-

1 1O

da por los elementos que están en negrita y cursiva, es la intersección de las filas 2 y 3 Y las columnas 1 y 4 de A. El menor correspondiente es : lB I = \

i ~\

El menor complementario de B es:

= \-: ~ \=-4.

aB

= l.

El adjunto de B es: AB = (_ 1)(2+3)+{1 <4¡ aB = (_1)10 (-4) = -4. Si elegimos como submatriz el elemento a 2 1 = I E A, el menor es el mismo elemento, el menor complementario a 2 1 =

-1 3 3 2 4 2 = 2, Yel adjunto A 21 = I I O

= (_ 1)'+2 a '2 = -2.

145


Nuestro propósito es reducir el cálculo de un determinante al cálculo de determinantes de orden inferior al dado; vamos a demostrar que esto es posible. Antes de hacer la demostración recordemos que la expresión que define un determinante se puede escribir de más de una manera, así, un determinante de orden tres admite las siguientes expres iones: all GI 2 a l3

lA I =

a 21 a 22 0 23

= Gl lG 22Cl33 - G.JlQ 23a 32 - 0 ]20 21 0 33 +G12G23G 31

+ a 13G 2 IQ3r-

0 3 1 a 32 0 33

-

=

= a ll (0220 33 a 12al2 + G l3a l3 =

0 \3° 220 3 1 altal1 -

023(1 32 ) -a 12(a 2 1a33 G IIAIl

0 23( 31 )

+

0 13(a21 0 32 -

0 22( 3 1) =

+ al zA 12 + GIJA 13.

Observemos que hemos sacado factor común los elementos de la primera fila, y lo que queda dentro de cada paréntesis es el menor complementario del factor común; el menor complementario afectado del signo correspondiente el adju nto de dicho facto r común. Por tanto, hemos reducido el cálculo de un determinante de orden tres al cálculo de determinantes de orden dos. No ofrece ningu na dificu ltad de concepto, au nque sí de notación , reproducir para el determinante de orden n el proceso seguido en el caso de orden tres-

3.2.4. Teorema El delel"mina¡)le de una matri2 es igual a la ,uma De lo" proDuctos De los eleme tos de una fi la por sus adjuntos correspondientes

Demostración:

Si A = ( ::.: a nl

146

:~

al,, )

a n2

G /m

a.;~

, la definición de determinante dada en


nos dice que lA I tiene n! sumandos, cada sumando es el producto de I! facto· res, cada fac tor es un elemento de la matriz perteneciente a una fil a distinta: l. 2, ... , 11, Y a una columna di stinta o{ 1), 0{2), .. ., 0{11). Si nos fijamos en la primera fi la (Gil, GI2 , ... , G,.) de la matriz, podemos sacar factor común G il en los 11 - 1 sumandos que contienen G il en el desarrollo del determinante. El factor que multiplica a Gil , tendrá 11-1 sumandos, cada sumando tendrá 11 - l factores, y cada factor será de las fil as 2, 3, ..., 11, Y de las columnas 2, 3, ... , 11, ya que en el desarrollo del determinante primitivo de orden 11 los fac tores de cada sumando son de fi la y columna distinta, y al quitar el Gil, los que le multiplican son de las restantes fiJ as y columnas. Dicho factor es, por tanto, el determinante que resulta de eliminar la primera fil a y la primera columna. Es el menor complementario de G il : a ll . Aplicando la definición de adjunto del menor Gil, vemos que el menor complementario coincide con su adjunto, porque AIl = (- 1)'+1 all = all. Repitiendo el proceso con los sumandos que contienen a l2, el factor que le multiplica tiene n - 1 sumandos, cada sumando n - 1 factores, y cada factor es de las fi las 2, 3, ... , 11, Y de las columnas 1,3, ... , 11. Es decir, es -a12 porque es el desarrollo del menor complementario de G I2, pero todos los sumandos tienen el signo cambiado. Hemos obtenido, en definiti va el adjunto A '2 = -a12. Operando de manera análoga con al3, luego con a l4 , etc., hasta G"" se tiene el desarrollo del determinante ¡ior los elementos de la primera fil a:

La elección de la primera fiJ a no ha reslado generalidad al procedimiento, si hubiéramos eleg ido cualquier otra fil a, el resultado sería e l mismo, tal como hemos expresado de forma general en el enunciado del teorema. Podíamos haber optado por seguir el proceso anterior con los elementos de cualqu ier columna, habríamos obtenido un resultado análogo, pero sustituyendo la palabra fil a por la palab ra columna. El teorema diría que el desarrollo del determinante por los elementos de la columna i es:

Una generalización de este teorema permite desarrollar el determinante por los elementos de varias filas. Esta forma de cálculo de determinantes se llama

147


regla de Laplace, aunque no vamos a hacer su demostración, sí vamos a enunciarla dada su utilidad.

3.2.5. Regla de Laplace El determinante de una matriz cuadrada de orden JI es igual a la suma de todos lo, productos posibles de los menores de orden p,(con p < 11) que se pueden formar con p filas (o columnas). por sus adjuntos correspondientes.

Ejemplo 3.2.2

2

1

3 O

Calcúlese 1A 1 = I I 1

2 1

4 1 mediante la regla de Laplace por los adO 2

3 -1 O

juntos de la segunda y tercera fila . Solución: Hay seis menores de orden 2 de la segunda y tercera ftla:

¡

21 I =-1''

Ó2

=1:

Ll.=17 ~1=-4;

Ó,

=17

ÓI =

1

ó1=-4; ~ 1= 3;

ÓJ =

t\o =

i1 I~ ~ 1

1:

= 1;

= 8;

Sus menores complementarios son:

_13 01- 0'

a1- - 1 O - ,

148

1

aJ = 13 - 31 1 =- lO''


Los adjuntos correspondientes son:

A, -- (- 1) "+>;;

a , -- (_ 1)(2+3)<{1+2) a , =(- 1)' a , =O; A, = (- 1)'+3+1+3

- (- 1)2+3+1+4 a 3 -- -10·, A3 -

A. = (_1)2+3+2+3

A5 -- (- 1)2+3+2+4 a s -- 5·,

Aplicando la Regla de Laplace se obtiene el valor del detemünante: 6

IAI =2:~;A ; =- 1 ·0+ (-4) . 0 + 1 · (- 10) + (-4) · 0+ 3·5 +8·5 =45. ,"" ]

149


3.3. Propiedades de los determinantes

El teorema [3.2.4J , además de pemutir una fo rma de cálculo de un determ inante reduciéndolo a suma algebraica de otros de orden una unidad menor, permite probar algunas de las propiedades de los detenninantes. Es muy frecuente que en la vida cotidiana saquemos concl usiones de hechos aislados sin sufic iente fundamento lógico. Por ejemplo. "como la term inación 5 se ha repetido varios años seguidos en los sorteos de la lotería, inducimos que la terminación 5 traerá suerte en el sorteo siguiente". Es ev idente que la conclusión es falsa. El hecho de que una situación se repita, no nos permite asegurar que va a ser cierta siempre. Por eIJo, no es suficiente dar ejemplos para demostrar un hecho, hace falta una demostración. El método inductivo bien utilizado pennite asegurar que las conclusiones obtenidas son ciertas, y con su uso se articulan demostraciones válidas. La aplicación del método de inducción consiste en seguir los siguientes pasos:

Comprobar que una proposic ión es cierta una vez (la primera). Comprobar que si es cierta una vez (la vez 1/- 1), lo es la vez siguiente (la vezn). Así, como es cierta la vez uno, lo es la dos, como es cierta la dos lo es la tres ... En algunas demostraciones posteriores, uti lizaremos este método, que también será am pl iamente util izado en programación para demostrar la corrección formal de ciertos tipos de algoritmos (algoritmos recursivos no fm ales), donde se cuenta con un parámetro de entrada sobre el que se establece un subproblema. de tamaño menor que el problema. En función de su solución se puede resolver el problema ori ginal.

150


Propiedades de los determinantes 1. El determinante de ¡lila matriz cuadrada coincide con el de su tra/lSpuesta Demostración: Sea n el orden de la matriz A. l. Si n = I ó 11 = 2 la propiedad es cierta, como puede comprobarse fáci lmente utilizando la definición. 2. Suponiendo que la propiedad es cierta para matrices de orden n- l , vamos a demostrar que es cierta para las de orden /l. En efecto, es desartollo de lA I por los menores de la primera fila es : lA I = a" A" + a 12A12 + ... + a ,,..4 ,, Sea B la matri z transpuesta de A '* B = A' '* Cada bij = ap. Desarrollando lB I por los elementos de la primera columna:

donde Bij es el adjunto del elemento b'j' Observemos que la matri z de orden 11-1 que resu lta al eliminar en la matriz B la fila i y la columna } es la transpuesta de la que resulta al eliminar la fila} y la columna i en la matriz A. Por lo tanto, utili zando la hipótesis de que en las matrices de orden 11- 1 que n transpuestas sus determinantes coinciden, cada adj unto Bp, del desarrollo de lB 1, es igual al correspondiente A'j del desarrollo de lA I en nuestro caso. Como consecuencia: lA I = IA' I. Hemos demostrado que la propiedad es cierta para los determinantes de orden 11, esta propiedad supone que todas las características que un detemlinante ga para las fiJ as, encuentra su análogo para las colunmas.

151


2. Si en una matriz A se permutan dos filas entre sí, el determinante de la matriz B que resulta es el determinante de A cambiado de signo Demostración: Haremos la demostración por inducción. El resultado es cierto para matrices de orden 2 como puede comprobarse utili zando la definición de determinante. Suponiendo que es cierto para matrices de orden 11- 1, comprobemos que también lo es para las de orden 11 . Si A es una matriz de orden n, y B la matriz que resulta de intercambiar las fil as i y j deA, queremos demostrar que lB 1 = - lA 1. Sea la fi la k otra fila distinta a las anteriores (k '" i; k", j). Si desarroUamo ambos determinantes por los elementos de la fija k, obtenemos: 1Al = a"A" + a'2A" + ... + a,A ,.; 1B 1 = b" B" + blaBIa + ... + b,.8,•.

Los elementos B'h y A,,, para h = 1, .. ., 11, de cada par de adjuntos son de una matri z de orden n- l , en los que están intercambiados la fija i con la fila j, y por la hipótesis de inducción damos por cierto que BkI. = - A'h . Portanto, es 1B 1=- b" A" - blaA" - ... - b",;l,. => lB 1 =- 1A l.

3. Si ulla matriz tielle dos filas iguales,

Sil

determinante es cero.

Esta propiedad es consecuencia inmediata de la anterior. Demostración: Sea A una matriz con dos filas iguales . intercambiando entre sí esas dos fil as, la matri z B que resulta es la mis => IB I = IAI. Por otra parte, 1B 1= -1 A 1porque la matriz B se ha obtenido al intercambi dos fil as en la matriz A. La única posibilidad que existe para que un valor real sea igual a su opu to, es que este valor sea O.

152


IAI = 18 1 } =>

IAI = 18 1=0.

IAI =-181 4. Si en una matriz se multiplican todos los elementos de una fila por 1m mismo escalar A-, el determinante de la matriz resultante queda multiplicado por A-. Demostración: Sea A una matriz de orden 11 y sea 8 la matriz que resulta de multiplicar en A cada elemento de la fila i por el escalar A. Desarrollando 18 1 por los elementos de esta fila i , es: 18 I= bil 8 i1 + ba8 a + + ... + b,.B'm en la fila i, cada elemento bij = Aaij' y cada adj unto 8 'j = Aij ya que las matrices A y 8 difieren sólo en la fil a i, y los adj untos anteriores no contienen elementos de ella. Se verifica, por tanto:

lB I ::::; bil B;1 + btzBi2 + + bilIJin ::::; AailA iI + AQ¡2A'L + ".. + Aa¡,A¡n = = A(a"A" + anA" + ... + a"Á,,,) = AI Al o ••

5. Si en una matriz A, se sustituye una fila por ella misma más el resultado de multiplicar otra fila distinta por el escalar A-, el determinante de la matriz resultante 110 varía. Demostración:

*

Sustituyendo en la matriz A la fi la i por ella más la fllaj (j i) multiplicada por A, se obtiene la matriz 8 donde cada e lemento de la fi la i es b" = a" + Aaj' con r= t, ..., n.

Para calcular 18 1por los elementos de la fila i , se efectúa:

Como cada adj unto 8 " = en la fila i , podemos escribir:

A", porque las matrices A y 8 coinciden excepto

153


18 I = (ail + Aaj l)A il + (a" + AaJ,)A" + ... + (ain + Aajn)A in = = (ail Ail + a" A" + ... + ai-A in) + A(aj lA il +aJ,An + ... + aj-A in) = lA I + A I e l

e

donde es una matriz que tiene iguales la fila i y la fila j , cuyo determinante ha sido desarroll ado por los elementos de la fija i. Portanto lel = O=> 18 1= l A l.

6. Si en /lila matriz hay /lila fi la combillacióll lineal de otras filas, determinallte es cero.

Sil

Para demostrar esta propiedad vamos a utilizar las dos anteriores. Sea A una matriz, tal que, su fi la i es combinac ión lineal de otras filas. Al desarrollar 1A 1 por los elementos de la fila i, obtendremos un a suma algebraica de determinantes, en cada uno de ellos podemos sacar una constante fuera (propiedad 4), todas las matrices de los determinantes obtenidos tienen dos fi las iguales, y su valor es O.

7. Si A Y 8

IABI

=

SOl/.

dos matrices cuadradas de orden

11,

se verifica:

IAI . 18 1

Demostración: Sean A = (ai) y 8 = (b i) dos matrices cuadradas de orden n, constru yamos la matriz siguiente

e

e=

b" bl2 b21 b"

b ln O O

bnl bll2 - 1 O

bnn O O .. O O Gl ] C/'¡ 2 .. . G II O 0 21 0 22 , .. 0 2n ... ... ... ...

O-1 O O

O O

b2n O O

1

-l

a nl G n2

o ••

=(: 1:)

(l nn

e es una matriz cuadrada de orden 2n distribuida en cuatro submatrices según indica el gráfi co. Transfonn amos mediante las siguientes sustituciones elementales de fil a:. sin que se altere el valor de su determinante; llamaremos D a la matriz obtenida.

e

154


F, ~ F, + bllFn+, + b12Fn+2 + ... + b",F2n => Las primeras 11 posiciones de la primera fila quedan ocupadas por ceros, y las 11 restantes por los elementos de la primera fi la de la matriz producto BA . F 2 ~ F2 + b21 F n+ 1 + b 22F n+2 + ... + h'bF2n ::::) Las primeras 11 posiciones de la segunda fila quedan ocupadas por ceros, y las 11 restantes por los elementos de la segunda fi la de la matriz BA.

"2n

Fn---7 Fn+ bll1Fn+l + bn2Fn+2 + .. . + blll = Las primeras n posiciones de la fila 11 quedan ocupadas por ceros, y las 11 restantes por los elementos de la fi la ti de la matriz BA. El resultado es I.a matriz O:

o 0=

BA

- 1

O

O

-1

A

Cálculo de le I : Tomamos la submatriz B de e, y utilizamos la regla de Laplace, el único menor distinto de cero en las n primeras filas y en las 11 primeras columnas de e es lB l . Su menor complementario es aA = lA 1, y su adjunto e8 :

e 8 = (_ I)l:i+l:j lA I = (_ I/ '+2+.. o+n)+(l+'+oo +n)IA I = lA I Portanto : lel = IB I · IA I Cálculo de 101: Tomamos la submatriz BA de O , y utilizamos la reg la de Laplace, el único menor distinto de cero en las 11 primeras fijas y en las 11 últimas columnas de O - 1 ... O

es IBA l. Su menor complementario es to vale:

aBA

=

o ...

= (-1)", cuyo adj un-1

155


(Obsérvese que el exponente I+2+ .. .+n+(n+ 1)+...+2n es la suma de ténniI + 2/1 nos de una progresión aritmética cuyo valor es S = 211, Y S + IZ =

2

= ( 1 + 2n)1I + n = 2/1.' + 2/1. es un número par). Portanto, I O I = IBA I . Como sabemos que IC I = ID I , podemos asegurar que IBA I = lB I . lA I , ya que ICI = IBI IA I y 10 1 = IAB I. Obsérvese que si bien el producto de matrices no es conmutativo, sí lo es el producto de esca lares, y los detenninantes lo son; por tanto podemos decir que IAB I =IA 1·1 B I aunque hayamos hecho los cálculos para IBA I = lB 1.1 A l. Las propiedades de los detemúnantes pernliten establecer procedimientos para abreviar su cálculo. Siempre es posible la transfonnación de la matriz dada en una matri z triangular mediante operaciones elementales en la misma como vimos en [2.8], aplicar el efecto de estas transfonnaciones al determinante y proceder al cálculo del detenninante de una matriz triangular.

Ejemplo 3 .3.1

Dada la matriz A = (

-!21)

O l , se pide calcular su deternlinante a través de 2 O

una matriz escalonada equivalente.

156


Paso de A a la escalonada equivalente

Efecto de las transformaciones

en su detenninante

2O 1) 1

O2 1

-1 O 1 1 3 2 O

2 O J, F , H F,

O 2 11)

Cambio el determinante de signo. (Prop. 2)

-

2 O

J,

-?

F,

-1 O 1 O2 1 1 3 2 O

Multiplica el determinante por (- 1). (Prop.4)

1 0-1 O 2

1

3 2 O

J, F, -? F,- 3F ,

Ninguno. (Prop. 5)

O 2 -1) 1

1 0 -1 O 2 1

2

O 2

3

3

Multiplica el determinante por 1/2. (prop. 4)

O -1) 1 1/2 2

I O-1 O 1 1/2 O 2 3

2

3

J, F, -? F, - 2F,

Ninguno. (prop. 5)

1 0 -1 O 1 1/2 O O 2

1

1

1 O-1 O 1 1/2 O O 2

1

157


Observaciones : La matriz escalonada ha sido obtenida mediante el algoritmo esbozado en [2.8]. Cuando decimos que multiplicamos el determinante por 1/2, estamos diciendo que el determinante de la nueva matri z es 1/2 del de la matriz A , por tanto, lA I es dos veces el determinante de la matriz transformada. Lo mismo ocurre en los dos cambios de signo de las primeras transfomlaClones.

La matriz obtenida es triangular y su determinante vale el producto de lo elementos de la diagonal principal [2.8]. 1

o

-1

O I 1/2 O O 2

158

=2

=>

O 2 I lA I = - 1 O I

1 0 -1 = 2 O 1 1/2

32 0

O O 2

= 2.2 = 4.

3.4. Cálculo de la matriz inversa

1 4. Cálculo de la matriz inversa

En e l capítulo 2 estudiamos las operaciones en el conj unto de matrices cuadradas, y dijimos que en dicho conjunto existe elemento identidad / , que es la un idad para la mu ltiplicación, pero que no siempre ex iste el e lemento inverso de una matriz dada A. Si existe la matriz inversa de A es la matriz A- I que verifi ca: AA- I = A- I A = I

Definición es la matriz in versa de A .,. AA

I

= A 'A= /

Las matrices que tienen elemento inverso se Uaman inversibles o regulares

4.2. Definición e H"xn es una matriz regular ~ Existe su inversa A -1 E M"M

Las matrices que no tienen inversa se llaman matrices sing ulares

4.3. Definición E

Hnxn es una matriz singular

{:::::>

No tiene inversa

159


Las matrices inversibles verifican las mismas propiedades que los elementos de un anillo que tienen inverso y esto nos permite enunciar las consecuencias siguientes.

3.4.4. Consecuencias l. Si una matriz A es regular, su inversa A-1 también lo es, y verifica (A-1r l =A. Demostración: Es consecuencia directa de la definición.

2. Si A es una matriz cuadrada con inversa A", ésta es la única. Demostración: Si existieran dos matrices C y D inversas ambas de A, utilizando la asociatividad del producto de matrices, podríamos escribir C(AD) = (CA)D .

=} Por ser C inversa de A es CA =l Por ser D inversa de A es AD

=>

~c(AD) =CI

=C} (CA)D =ID =D

"",C=D .

3. Si A Y B son matrices regulares, también lo son sus productos AB y BA; Y se verifica (A· Br' = B-'A-'. Demostración: Si utilizamos la ley asociativa del producto de matrices podemos escribir las siguientes cadenas de igualdades:

160


El cálculo de la inversa de una matriz cuadrada se puede hacer utilizando distintos métodos, haremos un ejemplo o daremos sólo una indicación de cada procedimiento, excepto del último que es el más útil y generalizado. • Utilizando la defini ción.

Ejemplo 3.4.1

Determínese la matriz inversa de / - A en fun ción de las potencias de A , sabiendo que A es una matriz regular, tal que, A' = O. Solución: (I - A)' (I-A)(I -Ar l = (I - A)' (I - A)3 =/ -3A+3A 2 - A3 =/ - 3A+ 3A 2 l

(1 - 3A + 3A') (I -Ar = (I -A)'

[/ - 3A(I - A)] (/ - Ar l = /(I-Ar l -3A(I-A)(I - At = (I - A)'

(I - Ar l = (I - A)' + 3A = / - 2A +A' + 3A = A' +A + /

• Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales. I

Si A- = (X ij) E M,,,,, inversa de A = (aij) E M,,,,, es la matriz a hallar, debe verificarse AA - 1 = /

XI,) (1 a'l al, ...al,)(XII .~.) (~.l.l ~~.2 ~~ ~~.I ~~~ ~~~ = .~.O ~.O ::: ... 1 X I2 ...

:: :

a nl a n 2 .. . Q nn

:: :

Xnl X n 2 ... X""

Si realizarnos el producto de las dos matrices e igualamos los valores de los elementos que ocupan la misma posición en ambos miembros, obtenemos un sistema lineal de n' ecuaciones lineales con /1' incógnitas, que es laborioso de resolver, aunque no tiene ninguna dificultad técnica.

161


Ejemplo 3.4.2 Determínese la inversa de A =

1 2 XII XI 2 1 O ( O 3 ) ( X21 X 22 ) = ( O 1)

(ó ~) , utilizando un sistema de ecuaciones. XII

+ 2x21 = 1 3X21

=>

{

X I2

+ 2<22 = O 3X22

{XII X21

=O

=I

=>

X I2 X 22

=1

=O

= -2/3

= 1/3

Para comprobarlo basta hacer los siguientes productos:

1 2)( 1-2/3)=(1-2/3) ( 1 2) = ( 1 O ) (O 3 O 1/3 O 1/3 O 3 O 1 • Med iante transformaciones elementales. Es conveniente repasar [2.8] antes de hacer el ejemplo siguiente, porque vamos a utilizar los resultados que obtuvimos allí. Si A tiene inversa, mediante transformaciones elementales de ftlas en A se obtiene la matriz unidad 1, si aplicamos esas mismas transformaciones en 1, se obtiene una matriz M , de manera que M . A = 1, es decir M = A- I (teorema [2.8.5/).

Ejemplo 3.4.3 Se desea calcular la inversa de A =

(~

-

t ~)

utilizando operaciones

elementales. Solución :

1 O2 (A I/) = 2 - 1 3 ( 111

I O O)

(1 O 2

OO 1

F2~ F,- 2F¡

F3 ~F3 - F¡

162

(1

1OO) O 2 -2I O 1 O) O ~ O 1- 1 - 1 O 1 --7 O 1- 1 - 1 O 1 0- 1 - 1 -2 1 O

010~0 - 1 - 1


1 o 2 ---70 1 - 1 ( o 0-2

1 o O) ( 1o 2 J o O ) (1 oo - 2 1 1) - 1 0 1 ---7 01 - 1 - 1 o 1 ---7 o 1 o 1/2-1/2 1/2 o o 1 3/2-1/2-1/2 o o 1 3/2 - 1/2 - 1/2 -3 1 1

FI ---7 FI - 2F3 F, ---7 F, + F j

La matriz inversa es A- J =

-2 1 1) 1/2 -1/2 1/2 ; para comprobarlo hay que ver: (3/2 - 1/2 - 1/2 OO)

1 1/2 1 ) = (-2 1 1/2 1 ) ( 21 - O 1 1 O =1 21 - O 1 2) 3 (-2 1/2 -1/2 1/2 - 1/2 1 2) 3 = (O ( 1 1 J 3/2 - 1/2 - 1/2 3/2 - 1/2 - 1/2 1 1 1 O O 1 • Mediante determinantes. Para poder hacerlo vamos a introducir algunos conceptos más.

3.4.5. Definición .4 E M,y." es la matri z adjunta de A .,. A es la matriz que resulta de sustituir cada elemento por su adjunto correspondiente

Ejemplo 3.4.4

Determínese la matriz adjunta A de A =

(-f ? i) 163


Solución: Los adjuntos de los distintos elementos son:

A=+ 10133 1=-3,. A'=_1-23 1=9' 13,

A 13

=JI I1 21 I =l ''

A 31

II

L

A 22 =

1 1 1 = 2' 1

A,, =

I 3

'

A,_3

=1-201 111 =_2', A,, =_1213II=-S' =12 11=6' A =-1111=-S'

°

3

'

32

-2 3

'

21 =4 1-21° -3

9-2)

X= - S 2 1 . ( 6-S 4

3.4.6. Teorema El producto de una matriz cuadrada A por la transpuesta de su adjunta es el valor de su determinante por la matriz unidad. A(X)' = 1Al/

Demostración

Sea la matriz A =

(~~.: ~~ a nl

Gn l

A"

A22 ...

A nl )

A~2

la tras-

A", ... Ann

puesta de su adj unta. Al hacer el producto de ambas se ve que A(X)' =(bij) siendo bij =]í A 1si i ~ j , SI ¡ ~ J

19

aplicando la propiedad 3 de [3.3.1].

164


IAI A (A)' =

(

:.

o IAI

o

.~.

)=IAI / .

IAI

De la misma manera se deduce que, (A)' A = lA 1/, por tanto, A(A)' = (A)' A = IAI / .

3.4.7. Teorema Una matriz cuadrada A tiene inversa (es regular) '" lA l;t O

Demostración: =» Si A regul ar => lA I ;t O Si A regular, ex iste matriz inversa A- 1, tal que, A A- 1= A- 1A = I Como el determinante de un producto es el producto de los determinantes => IAIIA-11= IA-'IIA I= I, necesariamente ha deser IAI ;tOo

<=)S i IAI;tO=> A es regular 1 _ Si lA I ;t Oexiste una matriz B = - - . (A)' (basta construirlo como hemos hecho en el teorema anterior). lA I Al aplicar el teorema [3.4.5J, se obtienen los resultados siguientes: AB =A - I (A) -') = - l ( A ·(A) -') = - I · I AI ·I = I ( IAI IAI IAI BA = --(A) 1 - ') A= - l ((A)·A -' ) = - ·I I A I · I = I ( IAI IAI IA I

esta expresión nos proporciona otra forma de calcular la inversa de una matriz cuando ex iste, es decir, de una matriz regular.

165


3.4.8. Cálculo de la matriz inversa de la matriz A

I B es la IIlversa de A "" B = A

I

-, = _I_ (A) o

IA I

Ejemplo 3.4.5 1

Detennínese la matriz inversa A- de la matriz A

=

(-f 21) O3 13

del ejemplo

3.4.4.

Solución: Habíamos detenninado la matri z adjunta A=

(-3 9-2) -5 2

I

=>

(A)' =

6 -5 4

=

-3 -5 6) (- 2 1 9

I 2I

(-3 -5 6)

2 -5 ;IAI = -2 0 3 = 13;A- 1 = 1/13 9 2 -5 . 4 1 I 3 -2 1 4

(

I 21)(-3-5 9 2-56) (1 OO 1 O O).

Podemos comprobar que 1/ 13 -2 O 3 I I 3

=

-2 1 4

OO1

3.4.9. Consecuencias 1) SiA es una matriz regular de ordell

166

11,

eIltollces, I A - 1 I = _ 1_ IA I


Demostración: Si A tiene inversa A-' , se verifica A A-'= /, Y lA II A-'I =1/ 1= 1 =

=>

I A-' I

=

1

IAI'

2) Para toda matriz A de orden n se verifica I A I I (A)' I = I A I n,

Demostración: La matriz producto lA I ,/ es diagonal, su determinante es lA 1",

167

3 Dete;minante de una matriz cuadrada

3.5. Rango de una matriz; rango de un endomorfismo; rango de un sist ema de vectores En [1.3.6J vimos la definición de vectores linealmente independientes y en [1.3.7.J su caracterización, así podíamos seleccionar los vectores que dependían de otros, o saber que el sistema de vectores dado es libre. En [2.8.1.J utilizamos las matrices escalonadas para conseguir el mismo fin, y después de estudiar los determinantes disponemos de una herramienta poderosa que facilita otros criterios para hacer lo mi smo. El teorema siguiente contiene una condición de independencia lineal de vectores.

3.5. 1. Teorema Un sistema S de 11 vectores de un espacio vectori al de di mensión 11 es libre R El detemünante de la matriz cuyas fil as o columnas son los vectores de S es ~ O Demostración Supongamos que un sistema S de 11 vectores de un espacio vectorial de dimensión 11 es libre, si utilizamos [2.8.7J => Si A es la matriz cuyas filas son los vectores de S, A tiene inversa al tener rango máximo, uti lizando [3.4. 7J => => )

=>IAI~O.

<=) Para demostrar la implicación " =>", hemos utilizado sólo la condición necesaria de cada teorema, pero como también es cierta la suficiente, es válida toda la cadena de implicaciones tomadas desde el final hasta el principio.

Ejemplo 3.5.1

El sistema de vectores F= {(I, - 1,3),(2, l , 1 nealmente independiente, ya que el determinante - 1 3

168

I),(I , O, O)}

e

[RJ, esli-

2 1 1 O = -4 ~ O. 1 0

3.5. Rango de una matriz; rango de un endomorfismo ...

Corno ya hemos anunciado, el cálculo del rango de una matriz se puede hacer utilizando determinantes.

3.5.2. Teorema El rango de una matriz es el mayor de los órdenes de sus menores no nulos

Demostrac ión Sea A E Mm" una matriz de rango r, y sea A,una submatriz de A regu lar de orden p, tal que el determinante de cualquier otra submatriz cuadrada de orden mayor que p es cero. Vamos a demostrar que r = p demostrando que r '? p Yr <ó, p.

1. r '? p Sean i i2 , ... , ir las filas que ocupa A, en la matriz A, y sean j" j" ..., jp las columnas." Considérese la matriz B con las mismas filas que A" pero con las columnas de A. Es una matriz con p filas y 11 columnas. La matriz B tiene sus p ftlas linealmente independiente porque son de A, y esta es regular. Por tanto, rg(B) = p, y la matriz A tiene por lo menos esas mismas filas independientes. Por tanto rg(A) = r '? p.

2. r<ó,p Supongamos que ex iste una submatriz B de A, tal que rg(B) = r > p, en la matriz A hay r filas independientes. Sean i i" ... , i, dichas fdas y considere" las columnas de A. La matriz B mos la matri z B fOlmada por esas r filas y todas será de orden r X 11 Y tendrá rango r porque las r filas son independientes, luego hay un menor en B , y por tanto, en A de orden r distinto de cero.

169


Pero si esto ocurre, estarnos en contradicción con la hipótesis de que no había ninguna submatriz cuadrada de orden mayor que p de determinante d istint de cero => r:>p. Como

r ~ p} => r = p.

r :> p

Este teorema se puede utilizar para calcular el rango de una matriz. Aunque el procedimiento es un poco largo, se puede agilizar si se hace de una form a ordenada y se tienen presentes las propiedades de los determinantes. El algoritmo a seguir es el siguiente: l. Detectar si hay líneas iguales o alg una es combinación lineal de otras. en cuyo caso se eliminan, porque el rango de la matriz resultante tras la eliminación es el mismo que el de la matriz primitiva. 2. Buscar una submatriz cuyo determinante sea distinto de cero. 3. Ampliar dicha submatriz con una fila y una columna de la matriz de [()das las formas posibles. Si los determinantes de todas las ampliaciones son cero, el rango de la matriz es el orden del menor eleg ido. Si alguno es distinto de cero, estamos en el paso 2, y desde él se continúa el algoritmo hasta que tod los menores ampliados sean cero.

Ejemplo 3.5.2.

5 - 1 3 -2 4 )

Para calcular e l rango de A = 17 -2 5

17

( 19 -1 1 8 2

, comenzamos por detectar

mediante una simple observación que la 5' columna es la 3' menos la 2' => puede eliminar cualquiera de las tres, que es combinación de las otras dos. La matriz que se obtiene es del mismo rango.

rg(A)

170

= rg

( 5-l 3-24) = (5-13-2) 17 - 2 5 19 - 1 l

1 7

8 2

rg

17 - 2 5 1 19- 1 1 8

3.5. Rango de una matriz; rango de un endomorfismo ...

En este paso, es posible que no hubiéramos detectado nada, y hubiéramos pasado al siguiente :

5 - 1 1 = 7 '" O => E l rango es, al menos, 2. 17 -2 1

El menor

Las posibles submatrices ampliadas de ( I~

: :á) son:

(5-1-3) (5-1-2) 17 - 2 5 Y 17 - 2 1 19 - 1 1 19 - 1 8

Sus determinantes son:

5 - 1 -3 17 -2 19 - 1

5 =O 1

5 - 1- 2 17 - 2 1 = O

19 - 1 8

Como ninguno es '" O=> rg(A) = 2 . En [2.3.4] defmimos el rango de un matriz como el de la aplicación asociada, los endomorfismos son un caso particular de las aplicaciones lineales y como es natural la definición es válida. En el teorema [2.3.5] demostramos q ue, "el rango de una matri z es el número de vectores columna linealmente independ ientes que hay en ella", y a este número de vectores independientes le llamamos rango del sistema de vectores; como consecuencia, podemos concluir con el resultado: Rango de un endomorfismo = Rango de la matriz asociada sistema de vectores que forma la matriz.

= Rango del

171


EJERCICIOS Ejercicio 3.1. a) Calcúlese mediante determinantes la inversa de la matriz A =

11 1l - 1l- 11). ( 1-1 l - 1 l - 1- 1 1

b) Determínense las relaciones existentes entre A y A- ' ; A' e l . Solución: a) Matriz inversa: La matriz tiene inversa porque su determinante es distinto de cero . • Cálcu lo de lA 1. Como es un determinante de orden cuatro, e l cálculo mediante la aplicación directa de la definición es muy largo, utilizaremos las propiedades necesarias para reducirlo a otros de menor orden. Los pasos a seguir son: 1. Hacer ceros los elementos de la primera columna. Mediante la sustitución de cada fila por ella misma menos la primera fila . 2. Desarrollar el determinante por los dos adjuntos de los elementos de la l.' columna. 3. Hacer cero el elemento a33 de la nueva matriz sustituyendo la 3.' fila por sí misma menos la 2.' fila. 4. Desarrollar el determinante por los adjuntos de los elementos de la l.' columna.

172

Ejercicios

IAI=

I I I I I -1 I - 1-

I 111

I 1 1 = I

I

I

I

o 0-2 - 2 o -2 0 -2 o -2 - 2 o

0-2 - 2 0 - 2 -2 = -2 0 -2 = -2 0 -2 = 0 -2 2 -2-2 O

= - 2· (- 1) .1 - 2 -21 = - 16

-2

2

• Cálculo de la matriz adjunta de A. Los adjuntos de cada elemento de la matriz son:

I - 1- 1 AlI = - 1 1 - 1 =-4; - 1- 1 I

1 I A" = A33 =A44 =

I -1- 1

A 12 = I

1 - 1 =-4; I -1 I

A 14 =

I 1-1 1-11=-4; I - 1-1

I I A" = I - 1 I =-4; I - 1- 1

A" =

I 1 - 1 =-4; I -1 I

1 1- 1 I - 1 - 1 =-4; I -1 I

1 I A2J =

A34 =

- 1 - 1 = -(-4) = 4; -1 I

I I 1-1 =-{-4) = 4; -1- 1

Observemos que la matriz es simétrica, y por tanto, el adjunto de un elemento coincide con el del simétrico respecto a la diagonal principal A ij = A ji .

173


La matriz adjunta A es: A = (

La matriz in versa A- '

-4 -4 -4 -4) -4-444 -4 4 -4 4 -4

4 4 -4

= _ I _(A)' = IAI

1/4 1/4 1/4 1/4 ( 1/4 - 1/4 1/4 - 1/4-

1/4 1/4 1/4 1/4

1/4) 1/4 = ~A . 1/4 4 1/4

· , que eXIste . entre A y A- 1es : A- 1 = -A b, L a re l aCJOn 4

La relación que existe entre A' e / es: 4/ = A' , porque / = AA - 1 = A

~= 4

= -

4

.

Ejercicio 3.2

Descompóngase en producto de factores el siguiente determinante:

x' xy y' 2r x + y 2y I

I

I

Solución: 2 2 2 2 x' xy Y2 x-y-,y-y Y 2x x + y 2y = 2x-2y x-y 2y I I I O O I

_

- (x-y

174

)'1x +2 y

{I

= (x_y) J

=

x2 -y' xy-y' 1= x-y

12x - 2y

Ejercicios

Hemos hecho las transfonnaciones C I ~ C I -C 3 y C, ~ C, - C3 en la primera matriz, y posteriormente hemos sacado factor común (x -y) en cada una de las fi las (o col umna).

Ejercicio 3.3

Demuéstrese, aplicando las propiedades (sin resolver) que el sigu;ente de-

tenninante es múltiplo de 246:

1 2 3 2 4 6

8 6 Solución: El número 246 = 2 X 123 Sustituyendo C I ~ 100C I + IOC, + C3 , se obtiene una matriz cuya primera colum na está fonnada por múltiplos de 123, y la segunda columna por mú ltiplos de 2. 1 23

2 4 6 8 6

=

123 2 3 I 1 3 2464 6 = 123·2 2 2 6 861 6 7 3

Ejercicio 3.4

Hállase el rango de la matriz: A = (

~

a-1 -1 a 10 -6

~)

para los distintos valo-

res de a.

175


Solución: El rango es al menos 2, ya que e l menor:

Ii ~ I = I ct O.

Ampliando ese menor con fi las y columnas de A se obtienen los dos siguientes:

I

t.,

a 2

I -1 2

t. 2 =2a5

= 2 -1 5 ; 1 10 1

1 -6 1

cuyos valores son:

a 2 t., = 2 - 1 5 1 lO

=

a 2 O - 1-2a I = - 1 -2a I [ =1+2a- l O + a = 3a- 9 = [ 10 -a- I O 1O-a- 1

= 3(a-3);

~

-1 2 1 1'.2= 2 a 5 = O a-:. 2 =[a+2 1 [= _ a + 3; O -5 - 1 - 5 -1 1 -6 Si a = 3

=>

t. , = O Y1'.2 = O => rg(A) = 2.

Si a ct 3

=>

rg(A) = 3

Ejercicio 3.5

Demúestrese que la condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada regular A de orden 11 y elementos enteros, tenga por inversa otra matriz A-, con elementos enteros es que lA I = ± 1.

176

Ejercicios

Solución: Demostrar una condic ión necesaria y suficiente es demostrar una doble implicación. En este caso, para demostrar que "Los elementos de A- l son enteros lA I= ± 1", hay que ver que:

"*

• Si los elementos de A- l son enteros

=>

lA I = ±l.

Si los elementos de A y A- l son números enteros, también los son lA I y lA-JI. Como IA- JI= _ 1_, se deduce que lA I = ±l , ya que, los únicos enteros IAI que admiten inverso entero también son ± l. • Si lA 1= ±l y los elementos de A son enteros enteros.

=>

los elementos de A- l son

Si la matriz A tiene sus elementos números enteros, también los tendrá su matriz adjunta, A, y la transpuesta de la adjunta (A)'. Por tanto, al ser lA 1= ±l, y A- J = _ 1_ . (A)' la matriz A- J tiene todos sus elementos enteros. lA I

Ejercicio 3.6

a) Calcúlese el determinante:

b) Basada en la respuesta a), escríbase una solución para

1 a a2 a3

1 l 1 b c d b2 c2 b3 e3

tf cf

y compruébese después.

177


Solución: a)

o

I I 1 O a h e = a b- a e- a a 2 b2 (,-2 a 2 b2_ a2 (? _ a2 = (h - a)(e - a) [(e

+ a) - (h + a)] = (h - a)(e - a)(e - h).

b) El detenninante dado es de la misma fo rma que el primero, todos lo que tienen dicha forma se llaman de Vandennonde. Podemos aventurar sin miedo a error que: 1

e e'

d = (h - a)(e - a)(d - a)(e - h)(d - h)(d - e) cf

e'

d

3

porque el proceso seguido es válido, sea cual sea el orden del determinante. Se deja al lector la comprobación del resultado. Los determinantes de Vandermonde tienen aplicación en interpolación poli nómica de curvas, muy empleada en diseño gráfico por ordenador.

Ejercicio 3.7

Demuéstrese uti lizando sus propiedades que los determinantes de los siguientes cuadrados mágicos tienen el mismo valor absoluto:

6 1 8 .1, = 7 S 3

2 9 3

178

.1, =

8 I 6 3 S 7 4 9 2

.1, =

276

672

9 S I 4 3 8

.1' " 1 S 9 834

Ejercicios

49 2 65 = 3 5 7 8 l 6

2 94 6,;= 7 5 3 6 l 8

8 3 4

438 68= 9 5 1 276

6 7 =15 9

672

Solución:

e, con e 3 => tienen el mi smo valor ab-

6, ( soluto.

) 6 2 se pasa intercambiando

63 ( soluto.

)

6, ( soluto.

) 6,; se pasa intercambiando

e, con e 3 => tienen el mi smo valor ab-

67 ( soluto.

)

6 8 se pasa intercambiando

e, con e 3 => tienen e l mi smo valor ab-

)

6 6 son traspuestos

=>

tienen e l mismo valor absoluto.

) 6 8 son traspuestos

=>

tienen el mismo valor absoluto.

63

(

6, ( 6,( luto .

t.. se pasa intercambiando e, con

e3 => ti enen el mismo valor ab-

) 6,; se pasa intercambiando F , con F3 tienen el mismo valor abso-

• Estos cuadrados considerados mágicos desde la antigüedad porque su suma da el mismo resultado en todas las direcciones son los únicos que se pueden formar con los nueve primeros números enteros y positi vos.

Ejercicio 3.8

I+ x l I -x Calcúlense las raíces reales de la ecuación: l l

l l

= 81.

I +x I

I- x

179


Solución

l+ x 1 I I -x I I

I I

1+ x I 1 1 l 1+ x 1 I -x O O 1 -x -x O O -x x -x x O = O-x = 0 = -x O x l+ x 1 -x O -x -x O -x I I -x -x O O - x I +x 1 1

= _x 3 -xxx

-1 1 O - 1

_x3 +

= _X3 _ X 3

0 -1

_1 - 1

1

I O

O- 1

1=

x 3 = x4• x 4 = 81 => x = ±3. re-

sultado son: 1. Sustituir las fijas 2.' y 3.' Y4." por ellas mismas menos la l.' fila. 2. Desarrollar por los adjuntos de la segunda columna. 3. Sacar factor común una x en la 2.' fi la y otra x en la 3.' fila del segun determinante de orden tres. 4. Sustituir la l.' fila por la 1.' fija más la 3." fija en dicho determinante de orden tres. 5. Desarrollar ese determ inante por los elementos de la última columna.

Ejercicio 3 .9

Dado el sistema de vectores {(I, 2, 3), (2, 1, 5), (2, 3, a) E 1R 3 }, se pide valor que debe tener a para que el sistema sea una base de IR'. Solución: Para que fonnen base de 1R 3 deben ser tres vectores linealmente independientes, y por tanto, el rango del sistema de vectores deben ser tres, es decir

180

Ejercicios

1 2 2 I 2 3

3 5 *0. a

Si a = 17/3, los tres vectores forman base. Si a = 17/3, e l tercer vector es combinación lineal de los otros y no forman base.

Ejercicio 3.10

O, siendo A = ( li

;2)'

Solución: La condición necesaria es que lA I = O, ya que si no, ex iste A- I y se verifica: A-I(AB ) = lB = => B = O.

°

Si lA 1=

1112 .~21 = °

=>

x = ± 6.

181

4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

INTRODUCCiÓN Las ecuaciones lineales aparecen en los primeros testimonios escritos de que tenemos noticia. Ya los babilonios habían desarrollado métodos concretos de resolución de sistemas lineales sencillos basados en la "eliminación" sucesiva de incógnitas hasta reducir el problema a una sucesión de "reglas de tres", es decir, ecuaciones de una sola incógnita. Distintas reglas prácticas se establecen a lo largo de la Historia para mejorar el proceso y aligerar los cálculos, pero hasta el siglo XV III nadie parece preocuparse de caracterizar cuándo es posible este proceso de reducción. En todo caso, si no se obtiene la solución, se dice que el problema es " imposible" o " indeterminado". Solamente cuando, al estudiar ciertos problemas de Geometría Algebraica y Mecánica, aparecen sistemas de ecuaciones lineales cuyos coeficientes son, a su vez, funciones de parámetros variables, empieza a desarrollarse a partir de 1750 una teoría general de tales sistemas. La primera fórmula de cálculo explícito de la solución de un sistema de n ecuaciones lineales con n. incógnitas, con coeficientes indeterminados, se debe a MacLaurin en 1729. MacLaurin obtuvo las fórmulas para n = 2 Yn = 3 Ytrató de encontrar una regla general. En 1750, aparentemente sin conocer el trabajo de MacLaurin, G. Cramer describe explícitamente la fórmula para n. cualquiera, dando la solución como cociente de 2 expresiones polinomiales en los coeficientes. Con el desarrollo de la teoría de determinantes, estos resultados

183

4 Sistemas de ecuaciones lineales

toman la fo rma definitiva que conocemos en la actualidad. La introducción por parte de Frobenius de la noción de rango de una matriz en 1879, le permitió formular el criterio general de resolución de un sistema lineal de ni ecuaciones con 11 incógnitas, que hoy conocemos como teorema de Rouché-Frobenius. Salvo la determ inación de métodos más efectivos y directos de cálculo (método de Gauss, O métodos iterati vos: Gauss, Seidel, Jacobi , etc.), la teoría general de resolución de sistemas lineales en dimensión finita se encuentra ya. alrededor de 1870, en el mismo estado que en la actualidad.

184

Ada Augusta Lovelace (1815-1852)

ADA AUGUSTA LOVELACE (1815-1852)

Hija del poeta romántico Lord Byron fue una niña enfermiza pero, con una gran fuerza de voluntad, superó la enfermedad y la adicción a la droga que le produjeron las medicinas que le suministraron para curarla. Su madre había estudiado Matemáticas y tenía gran fe en el papel redentor del estudio, por ello procuró a Ada una buena educación científica, que la niña asimiló rápidamente. A los 17 años se interesó e impresionó por la máquina de diferencias fmitas de Babbage, comenzó a estudiar y quiso ser matemática, pero como Babbage estaba muy ocupado en recaudar fondos para su máquina, y no prestaba atención a sus trabajos, abandonó la idea. Ayudada por su esposo, el conde de Lovelace, consiguió que Babbage " Ia entrenara".

El ingenio &nalítico o máquin a de Babbage tenía un dispositivo de entrada (parecido a las tarjetas perforadas del telar de Jacquard), un almacén (Memoria), un molino (procesador) y un dispositivo de salida en fnrma de tarjetas. En unas notas sobre el ingenio, Ada tu vo la idea de reutilizar las tarjetas encargadas de un procedimiento todas las veces que hiciera falta dentro del mismo programa, incorporando con ello la herramienta de las subrutinas al programa principal. La ingeniería de la época no era suficientemente avanzada para construir la máquina, ella creyó que sus cálculos le harían ganar en las carreras de caballos, y con las garantías, tener dinero para construir la máquina, pero los continuos fall os llevarían a la fami lia a la banca rota, por ello, quemó todos sus trabajos. Está considerada precursora de la programación de ordenadores porque ideó varios programas para hacer cálculos matemáticos avanzados en la máquina analítica. Ha dado nombre a un lenguaje de alto nivel basado en el Pascal que fue desarrollado a palt ir de 1977 en el Departamento de Defensa de EE.UU . En 1843 enferma gravemente y sufre dolores horribles, nuevamente es tratada con opiáceo alternando con morfina, que contrarrestaba con grandes cantidades de brandi .

185


En 1844 está convencida de que un exceso de matemáticas ha perjudicado su salud, y abandona definitivamente las matemáticas, pero no el juego; nada le ayudaba a superar el dolor que le producía un cáncer terminal. La máquina de Babbage y sus teorías fueron olvidadas, y con ellas Ada Byron, hasta que 10 I años después son rescatadas del olvido por Bowden, un pionero inglés de la reinvención de los ordenadores.

186

Organigrama

CAPÍTULO 4 Cálculo del original de un vector dado conociendo su imagen mediante una aplicación lineal

Clasificación de sistemas. Teorema de Rouché

Sistemas de Cramer. Regla de Cramer.

Método de Gauss. Factorización LV Matrices mal condicionadas

187


4.1. Sistemas de ecuaciones lineales

En este capítulo queremos alcanzar los siguientes objeti vos: • • •

Determinar cuándo el sistema tiene solución y cuando no. En caso de tener soluc ión, detenninar cuántas soluciones tiene. Dar un procedimiento para encontrar todas las soluc iones.

Antes de abordar la fonna de alcanzar los objeti vos propuestos con la herramienta que nos proporcionan los conocimientos adquiridos en capítulos anteriores, es conveniente recordar, aunque sea brevemente, algunos conceptos y defini ciones básicas para poder unificar las distintas notaciones utilizadas anteriormente por el lector.

4.1.1. Definición de sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales con ciones de la forma: aIlX¡

+ a¡,x, + ... + a¡~r"

G::!1X¡

+ l121X! +

O",IX¡

+ O",2X'1 +

{

o • •

o ••

/1

incógnitas es todo conjunto de ecua-

=b¡

+ G2nXn = b2

•

+ Gm,,).'n = bm

a", b, E IR Yx, son las incógn itas (i = lo ... , m y j = l ... ., n)

Cuando todos los términos independientes b ¡, b2, .. . , bm son cero, el sistema se Uama homogéneo, y en caso contrario no homogéneo.

188

4. 1. Sistemas de ecuaciones lineales

Para todo sistema existe un sistema homogéneo asociado que resulta de hacer cero los términos independientes del mismo. Se llama solución del sistema a toda n-upla (al, a" ... , a,) de elementos de R, tales que sustituidos en (XI, x" ..., x,), todas las ecuaciones del sistema se convierten en identidades. Resolver el sistema es encontrar todas las (a" a" , ... , a,,) que lo verifican. Dos sistemas de ecuaciones con el mismo conjunto de soluciones, se ll aman equivalentes. Convertir un sistema lineal en otro equivalente, pero más sencillo de resolver es una técnica habitual para buscar sus soluciones. Como veremos más adelante también aquí utilizaremos esa técnica. El sistema lineal de ni ecuaciones con n incógnitas defi nido en [4.1 .1] se puede expresar tanlbién en fom1a matricial.

4. 1.2. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales

donde A es la matriz de los coeficientes de las incógnitas, y X, B son los vectores columna de las incógnitas y de los términos independientes. respectivamente.

Esta expresión matricial de un sistema de ecuac iones lineal es la expresión analítica de una apl icación lineal, como se vio en el capítulo 2, el vector imagen Y de un vector original X es ahora el vector de los términos independientes B.

189


4.1.3. Un sistema de ecuaciones lineales es la expresión analítica de una aplicación lineal El sistema AX = B de ni ecuaciones lineales con 11 incógnitas es la expresión analítica de una aplicac ión Iinea1: / : V ~ W, donde: Ves un espacio vectorial real de dimensión 11 (n.o de incógnitas) W es un espacio vectori al real de dimensión m (n.o de ecuaciones) y cada columna i de su matriz asociada A es el vector formado por los coeficientes de la variable Xi en las ni ecuaciones.

Ejemplo 4.1.1

2- X3=' de ecuacIOnes . l'meaIes {3XI+2x El sIstema ~.. _ 5 1 ' se pue de expresar ""-Al

matricialmente:

(;

~

- :) (

+X3 -

:~~ ) = ( -!)

Esta expresión indica que la imagen del vector (XI, cación cuya matriz asociada es

(~ ~

-

X" X3)

mediante la apli-

t)es el vector (- 1, 5).

Si en la expresión matricial cambiamos el vector (-~ ) por el vector (;;), obtenemos:

(~ ~ - : ) (~:) = U;), que es la expresión analítica de la aplica-

ción lineal asociada a la misma matriz: . (X I, X2, X3)

190

YI

_

~ (y, ) -

3 2-1

X) . ( 2 O 1 )( ~: I

4. 1. Sistemas de ecuaciones lineales

Recordemos que las columnas de la matriz son las imágenes de los vecto· res de una base de ~3 respecto a una base de ~2 (las canónicas, si no se especi· fica lo contrario).

f:

~3 ~ ~2

f(1, O, O) = (3, 2);J(0, 1, O) =(2, O) ;f(O, O, 1) = (-1, 1)

en las bases 8 = {(l , O, O), (O, 1, O), (O, O, 1)1 de ~3 , y S = (e l , O), (O, 1) 1 de ~2.

Una solución del sistema

O6-])UJ

=(

~ ) es (l, o, O).


( ~ 6-:)(~:) = ( 6) es (O, 1, O).


( ~ 6-\) (~:) = ( -

n

es (O, o, 1).

La comprobación de los resultados anteriores es muy fácil. El hecho de que un sistema de ecuaciones lineales sea la expresión analíti· ca de una aplicación lineal, nos permite decir que una solución de un sistema de ecuaciones es un original de un vector dado, 8 . Por tanto, la existencia o no, de soluciones depende de que dicho vector pertenezca, o no, respectivamente a la im agen de la aplicación.

4.1.4. Cálculo del original de un vector en una aplicación lineal

El conjunto de soluciones del sistema AX = 8 es e l conj unto original del vector 8 E W en la aplicación linealf: V ~ W de expresión analítica AX = Y.

191


Ejemplo 4.1.2 En el ejemplo anterior, hallar el conjunto de soluciones del sistema, eq ui vale a encontrar el conjunto original del vector B = (-1, 5) en la aplicación lineal correspondiente. La solución del sistema es

El conjunto S de soluciones S =

~x" x" X3) = (A, 4 ;5.1 ,-U + 5),A E ~

es el conjunto original del vector B = (- 1, 5) en la aplicación linealf dada. Recordemos que el núcleo de una aplicación linealf : V -> W es Nuc(f) = = (v E V, tales que j(v) = OJ , es decir, el conjunto de vectores que forman el núcleo de una aplicación lineal es el conjunto de sol uciones del sistema homogéneo asociado al sistema que la define.

4. 1.5. Cálculo del núcleo de una aplicación lineal

El núcleo Nuc(f) de la aplicación lineal f : V -> W de expresión analítica AX = Y es el conjunto de so luciones del sistema homogéneo AX = O

192

4.1. Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo 4.1.3

El núcleo de la aplicación de los ejemplos anteriores es la solución del sistema homogéneo

3Xl {

2x 1

+ 2x2 - x, = O + x, = O

Es decir:

4.1.6. Proposición El conjunto de soluciones de un sistema lineal, si e l sistema tiene solución, es igual al conjunto de soluciones del sistema homogéneo asociado más una solución particular del no homogéneo

Demostración: Sea AX = B un sistema lineal no nomogéneo y ¡ la aplicación lineal correspondiente,f: V --. W de matriz asociada A. Si S = IX E V / f{X) = B Ies el conjunto de soluciones del sistema, y G una solución particular del mismo, se verificaf{G) = B. Sabemos que el conjunto de soluciones del sistema homogéneo AX = Oasociado es el núcleo Nuc(f) . Por tanto, S = IX E V / ¡(X) = BI = IX E V / ¡(X) = = f{G) 1= {X E V / f(X - G) = 01= {X E V / (X - G) E Nuc(f)}, como consecuencia S = Nuc(f) + G.

193


Ejemplo 4.1.4 En el sistema analizado en ejemplos anteriores, Nuc(f)

= ~í1.,

-; í1.,

-2íI.),

í1. E ~} Una solución particular del sistema

{2x + 2x,+-X3: -51 es G = (2, -3, 1), 3X 1 I

ya que

X3 -

(~ ~ -:)H) = (-~) .

Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema es:

S = {(2, -3, 1) + (í1., -; í1.,

194

-2íI.), íI. E ~}-

4.2. Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales


En cualquier algoritmo para buscar soluciones de un sistema, parece natural comprobar en primer lugar si existen, porque si no es así, se evitan todos los pasos intermedios que conducen a encontrarlas. Los sistemas se pueden clasificar en dos grupos: compatibles e incompatibles, según tengan, o no, solución; en el primer caso puede ser determinado o indeterminado dependiendo de que tenga una solución o más. El criterio para resolver e l problema de ex istencia de soluciones viene dado por el Teorema de Rouché-Frobenius, con e l que el lector está muy familiarizado.

4.2.1. Teorema de Rouché-Frobenius El sistema AX = B tiene solución .,. El rango de A = rango de la matriz A ampliada con la columna B

Demostración: Dado el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

+ al 2X2 + ... + a¡nXn a x,. + .a2~t2 +.: " . ~ a.2 "t~:

al IXI {

2l

OmIX¡

=

b¡

:b2

+ Qm2-t 2 + ... + G m"x n - bm

de expresión matricial AX = B, es posible la siguiente expresión vectorial:

195


Si llamamos A" A 2 , •.. , A", a los vectores col umna de la matriz A (cada vector columna A¡ tiene como elementos los coeficientes de la incógnita X ¡ en todas las ecuaciones del sistema) y B es e l vector de los términos independientes, podemos escribir el sistema mediante la siguiente expresión : x ,A , + x,A, + ... +

xA ,, =B. Evidentemente, existirán valores de x" X2, .. . , x" que hagan cierta esa igualdad si, y sólo si el vector B es combinación lineal de los vectores A " A2 , .. . , A";

..

.

a ll al2

... a,,, )

Q ? ! Q 22

o ••

. ~.

es decir, S I las matnces: A =

...

Q 2n

all al2 ... al"

y (A IB) = a2'

(

( a mI a m2

o ••

a mI a m2

Q "uz

b')

~2 : a~ ~2 Q mn

tie-

bn

nen el mismo rango.

4.2.2. Proposición Un sistema lineal compatible tie ne so lución única (es determinado) <* E l rango de A = N úmero de incógnitas 11

Demostración: Sea AX = B un sistema compatible y sea G una solución del mismo. Sabemos que AX = Yes la expresión matricial de una aplicación lineal J : : V -7 W, tal que, A es la matriz asociada a J , Ves un espacio vectorial de dimensión 11 (n.o de incógnitas), y que e l conjunto de soluciones de un sistema lineal, si el sistema tiene solución, es igual al conjunto de soluciones del sistema homogéneo asociado más una solución particular del no homogéneo. [4.1.6J , es decir, e l conjunto de soluciones de l sistema es N uc(f) + G . Como dirn Nuc (f) + dim 1m(f) = dim V = [2.3.4J => dim Nuc(f) + rg (Al = n.

196

11

[2.2.5J Y rg (Al = dim 1m(f)


El cumplimiento de esta igualdad abre dos posibilidades: l. rg (A) = 11, entonces dim Nuc(f) = O, el conjunto de soluciones es sólo la solución particular G, y el sistema es determinado. 2. rg (A) < n, entonces dim Nuc(f) > O Y el sistema tiene infInitas soluciones; es un sistema indeterminado. El siguiente cuadro resume los criterios dados en el teorema de Rouché y la proposición anterior: Determinado (solución única) Rango de A = Número de incógnitas 11 istema Compatible (tiene solución) Rango de A = Rango de la matriz A ampliada con la columna B de términos independientes Indeterminado (infinitas soluciones) Rango de A < Número de incógnitas 11

Ejemplo 4.2.1

ax + y+z= I x + ay + z = I , se pide c1asifi{ x + y + az= 1 cario en función del valor del parámetro real a. Dado el sistema de ecuaciones lineales

Solución: La matriz de los coefI cientes de las incógnitas es A =

(1f l),

y la ma-

triz ampliada con e l vector de los términos independientes es

197


(A lB) =

l l 1)

a l a 1 1 . ( l l a 1

IAI =(a+2)(a - l)2 => IAI = 0 sia = -2oa= 1. Vamos a analizar qué ocurre con los rangos de ambas matrices en cada caso: Si a =- 2 => A =

-21 1) ( 1-2 1 1 l -2

Y rg(A)

=2; (A lB) =

(-2 11 1- 2 1 1 1- 2

rg(A lB) = 3. Como los rangos de A y A lB son distintos, el sistema es incompatible. Si a = 1 => rg (A) = rg (A lB)

=l

Como los rasgos de A y A lB son iguales, el sistema es compatible. En este caso, el rango es menor que el número de incógnitas n = 3 => es un sistema compatible e indeterminado.

4.2.3. Sistemas lineales homogéneos Un sistema homogéneo es siempre compatible. Un sistema homogéneo es indetenninado (tiene soluciones distintas de la trivial) .,. El rango de A < Número de incógnitas n

Los sistemas homogéneos son un caso particular de los sistemas lineales. En ellos el vector B de los términos independientes es el vector 0, por tanto, el rango de la matriz A de las incógnitas coincide con el rango de la matriz ampliada A I 0, es decir, el sistema es siempre compatible; este hecho es evidente porque

198


un sistema homogéneo tiene siempre la solución trivial: X l = X2 = ... = X, = O. El interés es el caso de este tipo de sistemas radica en el conocimiento de soluciones distintas de la trivial . que ex.istirán cuando el rango de la matriz de coeficientes sea menor que el número de incógnitas. Para los sistemas homogéneos una solución particular es G = (O. O•...• O) => => S =G + Nuc(/) =Nuc(/).

Ejemplo 4.2.2

El sistema

{

X - 2z =0 - x + y + Z = O es compatible por ser homogéneo. y es inde- x+ y - 3z = O

(

10-2)

terminado. ya que rgA = rg - 1 1 1 = 2 < n.o incógnitas = 3. 1 1-3

199


4.3. Cálculo de soluciones

Cuando se tiene la certeza de la existencia de soluciones de un sistema lineal (sistema compatible), el paso siguiente en cualquier algoritmo efi ciente corresponde al cálculo de las mismas. Vamos a exponer dos métodos concretos de resolución de sistemas; consideraremos en primer lugar la regla de Cramer, el segundo procedimiento a que nos referimos es el Método de Gauss. Como vamos a ver, teóricamente con el primer procedimiento queda zanjado de forma definitiva el problema de la resolución de sistemas de ecuaciones, pero sólo de forma teórica, porque cuando el orden es grande, el método de Cramer (o, lo que es lo mismo, la obtención de la inversa de la matriz de los coefi cientes) no es práctico por el elevado número de operac iones que necesita. Valga como ejemplo decir que, la resolución de un sistema de Cramer de orden I! por la regla de Cramer, conlJeva un total del orden de (I! + 1)! sumas, ( I! + 2)! productos y n divisiones. Esto supone, por ejemplo, que para I! = 10 se requieran aproximadamente 400.000.000 operaciones.

4.3.1. Definición de sistema de Cramer

Un sistema de ecuaciones lineales se llama de Cramer si tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y la matriz de los coeficientes es regular

Estamos analizando el caso particular en el que f es un isomorfismo, o lo que es lo mismo, A es una matriz cuadrada inversible.

200


Ejemplo 4.3.1.

El sistema

X - 2Y + Z= l 3x + y + z = -2 es de Cramer, porque el número de ecuacio{ x +y +z = 1

nes = número de incógnitas = 3. Además, la matriz A es regular 1 -2 lA I = 3 l 1

l

1 l = -Q ;t O A es regular. l

Para los sistemas de Cramer es obvio que ex iste solución, y es única: X = = A-'B. Vamos a utilizar los desarrollos matriciales apropiados para obtener la conocida regla que enunciamos a continuación.

4.3.2. Regla de Cramer Todo sistema de Cramer tiene solución úni ca que viene dada por la expresión x, = = ~ (e, es el valor del determinante dc la matriz que resulta al reemplazar en IAI A su columna k -ésima por el vector columna B de los términos independientes)

Demostración: Considérese el sistema de Cramer, cuya matriz A es de orden n. GIIXI

+ G¡2X2 + .. . + G II,..\"n ;;;;: b¡

~2IX,. +.a22~2 ~. { Q,¡lX¡

":.+ .a.',~~ ~.b2 , su expresión matricial es AX = B, con A

+ an ~2 + ... + am,x/l = bn

regular.

201


Como consecuencia del teorema de Roucbé, se deduce que el sistema es compatible y determinado (tiene solución única). Por ser A regular, existe K', Y se pueden multiplicar por ella por la izquierda ambos miembros de la igualdad AX = B, obteniendo como resultado: X =A-'B = _ 1- (A)' B.

IAI

(Recordemos que A es la matriz adjunta de A, obtenida al sustituir en A cada elemento a ¡j por su adjunto A¡J Ahora bien, el producto de matrices (A)' B es una matriz columna. Si e" e" ,... , e, son sus elementos, podemos escribir: AII (A )' B =

A" ) ( b') ::: ~.~' ~~ = (e,'.~ ),siendo eK =b,A'K + b,A2K + ...+

~.'.' ( A"

o ••

Ann

bn

e,

¡

Esta expresión coincide con el valor del determinante de la matriz que resulta al sustituir en A su col una k por la columna de términos independientes B , all .. . b, como es evidente al desarrollar el determinate e, = a12 ... b,

a" a"

por los

elementos de dicha columna Por tanto: X =

x, ) X '

...

( X n

I -, I = - - (A) B = - -

IAI

IAI

(e,e, ). .. ·

en

Sabemos que para que dos vectores sean iguales, las coordenadas correspondientes han de ser iguales

202

=>

x, = ~. IAI

I

I


Ejemplo 4.3.2

Resuélvase el sistema

3XI - 4x, { XI +5x,

=1

=- 1

Solución: Es un sistema de Cramer, tal que lA I =

I~ -~ I= 19

-4 19

El caso general de un sistema compatible se reduce a uno de Cramer, eligiendo un subsistema principal de rango máximo en el que aparecen como parámetros en el término independiente las variables no principales. La reducción de un sistema compatible a uno de Cramer es siempre posible, sin más que eliminar las ecuaciones que sean combinación lineal de otras y sustituir por parámetros las incógnitas que no sean necesarias para que la submatriz de A que define el nuevo sistema sea regular (la forma de elegir esta sumatriz no es única, pero las soluciones obtenidas sí lo son por ser sistemas equivalentes). En el ejemplo siguiente indicaremos paso a paso el proceso indicado.

Resuélvase el sistema

2x-3y+z= 2 utilizando la regla de Cramer. X - Y- z = - 1 { 3x - 5y + 3z = 5

203


Solución:

1) (2 -3 I 2) A= (2-3 1 - 1-1 );(AI B) = 1 - 1-1 - 1 ; rg(A) =rg(A lB) =2. 3-5 3 3-5 3 5 2-31 1

Un menor de A de orden 2, no nulo es, por ejemplo 1 _ 1 = 1 # O Por tanto, la tercera fi la es combinación lineal de las otras dos. Eliminando . . Iente esta tercera fil a obtenemos e I sistema eqUlva

{2xx--3y +

Z= 2 y-z = - I

Haciendo z = A (incógnita que no intervien en el menor no nulo) y pasándola como término independiente, resulta el sistema de Cramer 2x- 3Y =2 - A { x- y = - I + A

En dicho sistema se puede aplicar la regla con los siguientes resultados:

X=

2- -3 1 2 2-A 1 1 1 -1 + A 1 2 -31 =4A - 5 ; Y = 12 -31 3A - 4; 1-1 11 - 1 A -1 + A - 1

Z

=A.

Si tuviéramos un sistema cuya matriz de coeficientes fuera trangular supeaIlXI

+ al2X2 + ... + al"..t"'l = b]

rior el sistema~22~2~ .:.:. ~~'.=:' {

=~2

se resolvería fácilmente, des-

a nnXn = bn

pejando X n de la última ecuación, después sustituyendo este valor en la penúltima y calculando X n_" etc. Este método de cálculo, por razones obvias, lo designaremos como retrosustitución. Un sencillo cómputo muestra que el número de operaciones nece-

204


sarias en este caso es del orden de lI(n- 1)/2 sumas algebraicas, el mismo número de productos y 11 divi siones. El fundamento del método de Gauss para la resolución práctica de un sistema de Cramer AX = B, con A inversible, consiste en la determinación de un sistema equivalente (es decir, con las mismas soluciones) en el que la matriz de coeficientes sea triangular.

4.3.3. Método de Gauss Este método se utiliza para la resolución de sistema de Cramer (o de sistemas que pueden transformarse en un sistema de ese tipo); consta de las siguientes fases: a) Eliminación gaussiana. Se basa en la determinación de una matriz no singular M tal que U = MA sea triangular superior. La matriz M se obtiene como composición de matrices asociadas a transformaciones elementales. b) Cálculo simu ltáneo de (UIC) = (MA 1MB) med.iante la aplicación de las transformaciones elementales a las filas de la matriz ampliada. c) Solución del sistema equivalente MAX = MB por retro-sustitución.

Ejemplo 4.3.4

Resuélvase por el método de Gauss el sistema

a, + x, -x, = - l x, - 3x, = - 7 { x,-x, +a, = 10

) (? -1I -32 -7-1 10 1-1

(A l B) =

a) Reducción de (A l B ) a (U IC) mediante transformaciones elementales en las fIlas.

205

-


Utilizando como pivote el elemento a ll = 2 Y haciendo cero los situados debajo en la misma columna, se obtiene:

2

1-1 -1) (2 1 -1

(A IB)= O 1 - 3 ( 1-1 2

-7 10

I ~

O 1 -3 0 - 3/2 5/2

--7 1 )

2 1/2

De la misma forma, con o" = 1 como pivote se hacen cero los elementos situados debajo de él en la misma columna.

1-1) 2O ll -1 -3 -7 ~ (O -3/2 512 21/2

O 1 -3 O O -2

1-1)

-7 =(UIC) O

Las transformaciones elementales utilizadas son: 1. Sustitución de la tercera fil a por la suma de ella misma más la primera fila multiplicada por - 1/2. 2. Sustitución de la tercera fil a por ella más la segunda fila multiplicada por 312.

Esta última matriz ya tiene la matriz de coeficientes triangular superior. Corresponde a un sistema equivalente al primero. (Hemos aplicado las transformaciones elementales simultáneamente al vector columna de término independientes.)

2x1 +x,- x3= - 1 X , - 3X3 =- 7.". MAX = MB { 2x3 = O La última fase a aplicar es la de retro-sustitución: De la 3.' ecuación X3 = O, sustituyendo este valor en la 2.' ecuación => x, = = -7 Y sustituyendo ambos en la primera => XI = 3. Por tanto, la solución única es (3, - 7, O). Si recorremos el camino seguido para resolver por este procedimiento el mismo sistema AX = B de orden n, y vamos contando el número de operacio-

206


nes ejecutadas, podemos comprobar que son del orden de 3n'f2 sumas, 3n'f2 multiplicaciones y n divisiones. Para n = 10 da un total de unas 300 operaciones, lo que supone una tremenda mejora sobre las 400.000.000 necesarias para la resolución del mismo sistema por la regla de Cramer. Además presenta la ventaja de ser fác ilmente programable y la ejecución del programa es posible en cualquier P.C, recomendamos al lector que esboce el programa del algoritmo en cualquier lenguaje que conozca. Quizá el lector se pregunte la razón para elegir Ada Byron como personaje paradigmático del capítulo cuatro, la respuesta la encontrará al saber que es autora del primer programa para resolver sistemas de ecuaciones en una máquina. Cuadro resumen del conjunto de instrucciones dadas por las tarjetas y resultados intermedios obtenidos en el programa de Ada Byron:

Dado el sistema

{n;~: ,7{:~,

,llamaremos V; a las diferentes columnas

de ruedas cifradas y supondremos los coeficientes m, n, d, m', n', d' en las ocho primeras columnas de la manera siguiente:

Número de la operación

Nalllrale:a de la operaciólI

1

*

2

3 4 5

* * *

6 7

f

Columnas sobre las que se efectúa la operación

* V. * VI * Vo VI * V,

V, V, V,

Vg - V. VIO - VII V 12 - V13

Columnas que reciben los resultados

Resultados de la operación

V, V. VIO

dn' d'N n'm

VII V 12 VIJ

V"

11m'

dn'-d'n n'm-nm' (dn' - d'lI)f(n'm- 11m')

207


El valor de x está dado por la columna VI'. Un cálculo suplementario permite calcular y de la misma manera. Como en los ordenadores actuales, el molino va a buscar en la columna apropiada el dato que necesita para efectuar la operación en curso, y la reinscribe para que esté disponible para una operación posterior.

208

-

4.4. Otro método de resolución. La factorización LU


Aunque como hemos visto el método de Gauss representa una mejora considerable frente a la regla de Cramer, cuando el número de variables de un sistema es muy grande, tampoco resulta operativo. Parece natural la búsqueda de otros métodos de resolución basados en algoritmos programables que reduzcan considerablemente el tiempo invertido por el ordenador. Uno de estos métodos es la factorización LV. que consiste en la creación de una matriz, llamada matriz L, que contiene información sobre las transformaciones que es necesario realizar en A para convertirla en una matriz triangular superior U, para poder, mediante esa información, resolver el sistema por el método de Gauss.

4.4.1. Obtención de la matriz L Sea el sistema AX = B (A de orden n) que se va a resolver por el método de Gauss. Se prepara la matriz A de modo que tenga el elemento a" '" O, para que de esta manera las únicas operaciones elementales que haya que realizar para transformar A en la matriz triangular superior U, sean sustituciones de filas por su suma con otra multiplicada por un determinado número, es decir, que no sea necesario efectuar intercambio de ftlas. La información sobre esas operaciones elementales necesarias para transformar A en la matriz triangular superior U, se va a guardar en una matriz llamada "matriz LOO para que el ordenador lo pueda utilizar siempre que sea necesario, por ejemplo para resolver al mismo tiempo distintos sistemas con la misma matriz A y términos independientes
209


Por ejemplo, si en A se sustituye la segunda fila por S)l suma con la primera multiplicada por 2,.entonces, en la matriz unidad 1 el cero que ocupa la posición (fila 1, columna 2), se cambia por -2.

Ejemplo 4.4.1.

-1 ) 1 2 (

Constrúyase la matriz L de la matriz A = -1

2 -3 .

3 - 1 -2

Solución: Sustituciones necesarias para transformar A en la triangular superior U A

=

(1

1 2-3 2 - 1) ~ O 24 -4 - 1) ~ (1O 2-1 -1 4-4 ) ~ (1O 42 --41) ( 3-1-2 3 - 1 -2 0 -7 1 O O --6

Se parte ahora de la matriz unidad 1 =

=U

1 O O) la que se van a hacer ( OO OlOen 1

los siguientes cambios, uno por cada una de las transformaciones anteriores: Transformación 1: Sustitución de la fila 2.' por su suma con la l.' multiplicada por 1. Cambio inducido en 1: El cero de la posición fila 2, columna 1 se sustituye por -1. Transformación 2: Sustitución de la fila 3.' por su suma con la l.' multiplicada por-3. Cambio inducido en 1: El cero de la fila 3, columna 1 se sustituye por 3. Transformación 3: Sustitución de la fila 3.' por su suma con la 2.' multiplicada por 7/4. Cambio inducido en l. El cero de la fila 3, colwnna 2 se sustituye por -7/4. Matriz L obtenida:

100) (

(10

O) ~ ( -1l O O) ~ (1 O) = L 1= O 1 O ~ -1 1 O 1 O -1 O 1 O 3 O 1 3 -7/4 1 O O 1 O O l

210


En el ejemplo 4.4.2 resolveremos el sistema. Hay que observar que la matriz L es triangular inferior, con todos los elementos de la diagonal unos y, obviamente, sólo podrá utibzarse este procedimiento cuando la matriz A sea regular.

FACTORIZAClÓN LV DE LA MATRIZ A. La matriz L, construida de esta forma, tiene la siguiente propiedad:

4.4.2. Proposición Para toda matriz regular A. se verifica A =LV. donde Ves la matriz triangular superior deducida de ella mediante transformaciones elementales en sus filas que supongan sólo sustitución entre ellas. y L es la matriz L correspondiente a A según la definición anterior

Demostración: Si para pasar de la matriz A a la matriz triangular superior V se han tenido que hacer 11 transformaciones elementales, se puede expresar E"E~ , ... E,E,A = = V, siendo E¡ la matriz correspondiente a la transformación elemental i -ésima. . Ei-' ,por tanto, A = E 1-' E2-, ,. . En-l -' E-'V Sabe mos que eXiste n . Sólo queda comprobar que la matriz L de A es, precisamente L = El ' E;' ... -'I E-' . Ie a L ;;;; E-' ... Enn , que eqUlva 1 E2-,... En--'\ E-'¡ Esta comprobación es sencilla recordando lo que son, tanto la matriz L como cada una de las inversas de las matrices elementales. Para cada operación elemental que suponga sustituir en A la fila i por su suma con la filaj multiplicada por a, la matriz elemental correspondiente E es la que se obtiene de ¡ al hacer la misma operación, y la matriz inversa g-' es la que se deduce de ¡ sustituyendo la ftla i por su suma con la filaj multi11

•

211


plicada por -a (transformación elemental que deshace la transformación realizada por E). Si se repasan todos los productos, primero E~I I, luego E;:\ E~ II, y así sucesivamente se observa que se van construyendo los elementos que tiene la matrizL. Se recomienda al lector que constate esta observación.

Ejemplo 4.4.2

1 2 - 1) Compruébese que para la matriz A = -1 2 -3 se verifica que A = LU. ( 3 -1-2

Es la matriz del ejemplo anterior 4.4.1, donde ya se hallaron las matrices U y L correspondientes.

1 2-1) (

A = 1 2 -3 3 - 1-2

12-1) (

;

U= 04--4

O O --{j

1 O O) O

L= -1 1

(

3-7/4 1

Se verifica A = LU. Hay que observar que aunque, efectivamente, una matriz regular A se factoriza en LU de la forma anterior, es decir, como producto de una matriz triangular inferior por otra triangular superior, sin embargo esta factorización no es única. Por ejemplo, la matriz anterior también es el producto de estas dos del mismo modo triangulares.

A = (kL)·

212

(+ U)

si k;< O


4.4.3. Resolución de sistemas mediante factorización LU Para de resolver el sistema AX = B utilizando la matriz L, s610 hay que efectuar las transformaciones que se indican en la misma para transformar la matriz de términos independientes B, y después mediante sustituciones resolver e l sistema equivalente obtenido.

Ejemplo 4.4.3

+ 2X2 - X3 = 3 + 2x2 - 3x, = 13

XI

Resuélvase med iante factorizaci6n LV el sistema

-XI {

3xI

-X2 -

2x, =-5

Solución:

Esel sistemaAX =B,tal queA= - 1 1 2 2 -1) -3 ( 3 - 1-2

;B=

(3) 13 ; -5

de los ejercicios anteriores para la que ya calcularnos V = (

~

A

es la matriz

2-1)

4 -4

Y

0-6

1 O O) 1 O ( 3 - 7/4 l

L= -1

Los elementos de L situados debajo de la diagonal indican las transformaciones a realizar en B, que reco rdemos son las que se efectúan en A para obtener la triangular V . Realizándolas en B se obtiene:

B=(I~)-L.( I~)~( -14 I~)~(I~) =c -5 -5 14 213


EJERCICIOS Ejercicio 4.1

Hállase el valor de a que hace indeterminado el sistema

2t, +ax, -X3=O x, -x, + ax3= O y, resuélvase para los valores enteros de a, si hay { llx , + 7x, + 17x, = O alguno. Solución: Es un sistema homogéneo con el mismo número de ecuaciones que incógnitas, por tanto, siempre es compatible. Es indeterminado si el rango de la matriz de coeficientes A es menor que el número de incógnitas. Es decir, si rg A < 3 ". Si lA 1=0.

IAI =

2 a -1 1-1 a =lla' -3 1a -52 =O,paraa =4,a=- 13/l1. 11 7 17

Para a = 4 el sistema es

2x,+4x,-x, =O x, - X2 + 4x, = O { ll x, + 7X2 + 17x, = O

El rango de la matriz de coeficientes de este sistema es: rg (A) = rg

2 4 - 1) I -1 4 = 2 "'es un sistema compatible indeterminado. ( 11 717

Para resolver el sistema se escoge un menor de orden 2 no nulo, por ejemplo

216

Ejercicios

El sistema que resulta de eliminar de él la ecuación no contenida en el menor no nulo anterior, es equivalente al primero: 2.x1 {

X,

+ 4x, - Xl = O -X, + 4Xl = O

Haciendo Xl = 4 Ypasando al segundo miembro queda el sistema 2.x1 {

+ 4x, = 4

X, -X,

=-44

de solución X, = - S/'U; X, = 3/'U, que junto con Xl = 4 es la solución de l sistema pedido.

Ejercicio 4.2

Se considera el sistema

{

X, + X, - 2.x, = l 2.x , - X, - Xl =-1 X, - 3x, + 2.xl = -3

,se pide:

a) Comprobar que (x" x" Xl ) = (O, 1, O) es solución del mismo. b) Hallar el conj unto de soluciones del sistema homogéneo asociado. c) Hallar el conjunto de soluciones del sistema no homogéneo. Solución: a) Para ver que la tema (XI, x" Xl ) = (O, 1, O) es solución del sistema, es sufi ciente ver que al sustituir dicha solución en el sistema se obtienen tres identidades : 0+1-0= 1 2.0 - 1- O=-1 { 0-3.1 +2.0= - 3

217


b) Sistema homogéneo asociado

+ x, - 2x3 = O 2x, - X 2 - X 3 = O x, - 3X2 + 2x3= O X,

{

Comprobamos previamente si es indeterminado mediante el teorema de Rouché:

Al ser rg(A) = 2 < n" de incógnitas = 3, el sistema es indeterminado (tiene soluciones distintas de la trivial). Para resolverlo se elimina la ecuación que no interviene en el menor distin-

. x, + X 2 - 2x3 =_ O . Iente al lO de cero, y se o btIene e l s,.' stema: { 2x O' que es eqmva I - X2 -X3 -

pnmero. . do X 3 = "' y cam b''an do de mlem . bro, se o btIene . HaClen

{x, x,

2x + - =_ II , , cu1- X 2 - A,

ya solución es:

x,

=A,X2

= A.

La solución del sistema homogéneo es el conjunto de soluciones: (x" X2, X 3) =

= (A, A, A), que también podemos escribir así:

X, = A (X' ) = A ( 1I ) { XX 32 :- AA "* x, X3 1

c) En el sistema no homogéneo rg(A) = rg(A l B) = 2. Por tanto, es compatible e indeterminado.

2 18

Ejercicios

Recordando que el conjunto de soluciones de un sistema compatible es el conjunto de soluciones de su sistema homogéneo asociado más una solución particular del mismo, podemos escribir: • Conjunto de soluciones del sistema no homogéneo : (x" X2, X3)

=(O, 1, O) + (A, A, A) =(A, 1 + A, A), que también se puede expre-

sar de la siguiente manera:

U:)

=

(b ) + A

(l ).

Ejercicio 4.3

Calcúlense los valores de a, b para los que las soluciones del sistema {

X, +ax, = I 2r, _ bX3 = 2

' son tales que el valor de x, más el de X2 es l.

Solución: El problema es equivalente a resolver el sistema que resulta al añadir al sistema dado la ecuación x, + X 2 = I que indica la condición adicional.

+ ax, = I 2r, - bX3 = 2 x, + x, = 1

X,

El sistema obtenido es

{

Las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A lB) de este sistema son:

(A) =

laO) ( 211O -b0

( laO I 2I)

Y (A lB) = 2 O -b

110

I

219


El determinante de A vale:

l a

O

IAI = 2 O - b =b(l-a) => IAI =Oparab=Oóa= 1. l l O Para que existan soluciones el sistema ha de ser compatible, es decir, rg(A) = rg(A lB); analicemos por separado qué ocurre con los rangos de las matrices en función de los valores de a y b:

1. Si b = O => (A l B) =

1 a O 2 O O

( l

l

O

rg(A) = rg(A lB ) = 2 para todo valor de a.

1 1 O 1. Si a = 1 => (A lB) =

2 O -b ( 1 l O

rg(A) = rg(A lB) = 2 para todo valor de b. Por tanto, el sistema cumple la condición adicional indicada, si a = l ó b = O.

Ejercicio 4.4 Sea A una matriz cuadrada de orden 2. Demuéstrese que la condición necesaria y suficiente para que A sea singular es que exista otra matriz cuadrada M de orden 2 no nula y tal que AM = O. Solución: Vamos a ver primero la implicación: A es singular => Existe M AM=O.

220

* O con

Ejercicios

(a

. A = a'lll a" a 12 ) smg • ul aro En e f ecto, sea la matrIz

Si A es singular, el sistema homogéneo AX = (a ll a 12 ) (XI) = ( 00) a 2l a 22

soluciones distintas de la trivial porque lA 1=0 tas = 2. Sea e = ( ~;)

=>

X2

tiene

rg(A) < número de incógni-

* (~ ) una de las soluciones, es decir, se verifica

al lcl +al 'c, =O ,YSeaM lamatriZM= (CI O) { a' lcI + anC, = O C, O

que evidentemente

es una matriz no nula. Por ser e solución del sistema, la matriz producto AM = ( a ll al,) (CI O) = ( a llc l + a l'c, O) = ( O

a' l a"

C,

O

a' lc I + a"c, O

Veamos ahora que si A no es singular Utilicemos la reducción al absurdo:

=> No

O

existe M

* O con AM = O.

Supongamos que A es regular, entonces existe la matriz inversa A-l . Si AM = O => KIAM = O. Es decir, M = O.

Ejercicio 4.5

Aplicando el teorema de Rouché, analícese la compatibilidad del sistema

ax+ y + z =a' + Y + az = a para los distintos valores de a. { x+ y +2az=2 X

221


Solución: Cálculo del rango de las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A lB):

(A)

=

lA I=

all) 1 I I ; (A lB) ( 112a

=(a11 1 1 a 1 1 2a

a I 1 I I a = ala - 1); lA 1= O para a = O, a = 1. 1 1 2a

Analicemos cada caso por separado: Para a = O, (A lB) =

rg(A)

O l 1 1 l O ( 1 1 O

~)

=2; rg(A lB) =3, el sistema es incompatible.

Para a = 1, (A lB)

=

1 1 1 1 l 1

( 1 1 2

rg(A) = 2; rg(A lB) = 2, el sistema es compatible e indeterminado. Para a '" O Y a '" 1, al ser lA 1"'0 patible y determinado.

=>

rg(A)

= rg(A lB) = 3, el sistema es com-

Ejercicio 4.6 Sea el espacio vectorial real V y E = re¡, e" e,} una base del mismo. Se considera la familia de endomorfismos lf} determinados de la siguiente forma:

1(e,) = ae, + be, + be, f(e,) = be, + ae, + be, 1(e,) = be, + be, + ae,

222

Ejercicios

Se pide detenninar: a) Valores de a, b para los quefes biyectiva. b) Para los endomorfismos no biyectivos, analizar si el vector ü = 3el - 3e, pertenece al conjunto 1m(/), siendo f cualquier endomorfismo de la familia dada. Solución: Expresión analítica de la familia de endomorfismos, en la base E:

YI) b bb)(XI) y, = (ab a x, ( y, b b a x, que corresponde al sistema de ecuaciones lineales

YI = aXI + bx, + bx, y, = bXI + ax, + bx, { y, = bXI + bx, + ax,

XI) e Y = (YI) donde X = ;~ ~! están expresados en la base E, y f(X) = Y. (

a b b Detenninantede la matriz A de la familia: IAI= b a b b b a

= (a + 2b)(a-b)'

lA 1= O para a =-2b, a = b. a) Los endomorfismos biyectivos son aquellos cuya su matriz es regular. Es decir, para a '" -2b Y también a '" b. b) Analicemos los no biyectivos. Valores de a =-2b ó a = b. Se supone que b '" O, en caso contrario no existe el sistema. El vector ¡;¡ pertenece a Im(/) si el sistema que define la aplicación es compatible, es decir si:

223


rg(Al = rg(A IBl. siendo B = (

-~ ) .

Analicemos cada caso. Si a = -2b. rg (A) = rg

= rg

- 2b b b b -2b b ( b b - 2b

-2b b b) b - 2b b = 2 porque b ct O. y rg(A IBl = ( b b - 2b

3)

-3 = 2 O

El sistema es compatible. existen vectores que son antiimagen de Ü. es decir: ü E Im(f) para cualquier f perteneciente a la familia.

t t)

Sia=b.rg(Al=rg(t bbb

= l;rg(AIBl=rg(

tt t bbb

_303 ) =2

El sistema es incompatible. ü .. Im(f) para ningúnfperteneciente a la familia.

Ejercicio 4.7

x+3y +z-I=2 Compruébese la compatibilidad del sistema

{

2x + 7y + 3z - 41 = l . Y re-

x +y+2z +l= I

suélvase por el método de Gauss cuando sea compatible. Solución:

Matriz ampliada: (A IBl =

224

(~ ~

I -1

3-4 2

1

Ejercicios

1 3

1

rgA = rg(A lB) = 3. Por ejemplo, es 2 7

3 = 3 '# O 1 1 2

El sistema es compatible e indeterminado al ser 4 el nOde incógnitas. Haciendo t = .<. y pasando en cada ecuación al segundo miembro el sumando que lo contiene, se obtiene el sistema con tres incógnitas X {

+ 3y + z = 2 +'<'

2x + 7y + 3z = 1 + 4'<', que es de Cramer, con matriz ampliada (A lB) =

x+y+2z= 1-'<' 1 3 I 7 3 I I 2

21 + '<') . + 4'<' 1 - .<.

=( 2

Mediante transformaciones elementales en las ftlas se obtiene: 1 3 1 (A lB ) = 2 7 3

(I 1 2

2 + .<.) ( 1 3 1 2 + '<') I + 4'<' ~ O 1 1 -3 + U ~ 1- '<' 1121-'<'

~(6 ~

1 -3 + U

~ O 1 1 -3 + U

O -2

-1 - U

O O 3 -1+ U

2 + '<')

que corresponde al sistema

(1 3 1

2 + .<. )

= (UIC)

x+ 3y + z = 2 + '<' y + z = -3 + U { 3z=-7+U

Utilizando la retrosustitución, de la tercera ecuación => z =

sustitu yendo en la segunda y = - 3 + U - z =

-7+U 3

4'<'-2 3

225


19 - 114 Y por último, en la primera ecuación x = 2 + 4 - 3y - z = - - 3 La solución es: x =

19 - 114 3

;y=

44-2 3

;z=

-7+U

3

;t=A.

Ejercicio 4.8

Calcúlense las ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio de ~3 generado por los vectores 1(1, 0, -1), (2, l, l)}. Solución: El sistema 1(1,0, - 1), (2, 1, 1) } es libre porque rg

(i ~ -: )

= 2.

Los vectores del subespacio pedido son los vectores (Xl, X2, X3) que dependen linealmente de los vectores del sistema generador. Por tanto, el subespacio vectorial generado es: l(X¡,X2, X3) = a(l, 0, -1) + {3(2, 1, 1) 'd a, {3 E ~ }.

Es decir, los vectores que verifican:

U: ) (J) =

a

+ {3 (\ )

Para que los vectores que haya ambos lados del signo " =" sean iguales, han de ser iguales coordenada o coordenada

'*

Xl X2 { X3

=a+2{3 = {3 =-a + {3

, que son las

ecuaciones paramétricas. Las ecuaciones no paramétricas o cartesianas son las que resultan de eliminar los parámetros en el sistema anterior. (Recordemos que el número de ecuaciones cartesianas de un subespacio es el número de incógnitas menos la dimensión del subespacio, es decir: 3 - 2 = 1 ecuación.)

226

Ejercicios

a+ 2fJ fJ X , = --a + fJ

XI = X, =

El sistema {

es equivalente al sistema lineal homogéneo

a+2fJ -XI =0 X, = O { --a + fJfJ -- x, =O Para que este sistema homogéneo tenga solución distinta de la trivial, es necesario que rg

1 2 -XI)

O1

(-1 1

-X, -X,

=2 ".

12

-XI

O 1 -X, = O ". -1 1 -X,

XI

-3x, + x, = O, que es

la ecuación cartesiana pedida.

Ejercicio 4.9 Hállese la factorización LU de la matriz A = (

~

-1 )

-4 .

Solución: • Obtención de la matriz L Sustituciones necesarias para transformar A en U triangular superior.

(1-1) (1-1)

A= 3-4

--7

0 _ 1 =U

La única sustitución es: 2' fIla por su suma con la l' fIla multiplicada por -3. La matriz L es por lo tanto la que resulta de cambiar en la matriz unidad I el cero de la fila 2 columna 1 por +3 (el multiplicador cambiado de signo):

L=O

n

227


• La factorización LU de A es, por tanto:

) I O-l' (310)(1-1

A=LU=

Ejercicio 4.10

Resuélvese el sistema A' X = B mediante el cálculo de la matriz L de A, siendo A = (

¡ 0-1)

1 I YB = -1 O

( 6)

18 . O

Solución: •

Cálculo de la matriz L: Sustituciones necesarias para transformar A en una matriz triangular superior. A=

(1 0-1)

(10-1)

(10-1)

(1 0-1)

l 1 I ~ O I 2 ~ O 1 2 ~ O 1 2 1-1 O 1-1 O 0-1 1 O O 3

=U

l. Sustitución de la 2.' r,la por su suma con la primera multiplicada por - 1. 2. Sustitución de la 3.' fila por su suma con la primera multiplicada por-1. 3. Sustitución de la 3.' fila por su suma con la segunda multiplicada por + l . que corresponden a los siguientes cambios en la matriz identidad 1: 1. Cambio del O de la posición (2, 1) por I (opuesto del factor que multi-

plica). 2. Cambio del O de la posición (3 , 1) por l. 3. Cambio del O de la posición (3, 2) por-1.

228

Ejercicios

A partir de 1 se obtiene la matriz L:

1=

100) (100) (1 (l1 O1 OI ~ OI OI OI ~ II OO1 OO1 ) ~ (11l - Ol1 O)O1 =L

• Para resolver el sistema se utiliza reiteradamente la información existente en la matriz L: l. A'X = B se expresa como A(A' X) = B; haciendo A' X = Y, queda el siste-

ma AY = B que se resuelve por el método de Gauss. (Hay que transformar primero B .) Sistema AY = B. Mediante la información contenida en L el vector B se transforma en C.

El sistema equi valente a AY =B es UY = C.

2. Una vez hallado Y, A' X = Y, se puede expresar de la forma A(AX) = Y, Y haciendo AX =Z se resuelve AZ = Y. Sistema AZ

= Y;

con la información de L la matriz Y se transforma en D

229


El sistema equivalente a AZ = Yes UZ = D .

i) (!;)

~(Ó O O 3

=(

ZJ

~) , de solución Z = ( -2~)

-6

3. Por último, conociendo Z puede hallarse X a partir de AX = Z. El vector Z se transforma en E.

Z=( -2~) ~(J) ~(-~) ~(J) =E -2 -8 - 10 El sistema equivalente a AX"= Z es UX = E.

8/3) I -I)(XI) 2 = ( -26) , de solución X = ( 14/3 (OO1 O O 3 -10 - 10/3 X2

XJ

del sistema.

230

que es la solución

5 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Y ESPACIO EUCLíDEO

INTRODUCCiÓN Aunque los griegos habían reconocido ya que el espacio matemático o abstracto es distinto del espacio percibido a través de los sentidos, la mayoría de los matemáticos hasta alrededor de 1800 estaban convencidos de que la Geometría Euclídea era la única y correcta idealización del espacio físico sensible. La razón es que un vector geométrico como segmento orientado sirve para modelizar muchas aplicaciones en Física, como así también los térm inos lontigud y ángulo. Esta profunda convicción en el valor absoluto de la Geometría Euclídea queda claramente de manifiesto a través de los muchos intentos de basar la Aritmética, Álgebra y Análisis, cuyos fundamentos lógicos eran bastante oscuros en la Geometría Euclídea, y garantizar así la verdad y consistencia de estas áreas de la Matemática. Por otro lado, la introducción de las coordenadas por Descartes y Fermat y el desarrollo de la Geometría Analítica, hicieron que los métodos algebraicos y analíticos pasaran a dominar la Geometría de modo casi exclusivo. Sin embargo, poco a poco, empezaron a surgi r voces para reivindicar los métodos geométricos puros (la Geometría Sintética), cuya elegancia y claridad habían cautivado a tantos matemáticos en el pasado. Muchas de las objeciones a los métodos analíticos en Geometría se basaban en la pérdida de significado geo-

23 1

5 Producto escalar de vectores y espacio euclídeo

métrico que conllevaba su uso, diluido en los cada vez más engorrosos y largos cálculos. Esta reacción contra los métodos analíticos se hace cada vez más intensa. Así, Carnot proclama su deseo de "liberar la Geometría de los jeroglíficos del análisis". El movimiento hacia la Geometría Sintética, iniciado a finales del xvm y encabezado por figuras como Monge y Carnot, va a tener como consecuencia la clarificación de las distintas nociones geométricas y, en particular, la creación de la Geometría Proyectiva como una nueva rama de las Matemáticas. El principal innovador en este campo fue Poncelet, discípulo de Monge y Carnot quien, sirviendo como oficial de Napoleón en la campaña de Rusia, fue capturado y pasó un año en prisión. Allí reelaboró sus estudios geométricos sin ayuda de libros y obtuvo nuevos resultados. Este hecho significó la creación de una nueva disciplina: La Geometría Proyectiva. El impulso dado a la Geometría por este nuevo punto de vista fue considerable, y la Geometría Proyectiva se convirtió pronto en una de las ramas más activas y más populares de las Matemáticas. Una de sus principales ventajas era evitar casi completamente los cálculos, lo que la hacía principalmente atractiva como tema de los primeros cursos de los estudios de Matemáticas. Hacia 1850, los conceptos generales y los objetivos de la Geometría Proyectiva y su diferencia con los de la Geometría Euclidea, estaban claros; sin embargo, no se había clarificado lo suficiente la relación lógica entre ambas geometrías. Fue Von Staudt, quien desarrolló las ideas para liberar la Geometría Proyectiva de las nociones de longitud y congruencia. A través de sucesivos trabajos en 1856, 1857 Y 1860, Von Staudt consiguió desarrollar la Geometría Proyectiva independientemente de la noción de distancia. De esta manera, se puso de manifiesto que la Geometría Proyectiva es prev ia y más general que la Geometría Euclídea, al tratar propiedades cualitativas y descripti vas de las figuras geométricas. Por otro lado, los geómetras "algebraicos" pronto se apercibieron de que también era posible utilizar los métodos de la Geometría Analítica en la nueva Geometría. Así aparecen las que hoy conocemos como coordenadas homogéneas, que alcanzan su pleno desarrollo con Plücker. Los estudios relativos a otras geometrías han continuado hasta nuestros dias sin que Geometría Euclídea haya perdido su vigencia.

232

Introducción

En esta línea, hay que destacar los trabajos de Cayley; en ellos trata de definir un producto escalar que generalice el usual , y emplear las fórmulas habituales para definir ángulos y distancias. Este proceso es también el utilizado al definir una métrica y es el que se sigue en la actualidad para definir axiomáticamente el Espacio Euclídeo. La extensión a espacios de dimensión infinita fue llevada a cabo por Hilbert y su escuela, introducen formalmente el lenguaje geométrico habitual del espacio de Hilbert: ortogonalidad, teorema de la proyección ortogonal, bases ortonormales, etc. Sin embargo, la formulación axiomática del espacio de Hilbert general se debe a J. Von Neuman (1929-30), en sus trabajos decisivos sobre la fundamentación matemática de la Mecánica Cuántica.

2 33

Euclides

mat m~tico n¡ás famoso : Los el"merit:\l& S datos. La divbión de figuras, Los fenómenos y La óptica. Sin duda. la más conocid~ es "Los elementos". Normalmente asoci p. "Elem ntos" a Euclides. pero la palabra ento," significa fynd' en os. lo que eSlá ordenado. En general. se cntenld\~ or "Elementos" las obr~ construidas con elméiodo d ductivo que se pUlcdc:fj I on,iderar libro~ de texto laño 300 a. C. datan una buena lista de ¡Dreours res que quedaron eclipsa¡ll)wll.hr 1lI,II.oare<:e rimero es Hipócta s de Quios y. el último Teudio Los Elemento ' pla, en VérleC'\l\{q~}

235

Organigrama

CAPÍTULOS Producto escalar. Norma. Espacio euclídeo

Matriz de Gram ectores ortogonales. Sistemas ortogonales. Bases ortonormales

Método de ortonormalizaci6n de Gram-Schmidt

Subespacios vectoriales ortogonales.

237


-

5.1 . Producto escalar de vectores y espacio euclídeo

El concepto de vector geométrico como segmento orientado, se relaciona generalmente con las aplicaciones en física, igual que los términos longitud y ángulo. Sin embargo, en el lenguaje de los espacios vectoriales abstractos estas palabras no figuran en lo que hemos visto hasta ahora. En este capítulo veremos cómo, dotando al espacio vectorial de la operación llamada producto escalar, se pueden llevar al terreno de lo abstracto las nociones de longitud de un vector y de ángulo entre dos vectores. Volviendo a los vectores geométricos, recordemos que el producto escalar. tal como se estudia en física, se define de la siguiente manera:

x· y = Ix l lylcos (x,y) donde Ixl es el módulo o longitud del vector x, Iyl es el módulo del vector y, y cos(x, y) es el coseno del ángulo que forman los vectores x e y, por lo que el resultado es un número real.

I

[

•E (x, y)

Estos entes matemáticos son sólo un caso particular de la situación general que estudiaremos a continuación, cuando generalizamos el concepto de producto escalar para un espacio vectorial cualquiera.

238

5.1. Producto escalar de vectores y espacio euclídeo

5.1.1. Definición de producto escalar de dos vectores

Sea V un espacio vectorial real en el que se considera una aplicación, tal que, a cada par de vectores ¡¡, v de V le hace corresponder un número real. Dicha operación es un producto escalar, que se denota como ¡¡ . v, si V ¡¡, \' E V Y VA E IR se verifican los siguientes aXIOmas: 1.

Ü ·

v = lo . ii.

2. (A,¡¡)' \' = A(ü . vj. 3. (UI + li2 ) • v = Ti l . ~,+ Ti! . v. 4. ¡¡. ¡¡ > O para ¡¡ '" 0, donde Oes el vector nulo y además O. O= O.

5.1.2. Definición de espacio vectorial euclídeo

Se llama espacio vectorial euclídeo a todo espacio vectorial real provisto de un producto escalar.

Ejemplo 5.1.1.

Sean dos vectores de 1R2 : ¡¡ = (x" X2); y = (y" Y2). Estúdiese si ¡¡ . Y, definido como ¡¡ . Y= x,y, + x2Y', es el producto escalar usual. Para comprobar si es espacio vectorial euclídeo, o no, será necesario verificar si se cumplen los axiomas lo que definen. 1. ¡¡. Y = x ,y, + X2Y2

2.

= X2Y2 + x,y, = Y . ¡¡ (A¡¡)' Y = (Mio M,) . (y" Y2) = M,y, + M2Y2 = A,(x,y, + X2Y2) = A(¡¡ . y)

3. (¡¡, + ¡¡2] . Y = ( x" X2) + (x'" X2)] . (y" Y2) = (x, + X" x, + x ,) . (y" Y2) = = (x, + x,)y, + (X2 + X2)Y2 = (x,y, + X2Y2) + (x,y, + X2Y2) =¡¡, . Y + ¡¡2 . Y

239

5. 1. Producto escalar de vectores y espacio euclídeo

Ejemplo 5.1 .3

En el espacio euclídeo definido en el ejemplo anterior, hállese el producto escalar, si p(x) =x; q(x) = J - x. p(x)· q(x)

= L'x(l-x)dx= o

l' o

[

'J'o = 1/6.

(x-x')dx = -x'--x l J

2

3

241


5.2. Norma de un vector y ángulo entre dos vectores

Si recordamos la defmi ción dada para el producto escalar de vectores geométricos:

x· y = Ixl ly l cos(x, y) podemos obtener el módulo (longitud) de un vector, de la siguiente forma:

x · x = Ixllx l cos (O)

=>

Ixl =v'x· x , pues costO) = 1.

Generali zando la defmi ción anterior para el caso de un espacio vectorial euclídeo, se puede dar la siguiente defmi ción:

5.2. 1. Definición de norma de un vector Se llama nomla de un vector x, perteneciente a un espacio vectorial euclídeo V, a la raíz cuadrada positiva del producto escalar x . x (se denota como IIxll ) ... lIxll = = v'x· x

Observemos, que como x . x ~ O, siempre existe IIx 11 .

Ejemplo 5.2.1

Determínese la norma del vector ¡¡ = (XI , x,), que fi gura en e l ejemplo 5. \.1 , correspondiente al producto escalar que allí se define.

242


Solución:

Ejemplo 5.2.2. Detenn(nese la nonna de los vectores p(x) = x; q(x) = 1 - x, de acuerdo con la definición de producto escalar dada en el ejemplo 5.1 .2. Solución :

IIp(x)ll=

~ rX J]1 l H e/x = ~ 131 0= V3

Ilq(x) 11 =

Jf

X2

(l-x)' e/x =

J[-+(1 _X)J[

= "*

5.2.2. Definición de vector unitario

Se dice que un vector es unitario O normalizado cuando su norma es igual a uno '" ",1Il/1I=1

Podemos ver que dado un vector l/, no nulo, el vector ¡;¡' = 11 ~ 11 es unitario,

ya que:

(¡¡ ) ( iI) ¡¡. ¡¡

-, lIillI 11 = -, 11 • 1I = - . - - = - -2 = -' = 1 11 -'112 11 ¡;¡ 11

11 ¡;¡ 11

11 ¡;¡ 11

11 ¡;¡ 11'

243


-

5.2.3. Propiedades de la norma

Dados dos sectores x e y del espacio vectorial eucl ídeo V y las siguientes propiedades de la norma:

II A.I' 11= AIIx II 11'.)'1 S 111'1111)'11

1.

2. 3.

IIH ylls IIxll+II)'11

\;j A E

IR se cumplen

Desigualdad de Schwartz. Desigualdad de Minkowski . (Desigualdad triangular)

Demostraciones: l.

11 ?x 11= V (Ax). (Ay) = V A'(X · x) = AII x 11

2. Desigualdad de Schwartz.

Si OsO.

x = O6 Y = O, no hace falta demostrar nada, lo único que se escribe es

•

x .. Oy Y .. O, sean V, = II ~ II + 11; II y v, = 11; II - 11; 11' es evidente que v" V, E V. por tanto, v, . v, ~ OYv, . v,~ O ** Si

X

** ( 11 x II como

244

±

y)(x II y I1 . 11 x 11

±

y ) x·x y .y x ·y I1y II ~ O ** 11xii' + 11 y 11' ± 2 II x IIII y II >

x·x y.y .. x·y 11 xii' = l Y 1 y 11' = l , podemos escnblr: 2 ± 2 11 x Ilb 11 ~ O **

O,

•E


3. Desigualdad de Minkowski. IIH yll ' = (H y). (H y) = Ilxll ' + Ilyll ' + 2(x· y) Aplicando la desigualdad de Schwartz resulta: Ilx + yll' $ Ilxll ' + lIyll' + + 211xlllly ll = (lIxll + Ilyll)' , y extrayendo la raíz cuadrada, obtenemos la desigualdadde Minkowski: Ilx+yll$llxll+ Ilyll. Si ahora expresamos la desigualdad de Schwartz: Ix· yl $ IIxllllyll en la forma equivalente: -lIxllllyll $ x . Y $ Ilxlll lyll, y suponiendo que IIxll , Ilyll 0, dividimos por IIxllllyllobtenemos:

*

- 1$

x·y Ilxllllyll

< 1.

Podemos ver que el cociente anterior toma los mismos valores que el coseno de un ángulo. Además para x = y se tendría un ángulo igual a cero y el valor del cociente anterior resulta igual a uno. Aunque, en general los vectores del espacio vectorial euclídeo V no serán vectores geométricos, las consideraciones anteriores permiten llegar a la siguiente definición:

5.2.4. Definición de coseno del ángulo entre dos vectores Dados dos vectores no nulos x.

y pertenecientes a un espacio vectorial euclídeo V

se define como coseno del ángulo entre dichos vectores a: cos(x, r) -

=

x·v11 x 1111 y 11

Ejemplo 5.2.3.

Calcúlese el coseno del ángulo que forman los vectores p(x) = x; q(x) = 1 - x, para el producto escalar defmido en el ejemplo 5.1.2, teniendo en cuenta los valores obtenidos en los ejemplos 5.1.3 y 5.2.2.

245


Solución: 1 p' q 1/6 cos (p , q) = ----'----''---- = = II p II 11 q 11 ( 1;V3)( I;V3) 2

5.2.5. Definición de ortogonalidad

Dos vectores :r, y son ortogonales .,. El producto escalar siendo :r,:V distintos del vector nulo.

x . y es igual a cero,

De acuerdo con la definición anterior, para que dos vectores sean ortogonales debe cumplirse que cosO', y) = O. Esta definición coincide con la dada para perpendicularidad de vectores geométricos, en la que el ángulo que detenninan ambos vectores debe ser recto. Observemos que se ha definido la ortogonalidad para vectores no nulos. También podemos ver que el vector nulo es ortogonal a cualquier vector X, ya que O':x = O. Dados dos vectores de un espacio euclídeo x, y, se verifica:

IIH y112 = (H y) . (H y) = x · H 2(x · y) + y . y pero si dichos vectores son ortogonales, es: presión del teorema de Pitágoras:

IIx+yI12= Ilx112+ lIyl12

x+y

x . y = O, se obtiene la conocida ex-

•


Ejemplo 5.2 .4.

En el espacio vectorial euclídeo 1R 3 , con el producto escalar usual, determínese un vector que sea ortogonal a los vectores: u = (1, 2, 1); v = (O, -1 , 1); IV=O,l,2).

Solución : Sea x = (a, b, e) el vector a determinar. Como x debe ser ortogonal a u entonces: x . u = O ~ a + 2b + e = O También debe ser ortogonal a v : x . v =O ~ -b + e = O. Por último, debe ser ortogonal a IV : x . IV = O ~ a + b + 2e = O Por lo tanto, el vector buscado debe ser la solución del sistema:

a + 2b+e=0 - b+c=O

{ a + b+2e =0 Sistema que tiene por solución: a = - 3a; b = a, e = a ~ x = (-3a, a, a), es decir, el espacio vectorial generado por (-3, 1, 1). Volviendo al caso de los vectores geométricos, de gran utilidad en física, cuando se habla de la proyección de un vector sobre otro, en general se hace referencia al módulo del vector proyección, pero si lo que se requiere es el vector que se obtiene como proyección ortogonal de un vector ti sobre otro vector v, tendremos que determinarlo como la composición de u con otro vector IV ortogonal a v. Sea u' el vector proyección de u sobre v. El módulo de u' resulta: 11 u' 11 = 11 u 11 cos (u, v) =

(¡¡ . v)

IIvll

¡¡

u

247


Multiplicando por el vector unitario de la dirección de v: ne el vector ¡¡' =

(¡¡ . V)

_

11 V 11'

v

v

11 v11 ' se obtie-

Es posible extender este concepto para cualquier par de vectores de un espacio vectorial euclídeo y decir que la proyección ortogonal de un vector ¡¡ sobre otro vector v de dicho espacio es: -

(¡¡.v)

Proy " . =

11 vii'

v

Ejemplo 5.2.5. Detennínese el vector que se obtiene como proyección ortogonal del vector p(x) =x sobre el vector q(x) = 1 - x, con la definición de producto escalar dada en el ejemplo 5.1.2 y teniendo en cuenta los res u.\tados obtenidos en los ejemplos 5.1.3 y 5.2.2. Solución: Proy pq =

248

(p. q)

Il qll' q

=

1/6

(1/V3)'

l

1

2

2

(I-x)=- - - x

5.3. Expresión del producto escalar en una base dada


Si Ves un espacio vectorial euclídeo de dimensión 11, y B = {el, e" ... , e,,} una base cualquiera de V, entonces, cualquier pareja de vectores x, y E V se pueden expresar como:

Si conocemos los n' productos escalares el . ej (para i,j = 1,2, ... , ti), el producto escalar x . y se puede expresar de la siguiente fonna:

x . y = (x¡e¡

+ x,e, + ... + x"e,,) . (y¡e¡ + y,e, + ... + y"e,,)

Luego, utilizando las propiedades del producto escalar:

x . y = x¡y¡(e¡ . el) + x¡y,(e¡ . e,) + ... + x¡y,,(e¡ . e,,) + X¡)l¡(e, . el) + + x¡)l, (e, . e,) + ... + x¡)l,,(e, . e,,) + ... + x,.y¡(e,, · el) + x,.y,(e" . e, ) + ... + x,.y"(e,, . e,,) Si para todo i, j se denota el producto el . ej = ducto escalar x . y de fonna matricial:

- ._ _ (.

x y-

Xl X2 ."

Xn

gll ) g,¡ : (

gnl

g¡, g22 :

gn2

glj,

es posible escribir el pro-

... g¡,, ) ( y¡ ) ... g,,, y, ",:

o. .

gnn

:

Yn

De manera abreviada se puede expresar como x . y = XGY'. donde X e Y son las matrices fila de las coordenadas de los vectores x e y, respectivamente y G es la llamada matriz métrica del producto escalar o matriz de Gram . Es un sencillo ejercicio demostrar que, para que la expresión XGY ' represente el producto escalar de los vectores x e y, respecto de una base dada, es condición necesaria y suficiente que se verifiquen las siguientes condiciones:

249


*

1. gij = gji, 'ti j (La matriz G debe ser simétrica). 2. gij> 0, 'ti = j (Todos los elementos de la diagonal principal deben ser positivos). 3. g~ ~ 0, 't i•j •

g"gjj -

Ejemplo 5.3.1.

El producto escalar de los vectores:X = (x" x,) e y = (y" y,) de un espacio euclídeo bidimensional, referidos a la base B = fe" e, } está defInido por:

:x . y = 4x,y, + x,y, + x2Y' + 9x2Y, 1. Hállese la matriz que caracteriza a ese producto escalar y verifíquese que cumple con las condiciones anteriormente expresadas. 2. Calcúlense las normas de los vectores de la base. 3. Determínese el coseno del ángulo que forman los vectores de la base. 4. Determínese el producto escalar ü . ü, siendo ü = (2, 1).

a) Si la base primitiva B es la formada por los vectores e, = (0, 1). b) En otra base B' dada por los vectores e', = (

+,

O);

e,

e', = ( 0,

= (1, O);

+).

Solución:

1.

gil g,,)(y,) y, =(x,g" + x,g"

x· y =(x, x,) ( g" g"

Por tanto,

(y, ) =

x,g" + X28,,) y,

\j ~~.

gil = 4; g" = g" = 1; g" =9=> G =


G cumple las condiciones requeridas: 1. gl2 = g2¡ = 1. 2. gl1 = 4 > O; g" = 9 > O. 3. gl1 . g22 - g¡2 = 4.9 -1 ~ O.

2. Para calcular la norma de los vectores de la base basta hacer:

lIedl 2 = e¡ . e¡ = g¡¡ = 4

=>

Ile¡11 = ~ = 2

2

11 e2 11 = e2' e2 = g22 = 9 => IIe2 11 =..¡g;. = 3

e¡ . e2

1

g¡2

3. cos(e lo e,) = -c--c--c--::- = = Ile¡lIlle2 11 lIe¡ 11 IIe2 11 6

4. a) En la base canónica B el vector u queda expresado como u = 2e¡ + e2. luego: ¡¡. ¡¡ = UGU' = (21) (

i ~ )(i) = (911)( i) = 29.

También podríamos haber calculado el producto escalar a partir de la expresión original. b)

e'¡ =

Como x . y = 4x¡y¡ + X¡Y2 + X2Y¡ + 9X2Y2. si los vectores de la base B' son:

(+- O) Y

eí =

(O. +)

e'¡.e'¡=4.(~r+2.~

. 0+9.0 =1

eí . eí = 4.02 + 2 . O.

+ 9.

_/_/

_1_1

e¡ · e2= e2' e¡ =4. -

1 1 +9.0. - = -

3

2

+ (+r

1

= l

11

.0+-.-+0.0+ 2 2 3

6

251


Por tanto, la matriz métrica que caracteriza el producto escalar en la base

l

B' es G' = ( 1/6

1/6 ) 1

En la base B' el vector ¡¡ queda expresado como ¡¡ = 4e', + 3e,

=>

Como podemos ver, el valor del producto escalar es el mismo, independientemente de la base elegida.

252

5.4. Sistemas ortogonales y ortonormales de vectores


Sea V un espacio vectorial euclídeo y S un subconjunto de V, diremos que S es un sistema ortogonal si cualqu;er vector de S es ortogonal a todos los demás vectores de S.

5.4.1. Definición de sistema ortogonal El sistema S = {u" u" ... , u,, }

e

11 es ortogonal

$O

u,' uJ = O, 'if i

*j

5.4.2. Proposición S = lu" u" .... u"} te independiente.

e, un sistema ortogonal de vectores no nulos =>S es linealmen-

Demostración: Sea S = I¡¡" ¡¡" ... , u,, } un sistema ortogonal de vectores no nulos, tal que, A,¡¡, + A,u, + ... + A"¡¡,, = O con A, E lIt Por las propiedades del producto escalar:

u, . (A ,¡¡, + A2¡¡, + ... + A"u,,) =Adl udl' + 0+ ... + O = O =>A,

=O

De manera similar, comprobamos que A2 =A, = ... = A" = O; luego los vectores del sistema ortogonal S son linealmente independientes. Si S es un subconjunto de un espacio vectorial euclideo con todos sus vectores unÜarios se dice que es un sistema normado

253


5.4.3. Definición de sistema normado El sistema S = {UI' ¡¡" ... , ¡¡n} es nonnado

*" II¡¡, 11 = I. 1 S ¡Sil

Si un sistema de vectores S, contenido en un espacio vectorial euclídeo, es ortogonal y además nonnado, entonces se dice que es un sistema ortononnado.

5.4.4. Definición de sistema ortonormado

El sistema S = {Ti"

¡¡2, ..., Ti.} es ortononnado

*" Ti,' Ti, = {~

Ejemplo 5.4.1.

En el sistema S = {I, senx, cosx} cuyos vectores son las funciones : 1, sen x, cos x, se define el producto escalar de la siguiente fonna: /(x) . g(x) = J.:f(X) . g(x)dx.

a) Verifíquese que S es un sistema ortogonal. b) Encuéntrese un sistema ortononnado a partir de S. Solución: a) Si h(x) = 1; k(x) = sen x; m(x) = cos x h(x) . k(x) =

254

J) .sen

x dx = [- cos xI. = - 1 - (-1) = O


h(x) . m(x) =

i> .

cos x dx = [sen x[ = O

k(x) . m(x) = {' sen x · cos xcix = (X sen x d(sen x) = [_1 sen'x] , = O Ltr LI[ 2 -IC Por tanto, el sistema es ortogonal. b) Para encontrar un sistema que, además de ortogonal, sea normalizado es necesario calcular primero la norma de cada uno de los vectores dados :

1: 1:

11"(x)11 = y

Ilk(x)11 =y

sen'x cIx =

Il m(x)11 = y

El

S'=

1.1 cIx = y[x

1:

V[+ (x -

cos'x dx =

sistema

sen x

V[+

ortonormado

rL~ ' --v;¡-' Vn ' l

J:. = V2ñ senx . cos

x{

=

Vn

(x + sen x· cos x{= Vn

(ortogonal

y

normalizado)

es:

cosx}

5.4.5. Método de ortonormalización de Gram-Schmidt Como el valor del producto escalar es invari ante cualquiera que sea la base considerada, es conveniente elegir una base en la que dicho producto tenga la expresión más sencilla posible. Esta expresión la podremos obtener cuando la matriz métrica G sea la matriz unitaria /, porque entonces: x . y = XfY' = x¡y ¡ + + x2Y' + ... + xxY•. (Es decir, el producto escalar usual.) Esto es lo que ocurre cuando la base es ortononnada.

255


Bases ortononnadas hay infinitas. pero el problema que se plantea es. a partir de una base cualquiera del espacio vectorial euclídeo. encontrar otra base que sea ortononnada. Este problema es fácil de resolver con el método de Gram-Schmidt. que nos pennite obtener una única base fonnada por vectores ortogonales. que después se nonnalizan. • Sea B = le.. e" .... en } la base primitiva y B' gonal a detenninar. • Primero fonnamos las siguientes relaciones:

= IUI. 1<2 • ...• un} la base orto-

U¡ = e¡ U2 = 7h + a ¡u¡ U3 = 1'3 + {JIUI + {J,u,

• A continuación hal lamos los escalares a l. {JI, debe ser u, . Uj = O. V i. j . tales que i '" j . UI . u, = u , . fe,

UI . u, = UI .

A.~¡,

teniendo en cuenta que

+ a,ul ) = UI . e, + a l(ul . UI) = O => al = -

(UI . e,)

11udl' .

(e, + {JIUI + {J,u, ) = UI . e, + {JI(UI . UI) + f3,(UI . u, ) = O =>

(UI . e,) =>

{JI = -

1 udl'

u, . u, = u, . (e, + {JIUI + {J,u, ) = u, . 1'3 + {JI(U, . UI) + {J,(u, . u,) = O =>

Cu, . e,) =>

{J, = -

1 1<211'

• A partir de estos resultados obtenemos:

256


_

_

(u, . e,)

u, = e, - Iludl' u, (u, . e,)

u, - Ilu,ll' u, • Reiterando el proceso, logramos encontrar los restantes vectores de la base ortogonal, que de forma general resultarán:

(u, . e,) _

Iludl'

u, -

(u, . e,) _

Ilu,ll'

u, - ...-

(U._, . e.L

Ilu.-dl

u._,

• y para obtener la base ortonormada bastará dividir cada vector por su nor-

ma:

Ju,

u, u. L B' =-ijludl ' Ilu,ll ' ... , Ilu.ll} Como las expresiones obtenidas anteriormente no son fác iles de recordar, es preferible aplicar en cada ejercicio en particular el algoritmo estudiado de forma general .

Ejemplo 5.4.2

En el espacio vectorial euclídeo del ejemplo 5.3.1, donde el producto escalar de dos vectores x = (x" x,), Y = (y " y, ) estaba defmido por:

x . Ji = 4x,y, + x,y, + x2.Y' +9x2.Y' , vimos que la base B formada por los vectores normada ni ortogonal. Se pide:

e, =

(1 , O);

e, =

(O, 1) no es

a) Mediante el método de Gram-Schimdt y a partir de los vectores de la base B, obtener una base ortonormada.

257


b) Verificar que en dicha base la matriz métrica es la unitaria. c) Calcular en la base ortonormal obtenida el producto escalar u . u, siendo u = (2, 1) Solución: a) Aplicando el método de Gram-Schmidt, se elige el primer vector de la base ortogonal buscada como: u, = e, = ( 1, O). Después se hace: u, =e, + au, =(O, 1) + a(l , O) = (a, 1). Pero debe ser: u, . u, = O. Por tanto, teniendo en cuenta la expresión del producto escalar dada, es: u, . u,

= (1 , O) . (a,

Luego: u,

1) =4.l.a + 1.1 + a.O + 9.0.1

= (1 , O); u, =

1 =4a + 1 =O ",.a =--.

4

(-+,1).

Aunque los vectores u" u, son ortogonales, para obtener los vectores paralelos a ellos, y que además estén normalizados, habrá que dividir cada uno por la norma correspondiente.

Iludl =Yu, . u, =Y4. l ' + 2 . l . 0+9 . 02 =2. Ilu,ll =Yu, · u, = Y4. (_1/4)' + 2. (-1/4).

1+9. l'

=

V;S.

Por tanto, la base ortonormada está formada por los vectores:

b) Para obtener la matriz métrica es necesario calcular: g il

=v, . v, =4 . (1/2)' + 2.(1/2) . 0+9. O' = 1


gl2=g21 =4. (1/2). (-

~)+(l/2). ~ +0. (- ~)+ 2 v35 v35 2 v35

2 +9 . 0.-:-= = 0 v35 Como era de esperar, la matriz métrica res ulta ser la matriz unitaria:

n

G=(b

e) En la base ortonormada que se ha determinado, el vector ü se puede expresar como: ü = aVI + bv, = a

1

T

(+,

O) + b (- 2

k ,k)

= (2, I)=>

l

a -2\i'35b=2

9 => b = _V35 _ a=-. 2' 2 o

2

O.a+~

v35

b= l

l b ase B' , resu lta: -u = -9V-I + --v,. V35 Por tanto, el vector -u, ena

2

L""o cl ,rodoc. ,,,,"M"

~

, , "(:

2

+)"

v;s) (¡ ~) (

29

valor que, como era de esperar, coincide con el obtenido en el ejemplo 5.3.1.

259


5.4.6. Definición de matriz ortogonal Una matriz cuadrada A se dice que es una matriz ortogonal si: AA' = A' A = J (l matriz unitaria) A' = A- ' (esta condición evidencia que A es una matriz regular)

**

Ejemplo 5.4.3.

a)

Vamos a verificar que la siguiente matriz A es ortogonal:

I

I

I

V3V3V3 1

A=

-2

1

V6 V6V6 -1

0 _1_

Vi

V2

I

1

En efecto:

1

1

1 -1

V3V3V3 V3V672 AA' =

1

1

1

-2

O

1

J

1

V6V6V6 V3V6 -1

Vi. 260

-2

O

1

72 V3V672

=


1 3

1 3

1 3

121

-+-+1

2

rn-rn +Wí 1

Wí-Wí +3Ví

=

1

1

-\76+0+\76

=

(

141

-+-+6 6 6 -1

1

=+0+ = 2v3 2v3

-1

1

-1

1

V'6+ 0 +V'6

2v'3 + o + 2v'3 1

=

1

- +0+2 2

1 o O)

O 1 O . O O 1

b) Probaremos que los vectores fila forman una base ortonormal del espacio euclídeo 1R3. Si consideramos los vectores fila:

-2 1) ;w= (\12, -10' \121) ( 1 1 1) (1\76'V'6'\76

u= V3'V3'\f3 ;v= podemos comprobar que:

i) Los tres vectores son normalizados:

261


_={(Vi-1)'

IIwll

+0+

(I)" Vi =r~ 2 +2" =I

ü) Los tres vectores dados son ortogonales entre sí:

=> Los vectores f¡Ja de la matriz A forman una base ortonormal del espacio euclídeo IR' .

5.4.7. Producto escalar en un espacio vectorial con una base ortonormal Si tenemos un espacio vectorial euclídeo V y dos vectores cualquiera del mismo, x = (XI , X" ..., x,), 'ji = (yl ' Y2, ... , y,), dados respecto a una base ortOOOl"mal B, el producto escalar X . Y se puede expresar como: x . 'ji = XIYI + x,y, + _ + x"y" es decir, se reduce al producto escalar usual, ya que en este caso, la lilatriz métrica es la matriz unitaria. También es inmediato verificar que la norma de un vector x se puede eJe.

terminar como:

262

Ilxll = Y x'¡

+ .i, + ... + x~ .


5.4.8. Base orfonormal incompleta

Si Ves un espacio euclídeo de dimensión /1 y S = I u" u" ..., ud es un sistema ortonormal con k < /1, es posible completarlo hasta obtener una base ortonormal.

Demostración: Como k < !l, existe algún otro vector v E V, que es independiente del sistema dado S. Por tanto, el vector e = v- (A,U, + A.,U, + ... + A,U,) es no nulo, cualesquiera sean los escalares A;; pero para ciertos valores de A; resulta e ortogonal a u" u" ..., u,. En efecto, ya que:

e . u, =v . u, - (A,U, . u, + A.,U, . u, + ... + A,U, . u,) =osi A, = v . u, e . u, =v . u, - (A,U, . u, + A.,U, . u, + ... + A,U, . u,) = o si A., =v . u, e . u, =v . u, - (A,U, . u, + A.,it, . u, + ... + A,U, . u,) =o si A, =v . u, Entonces, si agregamos al sistema el vector:

e

Ilell = u,+" S, =

obtenemos otro sistema:

lu" u" ... , U" u,+, ), que también es ortonormado pero con un vector

más. Si k + I < !l, reiterando el proceso se obtiene el sistema:

S' = {U1 U2, ... , Uk, Uk+ 1t 1

o •• ,

UnL que es base ortononnal de V.

263


Ejemplo 5.4.4

Sean ¡¡I =

1 - \76' 1 O, \762) ; = (2\76' O, \76'l - \761) ,vectores del (\76' ¡¡2

espacio vectorial euclídeo canónico IR'. Detennínese un vector U, que pueda fonnar parte de una base ortononnal de IR' siguiendo el procedimiento visto en el apartado [5.4.8]. Es fácil comprobar que el sistema dado por los vectores UI y U2 es ortonormalizado. Elegimos un vector cualquiera del espacio dado que sea independiente de ¡¡I y U2. Por ejemplo, podemos verificar que un vector, arbitrariamente elegido, v = (O, O, 3, - 1) no se puede obtener como combinación lineal de ¡¡I y ¡¡2, pues para que se cumpla que e lul + e2U, + e,v = O es necesario que sea: el = e 2 = e , = O. Para detenninar e = v - AI¡¡I - A2U, que sea ortogonal a UI y U2, debe ser:

Por tanto:

e =v- [Al UI + "'2 L¡¡21

= (O,O, 3' - 1) _ (

=

(O O 3 - 1) [( __ 1 _1 O ", 3'3"

-~) + (~ O ~ -~)]= 3 3 " 3' 3

1_1 ~ _ ~) = (-1 __ ~ ' 3'3'

3

.

1 _1 ) 3 ' 3'3

Es fácil verificar que el vector e es ortogonal a los vectores UI y ¡¡2.

e u, =--es nonnalizado, luego S = {UI ' ¡¡2, u, l es un sistema ortononnaliIlell zado.

264


Para poder completar la base tendríamos que obtener un cuarto vector de manera similar, ya que la dimensión de 1R4 es cuatro.

5.4.9. Subespacios ortogonales

Dos subespacios de un espacio euclídeo V son ortogonales cualquiera de ellos es ortogonal a todo vector del otro.

~

Todo vector de

Dos subespacios serán ortogonales si todo vector de la base del primero es ortogonal a todo vector de la base del segundo, condición evidentemente necesaria. Que además es suficiente, se puede demostrar descomponiendo los vectores en función de ambas bases y utilizando los axiomas de producto escalar. Como dos subespacios ortogonales sólo tienen en común el vector nulo, ya que en caso contrario habría un vector ortogonal a sí mismo, en contra del axioma 4 de producto escalar, y dado que dos vectores ortogonales son linealmente independientes, la suma de las dimensiones de los subespacios será n como máximo. Sea un espacio vectorial euclídeo V, de dimensión n y U un subespacio del mismo. Vamos a llamar complementario ortogonal de U, que se denota como UJ., al subespacio ortogonal a U, tal que, la suma de las dimensiones de U y UJ. es n. Si U tiene dimensión k existe una base ortonormal {e" e" ..., ed . Pero hemos visto que es posible completar la base hasta obtener una base ortonormal de V {e" e" ... , e" e,." ... , e.}, donde los vectores e,." ... , e. forman una base de UJ. , ya que resultan ortogonales a todo vector de U. El conjunto {e•• " ... , e.} es una base ortonormal de UJ., pues en caso contrario existiría algún vector no nulo e; E UJ., ortogonal a los vectores que forman dicha base, para lo que debería ser e; E U, pero esto no es posible ya que un u J. = {O} y el vector Ono puede formar parte de una base. Además, podemos expresar cualquier vector ji E V como ji = u + u', donde u E U Yu' E UJ., luego Ves suma directa de U y UJ. ~ U 8) UJ. = V.

265

Ejercicios

11 u,ll = ~

=>

u, ' u, =

11 u, ll = V u, ' u,

=>

u, ' u, = 9

l

u, ' u, = Ilu,llllu, llcos(U" u,) = l ' 3 , -

l 3 =2 2

Luego, la matriz pedida es:

G-_(13/2 39/2) ' Ejercicio 5.3. Hállese la nonna del vector cicio anterior,

(u, + u,), siendo u, y u, los vectores del ejer-

Solución:

11 u, + u, lI =

V (u, + u,) . (u, + u,) = V (u,

' u,) + 2(u, ' 1<,) + (u, ' u,) =

Ejercicio 5.4. Comprúebese que si Ve s un espacio vectorial euclídeo (con el producto escalar usual), {e" e" .. " e, l una de sus bases, y A" ;.", .. " A" números reales, existe un vector único x E V, tal que: x ' e. = At, para k = 1, 2, .. " n, Solución:

267


Entonces:

x . e, =x,(e, . e,) + x,(e, . e,) + ... + x,(e, . e,) = A., x . e, =x,(e, . e,) + x,(e, . e,) + ... + xie, . e,) = A.,

que es un sistema lineal con solución única (x" trica del producto escalar es regular.

X2, ... ,

x,), ya que la matriz mé-

Ejercicio 5.5. Determínese un vector v E IR' de norma uno (con el producto escalar usual), ortogonal a los vectores '" = (1, 2, 3, 4), '" = (4, 3, 2, 1), = (1, O, 1, O), referido a la base canónica ortonormal.

"3

Solución: El vector v = (x, y, z, t) deberá verificar que sea:

IIvll = I

v . ti] = v . ti2 =

V . U 3 == O

Lo que es equivalente a: 1.

i + y'+z'+t'= 1

2. x + 2y + 3z + 4t = O 3. 4x + 3y + 2z + t = O 4.

x+

+z

=O

De la ecuación 4 se obtiene: z = - x Si se reemplaza en las ecuaciones 2 y 3 y luego se suman ambas ecuaciones se obtiene: y = -t. Además resulta y =-x, entonces t =x.

268

Ejercicios

Reemplazando en la ecuación I se obtiene: i + (_X)2 + (_X)2 + i = 1 => => x =

±V1/4.

Por tanto, la solución del problema son los vectores:

v]

= (l/2, - 1/2, - 1/2, 1/2)

V2 = (-1/2, 1/2, 1/2,-1/2)

Ejercicio 5.6.

Dados dos vectores, u y v, pertenecientes a un espacio euclídeo, encuéntrese un tercer vector w ortogonal a V, y tal que, u se descomponga en la suma de w con un vector de la dirección de v. Solución: Se tiene que cumplir: u = AV + w => Pero como además debe ser:

w= u- AV.

v ·w =O v · w = v ·(u - Av) = V · u _AllvlI 2 = O Por tanto, resulta:

u.v

A= _ _

Ilvl l'

o

~

U.V w=u - -2 v

IIvl1

Ejercicio 5.7.

Con el producto escalar habitual en IR', hállese la base {u], " 2, ... , u, l aplicando el método de Gram-Schmidt a la familia de vectores {e] , h ..., e,}, sabiendo que cada vector e. tiene los primeros k elementos iguales a uno y los demás iguales a cero:

269


e, = (l. O. O•...• O). e, = (l.

l . O•...• O) •...• e, = (l. l . l •... • 1).

Solución:

u, =e, = (1. o. o..... O) u, . e, _

lIu, ll' ll,=(I.I.O •...• O)-

(1 .

o. o..... O) 1

= (0.1.0 • ...• 0)

U2 ' e3

11 u, lI' u, = (O. O. l . O. .... O)

u, = (O. O. O•...• 1) Además. los vectores obtenidos son unitarios.

Ejercicio 5.8

Dados dos vectores de un espacio vectorial euclídeo. U. que: (u + v) . (u - v) = Osi y sólo si 11 ü 11 = 11 vii .

v. demuéstrese

Solución:

=> (u + v) . (u - v) = (u· u) - (u . v) + (v . u) _ (v . v) = 11 U 11' _ 11 v 11' Entonces: (ü <=

+ v)· (u - v) = Ilüll' - Ilvll' = O=> lIu ll' = II v ll' => lIüll = IIvll El recíproco también es cierto:

lIu ll = Il vll=> Ilull' = Ilvll' =>(U+ v) · (U-v) =O

270

Ejercicios

Ejercicio 5.9

En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos se define el producto escalar como: p(x) . q(x) = p(O)q(O) +

l'

p'(x)q'(x)d.x, siendo p'(x) y q'(x) las derivadas de

p(x) y q(x) respectivamente.

Determínese el subespacio ortogonal a V = { 1 - x, 1 -

J l.

Solución: Sean: r(x) = al + bx + e; p(x) = 1 - x; q(x) = 1 - x 2 , entonces:

p(x) . r(x) = c +

l' -

(2a.x + b)d.x = c - [al + bxl~ = c - a - b

('

q(x)·r(x)=c+ J,-2x(2a.x+b)d.x= c o

[4ax' 4a- b _ _ +bx ]' =c- 2

3

o

3

Pero debe ser: p(x) . r(x) = O => c - a - b = O q(x) . r(x)

=O =>

4a - b =O

e- -

3

De donde se obtiene que: a = O, b = e

=>

V" = (1 + x).

Ejercicio 5.10

Con el producto escalar usual , se quiere encontrar el complemento ortogonal en IR' (una de cuyas bases es B = {e" e2, e, }) del subespacio V = {(x" X2, X3)/X, = x21 de un espacio euclídeo a partir de la base formada por los vectores u, = ( 1, 1, O), U2 = (O, O, 1).

271

Ejercicios

Solución: Un elemento y pertenece a V" (complemento ortogonal de V), si y sólo si y es perpendicular a UI ya u,. Como y = Ylel + y,e, + YJeJ, debe ser:

YI~I + y,~, + YJ~J) 01 + e,) =YI + y, =o {~y . ~I'" == ((Ylel + he, + YJeJ) . eJ =YJ =O .

.

obteniéndose un sistema homogéneo con tres incógnitas que determina un subespacio cuyas ecuaciones son:

_ YI :(/' { Y3

= - ,t { ( YI) .,. {Yy,I =,t.,. y, =,t (- 11) Y3=0 Y3 O

por tanto, está generado por el vector:

272

ji

= (-1, 1, O) y es de dimensión l.

6 MATRICES SEMEJANTES

INTRODUCCiÓN La noción de valor propio y de vector propio de una matriz (o de la aplicación lineal que representa) había surgido en el siglo XV III en la teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes, de la mano de Lagrange y Laplace, y su identificación con los ejes de una cuádrica cuando A es real y simétrica era bien conocida por Cauchy, quien también conocía su coincidencia con las raíces del polinomio característico. Cauchy obtiene los primeros invariantes, probando, por ejemplo, que si A y B son matrices semejantes, tienen los mismos valores propios. Sylvester, en sus trabajos sobre los haces de cuádricas, y poco después, en 1868, Weierstrass que extendió los resultados de Sylvester para matrices no necesariamente simétricas, dieron un importante impulso a la teoría de los invariantes. Utilizando la noción de matrices semejantes, Jordan en su monumental Traité des substitutiolls (1870) demostró que toda matriz cuadrada era semejante a otra más sencilla. El papel sistematizador en la teoría de clasificación y reducción de matrices lo lleva a cabo Frobenius en varias memorias publicadas entre 1877 y 1880. En particular, da la demostración general del teorema de Cayley-Harnilton y plantea el problema de determinar el polinomio de menor grado que satisface la matriz (el polinomio mínimo). Afirma que está formado por factores

273

6. Matrices semejantes

del polinomio característico, y que es único, lo que no fue demostrado hasta 1904 por Hensel. Señalemos fmalmente que Metzler introdujo en 1892 la exponencial y otras funciones transcendentes de matrices, por medio de series de potencias, que son de gran aplicación en el estudio de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Para su cálculo efectivo tienen gran importancia la diagonalización de matrices y la descomposición de Jordan, ya que las potencias sucesivas de dichas matrices se calculan muy fácilmente.

274

Arthur Cayley (1821-1895)

ARTHUR CAYLEY (1821-1895) Arthur Cayley nació en Inglaterra de padre inglés y madre rusa y desde su adolescencia mostró su fac ilidad para las matemáticas . Estudió en el King's College, en el Trinity College de Dublín, donde ingresó con la calificación " por encima del primera", y en la Universidad de Cambridge. Junto con su coetáneo HamiJton, encabezó la prestigiosa escuela de matemáticos ingleses del siglo XIX. Después de realizar serias investigaciones en matemáticas, se olvidó de ella y se dedicó al turismo por Europa. En 1846 comenzó a estudiar Derecho, mientras ejercía la abogacía entabló amistad con Sylvester, y las matemáticas salieron beneficiadas de esta relación. Simultáneamente declinaba el interés de ambos por la jurisprudencia. Por entonces se creó una cátedra de matemáticas en Cambridge, de ella se encargó Cayley y a partir de ese momento no abandonó su interés por esa disciplina. Sus contribuciones más importantes a las matemáticas son: • • • •

Importantes descubrimientos en la teon a de los detenninantes. Creó la teoría de los invariantes. Es autor de la primera definición abstracta de grupo finito . Desarrolló el álgebra de matrices, que sirvió como fundamento para la mecánica cuántica. • Hizo importantes contribuciones a la teoría de curvas y superficies en geometría analítica.

Sus trabajos en geometría cuatridimensional, proporcionaron a los físicos del siglo xx , especialmente a Albert Einstein, la estructura para desarrollar la teoría de la relatividad. Su desarrollo de la geometríat no dimensional ha sido aplicada en la física al estudio del espacio-tiempo continuo. Está considerado como el . tercer escritor más prolífico de matemáticas, siendo sólo superado por Euler y Cauchy. Sus trabajos matemáticos se publicaron en Cambridge Cl889A 8)._ _ _ •_ _

275

Organigrama

CAPÍTULO 6

La clase de equivalencia de matrices semejantes

Autovalores y Autovectores

Diagonalización de endomorfismos

Endomorfismos simétricos Diagonalización de endomorfismos simétricos

277

6. 1. Matrices semejantes

hacemos idéntica pregunta a la anterior y a establecer los teoremas necesarios para probar la posible existencia de una matriz diagonal en la clase correspondiente a una matriz de aquel conjunto.

6. 1. 1. Definición de matrices equivalentes A. B E M~M son matrices equivalentes <=> Existen dos matrices regulares M. N. tales que. A = MBN

Es evidente que, la relación entre matrices asf defmida en Mm"" constituye una relación de equivalencia. La demostración se deja al lector como ejercicio. Atendiendo a esta definición de matrices equivalentes, se verifica la siguiente propiedad.

6.1.2. Proposición: Si A, B E Mm" con A = CB Y C es una matril regular. entonces, A y B tienen el mismo rango.

Demostración: Al hacer la multiplicación de matrices A = CB:

(

a"

al2

a 2l

G 22

al') (cn Cn

a mi

a m2

~::n

QZn

_

e 21 C22

~::1 ~~2

279


+ c 12 b2J + + c,mbml = cllb 12 + C1 2b 22 + ." + cl m hm2

al1 = a ll

=>

{

cll b ll

o ••

....... ..... .. . . .. . .. . . .... al l!

=

cIlb 1n + c 12 b2n +

o ••

+ c,mbmn

Expresión que podemos escribir como:

Las filas de la matriz A son combinaciones lineales de las flIas de la matriz B, por tanto, el rango de A es menor o igual que el rango de B. Recíprocamente, como e es regular existe C-' y es regular. por tanto, B = = C-' A. razonando de la misma forma, podemos afirmar que el rango de B será menor o igual que el rango de A. Por lo que concluimos que el rango de A es igual que e l rango de B.

6. 1.3. Proposición

Los rangos de las matrices A y B coinciden M_,

** A YB son matrices equivalentes en

Demostración:

I1

Si A Y B son equivalentes, entonces A = MBN, donde M y N son regulares, y por la proposición [6.1.21. rg(A) = rg(MBN) = rg(BN) = rg(B), que es lo que queríamos demostrar.

280

6. 1. Matrices semejantes

6.1.4. Definición de matrices congruentes A, B E M""" son matrices congruentes que,A =P'BP

*"

Existe una matriz regular P E M,,,,. tal

De esta definición se deducen las siguientes consecuencias:

6.1.5. Consecuencias l. Si A Y B son congruentes, entonces A y B son equivalentes. Demostración: Evidentemente es trivial , sin más que considerar M

=P' y N =P.

2. Si A Y B son congruentes, entonces rg(A) = rg(B). Demostración: Sale inmediatamente de [6.1.3J y de la consecuencia anterior. 3. La congruencia de matrices es una relación de equivalencia en M ,,,,,.

Demostración: En efecto, se cumplen las tres propiedades que caracterizan a las relaciones de equivalencia: l. A = l' Al (Reflexiva) 2. A = P' BP, B = (P'r' Ar' = (¡r')'. (Simétrica).

*" B = (¡r')' A¡r', pues como sabemos, (P'r' =

281


3. A = p' BP Y B = Q'CQ => A = P'Q'CQP (QPl' = P'Q'. (Transitiva).

= (QPl' CQP, en virtud de que

6.1.6. Definición de matrices semejantes A, B E M""" son matrices semejantes <9 Existe una matriz regular P E M ..", tal

que, A = P-'BP, a la matriz P, se le llama matriz de paso,

De esta definición se deducen las siguientes consecuencias:

6. 1.7. Consecuencias 1. Si A Y B son semejantes, entonces A y B son equivalentes. Demostración: Es trivial, pues basta hacer M equivalencia de matrices.

= 1"

YN

= P para tener la defInición de

2. Si A Y B son semejantes, entonces rg(A) = rg(B). Demostración: Es consecuencia inmediata de [6.1.3.] y de la consecuencia anterior.

3. La semejanza de matrices es una relación de equivalencia. Demostración: La dejamos como ejercicio para el lector.

282

6.2. Valores propios y vectores propios


Al principio de este texto, indicamos que nos moveríamos en el cuerpo de los números reales n;l siempre que fuera posible, pero para el desarrollo de al· guna parte de los capítulos seis y siete es muy útil, especialmente para hacer algunas demostraciones, considerar el cuerpo de los complejos IC. Cuando utilicemos e, lo mencionaremos expresamente. Queremos hacer notar que aunque para las demostraciones se utilice e, los resultados son válidos en n;l, ya que n;l e IC. Para alcanzar el objetivo que indicamos en [6.1] utilizaremos unos vectores con características especiales a los que llamaremos vectores propios o autovectores de un endomorfismo. Dado un espacio vectorial V de dimensión n definido sobre el cuerpo n;l de los números reales, y una aplicación lineal f de Ven sí mismo, se dice que x ;t O es un vector propio de f cuando se verifica que su imagen por f es un escalar por dicho vector.

6.2.1. Definición de vector propio de un endomorfismo de V Un vector x;t O, X E Ves un vector propio del endomorfismo f de V ** f{x) = AX para algún A E n;l

Ejemplo 6.2. 1

Sea V = {funciones reales que admiten derivadas de todos los órdenes} y f el endomorfismo de V, que asigna a cada función de V su derivada. eXes un vector mopio de f, I es valor propio del vector eXporque f{e") = = (e")' = l ex .

285


Sin embargo, sen x E V, no es un vector propio de J, porque J (sen x) = =cos x, y no hay ningún A E IR, tal que, cos x =Asen x. • Obsérvese que así definidos V es un espacio vectorial y J es una aplicación lineal de Ven V.

6.2.2. Consecuencia Si 3A correspondiente a un vector propio x=>;" es único. Demostración: Utilizaremos el método de reducción al absurdo. Supongamos que hubiera dos valores que lo cumplen: A, Á', entonces,.f\x) = = Al: y j(x) = A' X, Y portanto, Al: = A' x, (A - A')x = O=> A = A', es decir, ambos valores coincidirían. A este escalar A asociado de modo único al vector propio x, se le llama valor propio asociado.

6.2.3. Definición de valor propio asociado a un vector propio Valor propio asociado al vector propio x '" Valor de A que verifica j(-X)

= "-t.

Sea A = (ajj) la matriz asociada al endomorfismo J en una cierta base B del espacio vectorial V Consideremos la matriz unidad I cuadrada de orden n, e i la aplicación identidad en V. Llamaremos X, a la matriz columna cuyas filas

'"" 1"

286

"mpo~"" ,~., dd

, '" "

b,~

B '''', X, ( : )


Podemos escribir: AA = Ai(X) siendo x un vector propio de V, o bien, en forma matricial AX = UX, y por tanto (A - AI)X = O. Esta ecuación representa un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con n incógnitas, que admite solución distinta de la trivial si: lA -AlI = O. El desarrollo de esta ecuación tiene la forma: all - A a12 a21 a22 - A

a"1

a",

al" a", amI -

=0

A.

6.2.4. Definición de ecuación característica de una matriz Ecuación característica de la matriz A ." Ecuación lA

AiI-

°

Dicha ecuación admite n. raíces a las cuales llamaremos raíces caracterÍsson los valores propios del endomorfismo f El primer miembro de la igualdad representa un polinomio en A de grado 11 al que se denomina polinomio característico de la matriz. En el ejemplo siguiente seguiremos, paso a paso, para un caso concreto los contenidos anteriores. t icas, que

Ejemplo 6.2.2.

Consideremos la matriz A = (

-!-1

0)

2 -1 ,si queremos calcular los valo-

-1 3

res propios y los vectores propios correspondientes, debemos proceder del siguiente modo:

287


3-A

= (3 -

Al (A

2 -

O -1

-1

2-A

-1 O

• La ecuación característica es: lA - ),J I =

-1

=

3- A

5A + 4l = O

• Las soluciones de la ecuación son los valores propios: A, = 1, A2 = 3 Y A, = 4. Veamos cómo calculamos los vectores propios correspondientes a cada uno de los valores propios anteriores. En la ecuación matricial (A - A1)X = 0, y considerando la matriz columna:

x= (

~: ), operaremos de la siguiente manera:

• Para A, = 1, se verifica: O ( 2-11 - O)1 (XI) = (O) -1

X2

0-1

=>

2

t

O

X,

i X2

=0 = 20, V 8

X,

=8

E

X

2=0}

2x 1 - O -X2 + 2x3 -

~ -XI +X2 - X 3 =O

=>

-

-O}

2x ¡-X2 2x - O + ,-

=>

X2

U\l

Hay muchas formas de expresar el subespacio propio asociado a A, = l.

X2=0}

1 Podemos hacerlo mediante las ecuaciones cartesianas 2x - 2x - O

-X2

o las paramétricas

{~~: ogo,

288

3-

'

o el subespacio generado por (1, 2, 1l, ya

X, =

que, (

+

~: ) = 8 ( ~ ), o bien L, = {( 8, 28, 0), V8

E

U\l) .


Demostración: Si trasladamos al caso general el procedimiento de obtención de vectores asociados a un valor propio utilizado en el ejemplo 6.2.2, observamos que, al sustituir cada A; en la ecuación matricial (A - U)X = 0, se obtiene un sistema lineal homogéneo, cuyas soluciones son el conjunto de vectores propios asociados a A;, que forman un subespacio vectorial, ya que es el núcleo de la aplicación lineal cuya matriz asociada es A - Al. También es muy fácil hacer la demostración utilizando la caracterización de los subespacios dada en [1.3.2.] o [1.3.3].

6.2.6. Proposición El polinomio característico de la mutrizA riante reSpecto a un cambio de base.

a~ociada

a un endomorfismoj: es inva-

Demostración: Si llamamos a A' la matriz asociada af cuando estamos utilizando la base B' en V, el siguiente diagrama conmutativo muestra que:ü = ¡pi o fA o ¡p.

(V, B)

--" ¡,.~) (Y, B)

"·" J.i;' (V, B')

f.,

) (V, B')

La matriz A' = ¡r'AP es la matriz transformada de la matriz A al cambiar la base B de V por la base B'. Su polinomio característico es 1A' - U 1, que también se puede escribir como : 11" AP - U 1, y como A es un escalar, se verifica: Al = ¡r'UP, expresión que llevada a la anterior da lugar a la siguiente:

290


¡p-I AP - AlI = ¡p-I (A - AI)P I = ¡p-I IIA - AlIIPI= ¡P-IP I IA - AII= = /A - A//=- /A- A/ /= /A' -A/ /.

Obsérvese que [6.2.6J se podría haber enunciado de la siguiente manera: Si A Y A' son matrices semejantes, entonces tienen la misma ecuación característica. No obstante, puede ocurrir que dos matrices tengan la misma ecuación característica y no sean semejantes. Las matrices : A = (

l

O) O , 1= (1O ~ ~) tienen la misma ecuación O I O

oI

característica:

lA - AlI = (1 -A!' = O;

I/ - A!l=(I -A)3= O.

A e 1 no son semejantes, pues si así fuera, sería A = p-I/P -", A =1, que es evidentemente falso.

6.2.7. Proposición El conjunto de k vectores propios correspondientes a k valores propios distintos de un endomorfismo f, forman un sistema libre.

Demostración: Utilizaremos el método de reducción al absurdo. Supongamos que los vectores XI. X2, ... , X, fueran un sistema ligado, sin pérdida de generalidad podemos suponer que los vectores linealmente independientes son los r primeros XI, X2, ... , X" con (r < k). Entonces cualquier Xh con h ~ r perteneciente al sistema ligado, se podría expresar de forma única respecto a los que son libres'" Xh = /11 XI + /12X2 + ... + /1, x,.

291


Por ser f una aplicación lineal resultará: ¡eXh) = )1.1f(X,) + )1.1(x,) + ... + wf(x,) => A..l'h =)1., AIXI + )1.,A2X, + ... + )1.,í!.,I'" donde Ah íI." ..., A" Ah son los valores propios asociados a X" X" ... , X" Xh. Además A.,,"# O, pues de lo contrario, el sistema {XI , X2, ..., x,} sería ligado. Pero esto nos lleva a que el vector Xh tiene dos expresiones diferentes en el sistema indicado, ya que, todos los valores propios son distintos, lo que es una contradicción. Por tanto, la hipótesis " si los vectores X" X" ... , X, fueran un sistema ligado", no puede ser cierta. Consecuencia inmediata de [6.2.7] es que "si la matriz A tiene n valores propios distintos, el conjunto de vectores propios asociados a los n valores propios constituye una base del espacio vectoriol V".

6.2.8. Proposición Si A, es una raíz característica de la matriz A con multiplicidad algebraica a,. la dimensión di del subespacio de vectores propios asociados a A" verifica la condición: I ~ d, ~ al

La primera parte de la proposición [6.2.8]: I ~ di es inmed.iata, ya que, todo valor propio Ai, tiene asociado algún vector propio. Veamos que di ~ a,: Consideremos el valor propio Al, y hallemos los valores propios de M = A - Al que se obtendrán de 1M - JÚ 1 = O, a lo que es lo mismo, 1A - (Al + )1.)11 = O y si llamamos Ai + P = A quedará 1A - }J 1 = O, y cada raíz Aj con orden de multiplicidad aj le corresponde )1.j = Aj - Ai de 1M - JÚ 1 = O con el mismo orden de multiplicidad . A la raíz Al le corresponde)1.i = O con multipHcidad de orden al· Como di es la dimensión del subespacio asociado al valor propio Ai de A existen di vectores U" u" ..., Udi que constituye una base de este subespacio que podrá completarse con n - di vectores Ud,." ... , U, hasta formar una base de V, con lo cual el endomorfismo asociado a la matriz M se representa en esta base por una matriz de la forma:

292


cuyo polinomio característico contendrá el factor f.l al menos con el exponente di, luego f.l = O es una raíz característica de M con un orden de multiplicidad por lo menos igual a di, como vimos este orden es precisamente ai, por tanto di ~ai.

Ejemplo 6.2.4 En el ejemplo 6.2.2, los espacios vectoriales asociados a los valores propios A.¡ tienen dimensión uno como es fácil comprobar con solo observar la expresión de L i : Los vectores de L , = {(o, 28, 0), Vo E IR} dependen sólo de un parámetro o. Los vectores de L, = {(jJ, O, - [J) , VPE IR } dependen sólo de un parámetro p. Los vectores de L, = {(a, -a, a), Va E IR} dependen sólo de un parámetro a.

Ejemplo 6.2.5

-2 En el ejemplo 6.2.3. (A - A.l) =

(

1 O)

-4 2 O , cuando A. =2 (raíz triple). -2 1 O

La expresión del subespacio vectorial asociado a dicho valor propio es : O = (O) O (-2-2-4 21I O)(X,) O O X2

X3

=> -2x,

+ X2 = O =>

{x,=a X2 :

X3 -

2a =>

P

(X') X2 X3

(1) +

=a 2 O

+p( ?) L = {a( 1, 2, O) + P(O, O, 1), Va, P E IR }, que evidentemente tiene dimensión 2 y verifica 2 = di :5 ai = 3, como se indica en [6.2.8J.

293


6.3. Diagonalización de matrices Recordemos que el objetivo perseguido en este capítulo es encontrar, si existe, la matriz más sencilla posible que pertenezca a la misma clase de equivalencia que otra matriz A E M"Xn mediante la relación de semejanza dada. La matriz buscada es una matriz diagonal A. Por ser matrices semejantes A y A están asociadas al mismo endomorfismof Sea un endomorfismo f, sobre un espacio vectorial V de dimensión 11, que referido a una base B de V tiene A por matriz asociada. Vamos a establecer un criterio que permita saber si una matriz es diagonalizable.

6.3.1. Condición suficiente de diagonalización Si Al , A" ... , A" son n raíces distintas de la ecuación característica de la matriz A,

entonces, eXiste una matriz A diagonal asociada af. tal que, A =

(~ ~, ::~.) O O ...

Á"

Demostración: En [6.2.7] vimos que, "El conjunto de k vectores propios correspondientes a k valores propios distintos, de un endomorfismo f,forman un sistema libre" , por tanto, el conjunto de los n vectores propios XI, X" ..., x" correspondientes a los valores Al , A" ... , A" constituye una base de V. Las columnas de la matriz A asociada af en esa base, están formadas por las componentes de las imágenes de los vectores que forman la base:

f(X¡) = AIXI; f(x,) = A,X,; ... ;j(x") = A"x"

~ (~o.1 ~o" ::: .~.), A=

... A"

mente es una matriz diagonal .

294

que evidente-

6.3. Diagonalización de matrices

Ahora tenemos dos bases en V: la B, y en ella la matriz asociada al es A, y la B' formada por vectores propios de 1, entonces la matriz asociada a I es A. (V, B) ---",f,~) (V, B)

._,'r;

I,. ...v

f'

(V, B') -----"f,'---t) (V, Bi

Si llamamos P a la matriz de paso de la base B' a la B y componemos las aplicaciones correspondientes en el diagrama conmutativo anterior, resultará

Como consecuencia, otra forma de expresar [6.3.1] es:

"Si las raíces características Ah A." ..., A, de Itna matriz A son todas distintas, existe Itna matriz regltlar P qlte verifica la igltaldad p- ' AP = A n •

Ejemplo 6 .3.1

Seguimos con la matriz del ejemplo 6.2.2, y recordamos que la matriz A tiene tres valores propios de multiplicidad uno: A, = 1, A., = 3, A3 = 4. El conjuntoB' = {(l, 2, 1), (1, 0, - 1), (1, - 1, 1) 1 formado eligiendo una base en cada uno de los subespacios vectoriales asociados L L, YL" es una base " de V. El orden de A es tres, como los tres valores propios son distintos [6.3.1] nos permite afirmar que A es diagonalizable. P es la matriz del cambio de las coordenadas de un vector respecto a la base B' a tas coordenadas respecto a B = {( 1, O, O), (O, 1, O), (O, O, 1) l. Para construir la matriz de paso P, elegimos como vector columna cada uno de los vectores de B'.

295


La matriz de paso será P =

1 1 1) (2 O- 1 . I -1

I

Su matriz inversa ¡rl , es la matriz del cambio de las coordenadas de un vector respecto a la base S a las coordenadas respecto a S ':

1

1/6

1/3 1/6) O - 1/2 . ( 113 - 1/3 113

p- = 112

La matriz diagonal semejante es A = (

3 O) O . ~ O O 4

Haciendo los productos de matrices correspondientes, se comprueba que se verifica la igualdad A = PAP- 1• En [6.3.1] vimos que "tener todos los valores propios diferentes es l/na condición suficiente para que el endomorfismo sea diagonalizable" , pero hay veces que el endomorfismo es diagonalizable aunque no cumpla esa condición, por tanto, no es una condición necesaria. Vamos a establecer una condición no sólo necesaria, sino también suficiente para saber cuando una matriz es diagonalizable.

6.3.2. Condición necesaria y suficiente de diagonalización

Un endomorfismo f es diagonalizable .,. Existe una base de V formada por vectores propios

296

6.3. Diagonalización de matrices

Demostración: => Si f es un endomorfismo de un espacio vectorial. tal que en una base

?11 ° ... .0) 0. asociada afes dia-

B = {elo e, • ...• e,, } de V. la matriz A =

l.,. :::

(

° ° . . 1"

gonal. se verificará: lA -MI = (l l-A)(l, - A) ... (1" - A) = O=> 11. 1, •...• 1" son valores propios de A. y se debe cumplir:j(e¡) = l lhj(e,) = 12e2•...• j(e,,) = I"e" con (i = 1. 2 • ...• n). Entonces ex iste una base de V formada por los vectores propIos. <= ) Como ya hemos visto en [6.3.1J "si existe una base B de V formada por los vectores propios asociados a valores propios distintos de A. con respecto a esa base B la matriz asociada a f es diagonal" . Consideremos abora el caso en que entre las raíces características haya alguna múltiple. entonces de [6.2.8J, si d¡= dim L¡ deducimos que "2A ::; n vectores propios linealmente independientes. y además "2A será igual a n cuando cada di. coincida con la multiplicidad a¡ del valor propio A¡. Como sabemos que d¡ es la dimensión del núcleo de A - A;! que es igual a n. - rg(A - A;l). el teorema anterior se puede expresar en los siguientes términos:

6.3.3. Teorema

A es diagonalizable

** rg(A - A,J) es igual a n -

a¡ para todo valor de i.

Obsérvese que este teorema es equivalente al que tiene por enunciado:

297


6.3.4. Teorema Un endomorfismo f es diagonal izable '" La dimensión del tiubespacio vectülial asociado a cada valor propio es igual a la multiplicidad algebraica de dicho valor propIO. Cada autovalor tiene asociadas dos multiplicidades, la multiplicidad algebraica (multiplicidad como raíz de la ecuación característica) y la multiplici dad geométrica, que es la dimensión del subespacio asociado a dicho valor propio. Que hemos venido llamando Xi y d i respectivamente.

Ejemplo 6.3.2 En el ejemplo 6.2.3, el único valor propio de A es A, = 2, que es triple y verifica: rg(A - AI /) = 1 '" 3 - 3 = O. Luego la matriz A no es diagonalizable. Si hubiéramos utilizado el segundo criterio habríamos argumentado: La multiplicidad algebraica de A, = 2 es tres, la dimensión del subespacio asociado al autovalor A, = 2 (multiplicidad geométrica) es dos, como consecuencia la matriz A no es diagonalizable. •

298

6.4. Diagonalización de endomorfismos simétricos


De entre los endomorfismos f de un espacio vectorial V tiene interés el estudio de aq uellos cuya matriz A, es una matri z simétrica de elementos reales, dado que los teoremas relativos a la ex istencia de la matriz diagonal constituyen un caso particular de gran utilidad, y se extraen consecuencias diferentes a las ya estudiadas. Veamos algunas proposiciones sobre propiedades de las matrices simétricas relacionadas con los valores y vectores propios.

6.4.1. Proposición

Todas la~ raices de la ecuación característ ica de una matril simétrica de e lemen-

s rt:alcs

~on

reales.

La técni ca utilizada en la demostración siguiente incluye como escalares a los complejos, por e IJo puede ser om itido su estudio por e l lector no familiarizado con este cuerpo. Demostración: Sean A, una matriz simétrica de e lementos reales, X la matriz columna de las coordenadas de un vector x E V, y A. E e un valor propio de la matriz A => =>AX = AX. Consideremos una matriz columna X, que tiene por elementos los conjugados de la matriz X, entonces premultiplicando los miembros de la igualdad anterior por X'

X' AX = A.XX

( 1)

299


tomando la conjugada de la anterior igualdad quedará:

como los elementos de A son reales, la matriz A es igual a su conjugada A

=>

X' AX=XX'X si trasponemos ambos miembros de esta igualdad, se obtiene:

X AX = rrx

(2)

ya que A' = A en las matrices simétricas. De igualar (l) y (2) resulta:

(A-X)

XX = O

6.4.2. Proposición

Si A es una matriz simétrica de elementos reales, los vectores propios asociados a las raíces características distintas son ortogonales con el producto escalar usual.

Como consecuencia de [6.4.1J, podemos afir mar que las coordenadas de los vectores propios serán también reales en la base considerada, pues, son las soluciones del sistema de ecuaciones homogéneo (A - A.I )X = O. Consideremos una base ortononnal B" y sean X, y X2 dos vectores propios asociados a los valores propios A, y A." respectivamente. Se verificará: AX, = = A,X, YAX2 = A2X2. (Escrito en fonna matricial.)

300


Este resultado es muy importante, pero dada la dificultad de la demostración, el lector puede omitir su estudio. Demostración: Basta con demostrar que en estas condiciones, ex iste una base ortonormal constituida por vectores propios de A. Puesto que la matri z P sería la matriz que tiene por vectores columnas los vectores de dicha base ortonornlal. Utilizaremos el método de inducción: Si A = (all) y P = 1, el teorema se verifica. Supondremos que se verifica para matrices de orden 11 - l . Lo demostraremos para una matriz A de orden 11. Consideremos el endomorfismo j de IR" asociado a la matriz A que por hipótesis es simétrica real y por el resultado anterior sus autovalores son reales (tiene al menos uno) y hayal menos un autovector x Opara el que.f\x) = n ,

*

siendo A. el valor propio real asociado al autovector x. En consecuencia y = 11 ~ 11 es vector propio de f Considérese el espacio Wortogonal a y, es decir el constituido por todos los vectores de IR" ortogonales a y, el cual es de dimensión n- I. Por lo tanto para todo Z E W se tiene que z . y = O Yen consecuencia .

.f\Z) . y = (AZ)' y =z' A'Y =Z'AY =Z' (AY) =z . .f\Y) =Z • (Ay) =A.(z . y) =O por consiguiente, si Z E W, entonces .f\z) es ortogonal a y. Por hipótesis de inducción el subespacio W posee una base ortonormal de vectores propios de j , si añadimos a esta base el vector y obtenemos una base ortonormal formada por vectores propios dejy por tanto se concluye.

CONSECUENCIA

Cuando la matriz A es simétrica de elementos reales, A es congrltente con una matriz diagonal.

302


6.4.4. Proposición xi~tcn ti

vectores propios de A (simétrica real) que son ortogonales dos a dos. inlUIdos los que pertenecen a un mismo valor propio.

Demostración: Se deduce de la anterior:

Ejemplo 6.4.1 Sea A la matriz simétrica con elementos reales

(6I

de diagonali zar A mediante una matriz ortogonal

e

~ b);

se trata de

O 2

aplicando e l teorema

[6.4.3]. La ecuación característica es: lA - Al I =

2-A. O O 3 - A.

1 I

1 O

=- (A.' _ 7.1'

+

O 2-A.

+ 15A. - 9) = O. Como A.' - 7.1' + 15.1. - 9 = (A. - 1) (A.' - 6A. + 9) = O Los valores propios de la ecuación ante rior son A.I = 3 con multiplicidad dos, y A., = l con multipLicidad uno. Cons ideremos el prime r valor propio, y dete rminemos su subespacio vectorial asociado:

1)(XI) 00OO x, = (O O )= -X, + X, = O = (-1 1 O - 1 x, O + JI

(b)= L, = {(XI,

X"

{fl

a X' := JI= x, - a

(XI) x,

=a

x,

x,) = a( l , O, 1) + JI(O, 1, O), 'ita, JI

( 01)+ l

E1I\l }

303


Operando de la misma forma para el segundo valor propio, el subespacio vectorial asociado es: L, = {(x" x" X3) = f3( 1, O, -1), 'tjf3 E IR } Elegimos en L , dos vectores, por ser dos la multiplicidad del valor propio A" si tomamos los más senciUos: V, = (1, 0, 1) YV, = (0,1 , O), que son los que se obtienen para los valores a = 1, Ji = y a = 0, 11= 1 respectivamente, podemos observar que ambos vectores son ortogonales. Del mismo modo elegimos en L, e l vector V3 = (1 , O, - 1), que es ortogonal a los dos anteriores pertenecientes a L" como debe ser por la proposición [6.4.4J. Los módulos de estos vectores son Iv,1 =V2; Iv,l = 1; Iv3 1= V2, portanto, los tres vectores ortonormales serán:

°

¡¡,

=(

*,

O,

~ ) ; ¡¡, = (O, 1, O); ¡¡3 =(

*,

O,

~)

que conforman como vectores columnas, la matriz C, por tanto : 1

Vi C= l

°

Vi

1

° V2 1

O

=C'

-1

° V2

Se verifica, como puede comprobar e l lector, que C' AC =

(~ ~

g)

O I

que en efecto, es una matriz diagonal.

304

= A,

i Ejercicios

EJERCICIOS Ejercicio 6.1

Demuéstrese que toda matri z cuadrada, tal que los elementos de cada fija suman la unidad, tiene como valor propio A = 1 Y como vector propio correspondiente, el vector cuyos únicos elementos son unos. Solución: El objetivo de este ejercicio es comprobar que además de los conceptos, se ha asimilado correctamente el lenguaje de matrices, vectores, índices, subíndices, etc., que el estudiante de informática se verá en la necesidad de utilizar. En la matriz A se verifica:

"

La¡j =

J= l

1 para cada i, con I ~ i ~ n

i representa cada una de las 11 fijas de la matri z que estamos estudiando, por eso puede variar entre I y /l. Para cada i, es decir, en cada fil a, los subíndices j que representan las columnas, pueden variar entre I y /l, Y la suma de todos los elementos a ij de esa fila i, vale l.

" La, }

j=- l

un vector propio correspondiente al valor propio A = 1 de la matriz A.

305


Ejercicio 6.2

Dada la matriz A =

(=~ ~ =1), se pide calcular los valores propios y los

vectores propios. Solución: La ecuación característica es:

IA- AlI =

I- A -2 -2

1

4- A 2

-1 -1

I-A

Las raíces de - A3 + 6A2 - 1lA + 6 = O, se calculan utilizando la regla de Ruffini. Los valores encontrados son: A, = 1, A2 =2, Al = 3, que son Jos tres valores propios de la matriz. Cada valor propio lleva asociado un subespacio de vectores propios. Consideremos el primer valor propio A, = 1, se debe verificar:

Para definir el espacio vectorial asociado, L" podemos dar: . . { Sus ecuaCIOnes cartes ianas :

X2- X l =0

306

=

• .

-X,+X2 =0

{ :~; :~,a o una base: B = {( l , 1, I)}, X3

.

, o sus ecuaCIOnes parametncas:

O

todos los vectores que lo forman:


Podemos decir que (O. l . 1) es un vector propio asociado al valor propio 3.

Ejercicio 6.3

Dada una matriz triangular superior A = (aij). y A, sus valores propios. demuéstrese que se verifica: A, = ail. 'di = l . 2 • .... Il Solución: En efecto. si A es triangular superior se verifica: al]

1A- N"1 =

por tanto, A.¡ =

a Ut

-A

01 2

0

0.,,- ,1

O

O

= (a" - A)(a22 - ,1) ... (0." - A) = O.

1 ~ i .$ 11 .

Ejercicio 6.4

Demuéstrese que las matrices A y A' tienen los mismos valores propios. Asimismo. demuéstrese que los vectores propios de A y A' correspondientes a valores propios distintos son ortogonales. Solución:

'dM

308

A YA' tienen la mis ma ecuación característica. ya que CA' - U ) = (A - U )'. y E M ,,,,, se verifica que 1M 1 = 1M' 1 además de que CA + Bl' = CA' + B').

Ejercicios

Veamos la segunda parte. Sea I un vector propio asociado al valor propio de A, r => Sea y un vector propio asociado al valor propio de A', {J {J~

AX = rI. =>

A'y = fJY con

r·

Tomando traspuestas en la igualdad A'y = fJY => y'A = {Jy'. Multiplicando por la derecha esta igualdad por I, resulta y AX = fJYI => => y' rx = fJY'I => (r - {J)yI = 0, como r ~ {J, entonces yI = 0, que era lo que queríamos demostrar.

Ejercicio 6.5

Estúdiese si es, o no , diagonali zable la matriz A = ( - :

j =t).

En caso

afirmativo, constrúyase una matriz de paso P. Solución: Ecuación característica de la matriz A:

-A lA -,1,/ 1 =

- 1 I

I 2-,1,

- 1 - 1

= _,1,3 + 4,1,2 - 5,1, + 2 = O.

- 1 2-,1,

Valores propios: Son las raíces de la ecuación característica: A, = l con multiplicidad dos, es decir, a, = 2, y ~ = 2 con multiplicidad uno, es decir, a2 = 1.

Subespacios asociados a cada uno de los valores propios: son L , = {(x, y, z) = {J(1, 0, - 1) + 8(0,1,1), V{J, 8 E ~ } Y Lo = {(x, y, z) = = 1] ( 1, l , - 1), VI) E ~} . Como rg(A - A,!) = I = 11 - a, = 3 - 2 = I Y rg(A -~!) = 2 = n - a, = 3 - 1 = = 2, entonces, la matriz A es diagonalizable.

309

6. ¡Matrices se neja tes

Habríamo legado al n ismo resultado si hubiéramo argumentado: :Mul riplicidad algebraica de A.I = 1vIultiplicidad geo létrica de LI ~ al = di ;;; 2l~ Ivlultiplici. ad a geb ica de íb ;;; Ivlultip.icidad geométrica de~ = lt2 ~ dz 1]

=

~ la

matri z A e. diagona lizable.

l'vlatriz de paso: 'i maLI;z de paso P se fonna con dos vectores Hnealmcntc independientes de I y unO de Lz, lomados como colunUlas de die! a mattiz, pues sus dimen-

siones .

~on dos y uno respecf vamentc, por tanto, P =( 6 ~ {). -]

1 -1

Ivlatriz diagona semejante: 's a matriz diagona que tiene los autovaIores el la diagonal pdncipa . 1

O O)

A= O 1 O ( O O 2

Comprobación: Se verifica que Ji ;:: PAP-I. En efecto:

p-I ~

1>1\P-

2 -1

1)

O 1 ; ( - 1 1-1

=(- ~1 ~1 - 1i)(~O OO 2~) ( - i. ~~)1 -1!)= (_~1 - ;1 =l)2 ;; A

Las o racione·s se Plleden 'ealizar ltil"zando D rive Ocualquier otro programa de cálculo simbólico.

310

,

I

-

Ejercicios "Z c tJ!lierwl:;a

~...,

'* '

i

:ma:2.i%3d.'~'Siii~:~~·

Ejercicio 6.6

Dadas las mat 'ices A =

(i -Ó)y B = ( ::: i).

se pide demostrar s

son, o no. matrices de un mismo endomorfismo.

Soluci6n: La~

matrices A y B S n de un mismo endomorfi ' mo respecto a dis intas bay

ses, si y s6 o si, existe una matriz real (de cambio de bao e) P =(~ ..

-1 4

lar y se ver flca ( -1 2

'" (~ ~) (i -ó) ne 11lomog é neo

=>

i

)

=(

b)

a e d

'(

1 -1

2 O)

(

b)-

a e d

' 1

=

(

-1 4

-1 2

~) (1.

)(

rcgu b

e d

)

;;;

De esta expresión se obtiene el sistema de ecuaciones Ji.

2a '.' 2b - 4c ;;; O O con e1 rango d ' de caef lClen" aQ _- be + + 2d 4d ;:: ;;; O e aI matnz

2d - b ." e;;; O

tes tres, por tanto, tiene soluci6r distinta de la tr\rial, una el as es, por ej e mplo,

la que da lugar a la mat"iz (~

~) = (

]

6) ,

= Ambas matrices representéu el mismo endomorfismo pero c"f)tán referidas a distintas bases.

Ejercicio 6.7

Demuéstrese que dos matrices cmcjanles A}, U, 'cncr la misma ecuación característica.

311


Solución: Las ecuaciones características de las dos matrices son lA - A/ I = O Y 18 - A/ I = O. Si A Y8 son semejantes, existe una matriz reguJar P, tal que, 8 = = P-' AP. Entonces se verifica 18 - A/ I = I p-' AP - A/ I = I P-' AP - AP-' P I = l

= IP-' (A - AI)P Ip-'I IA - AI P I , y como, Ip-'I = - - => 18 -A/ I = lA - A/ I ,

que es lo que queríamos demostrar.

I PI

Ejercicio 6.8

Estúdiese la existencia de una matriz diagonal semejante a A = ( para los distintos valores de

6 ~ ~)

-2 O

r y o.

o

Solución:

La ecuación característica es lA - A/ I =

3- A O O O l -A r - 2 O O- A

=

= (3 - A)(1 - A)(o - A) = O, cuyos valores propios son A = 3, A = I , A = o.

o'"

o'"

Si 3Y 1, los tres valores propios son distintos y A es diagonalizable. Veamos qué ocurre cuando 0= 3. (En cada caso podemos utilizar el criterio de la columna derecha o el de la columna izquierda indistintamente.) Entonces A = 3 Y se trata de un valor propio doble.

(A - 31) = (

L~O ~) => rg (A - 31) = O

-2

=2 '" 3 - 2 = 1 => A no es diagonalizable.

312

En este caso la multiplicidad algebraica de A = 3 es 2, y la multipLicidad geométrica es L independientemente del valor de r => A no es diagonalizable.

Ejercicios

Si 8 = 1, entonces A = I es un valor propio de mu ltipbcidad algebraica 2, de matriz laA ,yA- /=

2 O O) r .

O O

(-2

O O

Con 8 = 1, si r '" O => rg(A - f) = = 2 '" 3 - 2 = 1 => A no es diagonalizable.

En este caso las dos multiplicidades no coinciden => A no es diagonalizable .

Con 8 = 1, si r = O, entonces rg(A - f) = I = 3 - 2 = 1, Y la matriz es diagonal izable.

En este caso las dos multiplicidades coinciden => A es d.iagonalizable.

Ejercicio 6.9

La matriz A =(

~ -~

J)

liene por vectores propios: (1,0, 1),(-1, 1,0),

(O, 1, - 1). Calcúlense: a) La matriz A, y los valores propios correspondientes a los tres vectores anteriores. b) Compruébese si es diagonalizable la matriz A. c) Escnbese la matriz de paso P. Solución: Como los vectores (1, O, 1), (- 1, 1, O), (O, 1, - 1) son vectores propios de la

matriz

a -1 e

( e

b) , se verifica:

2 d I f

c =--
313


b)(-I) I = v (-1 1)

ae - 21 d (e I f

ae (e

=>

O

O

--a- I = - v -c+2=v { -e +1 = 0

=>

{ a+ c= I -1

e-

-1 b)( O) (O) {-I-b =O { b=-l 2 d I

f

I

= 10

-1

I

2-d=:e

=>

I - f- -€

-1

=>

d +f = 3

La solución de las ecuaciones anteriores es:

lO

a = 3, b = - 1, e = 0.

=-2, d =2, e = l ,f = 1, Y los valores propios" =2, v = 4,

b) La matriz A es diagonalizable por tener 3 valores propios diferentes.

1 -11 O)1 . ( 0 -1

c) La matriz de paso P será P = O I

La matriz diagonal es A =

4 O O),y se verifica que A (8 O OO

es fáci lmente comprobable.

Ejercicio 6.10

Dada la matriz simétrica A = (

~ ~ ~ ), se pide:

1. Diagonalizar A . 2. Calcular la matriz ortogonal de paso. 3. Comprobar la ortogonalidad de los vectores propios .

314

= PM -

I

,

como

Ejercicios

Solución: l . La ecuación característica de la matriz A es IA-A/ I =

o

1- .1 1 O 2 -.1 O I O 1-.1

= (2-A) [(1-A)' -

1] =(2 -

= ( 1-.1)' (2-.1) - (2 - .1)[(1 -.1)'- 1]=

A)(A' - U)

=(2 - A)A(A- 2) =O.

Los valores propios son: A, = 2 con multiplicidad algebraica 2 y A, = O con multiplicidad algebraica l . El subespacio asociado a A, = 2 es:

1- 2 O 1)( XI) (O) ( O1 2 -O2 1-O2 XX,3 = OO *'>

X, -

X3= O *'> { XI X, := f3a *'> (XI) X, = a ( OI ) + X3- a X3 1

El subespacio asociado a A, = O es (

*'>

~ O~ b) (~~) = ( O~ ) ....IXI ~ X3=O*'> 1 X3 ~lx, - O

1) *'> (XI) 1) X, = a ( O

XIX, := O a *'> (XI) X, = a ( O { X3- -a X3 1 => La

X3

-1

matri z diagonal equ ivalente a A es A = (

2 O) O . ~ O

O O

2. Para calcular la matriz ortogonal de paso, hay que nonnaJizar los autovectores que la van a fonnar: Vector nonnalizado equivalente a (1, O, 1): (

*, .Jz). O,

315


Vector normalizado equivalente a (0, 1, O): (0, 1, O) . Vector nonnalizado equivalente a (1, 0, - 1): (

1

Matriz de paso:

i , 0)· 0,

I

° V2 ° ° V2 ° Vi

V2

1

1

-1

3. Los vectores (1, 0, 1) Y (O, 1, O) son ortogonales entre sí y ortogonales a (1,0, -1). Ya que se verifica: ( 1,0, 1) . (0, 1, O) = (1, 0, 1) . (1, 0, - 1) = = (0,1,0)·(1, 0,-1)=0.

316

7 FORMAS BILlNEALES

INTRODUCCiÓN Los resultados más profundos acerca de la clasifi cación y red ucción de matrices (y por tanto de sistemas lineales), tuvieron su origen no en el estudio de tales sistemas, sino en el de formas bilineales y cuadráticas. El problema de la reducción de las formas bilineales y cuadráticas a formas canónicas, 10 más simple posible, fu e el principal impulsor de las investigaciones sobre reducción y clasificación de matrices. Fermat ya había identificado las cónicas con las curvas planas definidas por ecuac iones de segundo grado, y procedido a su clasificación. El problema análogo para las cuádricas fue abordado por Euler, quien trató de reducir las ecuaciones de la cuádrica a la forma ax' + by' + cz' + d = O; (a, b, c ~ O) por medio de un cambio de ejes rectangulares. Se dio cuenta de que e llo es posible si, y sólo si, el detemlinante de la matri z de la fonna cuadrática es no nu lo, en cuyo caso los números a, b, e son los valores propi os de esta matri z. Euler refi ere la cuádrica res pecto a un nuevo sistema de coordenadas rectangulares de manera que se anulen los términos "rectangulares" en la nueva ecuación de la cuádrica. Poco después, en 1765, Euler trata un problema equivalente (aunq ue aparentemente sin advertirlo), al estudiar los ejes de inercia de un sólido. Lagrange, Cauchy y otros abordaron el problema de reducir una forma cuadrática en n variables a suma de cuadrados.

317

7 Formas bilineales

Puede decirse, pues, que a partir de la segunda mitad del siglo XVIII aparece con asiduidad en Álgebra el problema de la detemlinación de transformaciones lineales (con coeficientes reales o simplemente enteros, según los casos) que permiten reducir las formas cuadráticas de dos o tres variables a unos cuantos tipos simples, y tratar entonces de clasificar éstos en términos de invariantes bajo las transformaciones consideradas, lo que permitirá clasificar las formas generales.

318

Gauss (1777-1855)

GAUSS (1777 - 1855) Gauss es uno de los matemáticos más grandes de la historia y estaba convencido de ello. se llamaba a sí mismo matemático total, le llamaban príncipe de las matemáticas, ambos caliticativos se quedaban cortos. Una anécdota muy conocida. describe cómo a la edad de 7 años asombró a su profesor al entregar en tiempo récord el resultado de sumar desde el número I hasta el número lOO con la respuesta correcta. El profesor le preguntó cómo lo había hecho. Gauss le dijo" I + lOO = 10 1, 2 + 99 = 101,3 + 98 = 101 , siempre suman 101. Como son 50 sumas de 101. el total es 5050". Esto fue sólo el principio; durante sus estudios de Bachi llerato y universitarios redescubrió varios teoremas y aunque algunos eran conocidos. él los ignoraba. Su pasión era la Aritmética. pero, a lo largo de su vida, trabajó en muchos campos, y en todos hizo aportaciones inestimables. Siendo muy joven resolvió el problema de la construcción de un polígono regular de 17 lados con regla y compás. Obsesionado por el rigor y las demostraciones, aficionado al estudio de idiomas y a la literatura inglesa, seguidor de La política mund.ial, acomplejado hasta el extremo de no querer publicar ni dejar huellas de los pasos intermedios que le llevaban a sus conclusiones por miedo al ridículo, tenía su seUo y su lema: un árbol con pocos frutos (pocos pero maduros) y estaba patrocinado por su mecenas: el Duque de Brunsvic. De su trabajo científico destacaremos aquí la primera demostración deL teorema fundamental del Álgebra (1799). Su pasión por las matemáticas le llevó a intercalar otro tipo de actividades. como sus estudios sobre las geometrías no euclídeas por las que se interesó desde muy joven. Discutió el tema con Farkas Bolyai y otros, sin embargo no publicó nada porque creía que su reputación se pondría en entredicho. Más tarde, cuando Lobachevsky publicó su trabajo sobre el tema, dijo en una carta a Schumacher que él estaba convencido desde hacía 54 afios. Nunca abandonó los trabajos de Astronomía y desde 1845 hasta L851 se encargó. con gran éxito de las finanzas de la Universidad de Gottingen. Murió el 23 de febrero de 1855 en Gottingen (Alemania).

319

Organigrama

CAPÍTULO?

Aplicaciones ortogonales Endomorfismos ortogonales

Matrices ortogonales

Fonnas cuadráticas sobre IR" Reducción de fonnas cuadráticas

Criterio de Sylvester

321

7 Formas bilineales

7.1. Formas bilineales

En el capítulo dos estudiamos las aplicaciones lineales, que son las apli cac iones que conservan la estructura de espacio vectorial. Cuando el conj unto inicial es un producto de dos espacios vectori ales hay unas aplicaciones , las aplicaciones bilineales, que son de gran interés, porque a través de ellas abordaremos el estud io de las fo rm as bilineales y las formas cuadráti cas.

El hecho de haber tratado el lector los conceptos de producto escalar, matrices simétricas de elementos reales, vectores ortogonales y bases ortonormales nos permitirá entrar de forma sencilla y natural en este estudio de tanto interés en aplicaciones matemáticas, físicas y tecnológicas. Si f es una aplicación de un producto de espacios vectoriales en otro espacio vectorial, tal que la aplicaciónf: E x F -7 V cuando mantenemos fija la primera variable es lineal y la aplicac iónf: E x F -7 V cuando mantenemos fija la segunda variable es lineal, af se la llama aplicación bilineal.

7. 1.1. Definición de aplicación bilineal

Sean E. F. \1 espacios vectoriales reales, una aplicaciónf: E x F -7 Ves una apli cación bilincal "* "1 x E E, "1 Y E F. "lA. E ~ la aplicaciónfve rifica:

{

N +X. Y) = f(x, Yl +fi,x', Yl 1(4-f..VJ = A.N, Yl

y

{

N, Y +)1') = N, Yl + (x. )1') f(x, A.y) = A.f(x. Yl

En el caso particular de las aplicaciones bilineales de un espacio vectori al real por sí mismo en ~, a la aplicaciónfse la llama forma bil ineal.

322

7 Formas bilineales

Sil : E x E ---7 IR es una fonna biJineal y B = podemos enunciar las siguientes proposiciones:

{e" ..., e. J es una base de E,

7.1.3. Proposición \;I(:\,. y) E E x E. el valor dej(:\'. :n se puede expresar en función de los valores Jee¡. e)=a¡j.coni, j= 1. .... 11 .

Demostración: En efecto, si E es un espacio vectorial de dimensión 11 y está referido a una base B = {e" .. ., e. }, en el cual los vectores:X e y tienen por expresiones respectivas: x = x]e1+ X2eZ+ o., + xnen =

•

•

Lx¡ e¡ e y = Ylel + Y2eZ+ ... + Ynell = )=~1 yj~. i= 1

Entonces:

y apLicando sucesivamente las propiedades vistas en [7.1.2J se obtiene la ex-

presión: j(:X, y)

•

•

=ij=2,1x,yJf(e¡ , el} =ij=2,a¡jX,y. 1 J

donde j(e¡, e¡) = a ij (i , j = 1, 2, ..., 11), que es el resultado de la proposición que queríamos demostrar. A esta altura del texto, el lector debe estar acostum brado a manejar con soltura las expresiones deLtipo anterior, pero si no fuera así, es conveniente que desarrolle algunos sumandos de la expresión, e intente después hacerlo en la fonna en que aparece en el libro.

324

7. 1. Formas bilineales

7. 1.4. Proposición Fijada una base, toda forma bilineal se puede representar por una matriz cuadrada, y recíprocamente, a toda matriz cuadrada corresponde WlU forma bilineal única. La proposición [7.1.3J se puede escribir en forma matricial de la siguiente manera:

f(x, y) = '2,ai¡XIYi = I ,}

2: XI (2: aliYi) = X' AY. '

J

expresión que en forma desarrollada resulta:

_

_

_

f(x.Y)-(XI ,X2, ... , X,)

a l2 a 22

......

a" I

G n2

o..

:

(

al, a 2n ) (Y Y2I) :: :

all a 21

:

a/Ifl

Yn

donde Xi e Yi representan las coordenadas de x e y, siendo X e Y las matrices columna de las coordenadas de x e y respectivamente y A = (ali)' es la llamada matriz de la forma bilinealf en la base B = ¡-e" .... e, }, siendo a ij = f(el, e). De esta forma , fijada una base B = {e" ... , e,}, a una forma bilinealfdada , le corresponde una matriz cuadrada A, y só lo una, con lo cual hemos verificado la proposición [7.1.4]. Obsérvese que todos los pasos dados para hacer esta demostración son reversibles, por ello quedan demostradas simultáneamente la implicación directa y su recíproca.

7.1.5. Proposición La matriz asociada a una forma bilinealf: E x E ~ IR con la base B = {e, .... , en) es congruente con la matriz asociada a[cuando se efectúa un cambio de base.

325

7. 1. Formas bilineales

luego la matriz asociada A tendrá la forma :

1-40 )

(-1

Y la expresión analítica de la forma es : f(Ji, y) =

O O 6

0 -3

(XI X,

x,)

) 6 ( YI y,. (- Ol1 -4OO -3O) y,

Ejemplo 7.1.3

( ~ ~ ) la matriz que caracteriza a una form a biljneal en la base B = lelo e, l con el = (1, O), e, = ( 1, 1). Determínese la matri z A' que caracteriza a dicha forma bilineal en la base B' = le'¡, e,l, con e'l = (O, 1), e, = (1, 2), obteSea A =

niendo previamente la matriz de cambio de base P. Solución: Para obtener la matriz de cambio de base, P, hay que encontrar las coordenadas de una base respecto a la otra: (O, 1) =a(l, O) + P(l, 1) (1,2) = 8( 1, O) + re l, 1)

=(- 1, 1)

=>

(a, Pl

=>

(8, y) = (-1, 2)

1 2) . Portanto:P = (- 1l - 21) yA'=P'A P= (- 11 1 2 )( 1l 21)(-1l - 21) = ( 25 Es fáci l verificar este resultado calculando la matriz A' directamente, es decir, hallando las imágenes de y

e', e,.

• Recordemos que las coordenadas de el = ( 1, O) respecto a la base canónica son (l, 0)8 (respecto a la base B) y las coordenadas respecto a B' son:

327

7 Formas bilineales

Las coordenadas de e, = (1, 1) respecto a la base canónica son (0, 1)8 (respecto a B) y las coordenadas respecto a B' son:

7.1.6. Definición de formas bilineales simétricas

f:

E x E ~ IR es fonna bilineal simétrica .,. /(x . y)

=/(y, x), 'V(x. y) E E x E.

7.1.7. Definición de formas bilineales antisimétricas

f: E x E -7 IR es fOn11a bilineal antisimétTica .,. /(x. y) = -/(y. x), 'V(x. y)

E

E x E.

Si el espacio vectorial E es IR" y la matriz asociada A, es simétrica, la forma bi lineal es simétrica real. Un caso particular de apl icaciones bilineales simétricas es el producto escalar.

7.1.8. Teorema La condición necesaria y suficiente para que una forma bilineal sea simétrica es que la matriz asoc iada correspondiente sea simétrica.

328

7.1. Formas bilineales

Demostración: =» En efecto,

si fes simétrica, de la defmición se deduce que:

f(e;, e) = filb e;) (i, j = 1, 2, ... , fI), es decir, a;j = aj;

pero esta es la condición para que la matriz A = (a ;j) sea simétrica. <= ) Recíprocamente, toda forma bilineal asociada a una matriz simétrica A es simétrica: La expresión X' AY es un elemento de IR, y por tanto, la matriz que lo tiene como único e lemento es igual a su traspuesta: X' AY = (X' AY)' = y ' A' X = = y' AX => fiJ:, ji) = ¡¡y, X). Obsérvese que este resu ltado es independiente de la base elegida.

7.1.9. Teorema La condición necesaria y suficiente para que una fomla bilincal sea antisimétrica es que la matriz asociada correspondiente sea antisimétrica.

La demostración de este teorema es similar a la anterior y se deja como ejercicio para el lector.

329

7 Formas bilineales

7.2. Formas cuadráticas

Dada la forma bilineal f: E x E ~ 1H1. si es sinlétrica. genera un tipo especial de formas. las formas cuad ráticas.

7.2.1. Definición de forma cuadrática Q : E ~ lH1 es la forma cuadrática, generada por la fomla bilineal simétrica f: E x E ~ lH1 "" es la aplicaci6n Q : E ~ R, que verifica Q(x) = j(x. x) . Vx E E.

Consecuencia inmediata de la definici6n dada y de la de las formas bi lineo ales. es que dada una base del espacio vectorial E. B = {h 'h .... e, ) y considerando la matriz A simétrica. cuyos elementos son aij = 1(e" ej). se tendrá: Q(x) = X' AX. donde. como es habitual . X es la matriz columna formada por las coordenadas del vector x E E en la base B. Desarrollando la expresi6n anterior obtenemos:

, Q(x)

= 2,aijx;xj = I, }

,

,

2,a;,x; + 22,oijx;xjo I

1 '* )

Se trata de un polinomio homogéneo de segundo grado respecto de las variables x" x, • ... , x" con coeficientes reales. Como se puede observar fáci lmente, las matrices asociadas a una forma bilineal sinlétrica y a su forma cuadrática son iguales.

Ejemplo 7.2.1 Dada la fomla bilineal simétrica real f: 1H1'

330

X

1H1' ~ 1H1. tal que.


Su forma cuadrática asociada es: Q: IR'

---7

IR

I-1I -32) .

( 2 -3

Su matriz asociada es: A = - 1

2

Obsérvese que Q se puede obtener tanto a partir de J, como A a partir de Q(x). Los pasos segu idos son:

1. Sustituir en f{x, y) las coordenadas (y,. Y2, y,) por las coordenadas (x" X2, x , ). 2. Para obtener A se desdoblan los términos rectangulares y se colocan en el lugar correspondiente de la matriz. Es decir, como la matriz es simétrica, el témüno - 6X2X, = -3x,x, -3X,x2 => en la matriz A será a'2 = a2) = -3.

7.2.2. Rango de una forma cuadrática R,mgo de una forma cuadnítica Q(x)

= Rango de la matri/ A asociada a dicha for-

ma.

La expresión de una forma bilineal depende de la base elegida en el espacio vectorial , lo mismo ocurre con la forma cuadrática generada por ella.

7.2.3. Definición de forma cuadrática canónica

,

Q es fonna cuad rática canónica si es de la fonna QCr) =

2:, k,r;

331

7 Formas bilineales

Es evidente que la matriz correspondiente a una forma cuadrática canónica es una matriz diagonal. Según lo visto en el capítulo 6, por ser A una matriz simétrica existe un cambio de base definido por una matriz ortogonal que transform a la matriz simétrica A en una matriz diagonal A'. Es decir, cualquiera que sea una forma cuadrática, se puede reducir a una suma de cuadrados (forma canónica) medi ante una transformación ortogonal. Dado que existen diferentes transformaciones ortogonales que reducen una forma cuadrática a una forma canónica nos podemos preguntar si la transformación elegida influye en dicha fonna reducida. El teorema de Sylvester (también denominado ley de inercia) da solución a esta pregunta.

7.2.4. Teorema de Sy/vester

Al transformar una forma cuadrát ica X'AX en suma de cuadrados. el número de estos cuadrados, y el de los términos afectados de coeficientes positivos y negativos. son independientes de la base utilizada.

Demostración: En efecto, los coeficientes kj son los términos de la diagonal principal de la matriz diagonal A' = p' AP, siendo P la matriz de paso del cambio de base; dichos coeficientes coinciden con las raíces características A.j de A' y con las de A, pues no se modifican con un cambio de base. Por tanto, las diversas reducciones de la forma cuadrática X' AX corresponden a diferentes ordenaciones de los coeficientes A.j, lo que no altera el número de ellos, ni el signo de los que sean distintos de cero.

332

7.2 . Formas cuadráticas

7.2.5. Definición de signatura Signatura de la forma cuadrática Q = Nu' mero de coefic ientes k, > O.

7.2.6. Formas cuadráticas defim'das y semidefinidas positivas Una fomla cuadrática Q es de fin ida pos iti va si Q(x)

=X'AX > O. V x * O.

Una fonna cuadrática Q es semidefinida Ilositiva si QCO

=X'AX <: O. V x * O.

En general, es imposible comp robar la condición dada para todos los vectores, por ello vamos a buscar criterios que permitan clasificar más cómodamente las formas cuad ráticas.

7.2.7. Teorema La condición necesaria y suficiente para que una fmma cuadrática sea defi nida posit iva es que todas las raíces caracter ísticas de la matriz A sean positivas. Demostración:

*

=» Es necesaria, pues si Q(x) = X' AX > O, V X O(tomamos como hipótesis que Q es defi nida positiva ) se verifica en su expresión canónica: X'AX = ;t,x; + ;t,xl + ... + ;t,,x; > O Vx E E cualesquiera que sean las compo· nentes, no todas nulas del vector x, lo que exige que todas las;ti sean positivas.

333

~

7 Formas bilineales

<=) Es suficiente dado que todos los valores de Al son positivos, y QCX) =

" = X' AX = ¿A,xi> l

°\Ix

E

E .. La forma cuadrática es definida positiva.

Con la misma técnica se puede demostrar el siguiente teorema:

7.2.8. Teorema Una condición necesaria y suficiente para que una fO I111a cuadrática sea semidefi nida positiva es que la matriz A sea regular y que las raíces na nulas de la ecuación características sean positivas.

7.2.9. Formas cuadráticas definidas y semidefinidas negativas Una forma cuadrática Q es definida negativa si Q(:I') = X'AX < O. \1:1' '" O. Una forma cuadrática Q es semidefinida negativa si Q(:I') = X'AX $ 0, \1:1' '" O. Análogas conclusiones tendrán los teoremas [7.l.7} y [7.2.8} para las formas cuadráticas defi nidas negativas y semidefinidas negativas, cambiando el signo de las raíces características de la matriz.

Ejemplo 7.2.2 La forma cuadrática Q cuya expresión es : Q(x"

. aSOCIa . da A = ( _ 11 - 11 ) . como matnz

334

X2)

= x; + .lz - 2x,x" tiene


Calculando sus autovaJores I _-A 1 1 I --A

IA -A/ I =

1

=(I - A) 2 - 1 = 1 -2A + A2 - 1= A(A-2)=0=

I

= {A,A2 =0 =2 Su matriz diagonal es : A' =

( ~ ~ ), por tanto, como los autova10res son O

y 2, se trata de una fOnTIa cuadrática semidefinida positiva.

7.2.10. Reducción a la forma de Jacobi lIlI

Toda forma cuadrática Q, cuya matril es A =

" ," (

AJ --

~ O·• A ::! --

..' 1 ' 11"'"

I

1I 1n a "n- I f

a" l ~ O·

"II G I2 1122

..,..

•.•

. A n-.-¡ --

0 2111 11

• .. . •

ll 'VI-·n G 2(n--Il

sepuedeesen·b·Ir cn Ia f Qrma de J aco b·I:A I Vi,

.

cambio de base X = TY, donde T =

.•• lI {II- [)\n-!J

A" ri + ... + --\'~.medtanteel lA 1 , .

+ -~

Al

An_1 -

~

I 1" . . 1 , ) ()'J;,,) I~,

~

(

",O

:

:::

O O ...

ey=

J

y,

La demostración de esta afinnación es larga y no viene al caso, pero el lector curioso la puede hacer por inducción.

335

7 Formas bilineales

Al observar la reducción de formas cuadráticas a la forma de Jacobi, es fácil establecer un criterio para clasificarlas sin necesidad de calcular sus raíces características. Dicho criterio es el que encierra la siguiente conclusión:

7.2. 11. Conclusión: Criterio de Sylvester l. La condición necesaria y suficiente para que la forma Q sea definida positiva es que se verifique A > O. A, > O. ... , A", > O.IA I > O. 2. La condición necesaria y suficiente para que la fonna Q sea definida negativa es que se verifique: A, < O, A, > O. A, < O, ... 3. Si lA I = O, Y se cumplen la condición I o la condición 2 hasta el último A" distinto de cero. la forma Q será semidel'inida positiva O semidefinida negativa respectivamente. 4. En otros casos la fonna Q será indefinida o de signo variable.

También es posible clasificar las fonnas cuadráticas mediante los invariantes .

7.2. 12. Definición de invariantes Invariantes de la forma cuadrática Q: E --) IR son las propiedades de cualquier matriz asociada a la forma cuadrática. que no dependen de la base considerada en el espacio vectorial E.

El rango de una forma cuadrática Q es un invariante (el rango de una forma cuadrática Q de E es el rango de la matriz asociada A) tal como se deduce del capítulo 6, ya que, la relación entre las matrices asociadas a E en un cambio de base es una congruencia (caso particular de equivalencia de matrices).

336

Ejercicios

Otro invariante importante es la signatura (recordemos que la signatura de una forma cuadrática es el número de términos positivos que fi guran en cualquiera de las matrices asociadas que posee) . El teorema de Sylvester demuestra esta importante propiedad. Con lo dicho hasta aq uí, podemos dar un criterio de clasificación de las form as cuadráticas según los valores de sus invariantes:

7.2.13. Clasificación de formas cuadráticas por invariantes Sca E un espacio vectorial de dimensión ti, rg(Q) el rango de la forma cuadrática Q : f:". ~ IR, y sig(Q) la signatura de dicha forma cuadrática. entonces: l. Q es definida positiva si: rg(Q) = sig(Q) = n.

2. Q es definida negativa si: rg(Q) = 1/ Y sig(Q) = O. 3. Q es semidefinida positiva si: rg(Q) = sig(Q) < 11. 4. Q es semidefinida negativa si : rg(Q) < 11 Y sig(Q) = O. 5. Q es indefinida positiva si: rg(Q) # sig(Q) y sig(Q) # O.

EJERCICIOS

Ejercicio 7.1 Dada una aplicación bilineal f: V, x V, n

V = La;v; y ji = 1:: 1

~

IR, con v E V" n

ni

L f3pj. Demuéstrese que: f(v, ji) pi

=

ji E

V" tal que:

m

L L a;f3J(v;, ji). 1=1 p i

So lución: En efecto,

337

7 Formas bilineales

Ejercicio 7.4

Dada la fonna cuadrática Q: 1I\l' ...... 1I\l, tal que, Q(x" x" x,) = 2xl + x~ - x~ - 3X,X2 + x,x" verifíquese que Q(X) se puede representar matricialmente de la fonna : Q(x)

=X' AX, siendo A =

2-2 0) ( ° 0-1 -1

I

1 .

So lución:

( °2-2° 0)(X') x,

X' AX = (x, x, x,) - 1

1

I

x, =

-1

Ejercicio 7.5

Determínese el conjunto de matrices A, para las que se verifica Q(x) = X' AX, referidas al ejercicio 7.4, para todo x = (x" x" x,) E 1I\l' . Solución :

=

(Xlal [

+ x;.za21 + X3G31

x]al 2

+ X 2a 22 + X 3a )2

Xla l 3

+ X2a 23 + X3a33) ~~ X') =

(

= a"xl + a,,x~ + a,,x~ + (a" + a,, )x,x, + (a " + a,,)x,x, + (a" + a32)x,x, = ' , , =2x'\ +X, -X3 - 3X\X, +X, X,

340

Ejercicios

Luego debe ser:

Además:

condiciones que verifica la matri z A dada en el ejerc ic io anterior, pero ex isten infinitas matrices que pueden representar la forma cuadrática Q. Por tanto el conjunto pedido es:

- 3 2--a'2 aIl2 1 -a13a32

{(

-a1 3

0 32

)~

-1

Una matriz de este conjunto es:

A= ( J -1

: -i).

3 -1

Ejercicio 7.6

Del conjunto de matrices obtenidas en el ejercicio 7.5. a) Obténgase la única matriz simétrica B. b) Compruébese que B = 1/2 (A + A'), siendo A la matriz dada en el ejercicio 7.5. Solución: a) Para que la matriz sea simétrica se debe verificm:

341

7 Formas bilineales

además para que pertenezca al conjunto, se debe cumplir que:

luego : 1 G23 =a32 = -

2

o sea que la matriz pedida resulta ser:

2 B = -3/2

( O

-3/2 1 1/2

b) - 1 (A+A') = -

2

1 (( - 21 -21 O 1) + (-2 2 - 11 O O)) = - 1(4 -3 -32 O 1) =

2

2 -3/2

= - 3/2

(

O O- 1

O 1-1

2

O 1-2

O)

1/2 = B O 1/2 - 1 1

Se llega al mismo resultado, cualquiera sea la matriz A, que represente la forma cuad rática dada en el ejercicio 7.5.

Ejercicio 7.7.

Hállense el rango y la signatura de las formas cuadráticas cuyas expresiones son: a) Q(x [, x, ) = 2xi + 3x[x, + 6.x~ 2 2 2 b) Q(x" x" X3) = x[ + 2x, + 4x,x, + 2x3 c) Q(x[, x" X 3) = 3xi + 2x[x, + 2X[X3 + 4X, X3

342

Ejercicios

Sol ución: a) La matriz asociada a la forma de expresión Q(x" x, ) = 2ri + 3x,x, + 6x~, es:

2 3/2) A = ( 3/2 6 ; lA - A1 1 = 2 - A 3/2 1

3/2 6 - A

1

=A' _ 8A +

39

4

=O

Los autovalores son:

= 13/2, A, = 3/2 => sig(Q) = 2 lA I ;t O => rg(Q) = 2

A,

b) La matriz asociada a la forma de expresión Q(x" x,) = xi + 2r~ + 4x,x, + + 2t~, es:

IA-A1 1 =

1- A O O 2- A

O

2

O 2 = (2-A)' (I - A) -4( I- A) =(1-A)A(A - 4) =0 2- A

Los autovaJores son:

A, = 1, A, = O, A, =4

=>

sig(Q) = 2

además, rg(Q) = 2. e) Matriz asociada a la forma de ex presión Q(x" x" x,) = 3x; + a ,x, +

+ a ,x, + 4x,x,: A =

3 1 1) (1l 2O O2 343

7 Formas bilineales

IA - Al I =

1 1) = ,1,' (3-,1,) + 4+2,1,-4(3-,1,)=

3-,1, 1 -A 2 ( 1 2 -,1,

= (3 _,1,)(,1,' - 4) + 2(,1, + 2) = (3 -,1,)(,1, + 2)(,1, - 2) + 2(,1, + 2) = = (A + 2)(_,1,' + 5,1, - 4) = o

Luego los autovalores son : Al = -2; A, = 1; ,1,3 = 4

=> sig(Q)

= 2, además

rg (Q) = 3.

Ejercicio 7.8

Clasifíquense las formas cuadráticas del ejercicio anterior. Solución: A partir de los resultados obtenidos en el ejercicio anterior, llegamos a que: a) La forma cuadrática es definida positi va, pues: rg(Q) = sig(Q) = 2 =

11

b) La forma cuadrática es semidefinida pos itiva, pues: rg(Q) = sig(Q) = 2 < 11 = 3

c) La forma cuadrática es indefinida, pues existen autovalores positivos y autovalores negativos.

Ejercicio 7.9

Clasifíquese la forma cuadrática asociada a la matriz: A = ( para los di stintos valores de x

344

E ~.

-"~

-X) ,

l x-x O O I +x

Ejercicios

Solución:

IA - Al I =

l- A x -x x (I - x)--A O -x O (1 + x)-A

=

l- A x -x x (I - A) - x O = -x O (I - A)+ x

= (1 - A) [(1 - A) - x][( J - A) + x ] - x' [(l - A) - xl - x' [(J - A) + x ] =

= (1 - ,1.)[(1 - A)' - x' ] - 2x'(l - A) = (1 _ ,1.)[,1.' - 2,1. + (- 3x' + 1)] = O

Por tanto es:

A, = 1; A, = l + \Í3x; ,1.3 = l - \Í3x Para que la form a cuadrática sea definida positiva debe ser: rg(Q) = sig(Q) = 11 . Luego:

,1.3 = l - \Í3x > O => x <

~

La forma cuadrática resulta definida positva 'v' x rg(Q) = sig(Q) = 11 = 3. S I· X =

1 óx = V3

E (-

~, ~ ) , ya que, v3

v3

1 la forma cuadrática resulta semidefinida positiva, \Í3

pues rg(Q) = sig(Q) = 2 y n = 3. Para los restantes valores de x la forma cuadrática resulta ser indefinida.

Ejercicio 7.10

, ,

Estúdiese mediante el criterio de Sylvester el carácter de la forma cuadráti, ca expresada por: Q(X) = x - 2y - z + 2xy + xz.

345

8 EL PROBLEMA DE LA PROGRAMACiÓN LINEAL

INTRODUCCiÓN Aunque con la Revolución Industrial ya se buscaban soluciones óptimas a diversos problemas, no es hasta el siglo xx cuando la programación matemática experimenta un mayor desarrollo, debido inicialmente a motivos estratégidos. Ya durante la Primera Guerra Mundi al ex istían di versos grupos, integrados a menudo por científicos, dedicados al análisis de las operaciones tácticas y estratégicas. Por ejemplo, se encargó a Thomas Edison el desarrollo de estrategias para disminuir las pérdidas de navíos mercantes ocasionadas por submarinos, a partir del estud io de sus maniobras. Durante la Segunda Guerra Mundial un equipo de cientlficos fue el encargado de estudiar y desarrollar tácticas asociadas con la defensa de Inglaterra; su objeti vo era determinar la utilización más efectiva de sus limitados recursos militares. La creación de este equipo propició los primeros trabajos forma les sobre lo que luego se denom.inaría la "programación lineal",

Fue Gran Bretaña la iniciadora de los trabajos, pero el liderazgo fue pronto asumido por los EE. UU. , donde la Rand Corporation comisionó a un grupo de matemáticos para resolver problemas de logística del ejército. Fue en este período cuando se acuñó el término Programación Lineal. La palabra "programación" proviene de las aplicaciones a problemas que tratan de programar suministros o distribución de cantidades y el término " lineal" indica que las ecuaciones e inecuaciones son lineales.

347

8 El problema de la programación lineal

Por otra parte, la aparición de los ordenadores propició el desarrollo de técnicas y algoritmos para la resolución de este tipo de problemas, contribuyendo al desarrollo de la programación matemática por moti vos económicos o industriales. La más importante técnica matemática específica en este campo fue la denominada "Método Simplex de programación lineal" que fue dada a conocer en 1947 por el matemático norteanlericano George B. Dantzig. Se trata de un procedimiento iterativo algebraico que resuelve con exactitud cualquier problema de programación lineal en un número finito de pasos, también indica los casos en que hay solución no acotada o simplemente no existe solución. Desde entonces se han desarrollado nuevas técnicas y aplicaciones gracias al esfuerzo y la cooperación entre las instituciones académicas y el mundo empresarial que rápidamente vio la importanc ia y la eficacia de estas técnicas en la resolución de problemas de índole económico, sobre todo en el campo de la organización y la planificación.

348

George Dantzig

GEORGE DANTZIG George Dantzig nació el 8 de noviembre de 1914 en Portland, Estados Unidos. Estudió Matemáticas en las Universidades de Maryland y Michigan. Terminó sus estudios en 1937 y desde este año hasta 1939 trabajó en la oficina norteamericana de Estadísticas Laborales. Durante la Segunda Guerra Mundial trabajó en el Cuartel General de Control Estadístico estadounidense. En 1946 se doctor6 en Matemáticas en la Universidad de Berkeley en California y fue nombrado asesor matemático del Ejército estadounidense. Desde 1952 trabajó como investigador en RAND Corporation y en diversas Universidades (Berkeley o Stanford). Ha sido disti nguido con diversos galardones. Su mayor aportación a las Matemáticas la hizo en 1947, al desarrollar el método simplex mientras trabajaba en el Ejército. Se convirtió en experto en métodos de planificación resueltos con calculadoras de bolsillo, técnica conocida con el nombre militar de programación. Entonces se refería a problemas de organización de maniobras, suministros logísticos o movimiento de tropas. Dantzig mecanizó el proceso introduciendo la programación lineal. La importancia de estos métodos fu e destada por diversos autores, señalando no sólo su impacto en la industria y la economía, sino también que gran parte del tiempo empleado por los ordenadores del mundo está dedicado a programación lineal. Sin embargo. él modestamente escribió "El tremendo poder del método simplex es para mí una sorpresa constante". Tenemos que señalar que, a pesar del tiempo que ha transcurrido desde que se desarrolló el método simplex, el problema original todavía es tema de investigación.

349

,

Organigrama

CAPÍTULO 8 El problema de la programación lineal Solución geométrica al problema en dos variables

Expresión matricial del problema general en n variables

Inconsistente

Convexidad Teorema Fundamental de la programación lineal

Algoritmo Simplex

35 1


8.1 El problema de la programación lineal

Cuando nos enfrentamos a problemas reales, observamos que normalmente los problemas que se pueden plantear como un sistema de ecuaciones lineales (cuya reso lución, como ya se ha visto a lo largo de este libro, nos la proporciona e l Álgebra) son muchos. Pero es más frecuente que nos encontremos problemas donde interese maximizar o minimizar alg una o algunas cantidades. Por ejemplo, una empresa debe seleccionar a sus proveedores para minimizar costes, debe di stribuir las materias primas para la elaboración de diversos productos de ta l forma que la ganancia total sea máxima o si di spone de láminas de plástico para la elaboración de placas de varios tamaños, debe cortarlas para que se aproveche al máximo el material y los beneficios sean máximos. Problemas de este tipo surgieron en relación con la Economía, Medicina o Ingenierías, donde a menudo se plantean problemas con un gran número de variables y con diversas cond.iciones impuestas a estas variables. Estos problemas se pueden expresar matemáticamente como un conjunto de desigualdades lineales y son el origen de la programación lineal.

Ejemplo 8.1.1 Una fábric a de CD-ROM produce dos tipos distintos de discos grabab les : de 74 y 80 minutos. Para la fabricación de cada CD, éste debe pasar por tres máquinas distintas, en el mi smo orden , que llamaremos A, B Y C. Las máquinas A y B tienen un bajo coste de mantenimiento, por lo que su tiempo an ual (máximo) de func ionamiento depende de la disponibilidad de los operarios de cada una de ellas. Por e l contrario, el mantenimiento de la máquina C es muy costoso, por lo que es necesario que esté funcionando un número mínimo de minutos. El máximo anual del tiempo de funcionamiento en esta máquina está condicionado, por los minutos que hay en un año . Estos datos están, obviamente, incluidos en la siguiente tabla, donde además se muestra el número de minutos que necesita cada máquina para fabricar un CD de cada uno de los tipos.

352

8.1. El problema de la programación lineal

Minutos empleados en la fabricación 74min.

80 mino

Minutos de funcionamiento

Máquina A

7

1

$

230400

Máquina B

3

3

$

259200

MáquinaC

2

? 115200 $

525600

Además, sabemos que la venta de cada cn de 74 minutos deja un margen de beneficio de 13 céntimos y el margen que proporciona la venta de cada uno de 80 minutos es de 12 céntimos de euros, ya que ambos se venden al mismo precio y los costes para elaborar un cn de 74 minutos son menores. Teniendo en cuenta estos datos, se quiere determinar cuántos discos de cada tipo hay que fabricar al año para maximizar el beneficio total. Una primera etapa para la resolución del problema es su formulación en términos matemáticos. Hacemos notar que todos los problemas de este tipo presentan unas características com unes. En primer lugar, tenemos una fun ción (en el ejemplo anterior, beneficio) cuyos valores extremos (máximo, en este caso) queremos detenninar. Por otra parte, está sujeta a ciertas restricciones, que en este caso son el tiempo que emplea cada una de las máquinas en la fabricación de cada tipo de CD y los minutos que está fWlcionando cada una al año. En resumen, el problema principal de la programación lineal es optimizar una función üneal, lo que significa calcular los valores óptimos (máximos o mínimos) de una función lineal, llamada función objetivo , sujeta a ciertas restricciones (ig ualdades o desigualdades lineales). Introduciendo una formulación matemática, el problema se traduce en calcu lar máximos o mínimos de la función lineal: óptimo F = c,x, + C2X2 + .. . + c"x" ( 1) si se imponen las restricciones:

353


+ Qs2X2 + + Qs"X'n = bs + G S+ 1.2X2 + .. . + G s+ I."..t n ::;; b + 1

a s lX¡ Q s+ I , ¡X¡

o •

•

S

(2)

+ Q r2X 2 + ... + a,nXn ::;; b, a r+l.l x ¡ + Q ,+ 1.2X 2 + ... + G ,+ I.nXn ~ br+ 1 Q,IX¡

°

siendo las b, no negativas, y X, ~ 0, x, ~ 0, ... , x" ~ (3) Señalamos que tanto la función F como las desigualdades son expresiones lineales de las variables; éste es el origen del ténn ino "lineal". En general, las desigualdades del tipo 5: suelen representar limitaciones de recursos. Las del tipo ~ nonnalmeme significan condiciones técnicas, legales o relati vas a la calidad del serv icio. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad , que b, ~ 0, ya que en caso de no serlo, basta multiplicar la desigualdad por - l . En este punto, y como está siendo habitual a lo largo de este libro, como paso previo para poder resolver matemáticamente este problema, es necesario unificar notación y definir formalmente diversos conceptos (ya hemos utilizado algunos impl ícitamente).

8. 1. 1. Definición de función objetivo Función objetivo es la función lineal F que se quiere optim izar.

8. 1.2. Definición de restricciones Restricc iones son las des igual dades lineales (2) y (3) que deben verificar las soluciones de un problema de programación lineal.

354


Estamos trabajando con puntos de la forma (x" x" ... , x,J, que pueden ser considerados vectores de [R". Claramente ex iste una región en [R" que verifica cada una de las restricciones. Por [o tanto, la intersección de todas ellas, será e[ conj unto en el que hay que buscar las posi bles soluciones que optimizan el problema. Definimos así solución factible, conjunto factible y solución óptima.

8. 1.3. Definición de solución factible Los puntos (x" x, • .... x,) E [[;l' que satisfacen las restricciones (2) y (3) son denominados soluciones factibles .

8,1.4. Definición de conjunto factible Conjunto factible es el conjunto de [[;l' cuyos puntos (x" x" ... , x,,) son soluciones ~ue satisfacen las restricciones (2) y (3) . También es denominado región de posibilidad o convexo solución.

o

El conjunto factible puede ser vacío si las restricciones son incompatibles. / : este caso, el problema de programación lineal no tiene solución. Además, puede ser acotado o no acotado. Intuitivamente, podemos decir que en el plano o en el espacio, un conjunto es acotado si está contenido en un círculo o en una esfera de radio R, respectivamente, y es no acotado, en caso contrario. Por otra parte, se puede suponer que no hay restricciones redundantes o supertl uas, es decir, que no hay restricciones cuya eliminación no significa una modificación del conjunto factible. Más adelante explicaremos por qué el conj unto factible se llama también convexo solución.

355

8 El problema de la programación lineal •

8. 1.5. Definición de solución óptima Solución óptima e aquella solución factible que optimiza (maximiza o minimiza) la función objetivo.

La solución óptima no tiene por qué ser única. Como veremos, un problema de programación lineal puede alcanzar las soluciones óptimas en un segmento o en otro conjunto. Vamos a explicar estos conceptos en un ejemplo.

Ejemplo 8.1.2

Continuando con el ejemplo [8.1.1}, sean x e y el número de discos de 74 y 80 minutos que dicha fábrica produce al año, respectivamente. El beneficio total, en céntimos de euro es F = O.13x + O.12y que es la función objetivo, que queremos maximizar. Además, los minutos empleados para la fabricación de estos discos en las máquinnas A, B Y C serán

7x + y 3x + 3y x + 2y Teniendo en cuenta el número máximo de minutos que pueden estar en funcionamiento cada una de estas máquinas al año, se deben satisfacer las l'elotricciones

7x + y $ 230400 3x + 3y $ 259200

356


x + 2y ~ 525600 x + 2y '2 115200 Obviamente, las cantidades de discos que se fabrican son mayores o iguales que O, por lo que también se debe verificar x~O

y~ O

357


8.2. Resolución geométrica del problema de la programación lineal Aunque los problemas de programación lineal pueden tener ciertos, e incluso miles, de variables, si consideramos problemas donde en la función objetivo F sólo intervienen dos variables (como el ejemplo [8.1.2]), para su resolución se sigue un procedimiento geométrico que resulta muy intu.itivo y que pasamos a describir a contin uación. En este caso, F = C ,X + c,y.

~

Sabemos que la representación gráfica de una ecuación en las variables x e y es una recta en el plano, de ecuación y = nu + b. Consecuentemente, una desigualdad del tipo y $ mx + b, con m ~ Odescri be los puntos (xo, Yo) situados en uno de los semi planos delimitados por la recta anterior (sombreado, en la figura 1). De la misma forma, una desigualdad del tipo Y ~ I1IX + b descri be los puntos (xo, Yo) situados en el otro semiplano (en blanco en la fig ura 1) . A partir de estos argumentos, observamos que cada una de las restricciones a"x + a"y $ $ b" a"x + a,,y ~ b, tienen como conjunto so lución uno de los dos semi planos delimitados por la recta a"x + Cl,,y = b,. Una fonn a sencilla de detenninar, a partir de la recta correspondiente, cuál de los dos semiplanos es el buscado es elegir un punto en uno de los semiplanos y comprobar si satisface la desigualdad. Por ejemp lo, podemos elegir el punto (O, O) y estudiar si O $ b, o, por el contrario, O ~ b,. A partir de estas desigualdades, seleccionamos el semiplano correspondiente.

y = nu+b

(O,b)

Figura I

358

8.2. Resolución geométrica del problema ...

Dado un sistema de desigualdades lineales, considerando dos variables x e y, como los expresados en (2) y (3) de forma general , buscamos el conjunto de puntos que verifique todas las restricciones, es decir, el conjunto factible. Desde el punto de vista intuitivo, claramente la solución óptima debe estar en la región del plano que es la intersección de todos los semiplanos definidos por las desigualdades, ya que debe verificarlas todas simultáneamente.

Ejemplo 8.2.1

Vamos a determinar geométricamente el conjunto del ejemplo [8.1.2] Las restricciones son

7x + y ~ 230400 3x + 3y ~ 259200 x+2y~ 115200 x + 2y ~ 525600 x~ O

y~ O

Los semiplanos correspondientes a las cuatro primeras des igualdades se muestran en la figura 2. Como hemos indicado antes, una forma sencill a de determinar, a partir de la recta correspondiente, cuál de los dos semiplanos es el buscado es elegir un punto en uno de los semi planos y estudiar si satisface la desigualdad . Por ejemplo, si escogemos (O, O) observamos que satisface 7x + y ~ 230400, por lo que sombreamos el semiplano en el que está. Tenemos que señalar que la última de las restricciones es superflua, es decir, su eliminación no modifica la región factible, ya que los puntos del primer cuadrante que verifican la primera restricción también verifican ésta. Por otra parte, las restricciones x ~ O, Y ~ O significan que las soluciones van a estar en el primer cuadrante, que será el que consideremos. Así, la intersección de los cuatro semip lanos de la figura 2 con este cuadrante nos proporciona la región correspondiente al conjunto factibl e (figura 3). Observamos que el segmento de recta que une dos puntos cualesq uiera del conjunto factible está dentro de dicho conjunto. Esta característica la verifican siempre los conjuntos factibles, como veremos más adelante.

359


7x + y = 230400 3x + 3y = 259200

x + 2y = 525600

x + 2y = 115200

Figura 2

7x + y = 230400 3x+ 3y = 2592 x + 2y = 1152oo

Figura 3

Una vez que sabemos cuál es el conjunto facti ble de un problema de programación lineal, necesitamos saber cómo "elegir" la solución óptima dentro del conjunto. En este caso, los conjuntos factibles van a estar delimitados por poligonales abiertas o cerradas. Vamos a llamar vértices (concepto que genera-

360


li zaremos más adelante) a la intersección de las rectas que fo rman la poligonal. Cuando tenemos los vértices que delimitan el conj unto facti ble, a partir del siguiente teo rema podemos determinar la solución óptima o las soluciones óptimas entre todas las posibles.

8.2.1. Teorema Si una función objetivo F de un problema de programación lineal definido en el plano alcanza su valor extremo (m,íximo o mínimo) en una solución factible. entonces este valor extremo se asume en un vértice del conjunto. o en el segmento que une dos vértices La demostración de este resultado se escapa de los objetivos de esta sección, pero señalamos que se basa en que los valores de la función objetivo son constantes a lo largo de cada recta de 1R2 de la forma c,x + c,y = k, denominadas curvas de nivel. Estas rectas son todas paralelas entre sí y, por lo tanto, los valores extremos se alcanzarán al menos en uno de los vértices del conjunto factible (figura 4). Para una demostración detallada, consu.ltar (Fraleigh y Beauregard, 1989).

Figura 4 El resultado anterior sugiere el siguiente procedimiento para hallar el máximo o mínimo de una función objetivo, sujeta a unas restricciones :

361


l . Detenninar el conjunto factible. 2. Determinar si se alcanza un valor extremo en este conjunto. 3. En caso de que se alcance, determinar las coordenadas de los vértices del conj unto factible. 4. Calcular el valor de la función objetivo F en los vértices. El valor mayor (o menor) obtenido es el máximo (o, respectivamente, mínimo) de F en el conjunto factible. El segundo punto es el que, en principio, plantea mayores problemas. En general, podemos afirmar que si el conjunto factible es acotado, entonces la función objetivo alcanza en él su máximo y su mínimo. Si el conjunto no es acotado, entonces puede no alcanzarse ninguno, uno de ellos o los dos, como se verá en los ejercicios.

Ejemplo 8.2.2 Siguiendo con los ejemplos [8.1.2] y [8.2.1], los vértices del conjunto son los puntos (0,57600), (0,86400), (24000, 62400) y (26584.6,44307.7), como se aprecia en la fi gura 5.

(0,262800)

x + 2y = 525600

(0,230400~)~----':':..:':..:C~~_ _ 7x + y = 230400

(0,86400) 3x + 3y = 259200 (0,57600)

x + 2y = 115200

Figura 5

362

(24000, 62400) (26584. ,44307.7)


La función factible F(x, y) = 0. 13x + 0.12y en los vértices toma los valores F(0,57600) = 69 12 F(0,86400) = 10368 F(24000 , 62400) = 10608 F(265 84.6, 44307.7) = 8772.9

Luego para obtener el máximo beneficio se deben fabricar 24000 discos de 74 minutos y 62400 discos de 80 minutos al año.

363


8.3. Expresión matricial del problema general en n variables

Para problemas donde intervienen dos variables, la resolución geométrica es un método muy intuitivo y relativamente sencillo. Sin embargo, con gran frecuencia se plantean problemas de mayor complej idad, donde el número de variables que intervienen es mayor y su resolución no es posible empleando este método. Para resolverlos, intentaremos reducir nuestro problema a otro cuya resolución conozcamos, técnica habi tual en Matemáticas. Hemos estudiado cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales. Por tanto, nos puede interesar transformar las desigualdades en igualdades, ya que así tenemos un método para detenninar las soluciones. Esta transfonnación es posible introduciendo unas nuevas variables, denominadas variables de holgura.

8.3. 1. Definición de variables de holgura Las variables de holgura son unas variables X,+J, .. . , X,.m;:: O. que se introducen en el conjunto de restricciones de un problema de programación lineal, de tal f0I111a que las desigualdades se transfonnan en igualdades .

La introducción de las variables de holgura se realiza, introduciendo la va-

i¡~ble x,.,de~ron11a que se cl,tenga un~lgu~dad, te.:iJendo en cuenta que d(;ben ser siempre mayores o iguales a cero: a kl X ¡ a ,u x ,

+ Q .l2X 2 + ... a knXn ~ bAr es equivalente a GkIX ¡ + G,u..t'2 + + a knXn + Xn+k == bk + a kzX2 + ,.. Qb,.Xn '2! bAr es equivalente a QkIX, + QK2X2 + ... + ll knX n - X n+k = bk o ••

Obviamente, si las restricciones son igualdades, no es necesario introducir en ellas variables de holgura. Por otra parte, el coeficiente de estas nuevas variables en la función objetivo debe ser siempe en +, = O para i = J, ... , m. En una restricción del tipo ~, la variable de holgura significa cantidad de recursos no


te, las fil as de A representan las restricciones y sus columnas las variables totales (es decir, las del problema más las de holgura) y todas las componentes de b son mayores o iguales a cero.

Ejemplo 8.3.1 Dado el siguiente problema de programación lineal, introducir las variables de holgura y expresarlo en forma matricial. óptima F = 3x, -x, + x, x, + 2x, = 2 x, + 4x, ~ 8 { X I - X2 -X3 ~ 5 Hay dos desigualdades, por 10 que introducimos dos vari ables de holgura: x, y x,. Las restricciones se pueden expresar como X, {

+2x, =2

x, + 4x, + x, = 8 XI -X2 -X3 -Xs = 5

La expresión matricial del problema es

óptimo F = 3x, - x, + x,

x,

~

g) ~:x,

2 O 0 1 4 ( I - 1 - 1 O- 1

x,

Observamos que en este problema aparecen no sólo las variables del proceso, sino también las variables de holgura que hemos introducido. Una vez que

366

8.4. Conjuntos convexos

8.4.2. Definición de segmento Un segmento de extremos PI y p¡ es el conjunto de todas las combinaciones lineales convexas de los puntos P I y P,.

Esta definción coincide con la idea geométrica que tenemos de segmento. Si tenemos dos puntos en el plano P , =(x" YI) y P2 = (X2, Y2) , una característica común a cualquier punto P del segmento que los une, con coordenadas (x , y) es que x, :s; x :s; X2 e y , :s; y :S; Yo, como se muestra en la figura 6. Para que se verifique esto y, además, que los puntos estén en la recta que los une, debe ser x = aXI + (1 - a )x2 e y = ay , + (1 - a )y, para O :s; a :s; 1. Esto es lo mismo que decir que P es una combinación lineal convexa de P, y P, . y

p

= (x,y )

x Figura 6

8.4.3. Definición de conjunto convexo

e es Wl conjunto convexo si dados dos puntos de él cualesquiera. P, y P, . cualquier combinac ión lineal convexa de ellos está incl uida en el conjunto.

369


A partir de la defini ción de segmento, podemos afiml ar que un conjunto convexo es aquel que contiene el segmento que une dos puntos cualquiera de él. Para aclarar geométricamente el significado de los conj untos convexos, en la figura 7 hemos representado un conjunto convexo (a) y dos conjuntos no convexos (b) y (e). Señalamos que el conjunto (e) no es convexo porque está fo rmado por dos componentes, a pesar de que cada componente sí es convexa. (a)

(b)

(e)

Q

P

Figura 7

Ejemplo 8.4.2 Ejemplos de conjuntos convexos son: una recta, un círculo, los puntos interiores a un rectángulo, a una esfera o a un paralelogramo. Otro ejemplo de conjunto convexo es un segmento. Demostremos analíticamente que un CÍrculo es un conjunto convexo. Los puntos (x, y) del círculo centrado en el origen verifi can 1 + y' ~ R' , donde R es su radio. Sean (x" y,) y (x" y,) dos puntos del círculo. Entonces un punto (x, y) que pertenece al semento que los une verifica

x = ax, + ( 1 - a)x, y = ay, + (J - a)y,

g,ara al~n a, O ~ a ~ 1. Ha~ 'l1!e demostrar 'l1!e x' +

370

t' ~ R' :


x' + y' = (ax, + (1 - a)x,)' + (ay, + (1 - ~)?,!, (~ _ a)' y; + 2a( 1 - a) y,y, = _ c1xi + ( 1 - a)' x~ + 2a(J - a) XIX, + ay, + ' ( '2 ' ) + (1 _ a)' (x~ + y; ) + 2a(1 - a)(x,x, + y,y,) ~ = a XI + YI ? 1: 1: ~ c1R' + (J + c1- 2a) R" + 2a(1 - a)R = R . d l oducto escalar de dos vectores Hemos utilizado las proPledda~e:n e P;ue forman está comprendido en(x" y,) y (x" y,) y que el coseno e gu lO , tre - 1 y 1 XIX,

+y,y, ~ (x" y,){x" Yl) = \$x" YI)\\ \\(x" y,)\\ cos a S V;(¡ +f¡ VJi+f, S R'-

\....$.'t~~\).'\\ C\lC"s\\) es un conjunto convexo. Suponiendo tres variables se de-

muestra, i~a\ro.<:.~t..J::. , ~~~ ~"''h't'\,\'e\'a'ÍJ\\~a e~ 11\\ CO\\)I1\\\O co\\vexo.

8.4.4. Definición de vértice Un punto P de un conjunto convexo C es un vértice si no se puede expresar como combinación lineal convexa de otros dos puntos cualquiera de C, distintos de P. También se denomina punto extremo de C.

De nuevo, para un polígono en el plano, la idea geométrica de vértice coincide con esta defmición de vértice, ya que los puntos de los lados o el interior del polígono son combinaciones lineales convexas de los puntos de los vértices geométricos. Los únicos puntos que no son combinación lineal convexa son ellos mismos.

8.4.5. Propiedades de los conjuntos convexos ¡ . Los puntos que verifican una desigualdad del tipo a,x, + a,x, + ... + a"x, ~ b son conjuntos convexos. 2. La intersección fmita de conjuntos convexos es convexo.

371


Demostración: l . Sean Ct" X2, .. . , x.) e (y" y" ... , y.) dos puntos que verifican la desigualdad. Consideramos un punto (Z " z" .. ., z.) que sea combinación lineal convexa 1 tal que, para i = 1, ... , n es de ellos. Se verifica que exi ste O

"A"

Zi

=

M i

+ (I - A)Yi

Entonces

a,z , + a,z, + .. . + a.z. = a , (.<.tl + (I - A)YI) + ... + a. (M. + (1 - A) y.) = = A(a,x, + ... + awt.) + ( 1 - A)(a ,y, + ... + a.y.) "Ab + (I - A)b = b por lo que el punto (ZI, z" ... , z.) también verifica la desigualdad. 2. Sean C , y C, dos conjuntos convexos. Dados dos puntos P y Q cualesquiera de la intersección, obviamente los puntos están en los dos conjunt Por tanto, también el segmento que los une está en los dos conjuntos y, consecuentemente, está en la intersección. Luego el conjunto intersección es convexo. Por inducción se demuestra para cualquier intersección finita. Recordamos que la unión de conjuntos convexos no tiene por qué ser convexa, como mostramos en la fi gura 7(c) .

OBSERVACIÓN Como no hemos impuesto ninguna condición a los valores de b, entonces los puntos que verifican una desigualdad del tipo a,x, + a,x, + ... + a.x, 2 b tam bién son un conjunto convexo. Y, consecuentemente, también lo serán los puntos que verifican a,x, + a,x, + ... + a.x. = b. Teniendo en cuenta que los puntos que verifican cada una de las restricciones de un problema de programación lineal fonnan un conjunto convexo, y que la intersección de conjuntos convexos es convexa, podemos enunciar el siguiente teorema. Este resultado será clave en la resolución de problemas de programación lineal.

372


8.4.6. Teorema El conjunto factible de un problema de programación lineal es un conjunto convexo.

Ejemplo 8 .4.3

Consideremos el siguiente problema de programación lineal. óptimo F = x + y

x + y2:S {

x -y~ 2

x 2: 0,y2: 0

En primer lugar, representamos gráficamente los puntos (x , y) que verifican las restricciones, es dec ir, representamos el conjunto convexo definido por

x + y 2: S, x - y ~ 2, x 2: O, Y 2: O

x=O

x-y= 2

(O,S)

~~~

____~__ y =O x +y = S Figura S

373


Como se aprecia en la figura, este conjunto es convexo y sus vértices son los puntos definidos por la intersección de las rectas (x

+ y = 8) n (x -

y = 2), (x

+ y = 8) n (x = O)

es decir X+ Y =8 { x-y=2 X+Y=8 {

=> x =5, y = 3

=>x = O, Y = 8

x=O

Además, observamos que este conjunto no es acotado.

374

------------........ 8.5. Teorema fundamental de la programación ...

8.5. Teorema fundamental de la programación lineal

Las defmiciones y propiedades que hemos enunciado en el apartado anterior nos van a permitir generalizar el método de resolución geométrica que hemos estudiado en el plano. Para poder resolver problemas de optimización de cualquier dimensión. nos falta especificar qué puntos van a ser los candidatos a extremos. El Teorema fundamental de la programación lineal nos los proporciona.

8.5. 1. Teorema fundamental de la programación lineal

e

l. Toda función lineal F definida sobre un conjunto poligonal convexo acotado toma sus valores máximo y mínimo sobre los vértices de dicho conjunto. 2. Si el extremo se alcanza en más de un vértice, entonces la función también alcanza este valor en cualquier comb inación lineal convexa de dichos vértices.

Demostración: 1. Vamos a esbozar la demostración de este resultado. ya que ilustra la im-

portancia de los conjuntos convexos para problemas de programación lineal . Para la demostración de la primera afirmación. vamos a partir de que cada punto del conjunto considerado se puede expresar como combinación lineal CODvexa de sus vértices V" V2, .... V, (cuya demostración vamos a omitir en este texto). Si P es un punto del convexo, esto significa que se verifica

e

, P= a,V, +a2V2 + ... + a,V, con 2:a, = I i= 1

Además, si F es la función lineal que queremos optimizar. podemos suponer sin que esto suponga una pérdida de validez del razonamiento, que están ordenados de forma creciente, es decir. que se verifica

375


F(V,) $ F(V,) $ ... $ F(V,)

Entonces, por ser F lineal es F(P) = F(a ,V, + a,V, + ... + a,v,) = a ,F(V,) + a,F(V,) + ... + a,F(V,)

,

Como

La;=

j::: 1

1, se verifica que

F(V,) = a,F(V,) + a,F(V,) + ... + a,F(V ,) $ F(P) $ $ a,F(V,) + a,F(V,) + ... + a,F(V,) = F(V,)

para cualquier punto P de e, hemos demostrado que los máximos y mínimos de F en e se alcanzan en los vértices del conjunto C. 2. Demostremos la segunda afmnación. Supongamos que el óptimo de la función se alcanza en más de un vértice; llamenos A " ... , A, a estos vértices y M al valor óptimo de F en estos vértices. Sea Q un punto que es combinación lineal convexa de estos vértices

, Q = {3,A , + ... + {3,A, con L{3; = I

, Entonces, como L {3; = I es i= l

1:0 )

F(Q) = F(f3 ,A , + ... + {3.A,) = {3,F(A ,J + .. . + {3,F(A,) = {3 ,M + ... + {3,M = M por lo que el extremo también se alcanza en cualquier punto Q que es combinación lineal convexa de estos vértices. Finalmente, añadimos que si el conjunto factibl e no es acotado, no tiene por qué verificarse este Teorema fundamental, como veremos con un ejemplo.

Ejemplo 8.5.1 Vamos a determinar los valores extremos del problema de progranlación lineal F= X + 2Y + 3z x + y + z$3 { x ~ 0, y ~ 0, z ~

376

°

8.5. Teorema fundamental de la programación ...

Primero tenemos que detenninar los vértices del conjunto factible. Representamos gráficamente este conjunto, que es un triedro (figura 9).

z (0,0,3)

(0,3,0) Y (3,0,0) x

Figura 9

Observamos que sus vértices son los puntos V, = (3, O, O), V2 = (O, 3, O), V3 = (O, O, 3) Y V. = (O, O, O), que podemos detenninar como la intersección de los planos en 1R3

r+ Y + Z=3 { x =O, Y =O, z =O Como el conjunto delimitado por las restricciones es un convexo acotado, sabemos por el Teorema fu ndamental que alcanza en sus vértices los valores máxi mos y mínimos. Por tanto, para detenninar en qué puntos alcanza estos valores, basta obtener el valor de F en estos puntos.

F(O, O, O) =O, F (3 , O, O) =3, F(O, 3, O) =6, F(O, O, 3) =9 Luego el mínimo se alcanza en el punto V. = (O, O, O) Y el máximo en V3 = = (O, 0,3).

377


Ejemplo 8.5.2

En el ejemplo 8.4.3 representamos el conjunto dado por las restricciones y determinamos sus vértices. Vamos a estudiar dónde alcanza la función F sus óptimos. Como F es creciente para x e y crecientes no va a tener un máx imo en el conjunto factib le. Sin embargo, sí es posibl e determinar dónde alcanza el mínimo, ya que va a ser en lll1Q de sus vértices. Calculamos

F(S, 3) = S + 3 = 8 F(O, 8) = O + 8 =8

Por tanto, como alcanza el mínimo en los dos vértices, también va a ser mínimo el valor de F en el segmento que une estos dos puntos, es decir, en los puntos que son combinación lineal convexa de los dos vértices. Que F no tenga máx imo en e l conjunto factible no contrad ice e l Teorema fundamental, ya que el conjunto factible no es acotado.

378

8.6. Algoritmo simplex

8.6. Algorit mo simplex

El propósito de esta sección es exponer un proceso algorítmico para calcular la solución ópti ma de un problema de programación lineal dado. El método se denomina Método Simplex, como indicamos en la introducción del capítulo, fue ideado por G. B. Dantzig. Se trata de un proceso iterativo tal que en cada bucle mediante ciertos cambios en las variables que tomamos como básicas, se pasa de un vértice a otro contiguo que es una solución factible, y que mejora la fun ción objetivo o la deja como estaba. La repetición de este proceso conduce a la solución óptima. Una de sus principales virtudes es que pennite la resolución de un problema de más de dos variables sin tener que determinar todos los vértices de la región factible. Además como es un proceso algorítmico, su resolución está implementada en diversos programas de cálculo simbólico, como por ejemplo Maple; también se puede encontrar en paquetes comerciales de software dadas sus innumerabl es aplicaciones.

El problema de programación lineal que resuelve el método simplex es max r:.. = c,x, + C2X2 + ... + C,X, Ax~b

{ Xi ~ 0, para i =

] , ... , Il

Exi sten problemas más generales (como los que contempla cualquier tipo de restricción), que ya hemos estudi ado y resuelto por e l método geométrico en el caso de dos variables. La idea del método simplex para su resolución es la mi sma que la que se expone a conti nuac ión. Sin embargo, e l algoritmo es más complicado. ya que requiere la in troducción de unas vari ables (denominadas ficticias o artificia les) que proporcionan de forma inmediata una soluc ión básica no degenerada. Por este motivo, sólo vamos a considerar en este capítulo e l problema donde todas las restri cciones son del tipo ~ . Para un a descripción de la resolución de problemas más generales remitimos al lector a la bibliografía (por ejemplo, Fraleigh y Beauregard , 1989 ; de la Vill a, 1994).

379


Obsérvese que este problema resuelve el problema equivalente del mínimo, ya que mm F

*" - max(-F)

El primer paso en la resolución de estos problemas aplicando el método simplex es normalizar el problema con las variables de holgura x"+" ... , X"+m

t

nax

~ = c,X, + C2X2 + ... + c"x"

AX=b X i ~ 0, para i = 1 , ... , n + m

La resolución práctica que vamos a describir del Algoritmo Simplex, se basa en la utilización de diversas tablas. Se parte de un vértice que es solución 'u'í,,\IC,d, 'g'C\'I'C~d\ID'C\'I\'C \1'., ... " , ... ,1'.) "j)'a1'd \ws 'V'a1'l'il'o\e~ m)t:;)<¿¡)e~ , ~e e~tO\'úa S) e~a solución es óptima; si no es, se pasa a otra solución básica que mejora la fun ción objetivo F, es decir se pasa a un vértice contiguo y se estudia si se alcanza en 'el .;¡ m'axllTIo. 'S I no es a~l , se repIte de nuevo eJ proceso,'nasta fficanzar eJ ~

.....

máXtnlo. Vamos a describir detalladamente el Algoritmo del Método Simplex y analizar a continuación cada una de las fases utilizadas.

380


ALGORITMO DEL MÉTODO DEL SIMPLEX Construcción de TABLA INlCIAL

1

SI

FIN

encontmda?

2

NO Determinación de la COLUMNA PIVOTE

3

Detenninación de la FrLA PIVOTE

4

Conversión de la columna PIVOTE en BÁSICA

5

l. Construcción de la tabla inicial X,

Xn

.\"n+l

all

G ln

X n+m

a mi

a mo

O

FO

--e,

--e.

O

X n+1

X n+m

O

Jj

b,

bm

O

O

381


Como ya indicamos, las variables X,+I, ... , X,.m son las variables de holgura que nonnalizan el problema inicial (convierten en igualdades las desigualdades ::;). La última columna 7J es el vector de componentes los ténninos independientes de cada una de las ecuaciones dadas. La fi la j - ésima tiene como entr adas los coeficientes de las variables de la restricción j -ésima. La última fil a FO es la fil a objeti vo y tiene como entradas los coeficientes de la función objetivo escrita de la fonna:

La fi la objetivo contendrá datos que indiquen qué variables no básicas deberán modifi carse para convertirse en básicas.

2. ¿Es óptima la solución encontrada? Consideramos la solución (XI, ... x,,, X,+¡, ... , X,.m) = (0, ... , 0, b¡, ... , bm) , para este punto las variables no básicas son XI , ... , X, Y las variables básicas son X,+ I, ... , x,.",. El valor que toma la fun ción a optimar F, en la solución óptima considerada, viene dado por la última entrada de la fi la objetivo FO. En este paso p~demos ~~ilizar-el TEST d'"e "MAxIMALIDAD: "Si la FO no tiene valores negativos hemos llegado a una solución óptima",

La columna pivote o vari able de entrada es la columna a la que pertenece

~~~\\\~~\)\.~~~~""'\,"'ü~~~~~~E.:()' , •

~o ~e \le\\e e\\ c\\e\\\'
382

.

Si hay dos que son igualmente lo~ más negativos, se puede eleglr uno


Puede ocurrir que ningún coefi ciente de la columna pivote sea positivo, es decir, todas las entradas son negativas o cero. Esto significa que F no está acotada, probablemente el problema esté mal modelado o el problema no tiene solución.

4. Determinación de la FILA PIVOTE Partiendo de la columna pivote (columna i -ésima) en ella consideramos

{

-b

k

tal que G"

~

O, 1 5, k 5, m}

a ki

y calculamos:

El índice} nos determina la fi la pivote buscada, que es la} -ésima. No se tiene en cuenta la fila objetivo, FO. Si hay dos cocientes iguales, se elige al azar y si la selección nos lleva a un ciclo sin fin se vuelve al lugar de empate y se selecciona otro. El elemento (j, i) que pertenece a la columna pivote y a la ftla pivote se llama elemento pi vote.

s.

Conversión de la COLUMNA PIVOTE en BÁSICA El elemento pivote lo convertimos en 1, dividiendo la fila pivote por Gj; y aplicando el método de Gauss-Jordan (es decir, realizando operaciones elementales con las filas de la tabla), obtenemos O en todos los coeficientes de la columna pi vote, excepto en el elemento pivote que es 1. Mediante las transformaciones oportunas en las filas la nueva tabla que resulta es de la forma

383


XI

Xi

X,

Xn+1

a~1

o

al,

,

,

Xi

aj]

Oj fl

X n+l

,

o

X n+m

Xn+m

b b;

b')

b;"

,

el

Cm

La variable Xi entra como variable básica, y la variable x '+i sale como variable básica. La nueva solución que consideraremos será: (x" ... , Xi,

... , X'" Xn+h .. " X n+b ... , X n+m) :;:::

(O, ... , bj. .. ., O, b~, ... , 0, ...• b~)

• El proceso se repite hasta que la función objetivo FO no tenga entradas negativas. Si existen columnas con todas las entradas negati vas, la solución no está acotada v,t:!. ~"-Q..b..~IlR.IlR~~S9...~i4..1\,.,

Ejemplo 8.6.1 Calcular mediante el Método simplex, la solución óptima del problema de

programación lineal siguiente

384

2


max F = 3x¡ + 2x, + x, X¡ +X2 -x, ~ 10 { 2t¡ + x, + x, ~ 6 x¡~ 0, x, ~ 0, x, ~

°

El Qrimer \laso e~ nO"1Ynh'La~\", ,n\1"óuc\enó" \a~ vaúa'o\es óe ho\gura, )4, x,. TIax z = 3x, + 2x2 + X, + OX4 + Ox, XI +X2- X 3 +X4=

10

{ 2x¡ +X2 +x, +x, = 6 X; ~ O parai= 1 ... 5 Estamos en las condiciones idóneas para apr¡car pasos serían :

algori~no

simplex. Los

l. Construcción de la tabla inic ial

Xl

X4

l

x,

2

FO

-3

x,

-2

x,

X4

-1

1

-1

° °

X,

b

°

10 6

°

°

2. La solución encontrada es (0, 0, 0, 10,6) Y no es óptima como se puede comprobar (el valor que toma F es O), aunque no haría falta, ya que en la FO hay entradas negativas. 3. Determinación de la COLUMNA PIVOTE. Nos fijamo s en la FO y el elemento más negativo es -3, por tanto, la primera columna es la columna pivote.

385


4. Determinación de la FILA PIVOTE Los cocientes a considerar son: -

10 6 yI 2

La fila pi vote buscada es la segunda porque ~ < JQ.. 2

I

El elemento pivote es la entrada (2, 1). Por lo tanto la variable X, entra como variable básica y sale la variable X5, pasando a ser variable no báSIca.

5. Conversión de la columna PIVOTE en BÁSICA. Dividimos por 2 la fila pivote, F, H _1 F 2 Y seguimos Hamando F, a esa fiJa. 2 Aplicando el método de Gauss-Jordan, transformamos las entradas de la columna pivote distintas del elemento pivote en ceros. Los otros cambios a efectuar en las filas son:

F , HF,- F, F, H F, + 3F2 La tabla que resulta es:

X,

x,

X4

O

-

x,

1

FO

O

386

x,

I

-

2 1 2 - -

-3 2 1

2 1

2

-

1

2

X4

X5

1

- -

O

2

O

-

b 1

2 1

3 2

10-3

3

9


-

Si nos fijamos en la nueva FO vemos que todavía existen entradas negativas, por tanto la solución obtenida (3, O, O, 7, O) mejora la anterior (F = 9) pero no es la solución óptima buscada. Entonces repetimos los pasos 3, 4, 5. 3. Determinación de la COLUMNA PIVOTE. El elemento más negativo de FO es - _1 , luego la columna pivote es la segunda. 2 4. Determinación de la FILA PIVOTE. Los cocientes que consideramos son:

7 3

2

y

3 1

2

por tanto, la fila pivote es la segunda. El elemento pivote es la entrada (2,2). En este caso, la variable x, entra como variable básica y sale la variable X l.

5. Conversión de la COLUMNA PIVOTE en BÁSICA. Las transfonnaciones son, primero en la fiJa pivote, F, en las demás fijas:

H

2F" Y luego

1 F, HF, - - F, 2 1 F,H F, + - F, 2

387


Xl

X,

XJ

X4

X,

X4

-1

o

-2

1

-1

X,

2

1

o

FO

1

o

o

2

b 4 6

I

12

La fila FO tiene todas sus entradas no negativas, por tanto el método simplex nos asegura que la solución (O, 6, O, 4, O) es óptima y el valor máximo que alcanza la función es 12. Por tanto, la solución para el problema inicial es (O, 6, O).

EJERCICIOS

Ejercicio 1

Una azucarera produce diariamente 600 kg de azúcar moreno y 1100 kg de azúcar blanco. Dicha azucarera vende dos tipos de azúcar mezcla: la primera mezcla (A) que tiene 3 partes de azúcar blanco por cada parte de azúcar moreno y la segunda mezcla B tiene 2 partes de moreno por cada parte de azúcar blanco. Se pretende que los beneficios sean máximos sabiendo que las ganancias de la azucarera son de 80 céntimos de euro por kg de azúcar mezcla (A), y en el azúcar mezcla de tipo (B) se gana 11 céntimos de euros/kg. Además, el azúcar sobrante de ambas mezclas se vende para animales con un beneficio neto de 8 céntimos de euro por cada kg. Se pide la función objetivo, las restricciones y los vértices de la región factible. Solución: La siguiente tabla resume la información que tenemos de la azucarera

388

Ejercicios

Tipos de azúcar

Kg para A

Kg para B

Sobrante

Moreno

x

2y

600 - (x + 2y)

Blanco

3x

y

1lOO - (3x + y)

Total

4x

3x

17oo -(4x +3y)

Las ganancias en euros se obtienen de la ecuación: 0.8· 4x + 0.11 . 3y + 0.08(1700 - 4x - 3y) = = (0.8 - 0.08 )4x + (0.11 - 0.08 )3y + 1700 . 0.08

Simplilicando se obtiene la función objetivo. F = 2.88x + 0.09y + 136

Las restricciones son: X +2r ;; 600 3x+y~ 1100 { x;:: O, y;:: O y los vértices son (O, O), (O, 300), (1100/3, O), (320, 140). Estos vértices obtie-

nen representando la región y calculando los cortes correspondientes. y

(0,300)

(320, 140)

( lIOO/3, O) (O, O)

x

389


Ejercicio 2

2x~y 3x-y~8

Dado el sistema

{

.

< 6' se pide representar gráficamente la reglón x. + y_ y~3

del plano que verifica todas las desigualdades que lo componen. ¿Es superflua alguna desigualdad? ¿Se puede añadir alguna desigualdad para que la región sea acotada: Solución: Para resolver el problema vamos a representar los convexos que determinan cada una de las restricciones, considerando el convexo que se obtiene cada vez que añadimos una desigualdad. La gráfica para 2x ~ Y es el convexo

15

10 5

2

4

6

8

Si consideramos la desigualdad siguiente quedará el convexo definido por

2,~y

{ 3x- y ~ 8

390

Ejercicios

15

10

5 4

6

Si añadimos una desigualdad nueva,

8

2< ~y

3x - y ~ 8 resu ltará: { x+y S 6

20 10

6

De momento como se puede comprobar gráficamente, no hay ninguna superflua porque el conjunto convexo cambi a con cada nueva desigualdad que hemos considerado.

2r ~y

Para terminar, representamos

3x - y ~ 8 { x+y S 6 yS 3

391


20 10

o

4

6

- 1

Por lo tanto como se puede observar la última desigualdad y S 3 es superfl ua, porque añadirla no ha supuesto ninguna variación en el conjunto convexo. Observamos que el conjunto no es acotado. Sin embargo, podemos añadir cualquier restricción del tipo k.x - Y ~ b con k ~ O, b > 8 Yel conjunto delimitado por todas las restricciones sí es acotado, como se puede observar en la figura.

20 10

O

6

- 1

Ejercicio 3 Un agricultor dedicado al cultivo de fresas vende su mercancía exclusivamente a dos distribuidores, que llamaremos A y B. El coste, por tonelada, del transporte para el distribuidor B es tres veces mayor que los costes del trans-

392

Ejercicios

porte para el distribuidor A. Este año la cosecha recogida durante el mes de abril han sido 9 toneladas de fresa. Por la experiencia de otros años, se sabe que la mitad de la cantidad de fresa vend.ida a A más la cantidad vendida a B siempre oscila entre 5 y 8 toneladas. Se pide plantear el problema y detenninar cuántas toneladas deben venderse a cada distribuidor para que los costes sean mínimos.

Sol ución: En primer lugar, tenemos que pl antear el problema. La función a minimizar es el coste del transporte; como sabemos que el coste, por unidad, del transporte para el distribuidor B es tres veces mayor que los costes del transporte para el distribu idor A, la función objetivo será

x + 3y ll amando x e y a las toneladas de mercancía vendida a los distribuidores A y B respectivamente. La condición de que la cantidad total de fresa recogida en abril es 9 toneladas se puede expresar como

x+y=9 Por otra parte, las otras dos condiciones son l

-x + y~8

2

l

-x+y~5

2

Además, cada una de las cantidades que se venden a los distribuidores son mayores o iguales que O. Luego el problema de programación lineal a resolver es:

393


min F=x + 3y

x+y=9 1

-x + y~8

2 1

-x + y~5

2

x~

O,y ~ o

Para resolver este problema, representamos primero e l conjunto fac ti ble.

10

6 4

2 10

O

Observamos que es el segmento comprendido entre los puntos (2, 7) Y (8, 1). Según el Teorema fundamental, al ser el conj un to factible acotado, el máxim o y el mínimo se alcanzan en los vértices de este conjunto, es decir, en los extremos. Para determinar qué valores extremos se alcanzan en cada uno de ellos, calculamos el valor de z en estos puntos F(2 , 7) = 2 + 3 . 7

=23

F(8, 1) = 8 + 3 . I = Il

Luego e l máx imo se alcanza en el punto (2, 7) Y el mínimo en (8, 1), por lo que para minimi zar los costes de transporte, deben venderse 8 toneladas al distribuidor A y I to nelada al B.

394

Ejercicios

Ejercicio 4

Deternlínense los extremos (máximo y ITÚnimo) de la función

F=x - y sujetos a las restricciones

x+y "; 18 y -x ,.; 6 3x3y@7 " { x~ O ,y~ O

Solución: Representamos gráficamente la región factible y la dirección de la recta x - y = k, constante.

25 2

y - x=6 x + y =1 8

__-<,;'- y = k

15 10 (0,6)

(6,12)

3x -3y=7 61 /6, 47/6)

(7/3, 0) 5

10 x

15

O

Sabemos que los extremos se van a alcanzar en los vértices de la región factible, es decir, en los puntos (6, 12), (O, 6), (O, O), (7/3, O) o (61/6, 47/6). Para terminar en qué puntos se alcanzan los extremos, calculamos el valor de F en estos puntos.

395


F(O , O) =0, F(O , 6)

=-6, F(6, 12) =-6, F(6 1/6, 47/6) =7/3, F(7/3, O) =7/3

Luego el mínimo se alcanza en (O, 6) Y (6, 12) Y el máximo en otros dos vértices : (7/3, O) Y (6 1/6, 47/6). Esta misma conclusión I¡( podíamos haber alcanzado tras observar la figura anterior, ya que la dirección de la recta x - y = k es paralela al segmento que une (0, 6) y (6, 12) o al que une (7/3 , O) y (61/6, 47/6). Además, k es menor en el primer caso (por lo que corresponde al mínimo) y mayor en el segundo caso, que es donde se alcanza el máximo. Por tanto, el mínimo de F es -6 y el máximo es 7/3.

Ejercicio 5

Dado el siguiente problema de programación lineal, se pide introducir las variables de holgura y expresarlo en fo rma matricial. óptimo F = x, + 5x, - 3X3 + x, + 2<, 2x, -x, + 2x,:5 2 X , + X, - 4x, + x, :5 7 x, -x,:5 3 X3:5 6 XI +X2- X4::; 2

Determínese una solución básica. Solución: Hay 5 restricciones, por lo que introducimos 5 variables de holgura: YXIO. Las restricciones se pueden expresar como

X 8, X 9

2x, - x, + 2x, + X6 = 2 x, + x, - 4x, + X5 + X 7 = 7 X2 -X4 +xs ::;:: 3 x, +x9=6 XI +X2 -X4 +X IO =

396

2

X 6, X 7,

-

--------------......... Ejercicios

r XI - X, 5,7

x, + x,

Sujeto a {

x,

~

~

2,x,

21 ~O

b) Mediante un cambio de variable, transfónnese el anterior problema de programación lineal en otro equ.ivalente en el que estén las restricciones

x,

~O,x, ~O.

Solución: En primer lugar detenninamos el conjunto convexo. Para ello representamos el conjunto convexo que representa el conjunto factib le. Si representamos la intersección de las desigualdades, resulta:

30 X,

20

( 14, 7)

X,

-x, = 7

+ 8x1 = 80 XI

2

10

20

30

El conjunto factibl e no es cerrado. Los vértices del convexo son A = ( 14, 7) Y B = (2, 19), intersección de las rectas X, - X, = 7; x, + x, = 2 1 Y X, = 2; X, + + X, = 2 1 respectivamente. La función objeti vo F = x, + 8x, va creciendo dentro de la región factible. Además F(A) =F( 14, 7) =70 Y F(B) =F(2, 19) = 154. Por lo tanto no existe vértice que maximice la función objetivo.

399

, 8 El problema de la programación lineal

Sin embargo, en el vértice (14,7) la función F alcanza el mínimo y es F( 14, 7) = 70.

b) Si consideraremos la primera expresión del problema, con el cambio x = X, - 2 Y (por notación) x, = y, sustituyendo el problema es equivalente a: Óptimo de F =

Sujeto a

{

X

+ 8y + 2

X -Y~ 5 x + y ~ 19 x~

D, y

~D

Observamos que en este problema se ha reducido el número de restricciones, respecto a la forma usual de expresar el problema.

Ejercicio 8

Estúdiese si los siguientes conjuntos son convexos:

~\ r; = ~('" ~\ ~ IR' (l i: ~' $. L ~ I..J ~(," ~~E. IR' ((¡;- ,,~' i: ~' '5. 1.. \ b) C = I(x, y) E IR} / } + y) ~ 1) n I(x, y) E IR~ / (x - 2)~ + l ~ 1 ) c) Un cubo macizo. Solución: a) El conjunto a) C = I (x, y) E IR' / x' + y' ~ 1) U I (x, y) E IR' / (x - 2)' + y' ~ 1) es la unión de dos círculos, de radio 1, Ycentros en (O, O) Y(2, O) respectivamente, que son conjuntos convexos, como vimos en el ejemplo 8.4.2. Pero su unión no es un conjunto convexo, ya que como se aprecia en la figura (está sombreada la unión de los círculos), el segmento que une los puntos (O, 1) Y (2, 1) no está contenido dentro de C. En efecto, este segmento está definido por los puntos (x, 1) con O~ x ~ 2 Y el punto (2, 1), aunque está en el segmento, no está en la unión de los dos círculos.

400

----------------....... Ejercicios

b) El conjunto e es, en este caso, la intersección de los dos cúculos del apartado anterior. Es el punto (1 , O), que es un conjunto convexo (un único punto es siempre un conjunto convexo). También podíamos haber razonado que la intersección de conjuntos convexos es convexo, y haber llegado así al mi smo resultado. c) Podemos suponer, si consideramos el cubo como un subconjunto de IR' que los véllices del cubo son los puntos (O, O, O), ( 1, O, O), (0, 1, O), (O, O, 1), ( 1, 1, O), (1 , O, 1), (O, 1, 1), (1, 1, 1). Es decir, los puntos (x, y, z) del cubo macizo verifican O::;x::; I , O::;y::; 1, 0 ::;z::; I

Un punto (x, y, z) que es combinación lineal convexa de dos puntos de l cubo (x" y " z,) y (x" y" z,) verifica, para O::; a::; 1 x = ax, + (1 - a) x, Y = ay, + ( 1 - a) y, z = az, + (1 - a) z,

=>

O::; x = ax, + ( 1 - a) x, ::; a + (1 - a) = 1 O::; Y = ay, + ( 1 - a) y, ::; a + ( 1 - a) = 1 O::; z = az, + (1 - a) z,::; a + (1 - a) = 1

Por lo que el cubo macizo es convexo porque el punto (x, y, z) está en el cubo.

401

8 El problema de la programación lineal •

Ejercicio 9

Mediante el método simplex, calcúlese la solución óptima para el problema:

min Z = -3x, - 5x, x , + 2x, S 36 2x, +x, S 36 { x, ~ O, x, ~ O

Solución : Para seguir los pasos del algoritmo simplex, necesitamos normalizar el problema y transformar el problema de mínimo a un problema de máxi mo. Introduciendo x" X 4 como variables de holgura, el problema primero es equivalente a

z = 3x, + 5x, x, + Lx, + x, =36 ~ , + x, +x. =:lb

~

max

Xi ~

O para i = 1, ... ,4

I ;¡ vwor nÍaxlli ib 1l1>'t'b;S'b-u, Debido al signo negativo que af~cta ~ m~x ~p~~a no le afecta. Aplicando le debemos cambiar el s'gno, pero a a so UCI n el método, resolveremos el problema paso a paso. l. Construcción de la tabla inicial X4

x, X4

FO

402

"2

36

()

\

1

2

O

36

1

O

-3

O

O

-5

I

Ejercicios

2. La solución encontrada es (O, O, O, 36, 36) Y no es óptima como se puede comprobar (z = O). Además, en la FO hay entradas negativas. 3. Determinación de la COLUMNA PIVOTE. En la fila FO el elemento más negativo es -5, por lo tanto la columna pivote es la segunda. 4. Determinación de la FILA PIVOTE. Calculamos los cocientes correspondientes para los elementos de la columna pivote, 36

36

-y 2 I

y el mínimo se obtiene para el primer e lemento, luego la fi la pivote buscada es la primera. El elemento pivote es ( 1, 2). La variable X 2 entra como variable básica y sale x, . 5. Conversión de la columna PIVOTE en BÁSICA. Las transformaciones oportunas que podemos considerar son, en la fila pivote F,

H

_1 F , (nombrándola de nuevo F ,) y a continuación: 2

F2 HF2 - F , F, H F, +5F ,

X,

X2

X,

FO

-

I

I

2

2

3 2

I

O I

-2

O

O

18

2 5 2

18

O

90

403


Si nos fijamos en la nueva fila FO hay elementos negativos, esto quiere decir que no hemos terminado, la solución encontrada que mejora la anterior (z = 90) es: (O, 18, O, 18)

Como la solución no es óptima seguimos aplicando el método. De nuevo, 3. Determinación de la columna PIVOTE. 1 En la ftla FO el único elemento negativo es - - por tanto la columna 2 pivote es la primera. 4. Determinación de la FILA PIVOTE 18

18

1/2 Y 3/2 Luego la fil a pivote es la segunda. El elemento pivote es (2, 1). La variable x, entra como variable bás ica y sale x,. 5. Conversión de la columna PIVOTE en BÁSICA. En la fi la PIVOTE aplicamos la transformación F,

2

F, Y con esta 3 nueva ftl a calculamos las siguientes transformaciones sucesivas. H

-

I F,H F , - - F,

2

F, H F, + -

I

2

x,

x,

x,

x,

O

1

3

F,

b

x,

2

I

-3

12

-

I~

x,

1

O

--

FO

O

O

3

404

1

3

7

2

3 l

3

12

96

Ejercicios

En la fila FO no hay elementos negativos, por lo tanto el método simplex nos asegura que hemos calculado la solución óptima, y ésta es (12,12). El valor máximo para z = 3x, + 5X2 es z = 96, o el mínimo para z = -3x, - 5X2 es z = -96 Yambos se alcanzan en el punto (12, 12, O, O) es decir en x, = 12,x2= 12.

Ejercicio 10

Resuélvase por el método simplex el ejercicio 6. Solución : Tal como vi mos en el ejercicio 6, tras introducir las variables de holgura el problema es max F = 4x, + 2x2 X, + 3X2 + X 3 = 15 2t, -X2 +x, = 8 { x, ~ O, X 2 ~ O Apli cando el método, resolveremos el problema paso a paso. l . Construcción de la tabla inicial

X,

X3

X2

X3

3

l

X4

2

- 1

O

FO

-4

-2

O

Ti O

15 8

O

O

405


2. La solución básica es (0, 0, 0, 15, 8) . No es óptima, ya que F = O. Esto concuerda con la predicc ión del método, ya que en la Fa hay entradas negativas y, por tanto, debemos continuar. 3. Determinación de la COLUMNA PIVOTE. En la fil a Fa el elemento más negativo es -4, por lo que la columna pivote es la primera. 4. Determinación de la FILA PIVOTE. Calculamos los cocientes correspondientes para los e lementos de la columna pi vote, 15 8 -y 1 2 El mínimo se obtiene para el segundo elemento por lo que la fil a pivote buscada es la segunda. El elemento pivote es (2, 1), la variable X¡ entra como variable básica y sale como variable básica x,. 5. Conversión de la columna PIVOTE en BÁSICA. Las transformaciones que vamos a realizar son: en la fil a pivote se realiza F,

H

-

I

2

F, (renombrándola de nuevo F,)

a continuación operamos con las sig uientes fil as F ¡HF¡-F, F3 H F3 + 4F,

x¡

X,

X3

O

-

XI

I

Fa

O

406

Jj

X3

X4

I

--

--

O

-

-4

O

2

7 2 I

2

I

2

1

2

11

4 16

----------------...... Ejercicios

Si nos fijamos en la nueva fila FO todavía hay elementos negativos. Esto significa que no hemos terminado, la solución encontrada que mejora la anterior (F = 16) es : (4, O, 11 , O)

Como la sol ución no es óptima seguimos aplicando el método. De nuevo, 3. Determinación de la columna PIVOTE. En la fi la FO el único e lemento negativo es -4 por lo tanto la columna pivote es la segunda. 4. Determinación de la FILA PIVOTE. Sólo hay un ténnino positivo, el correspondiente a la primera fila. Luego ésta será la fila pivote. El elemento pi vote es ( 1,2). La variable X2 entra como variable básica y sale X 3. 5. Conversión de la colu mna PIVOTE en BÁSICA. En la ftla PIVOTE aplicamos la transformaci ón F,

H

~ F, Y con esta

7 nueva fila calculamos las siguientes transformaciones sucesivas. l F 2 HF2 +-F ,

2

Xl

X,

X3

2 7

X2

O

X,

1

O

FO

O

O

-

b

X,

7

22 7

39

7

3 7

8

10

268

7

7

7

l

7

407


En la fila FO no hay elementos negativos, por lo tanto el método simplex nos asegura que hemos calculado la solución máxima, y ésta es

39 22 ) . 268 (- 7 , - 7 . y el valor máx Imo es F = -7-o

408

Algebra Lineal Basica (Uned)

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